Фрикционные автоколебания в континуальных системах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.02.04, кандидат технических наук Гайворонский, Евгений Геннадьевич

• Гайворонский, Евгений Геннадьевич
• кандидат технических наук
• 2009

Оглавление диссертации кандидат технических наук Гайворонский, Евгений Геннадьевич

ВВЕДЕНИЕ. СОСТОЯНИЕ ВОПРОСА.

ГЛАВА 1. , ТРЦБОЛОГИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ В АВТОКОЛЕБАТЕЛЬНЫХ

СИСТЕМАХ

§1.1 Обзор трибологических моделей автоколебательных систем

§1.1 Кинетические характеристики трения

§1.2.1 Зависимость Крагельского-Щедрова

§1.2.2 Кубическая модель

§1.3 Учет силы трения покоя и зависимости от времени неподвижного контакта 18

§1.4 Проблема разрывов силы трения скольжения при переходе к отрицательным скоростям

§1.5 Переменная структура уравнений динамики для случая реологической силы трения

ГЛАВА 2. БЕЗОСТАНОВОЧНЫЕ ФРИКЦИОННЫЕ АВТОКОЛЕБАНИЯ

В КОНТИНУАЛЬНЫХ СИСТЕМАХ

§2.1 Фрикционные автоколебания консольного стержня с распределенным по всей длине и (или) сосредоточенным на конце трением

§2.2 Решение задачи фрикционных автоколебаний консольного стержня

§2.3 Изучение процессов безостановочных автоколебаний континуального стержня

§2.4 Итоговые замечания по исследованиям безостановочных автоколебаний

ГЛАВА 3. РЕЛАКСАЦИОННЫЕ ФРИКЦИОННЫЕ АВТОКОЛЕБАНИЯ В

КОНТИНУАЛЬНОЙ СИСТЕМЕ

§3.1 Особенности интегрирования дифференциальных уравнений с переменной структурой

§3.1.1 Выбор метода решения ДУсПС

§3.1.2 Построение алгоритма для решения одномассовой задачи и его особенности

§3.1.

Алгоритм решения многомассовой задачи и его особенности

§ 3.2 Достоинства и недостатки метода РКСУ.

§ 3.3 Релаксационные автоколебания в континуальной системе с сосредоточенным трением.

§3.3.1 Стационарное решение уравнения релаксационных автоколебаний в одномассовой системе.

§3.3.2 Исследование амплитудно-частотных зависимостей автоколебаний для случая сосредоточенного трения. 3.3.3 Влияние приведения континуальной системы к одномассовой при решении задач автоколебаний.

§ 3.4 Особенности процесса релаксационных автоколебаний в континуальной системе с распределенной по длине силой трения.

§3.4.1 Сравнение численных методов решения задачи релаксационных автоколебаний в стержне с распределенной по длине силой трения.

§3.4.2 Особенности процесса релаксационных автоколебаний в стержне с распределенной по длине реологической силой трения.

§ 3.5 Стохастические эффекты автоколебаний в континуальной модели с реологической силой трения.7?

§ 3.6 Особенности и различия релаксационных автоколебаний в континуальной и эквивалентной одномассовой системах.

ГЛАВА 4. ФРИКЦИОННЫЕ АВТОКОЛЕБАНИЯ ПРИ ОБРАБОТКЕ

ЗАГОТОВОК РЕЗАНИЕМ.

§4.1 Постановка задачи о крутильных автоколебаниях заготовки.

§ 4.2 Расчет момента сопротивления движению.

§ 4.3 Дифференциальные уравнения крутильных колебаний.9.

§ 4.4 Общность решения задач крутильных и продольных колебаний.

§ 4.5 Сопоставление различных видов решений.

§ 4.6 Проблема учета изгибных автоколебаний заготовки.

§ 4.7 Построение простейшей модели учета влияния крутильных автоколебаний на профиль обрабатываемой заготовки.

§ 4.8 Влияние крутильных автоколебаний на профиль обрабатываемой заготовки.

§ 4.9 Влияние изгибных автоколебаний резца на процесс резания.

