Математические модели финансовых рынков и их приложение к задачам недропользования тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Мартынов, Михаил Александрович

• Мартынов, Михаил Александрович
• кандидат физико-математических наук
• 2011

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Мартынов, Михаил Александрович

Введение

0.1 Актуальность исследования.

0.2 Новизна полученных результатов.

0.3 Краткое содержание работы.

1 Математический аппарат и методология исследования

1.1 Методология оценки производных финансовых инструментов

1.2 Подход к определению цены опциона путем решения задачи Коши

1.3 Мартингальный подход к определению справедливой цены опциона

2 О построении арбитражной хеджирующей стратегии на рынке с активами, зависящими от одинакового случайного фактора

2.1 Описание модели рынка.

2.2 Начально-краевая задача для аналога уравнения Блэка-Шоулса

2.3 Сведение 2.2.1 к полулинейному параболическому уравнению

2.4 Условия формирования контрастной структуры типа ступеньки

2.5 Формирование КСТС в задаче 2.3.2.

2.6 Численное решение задачи 2.5.

2.7 Рассмотрение модели реального опциона в недропользовании

2.8 Доказательство арбитражности и явный вид хеджирующей стратегии

3 О зависимости волатильности от доходности актива в рамках модели Хестона

3.1 Введение.

3.2 Лемма об условном математическом ожидании.

3.3 Модель Хестона

3.3.1 Равномерное начальное распределение доходности.

3.3.2 Гауссовское начальное распределение доходности.

3.3.3 Степенное начальное распределение доходности с "тяжелыми хвостами".

3.3.4 "Улыбка волатильности" и асимптотическое поведение при малых временах

3.3.5 О модифицикациях модели Хестона.

3.4 Возможные приложения.

3.4.1 Задача, возникающая в недропользовании.

3.4.2 Оценка рейтинга компании по имеющимся котировкам акций

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математические модели финансовых рынков и их приложение к задачам недропользования»

0.1 Актуальность исследования

Математическое моделирование в экономике является неотъемлемой частью современной теории финансовых рынков и теории инвестиций. Уже более 30 лет в мире существуют организованные рынки производных финансовых инструментов и, в то же время, различные консалтинговые компании совершенствуют методы оценки инвестиционных проектов. В российской экономике биржевая торговля фьючерсами и опционами была организована несколько позже. Тем не менее, математический аппарат теории опционов стал часто использоваться как для нужд непосредственно срочного рынка, так и для разного рода вычислений в реальном секторе экономики.

Как известно, российская экономика во многом зависит от положения дел в так называемом нефтегазовом секторе. До сих пор наибольший приток средств в бюджет наблюдается от налоговых поступлений с экспорта углеводородов, размер достоверно доказанных запасов которых велик в международном масштабе.

Разумеется, на нефтегазовом рынке существует много проблем как чисто научного, так и прикладного характера (см., например, [1]). В наше время трудно представить себе любой товарный рынок, функционирующий без производных и фьючерсных контрактов, использование которых позволяет получить некоторые гарантии сбыта продукции в будущем по приемлемым ценам.

Диссертация содержит три основных результата, два из которых — теоретические. Они могут рассматриваться независимо от приложений. Однако их выводы позволяют получить инструмент для решения некоторых практических задач, в частности, возникающих в недропользовании. Третий результат — чисто прикладной. Он касается оценки величины бонуса за пользование месторождением (на его основе был создан программный комплекс).

Остановимся подробнее на теоретической части исследования. В книге [2] содержится утверждение, состоящее в том, что на рынке существуют арбитражные возможности в случае, когда количество торгуемых активов превосходит число источников случайности. Некоторые варианты этого утверждения доказываются при помощи мартингального подхода. В данной диссертации применен совершенно иной метод, опирающийся на свойства решений краевых задач полулинейных параболических уравнений (см. [М1], [М4], [М5]).

