О показателях иррациональности некоторых чисел тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат наук Полянский, Александр Андреевич

• Полянский, Александр Андреевич
• кандидат наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат наук Полянский, Александр Андреевич

Содержание

Введение

Глава 1. Оценки сверху показателей иррациональности и квадратичных показателей иррациональности чисел а/, и ¡3^-

1.1. Основные определения

1.2. Свойства функций .Л(£), -/з(^)

1.3. Леммы об арифметических свойствах значений многочлена А(х)

и его производных

1.4. Арифметические свойства £/(£). У(£). IV(1) в некоторых точках

1.5. Асимптотические свойства Ьт(гф). ^¿('ф)

1.6. Асимптотики </[(7). 72(7). </3(7)

1.7. Оценки сверху показателей иррациональности

1.8. Оценки сверху квадратичных показателей иррациональности

Глава 2. Показатель совместного приближения 1пЗ и -4=

2.1. Выбор параметров

2.2. Ариметические свойства [/(А).У(А)

2.3. Асимптотические свойства 7х(А). 72(А)

2.4. Совместные приближения 1пЗ и ^

Глава 3. Оценки сверху квадратичных показателей иррациональности чисел аь к ¡Зь

3.1. Основные определения

3.2. Свойства функций Л(£),72(0,

3.3. Леммы об арифметических свойп вах значений многочлена А(х)

и его производных

3.4. Арифметические свойства С/У{1). в некоторых точках

3.5. Асимптотические свойства II{яр), З-^Ф)

3.6. Асимптотики Л(7). /г(7); Л(7)

3.7. Оценки сверху квадратичных показателей иррациональности

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «О показателях иррациональности некоторых чисел»

Введение

История вопроса

Диссертация относится к одному из ключевых направлений теории ди-офантовых приближений. В ней доказываются оценки сверху для так называемых показателей иррациональности и квадратичных показателей иррациональности некоторых трансцендентных чисел, а также оценивается показатель совместного приближения чисел 1п 3 и ^ рациональными дробями.

Показатель иррациональности. Для каждого иррационального числа можно ввести характеристику того, насколько хорошо оно может быть приближено рациональными числами.

Показатель иррациональности числа су ^ (Ц) определяется как точная, верхняя грань множества чисел х таких, что неравенство

имеет бесконечное количество решений в рациональных р/Обозначается, показатель иррационал.ьност.и через ¡¿(а).

Следствие из теоремы Дирихле (см. [1] гл.2 §2) утверждает, что показа,-тель иррациональности для любого иррационального числа а удовлетворяет следующему неравенству: д(а) ^ 2.

Точные значен/и,я показателей иррациональности для, цепных дробей. Если известно разложение числа в цепную дробь, то его показатель иррациональности можно вычислить по формуле (см. теорему 1 в [2]):

где а = [ао; аа, а,2,. .. ] — иррациональное число, а рп/Цп — п-ая подходящая

/¿(от) = 1 + Нш яир ——^

1п дп

дробь.

Пользуясь разложением числа е в цепную дробь [2; 1, 2А, 1]а=1.2....; нетрудно доказать, что /л(е) = 2. Аналогично для всех чисел

а = [60; Ь\. . . ., С\ + .... ст + А^те]л=1.2....; где среди есть ненулевые

можно показать, что ¡¿(а) = 2. На самом деле доказан намного более сильный результат (см. [7]).

Показатель иррациональности алгебраических чисел. В 1955 году К. Рот опубликовал работы [3, 4], в которых доказал, что /¿(а) = 2, где а — алгебраическое действительное число (см. также [5] гл.У, [б] гл.VI). Следует отметить, что для алгебраических чисел степени выше 2 практически не изучены цепные дроби.

Особый интерес представляют собой доказательства оценок сверху для показателей иррациональности логарифмов (см. [8]).

Оценки показателя иррациональности 1п2. В 1964 г. А. Бейкер в [33] доказал неравенство, из которого следует, что /л(1п 2) ^ 12, 5. После этого эта оценка улучшалась в работах Л.В.Данилова [19], К.Аллади и М.Робинсона [32], Г.В. Чудновского [36], [37], Дж.Рина [38], Е. Р.ухадзс [18], М. Хата [20].

В 2009 году в статье [21] Р. Марковеккио, пользуясь групповым методом Рина-Виолы (см. [16, 17]) и некоторым двойным интегралом, получил наиболее точную оценку на данный момент

//(1п2) ^ 3,57455....

В 2010 году Ю. В. Нестеренко упростил доказательство этого факта в статье [22], где он применял тот же подход, что и в статье [23], в которой доказывалась иррациональность С(3), и ипользовался некоторый комплексный несобственный интеграл.

Оценки показателей иррациональности других логарифмов. В работе [11] В. X. Салихов с помощью интеграла с симметричной подынтегральной

функцией приведол доказательство следующей оценки для показателя иррациональности чисел 1пЗ:

/х(1п 3) ^ 5,125. В 1993 году М. Хата доказал в [25], что

<4,60157....

В 2011 году В. А. Андросенко и В.Х. Салихов опубликовали работу [26], где, пользуясь интегралом Р. Марковеккио, уточнили оценку для ¡1 •

Несколько изменив интеграл из [22], М. Г. Батимакова в 2011 году предложила в [24] доказательство оценок сверху для показателей иррациональности чисел вида

к + 1 - х/2 к + 1

ак = V2к + 1 In-г-. где к = 1.21.1 е ЪЛ > 0.

к

Именно улучшение результатов работы [24] послужило основанием для данной диссертации.

Квадратичной показатель иррациональности. Для каждого числа а, не являющегося корнем квадратного уравнения с целыми коэффициентами, можно ввести характеристику того, насколько хорошо оно приближается квадратичными иррациональностями.