§ 4.10 Выводы по исследованиям автоколебаний при резании.11.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Фрикционные автоколебания в континуальных системах»

Самовозбуждающиеся колебания, возникающие в механических и электрических системах под влиянием внешних воздействий неколебательного характера, получили в науке название «автоколебаний» (термин впервые введен академиком Андроновым A.A.). Наиболее распространенными и, к сожалению, наименее изученными являются фрикционные автоколебания, проявляющиеся в самых различных приложениях. Это и скрип тормозов, и дергание автомобильного сцепления, и прерывистое движение при ударе во фрикционный амортизатор [27, 41], и вибрации при обработке деталей на станках [35, 45]. В связи с проблемой повышения надежности и долговечности различных технических устройств, включающих узлы трения, задача совершенствования этих устройств, расчета и анализа фрикционных автоколебаний остается по-прежнему актуальной.

Рассмотрим более подробно состояние вопроса. Проблемами самовозбуждающихся колебаний занимались многие видные ученые: Мандельштам Л.И., Андронов A.A., Витт A.A., Крагельский И.В., Ишлинский А.Ю., Кудинов В.А., Никольский JI.H. Одними из первых в мире проблемой фрикционных автоколебаний занялись ученики Мандельштама Л.И.: Андронов A.A., Витт A.A., Кайдановский Н.Л., Хайкин С.Э. Впоследствии на основании их работ была создана отечественная школа «нелинейной теории колебаний» [4], которую возглавил Андронов A.A. В 1944 году вышла статья Ишлинского А.Ю. и Крагельского И.В. «О скачках при трении» [21], она положила начало реологической теории фрикционных автоколебаний. Эта теория, а также теория Кайдановского-Хайкина [22], легли в основу общей теории фрикционных автоколебаний (для сосредоточенных систем), разработанную Костериным Ю.И., Дерягиным Б.В., Пушем В.Э., Толстым Д.М. [20,30].

Далее исследования автоколебаний пошли по пути изучения (или интеграции) прикладных направлений: колебания станков - Кудинов В. А. [35]; трибология — Крагельский И.В. [33, 34]; триботехника - Геккер Ф.Р. [16]; автоколебания подвижного состава - Демин Ю.В., Маркова О.М., Тихомиров В.П., Горленко А.О. [19, 53]; прерывистое движение фрикционных амортизаторов — Никольский Л.Н., Кег-лин Б.Г. [26,27,28,40,41].

Не будет преувеличением сказать, что советская (впоследствии российская) наука была одним из мировых лидеров исследования процессов автоколебаний, в том числе в области трибологии. Из зарубежных ученых необходимо отметить одного из основателей трибологии Боудена Ф.П. (F.P. Bowden), выдвинувшего одну из первых гипотез возникновения релаксационных автоколебаний, и голландского математика Ван-дер-Поля Балтазара (Baltasar Van der Pol), чьи исследования в области автоколебаний стали основой для научной школы Л.И. Мандельштама. Современное поколение исследователей фрикционных автоколебаний за рубежом можно представить вьетнамским ученым Jle Суан Ань [37].

Несмотря на наличие работ в области автоколебаний в электромеханических континуальных системах [16, 23, 39, 54], исследования в области фрикционных автоколебаний обычно не выходят за рамки изучения одно- и двухмассовых систем [3, 6, 21, 22, 25, 33, 41] или фрикционных моделей с двумя связанными степенями свободы [7, 17]. Это объясняется тем, что изучение трибосистем часто связано с рассмотрением математически некорректно поставленных задач, в результате чего приходится иметь дело с разрывными и существенно нелинейными системами [16, 41, 51]. При добавлении особенностей математических моделей континуальных систем для учета эффектов пространственной организации автоколебаний [8, 23, 44] получается весьма сложная задача, для решения которой научной основы современной теории фрикционных автоколебаний [20, 30, 34] оказывается недостаточно.

До недавнего времени основным сдерживающим фактором развития исследований в области задач фрикционных автоколебаний были ограничения в вычислительной мощности ЭВМ [41]. Поэтому изыскания по данным направлениям велись либо аналитически с использованием математического аппарата нелинейной теории колебаний [9], либо с использованием аналоговых вычислительных машин со свойственными им ограничениями состава логических элементов, различием их быстродействия и активных потерь в решающих цепях [10,11, 52].

Появление достаточных вычислительных мощностей для исследования континуальных систем совпало с началом бума CAD- и CAE-технологий, систем автоматизированного инженерного анализа, и применением полученных таким образом результатов при решении технических задач. Научная же сторона вопроса, выявление и изучение объекта исследований, осталась на втором плане.

