Оптимизация портфеля финансовых опционов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 08.00.13, кандидат экономических наук Пузановский, Адриан Адрианович

• Пузановский, Адриан Адрианович
• кандидат экономических наук
• 2009

Оглавление диссертации кандидат экономических наук Пузановский, Адриан Адрианович

Введение.

Глава I. Инвестирование на срочном рынке.

1.1 Срочные рынки мира и России.

1.2 Классификация инвесторов на финансовом рынке.

1.3 Инвестирование с помощью опционов.

Глава II. Модели и методы.

2.1 Оценка опционов и "греков".

2.2 Методы учета эффекта "улыбки волатильности".

2.3 Оценка показателя VaR для портфеля опционов.

Метод Дельта-Гамма с разложением Корниша-Фишера.

Метод Дельта-Гамма с неполным методом Монте-Карло.

Глава III. Оптимальное инвестирование на рынке опционов.

3.1 Алгоритм оптимального инвестирования с использованием опционных комбинаций.

3.2 Формализация процесса оценки "греков" опционов.

3.3 Постановка задачи оптимизации опционной комбинации в общем виде.

3.4 Пример оптимального инвестирования.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Оптимизация портфеля финансовых опционов»

В настоящей диссертационной работе предложен и доведен до практического применения новый подход к оптимизации портфеля обыкновенных (не экзотических) опционов и фьючерсов. В основе предлагаемого подхода лежит критерий риск-доходность - при естественных ограничениях, вытекающих из условий рынка. Показаны преимущества данного подхода перед другими, известными из работ отечественных и зарубежных авторов, в том числе перед известными подходами с использованием функций полезности.

Рынок производных финансовых инструментов1 сильно развит на западных рынках и пока слабо развит на отечественном рынке. Неразвитость срочного рынка России можно объяснить сравнительно небольшим периодом жизни страны в условиях рынка и чередой системных кризисов, которые оказали негативное влияние, в том числе и на развивающийся срочный рынок. Тем не менее, интерес в России к данным инструментам растет, о чем говорит динамика объемов отечественного срочного рынка.

Актуальность темы исследования обуславливается ростом потребности в инструментах с повышенной доходностью и 4 возможностью управления финансовыми рисками, именно производные финансовые инструменты позволяют обеспечить эти потребности. В условиях роста интереса к деривативам на отечественном рынке остро встает вопрос об эффективном использовании данных финансовых инструментов. С одной стороны, деривативы расширяют возможности инвестора как с точки зрения увеличения потенциальной доходности, так и с точки зрения управления финансовым риском. С другой стороны, деривативы усложняют сам процесс инвестирования, привнося тем самым дополнительные риски (операционные, ликвидности, модельные

1 Для сокращения термина "производные финансовые инструменты" используется устоявшийся в отечественной литературе термин "деривативы" от англ. "derivatives". Дословный перевод с английского слова "derivatives" означает "производные". и др.). Примеры, недооценки рисков, связанных с процессом инвестирования на срочном рынке, широко представлены в истории развития западных компаний. К сожалению, такая недооценка может привести к финансовой катастрофе как, например, в случае с компанией Metallgesellschaft [29] (см. приложение).

Говоря об исторических примерах недооценки рисков нельзя не упомянуть о крупнейшем экономическом кризисе нашей современности. Так называемый, кризис ликвидности, начавшийся летом 2007 года и продолжающийся уже более года, является ярчайшим примером недооценки рисков за всю историю существования рыночных отношений. Убытки крупнейших финансовых институтов мира измеряются сотнями миллиардов долларов2. Для выправления ситуации в мировом финансовом секторе центральные банки принимают беспрецедентные меры. Федеральная резервная система США, Европейский центральный банк и банк Англии неоднократно производили финансовые вливания путем проведения специализированных аукционов, на которых продавались краткосрочные кредиты, а также путем обмена с обратным выкупом облигаций низкого качества на государственные долговые обязательства [75-77]. Усугубление обстановки в финансовом секторе США вынудило министерство финансов создать экстренный план по выправлению ситуации, заключающийся в выкупе обесценившихся ипотечных инструментов у банков на сумму 700 миллиардов долларов. Активные действия центральных банков и особенно планируемое использование бюджетных средств США на выкуп плохих инструментов указывают на системный характер происходящего кризиса. В качестве основных рисков, реализация которых и привела к текущему глобальному финансовому кризису, необходимо выделить кредитный риск на

2 Сильнее всех пострадал швейцарский банк UBS, списавший активов на S38 млрд. [73], [74]. ипотечном рынке, а также риск производных финансовых инструментов, в основе которых лежали ипотечные кредиты.