Метод позволяет, в частности, явно предъявить стратегию, приводящую к арбитражу. Арбитражная стратегия выписывается в предположении наличия на рынке двух активов, зависящих от одинакового случайного фактора. Тем самым, отсутствие арбитража на реальном рынке можно проверить опытным путем: если выбранная стратегия не реплицирует платежное обязательство, то арбитражной возможности, возникшей по причине дисбаланса количества активов и случайных факторов, не существует. Аналогично можно попробовать проверить наличие арбитражных возможностей.

Вторая теоретическая задача связана с моделью Хестона, в которой рассматривается стохастическая волатильность. Конечно, до определенного момента данная модель изучена, но в представленном исследовании предлагаются несколько оценок волатильности в следующем смысле: ищется условное математическое ожидание квадрата волатильности при фиксированной доходности и полученное значение, ввиду наличия наблюдаемых величин доходностей, принимается за оценку для волатильности.

Как показали вычисления, результат сильно зависит от начальных условий. А именно, важен вид распределения доходности в начальный момент времени. В частности, в случае с равномерным начальным распределением оценка волатильности как условное математическое ожидание совпадает с оценкой в виде безусловного математического ожидания.

В более сложных ситуациях с гауссовским и степенным начальным распределением доходности удалось получить явные интегральные формулы для оценки волатильности. Анализ этих формул показал наличие эффекта "улыбки волатильности" около среднего значения на графике зависимости волатильности от доходности. Заметим, что ранее в финансовой математике в связи с моделью Хестона рассматривалась зависимость волатильности от цены исполнения.

В практическом смысле на основании полученной оценки для волатильности был сконструирован рейтинговый показатель для определения инвестиционной привлекательности компании. Отметим, что введенный в качестве примера вариант рейтинга рассчитывается на основании фондовых показателей компании и может быть вычислен по ним на основании явных формул. Это позволяет оценить неизвестный параметр стандартного отклонения (волатильности) в условиях наблюдаемых котировок акций или иных котируемых активов (см. [МЗ], [Мб], [М7]).

Рассмотренная в диссертации прикладная задача очень важна для российской экономики. Кратко опишем основные ее моменты (см. [М2]).

На текущий момент нераспределенный фонд недр РФ составляет порядка 1000 месторождений. Государству необходимо наиболее выгодно для себя продать лицензии на эти месторождения, задав нижний порог для участников торгов. В свою очередь у инвесторов задача не переплатить и выиграть наиболее привлекательные тендеры. Возникает вопрос: как в условиях неопределенности относительно объемов запасов месторождения определить предельно допустимые цены для участников торгов?

Проблема важна не только потому, что ни те, ни другие участники торгов не имеют готового адекватного метода оценки величины так называемого бонуса за месторождение. Согласно существующему па сегодняшний день регламенту, установлен только минимальный порог, который составляет 10% от суммы среднегодового налога на добычу. Но такой размер бонуса может устроить государство только при условии отрицательного чистого дисконтированного дохода (ЧДД) при низкой ставке дисконтирования.

В свою очередь инвестор сталкивается с двумя проблемами. Во-первых, в условиях отрицательного ЧДД при корпоративной ставке он просто не знает, что делать и в большинстве случаев не берется участвовать в конкурсе. Во-вторых, существует масса примеров расчета бонуса для одного и того же участка недр, которые отличаются друг от друга в несколько раз. Порядок цен составляет миллионы долларов, поэтому такая разница неприемлема для принятия адекватного решения.

Государство

Нераспределенный фонд

И-—*■—-"С"

Лицензионный участок 2

Лицензионный участок 3

Рис. 1: Аукцион по приобретению лицензии на участок недр

0.2 Новизна полученных результатов

Все результаты диссертации являются новыми. Среди них можно выделить следующие:

1. Доказано существование арбитражных возможностей на рынке с активами, зависящим от одного случайного фактора. Новизна состоит в методе получения этого результата. Оказалось, что теория контрастных структур типа ступеньки в краевых задачах для параболических уравнений дает возможность построить в явном виде хеджирующий портфель из двух ценных бумаг, который реплицирует европейский опцион на покупку, но имеет в начальный момент времени стоимость, близкую к нулю.