Квадратичный показатель иррациональности числа а, не являющегося корнем квадратного уравнения с целым,и коэффициента.м,и. определяется, как точная, верхняя, грань множества чисел, к таких, что неравенство

|о- - ß\ < H~x{ß)

имеет, бесконечное количество релнений, в квадратичных иррач^иональностях ß. Число H(ß) — наибольишй по модулю из целых коэффициентов квадратного трехчлена, корнем, которого является, ß. Обозначается, квадратичный показатель иррациональности, через /¿2 (°0 -

6

Оценку квадратичных показателей иррал^иональностей In 2. В 1980 году X. Кохен при помощи линейных реккурент показал, что /¿2(In 2) < 287, 819. В 1983 году Е. Рейеат, используя приближения Паде, показал оценку /¿2(1п 2) < 105. В 2000 году М. Хата в [27] доказал, польясь некоторым двойным интегралом, что

/¿2(In2) < 25,0463....

В последствии этот результат был улучшен Р. Марковеккио в уже упомянутой работе [21]. Там была получена оценка

р2(In2) < 15,65142....

Оценки квадратичных показателей иррациональностей других чисел. В работе [24] М.Г: Башмаковой были предложены оценки показателей квадратичной иррациональности чисел а^, где k = 1, 21.1 Е Z, / > 0.

Показатель совместного приближения. Для двух иррациональных чисел можно ввести характеристику того, насколько хорошо можно их приблизить рациональными числами с общим знаменателем.

Показатель совместного приблиэюения для двух чисел ai, (Уо ^ Q определяется, как точная, верхняя, грань множества, чисел н т,аких. что неравенство

Pl Vi

ai-- OL9--

q q J

имеет бесконечное количество ре/тений в рациональных числах р\/с/ и р?/(].

Следствие из теоремы Дирихле для совместных приближениях (см. [5] гл. II §2) утверждает, что показатель совместного приближения для любых двух иррациональных чисел больше или равен 1.5.

В диссертации приводятся доказательства оценок сверху показателей иррациональности и квадратичных показателей иррациональности чисел вида

ак = \/2ЬГПп к + ГДСке%,к>0 (1)

К

7

к- 1

а также предлагается доказательство оценки сверху показателя совместного приближения чисел 1пЗ и щ рациональными дробями.

Краткое содержание диссертации

Основными результатами первой главы являются новые оценки сверху для показателей иррациональности чисел а^, где к £ Ъ. к > 0 и где к £ Ъ, к > 1 и квадратичных показателей иррациональности чисел а^, где к £ к > 10, и где к £ Ъ, к > 9 (для меньших положительных значений к более точные оценки получены в третьей главе).

Для доказательства оценок строятся последовательности рациональных чисел, приближающих числа о;*.. й'|, д^. и изучаются арифметические и асимптотические свойства этих последовательностей. Таким образом план доказательства результатов первой главы состоит из четырех частей.

Первая часть заключается в исследовании функции Зо^)-, ^з(^)-,

определенные следующим образом:

где

з

Здесь в качестве многочлена А(х) мы будем подставлять многочлен

fx + b\n + 1х + 62 п + 1% + hn + Л \ С\П + 1 С2П + 1 С^П +1 J '

а в качество контуров интегрирования мы выбираем некоторые вертикальные прямые li, l2, l3. На целые неотрицательные числа b,¡,c¡ накладываются некоторые условия.

Для этих функций доказывается, что

Ji(¿) = ~U(t), J2(t) = U{t)\nt-V{t), J3(t) = -l-U{t) In21 + V(t) luí - ±W{t) - iir(U(t) hit - V(t)).

Здесь функции U(t).V(t).W(t) E Q(¿) удовлетворяют равенствам

U(t) = + V(t) = (t - i) V (t + ^ , W(t) (4)

TAcU(t),V(t).W{t)eQ(t).

Чтобы получить последовательности рациональных дробей, приближающих числа o¿k,ct\, ßk-, ß'l, в диссертации рассматриваются линейные формы

J2(t) = U{t)lnt-V{t), (5)

2J3{t) + 2(гтг + lnt)J2{t) = U{t) In21 - W(t) при значениях параметра t равных:

1) действительным положительным числам

к+ 1 - VW+T

Ам =-¡¡Г-> где к Е Ъ.к > 0; (6)

2) комплексным числам (лежащим на единичной окружности)

к — 1 — гу/2к — 1 . у/2Х—т , _ ,

А/с 2 =-Г^-- = е , где к Е /с > 1. 7

/с

Вторая часть состоит в исследовании арифметических свойств полученных последовательностей. Здесь важную роль играют равентсва (4). Также используются свойства распределения простых чисел для выделения больших общих делителей у сложных факториальных выражений.

Третья часть состоит в исследовании асимптотических свойств этих последовательностей с помощью методе перевала, примененного к интегралам Л00 гтри £ = А/сл, ;£ = Ла-,2- Здесь в качестве путей интегрирования выбираются вертикальные прямые.

Четвертая часть состоит в доказательстве требуемых оценок показателей иррациональности и квадратичных показателей иррациональности. При этом использовались результаты, полученные в предыдущих частях доказательства. а также две леммы Хаты об эффективных приближениях из теории диофантовых приближений.

В итоге получаются следующие результаты.

Теорема 1. Справедливы оценки:

к /л М < к к /4 К) < к н К) ^

3 6,6461... 9 5,23162... и 3,42052... 19 4,75667...

5 5,82337... 10 3,45356... 15 4,88402 ... 20 3,39024. ■ ■

6 3,51433... 11 5,0812.. . 16 3,40867...

7 5,45248..: 12 3,43506... 17 4,81442...

8 3,47834... 13 4,97026... 18 3,39874...

Отметим, что в работе [24] М.Б. Батпмаковой доказывались оценки показателей иррациональности

д(а6) ^ 11, 826 ... и ц(а8) < 18, 937 ...

а также в теореме 1 приводится общая формула для оценок сверху показателей иррациональности чисел а^, где к = 21, здесь I £ Ъ,1 > 0. Можно убедиться, что результаты настоящей диссертации более точные, чем те, что получаются из формулы в теореме 1 в [24].