Однако современные системы инженерного анализа, в теории, построенные на строгих вариационных и энергетических принципах, использующие проверенные методы численного решения, часто бессильны дать оценку точности полученных на них результатов в силу практической невозможности проверить соблюдения всех математических ограничений для рассматриваемой модели. Упрощение расчетной модели часто ведет к потере адекватности решения поставленной задаче.

Ситуацию усугубляет богатый спектр автоколебательных явлений в континуальной среде [23], помноженный на продолжающиеся по сей день споры о механизмах фрикционных автоколебаний [16]. Незнание исследователем возможных проявлений автоколебаний в континуальной среде, приведшее к неправильным выводам о механизмах их возбуждения, усугубленное после этого неверным расчетом конструкции с помощью системы инженерного анализа, может привести к печальным последствиям.

К примеру, такой известный электродинамический автоколебательный эффект как конкуренция мод колебаний определяет зависимость процесса автоколебаний от начальной формы континуальной среды. Следовательно, неучет начальной формы колебаний из-за рассмотрения процесса возбуждения автоколебаний для сосредоточенной, а не континуальной, системы может привести к тому, что расчетный процесс не будет соответствовать экспериментальному по частоте и амплитуде [13]. Этого может оказаться достаточно, чтобы отвергнуть правильную гипотезу о механизме возбуждения фрикционных автоколебаний в заданном узле трения.

Вот почему важно возращение на шаг назад к простым континуальным задачам исследований: уточнение механизмов возбуждения фрикционных автоколебаний, протекающих в континуальной среде; исследование нежелательного взаимодействия численного решения краевой задачи с существенной нелинейностью ее континуальной модели; изучение автоколебательных эффектов в трибосистемах, содержащих континуальные звенья.

Тревога по поводу стихийного забегания вперед в области исследования и расчета технических систем, подверженных фрикционным автоколебаниям, стала ощущаться в научной среде на рубеже столетия. Одним из первых ученых, высказавших опасения по поводу наличия белых пятен на границах научных дисциплин: трибологии, вычислительной механики и нелинейной теории колебаний - был доктор технических наук, профессор, заслуженный деятель науки и техники Российской Федерации Б.Г. Кеглин. С его предложения автор данной диссертационной работы и заинтересовался проблемой фрикционных автоколебаний в континуальных системах.

В работе рассматривается более общий подход к расчету и анализу автоколебательных систем, содержащих континуальные звенья. Показано, что учет континуальности системы выявил, во-первых, эффекты стохастических автоколебаний, во-вторых, эффекты пространственной организации автоколебаний: конкуренция мод, бигармонические автоколебания, автоволновые явления. Приведены различия в оценках частоты, амплитуды, областей устойчивости автоколебаний по сравнению с эквивалентными сосредоточенными системами. Рассмотрен новый объект исследований — континуальная среда (консольный стержень) под воздействием различных типов и конфигураций сил трения.

Итак, Целью работы является изучение фрикционных автоколебаний в континуальных системах и оценка влияния континуальности на вибрационные характеристики объекта. Для достижения указанной цели необходимо было решить следующие задачи:

1. Выбор и анализ трибологических моделей, используемых в задачах фрикционных автоколебаний.

2. Разработка методов математического моделирования фрикционных автоколебаний в континуальных системах.

3. Исследование задачи о безостановочных автоколебаниях в континуальной системе. Изучение особенностей пространственной организации автоколебаний.

4. Исследование задачи о релаксационных автоколебаниях в континуальной системе. Изучение стохастических процессов и их устойчивости.

5. Анализ влияния континуальности среды на процесс автоколебаний на примере системы «резец токарного станка — обрабатываемая заготовка».

И, наконец, важная задача такого анализа — ответ на вопрос: насколько бывает оправдано приведение фрикционной автоколебательной системы с распределенными параметрами к одномассовой модели.

Заключение диссертации по теме «Трение и износ в машинах», Гайворонский, Евгений Геннадьевич

4.10 Выводы по исследованиям автоколебаний при резании

В данной главе рассмотрено практическое применение проведенных ранее исследований в области автоколебаний в континуальных системах, в данном случае в системе резец — обрабатываемая заготовка. Главной задачей главы было получение оценок влияния автоколебаний на качество поверхности обрабатываемого изделия.