2. В модифицированной модели стохастической волатильности Хестона определено условное математическое ожидание квадрата волатильности при фиксированной доходности в виде явной интегральной формулы для нескольких вариантов начального распределения доходности: равномерного, гауссовско-го, степенного. Было найдено асимптотическое поведение условного математического ожидания при малых временах. Обнаружено явление "улыбки волатильности" на графике зависимости квадрата стохастической волатильности от доходности (это явление отличается от того, которое традиционно рассматривают в финансовой математике).

3. Для решения проблемы определения предельной величины стартового пла- * тежа за право разработки участка недр был предложен новый метод, основанный на понятии "опциона в недропользовании". Такой подход к определению величины бонуса позволяет значительно расширить область применения широко используемого ныне метода дисконтированных платежей. Также доказано, что полученный метод более адекватно оценивает плохо изученные месторождения и позволяет государству иметь более обоснованные запросы в вопросе взимания стартового платежа за лицензию на участок недр.

0.3 Краткое содержание работы

Во введении кратко приводятся основные сведения о предмете исследования, характеризуется тема, цели и задачи диссертации. Дано общее описание изучаемых проблем, основные направления исследования. Характеризуются полученные в диссертации результаты.

В первой главе отражена методология исследования вопросов ценообразования опционов как основного объекта исследования представленной диссертации.

В первом пункте описаны основные определения, использующиеся в финансовой математике при рассмотрении рынков ценных бумаг и производных финансовых инструментов. Приводятся определения таких понятий, как самофинансируемый портфель, платежное обязательство, реплицирующий портфель, арбитражная возможность, полный рынок.

Во втором пункте подробно рассмотрена одна из возможных методик оценки справедливой цены опциона, основанная на решении задачи Коши для хорошо известного параболического уравнения Блэка-Шоулса.

В третьем пункте показан другой возможный метод к оценке справедливой премии опциона, основанный на мартингальном подходе, и его преимущества перед традиционным способом с решением задачи Коши. Суть метода содержится в двух фундаментальных теоремах финансовой математики, описанных, например, в [2]. Первая теорема утверждает эквивалентность безарбитражности и существования мартингальной меры. Вторая теорема посвящена вопросу о полноте рынка. Более точно, полнота и безарбитражность, согласно второй теореме, эквивалентны существованию и единственности мартингальной меры.

В терминах мартингальной меры, формула премии для европейского опциона на покупку такова:

V (*, 5) = [(5 - Х)+] , где — мартингальная мера.

Во второй главе приводится новый конструктивный способ доказательства известного утверждения об арбитражности рынка с двумя активами, зависящими от одинакового случайного фактора:

13г = /¿хЗх ей + агЭгсШ, = + <7232(Ш1 где ц\, ¡12 — положительные коэффициенты сноса, стг и — положительные различные параметры диффузии, W — Wt — стандартный винеровский процесс.

Доказательство проводится методом от противного. Предполагается, что рыночные цены риска двух выбранных активов не совпадают, то есть

1 ~ Г [12 ~ г

У1 I

71 а 2 или на языке мартингального подхода мартингальной меры не существует.

Введенное предположение позволило сформировать портфель из двух вышеуказанных активов и одного финансового инструмента. После стандартной процедуры определения начально-краевой задачи относительно неизвестной цены платежного обязательства и стандартных замен была получена задача вида:

К* ~и'г = т,

3/i,0Je) = i7o(y1>e)J у\ G К, (0.3.1)

U(K-,r,e)= 7, U(К+, т, е) = — X + 7. где f(U) = U(U — A)(U — В), А к В — некоторые функции.

Задача такого типа при малых s рассматривалась в рамках теории контрастных структур типа ступеньки (КСТС) в разные годы в работах [3], [4]. Оказалось, что можно подобрать такие функции А и В (а именно, А = Р1Х + Р2 и В — const), что поставленная начально-краевая задача (0.3.1) имеет асимптотически устойчивое решение типа КСТС:

0, при К < х < хо, lim и(х, е) — < £->0 4 '

В, при xq < х < К+.

