Квантовая механика самогравитирующей оболочки, квантовые черные дыры и излучение Хокинга тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат физико-математических наук Боярский, Алексей Михайлович

• Боярский, Алексей Михайлович
• кандидат физико-математических наук
• 1998

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Боярский, Алексей Михайлович

Оглавление

Введение

1 Геометродинамика сферической гравитации

1.1 Пространство-время черной дыры

1.1.1 Решение Шварцшильда

1.2 АДМ формализм для сферически -симметричной гравитации

1.2.1 Действие в гамильтоновой форме

1.2.2 Граничные условия и поверхностные члены

1.2.3 Преобразование Кухаржа и полная интегрируемость

2 Теория тонких оболочек

2.1 Общий формализм

2.1.1 Сферически-симметричные оболочки

2.2 Черные дыры и кротовые норы

2.3 Гамильтонов формализм для сферически -симметричной

оболочки

2.3.1 Каноническое преобразование, доказывающее интегрируемость теории

3 Квантование

3.1 Квантовая геометродинамика пространства-времени с оболочкой

3.1.1 Квантование вечной черной дыры

3.1.2 Квантовая механика самогравитирующей оболочки

3.2 Предел больших черных дыр

3.2.1 Метод вычисления спектра масс по асимптотикам

решений уранения

3.3 Спектр масс: точное уравнение

3.3.1 Асимптотические решения

3.3.2 Спектр масс

4 Квантовая черная дыра и излучение Хокинга

4.1 Учет обратного влияния

4.2 Квантовое число для инфинитного движения

4.3 Спектр излучения и спектр масс черной дыры

5 Температура и энтропия черной дыры

5.1 Квазиклассическая волновая функция

5.1.1 Состояния под горизонтом и внешность черной дыры

5.2 Спектр излучения Хокинга

Заключение

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Квантовая механика самогравитирующей оболочки, квантовые черные дыры и излучение Хокинга»

Введение

Традиционная (пертурбативная) квантовая теория поля представляет собой совокупность квантовых механик для Ы-частичных состояний (для всевозможных К) и переходов между ними. Начальной точкой при формулировке такой теории является пространство Фока, образованное состояниями с различным числом (приближенно) свободных частиц со всевозможными значениями энергии и импульса. Начиная с фактически квантово-механического описания таких частиц, мы строим для них Гильбертово пространство и затем учитываем возможности переходов, рождения и уничтожения частиц.

Однако, хорошо известно, что такая интерпретация теории поля в терминах частиц имеет определенные недостатки. Один из таких недостатков сразу же проявляется при попытке распространить теоретико-полевое описание с интерпретацией в терминах частиц на Планковские масштабы. Еще в 1966 году М.А.Марков ([1],[2]) заметил, что для частицы массы Планка (тр/ = ~ 10~5дг) комптоновская длина волны 1С = ^ примерно совпадает с гравитационным радиусом.

, , , 2втР1 2С /Лс л [НС П

Таким образом, для "транс-планковских частиц" комптоновская длина волны становится меньше гравитационного радиуса и такие частицы физически должны образовывать черные дыры.Следовательно, на планков-ских масштабах приближение свободных частиц становится физически неадекватным и квантовомеханическое описание "транс-планковских частиц" должно строиться с учетом гравитационного взаимодействия ([3]).

Обычно предыдущий анализ используется в качестве аргумента в пользу необходимости построения квантовой теории гравитации. Как из-

вестно, построение такой теории сталкивается с серьезными трудностями. Построить квантование гравитации методами пертурбативной теории поля не удается. Гравитация содержит размерную константу связи и является неперенормируемой. На сегодняшний день существует несколько подходов к проблеме квантования гравитации. Все они связаны либо с попытками выйти за рамки теории возмущений, либо с отказом от теории поля вообще ([4]).