Для остальных чисел о^, приведенных в таблице в теореме 1, показатели иррациональсти не оценивались.

Теорема 2. Справедливы оценки:

к д ОВД ^ к, д ОВД < к м ОВД < к А4 ОВД ^

2 4,60106... 8 3,66666... 14 3,53684... 20 3,47758...

4 3,94705... 10 3,6081 ... 16 3,51299...

6 3,76069... 12 3,5673... 18 3,49366...

Отмстим, что в работе [26] В. А. Андросенко и В. X. Салихов получили ту же оценку для /л ^^^ = /-¿(АО, но ПРИ этом они пользовались интегралом Р. Марковеккио.

Для остальных чисел ВД приведенных в таблице в теореме 2, показатели иррациональности ранее не оценивались.

Теорема 3. Справедливы, оценки:

к М2 (<*к) < к И-2 О/О ^ к № (а/с) <

11 297,681... 15 50,6082 ... 19 31,9845...

12 9,46081... 16 8,71172... 20 8,23651...

13 80,8276... 17 38,51...

ц 9,04083... 18 8,45082...

Отметим, что в работе [21] Р. Марковеккио упоминает, что получил такую же, как и в таблице из теоремы 3, оценку для /¿2 (1П §) = /¿2(012) •

Для остальных чисел а*., приведенных в таблице в теореме 3, квадратичные показатели иррациональности не оценивались.

Теорема 4. Справедливы, оценки:

к М2 ОВД < к М2 ОВД < к № (Рк) <

10 12,2866... ц 10,3401... 18 9,3503...

12 14,3738... 16 9,7753... 20 9,0156...

Для чисел /Зь, приведенных в таблице в теореме 4, квадратичные показатели иррациональности не оценивались.

Также в первой главе приводятся общие формулы, по которым можно вывести оценки показателей иррациональности и квадратичных показателей иррациональности чисел ад- и ¡3^ для остальных значений к.

Основным результатом второй главы является оценка сверху для показателей совместного приближения чисел 1пЗ и ^ рациональными дробями.

Для доказательства оценок строится последовательность чисел из <0>(г\/3), приближающая число

1пЗ + г|,

изучаются арифметические и асимптотические свойства этих последовательностей. Таким образом план доказательства результата второй главы состоит из четырех чаете и весьма схож с планом доказательства результатов первой главы. Укажем на основные особенности второй главы.

Особенность первая части заключается в том, что мы используем только одну линейную форму (5). При этом подставляется значение параметра £ равное

1 ?7Г , ч

7!6"т' (8)

Особенность третьей части состоит в том, что в ней исследуются ассимп-тотические свойства интегралов «Л(А), ^(А). Здесь в качестве путей интегрирования выбираются некоторые ломаные линии.

Особенностью четвертой части является то, что нужно использовать некоторую модификацию леммы Хаты об показателях иррациональности.

В итоге была доказана теорема.

Теорема 5. Для любого е > 0 существует такое д(е) е N. та,кое, что для

любых д(е) ^ д £ N и Р\,Р2 £ Ъ выполняется

тах

1пЗ — — Я

7Г р 2

> -3.80041--

л/3 Я

Отметим, что раньше показатель совместного приближения 1пЗ и ^ не оценивался.

Основными результатами третьей являются новые оценки сверху для квадратичных показателей иррациональности чисел а*-, где к £ Ъ, к = 2,4,6, 8,10, и ¡Зк- гда к £ Z, к — 4, 6,8 (для больших значений А; более точные оценки получены в первой главе).

Для доказательства оценок строятся последовательности рациональных чисел, приближающих числа о^, Рк-, Р\~, и изучаются арифметические и асимптотические свойства этих последовательностей. Таким образом план доказательства результатов третьей главы также состоит из четырех частей и весьма схож с планом доказательства результатов первой главы. Укажем на основные особенности третьей главы.

Особенность первой части состоит в том, что в качестве многочлена А(х) вместо (3) выбирается многочлен

(х + Ъхп + 1\ (х + Ъ2п + Л (х + Ь3п + 1\ (х + ЪАп + 1\ V сгп + 1 ) V с2п + 1 ) V с3п + 1 ) V с4п + 1 )'

поэтому функции и(£), удовлетворяют равенству

= ■4)6 (4 ■+1) ■^ = * Н) ■= (< - 9™ ■+ ?)'

(9)

где и (г), Щ) е

Особенность второй части заключается в том, что требуется аккуратнее исследовать свойства распределения простых чисел для выделения больших общих делителей у сложных факториальных выражений. Здесь также важную роль играют равенства (9).

В итого получаются следующие результаты. Теорема 6. Справедливы оценки:

к М2 О/с) < к /¿2 (оск) < к М2 (>*•) <

2 18.5799... 6 11.2038... 10 9.86485...

4 12.8416... 8 10.8786...

Отметим, что в работе [21] Р. Марковсккио доказал, что

/а2(1П2) = < 15.65142....

Для остальных чисел о;/,., приведенных в таблице в теореме 6, квадратичные показатели иррациональсти не оценивались.

Теорема 7. Справедливы оценки:

к М2 Ш < к М2 (&) < к м2 ОВД <

4 32.2697... 6 17.6493... 8 14-12...

Для чисел Рь, приведенных в таблице в теореме 7, квадратичные показатели иррациональности ранее; не оценивались.

Основные результаты

Основными результатами настоящей диссертации являются следующие:

1. Доказаны новые оценки показателей иррациональности чисел ад;, где к е Ъ, к > 0, и Рк, где к Е Ъ, к > 1. Эти результаты приведены в теоремах 1, 2.

2. Доказаны новые оценки квадратичных показателей иррациональности чисел ад., где к Е Ъ^ к > 0, и /?/,.. где к Е Ъ. к > 2.. В частности, улучшена оценка квадратичного показателя иррациональности 1п 2. Эти результаты приведены в теоремах 3, 4, 6, 7.