Данные исторические примеры показывают, что наравне с практически ничем не • ограниченным ростом инвестиционных возможностей при использовании деривативов, также стремительно растут и различные виды рисков3. Именно поэтому при работе с деривативами необходимо использовать подход, дающий ответы на основные инвестиционные вопросы:

1. Какова возможная доходность от инвестиции в случае реализации некоторого прогноза?

2. Какова величина среднестатистического риска по инвестиции (статистическая оценка риска)?

3. Какова величина максимального риска по инвестиции (оценка риска на основе стрессовых сценариев)?

Предлагаемый в данной диссертационной работе подход отвечает на данные вопросы,, а значит, является актуальным.

Особое место среди производных финансовых инструментов занимают опционы. Отличие опционов от других инструментов (например, фьючерсов) заключается в нелинейной зависимости их цены от цены базового актива. Возможность сочетать различные опционы (колл и пут) с различными параметрами (периодом до истечения, ценой исполнения, базовым активом) приводит к большому количеству всевозможных инвестиционных комбинаций. Чем больше количество инвестиционных комбинаций, тем острее стоит проблема выбора оптимальной комбинации.

Перечисленные факторы (потребность со стороны инвесторов, сложность инструментов, большое количество комбинаций)

3 Развернутая классификация финансовых рисков, а также практика учета финансовых рисков более подробно описаны в [2], [7]. обуславливают актуальность выработки подхода к процессу инвестирования на срочном рынке.

Цель и задачи работы. Целью данной диссертационной работы является разработка подхода к выбору оптимальной опционной комбинации инвестирования, исходя из критерия риск-доходность и прогноза движения базового актива, а также необходимого инструментария.

Для достижения указанной цели, в работе поставлены и решены следующие задачи:

1. Постановка задачи оптимизации портфеля опционов в общем виде.

2. Постановка и решение численного примера задачи оптимизации портфеля опционов.

3. Оценка максимально возможного убытка по полученному оптимальному портфелю.

4. Формулировка подхода инвестирования на рынке опционов и базисов, на основе критерия риск-доходность.

5. Разработка и программная реализация инструментария для оценки опционов и оценки показателя риска VaR.

Объект и предмет исследования. Объект исследования -инвестирование с помощью опционов и базовых активов. Предмет -построение оптимальных опционных комбинаций.

Научная новизна. Предложенный в работе подход представляет собой сочетание методов оптимизации инвестиционного портфеля и оценки рыночных рисков применительно к опционам и фьючерсам. Новизна результатов диссертационного исследования отражается в следующем:

1. Разработанный инвестиционный подход позволяет инвестору получать опционные комбинации, обладающие соотношением риска и доходности не хуже, чем у стандартных опционных комбинаций. В отличие от стандартных опционных комбинаций данный подход позволяет учитывать точный количественный прогноз цен базовых активов.

2. В отличие от подхода, предложенного Голембиовским и Долматовым, по сути ориентированным на хеджирование активов, данный подход позволяет получать опционные комбинации с заданным уровнем доходности, что может использоваться как спекулянтами, так и хеджерами.

3. Использование разработанного подхода значительно экономит время поиска оптимальной опционной комбинации. При этом могут использоваться все имеющиеся на рынке инструменты (опционы и базисы), чего сложно добиться, используя стандартные опционные комбинации.

4. Разработан подход приведения в соответствие цен опционов с ценами базисных активов для случая низкой ликвидности на рынке опционов.

Теоретическая значимость. В теоретическом плане данная работа является развитием теории оптимального управления портфелем в части оптимизации портфеля опционов и базовых активов.

