Квантовые эффекты в присутствии нетривиальных классических решений тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, доктор физико-математических наук Силаев, Петр Константинович

• Силаев, Петр Константинович
• доктор физико-математических наук
• 2000

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Силаев, Петр Константинович

Введение

Глава I. Квантование теории гравитации в окрестности решения Шварцшильда.

1. Постановка задачи

2. Введение групповых переменных

3. Гамильтонов формализм и квантование.

4. Движение волновых пакетов

Глава II. Квантование теории гравитации в окрестности сферически-симметричного решения для скалярного поля в решения для скалярного поля в теории гравитации.

1. Постановка задачи

2. Уравнения для малых возмущений решения

3. Спектральная задача для нечетных возмущений

4. Спектральная задача для четных возмущений.

5. Квантование теории гравитации в окрестности решения для скалярного поля.

Глава III. Общее статическое сферически-симметричное решение для скалярного и электромагнитного полей в теории гравитации.

1. Постановка задачи

2. Построение решения.

Глава IV. Квантовые эффекты в окрестности решения для скалярного и электромагнитного полей в теории гравитации

1. Постановка задачи

2. Общая система уравнений для малых возмущений решения

3. Устойчивость относительно аксиальных возмущений

4. Возможность расщепления системы уравнений для аксиальных возмущений

5. Устойчивость относительно полярных возмущений.

6. Квантование теории гравитации в окрестности общего решения для скалярного и электромагнитного полей

Глава V. Квантовые эффекты в равномерно ускоренной системе отсчета и эффект Унру.

1. Связь полей, квантованных в пересекающихся областях

2. Квантование поля в равномерно ускоренной системе отсчета

3. Связь полей, квантованных в инерциальной и ускоренной системах отсчета

Глава VI. Спектральная задача в быстротном пространстве

1. Квантование с лоренцковариантцыми групповыми переменными и квантовые эффекты в ускоренной системе координат, быстротное пространство

2. Постановка задачи

3. Функция Грина

4. Условия "сшивания" для кусочно-постоянного потенциала

5. Теория возмущений для малых Ь

6. Случай большого потенциала: рекурсия для конечных матриц

7. Случай большого потенциала: итерационная процедура

8. Приближенное аналитическое решение системы.

9. Поправки к приближенному аналитическому решению системы

10. Точное аналитическое решение системы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Квантовые эффекты в присутствии нетривиальных классических решений»

Диссертация посвящена квантовым эффектам в присутствии нетривиальных классических решений.

Мы сосредоточимся главным образом на статических классических решениях в теории гравитации, поскольку квантование теории в окрестности таких решений приводит к нетривиальным результатам даже в нулевом порядке теории возмущений — т.е. в линейном приближении. Это связано с тем, что характер лагранжиана взаимодействия гравитационного и материального полей таков, что спектральная задача для малых (как квантовых, так и классических) возмущений существенным образом отличается от спектральной задачи в пространстве Минковского. Именно, наличие классического решения в нелинейной теории поля фактически приводит лишь к появлению того или иного потенциала в спектральной задаче для малых возмущений поля. И хотя даже в этом случае возникают достаточно нетривиальные проблемы при квантовании, в частности, проблема нулевых мод [1,2], но глобальные свойства спектральной задачи практически не меняются.

Совершенно иная ситуация имеет место для нетривиального решения в теории гравитации [3,4,5]. Метрика, и в особенности сингулярная метрика, меняет топологические свойства пространства, в нем появляются области, ограниченные особыми точками и проблема наложения граничных условий в этих особых точках оказывается достаточно нетривиальной. Кроме того, в спектральной задаче появляется вес (как правило сингулярный), что существенным образом меняет свойства полной ортонормированной системы функций, по которой раскладываются классические и квантовые возмущения поля. В частности, вопреки распространенному заблуждению, для достаточно хорошо изученной метрики Шварцшильда, сингулярность типа 1 /г2 появляется отнюдь не в потенциале для возмущений поля (что действительно могло бы приводить к падению частиц на центр и к несамосопряженному гамильтониану), а в весе (что приводит к совершенно другим следствиям).

Заметим, что такого рода эффекты могут возникать не только за счет ненулевой кривизны метрики, но и просто за счет выбора системы отсчета. В частности, простой переход в равномерно ускоренную систему отсчета существенно меняет топологию задачи. Что же касается спектральной задачи для этого случая, то, ввиду нелинейного характера координатного преобразования, она может претерпеть весьма значительные изменения. В частности, как мы увидим, в равномерно ускоренной системе отсчета задача на собственные значения для оператора, совпадающего с гамильтонианом в инерциальной системе отсчета, оказывается нелокальным конечно-разностным уравнением с мнимым шагом.