3. Впервые получена оценка показателя совместного приближения чисел 1пЗ и ^ рациональными дробями. Эти результаты приведены в теореме 5.

Основные результаты настоящей диссертации опубликованы в работах [28, 29].

Глава 1

Оценки сверху показателей иррациональности и квадратичных показателей иррациональности чисел ak и /3&.

1.1. Основные определения.

Мы будем рассматривать три основных функции J\{t). - 'hit)-, Js(t) и три вспомогательных Ii(t), /2(i), /3

Пусть п — натуральное число, выбраны целые неотрицательные числа

0.1 — 0 < о,2 < аз < 63 < b2 < bi,

с\ = Ь\ — а 1 = 6Ь с2 = ¿2 — а2, с3 = &з — аз, ¿>1 = ¿1 + = 62 + CL2 = &з + аз-

при этом 6] — четное.

Определим теперь многочлен А(х) степени А1 = Сп + 3, где С = С\ + с2 + С3, следующим образом:

( fx + bLn + l\ fx + b2n + 1\ fx + 63n + 1\ _

^ ~ I cin+l J I c2n + 1 A c3n + 1 ) ~

_ (x + (ЦП + 1)... (x + bin + 1) (x + a2n + 1)... (x + b2n + 1) ~ (c\n + 1)! (c2n +1)!

{x + azn + 1) .. . (ж + b3n + 1) X (c3n+l)!

Одним из ключевых свойств многочлена А{х) является следующее:

(1.1)

А(х) — —А(—х — Ъ\п — 2). (1.2)

Далее для удобства мы будем использовать следующие обозначения:

1) число / — любое из множества {1,2,3};

2) многочлены Ai(x),Ä2(x) и А$(х) определяются соотношениями

Мх) = А{х - ащ). (1.3)

Рассмотрим функции Ф^), ^(С)-^з(С)

\sm7r<; /

Здесь мы полагаем, что

(-£)"< = е"С1п^ и Г< = е"С1п4,

где выбираются ветви логарифмов следующим образом

1п( —t) = In |£| + г argi + ¿7г и Int = In |/j + г argt

с соответствующими условиями на аргумент

-27г < arg t < 0 для (1.4); —2тт < arg t < 27г для (1.5); —47г < argi < 27г для (1.6).

Рассмотрим интегральное представление функций J\(t), hit), J'¿it), hit)-, h{t)., h{t)

t»l» + 2

Mt) = t-^m =f—— Ф,(сж, (1.7)

Li

2ттг

где t -ф 0, а вертикальные прямые L\, L2, L-¿ задаются равенствами

Re ( = din. где — bin — 2 < din < —a¿n; и эти прямые проходятся снизу вверх.

1.2. Свойства функций Ji(t), J2(t), Jz(t).

Предложение 1. Для любого t Е С с условием 0 < |í| < 1 (кроме случаев, оговоренных ниже) справедливы равенства

Mt) = — U(t). (1.8)

J2(t) = U(t)lnt-V(t), (1.9)

J3(t) = ~\u{t) In21 + V{t) hit - \w{t) - m{U{t) lnt- V(t)). (1.10)

¿a ¿j

Здесь функции U(t),V{t),W(t) E Q(t) определены, следующим образом,:

)=Cln + J

7+1

«tee'»= E (-^(-^UÍJ;

k=cin+2 ^ ' '

J=(2ll + l

3 + 1

J

k-lj*

3 + 1 /

*deef= Y, i-V^i-VL

h=o¿-n+2 ^

Ветвь лога,рифм,а выбирается в обеих частя,х (1.8). (1.9). (1.10) та,к. что

1п(—£) = 1п + I a,l•gt + т, 1п£ = 1п |£| + г ы:gt,

- 2тт < агй£ < 0 для (1.8)., (1.11)

- 2тг < argí < 2тг для (1.9), 47г < arg t < 2тг для, (1.10).

(1.12)

(1.13)

Доказательство предложения, 1. Введём некоторые обозначения, которые будут использоваться только в доказательстве этого предложения:

1) через С г будем обозначать положительные константы (если в скобках указана переменная п, то константа зависит от п);

2) С = сг + ÍT.

Считаем, что 0 < \t\ < 1.

Доказательство будем вести для Ii(t), поскольку последний интеграл отличается лишь множителем t 2 от Ji(t).

1. Покажем, что интегралы i¿(í) абсолютно сходятся при t ф 0. Для любого С G (то есть а = din) справедливы оценки:

И(С)1 < (ICI + Ьщ + 1)д' < Ci(n)|C| , поскольку |С| ^ С2п;

i

7Г

sin 7гС,

при \т\ > —, так как

7Г

< C-¿e

(1.14)

(1.15)

sin С,

< 4е |г| при \т\ > 1;

|( —__ g—a ln |í|+t argí+ттг _ (74(n)eT argf+ттг.

|¿-C| = g—<7ln |f|+r argí =

т arg t.

(1.16) 1.17)

Отсюда при |т| > 1 /7Г мы находим, что

|Ф,(С)| <C5(n)KIAV'W.

Здесь

П(г)

\т\тт + т argí + Т7Г

г argí, если т ^ 0;

т(2-7г + argí), если г < 0;

I т(—27г + argí), если т ^ 0; г2(т) — —2|г|7г + г argí = <

I г(2-7г + argí), если г < 0;

{т(-2тт + argí), если т > 0;

г(47г + argí), если т < 0. Поэтому интегралы 7/(í) абсолютно сходятся при любом í ф 0 и условиях (1.11)—(1.13) (ввиду сходимости при D > О.т > 0 интеграла Jj"00 t'"e~Dtdt, при |т| ^ ^ функции |Ф^(С)| будут ограниченными).