Основной проблемой исследований стало большое многообразие динамических факторов, влияющих на процесс резания. Одних автоколебательных движений при самом общем упрощении задачи рассмотрено три разновидности: изгиб-ные и крутильные автоколебания вала, изгибные автоколебания резца. Процесс исследований осложнил факт взаимосвязи всех типов колебаний друг с другом.

В целях упрощения задачи методика исследований заключалась в их разделении на 3 подгруппы: рассмотрение простейшего примера крутильных автоколебаний, основываясь на сходстве с задачей продольных автоколебаний; анализ подходов к рассмотрению проблем изгибных автоколебаний резца и вала; рассмотрение простейшей взаимосвязи изгибных автоколебаний резца и крутильных автоколебаний вала. В такой постановке вопрос удалось рассмотреть в одной главе.

Изучение простейшего примера крутильных автоколебаний в §4.5 подтвердило общие закономерности релаксационных автоколебаний, рассмотренных в прошлых главах.

Анализ подходов к рассмотрению проблем изгибных автоколебаний резца и заготовки в §4.6 и §4.7 указал на оптимальную методику дальнейших исследований: в плане изучения крутильных автоколебаний — построение простейшей модели учета влияния последних на профиль обрабатываемой заготовки; в плане изгибных автоколебаний - изучение взаимодействия изгибных автоколебаний резца и крутильных автоколебаний вала.

В §4.8-4.9 проведены исследования по основной задаче главы — изучение влияния автоколебаний на технологические параметры при резании. Получены профили сечения обрабатываемой заготовки, изучено влияние автоколебаний на глубину резания, установлено, что приведение континуальной модели к одномас-совой (равно как и неучет взаимодействия различных видов автоколебаний) ведет к заметному изменению параметров формы профиля поверхности.

Крутильные автоколебания вала способны усилить до двух раз по амплитуде изгибные автоколебания резца. Учет континуальности обрабатываемой заготовки существенно влияет на характер автоколебаний резца Особенности крутильных автоколебаний континуальной заготовки делают режим резания жестче, чем в дискретном случае.

Заключение

В диссертационной работе рассмотрена актуальная научная задача, имеющая важное теоретическое и практическое значение для исследований в области фрикционных автоколебаний систем, содержащих континуальные звенья.

На основе проведенных теоретических исследований и численных экспериментов были получены следующие основные результаты и сформулированы следующие выводы.

1. Разработаны математические модели, описывающие автоколебательные эффекты в континуальных системах — системах с распределенными параметрами жесткости и инерции, учитывающие кинетические и реологические фрикционные характеристики контакта.

2. Разработаны аналитические и численные методы анализа фрикционных безостановочных (квазигармонических), а также релаксационных (с периодическими остановками) автоколебаний в континуальных системах. Создан оригинальный гибридный численный метод Рунге-Кутта с условиями для метода припасовывания (РКСУ). Применение данного метода для решения задач, уравнения движения которых не удовлетворяют условиям теоремы Коши-Ковалевской о существовании и единственности решения краевого дифференциального уравнения, позволяет обойти теоретические и вычислительные трудности.

Представлена модель «странного аттрактора», на примере которого удобно изучать процессы неустойчивого движения континуальной системы при действии реологических сил трения.

3. Сопоставление результатов сравнения характеристик фрикционных автоколебаний в континуальных и традиционных дискретных системах позволяет сделать следующие выводы. Амплитуды безостановочных (квазигармонических) автоколебаний стержня для континуальной системы по сравнению с эквивалентной одно-массовой существенно (на 10-^15 %) выше. Амплитуды и периоды релаксационных автоколебаний в континуальной системе с реологической силой трения значительно ниже: до 50 % и более (для случая распределенной силы трения), критическая скорость возникновения автоколебаний почти в 2-4 раза ниже, чем для эквивалентной одномаееовой системы. Континуальность свойств фрикционной автоколебательной системы может способствовать виброгашению автоколебаний собственными (резонансными) высокочастотными колебаниями за счет пространственной реорганизации процесса обмена энергией с внешней средой. Таким образом показано, что игнорирование континуальности реальных фрикционных динамических систем приводит к существенным погрешностям в их оценке.