Наиболее развитым и популярным сегодня подходом, обладающим богатой математической структурой, является теория суперструн [5]. Теория суперструн содержит (супер) гравитацию в качестве низкоэнергетического предела. В рамках струнной теории возмущений построена сво-. бодная от расходимостей теория рассеяния частиц спина два, соответ-свующих гравитационному полю, а также их взаимодействие с полями материи и калибровочными полями. Основными недостатками этой теории, с точки зрения гравитации, являются отсутствие формулировки, не зависящей от фоновой метрики [6], трудности с механизмом нарушения суперсимметрии, отсутствие прямых физических предсказаний.

В последнее время был достигнут значительный прогресс в построении непертурбативной теории струн (и ее расширения, так называемой "М-теории"). Он связан с изучением протяженных непертурбативных объектов, таких как Д-браны (возникающие как поверхности граничных условий Дирихле для открытых струн) и р-браны (солитонные решения супергравитации, взаимодействующей с полем Янга-Милса и дилатоном в низкоэнергетическом пределе теории струн) [7], а также гипотезами о дуальностях между различными теориями струн [8],[9],.[10]. В рамках этого подхода удалось получить описание черных дыр как солитоно-подобных объектов в низкоэнергнтической теории струн и предложить вариант статистического описания термодинамики экстремальных [11] и близких к экстремальности [12] черных дыр. Однако, большинство утверждений и конструкций "М-теории" основывается на предположениях и гипотезах, хотя и широко принимаемых сегодня специалистами. Полностью отсутствует четкая формулировка теории, не известны фундаментальные переменные. В сущности, "М-теория" представляет собой на сегодняшний день совокупность конкретных (но непроверяемых эксперементально) вычислительных рецептов, необыкновенно красивых математических конструкций и интригующих совпадений. Во-первых, эта теория еще совершенно далека от завершенности и, во-вторых, по-

прежнему отсутствуют серьезные физические основания быть уверенным, что она дает правильный путь для описания материи на план-ковских масштабах. В частности, невозможно пока сформулировать на таком языке многие принципиальные проблемы гравитации и физики черных дыр (о которых реч пойдет ниже). Кроме того, хотя дуальности дают возможность описания непертурбативных эффектов в теории струн, в частности нетривиальной, непертурбативной по отношению к пространству Минковского пространственно-временной геометрии, про-блемма формулировки, не зависящей от фоновой метрики, не решена полностью также и в "М-теории" [13],[4].

Другой подход, называемый "петлевой квантовой гравитацией" [14], основан на формулировке общей теории относительности в переменных А.Аштекара [15] и на выборе голономий связности Аштекара в качестве наблюдаемых теории. Трудности петлевой квантовой гравитации так же, как и теории струн, состоят в отсутствии полной согласованной теории, а так же в отсутствии определенных физических предсказаний. В петлевой квантовой гравитации, кроме того не ясен низкоэнергетический предел теории [4]. Достоинством этого подхода является явная независимость от фоновой метрики. Возможная связь петлевой квантовой гравитации с М-теорией обсуждается в работах [16],[17].

Существует также подход к квантовой гравитации, основанный на триангуляции пространственно-временного многообразия - исчисление Редже [18]. Подход, основанный на анализе евклидова функционального интеграла для гравитационного поля, [19] получил широкое применение в квантовой космологии [20].

Наиболее традиционным подходом к квантованию гравитации является канонический подход. Канонический формализм для гравитации был развит П.Дираком [21] и Р.Арновиттом, С.Дезером и Ч.Мизнером (АДМ) [22]. Действие Гильберта - Эйнштейна

5= I (0.2)

инвариантно относительно общих диффеоморфизмов Г>г'//М4 пространства -времени М4. Поэтому соответствующая гамильтонова теория оказывается теорией со связями первого рода [23], причем гамильтониан пропорционален связям.

