Алгоритмы и программное обеспечение оценивания параметров волатильности и прогнозирования стоимости финансовых инструментов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат технических наук Истигечева, Елена Валентиновна

• Истигечева, Елена Валентиновна
• кандидат технических наук
• 2007

Оглавление диссертации кандидат технических наук Истигечева, Елена Валентиновна

Условные сокращения.

Введение.

Глава 1. Математические модели описания финансовых временных рядов.

1.1. Методы анализа финансовых рынков.

1.2. Особенности моделей стоимости финансовых инструментов.

1.3. Линейные стохастические гауссовские модели.

1.4. Нелинейные стохастические условно-гауссовские модели.

1.4.1. ARCH - модель.

1.4.2. GARCH - модель.

1.4.3. EGARCH - модель.

1.4.4. Другие одномерные параметризации.

1.4.5. Модель стохастической волатильности.

1.4.6. Многомерные модели волатильности.

1.5. Непараметрические модели.

1.5.1 Историческое моделирование.

I 1.5.2 Непараметрическое моделирование волатильности.

Выводы.

Глава 2. Оценивание параметров волатильности.

2.1. Понятие волатильности.

2.2. Алгоритмы оценивания параметров волатильности.

2.2.1. Оценивание параметров волатильности на основе обобщенной авторегрессионной модели условной гетероскедастичности.

2.2.2. Оценивание параметров волатильности на основе модели стохастической волатильности.

2.2.3. Фильтр Калмана - Бьюси.

2.3. Программная реализация алгоритма оценивания параметров волатильности.

Выводы.

Глава 3. Идентификация распределения доходностей финансовых инструментов.

3.1. Постановка задачи идентификации.

3.2. Семейство гиперболических распределений.

3.2.1. Обобщенное гиперболическое распределение.

3.2.2. Нормальное обратно-гауссовское распределение.

3.2.3 Гиперболическое распределение.

Глава 4. Прогнозирование стоимости финансовых инструментов.

4.1 Доходность финансовых инструментов.

4.2 Статистические характеристики доходностей.

4.3. Оценивание параметров волатильности.

4.4. Идентификация функции распределения доходностей.

4.5. Прогнозирование стоимости финансовых инструментов.

4.6. Комплекс программ прогнозирования стоимости финансовых инструметов.

Выводы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Алгоритмы и программное обеспечение оценивания параметров волатильности и прогнозирования стоимости финансовых инструментов»

Актуальность темы исследования. Научный интерес к математическому моделированию в теории финансов обусловлен революционными преобразованиями финансового рынка - изменением его структуры, возрастанием вола-тилъности (изменчивости) в ценах, появлением новых финансовых инструментов, использованием современных информационных технологий для анализа цен, что предъявляет к финансовой теории соответственно новые требования и ставит новые проблемы, для решения которых необходимо проведение глубоких научных исследований в области математического моделирования финансовых процессов. Будучи большой и сложной системой с огромным количеством переменных, различных факторов и связей, финансовые рынки требуют для своего анализа достаточно сложных математических методов, методов статистической обработки данных, численных методов и компьютерных средств.

Важнейшим направлением исследований является моделирование динамики доходности фондового и валютного рынков. Долгое время было принято считать, что доходность финансового рынка следует процессу "случайного блуждания" и, следовательно, является величиной непредсказуемой [24]. Эта точка зрения полностью соответствовала гипотезе эффективного рынка, постулирующей, что вся информация о рынке включена в текущую цену актива. В этом случае цены должны совпадать со своими фундаментальными значениями, любые отклонения от которых связаны с процессом поступления новостей на рынок, носящим случайный характер.

Однако, в последнее время ставится под сомнение адекватность этой гипотезы реалиям финансового рынка. Большинство современных исследований показали, что величина доходности не подчиняется закону «случайного блуждания», и, следовательно, является предсказуемой [2-5].

Другим важнейшим направлением финансового моделирования является исследование динамики волатилъности рынков [3], показавшее изменчивость этой характеристики во времени, тогда как ранее предполагалось, что волатильность является постоянной величиной. Целью моделирования волатильно-сти является построение ее прогноза и изучение различных аспектов рыночной доходности. Подобные прогнозы применяются в таких областях финансовой деятельности, как риск - менеджмент [4], оценка стоимости финансовых инструментов [5], определение структуры портфеля ценных бумаг [6], выбор оптимального времени для осуществления операций на рынке [7] и т.д. В каждом из а этих случаев немаловажным оказывается построение оценки волатильности, ожидаемой в будущем.