Практическая значимость. В работе выработан подход к оптимальному инвестированию на рынке опционов. Данный подход представлен в виде последовательности действий и основан на оценках риска и доходности, выраженных аналитически, что позволяет легко алгоритмизировать данный подход. Программная реализация представленного подхода позволит инвестору быстро принимать оптимальное с точки зрения критерия риск-доходность инвестиционное решение.

В расчетах использовались данные со срочной секции РТС (FORTS), что делает результаты работы адекватным отражением процесса инвестирования на отечественном срочном рынке.

Теоретико-методологической основой исследования являются труды отечественных и зарубежных авторов, посвященные проблемам управления рыночным риском, проблемам оценки риска портфелей производных финансовых инструментов, проблемам ценообразования обыкновенных, экзотических, а также реальных опционов. Авторами таких работ являются: Балабушкин А.Н., Барбаумов В.Е., Буренин А.Н. [3], Бухвалов А.В. (реальные опционы) Голембиовский Д.Ю., Долматов А.С., Дрогобыцкий И.Н, Козырев А.Н. (реальные опционы), Лобанов А.А., Мельников А.В., Рогов М.А., Смирнов С.Н., Фельдман А.Б., Ширяев А.Н. В западной литературе данная проблематика представлена в работах таких авторов как J.C. Hull, A. White, P. Jorion, К.В. Connolly, R. Korn, S. Trautmann, S.L. Heston, C. Kahl, P. Jackel, A.A. Dragulescu, W. Schachermayer, Ahn Don Hyun [23], Alexander Siddharth [24].

Методологическую основу исследования составили элементы теории рисков, теории портфельного анализа, а также методы современного риск-менеджмента. При решении конкретных практических задач использовались методы теории вероятностей, математической статистики и статистического моделирования. В качестве инструментария для решения практических задач использовались математический программный пакет Mathematica 5.2, электронные таблицы MS Excel и язык программирования MS Visual Basic for Applications.

Для оптимизации портфеля, содержащего опционные контракты невозможно использование ожидаемой доходности и стандартного отклонения доходностей инструментов, входящих в портфель, в том виде, в котором они использовались в модели Марковица [19]. В силу нелинейной зависимости цены опциона от рискового фактора (доходности базового актива) распределение вероятностей доходности портфеля опционов не будет нормальным, что усложняет процедуру оценки риска по портфелю опционов. Кроме того, на опцион существенно влияют и другие факторы риска, а именно изменение подразумеваемой волатильности. Данный фактор также должен учитываться при оптимизации портфеля.

Обычно в качестве критерия оптимизации портфеля опционов применяется некоторая функция полезности [40], [41], [49]. Часто в качестве такой функции выбирается логарифмическая функция полезности. Выбор данной функции обосновывается эмпирическими расчетами функций полезности для различных инвесторов, которые во многих случаях хорошо аппроксимирует логарифмическая функция. Действительно та или иная функция может хорошо описывать предпочтения инвесторов, тем не менее, на наш взгляд, описывать с помощью определенной функции (например, логарифмической или экспоненциальной) предпочтения всех инвесторов не совсем верно, то есть для каждого инвестора необходимо подбирать его собственную функцию полезности. Кроме того, само отношение отдельно взятого инвестора к полезности в процессе инвестирования может изменяться. Например, серия неудачных сделок в прошлом, может привести к полной нетерпимости инвестора к риску и напротив, постоянный успех в прошлом, может привести к полному отсутствию ощущения риска. Поэтому в данной диссертационной работе в качестве критерия оптимизации портфеля используется риск портфеля, оцениваемый с помощь показателя VaR. Вместо ожидаемой доходности портфеля опционов, используется доходность портфеля опционов в случае реализации некоторого прогноза поведения цены базового актива.

Проблема оптимального управления портфелем опционов является достаточно новой для отечественного рынка, в силу чего, недостаточно освящена в отечественной литературе. Наиболее близкими к теме данной диссертационной работе являются труды таких авторов как Голембиовский Д.Ю., Долматов А.С. В работе [5] в качестве критерия оптимизации используется максимум математического ожидания прибыли портфеля на момент ближайшего погашения опционных контрактов. При этом предполагается, что в последний момент времени стоимость базового актива принадлежит заданному интервалу значений. В качестве заданного интервала берется отрезок значений логарифма цены базисного актива с координатами -За и +з<т относительно прогнозного значения [10]. В работе [6] авторы обобщают оптимизационную модель из работы [5] с учетом залогового обеспечения.