Для построения гамильтонова формализма АДМ пространственно-временное многообразие М4 расслаивается на пространственно - подобные поверхности М4 = Е3 х М1. Тогда метрику можно представить в виде

ds2 = h^dx1 + Nidt)(dxj + Njdt) - (Ndt)2 (0.3)

где x\ ¿ = 1.2,3- координаты на пространственно-подобной поверхности Е3, hij - индуцированная метрика на Е3, t - времени-подобная координата, трансверсальная этой поверхности, а (1 /N, N*/N) - компоненты вектора нормали к Е3. Действие (0.2) переписывается через метрику (0.3) в виде

S = J тгVhij — NH — NiUid3xdt + (surface terms) (0.4)

где

тгij -- Vh (hijSpK - Kij) (0.5)

- импульсы, сопряженные h^,

Kij = 2^ + ~ hij) (°-6)

- тензор внешней кривизны поверхности Е3, вложенной в М4. Здесь точка означает дифференцирование по времени, черта - ковариантное дифференцирование по трехмерной метрике hФункции

[ut = 8тгfyhikhji + huhjk - hijhkiyhты - 1,. [W = -2Trg.

являются связями в гамильтоновом формализме. Здесь 1Z - скалярная кривизна трехмерной метрики hij. Видно, что величины N и iVj = h^Ni оказываются множителями Лагранжа и не определяются из уравнений движения; первичные связи НшИ1 являются связями первого рода и генерируют калибровочные преобразования, соответствующие в гамильтоновом формализме инвариантности действия относительно диффеоморфизмов DiffM4-

Калибровочная теория со связями первого рода может быть прокван-тована в соответствии с процедурой Дирака [24]. В случае теории поля

гамильтоново (дираковское) квантование систем со связями проводится в рамках формализма Баталина-Вилковысского-Фрадкина (БВФ) [25]. Однако, связи гамильтонова формализма в теории гравитации имеют сложную нелинейную структуру, а калибровочная группа £>г//м4 ~ сложную геометрию, что затрудняет реализацию схемы квантования БВФ. В рамках другого варианта процедуры Дирака уравнения связи переходят при квантовании в операторные уравнения на волновую функцию. Трудности этого подхода в теории поля связаны с тем, что волновая функция является функционалом Ф [/г^-], зависящим от полей /г^-, а связи (0.7) переходят при квантовании в операторнозначные функционалы [26, 27]

НМЫ]] = -

\з

2

87Г Г 5 8 , "V л/м?

(0.8)

= о

где йцы = ЬгкН^ + Ник^к — к^кы- Первый набор уравнений (0.8) означает, что физическое состояние должно быть инвариантно относительно репараметризаций трехмерной поверхности Е3, второе уравнение в (0.8) есть известное уравнение Уиллера-деВитта [27, 26].

Решение и интерпретация этого уравнения в общем виде затруднены. Однако, замораживая почти все степени свободы, за исключением нескольких, (как, например, в космологических моделях), можно получать точно решаемые модели в квантовой гравитации, что впервые было продемонстрировано деВиттом в [26]. Ч.Мизнер и его школа развили эту идею "квантования минисуперпространства" [28] до систематического исследования задач квантовой космологии [29, 30]. Далее техника "минисуперпространства" была развита до "квантования мидисуперпро-странств" бесконечномерных моделей. Первая система, рассмотренная подобным образом, была цилиндрическая гравитационная волна [31]. На примерах таких "мидисуперпространств" стали ясны принципиальные трудности интерпретации уравнения Уиллера-деВитта (0.8). Изучение этих трудностей привело к исследованию так называемых "репараметризационно-инвариантных теорий" [24, 32].