Оба указанных выше направления исследований продолжают развиваться, опираясь на новейшие разработки в области эконометрики. Стремление «подобрать» модель, наиболее точно соответствующую реальному поведению финансовых рынков, и повысить качество строящихся прогнозов ведет к появлению, как новых классов моделей, так и модификаций уже существующих.

Таким образом, построение и исследование математических моделей, адекватно описывающих динамику таких финансовых инструментов как акции, облигации, опционы, котировки валют и др., в настоящее время является актуальным направлением финансовой математики. В связи с чем, становится необходимым изучение статистических характеристик и особенностей структуры финансовых временных рядов, вычисление параметров моделей, описывающих эволюцию финансовых инструментов и определение вида распределения стохастического процесса, лежащего в основе рыночных флуктуаций.

Актуальность перечисленных проблем предопределила выбор темы диссертационной работы.

Современное состояние проблемы. Основные вопросы, связанные с разработкой моделей и построением алгоритмов оценки и прогнозирования стоимости финансовых инструментов рассмотрены в работах таких зарубежных специалистов как: Engle R.F. [62-77], Bollerslev Т. [50-57], Nelson D.B. [97101], Fama E. [76], Mandelbrot B. [94], Shephard N. [31], Taylor S.J. [109], Barndorff-Nielsen O.E. [44-46], Andersen T. [37-43] и др.

В российской науке наиболее значительный вклад в исследование указанных проблем внесли Ширяев А.Н. и группа ученых, работающих под его руководством в математическом институте им. В.А.Стеклова [25,30,34-36], отдельными задачами занимаются такие ученые как Суслов В.И., Ибрагимов Н.М., Талышева Л.П., Цыплаков А.А. [26], Терпугов А.Ф. [27,28], Медведев Г.А. [22] и др.

Актуальность проблем оценивания волатильности и прогнозирования стоимости финансовых инструментов привлекает к этой области исследования все большее количество ученых, которые пытаются ее решить, используя как традиционные, так и новые подходы: вейвлет- анализ [65], фрактальный анализ [66], нейросетевое программирование [67], спектральный анализ [68].

Однако, наибольший интерес сосредоточен вокруг моделей из семейства стохастических условно-гауссовских моделей (ARCH-Autoregressive Conditional Heteroscedasticity), многообразие которых, позволяет учесть особенности финансовых временных рядов независимо от их происхождения и дает достаточную точность прогноза без субъективной интерпретации входных данных, поступающих с торгового терминала.

В этой области традиционно исследования ведутся в двух самостоятель-to ных направлениях, первое из которых характеризуется разработкой адекватных моделей функции волатильности с последующей оценкой ее параметров, а второе - разработкой алгоритмов идентификации функции распределения доход-ностей финансовых инструментов.

В связи с чем, оказываются необходимыми дальнейшие исследования, связанные с разработкой алгоритмов, сочетающих в себе и первое, и второе направления.

Таким образом, приведенные аргументы обусловили цели и задачи диссертационного исследования.

Целью работы является выявление и формализованное описание эмпири-* ческих закономерностей финансовых временных рядов, разработка алгоритмов и комплекса программ оценивания параметров функциональной и стохастической волатильности и прогнозирования стоимости финансовых инструментов.

Для достижения поставленной цели потребовалось решить следующие задачи:

1. Выявить и проанализировать особенности структуры и динамики финансовых временных рядов.

2. Разработать алгоритм оценивания параметров волатильности на основе обобщенной авторегрессионной модели условной гетероскедастич-ности.

3. Разработать алгоритм оценивания параметров волатильности на основе модели стохастической волатильности.

4. Разработать алгоритм идентификации функции распределения доход-ностей финансовых активов.

5. Разработать комплекс программ, реализующий алгоритмы оценивания параметров волатильности, идентификации функции распределения доходностей и прогнозирования стоимости финансовых инструментов.

6. Апробировать комплекс программ прогнозирования на основе реальных данных, поступающих с торгового терминала.

Объектом исследования являются реальные финансовые временные ряды на примерах обменных курсов ряда валют: швейцарский франк (CHF), английский фунт стерлингов (GBR), японская иена (YEN), канадский доллар (CAD), единая европейская валюта (EUR) к доллару США (USD) за период со 2 января 1997г. по 29.12.2006г. (около 2600 наблюдений для каждого ряда).

Предметом исследования являются: математические модели волатильности финансовых временных рядов, алгоритмы оценивания параметров волатильности, алгоритмы прогнозирования стоимости финансовых инструментов с учетом влияния вида функции распределения доходностей.