Как ни странно, эта задача имеет самое непосредственное отношение к задаче о лоренц-ковариантном квантовании в плоском пространстве в окрестности любого классического решения нелинейной теории поля. Дело в том, что трансляционные степени свободы классического решения как правило рассматриваются в нерелятивистском приближении. Попытка заменить галилееву группу на группу Пуанкаре немедленно приводит к возможности поворота в быстротном пространстве, т.е. к эффективному переходу в ускоренную систему координат. (Аналогичным образом квантование в окрестности решения, нарушающего сферическую симметрию, приводит к возможности обычного трехмерного вращения и, как следствие, к появлению спина [6]). Выражаясь несколько иначе, мы пытаемся перейти в систему отсчета, привязанную к решению, т.е. в систему центра масс системы, а оператором координаты центра масс является оператор поворота в быстротном пространстве, т.е. оператор буста. Переход к собственным функциям этого оператора это как раз и есть нелинейная замена координат, которая с точки зрения теории гравитации соответствует переходу в равномерно ускоренную систему координат. Так что результирующая спектральная задача для малых возмущений решения (вне зависимости от конкретного лагранжиана) окажется нелокальным конечно-разностным уравнением с мнимым шагом. Разумеется, в нерелятивистском приближении мы должны получить прежний ответ — уравнение типа Шредингера, потенциал в котором определяется видом классического решения. Однако вопрос о том, в каком смысле конечно-разностное уравнение может быть сведено к дифференциальному, крайне нетривиален и подробно исследуется в настоящей диссертации.

Мы не будем рассматривать возмущения во втором порядке — ни классические, ни квантовые. Надо сказать, что большинство работ, посвященных второму порядку теории возмущений, имеют целью не нахождение поправок к первому порядку теории возмущений как таковых, а попытку приближенного описания взаимодействия двух точных решений [7,8,9,10] и определения границ применимости такого описания [11,12]. В отсутствие аналитических решений и в отсутствие возможности провести удовлетворительный численный анализ таких процессов (в особенности для сингулярных решений), этот подход является одним из наиболее реальных. Впрочем, опыт аналогичного подхода в обычной нелинейной теории поля, а именно попытка описания взаимодействия пары кинк-антикинк в одномерной <^4-теории с помощью эффективной теории, в которой роль переменных играют возмущения кинка [13], показывает, что слишком многого в рамках этого подхода ожидать не следует. Попытка учета квантовых возмущений во втором порядке предпринята в работе [14]. Там оценивается обратное влияние квантовых флуктуаций поля на метрику, в которой они существуют. К сожалению, сама постановка задачи в определенном смысле является несамосогласованной. Действительно, реализация процедуры квантования возможна лишь при разделении порядков малости — фоновая метрика соответствует нулевому порядку, квантовые флуктуации — первому, а обратное влияние квантованного поля на метрику — второму. Так что если будет получено заметное обратное влияние на метрику, то этот ответ следует признать нарушающим принятую иерархию порядков малости, т.е. несамосогласованным. Впрочем, в [14] было показано, что заметного влияния нет.

Заметим, что задача квантования в окрестности нетривиального классического решения и задача доказательства устойчивости относительно малых классических возмущений нетривиального классического решения практически эквивалентны друг другу.

Надо подчеркнуть, что в настоящее время большинство доказательств устойчивости точных решений теории гравитации страдают неполнотой. Именно, вместо постановки спектральной задачи для всех возможных возмущений всех полей, участвующих в решении, исследуется устойчивость лишь относительно некоторых возмущений (например, сферически-симметричных) или вообще только относительно вариаций параметров решения.

Довольно очевидно, что таким способом можно доказать лишь неустойчивость решения. И действительно, для большинства "волосатых" решений для Янг-Миллсовского поля в теории гравитации неустойчивость доказана именно с помощью анализа сферически-симметричных возмущений (точнее, возмущений тех функций радиальной переменной, которые описывают статическое решение) [15,16,17, 18,19,20,21,22]. Однако ясно, что даже если мы получили доказательство устойчивости относительно этого узкого класса возмущений, у нас нет никаких оснований утверждать, что устойчивость решения доказана в строгом смысле.

Как правило для оправдания подхода, связанного с анализом только некоторого класса возмущений, приводятся два аргумента: во-первых, утверждается, что ввиду малости гравитационной константы взаимным влиянием возмущений материального и гравитационного полей можно пренебречь. Однако спектральная задача линейна, так что коэффициенту в перекрестном члене, описывающем взаимодействие полей, можно придать произвольное значение простым масштабированием. Исследование полной спектральной задачи как правило приводит к выводу, что пренебречь перекрестным членом нельзя, более того, оказывается, что "замораживание" возмущений одного из полей приводит к противоречию.

Во-вторых, утверждается, что если решение устойчиво относительно сферически-симметричных возмущений, то оно тем более устойчиво относительно возмущений с I > 0. Однако в данном случае мы имеем дело с полями со спином, поэтому структура уравнений для в,-волны может существенно отличаться от структуры уравнений для я-волны. Кроме того, из теории рассеяния мы знаем, что отсутствие резонансов в й-волне отнюдь не исключает наличия р- или (I-резонансов.

Разумеется, истинная причина исследования возмущений только некоторых степеней свободы лежит в исключительной громоздкости полного исследования. Только наиболее простые решения — Швар-цшильда, Рейсснера-Нордстрема, Керра — исследованы полностью, причем спектральная задача получена только для возмущений первых двух решений. В настоящей диссертации мы проведем полное исследование устойчивости некоторых невакуумных (с ненулевыми материальными полями) решений теории гравитации.

Следует подчеркнуть, что задача о малых классических возмущениях решения в теории гравитации, помимо решения вопроса об устойчивости, может иметь и непосредственные астрофизические приложения — если то или иное решение служит моделью астрофизического объекта, то его возмущения описывают отклик объекта на внешние возмущения. В частности, наличие резонансов в спектральной задаче (в астрофизической литературе их принято называть "квазинормальными модами") приводит к тому, что отклик решения на внешнее возбуждение (падающую волну или падающую точечную частицу) сводится к излучению на резонансных частотах, параметры которого практически не зависят от исходного возмущения, зато позволяют определить многие внутренние параметры объекта [23,24,25,26,27,28,29,30].