Вернемся, однако, к проблеме квантово-механического описания материи на масштабе энергий порядка и выше планковской. В сущности, эта пролема не является специфичной только для собственно гравитационного поля. Подобные состояния, с энергиями, при которых, по чисто

физическим соображениям, следующим из оценок типа (0.1), становятся существенны гравитационные эффекты, содержатся (по крайней мере формально) в любой теории поля. Помимо трудностей, связанных с неперенормируемостью при пертурбативном описании рассеяния частиц спина два, модели гравитирующей материи содержат следующую общую проблему. Гравитационное поле, как известно, не только отвечает за гравитационное взаимодействие между частицами, но также определяет глобальную структуру пространства-времени. В обычной механике пространство-время является также конфигурационным пространством для частиц. Поэтому, когда гравитационные взаимодействия принимаются во внимание, структура самого наивно определенного "конфигурационного пространства" начинает зависеть от начальных условий, как это можно видеть из анализа классических решений. Поэтому возникает проблема корректного определения конфигурационного пространства для гравитирующей частицы. На квантово-механическом уровне эта проблема проявляется особенно ярко. В квантовой механике мы обычно должны рассматривать суперпозицию различных классических состояний. Это означает, что для самогравитирующих систем мы должны работать в терминах суперпозиции различных пространственно-временных геометрий.

Эта проблема является одной из основных при построении квантовой теории с учетом гравитационных взаимодействий. Фактически, она не связана прямо с проблемой рассеяния, рождения и уничтожения гравитонов. Присутствуя в квантовой теории поля, эта проблема возникает уже на квантово-механическом уровне, т.е. для систем с конечным числом степеней свободы. Поэтому естественно попытаться исследовать ее в простейших ситуациях, когда значительно проще получить корректное определение конфигурационного пространства и исследовать структуру гильбертового пространства для квантовой самогравитирущей частицы.

Возможный путь построения квантово-механической модели самогра-витирующей материи, не столкнувшись с трудностями пертубативной квантовой гравитации, возникает, если включить в теорию только часть степеней свободы гравитационного поля - глобальные, топологические степени свободы, ответственные за глобальную геометрию пространственно-временного многобразия.

Одним из популярных примеров такой "гравитации без гравитонов" является случай размерности 2+1. Гравитация в такой размерности ока-

зывается топологической и эквивалентой теории Черна-Саймонса (см. [33],[34],[35],[36]). Физические степени свободы в этом случае описываются в терминах вильсоновских петель.

Другим простым примером топологической гравитационной модели является сферически симметричная гравитация в 3+1 измерениях. В этом случае локальные степени свободы отсутствуют благодаря теореме Биркгофа. В этом случае роль топологических степеней свободы играют глобальные наблюдаемые, входящие в качестве параметров в сферически-симметричную метрику, такие как шварцшильдова масса. В последнее время появилась интересная конструкция, описывающая полную эйнштейновскую гравитацию в любой размерности как топологическую теорию (так называемую В¥-теорию) со связью [37],[38].

Для того, чтобы сделать теорию физической, необходимо ввести источник. В простейшей ситуации мы можем ввести лишь конечное число степеней свободы. Тогда, после редукции к физическим переменным, мы получим конечномерную систему и эффективное динамическое уравнение, описывающее частицы, взаимодействующие с топологичекими степенями свободы полевой системы. Эффективное фазовое пространство может быть определено, тогда как пространство классических решений, профакторизованное по калибровочной симметрии. Тогда квантовая механика, построенная в соответствующем конфигурационном пространстве, и будет эффективно описывать "суперпозицию" различных пространств-времен с материей, соответствующих различным классическим решениям.

Подобный анализ проводился в различных приближениях для случая гравитации в размерности 2+1 в работах Ж.т'Хоофта, С. Кар-липа, Х.Матчула и М.Веллинга [39],[40]. Формально подобная процедура проделывалась и для других топологических моделей с источниками (не связанных с гравитацией), например в работах Н.Некрасова и А.Горского [41]. Опыт этих исследований показывает, что в результате получаются действительно необычные квантово-механические системы. Общим свойством этих систем является то, что возникающие уравнения (аналоги уравнений Шредингера или Клейна-Гордона) оказываются уравнениями в конечных разностях. Это свойство имеет весьма глубокое происхождение и связано с (1-мерным (гамильтоновым) описанием систем, имеющих явную ¿+1-мерную релятивистскую инвариантность. Действительно, релятивистскую инвариантность в теории поля