Численные расчеты показали, что уже при t порядка 0.25 (то есть 3 месяца) решение принимает форму ступеньки. Таким образом, доказано, что в случае с реплицирующим портфелем, составленным из двух активов указанного типа, цена платежного обязательства с контрактной функцией европейского опциона на покупку в начальный момент времени может быть сделана сколь угодно малой. Это противоречит безарбитражности рынка.

Более того, были получены точные формулы арбитражной хеджирующей стратегии (^1,^2), реализующей неидеальность рынка с двумя выбранными выше активами:

CT2S2-г/ J. C2S2

52 = V(V- Pkxi In Si - h){V - B)

В третьей главе рассмотрена модель Хестона для стохастической волатиль-ности: dFt= [a-^jdt + y/vtdWu dVt = -7(Vt - 6)dt + ky/VtdW2l (0.3.2) где Ft — доходность, Vt — квадрат волатильности, j > 0, к > 0 — некоторые константы, И7!, ~ независимые стандартные винеровские процессы.

Дальнейшие вычисления сводятся к поиску условного математического ожидания квадрата волатильности при фиксированной доходности Е (Vt\Ft = /). Найденную величину предлагается использовать в качестве некоторой оценки для ненаблюдаемой волатильности.

Уравнение (0.3.2) соответствует процессу, который в финансовой литературе называется процессом Кокса-Ингерсолла-Росса, а математической статистике — процессом Феллера. Решение этого уравнения существует на интервале t G [0, +оо) при 2-у в > к2.

При известной совместной плотности распределения P(t, /, г;) искомое условное математическое ожидание находится по известной формуле , X Гтп. vP(t, f, v)dv

Но саму совместную плотность и затем два интеграла в числителе и знаменателе формулы (0.3.3) найти в сколь-нибудь явном виде порой очень трудно или вообще невозможно. В представленном исследовании предлагается использовать более удобный способ, позволяющий вычислить Е (Vt\Ft = /) в терминах преобразования Фурье от совместной плотности распределения.

Предположим, что P(t, — преобразование Фурье по переменным (/, v) функции P(t, /, v), являющейся решением задачи (3.2.2), (3.2.3). Пусть P(i, /х, 0) и d^P(t, /¿, 0) являются по /г убывающими на бесконечности быстрее всякой степени функциями. Тогда ■ \ iF~l [dePit, fl, 0)1 (i, /)

E {VtlFt = f)= F- И PitПШ П > ^ ' G R' (°-3-4)

Ffj. H (A Mj /)

Задача нахождения оценки волатильности была решена для трех случаев начального совместного распределения доходности:

• Равномерное распределение на отрезке [—L, L].

P(P,f,v) = ±r6(v). Оценка совпала с безусловной:

Е (vt\Ft = f) = 0 (1 - .

• Гауссовское распределение.

Р(0, /, v) = const ■ e~m2f25(v).

В этой ситуации преобразование Фурье P(t, /¿,£) от функции совместной плотности распределения как решение уравнения Фоккера-Планка-Колмогорова приняло вид

0.3.5)

2-yfl 4X4 cosh [ - s/k2fj,(ii — г) + 72 — i arctan

2 y^Jk2^!! — i) + 72

Видно, что О экспоненциально убывает по поэтому можно применить формулу (0.3.4) и получить после преобразований следующее интегральное представление:

Е ОДЯ = /) = 270 ^ \ -—^-, (0.3.6) где

-M2+iM(4/-4ta-l) / ^(Д) 2 "Р" cosh (|ад) ад + 27 sinh (f/i(/z)) J ад = VfcW+W

• Степенное распределение. р(0, /, v) = const ■ (1 + m2/2)9 ОД, m > 0, g < 0.

Точная формула для преобразования фурье Р(£, д, £) может быть найдена для q = — —п, п € N. Во всех таких случаях P(i, /i, £) убывает при \fi\ -> оо достаточно быстро и поэтому можно применить формулу (0.3.4) для вычисления Е (Vt\Ft = /).