После того, как решена задача на классические возмущения — поставлена спектральная задача для возмущений, обоснована положительная определенность спектра и полнота соответствующего набора собственных функций, т.е. доказана устойчивость решения — задача квантования теории в действительности становится тривиальной. Именно, при наличии спектральной задачи на возмущения в форме уравнения типа Шредингера, мы просто выполняем квантование возмущений, пользуясь полной ортонормированной системой функций, возникающей в спектральной задаче. Разумеется, при таком прямолинейном подходе к квантованию будут нарушены исходные симметрии теории — как трансляционная, так и калибровочная (репараметриза-ционная). Чтобы их сохранить, мы предпримем некоторые дополнительные шаги, а именно будем пользоваться методом групповых переменных Н.Н.Боголюбова, причем мы будем вынуждены ввести как "трансляционные", так и "калибровочные" групповые переменные. Однако, в действительности результаты квантования будут практически идентичными — все отличие заключается в том, что прямолинейная процедура идет с явным нарушением исходных симметрий теории.

Структура диссертации следующая:

В главе 1 проведено квантование теории гравитации в окрестности решения Шварцшильда методом групповых переменных H.H. Боголюбова и исследованы квантовые эффекты в линейном приближении.

В главе 2 проведено исследование малых классических возмущений в окрестности решения для скалярного поля в теории гравитации, доказана его устойчивость и проведено квантование в его окрестности.

В главе 3 построено общее статическое сферически-симметричное решение для безмассового скалярного и электромагнитного полей в теории гравитации.

В главе 4 исследованы малые классические возмущения в окрестности общего статического сферически-симметричного решения для скалярного и электромагнитного полей в теории гравитации, полученного в главе 3, доказана его устойчивость и проведено квантование в его окрестности.

В главе 5 установлена связь между полями, квантованными в пересекающихся областях и на этой основе исследован вопрос о квантовых эффектах в ускоренных системах отсчета и исследована возможность наблюдения рождения частиц в таких системах.

В главе 6 показано, что задача на спектр малых возмущений в ускоренных системах отсчета и задача на спектр малых возмущений произвольного классического решения нелинейной теории поля в системе центра масс идентичны и сводятся к спектральной задаче в бы-стротном пространстве. Спектральная задача в быстротном пространстве представляет собой конечно-разностное уравнение с мнимым шагом, свойства которого исследованы для некоторых классов потенциалов при различных значениях параметров задачи. Получены приближенные аналитические, численные и точные аналитические решения.

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Силаев, Петр Константинович

Заключение.

Суммируем основные результаты, полученные в диссертации.

Было проведено квантование теории гравитации методом групповых переменных Н.Н.Боголюбова в окрестности решения Швар-цшильда. Построен квантовый гамильтониан (в квадратичном по квантовым полям приближении). Проведена его диагонализация. Исследование движение соответствующих волновых пакетов. Обнаружено, что операторы рождения и уничтожения делятся на "внешние" и "внутренние" : первые порождают состояния, локализованные во внешней области решения Шварцшильда, вторые — во внутренней области. Классический предел теории строится, разумеется, только во внешней области, т.е. все "внутренние" эффекты являются чисто квантовыми. В классическом пределе во внешней области строятся обычные волновые пакеты из гравитонов, которые движутся по нулевым геодезическим.

Показана также возможность построения одночастичного состояния с непрерывной (в смысле непрерывности потока) волновой функцией во всем пространстве (квантовый случай). Для таких состояний невозможна локализация одного пакета во внешней (или внутренней) области, неизбежно появление "двойника" в другой области.

Были исследованы классические возмущения статического сферически-симметричного решения для скалярного поля в теории гравитации.

Соответствующая система уравнений сведена к трем независимым радиальным дифференциальным уравнениям типа Шредингера для каждой из трех степеней свободы (точнее, для парциальных коэффициентов каждой из этих независимых степеней свободы). Иными словами, выделены независимые компоненты возмущений, а все остальные компоненты возмущений метрики выражены через них. Проведено сравнение классических возмущений решения Шварцшильда (случай отсутствия фонового материального поля) и классических возмущений при наличии фонового материального поля. Показано, что для "нечетной" и "четной" независимых компонент возмущений в окрестности решения Шварцшильда можно найти аналоги и в случае "невакуумного" решения. Разумеется, соответствующие независимые компоненты возмущений не являются вполне гравитационными, поскольку содержат возмущения скалярного поля. Отличаются и соответствующие уравнения, эти отличия связаны с изменением вида метрики.

Однако, несмотря на аналогию между уравнениями для возмущений решения Шварцшильда и решения для скалярного поля, свойства спектральных задач оказываются существенно разными. Это связано с тем, что сингулярность в метрике (и, следовательно, в весе, т.е. в коэффициенте при собственном значении) для "невакуумного" решения оказывается " мягче", и асимптотика собственной функции в окрестности сингулярности перестает зависеть от собственного значения. Сингулярность перестает быть эффективной бесконечно удаленной точкой, и, как следствие, меняется кратность вырождения спектра.