Главным отличием данной диссертационной работы от работ [5] и [6] является критерий оптимизации. Выбрав в качестве критерия максимизацию ожидаемой доходности при наличии ограничений на безубыточность портфеля, инвестор лишается возможности выбирать необходимое ему соотношение риска и доходности. Такая постановка оптимизационной задачи как в источниках [5, 6] более соответствует задаче сохранения капитала (хеджирования), нежели получения прибыли. В [5, 6] производится сравнение предложенной модели хеджирования с традиционными методами хеджирования, основанными на чувствительностях опционов (дельта-гамма хеджирование). Необходимо отметить, что дельта-гамма хеджирование без учета вега риска (дельта-гамма-вега хеджирование) не может показать хороших результатов на длительном промежутке времени (больше дня), т.к. подразумеваемая волатильность значительно изменяется и влияет на стоимость опционов. При этом в используемом в работах [5, 6] ограничении на безубыточность портфеля предполагается одновременная покупка и короткая продажа опционов разных серий, то есть в уравнении заложена возможность уменьшения вега риска. Следовательно, сравнивать предложенный в [5, 6] метод хеджирования необходимо не с дельта-гамма методом, а как минимум с дельта-гамма-вега методом.

Таким образом, предложенный в данной диссертационной работе подход является некоторым развитием традиционных методов оптимизации портфеля опционов (основанных на "греках"), не использующих функцию полезности и ориентированный на получение прибыли.

Апробация результатов исследования. Основные результаты исследования были опубликованы в научно-теоретических журналах, доложены и обсуждены на научно-практических семинарах в ЦЭМИ и ИСА РАН. Разработанные в результате проведенного исследования отдельные предложения использовались на предприятиях (ООО «Лабрейт», ООО «Управляющая компания «Портфельные инвестиции») в качестве методологических рекомендаций по оценке опционов и рыночных рисков. Разработанный программный инструментарий использовался для оценки рисков по портфелю опционов в рамках системы риск-менеджмента предприятия (ООО «Управляющая компания «Портфельные инвестиции»). Внедрение результатов диссертации подтверждено соответствующим актом.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы и двух приложений. Объем диссертации составляет 115 страницы. Работа включает 8 таблиц, 20 графиков и схем.

Рассмотрим краткое содержание глав. В первой главе содержится общая информация о срочных площадках мира и России. Приводится информация о контрактах, торгуемых на этих площадках, а также о динамике объемов торгов на этих площадках. Также в данной главе рассматриваются возможные типы инвесторов с точки зрения отношения к риску и периоду инвестирования. Кроме этого в первой главе рассмотрены основные подходы инвестирования с помощью опционов. Вторая глава содержит описание математических моделей и методов, используемых в работе для решения поставленных задач. Третья глава содержит постановку задачи оптимизации опционной комбинации в общем виде, алгоритм оптимального инвестирования, использующий решение сформулированной задачи, а также численный пример, в котором производится сравнение предложенного подхода со стандартными комбинациями.

Заключение диссертации по теме «Математические и инструментальные методы экономики», Пузановский, Адриан Адрианович

Заключение

Обозначенные в диссертационной работе задачи решены в объеме необходимом для достижения поставленной цели. А именно:

1. Сформулирована задача оптимизации портфеля опционов в общем виде.

2. Решен численный пример задачи оптимизации портфеля опционов, на основе биржевых данных.

3. Произведена оценка максимально возможных убытков по полученным оптимальным портфелям.

4. Сформулирован подход инвестирования на рынке опционов и базисов, на основе критерия риск-доходность.

5. Разработан метод приведения в соответствие биржевых данных о ценах опционов с данными о ценах фьючерсов для неликвидного рынка.

6. Выбран инструментарий для решения оптимизационных задач.