можно реализовать либо перейдя к равноправному рассмотрению пространственных и временной координат, реализуя группу Лоренца в четырехмерном пространстве-времени (обычный формализм релятивистской теории поля), либо реализуя действие группы Лоренца на трехмерном пространственно-подобном сечении. В этом случае алгебра Ли группы Пуанкаре выглядит как ^-деформированная алгебра Ли группы Галилея [42], а соответствующие генераторы являются генераторами преобразований конечного сдвига. Впервые такие уравнения для релятивистских гамильтоновых систем возникли, по-видимому, в контексте квазипотенциального метода в квантовой теории поля в работах А.А.Логунова и А.Н.Тавхелидзе [44], В.Г.Кадышевского и Р.М.Мир-Касимова [45] еще в 60-70-тых годах.

Позднее они вновь возникли в контексте теории интегрируемых систем [42],[43]. В задачах, возникших в результате редукции к физическим степеням свободы трехмерной гравитации с источниками в виде частиц, фазовое (и даже конфигурационное) пространство, действительно, оказывалось нетривиальным. Последствия этого рассмотрения для квантовой теории поля обсуждались в работах Ж.т'Хоофта.

Однако, для квантовой механики гравитирующих частиц в существует естественный физический тест - она должна воспроизводить каким-то образом основные явления физики черных дыр и описывать процесс квантового коллапса. Поэтому физически интересной является также задача построения квантвой механики самогравитирующих частиц в размерности 3+1, которая может моделировать, в каком-либо приближении, четырехмерную черную дыру.

В рамках общей теории относительности черные дыры приобрели фундаментальное значение [46], и их существование получили, в последнее время, экспериментальное подверждение [47].

Теоремы о сингулярностях Р.Пенроуза [48] позволяют заключить, что образование сингулярностей и горизонтов событий является ситуацией общего положения в явлении гравитационного коллапса массивных тел, процесс коллапса неизбежно оканчивается образованием черной дыры.

После завершения процесса коллапса вся информация о деталях этого процесса теряется. Для стационарных макроскопических черных дыр в рамках общей теории относительности Дж.Уиллер [49] предположил справедливость ставшей широко известной гипотезы об "отсутствии волос": черная дыра описывается всего лишь несколькими параметрами,

такими, как масса, угловой момент и заряды, подчиняющиеся законам типа гауссова (как электромагнитное поле). Таким образом, черная дыра напоминает тело в термодинамическом равновесии. Я.Бекенштейн [50] предположил, что имеется аналогия между черной дырой и телом в термодинамическом равновессии - черная дыра обладает энтропией, пропорциональной ее площади 5, и определенной температурой. Эта точка зрения основывалась на теореме о неубывании площади горизонта классической черной дыры. Это предположение было подтверждено открытием С.Хокингом излучения черных дыр [51, 52]. С.Хокинг показал, что существование горизонта событий приводит (в рамках квантовой теории поля на фиксированном фоне черной дыры) к появлению потока излучения, исходящему из черной дыры. Это излучение обладает тепловым спектром с температурой ТВн = т^/втгт, где тР1 - масса Планка. Сранив эту формулу с массовой формулой для черной дыры, мы должны приписать черной дыре энтропию, равную одной четверти площади горизонта Эвн — 3/ 4/^. За счет термодинамической нестабильности черная дыра должна испаряться, если только формулы для температуры и энтропии остаются справедливыми вплоть до малых (га ~ тр{) черных дыр.

В этом случае мь± сталкиваемся с проблемой, известной как проблема "потери информации" при испарении черной дыры. Она состоит в том, что вещество, падающее в черную дыру имеет вполне определенные характеристики (оно может, например, нести различные заряды - содержать "информацию"). В то же время тепловое излучение Хокинга не коррелировано с поглощенным веществом. В таком случае, если черная дыра полностью испаряется, не оставляя после себя даже остатка малой массы, то вся информация о веществе, поглощенном черной дырой, исчезает. Это значит, что квантовая теория, при учете гравитационных эффектов, становится существенно неунитарной теорией.