На защиту выносятся следующие результаты: 1. Алгоритм оценивания параметров волатильности на основе обобщенной авторегрессионной модели условной гетероскедастичности с заданным лагом.

2. Алгоритм идентификации функции распределения доходностей финансовых инструментов.

3. Результаты прогнозирования стоимости финансовых инструментов с использованием нормального обратно - гауссовского распределения.

Научная новизна результатов исследования состоит в следующем:

1. Разработан новый алгоритм оценивания параметров волатильности, отличительной особенностью которого является использование лага фиксированной длины. Кроме того, в отличие от известных методов оценивания, в данном алгоритме не требуется информация о функции распределения доходностей финансовых инструментов.

2. Разработан алгоритм оценивания параметров стохастической волатильности с использованием метода последовательного анализа и фильтра Калмана - Бьюси.

3. Впервые исследована возможность использования нормального обратно -гауссовского распределения для прогнозирования стоимости финансовых инструментов на примере обменных курсов валют.

Методология и методы исследования. Теоретическую и методологиче-Ш скую основу диссертационной работы составляют труды отечественных и зарубежных ученых - специалистов в области построения и анализа моделей, описывающих динамику финансовых временных рядов.

Диссертационная работа основана на использовании методов анализа временных рядов, имитационного моделирования, математической статистики, последовательного анализа, а также численных методов.

Программное обеспечение реализовано в среде программирования Borland Delphi 7.0, проверка конкретных расчетов осуществлялась в среде MathCad 12 и в системе автоматизации математических вычислений «Макрокалькулятор».

Практическая значимость. Разработан комплекс программ для оценива-^ ния параметров функциональной и стохастической волатильности, идентификации функции распределения доходностей и прогнозирования стоимости финансовых инструментов.

Разработанные в диссертации алгоритмы оценки и прогноза и их программные реализации используются для оценивания и прогнозирования реальной ситуации на финансовом рынке, для решения задач доверительного управления капиталом, для прогнозирования стоимости финансовых инструментов.

Личный вклад автора. Постановка задач исследования выполнена совместно с научным руководителем А.А. Мицелем. Проведение обзорных и теоретических исследований, разработка алгоритмов оценивания и прогнозирования, проведение экспериментальных исследований и создание комплекса программ осуществлены автором лично.

Апробация работы. Основные теоретические результаты и законченные этапы диссертационной работы, а также результаты прикладных исследований и разработок докладывались и обсуждались на следующих семинарах и конференциях:

XII международная научно - практическая конференция студентов, аспирантов и молодых ученых «Современные техника и технологии» (Томск, 27-31 марта 2006г.);

Научная сессия ТУ СУР (Томск, 3-7 мая 2006 г.) секция «Математическое моделирование в технике, экономике и менеджменте»;

Научная сессия ТУСУР (Томск, 3-7 мая 2006 г.) секция «Автоматизация управления в технике и образовании»;

XIII международная научно - практическая конференция студентов, аспирантов и молодых ученых «Современные техника и технологии» (Томск, 2-5 апреля 2007 г.);

Научная сессия ТУСУР (Томск, 4-7 мая 2007 г.) секция «Математическое моделирование в технике, экономике и менеджменте»;

Научная сессия ТУСУР (Томск, 4-7 мая 2007 г.) секция «Автоматизация управления в технике и образовании»; научный семинар кафедры ТОЭ ТУСУР (2006 - 2007 г.г.); научный семинар кафедры АСУ ТУСУР (2005 - 2007 г.г.);

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 14 научных публикациях, в числе которых публикации в журналах, рекомендованных ВАК - 2, научных и научно-технических сборниках - 3 , трудах Всероссийских и Международных конференций - 6, учебном пособии - 1, в отраслевом фонде алгоритмов и программ - 2.

Результаты работы внедрены:

- в финансовой компании «БрокерКредитСервис»;

- в консалтинговой компании «Томск-Телетрейд»;

- в учебном процессе Томского государственного университета систем управления и радиоэлектроники (ТУСУР);

Достоверность результатов работы подтверждается исходными теоретическими, методологическими и практическими данными исследований, апробацией результатов и успешным внедрением в финансовых компаниях, осуществляющих работу на валютном и фондовом рынках.

Структура работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы, приложений и содержит 140 страниц основного текста, 19 рисунков, 7 приложений, 112 использованных источников, в том числе 76 зарубежных.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Истигечева, Елена Валентиновна

Выводы

В результате выполненной работы, можно сделать следующие выводы по четвертой главе.