4. Важную роль в пространственной организации фрикционных автоколебаний в континуальной системе играют автоволновые процессы. Для сосредоточенной на конце стержня силы трения возможно мягкое возбуждение безостановочных автоколебаний, что объясняется автоволновым механизмом самовозбуждения. Автоколебания стержня с распределенной по длине реологической силой трения — это выраженный автоволновой процесс: стационарный режим, подобный релаксационным автоколебаниям в одномаееовой системе, не устанавливается; показано наличие в процессе прямых и отраженных волн с различной скоростью распространения.

5. В отличие от автоволновых процессов стохастические свойства автоколебательных систем с реологическим трением проявляют себя как в континуальной, так и в дискретной системах. Различаются только механизмы генерации стохастических автоколебаний: в континуальных системах они более разнообразны. Показано, что в континуальной системе с реологическим трением главную роль в хаотическом поведении играет воспроизводство шума (высокочастотных вибраций) системой.

6. В результате выполнения работы найдены и изучены автоколебательные эффекты, не проявляющиеся в дискретной системе. Безостановочные автоколебания с распределенной силой трения — процесс слабоустойчивый относительно высокочастотных возмущений. Имеют место устойчивые автоколебательные моды для высших собственных частот колебаний, на которые система может перейти вследствие конкуренции мод колебаний. Переход квазигармонических (безостановочных) автоколебаний на определенную моду зависит от соотношения начальных форм колебаний, величины предельных амплитуд и не зависит напрямую от значений начальных амплитуд отдельных гармоник. Что предполагает уточнение уже сложившегося определения автоколебаний, где говорится только о независимости движения от начальных условий.

Безостановочные автоколебания стержня с приложенной на конце силой трения — устойчивый бигармонический процесс, где вторая гармоника по амплитуде составляет до 10 % амплитуды первой частоты.

Обнаружен новый нелинейный эффект — самогашение автоколебаний в континуальном стержне с сосредоточенной на его конце реологической силой трения, при котором шум (высокочастотные вибрации), воспроизводимый автоколебательной системой, не дает развиться процессу релаксационных автоколебаний.

7. В качестве практического приложения выполнен анализ фрикционных автоколебаний при обработке заготовки на токарном станке. Разработана математическая модель, учитывающая изгибные и крутильные колебания элементов системы, предложена методика оценки влияния фрикционных автоколебаний на качество поверхности обрабатываемой заготовки.

Анализ автоколебаний позволил сделать следующие выводы. Континуальность заготовки влияет на значения технологических параметров обрабатываемой поверхности. Установлено, что упрощение модели ведет к заметному изменению формы профиля поверхности. Крутильные автоколебания заготовки способны усилить (до двух раз по амплитуде) изгибные автоколебания резца. Учет континуальности обрабатываемой заготовки существенно влияет на характер автоколебаний резца.

8. Показано, что при установлении влияния автоколебаний на устойчивость и динамику рассматриваемой модели или выяснении механизмов возбуждения фрикционных автоколебаний надо учитывать весь спектр частот, воспроизводимый континуальной автоколебательной системой.

9. Разработанные математические модели, методы их анализа могут быть использованы в широком классе приложений, связанных с фрикционными автоколебаниями: тормозные устройства машин, фрикционные амортизирующие устройства, приводы машин и т.п.

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Гайворонский, Евгений Геннадьевич, 2009 год

1. Агафонов, B.B. Параметры систематических погрешностей обработки с учетом динамических процессов в станке / В.В. Агафонов // Обработка металлов,-2006.-№2.-С. 18-19.

2. Агафонов, В.В. Расчет жесткости упругой системы станка методом декомпозиции на основе теории координатной связи / В.В. Агафонов // Справочник. Инженерный журнал — 2005. — №1. — С. 25-29.

3. Андронов, A.A. К математической теории автоколебательных систем с двумя степенями свободы / A.A. Андронов, A.A. Витг // Журн. техн. физики — 1934 -Т. 4- №1. С. 122-143.

4. Андронов, A.A. Теория колебаний / A.A. Андронов, A.A. Витт, С.Э. Хайкин — М.: Физматгиз, 1959 916 с.

5. Бахвалов, Н.С. Численные методы: Учеб. Пособие / Н.С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.М. Кобельков М.: Наука, 1987 - 600 с.