Однако, несмотря на эти отличия в свойствах спектральной задачи, удалось доказать полноту системы собственных функций и положительную определенность спектра, т.е. обосновать устойчивость решения.

На основании этих результатов было проведено квантование в окрестности статического сферически-симметричного решения для скалярного поля в теории гравитации.

Было построено общее статическое сферически-симметричное решение для безмассового скалярного и электромагнитного полей в теории гравитации. Это решение параметризуется значением массы решения, зарядом решения и величиной скалярного поля, и довольно сильно отличается по свойствам от известного решения для конформного скалярного поля. В частности, характер сингулярности решения аналогичен характеру сингулярности в решении для скалярного поля, а не решения Рейсснера-Нордстрема. В частных случаях отсутствия того или иного поля решение, разумеется, сводится к решению Шварцшильда, решению для скалярного поля и решению Рейсснера-Нордстрема.

Следует подчеркнуть, что в действительности может быть построено целое семейство (параметризуемое произвольной функцией) совершенно аналогичных решений, но с помощью существенно нелинейных и физически неестественных лагранжианов взаимодействия скалярного и электромагнитного полей [119]. По-видимому, на роль модели какого-либо астрофизического объекта может претендовать только рассмотренное нами решение.

Было показано, что полученное в третьей главе решение для скалярного и электромагнитного полей устойчиво относительно малых классических возмущений. Для этого была поставлена и решена спектральная задача для этих возмущений, как полярных, так и аксиальных.

Было показано, что в случае аксиальных возмущений спектральная задача представляет собой уравнение типа Шредингера для двух независимых компонент возмущения, причем потенциал представляет собой симметричную матрицу размерности 2x2. Доказано, что, в отличие от случая решения Рейсснера-Нордстрема, диагонализовать этот потенциал невозможно, поскольку потенциал дуального уравнения также является недиагональным. Показано, что дифференциальный оператор этой спектральной задачи может быть сделан самосопряженным путем наложения соответствующего граничного условия. Была доказана положительная определенность спектра, что позволило сделать вывод об устойчивости решения относительно аксиальных возмущений.

Было установлено, что спектральная задача для полярных возмущений обладает совершенно иными свойствами. Именно, хотя исходная система уравнений для возмущений представляет собой формально-симметричную задачу, но выделение независимых степеней свободы (трех независимых компонент возмущений) и запись системы уравнений в форме спектральной задачи на эти три независимые компоненты возмущений приводит к тому, что матрица потенциала в спектральной задаче оказывается несимметричной. Тем самым корректное аналитическое доказательство устойчивости решения относительно полярных возмущений оказывается невозможным. Поэтому устойчивость решения была обоснована путем численного исследования полученной спектральной задачи.

Постановка спектральной задачи для возмущений позволила провести квантование теории в окрестности рассматриваемого решения и диагонализовать квантовый гамильтониан. Хотя метод квантования ничем не отличается от метода, использованного при квантовании в окрестности решения Шварцшильда, его результаты радикально отличаются от результатов квантования в окрестности решения Шварцшильда. Было показано, что, как и в случае решения для скалярного поля, непрерывный спектр оказывается невырожденным, и поток в окрестности сингулярности тождественно равен нулю. Поэтому характер движения одночастичных пакетов в окрестности рассматриваемого решения существенно отличается от движения пакетов в окрестности решения Шварцшильда и напоминает скорее движение пакетов в задаче рассеяния для уравнения типа Шредингера в рамках обычной квантовой механики.

Были изучены квантовые эффекты в ускоренной системе координат. Было показано, что поля, квантованные в двух пересекающихся областях (в частности квантованные в разных системах координат, связанных сингулярным координатным преобразованием), оказываются разными физическими объектами. Таким образом, к результатам, связанным с рождением частиц из-за гравитационных эффектов, следует подходить с осторожностью.

Разумеется, нестационарная метрика в процессе эволюции будет рождать частицы. Но в статической метрике как правило можно провести квантование, которое приведет к самосопряженному гамильтониану, т.е. к гамильтониану, гарантирующему сохранение вероятности и коммутирующему с оператором числа частиц. Самосопряженность гамильтониана обеспечивается наложением граничных условий, смысл которых заключается в подавлении потока сквозь границу области, в которой квантовано поле.

Поэтому если вместо поля, квантованного в меньшей области (у которого поток на границе области равен нулю), в формулу для оператора рождения-уничтожения подставить поле, квантованное в большей области (и поток которого на границе, разумеется, не равен нулю), то эффект прохода сквозь границу области превратится в эффект "рождения" частиц, что выразится в появлении перекрестных членов в преобразовании от операторов рождения-уничтожения одного поля к операторам рождения-уничтожения другого.

Но эти два поля существуют в двух совершенно разных ситуациях (наличие непроницаемой границы области или ее отсутствие), так что такое преобразование (отождествление разных операторов), по-видимому, просто не имеет физического смысла, и делать какие-либо выводы из полученных соотношений было бы неосторожно.

Связь можно установить только между подпространствами состояния этих полей, поскольку в пространстве состояний поля, квантованного в большей области, всегда найдется подпространство состояний с нулевым потоком на границе меньшей области.