1. Выполнено исследование статистических характеристик финансовых временных рядов, которое подтверждает отсутствие свойств нормальности (куртозис превышает величину характерную для нормального распределения

3).

2. Получены оценки параметров волатильности на основе GARCH - модели с различными временными лагами. Наилучшим, с точки зрения прогнозирования волатильности, является лаг к = 5, обеспечивающий относительную погрешность оценок параметров в заданных пределах.

3. Получены оценки параметров волатильности на основе модели стохастической волатильности.

4. Проведена идентификации функции распределения доходностей финансовых инструментов. Наилучшим распределением, обеспечивающим минимальное среднеквадратическое отклонение от истинных значений, является нормальное обратно - гауссовское распределение.

5. Выполнено имитационное моделирование исследуемых временных рядов на основе модели GARCH(1,1) и модели стохастической волатильности с использованием полученных оценок параметров волатильности для ряда известных распределений (нормального, Стьюдента, Лапласа, гиперболического и нормального обратно - гауссовского).

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Задачи оценивания, моделирования и прогнозирования поведения систем, относящихся к области экономики и эконометрики в частности, давно обсуждаются на междисциплинарном уровне. Исследователи все чаще пытаются применить методы из областей физики и математики для изучения динамических характеристик финансовых инструментов. Броуновское движение, преобразование Фурье, вейвлет-анализ, теория хаоса, фракталы, нейросетевое программирование, инструменты Ганна, золотое сечение и числа Фибоначчи, волны Эллиотта, линии тренда, линии поддержки и сопротивления, технические индикаторы - далеко не полный набор инструментария любого трейдера.

Однако при этом игнорируется тот факт, что применяемые методы и изобретаемые алгоритмы становятся полезными только тогда, когда они ориентированы на понимание динамики ценового движения. Вопрос, ответ на который ищет каждый практический участник финансового рынка, гласит: что может влиять на предсказуемость ценового движения? Модель, шум? Если шум, то как от него избавиться, модель - на основе чего?

Известные технические индикаторы, алгоритмы и их программные реализации, ориентированы в большинстве своем на решение частных задач и характеризуются наличием субъективных факторов.

В связи с этим нельзя создать универсальный алгоритм, совмещающий в себе оценивание, моделирование и прогнозирование стоимости финансовых инструментов, используя который можно было бы без участия субъективных факторов предсказать с достаточной точностью цену выбранных финансовых инструментов на следующий день, месяц или год, не требуя при этом никаких данных кроме прошлых значений цен.

Применение на практике предложенных в диссертации новых алгоритмов и программных комплексов «Volatility» и «Predict» позволяет повысить оперативность и адекватность вычислений, направленных на повышение точности предсказания движения финансовых инструментов в опережающем масштабе времени.

Таким образом, в диссертации решена актуальная научно-практическая задача, связанная с разработкой алгоритмов и комплексов программ прогнозирования доходностей финансовых инструментов.

В целом, по выполненному в диссертации исследованию получены слеЧ дующие результаты:

1. Проведен обзор моделей финансовых временных рядов, отмечены их преимущества и недостатки.

2. Исследованы закономерности, существующие на финансовом рынке, которые учтены при выборе моделей.

3. Исследованы статистические характеристики временных рядов и описаны их особенности.

4. Осуществлена проверка статистических гипотез на стационарность и нормальность изучаемых временных рядов.

5. Разработан алгоритм оценивания параметров волатильности на основе обобщенной авторегрессионной модели условной гетероскедастичности с за данным лагом.

6. Согласно предложенному алгоритму вычислены оценки параметров волатильности и значения относительной погрешности для различных лагов. На основании полученных результатов выбран оптимальный лаг, обеспечивающий наилучшие оценки параметров модели.

7. Разработан алгоритм оценивания параметров стохастической волатильности с использованием метода последовательного анализа и фильтра Калмана - Бьюси.

8. Произведена идентификация функции распределения доходностей финансовых инструментов. Показано, что наилучшим распределением доход ностей с точки зрения прогноза стоимости финансовых инструментов является нормальное обратно - гауссовское распределение.

9. Осуществлено имитационное моделирование исследуемых временных рядов на основе модели GARCH(1,1) с нормальным распределением, распределением Стьюдента, Лапласа, гиперболического и нормального обратно - гауссовского распределения, а также модели стохастической волатильности.

10. Разработан комплекс программ прогнозирования стоимости финансовых инструментов «Predict».

11. Осуществлена апробация комплекса программ «Predict» на реальных данных в финансовой компании «БрокерКредитСервис» и в консалтинговой компании «Томск-Телетрейд», о чем получены соответствующие акты.