2. Теперь вычислим эти интегралы. Рассмотрим прямоугольник ABCD с вершинами (здесь М > \din\ — натуральное число, а М\ = М + 1/2)

А(-Мъ Mi), В(-Мь -Mi), C{ddn, -Mi), D = (d,n, Mi).

Каждый из интегралов от функций ^i(Q/(2ni) по контуру ABC DA равен сумме вычетов в точках £ = —к, где к = bin +2,... ,М. Докажем, что интегралы от функций Фг(£)/(2тг/) по отрезкам DA,AB,BC стремятся к 0 при М +оо.

На отрезке АВ имеем а = —Mi, тогда, пользуясь оценками, которые аналогичны (1.14)-(1.17), получаем, что при |т| > ^ и при достаточно большом М:

|Ф/(01 < C6(n)(2Mi)N\t\A'he>^ а при т ^ ^ справедливо, что

|ФКСЖ^7(П)(2М1)л>|М1.

На отрезках DA и ВС справедливо, что |т| = Mi, тогда при достаточно большом М находим

|Ф/(С)| < (п)(2Мi)Nеп(±м^е~аln.

Интегрируя полученные неравенства по соответствующим промежуткам, получим требуемое стремление к нулю (нужно учитывать, что 0 < |í| < 1 и при

Е > О имеет место еЕ*(И =

Устремляя М к бесконечности получаем, что верно

+оо

т= ]г о).

/С=6/71+2

3. Теперь мы найдём вычеты в точках С, = — к. В окрестности этих точек выполняются следующие равенства:

2

7Г V _ / 1

2+0(1) ,

\sin7rCy \(С + ^)2

(т.к. sin7r(£ + к) = { — l)k sin 7ГХ и 1/ sin Ж = 1/.Т + .т/6 + 0(.т3)) ,

А(С) = + Л'(-/с)(С + к) + ^il (С + ¿О2 + 0((С + А;)3),

(-i)-C = _ efc(lni+7Ti)e-(C+A:)(liii+7ri) _

= (-l)Atfc - (lni + 7П)(С + к) + |(lnt + тгг)2(С + к)2 + 0((C + ,

t-C = e-Cini = efcinie-«+/r)ini = tk ^ _ + + + _

Поэтому мы получаем, что

Äes<=_* (Ф1(С)) = tkA(-k.y, Resc^k (Ф2(С)) = tk (- IntA(-k) + A'(-k));

Яевс=-л(Фз(С)) =

tk (J(lnt + m)2A{-k) + (-(Int + 7Гi))Ä(-h) + \л"{-к) + \A(-k) = tk (^\n2tA(-k) -ША'(-к) + + m(\ntA(-k) - A'{-

Откуда заключаем,что

+оо

т= £

k=bi п+2

+эо

k=b2n+2

/ +ЭО \ / +оо

= -lni Е M~k)tk + Е А'(~кУк

\k=b1n+2 J \к=Ь2п+2

+OG ,

m= £ tki-\n2tA(-k)-iiitAx-k) + -A"(-k)+

к=Ьлп+2 ^

+ m(\ntA(-k)-A\-k))\=±]n2t( £ A(-k)A -

' \ A =6x77+2 /

/ +oo \ - / +OC \

-mi ^ ¿<(_fc)t* + x: ^(-t)i* +

\k=b2n+2 J \A=M+2 /

/ / +CXi \ / +oo

+ 7TZ lni E A(~k)fk - E A'(~k)th

\ \k=l>ii>+2 J \k=b2n+2

4- Далее при помощи леммы 1 будет показано, что (см. опр. Ui(t), V\(t), W\(t) в предложении 1)

+оо

- Yl A(-k)i^ = Ul(ty (1.18)

k=bLii+2 +oo

- E A'(-k)tk = Vi(i), (1.19)

k=b2n+2 +oo

- ^ A"(-k)th = W1{t). (1.20)

k=biTi+2

Лемма 1. Пусть P(x) G С [ж] — многочлен степени т. Тогда для каждого z. \z\ < 1, справедливо равенство

+эо т , ч 1 + 1

-£р(-*)** = £Мтгт) , (1-21)

к=1 j=о ^

где

.7+1

а-1

к- 1

Эта лемма была доказана в статье Ю.В. Неетеренко [22] (см. лемма 1). Здесь мы приведём элементарное доказательство.

Доказательство леммы, 1. Любой многочлен Р{х) € С[х] можно представить следующим образом:

т

Р(х) = где Рь{х) = {х + 1) . . . {х + й).

Поэтому нам достаточно проверить равенство (1.21) для каждого из многочленов Ря(х).

Преобразуем левую часть равенства (1.21) (здесь Ь = к — в — 1)

+оо +оо +оо

- ^РЛ-к)гк = ]Г Рз(-к)гк-*-1 = -г'ч+1 - 5 - 1)*' =

Найдем правую часть (1.21). При ] — 0,1,.... .5 — 1 нетрудно убедиться в том, что /г?- = 0. При ^ = в мы получаем я+1

а,—1 4 7

(-1Г(-1)^!П =,!.

При j = в + I., где I ^ 1, имеем (здесь т = к — 5 — 1)

5-К+1 / ч в+* + 1 , ч

^ г; )=г

к=1 4 7 *=.ч+1 4 7

I (з + т)\ (я-К)!

= £(-1Гт(-1/

т—0

т.! (я + т)!(£ — т)\

-г,,— П \ /

£! у \т И

т= 0

(1-1)' = 0.

То есть правая часть (1.21) равна

Таким образом лемма 1 доказана. □

5. Несложно проверить (из (1.3))

лГЧ-1)-----а(,-ц(-^-1)= (

=А(1-1\-а,п - 1) = • • • = А^Х-Ьщ - 1) = О

Преобразуем левые части равенств (1.18)—(1.20), здесь т = к — щп (учитывается (1.22) и (1.3))

*4~оо "Нос

к=Ь1П+2 к=<цп+1

+эс

к=щп+1

+эо +эо

= -Гп ^ - а1П)1т = -Г" ^ Л\1'1](-т^т.