7. Создан программный инструментарий, позволяющий проводить оценку опционов (Биномиальная модель для оценки американских опционов).

8. Создан программный инструментарий, позволяющий рассчитывать показатель VaR методом Монте-Карло для портфеля опционов и фьючерсов.

Для решения математических задач использовался программный продукт Mathematika 5.2. Выбор был остановлен на данном продукте, поскольку при сравнительно простом и удобном интерфейсе он позволил решить весь спектр необходимых в данной работе математических задач (задачи нелинейной оптимизации, построение трехмерных графиков). Часть математических задач решалась с помощью собственных функций и алгоритмов, реализованных на языке

Visual Basic for Application и представленных в качестве функций и макросов Excel. При построении эффективных кривых было необходимо использовать более адекватные данные по ценам опционов, чем средневзвешенные цены, предоставляемые биржей. Под адекватностью понимается степень соответствия цен опционов ценам базового актива. Поскольку рынок опционов в FORTS пока еще низколиквиден, расхождения в ценах могут существенно влиять на результаты проводимой оптимизации. Данный факт обусловил необходимость поиска альтернативы биржевой статистики. В качестве такой альтернативы были выбраны цены, рассчитанные с помощью биномиальной модели оценки опционов с учетом подразумеваемой волатильности на день расчета. В свою очередь, подразумеваемая волатильность вычислялась из актуальных цен (цен, предлагаемых маркет-мейкерами) на начало торгов, либо цен предыдущего дня.

Как видно из приведенного вычислительного примера, предложенный подход к построению оптимальных опционных комбинаций позволяет решать задачу распределения капитала с точки зрения критерия риск-доходность. Применяя данный подход, инвестор может в достаточно короткий срок получить математически обоснованный результат по распределению капитала между опционными контрастами и их базовыми активами. Получаемые оптимальные опционные комбинации обладают лучшими соотношениями риск-доходность, чем стандартные опционные комбинации. Поскольку оптимизация портфеля производится под конкретный вектор прогнозных доходностей базовых активов. С другой стороны, задавая не один вектор прогнозных доходностей, а набор таких векторов можно получить соответствующий набор оптимальных портфелей. Впоследствии комбинируя полученные портфели, можно более гибко подстроиться под возможное поведение цен базовых активов. К недостаткам данного подхода можно отнести большой объем вычислений при большом количестве инструментов, а также необходимость оценки большого количества параметров (ковариаций, греков) что естественно увеличивает время вычислений. Частично данный недостаток можно ликвидировать с помощью методов упрощения опционных портфелей, заменяя несколько схожих опционов одним опционом.

Необходимо отметить, что, не смотря на спекулятивную ориентацию результатов работы, предложенный алгоритм оптимального инвестирования, а также используемый оптимизационный механизм, может быть применен и для других типов инвесторов. Так можно производить операции хеджирования, используя опционы с различными параметрами, в том числе и опционы на другие базовые активы, отличные от хеджируемого базового актива. Для этого необходимо изменить целевую функцию и систему ограничений (3.3.1). Производя максимизацию доходности комбинации, включающей, хеджируемый актив, необходимо добавить ограничение на риск комбинации (риск должен быть равен нулю, если речь идет о полном хеджировании) и убрать ограничение на доходность. В результате система (3.3.1) примет следующий вид:

R(W) max ,

VaR(w) = О

Vegan = О п т к /

ZEZkJ

1=1 i /=i О

Конечно, вопрос оптимального хеджирования требует отдельного детального рассмотрения. Так в системе ограничений могут появиться дополнительные уравнения, а в алгоритме оптимального инвестирования дополнительные шаги, описывающие специфику процесса хеджирования.

Таким образом, предложенный подход стирает границы между различными стандартными опционными комбинациями и является гибким механизмом, способствующим оптимальному использованию капитала на рынке опционов.

Список литературы диссертационного исследования кандидат экономических наук Пузановский, Адриан Адрианович, 2009 год

1. Балабушкин А.Н., Опционы и фьючерсы, Фондовая биржа РТС, 2004.

2. Бартон Т.П., Шенкир У.Г., Уокер П.Л., Комплексный подход к риск-менеджменту: стоит ли этим заниматься. М:. Издательский дом "Вильяме", 2003.