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Истигечева, Елена Валентиновна, 2007 год

1. Айвазян С.А., Мхитарян B.C. Прикладная статистика и основы эконометрики. М.: ЮНИТИ, 1998. - 1022 с.

2. Истигечева Е.В., Мицель А.А. Гарантированное оценивание параметров функциональной волатильности // Информационные системы: Тр. постоянно действующего научно-практического семинара. Томск, 2006. -Вып. 4.-С. 154- 158.

3. Истигечева Е.В. Гарантированное оценивание параметров стохастиче -ской волатильности // Научная сессия ТУ СУР 2006: Матер, докладов Всеросс. научно-техн. конф. студентов, аспирантов и молодых ученых. - Томск, 2006. - Т. 5. - С. 219 - 221.

4. Истигечева Е.В., Мицель А.А. Модели с авторегрессионной условной гетероскедастичнсостью // Доклады Томского государственного университета систем управления и радиоэлектроники. Томск, 2006. - Т. 5. -С. 15-21.

5. Истигечева Е.В., Мицель А.А. Оценивание параметров волатильности // Доклады Томского государственного университета систем управления и радиоэлектроники. Томск, 2006. - Т. 5. - С. 22 - 28.

6. Истигечева Е.В., Мицель А.А. Оценивание параметров гиперболического и обратного гауссовского распределений // Известия 11IV Томск, 2006.-Т. 6.-С. 11-13.

7. Истигечева Е.В. Прогнозирование изменений котировок финансовых инструментов на основе модели стохастической волатильности // Известия ТПУ Томск, 2006. - Т. 7. - С. 117 - 120.

8. Кардаш В.А. О нелинейности и стохастичности экономической динамики // Обозрение прикладной и промышленной математики, 2006. Т. 13. -Вып. 2.-С. 193 -209.

9. Крицкий О.JI. Прогнозирование волатильности рисковых активов методом обобщенной авторегрессионной условной неоднородности GARCH(1,1) // Моделирование неравновесных систем. Красноярск: издательство ИПЦ КГТУ, 2005. С. 99 -106.

10. Лоскутов А.Ю., Бредихин А.А. К проблеме описания финансовых временных рядов. III. ARCH-модели на финансовом рынке России // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2004. - Т. 11. — Вып.З. -С.1 -12.

11. Малюгин В.И. Рынок ценных бумаг: Количественные методы анализа. -М.: Дело, 2003. 320 с.

12. Мельников А.В. О стохастическом анализе в современной математике финансов и страхования // Обозрение прикладной и промышленной математики, 1995. Т. 2. - Вып.4. - С. 1-12.

13. Медведев Г. А. Математические основы финансовой экономики. Часть1. Минск: Электронная книга БГУ, 2003. - 287 е., часть 2. - 294с.

14. Мицель А.С., Истигечева Е.В., Бобенко А.В. Программный комплекс прогнозирования стоимости финансовых инструментов // Регистрация программного комплекса «Predict» в ОФАП. Свидетельство об отраслевой регистрации разработок № 8165 от 24 апреля 2007г.

15. Перцовский О.Е. Моделирование валютных рынков на основе процессов с длинной памятью. М.: ГУ ВШЭ, 2003. - 52 с.

16. Селезнева Т.В., Тутубалин В.Н., Угер Е.Г. Исследование прикладных возможностей некоторых моделей стохастической финансовой математики //Обозрение прикладной и промышленной математики, 2000. Т. 7.-Вып. 2.-С.210-238.

17. Суслов В.И., Ибрагимов Н.М., Талышева Л.П., Цыплаков А.А. Эконометрия: Учебник. Новосибирск, Изд-во СО РАН, 2005. - 744 с.

18. Терпугов А. Ф. Экономико-математические модели: Учебное пособие. -Томск: ТГПУ, 1999. 118 с.

19. Терпугов А. Ф. Математика рынка ценных бумаг. Томск, Изд-во НТЛ,2004.-164 с.

20. Тихомиров Н.П., Дорохииа Е.Ю. Эконометрика. М.: Изд.-во Рос. экон. акад., 2002.-640 с.

21. Тутубалин В.Н. Сопоставление с реальными данными некоторых моделей и результатов стохастической финансовой математики // Тр. матем. инст. им. В.А.Стеклова, 2002. Т. 237. - С.302 - 319.

22. Шепард Н. Статистические аспекты моделей типа ARCH и стохастическая волатильность/Юбозрение прикладной и промышленной математики, 1996. Т.З. - Вып.6 - С.764 - 826.