6. Бидерман, B.JI. Теория механических колебаний: Учебник для вузов / В Л. Би-дерман — М.: Высш. шк., 1980. — 408 с.

7. Бородин, Ф.М. Фрикционные автоколебания, обусловленные деформированием шероховатостей, контактирующих поверхностей / Ф.М. Бородач, И.В. Крюкова //Письма в ЖТФ 1997.- Т. 23.-№6. - С. 67-72.

8. Васильев, В.А. Автоволновые процессы / В.А. Васильев, Ю.М. Романовский, В.Г. Яхно.-М: Наука, 1987-240 с.

9. Вербицкий, В.Г. Приближенный анализ автоколебательной системы / В.Г. Вербицкий, М.Я. Садков // Доповцц HAH УкраШи 2001- № 10 - С. 48-52.

10. Витт, A.A. Дополнение и поправки к моей работе «Колебания скрипичной струны» / A.A. Витг // Журн. техн. Физики 1937 - Т. 7, вып. 5. — С. 542-545.

11. Витг, A.A. К теории скрипичной / A.A. Витт // Журн. техн. Физики.— 1936. Т. 6., вып. 9.-С. 1459-1479.

12. Гайворонский, Е.Г. Особенности процесса релаксационных автоколебаний в распределенных системах / Б.Г. Кеглин, Е.Г. Гайворонский // Вестн. БГТУ — 2007.-№4.-С. 44-46.

13. Гайворонский, Е.Г. Применение метода Рунге-Кутта с припасовыванием для решения задач фрикционных автоколебаний в распределенных системах / Б.Г. Кеглин, Е.Г. Гайворонский // Вестн. БГТУ 2007.- №4.- С. 41-43.

14. Геккер, Ф.Р. Динамика машин, работающих без смазочных материалов в узлах трения/Ф.Р. Геккер.—М.: Машиностроение, 1983 — 168 с.

15. Геккер, Ф.Р. Процессы, трения между сухими, несмазанными поверхностями твердых тел в современном представлении / Ф.Р. Геккер // Трение, Износ, Смазка-2001,-№9.

16. Горяченко, В.Д. Элементы теории колебаний: Учебное пособие для вузов. Второе издание, переработанное и дополненное / В.Д. Горяченко М.: Высш. шк., 2001. -395 с.

17. Демин, Ю.В. Автоколебания и устойчивость движения рельсовых экипажей / Ю.В. Демин, Л.А. Длугач, М.Л. Коротенко, О.М. Маркова — К.: Наукова думка, 1984.- 160 с.

18. Дерягин, Б.В. Теория фрикционных автоколебаний с периодическими остановками / Б.В. Дерягин, В.Э. Пуш, Д.М. Толстой- М.: Изд-во АН СССР, 1960.- 143 с.

19. Ишлинский, А.Ю. О скачках при трении / А.Ю. Ишлинский, И.В. Крагельский //ЖТФ,- Т. XIV, вып. 4-5.- 1944.- С. 276-283.

20. Кайдановский, Н.Л. Механические релаксационные колебания / Н.Л. Кайдановский, С.Э. Хайкин //ЖТФ.— Т. П1, вып. 3 1933,- С. 91-109.

21. Карлов, Н.В. Колебания, волны, структуры / Н.В. Карлов, Н.А. Кириченко — М.: Физматлит, 2001.-496 с.

22. Каханер, Д. Численные методы и программное обеспечение / Д. Каханер, К. Моулер, С. Нэш-М.: Мир, 1998 575 с.

23. Кащеневский, Л.Я. Стохастические колебания при сухом трении / Л.Я. Каще-невский // Инженерно-физический'журнал 1984 - №1, том XLVII— с. 143147.

24. Кеглин, Б.Г. Автоколебания при соударении вагонов, оборудованных фрикционными аппаратами / Б.Г. Кеглин // Транспортное машиностроение,— 1975.— 5-75-5.-С. 34-37.

25. Кеглин, Б.Г. О1 расчете релаксационных автоколебаний, возникающих при ударе во фрикционный амортизатор / Б.Г. Кеглин // Известия ВУЗов, Машиностроение- №4 1962-С. 117-126.

26. Корн, Г. Справочник по математике / Г. Корн, Т. Корн — М.: Наука, 1974.- 832 с.