Наконец, было проведено подробное исследование спектральной задачи в быстротном пространстве. Эта задача возникает в таких на первый взгляд не связанных между собой областях, как квантование в окрестности нетривиальных решений нелинейных теорий поля и исследование квантовых эффектов в ускоренных системах координат. Полученные результаты могут быть применены при исследовании низкоэнергетической физики адронов, в частности для исследований в рамках моделей мешков (вне зависимости от конкретной выбранной модели мешка) и при интерпретации тех или иных эффектов, получаемых при исследовании квантованных полей в ускоренных системах отсчета, в частности при исследовании вопроса о возможности детектирования рождающихся частиц (опять-таки вне зависимости от конкретного лагранжиана). Следует также отметить, что полученные результаты могут быть полезны и в такой (совершенно не связанной с кругом вопросов, обсуждаемых в диссертации) области, как теория устойчивости разностных схем.

В рамках этого исследования удалось показать, что, во-первых, при малых масштабах нелокальности задачи (малом значении шага в конечно-разностном уравнении с мнимым шагом) результаты решения спектральной задачи в быстротном пространстве воспроизводят результаты решения обычной спектральной задачи типа Шредингера, т.е. в определенном смысле существует "классический предел" задачи при стремлении шага к нулю. Заметим, что этот результат достаточно нетривиален, поскольку заранее очевидно лишь само существование решения, но отнюдь не вид решения, который может довольно сильно отличаться от "классического решения".

Во-вторых, была разработана теория возмущений, позволяющая при малом значении шага найти поправки к собственным значениям и собственным функциям спектральной задачи.

В-третьих, были разработаны и реализованы две альтернативные вычислительные схемы, которые позволяют численно находить собственные значения и собственные функции задачи для того случая, когда теория возмущений неприменима.

Наконец, было построено приближенное аналитическое решение спектральной задачи для случая не слишком больших значений потенциала.

Далее, было произведено исследование случая очень больших значений потенциала (этот случай в определенном смысле эквивалентен случаю очень узкой потенциальной ямы). Оказалось, что в этом случае результаты существенным образом отличаются от результатов "классической" спектральной задачи. Именно, хотя характер убывания "неклассических" поправок остается прежним, т.е. масштаб делокализа-ции потенциала, казалось бы, должен быть по-прежнему порядка шага, в действительности величина " неклассических" поправок настолько велика, что им "становится тесно" в яме, и ширина ямы эффективно уменьшается (правда, очень медленно, как двойной логарифм величины потенциала). Это приводит к тому, что спектр, в отличие от обычной спектральной задачи типа Шредингера, начинает неограниченно расти с ростом потенциала.

Была построена еще одна теория возмущений — уже по поправкам, связанным с делокализацией потенциала. И, наконец, было построено вполне точное аналитическое решение задачи. К сожалению, это решение в определенном смысле должно быть названо формальным, поскольку представляет собой очень громоздкое бесконечное произведение (или не менее громоздкий бесконечный ряд).

Автор считает своим приятным долгом поблагодарить коллектив кафедры квантовой теории и физики высоких энергий физического факультета МГУ за обстановку, способствующую успешной работе, и в особенности О.А.Хрусталева и К.А.Свешникова за многочисленные плодотворные дискуссии.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Силаев, Петр Константинович, 2000 год

1. Н.Н. Боголюбов, "Об одной новой форме адиабатической теории возмущений в задаче о взаимодействии частицы с квантованным полем", УМЖ, 1950, т.2., N 2, с. 3-24.

2. Н.Н. Боголюбов, "Избранные труды", т.2., Киев.: "Наукова думка", 1970, с. 499-520.

3. А.А.Логунов, М.А.Мествиришвили, "Релятивистская теория гравитации", М.: Наука, 1989.

4. А.А.Логунов, М.А.Мествиришвили, "Основы релятивистской теории гравитации", М.: МГУ, 1986.

5. А.А.Логунов А.А., М.А.Мествиришвили, ЭЧАЯ, 1986, т. 17., с. 5-159.

6. R.Jackiw, C.Rebbi, "Spin from isospin in gauge theory", Phys. Rev. Lett., 1976, v. 36. p. 1116-1121.

7. R.H.Price, J.Pullin, "Colliding black holes: the close limit", Phys. Rev. Lett., 1994, v. 72, p. 3297-3300.

8. P.Anninos, R.H.Price, J.Pullin, E.Seidel, W.M.Suen, "Head-on collision of two black holes: comparison of different approaches", Phys. Rev., 1995, v. 52D, p. 4462-4480.

9. A.Abrahams, R.H.Price, "Applying black hole perturbation theory to numerically generated spacetimes", Phys. Rev. D, 1996, v. 53, p. 1963-1971, p. 1972-1976.

10. W.Kriven, R.H.Price, "Formation of a rotating black hole from a close limit head-on colliion", Phys. Rev. Lett., 1999, v. 82, p. 1358-1361.

11. R.Gleiser, O.Nicasio, R.H.Price, J.Pullin, "Evolving the Bowen-York initial data for spinning black holes", Phys. Rev. D, 1998, v. 57, p. 3401-3407.

12. R.Gleiser, O.Nicasio, R.H.Price, J.Pullin, "The collision of boosted black holes: second order close limit calculations", Phys. Rev. D, 1999, v. 59, 044024.

13. P.Anninos, S.Oliveira, R.A.Matzner, "Fractal structure of quasibreather spectrum", Phys.Rev. D, 1991, v. 44, p. 1147.

14. B.E.Taylor, W.A.Hiscock, P.R.Anderson, "Semiclassical charged black holes with a quantized massive scalar field", Phys. Rev. D, 2000, v. 61, 084021.