23. Щетинин Е.Ю. Анализ эффективности бизнеса в условиях высокой изменчивости его финансовых активов//Финансы и кредит, 2006. Т. 14. -С. 37-42.

24. Ширяев А. Н. Вероятностно-статистические модели эволюции финансовых индексов // Обозрение прикладной и промышленной математики, 1995. Т. 2. - Вып.4. - С.527 - 555.

25. Ширяев А. Н. Стохастические проблемы финансовой математики // Обозрение прикладной и промышленной математики, 1994. Т.1. -Вып.5. -С.1 -39.

26. Ширяев А.Н. О некоторых понятиях и стохастических моделях финансовой математики // Теория вероятностей и ее применение, 1994. Т.39. -Вып.1. -С.5 -22.

27. Ширяев А.Н. Основы стохастической финансовой математики. Т.1. -Факты. Модели. -М.: Фазис, 1998. - 512 с.

28. Andersen Т. Return volatility and trading volume: An information flow interpretation of stochastic volatility // J. Finance, 1996. V.51. - P. 169 - 204.

29. Andersen Т., Bollerslev T. Answering the skeptics: yes, standard volatility models do provide accurate forecasts // Int. Economic Rev., 1998. V.39. -P. 885-905.

30. Andersen Т., Bollerslev Т. DM-Dollar volatility: intra-day activity patterns, macroeconomic announcements, and longer-run dependencies // J. Finance, 1998.-V.53.-P.219-265.

31. Andersen, Т., Bollerslev Т., Diebold F.X., Ebens H. The Distribution of Realized Stock Return Volatility // J. Financial Economics, 2001. V.61. - P. 43-76.

32. Andersen Т., Bollerslev Т., Diebold F.X., Labys P. Exchange Rate Returns Standardized by Realized Volatility are (Nearly) Gaussian // Multinational Finance J., 2000. V.4. - P. 159 - 179.

33. Andersen Т., Bollerslev Т., Diebold F.X., Labys P. The Distribution of Exchange Rate Volatility // J. Amer. Statist. Assoc., 2001. V. 96. - P.42- 55.

34. Andersson J. On the Normal Inverse Gaussian Stochastic Volatility Model // J. Business and Economic Statistics, 2001. 19. - P. 44 - 54.

35. Barndorff-Nielsen O.E. Hyperbolic distributions and distributions on hyperbolae // Scandinavian J. Statistics, 1978. V.5. - P. 151 - 157.

36. Barndorff-Nielsen O.E. Normal Inverse Gaussian Distributions and Stochastic Volatility Modelling // Scandinavian J. Statistics, 1997. V. 24. - P. 1 -13.

37. Barndorff-Nielsen O.E., Shephard N. Econometric analysis of realized volatility and its use in estimating stochastic volatility models // J. Royal Statist. Soc., Series B, 2001. V.63. -P.167-241.

38. Baillie R. Т., Bollerslev T. A multivariate generalized ARCH approach to modelling risk premium in forward foreign exchange rate markets // J. Int. Money and Finance, 1990. V. 9. - P.309 - 324.

39. Baillie R.T., Bollerslev T. Prediction in dynamic models with time-dependent conditional variances // J. Econometrics, 1992. -V. 52. P.91-113.

40. Bera A.K., Higgins M.L. On ARCH models: properties, estimation and testing. — In: Surveys in Econometrics / Ed. by L. Oxley, D. A. R, George, C. J. Roberts and S. Sayer. Oxford: Blackwell, 1995.

41. Bollerslev T. Generalised autoregressive conditional heteroscedasticity // J.

42. Econometrics, 1986. V.51. - P. 307 - 327.

43. Bollerslev T. A conditional heteroscedastic time series model for speculative prices and rates of return // Rev. Economics and Statistics, 1987. V.69. - P. 542-547.

44. Bollerslev T. Modelling the coherence in short-run nominal exchange rates: a multivariate generalized ARCH approach // Rev. Economics and Statistics, 1990.-V.72.-P.498-505.

45. Bollerslev Т., Chou R. Y., Kroner K. F. ARCH modeling in finance: A review of the theory and empirical evidence // J. Econometrics, 1992. V.52. -P. 5 -59.

46. Bollerslev Т., Engle R. F., Wooldridge J. M. A capital asset pricing model with time vaiying covariances // J. Political Economy, 1988. V. 96. - P. 116-131.

47. Bollerslev Т., Engle R.F. Common persistence in conditional variances // Econometrica, 1993. V.61. - P. 167-186.

48. Bollerslev Т., Mikkelsen H.O. Long-Term Equity Anticipation Securities and Stock Market Volatility Dynamics//! Econometrics, 1999. V.92. - P. 75 -99.