27. Костерин, Ю.Н. Механические автоколебания при сухом трении / Ю.Н: Кос-терин.-М;: Изд-во АН СССР, 1960.-212 с.

28. Котелевский, В.Ю. Автоколебания в системах трения металлорежущих станков / В.Ю. Котелевский.- Саратов: Изд-во Саратовского университета, 1973.— 115 с.

29. Крагельский, И.В. Коэффициенты трения / И.В. Крагельский, И.Э. Виноградова.-М.: Машгиз, 1955.- 188 с.

30. Крагельский, И.В. Трение и износ // И.В. Крагельский.— М.: Машиностроение, 1968.-480 с.

31. Крагельский, И.В. Фрикционные автоколебания / И;В. Крагельский, Н.В. Ги-тис.-М.: Наука, 1987.- 181 с.

32. Кудинов, В.А. Динамика станков / В.А. Кудинов— М: Машиностроение, 1967.-360 с.

33. Ланда, П.С. Автоколебания в распределенных системах / П.С. Ланда- М.: Наука, 1983,-320 с.

34. Jle Суан Ань. Автоколебания при трении / Ле Суан Ань // Машиноведение. АН СССР.- 1973.- № 2.- С. 20-25.

35. Математический энциклопедический словарь. / Под ред. Ю.В. Прохорова -М.: Большая советская энциклопедия, 1995.— 847 с.

36. Неймарк, Ю.И. Стохастические и хаотические колебания. / Неймарк, Ю.И., Ланда П.С.- М.: Наука, 1987.-420 с.

37. Никольский, Л.Н. О скачкообразном изменении сил при ударном сжатии фрикционных аппаратов автосцепки. В кн.: Труды Брянск, ин-та. трансп. ма-шнностр. / Л.Н. Никольский — 1961, вып. XIX.— с. 5-13.

38. Никольский, Л.Н. Амортизаторы удара подвижного состава / Л.Н. Никольский, Б.Г. Кеглин.-М.: Машиностроение, 1986,— 144с.

39. Основы трибологии: Учебник для технических вузов / Под ред. A.B. Чичинад-зе.— М.: Машиностроение, 2001.— 664 с.

40. Пановко, Я.Г. Основы прикладной теории колебаний и удара / Я.Г. Пановко.— М.: Машиностроение, 1976 320 с.

41. Рабинович, М:И. Введение в теорию колебаний и волн / М.И. Рабинович, Д.И. Трубецков.- Ижевск: РХД, 2000,- 560 с.

42. Рыжков, Д.И. Опыт устранения вибраций при скоростном точении / Д.И. Рыжков-М.: Изд-во АН СССР, 1953.-24 стр.

43. Сборник! Теория трения и износа. / Под ред. И.В. Крагельского, B.C. Щедрова, Д.Н. Решетова, A.B. Чичинадзе М.: Наука, 1965 - 367 с.

44. Соколовский, А.П. Вибрации при работе на металлорежущих станках.— В сб.: Исследование колебаний металлорежущих станков при резании металлов /

45. A.П. Соколовский-М.: Машгиз, 1958.

46. Справочник технолога-машиностроителя. В 2-х т. Т. 2. / Под ред. А.Г. Косило-вой, Р.К. Мещерякова. — 4-е изд., перераб. и доп.- М.: Машиностроение, 1986.-496 с.

47. Справочник. Трение, изнашивание и смазка. / Под ред. И.В. Крагельского,

48. B.В. Алисина.-М.: Машиностроение, Т. 1, 1979 358 с.

49. Стрелков, С.П. Механика / С.П. Стрелков.- М.: Наука, 1975 560 с.

50. Темиш, О.С. К вопросу моделирования внешнего (сухого) трения на АВМ. — В сб.: Автоматизация научных исследований в машиностроении и приборостроении / О.С. Темиш, И.Т. Чернявский М.: Наука, 1971- С. 177-184.

51. Тихомиров, В.П. Трибология / В.П. Тихомиров, O.A. Горленко, В.В. Поро-шин,- М.: МГИУ, 2002.- 224 с.

52. Фролова, Н.Б. Автоколебания в распределенной системе взаимодействующих встречных волн в присутствии флуктуации / Н.Б. Фролова, А.П. Четвериков II Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика 2002 — Т. 10 — №5 — С. 5059.