15. N.Straumann, Z.Zhou, "Instability of YM black hole", Phys. Lett. B, 1990, v. 243, p. 33-52.

16. N.Straumann, Z.Zhou, "New solution of EYM equations", Nucl. Phys., 1991, v. 360, p. 180-195.

17. K.Lee, V.Nair, E.Weinberg, "New magnetically charged black holes", Phys. Rev. Lett., 1992, v. 68, p. 1100-1104.

18. B.Greene, S.Mathur, C.O'Niell, "Breakdown of the semiclassical approximation at the black hole horizon", Phys. Rev. D, v. 47, 1993, p. 2242-2258.

19. K.Maeda, T.Tachizawa, T.Torii, T.Maki, "Stability of non-abelian black holes", Phys. Rev. Lett., 1994, v. 72, p. 450-453.

20. T.Torii, K.Maeda, T.Tachizawa, "Non-abelian black holes and catastrophe theory I" Phys. Rev. D, v. 51, 1995, p. 1510-1524.

21. K.Maeda, T.Tachizawa, T.Torii, "Non-abelian black holes and catastrophe theory II" Phys. Rev. D, v. 51, 1995, p. 4054-4066.

22. E.Winstanley, N.E.Mavromatos, "Instability of hairy black holes in spontaneously broken E-YMH system", Phys. Lett. B, 1995, v. 352, p. 242-257.

23. S.Detweiler, "Quasi-normal modes of Kerr black hole", Ap.J., 1980, v. 239, p. 292-295.

24. B.D.Gaiser, P.V.Wagoner, "Resonate modes of Schwarzshild black hole", Ap.J., 1980, v. 240, p. 648-656.

25. V.Ferrari, R.Ruffini, "QNM of rotating black hole", Phys. Lett. B, 1981, v. 98, p. 381-387.

26. V.Ferrari, B.Mashhoon, "New approach to the quasi-normal modes of a black hole", Phys. Rev. D, 1984, v. 30 p. 295-302.

27. E.W.Leaver, "Resonate mode estimation for a black hole", Phys. Rev. D, 1986, v. 36, p. 384-397.

28. S.Iyer, C.M.Will, "New approach to numerical computation of QNM", Phys. Rev. D, 1987, v. 35, p. 3621-3626.

29. Z.Andrare, R.H.Price, "Excitation of the odd-parity quasi-normal modes of compact objects", Phys. Rev. D, 1999, v. 60, 104037.

30. V.Ferrari, M.Pauri, F.Piazza, "Quasi normal modes of charged dilaton black holes", http://xxx.lanl.gov, gr-qc/0005125.

31. М.П.Бронштейн, "Квантование гравитационных волн", ЖЭТФ, 1936, т.6, с. 195-208.

32. P.A.M.Dirak, "Generalized hamilton dynamics", Proc. Roy. Soc., 1958, v.A246, N 3, p. 326-333, p. 333-343.

33. Dirak P.A.M., "Fixation of the coordinates in the hamiltonian theory of gravitation", Phys. Rev., 1959, v. 114, p. 924-932.

34. П.А.М.Дирак, "Лекции по квантовой механике", М.: Мир, 1968.

35. R.Arnowitt, S.Deser, C.W.Misner, "Energy and mass definition in general relativity", Phys. Rev., 1959, v.116, p. 1322-1334.

36. B.S.DeWitt, "Quantum theory of gravitation", Phys. Rev., 1967., v.160, p. 1113-1130.

37. L.D.Faddeev, V.N.Popov, Phys. Lett. B, 1967, v. 25, p. 29.

38. T.Regge, C.Teitelboim, "Role of surface integrals in the hamiltonian formulation of general relativity", Ann. Phys., 1974, v. 88, p. 286-318.

39. G.W.Gibbsons, S.W.Hawking, "Energy in general relativity", Phys. Rev. D, 1977, v. 15, p. 2752-2764.40. p^S.DeWitt, "Gauge in general relativity", Phys. Rev., 1967, v. 162, p. 11951209, p. 1239-1257.

40. D.Gross, M.J.Perry, A.Yaffe, "Instability of the flat space at finite temperatures", Phys. Rev. D, 1982, v. 25, p. 330-355.

41. J.I.Kapusta, "Nucleation rate for black holes", Phys. Rev. D, 1984, v. 30, p. 831-835.

42. B.Allen, "Euclidean Schwarzshild negative mode", Phys. Rev. D, 1984, v. 30, p. 1153-1165.

43. T.Regge, "Gravitation fields and quantum mechanics", Nuov. Cim., 1958, v.7, p. 215-219.

44. Соловьев В.О., Тверской В.Б., Преобразование Боголюбова в релятивистской теории гравитации: Препринт ОТФ 87-8. Серпухов: ИФВЭ, 1987.

45. Соловьев В.О., Гамильтонов подход в релятивистской теории гравитации и общей теории относительности: Препринт ОТФ 86-190. Серпухов: ИФВЭ, 1986.