Одна из наиболлее важных задач теории гравитации состоит в построении теории гравитационного коллапса. Простейший пример задачи такого типа - коллапс сферически-симметричного распределения материи. Исследование гамильтонова формализма для сферически - симметричной гравитации началось с работы Б.Бергера, Д.Цитре, В.Монкрифа и У.Нутку (БЦМН) [55]. В этой работе изучалась мидисупермодель, состоящая из взаимодействующих сферически-симметричных гравитационного и скалярного полей. Авторы привели действие к выделенному

разбиению пространства -времени на пространство и время, характеризующемуся обращением в нуль "радиального" импульса. Получившийся гамильтониан оказался существенно нелокальным и, кроме того, не воспроизводил правильных уравнений движения, что было замечено и исправлено У.Анру [56].

В рамках модели БЦМН оказалось удобно анализировать излучение Хокинга [51, 57].

Изучение мидисупермоделей в квантовой гравитации имеет существенное преимущество перед другими подходами, так как дает возможность получать непертурбативные результаты. Кроме того, если только в пространстве-времени отсутствуют горизонты Коши, то вся информация о системе содержится в наборе канонических данных на поверхности Коши. Таким образом, можно изучать процессы внутри черной дыры и процессы образования сингулярностей. (Такая возможность отсутствует во всех остальных подходах к квантовой гравитации.) Однако, для того, чтоб использовать это преимущество, нужно (а) построить расслоение пространства-времени М4 = Е3 х М1 на пространство и время, покрывающее все многообразие, и (б) обеспечить условие, чтобы эволюция по времени нигде не была заморожена (векторное поле (1/Ы,Мг/М) нигде не обращалось бы в нуль). Расслоение, выбранное в [55], не удовлетворяет этим условиям. Модель БЦМН была обобщена П.Хаичеком в [58], где специальное внимание было уделено выбору расслоения пространства-времени и свойствам горизонтов видимости.

Нетрудно видеть, что расслоение, предложенное в [55] не работает в случае пространства-времени вечной черной дыры. Поверхности £3 совпадают с поверхностями постоянного киллингового времени. Они покрывают только статические области и диаграмы Картера- Пен-роуза для решения Крускала на рис. 1.1 и не проникают под горизонт. Эта трудность была преодолена Ф.Лундом [59]. Он использовал расслоение, даваемое системой координат Леметра [60]. Однако, и эта система координат не покрывает всего пространства-времени вечной черной дыры.

Следующий шаг в каноническом описании сферически-симметричной гравитации был сделан К.Кухаржем [61]. Он нашел новые канонические переменные, описывающие сферически-симметричное гравитационное поле, которые позволили показать полную интегрируемость ми-дисупермодели, состоящей из сферически-симметричного гравитацион-

ного поля в вакууме. В [61] также было построено каноническое квантование этой модели. В это же время полная интегрируемость динамики сферически-симметричного гравитационного поля была доказана Т.Тиманом и Г.Каструпом [63], с использованием переменных Аштека-ра.

Этот результат дал толчок к построению моделей квантовых швар-цшильдовских черных дыр. Так, Й.Лоуко и Б.Вайтинг [64] развили подход Кухаржа, считая, что пространство-время черной дыры не является асимптотически плоским при R —У оо, а содержит границу, расположенную на расстоянии Ro(t), которая может эволюционировать со временем. Локальные степени свободы гравитационного поля живут на граничной поверхности дМ4. Идея использовать степени свободы на граничной поверхности в качестве динамических переменных принадлежит Дж.Брауну и Дж.Йорку [65]. ,

Некоторые результаты по квантованию вечных черных дыр были получены в рамках модели, называемой "двумерная гравитация с дилато-ном" [67, 68]. Задачи, приводящие к такой модели, появляются в рамках комформно-инвариантной формулировки теории Эйнштейна [69], теории струн [70], и др. Соответствующие теории поля оказываются точно решаемыми [70, 71], что дает возможность получить некоторые точные квантовые результаты, такие, как спектр масс черных дыр [71] или термодинамическую статистическую сумму [72], а также точные решения, описывающие испаряющиеся черные дыры [73].