3. Буренин А., Форварды, фьючерсы, и опционы, экзотические и погодные производные, М., Научно-техническое общество имени академика С.И.Вавилова, 2005.

4. Галанов В.А., Производные инструменты срочного рынка. М.: Финансы и статистика, 2002.

5. Голембиовский Д.Ю., Долматов А.С., Управление портфелем производных финансовых инструментов с учетом залоговых ограничений: Теория и системы управления, 2000, №4, стр. 95-103.

6. Голембиовский Д.Ю., Долматов А.С., Модель оптимизации портфеля производных финансовых инструментов с учетом залоговых ограничений: Теория и системы управления, 2001, №3, стр. 75-85.

7. Грюнинг X. ван, Брайович Братанович С., Анализ Банковских Рисков. Международный банк реконструкции и развития, перевод - издательство "Весь Мир", 2003.

8. Долматов А.С., Математические методы риск-менеджмента. Экзамен, 2007г.

9. Джекел П., Применение методов Монте-Карло в финансах. М.: Интерент-трейдинг, 2004.

10. Лобанов А.А., Чугунов А.В., "Энциклопедия финансового риск-менеджмента". М: Альпина Паблишер, 2003.

11. Лофтон Т. Основы торговли фьючерсами: пер. с англ. М.: "ИК „Аналитика", 2001.

12. Матросов С., Рынок деривативов Западной Европы. Журнал "Рынок Ценных Бумаг", 2000.

13. Меньшиков И.С., Шелагин Д.А., Рыночные риски: модели и методы. Вычислительный центр РАН, 2000 г.

14. Рубцов Б.Б., Современные фондовые рынки. М.: Альпина Бизнес Букс, 2007 г.

15. Томсетт Майкл С., Торговля опционами: пер. с англ. М., издательский дом Альпина, 2001.

16. Фабоцци Фрэнк Дж., "Рынок облигаций: анализ и стратегии": 2-ое издание, пер. с англ. М., банк Зенит, Альпина бизнес букс, 2007.

17. Фельдман А.Б., Производные финансовые инструменты. М.: Финансы и статистика, 2003.

18. Чекулаев Михаил, Загадки и тайны опционной торговли, М.: "ИК "Аналитика", 2001.

19. Шарп Уильям Ф., Александер Гордон Дж., Бэйли Джеффри В., Инвестиции, Инфра-М, 2003.

20. Артюхов С.В., Пузановский А.А., "Оценка величины спрэда маркет-мейкера на рынке опционов", научно-информационный журнал "Экономические науки", номер 20, стр. 57-66, июль 2006.

21. Артюхов С.В., Жалыбина И. Я., Пузановский А.А., "Метод оптимизации прибыли маркетмейкера на рынке производных финансовых инструментов", журнал "Управление финансовыми рисками", номер 2, 2008.

22. Пузановский А.А., "Построение оптимальных опционных комбинаций", журнал "Финансы и кредит", номер 35, сентябрь 2008.

23. Ahn Don Hyun, Boudoukh Jacob, Richardson Matthew, Whitelaw Robert F., Optimal risk management using options, NBER, working paper No. 6158, Cambridge, 1997.

24. Alexander Siddharth, Coleman Thomas F., Li Yuying, "Minimizing CVaR and VaR for a portfolio of derivatives", New York, 2004.

25. Andersen Torben G., Bollerslev Tim, Christoffersen Peter F., Diebold Francis X., Volatility and Correlation Forecasting, 2005.

26. Barone-Adesi Giovanni, Giannopoulos Kostas, Vosper Les, Filtering historical simulation, 2000.

27. Claessen Holger, Mittnik Stefan, Forecasting Stock Market Volatility and the Informational Efficiency of the DAXindex Options Market, Center for Financial Studies, Johann Wolfgang Goethe-Universitat, No. 04, Frankfurt am Main, 2002.

28. Connolly Kevin В., Buying and Selling Volatility, John Wiley and Sons Ltd., 1996.

29. Digenan J., Felson D., Kelly R., Wiemert A., Metallgesellschaft AG: A Case Study, 1994, источник www.prmia.org/pdf/CaseStudies/MGIIT.pdf.