т=1 т=\

Тогда по лемме 1 получаем:

+оо N-(1-1) . х J + l

Е = Е е</>

к=Ь1П+2 ,)=0 4 '

7+1

где е?> = ^М^Ч^М)

3

к- 1

А=1 х

Из (1.22) следует, что:

+00 Л'-(/-1) / + х 7 + 1

к—1)1П+2 ^=Г//7 + 1

ДО (

' Ч - 1

, Ч (¡77+2 . ч 7-С;/?-1

_У=С,/7+1

Отсюда заключаем, что справедливы равенства (1.18)—(1.20).

6. Осталось показать справедливость равенств (1.8)—(1.10) при |£| = 1. Они верны ввиду того, что можно непрерывно продолжить правую и левую части выражений (1.8)—(1.10) до точек |£| = 1.

Таким образом предложение 1 доказано. □

Далее будут получены функциональные свойства U(t), V(t), W(t). Вначале докажем лемму.

Лемма 2. Рассмотрим функция S(t) € С(t). представим,ую в круге \t\ < 1 равенством

+оо

Sit) = - Е P(-k)tk, где Р{х) G С[х]. k=1

777

Если Р(х) = J2 usX2s, т.е. Р(х) = Р(-х), Р(0) = 0,

.9=1

то S(t) = -S Q^ .

т

Если Р(х) = £ usx2a~l, т.е. Р(х) = -Р(-х),

.9=1

то S(t) = S . Доказательство леммы 2. Многочлен Р(х) можно представить в виде

т

Р(х) = ^TvsPb{x), где

.4=1

Pa(x) = (x-s + l)...(x- 1)х2{х + 1)... (х + s - 1) в первом случае и

Ps(x) = (х - s + 1)... (х - 1)х(х + 1)... (х + s - 1)

во втором случае. Поэтому достаточно проверить для Р{х) = Ps(x

Итак, пусть Р(х) = Ps{x), тогда (далее R(x) = Р(х 4- s) и а = к + s) круге |£| < 1

+оо +ЭС +ЭС

S{t) = - Е p(-k)tk = -f~s Е p(~k)tk+° = Е R{-a)ta-

k=L к=—в+1 о.= 1

Из леммы 1 получаем, что

S(t) = jr h, (

n V

2s 7 t v+i

л -1

3= 0

в первом случае и

2.9-1 , f y+l

S(t) = ^Г^ hj yj-~ J во втором, случае,

з+1

где hj = /с)

Jfe-1

к=1 4 '

Рассмотрим первый случай. Тогда

h0 = • • ■ = /¿2,ч—2 = 0, /¿2.s-i = —(2s — 1 )!s и h2.4 = -(2s - l)!s(2s) + (2s)!(s + 1) = (2s - l)!(2s).

Отсюда

/ t2a +2s+l \ ts , ¿.s+1

5(i) = t~\2s - l)!s - ■ + 2-——— = (2s - 1 )!s-

(£-1)2* (Л - 1)2^+1 у ^ '' - 1)26+1

Несложно убедиться, что = —5 (у). Рассмотрим второй, случай. Тогда

Д0 = • • • = Ь,2и~2 = 0 и /г2А_1 = (25 - 1)!.

Отсюда

{t-l)2s v r{t-l)2s' Несложно убедиться, что S(t) — S Лемма 2 доказана.

Следствие 1 (из леммы 2). Рассмотрим, функцию S{t) Е C(i). предстлви,-мую в круге \t\ < 1 равенством,

+ОС

s{t) = -tra J2 р(~кУк-< гдв aeZ 4 р(х) £ СМ-

А—я+1

т

Если Р(х) = J2 Ms + а)2*, т.е. Р(х) = Р(-х - 2а),Р(-а) = О,

s=1

то S(t) = -5 .

т

Если Р(х) = us(x + a)2s_1, т.е. Р(ж) = -Р(-х - 2а),

то ЗД = 5 ^ .

Доказательство следствия 1. Если п — к — а и Д(.т) = Р(.х — а), то получаем, что

+OG +ОС +ОС

S(t) = -t~a Е P{—k)tk = — ^ P{-k)tk~a = ~Y,R{~n)tn.

к=а+1 a'=a+1 ?i=l

m 7T>

Поскольку R(x) = usx2ii в первом, случай и R(x) = ?/А..т2б'~1 во вт,оро.м,

,9 = 1 .9 = 1

случае, то из леммы 2 получаем требуемое. □

В работах М.Г. Баитмаковой [12], [24] была фактически доказана следующая лемма (см. лемма 3.2 в [12], см. предложение 1 в [24]).

Лемма 3. Функции U(t),V(t),W(t) удовлетворяют равенствам,

U(t) = и , V(t) = -V , W(t) = w Q) .

Доказательство лемм,и Я. Здесь мы приведем элементарное доказательство

этой леммы. В силу равенств (1.18)—(1.20) имеем

+ЭО + 0О , ^ biii+2 \-Г , ¡>1/1+2 V-г /

U(t) = J2 M-k)tk = -r-V- Y A(—k)t,

k=bitl + 2 j„_bin+2 | ^

+oo +00

V(t) = -r^ £ A'(-fc)t* = -t-^ £

k=b2n+2 I

+oc +oo

k=b:in+2 ]z=i>2"+2 I I

Так как (из (1.2)) А(.т) - -А(-.т - bin - 2), Л'(.т) = - bin - 2),

А"{х) = -А"(-х - Ь\ть -2) w А'

то из следствия 1 из леммы 2 получаем требуемое. Лемма 3 доказана. □

Также в работе М.Г. Башмаковой [12] можно найти следующую лемму (см. лемма 2.1 в [12]).

Лемма 4. Пусть S(t) G Q{t).

Если S(t) = 5 Q), тогда S(t) = S (t + f) , где S(t) G Q(i).