В работе [76] формализм, развитый К.Кухаржем [61] для сферически-симметричной гравитации в вакууме, был обобщен на случай присутствия сферически-симметричного электормагнитного поля, что дало возможность И.Макеле и П.Peno [77] построить квантово-механическую модель заряженной черной дыры. В случае заряженной черной дыры классическое решение уравнений Эйнштейна - решение Райснера- Нордстре-ма [48]. Оно содержит горизонты Коши. Как было указано выше, гео-метродинамическое описание динамики гравитационного поля сталкивается с трудностями при наличии в пространстве-времени горизонтов Коши. Канонические данные не могут быть продолжены за горизонт. Эта проблема не решена в [77], переменные, использованные авторами, сингулярны на горизонтах Коши R = R+ и R = i?_; гамильтонова система финитно движется между ними, что приводит при квантовании к дискретному спектру соответствующего гамильтониана. Авторы оши-

бочно отождествляют оператор гамильтониана этой системы с массой квантовой черной дыры.

Основным недостатком обсуждавшихся выше моделей квантовых черных дыр является произвол в выборе гамильтоновой системы, описывающей динамику дыры. Это связано с тем, что у сферически-симметричного гравитационного поля отсутствуют локальные степени свободы, а динамика глобальных тривиальна. Нетривиальная динамика сферически-симметричной геометрии возможна только при наличии полей материи.

Модели черных дыр с материей обладают следующими достоинствами по сравнению с моделями, основанными на чистой гравитации.

Во-первых, с помощью этих моделей можно изучать физику гравитационного коллапса и образование горизонтов и сингулярностей пространства -времени как на классическом, так и на квантовом уровне. Именно эти ситуации представляют интерес в физике черных дыр. Действительно, например, излучение Хокинга существует только у черных дыр, образовавшихся в результате гравитационного коллапса.

Во-вторых, включение материи порождает возникновение локальных степеней свободы у гравитационного поля. Наблюдаемые теории (в смысле Дирака) должны быть калибровочно-инвариантными величинами. Но у чистой гравитации нет локальных калибровочно-инвариантных величин (например, скаляр кривизны преобразуется при калибровочном преобразовании как 5Я(ж) = Ф 0, где (ж) - векторное поле, ге-

нерирующее действие на М4). Поэтому квантовая теория чистой

гравитации может давать информацию только об эффектах, связанных с флуктуациями глобальных характеристик пространственно-временного многообразия [78]. В то же время, при включении материальных степеней свободы - материальных систем отсчета, у гравитационного поля появляются локальные наблюдаемые, построенные из коэффициентов метрики в месте нахождения системы отсчета [79].

Простейший вид материи, который можно ввести в теорию, не нарушая симметрии - это самогравитирующая сферически-симметричная тонкая оболочка. Общий подход к изучению тонких оболочек в рамках общей теории относительности был развит В.Израэлем [80]. Тонкие оболочки изучалисть в контексте различных задач общей теории относительности, таких, как свойства классического [81] и квантового [83] гравитационного коллапса, свойства классических [82] и квантовых [89] черных дыр, динамика фазовых переходов во Вселенной [84, 85, 86], энтропия

Рис. 0.1: Типы траекторий самогравитирующей оболочки. Случай черной дыры (а), случай кротовой норы (Ь) и случай инфинитного движения (с).

черных дыр [87], обратная реакция излучения Хокинга [88], распространение сигналов в общей теории относительности [90].