Например, для q — — 1 разница с (0.3.5) заключена лишь во множителе его следует заменить на е~™ — е™^ Н {¡i) + е™, где Н — функция Хевисайда.

В конце третьей главы даются графики с численными расчетами по полученным формулам, а также асимптотическое приближение при малых временах. Оказывается, что в модели Хестона рассмотрение средней волатильности как функции доходности позволяет наблюдать эффект "улыбки волатильности", который отличается от "улыбки" для случая стандартной опционной модели на графике зависимости волатильности от цены исполнения.

Этот эффект проявляется при численном нахождении обоих интегралов в (0.3.6) при помощи стандартных алгоритмов.

Также при разложении искомой функции при малых временах, например, в случае гауссовского начального распределения получается, что

E(Vt\Ft = /) = - 7t)m4k2f2 - 0 am2t + i (1 - 7t)) t370m2A:2/+ i (71 - (1 - a t)) в 7£3m2fc2 + 7 в t - i 720 t2 + i 730 i3 - ^ 740t4 + 0(t5) l) Z U Zt: г 4 тп?" a t¿4-1 с минимумом в точке j = , при t > 0.

В качестве практического применения рассмотренной методики оценки волатильности предлагается ввести новый показатель рейтинга компании. В виде примера такого показателя можно взять R(t, /) = f/E(Vt\Ft = /), где Е (Vt\Ft = /) вычисляется по формуле (0.3.6). Рейтинг компании растет вместе с увеличением доходности ее акций и убыванием их волатильности. Оказывается, что при некотором значении доходности рейтинг максимален и уменьшается при дальнейшем росте доходности. Этот эффект наиболее заметен в случае гауссовского начального распределения доходности.

В четвертой главе предлагается с помощью введения понятия опциона в недропользовании решить прикладную задачу определения величины стартового платежа за право пользования участком недр. Проблема определения размера бонуса имеет важное значение для инвестора и государства в случае со слабо изученным месторождением, ввиду высокой неопределенности объема разведанных запасов, цены сырья, а также в силу долгосрочное™ инвестиционных проектов в недропользовании.

Опцион в недропользовании — это лицензионный договор, дающий право купившему его инвестору на изучение и освоение недр в пределах некоторого участка и согласованного периода времени. Необходимо пояснить введенное понятие. Государство выставляет на тендер по проведению геологоразведочных работ (ГРР) некоторый участок недр, инвестор выдвигает справедливую, на его взгляд, сумму за право пользования недрами этого участка. Задача определения предельного значения этой суммы в той или иной степени решается в данной главе. Справедливую цену опциона в недропользовании будем считать равной сумме, установленной инвестором для участия в тендере.

Справедливую цену опциона в недропользовании предлагается считать равной сумме, установленной инвестором для участия в тендере. Основные параметры опциона в недропользовании:

• срок истечения опциона Т — время выполнения ГРР;

• цена исполнения X - затраты на проведение ГРР;

• актив S(t) — ЧДД (NPV) в текущий момент времени t.

Обозначения: г — ставка дисконтирования; v(t) — объем разведанных запасов к моменту времени t G [0,Т]; c{t) — рыночная цена сырья в момент времени t\ N срок от начала эксплуатации и до окончания освоения участка; di — доля от объема, добываемая в г-й период; zi — эксплуатационные затраты в г-й период; к{ капитальные затраты в г-й период; щ, — налоговые коэффициенты.

Мы считаем, что стоимость актива выражается такой формулой:

0.3.7) в которой ¿^{1)с{1)п\ соответствует притоку денежных средств в г-й период, а ¿¿^(й) и к{ — оттоку денежных средств в г-й период.

Основными источниками неопределенности считаются объем у{Ь) и цена сырья c(¿). Объем моделируется из соображений наличия тренда и "разумного характера" разброса как геометрическое броуновское движение: где постоянные д, а > 0, а > 0 — винеровский случайный процесс.