£с./ш S(i) = -S тогда S{t) = (i - f) 5 (i + }) , где S{t) G Q(i).

Следствие 2 (из леммы 3). Для функций U(t), V(t). W(t) справедливы равенства

U(t) = # (* + > V(t) = (t - ^ V (t + , W(t) = I? (t + , ZdeÜ{t)tV(t)tW(t)e®(t).

1.3. Леммы об арифметических свойствах значений многочлена А(х) и его производных.

Мы будем обозначать через Р множество простых натуральных чисел, а через vp{f) степень вхождения числа р £ Р в разложении числа / £ Q на простые множители. Введем также обозначение для чисел р £ Р, g ^ 0 £ Z и а £ N

ур{д) — о-} если д делится на ра,

"р.а(д) =

О,

и нале;

Докажем свойство vp a{g).

Лемма 5. Пусть р £ Р, а £ N, д ф -1,..., -га, £ Z, га £ N. Тогда

+ ЭО

Vp,a{9 + 1) = £

fc=a+l

\д +11 ' д'

рк рк

(1.23)

г/,

???

+ 00

д + т ' д'

рк рк

а.-1 к=а+1

Доказательство леммы 5. Покажем первую формулу. Вторая будет, очевидно, следовать из неё. Если ир(д + 1) = п, то выполняется

~9 + Ц \ д] . , .

—— = —г +1, если к ^ п.

или

~9 + Ц \ 9] , . , Л

-—-— = —г . если к ^ п + 1.

V \ 1Р \

Т.е. правая часть (1.23) равна п — а, если п ^ а, и 0, если п < а. □

Дальнейшие рассуждения будут связаны со свойствами многочлена А{х) в целых точках. В них важную роль будет играть функция

р.(х,у) = ([х - аху) - [х- Ь1у]-[с1у}) +

+ ([х - а2у]-[х - Ъ2у] - [с2у})+ (1-24)

+ ([ж - а-6у) - [х - Ь3у] - [с3г/]). 29

Очевидно, что неравенство /7,(.х. у) ^ 0 выполняется при любых х и у (ввиду неравенства + ^ М + ^Ь применённого к каждой из скобок). Теперь обозначим через множество 0 ^ у < 1 таких, что при любом х выполняется неравенство

Обозначим через 1 множество нулей многочлена А(х) с учетом их крат-ностей, т.е.

1 = {а\п + 1,..., 6]П + 1; (Х'Уть + 1,..., Ь2п + 1; а%п + 1,..., Ь3п + 1}.

Обозначим через Зк = Под записью г ф ) Е 1 подразумевается, что г и

2 — это два различных элемента из 1, но, возможно, совпадающих численно. Кроме того считаем, что

ß{x,y) ^ 1.

Также определим множество

Л - (an + 1 )(с2п + 1 )(с3п + 1).

(1.25)

Лемма 6. Пусть р Е Е^ Тогда верны, следующие оценки:

1) для любого целого к такого, что Ь\п + 1 < к, верно

vv{A{-k)k) > max {ир ((j - к){г - к))} - 1, ?/j€ J

ир(А(-к)А) ^ max{i/p(j - к)} ,

ир(А(-к)А) > 1;

2) для любого целого к такого, что Ь2п + 1 < к ^ Ъ\П + 1, верно

ир{А'(-к)А) ^ 0;

3) для, любого целого к такого, что Ь-уп + 1 < к ^ Ь2п + 1. верно

ир(А"{-к)А) > -1.

Доказательство леммы 6. Обозначим через х — к~1

и у

р " {р

р G 51, то есть у £ Г2ь Мы будем пользоваться тем, что ¡i{x. у) ^ 1. 1. При bin + 1 < к выполняется, что

, при этом

А(-к)А

(к — 1 — ain)!

х

х

(к - 2 -

(&-1-а2п)! (А; — 1 — а$п)\

(к- 2 - Ь2п)!(с2гс)! (/с - 2 - &3гс)!(с3п)!' Несложно убедиться в следующей цепочке равенств:

+оо

г-2

к — 1 — а\п к- 2 - 6] гс С 1'П

Рг рг рг

+

+

к — 1 — а2п

рг

+

(1.26)

— ~к — 2 — Рг Ь2п — с2п рг +

1 — азп "к - 2- Ь'УП, с?>п

Р'' рг .Рг .

>

+оо г=2

к — 1 — ахгс 'к- 2 - б^гс"

рг рГ

+

+ +

к — 1 — а2?г 'к-2- Ъ2п

Pr J

+

/с — 1 — а3п 'к-2- Ъ3п

Рг J р>- ]

?eJ '¿eJfc

г .

Первое равенство выполняется из-за того, что р2 > С\П + 1, второе — в силу леммы 5, третье верно, т.к. J = J/,;.

Отсюда получаем следующие неравенства:

Ei ^ max {vp({i - k)(j - к))}

г G J

Si ^ max {vp(j — &)} — 1,

jeJfc

Si ^ 0,

так как vv,\{k - i) ) 0 и vp,\{k — i) ^ vp(k — г) — 1. Тогда выполняется

+OC

(1.27)

(1.28) (1.29)

vp{A{-k)A) = ]Г

r=1 +

к — 1 — а\п 'к - 2 - bin с3п

рг рг L Pr \

+

к — 1 — а2п к — 2 — Ь2п с2п

Р' рг _ р>- _

+ к — 1 — a3?i к — 2 — Ь3?г с3п

— —

L pr \ L Pr J IP1 J

+ I >

Используя неравенства (1.27)—(1.29), получаем требуемое в этом случае. 2. При Ь2п +1 < к ^ Ь]П + 1 выполняется, что

А'(-к) А = ( lyfc-ifo"1" 0:1 n)!(M + 1 -

х

X

(cm)!

(fc — 1 — а,2п)\ (к — 1 — а3п)!

(/с - 2 - Ь2п)!(с2п)! (/с - 2 - Ь3?г)!(с3п)!'