49. Bollerslev Т., Wooldridge J. M. Quasi maximum likelihood estimation and inference in dynamic models with time varying covariances // Econometric Rev., 1992. V.l 1. - P.143 - 172.

50. Brock W.t Lakonishok J., LeBaron B. Simple technical trading rules and the stochastic properties of stock returns // J. Finance, 1992. V.47. - P. 1731-1764.

51. Clark P.K. A subordinated stochastic process model with finite variance for speculative prices // Econometrica, 1973. V. 41. - P.135 - 155.

52. Danielsson J. Stochastic volatility in asset prices: estimation with simulated maximum likelihood // J. Econometrics, 1994. V. 61. - P. 375 - 400.

53. Ding Z., Granger C. W. J., Engle R. F. A long memory property of stock market returns and a new model // J. Empirical Finance, 1993. V.l. - P. 83

54. Engle R.F. Autoregressive conditional heteroscedasticity with estimates of the variance of the United Kingdom inflation // Econometrica, 1982. V.50. -P. 987-1008.

55. Engle R.F. ARCH. Oxford: Oxford Univ. Press, 1995.

56. Engle R.F., Bollerslev T. Modelling the persistence of conditional variances // Econometric Reviews, 1986. V.5. - P.l- 50; 81- 87.

57. Engle R.F., Gonzalez-Rivera G. Semiparametric ARCH models // J. Economics and Business Statist., 1991. V 9. - P.345 - 359.

58. Engle R.F., Hendry D.F., Trumble D. Small-sample properties of ARCH estimators and tests // Canadian J. Economics, 1985. V. 18. - P.66 - 93.

59. Engle R.F., Hong C.H. Arbitrage valuation of variance forecasts with simulated options //Adv. Futures and Options Research, 1993. V.6. - P.393 -415.

60. Engle R.F., Lilien D.M., Robins R.P. Estimating time-varying risk premium in the term structure: the ARCH-M model // Econometrica, 1987. V.55. -P. 391-407.

61. Engle R.F., Ng V.K., Rothschild M. Asset pricing with a factor ARCH co-variance structure: empirical estimates for Treasury bills // J. Econometrics, 1990.-V.45.-P.213-238.

62. Engle R.F., Granger C.W. Co-integration and Error Correction: Representation, Estimation and Testing // Econometrica, 1987. V.55. - P. 251-276.

63. Engle R.F., Kroner K.F. Multivariate simultaneous generalized ARCH // Econometric Theory, 1995. V.l 1. -P.122- 150.

64. Engle R.F., Mustafa C. Implied ARCH models for options prices // J. Econometrics, 1992. V. 52. - P. 289 - 311.

65. Engle R.F., Ng V.K. Measuring and testing the impact of news on volatility // J. Finance, 1993. V. 48. - P.1749 - 1778.

66. Engle R. F., Russel J.R. Autoregressive conditional duration: a new model for irregularly spaced transaction data//Econometrica, 1998. V. 66.1. P.l 127-1162.

67. Engle R.F., Yoo B.S. Forecasting and testing in cointegrated systems // J. Econometrics, 1987. V.5. - P. 143 - 159.

68. Fama E.F. The behaviour of stock market prices // J. Business, 1965. V.38. -P.34-105.

69. Forsberg L., Bollerslev T. Bridging the Gap Between the Distribution of Realized (ECU) Volatility and ARCH Modeling (of the EURO): The GARCH Normal Inverse Gaussian Model // J. Appl. Econometrics, 2002. V. 17. - P. 535-548.

70. French K.R., Schwert G.W., Stambaugh R.F. Expected Stock Returns and Volatility//!. Financial Economics, 1987. V.19. - P. 3 - 29.

71. Geweke J. Exact predictive densities in linear models with ARCH disturbances // Econometrics, 1989. V. 44. - P. 307 - 325.

72. Glosten L. R., Jagannathan R, Runkle D. Relationship between the expected value and the volatility of the nominal excess return on stocks //J. Finance, 1993, v. 48, - p. 1779 -1802.

73. Gourieroux C, Monfort A. Qualitative threshold ARCH models // J. Econo-f metrics, 1992. V. 52. - P. 159 - 200.

74. Harvey A. C, Ruiz E., Shephard N. Multivariate stochastic variance models // Rev. Economic Studies, 1994. V. 61. - P. 247 - 264.

75. Heston S.L. A closed-form solution for options with stochastic volatility, with applications to bond and currency options // Rev. Financial Studies, 1993.-V. 6. -P.327-343.