30. Dragulescu Adrian A., Yakovenko Viktor M., Probability distribution of returns in the Heston model with stochastic volatility, Quantitative Finance, Vol. 2, p. 443-453, 2002.

31. Einmahl John H.J., Foppen Walter N., Laseroms Oliver W., Casper G. de Vries, VaR stress tests for highly non-linear portfolios, 2002, источник www.gloriamundi.org.

32. Feuerverger Andrey, Wong Augustine C.M., Computation of value at risk for a nonlinear portfolios, University of Toronto, 2000.

33. Harvey Campbell R., Whaley Robert E., Department of Economics University of California, Market volatility prediction and the efficiency of the S&P 100 index option market, Journal of Financial Economics, No. 31, p. 43-73, North-Holland, 1992.

34. Hua Philip, Wilmott Paul, "Crash modeling, Value at Risk and optimal hedging", London, 1996.

35. Hull John C., Options, Futures, and Other Derivatives. Prentice Hall, 1997.

36. Jaschke Stefan R., The Cornish-Fisher-Expansion in the Context of Delta-Gamma-Normal Approximations, Weierstrab-lnstitut fur Angewandte Analysis und Stochastik, Berlin, 2001.

37. Javanainen Timo, Analytical delta-gamma VaR methods for portfolios of electricity derivatives, Helsinki University of Technology Department of Engineering Physics and Mathematics Systems Analysis Laboratory, 2004.

38. Jorion Philippe, Value at risk (The new benchmark for managing financial risk), 2-nd edition. McGraw-Hill, 2000.

39. Jorion Philippe, Financial Risk Manager, second edition, GARP, John Wiley & Sons, 2003.

40. Kahl C., Jackel P., Not-so-complex logarithms in the Heston model, University of Wuppertal, 2006.

41. Kallsen J., Optimal Portfolios for Exponential Levy Process, University of Freiburg i. Br., Germany, 2000.

42. Korn R., Trautmann S., Optimal control of options portfolios and applications, OR Spectrum Quantitative Approaches in Management, Vol. 21, No 1-2, p. 123-146., 1999.

43. Laws Jason, Forecasting Stock Market Volatility and the Application of Volatility Trading Models, Liverpool JMU and CIBEF, 2004.

44. Lee Tae-Hwy, Mishra Santosh, Gonz'alez-Rivera Gloria, Forecasting Volatility: A Reality Check Based on Option Pricing, Utility Function, Value-at-Risk, and Predictive Likelihood, 2003

45. Lehar Alfred, Alternative Value-at-Risk Models for Options, Department of business studies of Vienna, 2000.

46. Malz Allan M., "Vega risk and the smile", The RiskMetrics Group, journal of risk, vol. 3, number 2, 2001.

47. Malz Allan M., "Do implied volatility provides early warning of market stress?" The RiskMetrics Group, Working paper number 01-01, 2001.

48. Mina J., Ulmer A., Delta-Gamma Four Ways, RiskMetrics Group, 1999.

49. Noh Jausun, Engle Robert F., Kane Alex, "A Test of Efficiency for the S&P 500 Index Option Market using Variance Forecasts", University of California, San Diego, 1993.

50. Schachermayer W., Optimal Investments in Incomplete Financial Markets, Vienna University of Technology, 2001.

51. Zangari Peter, "How accurate is the delta-gamma methodology?" RiskMetrics Monitor, page 12, 1996.

52. Zangari Peter, "A VaR methodology for portfolios that include options", RiskMetrics Monitor, p. 4, New York, 1996.1. Правовые источники:

53. Налоговый кодекс РФ, статья 301, п.2.

54. Налоговый кодекс РФ, статья 301, п.5.

55. Налоговый кодекс РФ, статья 304, п.2

56. Налоговый кодекс РФ, статья 326.

57. Гражданский кодекс РФ, статья 1062, п.2 (от 26.01.07).

58. International Convergence of Capital Measurement and Capital Standards (A Revised Framework), Basel Committee on Banking Supervision, Bank for international settlements, June 2004.