46. T.Regge, J.A.Wheeler, "Stability of Schwarzshild black hole", Phys. Rev., 1957, v. 108, p. 1063-1069.

47. S.A.Teukolsky, "Perturbations of a rotating black holes", Ap. J., 1973, v. 185, p. 635-647.

48. S.A.Teukolsky, "Equations for perturbations of a rotating black holes", Phys. Rev. Lett., 1972, v. 29. p. 1114-1117.

49. V.Moncrief, Phys. Rev. D, 1974, v. 9, p. 2707.

50. V.Moncrief, Phys. Rev. D, 1974, v. 10, p. 1057.

51. V.Moncrief, "Gauge-invariant perturbations of Reissner-Nordstrom black hole", Phys. Rev. D, 1975, v. 12, p. 1526-1535.

52. S.Chandrasekhar, "On the equations governing the perturbations of the Schwarzshild black hole", Proc. Roy. Soc., 1975, v. A343, p. 289-298.

53. R.H.Price, "Nonspherical perturbations of relativistic gravitational collapse", Phys. Rev. D, 1972, v. 5, p. 2439-2454.

54. F.J.Zerilli, "New approach to the perturbations of a Schwarzshild black hole", Phys. Rev. Lett., 1970, v. 24, p. 737-740.

55. F.J.Zerilli, "Gravitational radiation of a black hole, induced by material point", Phys. Rev. D, 1970, v. 2, p. 2141-2160.

56. G.t'Hooft, M.Veltman, "Perturbation theory in general relativity", Ann. inst,. Poincare., 1974, v. 20, p. 245-256.

57. S.Deser, P. van Nieuwenhuizen, "Perturbation theory in quantum gravity", Phys. Rev. D, 1974, v. 10, p. 401-419.

58. Е.Вейнберг, "Ультрафиолетовые расходимости в квантовой теории гравитации", в сб. "Общая теория относительности", под ред. С.Хокинга и В.Израэля, М.: Мир. 1983.

59. С.Хокинг, "Интегралы по траекториям в приложении к квантовой гравитации", в сб. "Общая теория относительности", под.ред. С.Хокинга и В.Израэля, М.: Мир. 1983.

60. C.M.Kruskal, "Coordinate transformations for Schwarzshild black hole", Phys. Rev., 1960, v. 119, p. 1743-1752.

61. R.A.Matzner, "Scattering of massless scalar field by a Schwarzshild singularity", Journ. Math. Phys., 1968, v. 9, p. 163-170.

62. E.Tomboulis, "Canonical quantization of nonlinear waves", Phys. Rev. D, 1975, v. 12, p. 1679-1687.

63. П.А.М.Дирак, "Принципы квантовой механики", М.: ГТШ, 1932.

64. Н.Н.Боголюбов, Д.В.Ширков, "Введение в теорию квантованных полей", М.: Наука, 1976.

65. E.T.Newman, R.Penrose, "Spin-weighted spherical harmonics", J. Math. Phys., 1966, v. 7, p. 863-870.

66. J.N.Goldberg, A.J.Macfarlane, E.T.Newman, F.Rohrlish, E.C.G. Sudarshan, "Spin-s spherical harmonics", J. Math. Phys., 1967, v. 8, p. 2155-2161.

67. А.В.Разумов, Преобразование Боголюбова и квантование солитонов: Препринт ОТФ 76-52. Серпухов: ИФВЭ, 1976.

68. E.W.Leaver, "Solution to a generalized spheroidal wave equation: Teukolsky's equation in general relativity and the two-center problem in molecular quantum mechanics", J. Math. Phys., 1986., v. 27, p. 1238-1265.

69. E.D.Fackerell, R.G.Crossman, "Spin-weighted angular spheroidal functions", J. Math. Phys., 1977, v. 18, p. 1849-1854.

70. Н.Данфорд, Дж.Т.Шварц, "Линейные операторы", М.: Мир, 1966.

71. Р.Рихтмайер, "Принципы современной математической физики", М.: Мир, 1982.

72. С.V.Vishveshwara, "Stability of the Schwarzshild metric", Phys. Rev. D, 1970, v. 1, p. 2870-2879.

73. R.M.Wald, "Positive definiteness of Regge-Wheeler spectrum", J. Math. Phys., 1979, v. 20, p. 1056-1058.

74. E.T.Newman, R.Penrose, "An approach to gravitational radiation by a method of spin coefficients", J. Math. Phys., 1962, v. 3, p. 566-581.

75. V.Moncrief, Ann. Phys., 1974, v. 88, p. 323-330.

76. C.Cunningham, R.Price, V.Moncrief, "Equations governing the perturbations of RN solution", Ap. J., 1979, v. 230, p. 870-879.

77. U.H.Gerlach, U.K.Sengupta, Phys. Rev D, 1979, v. 19, p. 2268-2274.

78. U.H.Gerlach, U.K.Sengupta, "New approach to the description of gravitational radiation", Phys. Rev D, 1980, v. 22, p. 1300-1307.

79. A.Abrahams, A.Anderson, Y.Choquet-Bruhat, J.W.York, "Einstein and Yang-Mills theories in hyperbolic form without gauge fixing", Phys. Rev. Lett., 1995, v. 75, p. 3377-3381.

80. O.Brodbeck, M.Heusler, O.Sarbach, "The generalization of the Regge-Wheeler equation for self-graviting matter fields", Phys. Rev. Lett., 2000, v. 84, p. 3033-3037.

81. L.A.Edelstein, C.V.Vishveshwara, "Equations for perturbations of the Schwarzshild black hole", Phys. Rev. D, 1970, v. 1, p. 3514-3518.