76. Higgins M. L., Bera A.K. A class of nonlinear ARCH models // Int. Economic Rev., 1992. V. 33. - P. 137 -158.

77. Hull J., White A. The pricing of options on assets with stochastic volatilities // J. Finance, 1987. v. 42. - p. 281 - 300.

78. Jacquier E., Poison N. G., Rossi P.E. Bayesian analysis of stochastic volatility models // J. Business and Economic Statistics, 1994. V. 12. - P. 371 -417.

79. Jondeau E., Rockinger M. Conditional volatility, skewness, and kurtosis: existence, persistence, and comovements //J. Economic Dynamics and Control, 2003.-V. 27.-P. 1699-1737.

80. Kalman R.E. A new approach to linear filtering and prediction problems // J. Basic Engineering, Trans. ASMA, 1960. V. 82. - Ser. D. - P. 35 - 45.

81. Kim S., Shephard N., Chib S. Stochastic Volatility: Likelihood Inference andу

82. Comparison with ARCH Models // Rev. Economic Studies, 1998. V. 65. -P. 361-393.

83. King M., Sentana E. Volatility and links between national stock markets // Econometrica, 1994. V. 62. - P. 901- 933.

84. Konev V.V. Guaranteed estimation of parameters in stochastic volatility models // 26th International congress of actuaries, 1998. V.7. - P.l21 -135.

85. Konev V.V., Le Breton A. Guaranteed parameter estimation in a first order autoregressive process with infinite variance // The Annals of Probability, 1998. - V.17. - №17. - P.946 - 962.

86. Kritski O.L., Belsner O.A., Rachev S.T. Forecasting of share prices by using STS-GARCH( 1,1) method / Frankfurter Stochastik Tage 2006, 14-17 March

87. P 2006, Goethe University of Frankfurt am Main, p.61 -63.

88. Mandelbrot B. The variation of certain speculative prices // J. Business, 1963.-V. 36.- P.394-419.

89. Menn C., Rachev S.T. A GARCH option pricing model with alpha-stable innovations // European J. Operational Research, 2005 . V. 163. - P. 201 -209.

90. Mittnik S., Paolella M.S., Rachev S.T. Stationarity of stable power-GARCH processes //J. Econometrics, 2002. V.106. - P.97 - 107.

91. Nelson D.B. Stationarity and persistence in the GARCH(1,1) model // Econometric Theory, 1990. V. 6. - P. 318 - 334.

92. Nelson D.B. ARCH models as diffusion approximations // J. Econometrics, 1990. -v.45,-p.7-38.

93. Nelson D.B. Conditional heteroscedasticity in asset pricing: a new approach // Econometrica, 1991. V.59. - P.347 - 370.

94. Nelson D.B. Filtering and forecasting with misspecified ARCH models I: Getting the right variance with the wrong model // J. Econometrics, 1992. -V. 52. -P.61 -90.

95. Nelson D.B., Foster D. P. Asymptotic filtering theory for univariate ARCHmodels // Econometrica, 1994. V.62. - P. 1 - 41.

96. Newey W.K Maximum likelihood specification testing and conditional moment tests/ZEconometrica, 1985.- V.53. P. 1047-1070.

97. Noh J., Engle R.F., Kane A. Forecasting volatility mid option pricing of the S fe P 500 index // J. Derivatives, 1994. P. 17 - 30.

98. Pagan A.R., Schwert G.W. Alternative models for conditional stock volatility //J. Econometrics, 1990. V. 45. - P. 267 - 290.

99. Schwert G.W. Why does stock market volatility change over time? // J. Finance, 1989. V. 44. - P. 1115 -1153.

100. Schwert G.W. Stock market volatility//Financial Anal. J., 1990. May-June, 23-34.

101. Schwert G.W. Stock volatility and the crash of '87 // Rev. Financial Studies, 1990. V.3. - P. 77-102.

102. Seshadri V. The inverse Gaussian distribution. Oxford: Clarendon Press, 1993.

103. Taylor S.J. Modelling stochastic volatility // Math. Finance, 1994. V. 4. -P. 183-204.

104. Wagner N., Marsh T. A. Measuring tail thickness under GARCH and an application to extreme exchange rate changes, Journal of Empirical Finance, 2005.-V. 12.-P. 165-185.

105. White H. Maximum likelihood estimation of misspecified models //

106. Econometrica, 1982. V. 50. - P. 1- 25.

107. Wiggins J. B. Option values under stochastic volatilities // J. Financial Economics, 1987.-V. 19.-P. 351-372.