Стоимость сырья моделируется дискретным образом. А именно, пусть г — 1. N — независимые стандартные нормальные случайные величины. Положим, что цена сырья с* в г-й период времени вычисляется по формуле: где со — стоимость сырья в начальный момент времени; — параметр разброса цены на сырье.

При таком способе определения стоимости сырья формула (0.3.7), выражающая величину актива, перепишется в виде: сЦг) = + = ау(£) - 6, где и+т а = п2 У^ г=Т+1

В силу того, что величины а и Ь не зависят от параметра времени заключаем, что закон изменения размера актива аналогичен закону изменения разведанного объема полезных ископаемых. Более точное соотношение имеет вид:

Значит, можно применить формулу Блэка-Шоулса и получить искомую рациональную цену опциона: где г\ — безрисковая процентная ставка.

Численные расчеты по формуле (0.3.8) дали величины бонусов несколько выше, чем получено по результатам традиционного детерминированного метода дисконтированных денежных потоков в силу учета неопределенности в объемах запасов и цен на сырье. При 15%-м уровне доходности — 333 млн. дол. против 260 и при 20%-м уровне доходности — 164 млн. дол. против 97.

Автор выражает благодарность своему научному руководителю доценту Розановой О.С. за помощь, оказанную при работе над диссертацией.

0.3.8)

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Мартынов, Михаил Александрович

Заключение

В диссертации в явном виде построена стратегия, хеджирующая платежное обязательство, которая является конструктивным доказательством арбитражное™ рынка с активами, зависящими от одинакового случайного фактора. Под платежным обязательством понимался европейский опцион на покупку одного из зависимых активов.

В случае степенного и гауссовского начального распределения доходности в интегральном виде получена оценка квадрата волатильности при фиксированной доходности в рамках модели Хестона . Для равномерного начального распределения доходности показано, что искомая оценка, рассматриваемая как условное математическое ожидание квадрата волатильности при фиксированной доходности, совпала с оценкой в виде безусловного математического ожидания.

На основе полученных оценок был сконструирован показатель рейтинга компании как отношение доходности к оценке квадрата волатильности. Расчеты выявили эффект достижения максимального значения рейтинга при некотором значении доходности и дальнейшее его снижение с ростом доходности в гауссовском случае.

Известный в финансовой математике эффект "улыбки волатильности" был выявлен на графике зависимости оценки квадрата волатильности от доходности. Полученные асимптотические формулы также подтвердили наличие эффекта "улыбки" во всех трех случаях начального распределения доходности.

• Путем сопоставления параметров доходности и волатильности с показателями стоимости проекта разработки месторождения и неопределенности в объемах добываемого сырья, был предложен способ оценки неопределенности в объемах сырья при известной информации о стоимости проекта.

• Задача определения предельного значения величины стартового платежа была решена с использованием метода "опционов в недропользовании". Также были проведены расчеты с реальными данными по месторождениям и установлены ряд преимуществ результатов в сравнении с найденными по существующим на данный момент методам. Для проведения дальнейших и неоднократных вычислений был разработан программный комплекс, прошедший успешную апробацию в головном научно-исследовательском институте ОАО Газпром.

Публикации автора по теме диссертации

Ml Мартынов М.А. "О построении арбитражной хеджирующей стратегии на рынке с активами, зависящими от одинакового случайного фактора" // Вестник МГУ. 2010, №6, с. 18-24.

М2 Мартынов М.А., Ампилов Ю.П. "Конструирование модели опциона в задаче определения величины стартового платежа за право пользования участком недр" // Минеральные ресурсы России. Экономика и управление. 2009, №2, с.49-53.

МЗ М. Martynov, О. Rozanova "On dependence of the implied volatility on returns for stochastic volatility models" 13 е., подано в печать, http://arxiv.org/abs/1009.5129.

M4 Мартынов М.А. "Об одной возможности арбитража на реальном рынке ценных бумаг" // Сборник трудов Международной миниконференции "Качественная теория дифференциальных уравнений и приложения". Москва, изд-во МЭСИ, 2010, с.107-118.