82. S.Chandrasekhar, S.Detweyler, "The quasi-normal modes of the Schwarzshild black hole", Proc. Roy. Soc., 1975, v. A344, p. 441-452.

83. С.Чандрасекар, "Математическая теория черных дыр", 2 т. М.: Мир, 1986.

84. S.Chandrasekhar, "On the equations governing the axisymmetric perturbations of the Kerr black hole", Proc.Roy.Soc., 1975, v. A345, p. 145-157.

85. C.W.Mizner, "Amplification of waves by Kerr metric", Phys. Rev. Lett., 1972, v. 28, p. 994-1001.

86. Я.Б.Зельдович, "Усиление волн при отражении от вращающейся черной дыры", Письма в ЖЭТФ, 1971, т. 14, с. 270-272.

87. S.W.Hawking, "Particle creation by black holes", Comm. Math. Phys., 1975, v. 43, p. 199-220.

88. S.W.Hawking, "Black hole explosions?", Nature, 1974, v. 248, p.30-31.

89. R.M.Wald, "On particle creation by black holes", Comm. Math. Phys., 1975, v. 45, p. 9-34.

90. К.А.Свешников, П.К.Силаев, "Некоторые точные решения для скалярного поля в РТГ", ТМФ, 1988, т. 76, с. 477-480.

91. Г.Н.Шикин, К.А.Бронников, "Солитоноподобное решение для скалярного поля с учетом гравитации", ТМФ, 1988, т. 76, с. 304-313.

92. T.Damour, A.M.Polyakov, "String theory and gravity", GRG, 1994, v. 26, p. 1171-1176.

93. T.Damour, G.W.Gibbons, G.Gundlach, Phys. Rev. Lett., 1990, v. 64, p. 123-127.

94. П.К.Силаев, "Статическое сферически-симметричное решение для скалярного и электромагнитного полей", ТМФ, 1992, т. 91, с. 418-425.

95. G.W.Gibbons, Nucl. Phys. B, 1982, v. 207, p. 337-342.

96. G.W.Gibbons, K.Maeda, "Instability of YM black hole solution", Nucl. Phys. В., 1988, v. 298, p. 741-749.

97. D.Garfinke, G.T.Horowitz, A.Strominger, Phys. Rev. D, 1991, v. 43, p. 314320.

98. J.H.Horne, G.T.Horowitz, "Black holes coupled to a massive dilaton", Phys. Rev. D, 1992, v. 46, p. 134-169.

99. S.J.Poletti, D.L.Wilshire, "Global properties of static spherically symmetric charged dilaton spacetimes with a Liouville potential", Phys. Rev. D, 1994, v. 50, p. 7260-7270.

100. C.F.E.Holzhey, F.Wilczek, "Self-interaction correction to black hole radiance", Nucl. Phys. B, 1992, v. 380, p. 447-463.

101. Ph.Jetzer, D.Scialom, "Asymptotic behaviour of complex scalar fields" Phys. Lett., 1992, v. 169A, p. 12-20.

102. L.Parker, Phys. Rev., 1969, v. 183, p. 1057-1063.

103. L.Parker, "Particle creation in curved space-time", Phys. Rev. Lett., 1971, v. 3. p. 346-355.

104. W.Rindler, Amer. J. Phys., 1966, v. 34, p. 1174-1181.

105. P.C.W.Davies, "Accelerated detector and creation of particles", J. Phys., 1975, v. A8, p. 609-611.

106. W.G.Unruh, "Detector excitations in Rindler metric", Phys. Rev. D, 1976, v. 14, p. 870-875.

107. W.G.Unruh, R.M.Wald, Phys. Rev. D, 1984, v. 29, p. 1047-1051.

108. C.A.Manoque, "Particle creation by strong external fields", Ann. Phys., 1988, v. 181, p. 261.

109. П.К.Силаев, Хрусталев О.А., "Связь полей, квантованных в пересекающихся областях и эффект Унру", ТМФ, 1992, т. 91, с. 217-233.

110. Г.Бейтмен, А.Эрдейи, "Высшие трансцендентные функции", т. 2, М.: Наука, 1966.

111. К.А.Свешников, "Квантовая динамика протяженного объекта в групповых переменных Н.Н.Боголюбова", ТМФ, 1988, т. 75, с. 218-224.

112. К.А.Свешников, "Классическое решение уравнений движения в квантовой теории Ферми-полей", ТМФ, 1988, т. 76, с. 31-46.

113. K.Sveshnikov, "Finite-difference effects and quantization of classical solutions", Phys. Lett., 1989, v. A136, p. 1-5.

114. К.А.Свешников, "Конечно-разностные эффекты в квантовой теории поля", ТМФ, 1990, т. 82, с. 55-66.

115. K.Sveshnikov, P.Silaev, I.Cherednikov, "UV-regularization of field discontinuities", Mod. Phys. Lett., 1997, v. A12, p. 465-478.

116. К.А.Свешников, П.К.Силаев, "О взаимосвязи между разрывными и гладкими решениями типа кинков в КТП", ТМФ, 1996, т. 108, с. 212-248.

117. К.А.Свешников, П.К.Силаев, "Трехфазовая модель кирального кваркового мешка", ТМФ, 1998, т. 117, с. 263-299.

118. P.Silaev, S.Turyshev, General spherically-symmetric solution for coupled scalar and electromagnetic fields: ITPM preprint 94-05, Moscow: ITPM, 1994.1.