Далее мы воспользуемся тем, что при нецелом х верно [х] = — [—х] — 1, а при целом [х] = — [—х]. Тогда при bin + 1 — к не кратном р верно

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Полянский, Александр Андреевич, 2013 год

Литература

[1] А.Б. Шидловский. Диофантовы приближения и трансцендентные числа, Москва, Физматлит, 2007.

[2] Sondow, J. Irrationality Measures, Irrationality Bases, and a Theorem of Jarnik. http:/7arxiv.org/abs/math.NT/0406300.

[3] Roth, K.F., 'Rational Approximations to Algebraic Numbers"', Mathematika 2 (1955), 1-20.

[4] Roth, K.F. 'Corrigendum to :Rational Approximations to Algebraic Numbers', Mathematika 2 (1955), 168.

[5] В. Шмидт. Диофантовы приближения, Москва, МИР, 1983.

[6] Дж.В.В. Касселс. Введение в теорию диофантовых приближений, Москва, Издательство иностранной литературы, 1961.

[7] Б.Г. Тасоев. О рациональных приближениях некоторых чисел. Матем. заметки, 2000, 67, 6, стр. 931—937

[8] Зудилин В.В. Эссе о мерах иррациональности 7Г и других логарифмов. Чебытттёвский сборник. 5:2 (2004), 49-65

[9] Салихов В.Х. О мере иррациональности числа 7Г, Успехи математических наук, 2008, Том 63, вып.З, С.163-164.

[10] Салихов В.Х. О мере иррациональности числа 7Г, Матем. заметки, 88:4 (2010), 583-593

[11] В.Х. Салихов, О мерс иррациональности log3, Докл. РАН, 417, 6, 2007, 753-755

[12] Батнмакова M.Г. Об оценках иррациональности некоторых значений логарифмической функции. Диссертация на соискание научной степени кандидата физико-математических наук. Брянский государственный технический университет. Брянск. 2011. 91 стр.

[13] Сальникова Е.С. Диссертация на соискание научной степени кандидата физико-математических наук. Брянский государственный технический университет. Не нашел в интернете информацию!

[14] Томашевская Е.Б. О диофантовых приближениях значений некоторых аналитических функций. Диссертация на соискание научной степени кандидата физико-математических наук. Брянский государственный технический университет. Брянск. 2009. 99 стр.

[15] Золотухина Е.С. Диофантовы приближения некоторых логарифмов. Диссертация на соискание научной степени кандидата физико-математических наук. Брянский государственный технический университет. Брянск, 2009, 100 стр.

[16] Rhin G., Viola С. On a permutation group related to Ç(2), Acta Arith., 77, 1996, 23-56.

[17] Rhin G. Viola.С. The group structure for ((3), Acta Arith., 97, 2001, 269-293.

[18] Рухадзе E.A. Оценка снизу для приближения In 2 рациональными числами, Вестн. Моск. ун-та, Сер.1, 1987, .№6, С.25-29.

[19] Данилов JI.B. Рациональные приближения некоторых функций в рациональных точках, Мат. заметки, 1978, 24, С.449-458.

[20] Hata M. Legendre type polynomials and irrationality measures, J. reine and angew. Math., 1990, 407, P.99-125.

[21] Marcovccchio R., The Rhin-Viola method for log 2, Acta Arith., 139.2, 2009, 147-184.

[22] Нестеренко Ю.В. О показателе иррациональности числа In 2, Матем. заметки, 2010, том 88, 4, стр. 549-564

[23] Нестеренко Ю.В. Некоторые замечания о £(3), Матем. заметки, 1996, 59, №, 865-880.

[24] M.G. Bashmakova. Estimates for the exponent of irrationality for certain values of hypergcometric functions. Mos. Jour, of Comhin. and Number Theory, 1.1, (2011), 823-835.

[25] Hata M. Rational approximations to it and some other numbers, Acta Arithmetica, 1993, 63, 335-349.

[26] B.A. Андросенко, B.X. Салихов. Интеграл Марковеккио и мера иррациональности Вестник БГТУ. 34.4.2011 стр. 129-132

[27] Hata М. C2-saddle method and Beukers' integral, Trans. Amer. Math. Soc. 352 (2000), no.10, 4557-4583.

[28] А. А. Полянский О квадратичном показателе иррациональности In 2. Вестник МГУ Сер. 1. Матем., Мех. 2012 №1, 25-30.

[29] A. Polyanskii. On the irrationality measure of certain numbers. Moscow J. Comb, and Num. Theory. 2011, N4, 80-90.

[30] Уитеккер Э.Т., Ватсон Дж.Н. Курс современного анализа, ч.2, М.. Физ-матгиз, 1963.

[31] Олвер Ф. Введение в асимптотические методы и специальные фунции, М., Наука, 1978, 375 стр.

[32] Alladi K., Robinson M. On contain irrational value of the logrithm, Lect. Notes Math. ,1979, 751,P. 1-9

[33] Baker A. Approximations to the logarithms of the certain rational numbers, Acta Arithm., 1964, 10, P.315 - 323

[34] Cohen H., Acceleration de la convergence de certaines recurrences linéaires, Seminaire de Theorie des Nombres, Grenoble, 1980, 47p.

[35] E. Reyssat, Mesures de transcendance pour les logarithmes de nombres rationnels, Progr. Math., vol. 31, Birkhauscr, 1983 pp. 235-245.

[36] Chudnovsky G.V. Approximations rationnelles des logarithmes de nombres rationnels, C.r. Acad. sci.,Scr.A, 1979, 228,N21,S.607-609.

[37] Chudnovsky G.V. Number theoretic applications of polynomials with rational cocffitients defined by extremality conditions, Progr. Math., 1983, v.35,P.61-105.

[38] Rhin G. Approximants Pade et measures effectives d'irrationalité, Semin. Thoor. Nombres, Paris, 1985-1986, Boston: Basel, 1987, S.155-164.