М5 Мартынов М.А. "О построении арбитражной хеджирующей стратегии на рынке с активами, зависящими от одинакового случайного фактора" // Труды 52-й научной конференции МФТИ "Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук". Управление и прикладная математика. 2009, с.46-48.

Мб Мартынов М.А., Розанова О.С. "О зависимости волатильности от доходности актива в рамках модели Хестона" //II международная школа-семинар "Нелинейный анализ и экстремальные задачи". Тезисы. Иркутск, 28 июня -4 июля 2010, с.51.

М7 Мартынов М.А., Розанова О.С. "О зависимости волатильности от доходности актива в рамках модели Хестона" // Тезисы конференции "Ломоносов-2010".

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Мартынов, Михаил Александрович, 2011 год

1. Ампилов, Ю. П.: От сейсмической интерпретации к моделированию и оценке месторождений нефти и газа. Геоинформмарк, СПЕКТР, 2008.

2. Björk, Т.: Arbitrage Theory in Continuous Time. Oxford University Press, 2003.

3. Бутузов, В. Ф. и А. Б. Васильева: Асимптотические методы в теории сингулярных возмущений. Высш. школа, Москва, 1990.

4. Бутузов, В. Ф., С. А. Кряжимский, и И. В. Неделько: О глобальной области влияния устойчивых контрастных структур типа ступеньки в задаче Дирихле. Журнал вычислительной математики и математической физики, 44(6):1039-1061, 2004.

5. Black, F. and M. Scholes: The pricing of options and corporate liabilities. Journal of Political Economy, 81:659-683, 1973.

6. Merton, R. C.: The Theory of Rational Option Pricing. Bell Journal of Economics and Management Science, 4:141-183, 1973.

7. Михайлов, А. П.: Моделирование системы "власть-общество". ФИЗМАТ-ЛИТ, Москва, 2006.

8. Duffy, D. J.: Finite difference methods in financial engineering. A partial differential equation approach. John Wiley & Sons Ltd, England, 2006.

9. Самарский, А. А.: Введение в теорию разностных схем. Главная редакция физ.-мат. лит., Москва, 1971.

10. Шведов, А. С.: Применение метода конечных разностей для оценки финансовых инструментов. Экономический журнал ВШЭ, (2): 193-216, 2002.

11. Ампилов, Ю. П. и А. А. Герт: Экономическая геология. Геоинформмарк, Москва, 2004.

12. Филатов, С. А.: Методические рекомендации по определению рыночной стоимости (оценке) геологической информации. http://profvaluer.ru/content/view/76/100/, 2007.

13. Ампилов, Ю. П. и М. А. Мартынов: Конструирование модели опциона для оценки величины стартового платежа за право пользования участком недр. Минеральные ресурсы России. Экономика и управление, (2):49-53, 2009.

14. Heston, S. L.: A Closed-Form Solution for Options with Stochastic Volatility with Applications to Bond and Currency Options. The Review of Financial Studies, 6(2):327-343, 1993.

15. Stein, E.M. and J.C. Stein: Stock price distributions with stochastic volatility: An analytic approach. Rev. Finan. Stud., 4:727, 1991.

16. Schoobel, R. and Zhu J.: Stochastic volatility with an ornstein uhlenbeck process: An extension. Europ. Finance Rev., 4:23-46, 1999.

17. Hull, J. and A. White: The pricing of options on asset with stochastic volatilities. J. Finance, 42:281, 1987.

18. Scott, L.: Option pricing when the variance changes randomly: Theory, estimators and applications. J. Finan. Quant. Anal., 22:419, 1987.

19. Miccich'e, S., G. Bonanno, F. Lillo, and R. N. Mantegna: Volatility in financial markets: Stochastic models and empirical results. Physica A, 314:756, 2002.

20. Mitra, S.: Eprint: A review of volatility and option pricing. http: //arxiv.org/0904.1392.

21. Fouque, J. P., G. Papanicolaou, and K. R. Sircar: Derivatives in Financial Markets with Stochastic Volatility. Cambridge University Press, Cambridge, 2000.

22. Dragulescu, A. A. and V. M. Yakovenko: Probability distribution of returns in the heston model with stochastic volatility. Quantitative Finance, 2(443), 2002.

23. Risken, H.: The Fokker-Planck Equation. Methods of Solution and Applications. Springer, NY, 1989.

24. Chorin, A. J. and О. H. Hald: Stochastic Tools in Mathematics and Science. Springer, NY, 2006.

25. Камбарбаева, Г.С.: О некоторых явных формулах для вычисления условных математических ожиданий случайных величин и их применениях. Вестник МГУ, 2010.

26. Albeverio, S. and O. Rozanova: The non-viscous burgers equation associated with random positions in coordinate space: a threshold for blow up behavior. Mathematical Models and Methods in Applied Sciences, 19(5): 1-19, 2009.

27. Albeverio, S. and O. Rozanova: Suppression of unbounded gradients in a sde associated with the burgers equation. Amer. Math. Soc., 138(1):241-251, 2010.

28. Albeverio, S., A. Korshunova, and O. Rozanova: Probabilistic model associated with the pressureless gas dynamics. E-print arXiv:0908.2084, 2010.

29. Feller, W.: Two singular diffusion problems. Annals of Mathematics, 54:173-182, 1951.

30. Derman, E. and I. Kani: Stochastic implied trees: Arbitrage pricing with stochastic term and strike structure of volatility. Int. J. Theor. Appl. Finance, 1(1):61-110, 1998.

31. Gulisashvili, A. and E. M. Stein: Asymptotic behavior of the stock price distribution density and implied volatility in stochastic volatility models. Mathematical Finance, 30:447-477, 2010.

32. Gulisashvili, A. and E. M. Stein: Asymptotic behavior of the distribution of the stock price in models with stochastic volatility: the hull-white model. C. R. Acad Sci. Paris, 343:519-523, 2006.

33. Оксендаль, Б.: Введение в стохастические дифференциальные уравнения и приложения. Мир, Москва, 2003.

34. Ампилов, Ю. П.: Стоимостная оценка недр. Геоинформмарк, Москва, 2004.

35. Ампилов, Ю. П., И. А. Зюзина, и Никитин П. Б.: Принципы расчета экономически допустимых для инвестора значений разовых платежей за право пользования недрами. Вестник ТЭК: правовые вопросы, (4), 2004.

36. Ампилов, Ю. П.: Методы геолого-экономического моделирования ресурсов и запасов нефти и газа с учетом неопределенности и риска. Геоинформмарк, Москва, 2002.

37. Бисеров, Ю. Н. и Д. В. Реут: Инструмент реальных (управленческих) опционов в контроллинге проекта, http://odn2.ru/bibliot/instreal.html, 2007.

38. Бухвалов, А. В.: Реальны ли реальные опционы. Российский журнал менеджмента, 4(3):77-84, 2006.

39. Козырев, А. Н.: Использование реальных опционов в инновационных проектах. Доклад на Общем собрании Отделения общественных наук РАН, 2005.

40. Кочетков, А. В.: Аспекты использования ИРУ как модели доходного подхода к оценке. Альтернативный метод. Экономические стратегии, (7): 152-157, 2006.

41. Лашхия, В. Ю.: Оценка деловой репутации компании методом опционов. Финансовая газета, (18), 2001.42. 'Лашхия, В. Ю.: Применение теории опционов для оценки стоимости бизнеса. Бизнес и банки, (8), 2001.

42. Ткач, А. А. и И. Л. Цуканов: Рыночная оценка размера разового платежа за право пользования недрами. Аналитические материалы, 2005.

43. Филатов, С. А.: Оценка рыночной стоимости геологической информации по участку нераспределенного фонда недр. Вестник недропользователя ХМ АО, (17), 2007.

44. Шведов, А. С.: О математических методах, используемых при работе с опционами. Экономический журнал ВШЭ, (3):385-409, 1998.