Гамильтонов формализм для системы тонкой самогравитирующей оболочки в собственном гравитационном поле впервые был получен еще до работы Кухаржа [61] в работах [89, 91, 92], где гамильтониан строился по известным уравнениям движения. После явного интегрирования гамильтоновых уравнений для сферичечски симметричной гравитации в [61] гамильтонов формализм для самогравитирующей оболочки был выведен в результате редукции к физическим степеням свободы из вари-ционного принципа для системы, состоящей из гравитационного поля и оболочки в [88, 93, 94].

При построении гамильтонова формализма уже для такой простейшей системы из материи, взаимодействующей с гравитационным полем, становятся в полной мере видны трудности гамильтонова формализма для моделей с динамической гравитацией, о которых шла речь выше. Действительно, классические решения (сферически-симметричные пространственно-временные многобразия с оболочкой) имеет довольно сложную геометрию уже в этом простейшем примере.

На рис. 0.1 приведены различные типы пространства-времени с оболочкой (на рисунке изображены диаграммы Картера- Пенроуза [48] соответствующих пространств-времен, см. главу 1). В случае черной дыры

(а), оболочка выходит в момент наибольшего расширения из-под горизонта и доступна для наблюдателя на бесконечности; в случае кротовой норы (Ь) оболочка, в момент наибольшего расширения находится на противоположной стороне моста Эйнштейна-Розена [48] и, таким образом, не выходит из-под горизонта за все время своего движения; в случае инфинитного движения (с) траектория начинается на бесконечности R — оо и коллапсирует с образованием сингулярности в R = 0. Поэтому задача построения "универсального" конфигурационного пространства, оприсывающего всевозможные траектории самогравитирующей оболочки, является нетривиальной уже в этом случае.

Ключевой вопрос, на который должна дать ответ теория квантовых черных дыр - вопрос о спектре масс. Спектр масс черных дыр к классической теории непрерывен. В то же время, качественных соображений, приводимых разными авторами (напр. Я.Бекенштейн, В.Муханов,[97] ), следует, что спектр масс квантовых черных дыр должен быть дискретным, кроме того, должен быть справедлив аналог классической теоремы об отсутствии волос - спектр должен зависеть лишь от нескольких квантовых чисел и быть универсальным, независимо от деталей процесса квантового гравитационного коллапса. Наиболее часто обсуждаемый спектр имеет вид т ~ y/ñ, где п - целое. Эквидистантный спектр площади поверхности черной дыры был впервые предложен в 1975 году Я.Бекенштейном [101]. С тех пор этот спектр был получен во многих моделях в квантовой гравитации, таких как модели, происходящие из теории струн [102], модели, в которых поверхность черной дыры трактуется как квантовая мембрана [103, 104], канонической квантовой гравитации [105, 106, 75, 71].

Тот факт, что спектр масс черной дыры не зависит ни от каких параметров, кроме главного квантового числа, является квантовым аналогом гипотезы об отсутствии волос - вся информация о деталях процесса гравитационного коллапса, в результате которого сформировалась черная дыра, исчезает.

Однако, в этом случае обнаруживается ряд противоречий. В частности, черная дыра может сформироваться либо в. процессе финитного движения коллапсирующей материи, либо же в результате инфинитного движения, когда частицы приходят из бесконечности. В обычной квантовой механике дискретный спектр энергий можно наблюдать у системы, движущейся финитно (в потенциальной яме), спектр же инфинитного

движения непрерывен. Таким образом, имются две взаимоисключающие возможности. Возникает трудность с определением самого понятия квантовой черной дыры.

Настоящая диссертация посвящена изучению простейшей модели гра-витирующей материи в размерности 3+1 с конечным числом степеней свободы - сферически-симметричной гравитации с материей в виде тонкой пылевой облочки. Получаемая в результате редукции к физическим степеням свободы квантовая механика самогравитирующей оболочки используется в качестве модели квантовой черной дыры.

Диссертация имеет следующую структуру.

В главе 1 излагается гамильтонов формализм сферически-симметричной гравитации, приводятся соответствующие канонические переменные, уравнения связи.

В разделе 1.1 рассмотрена общая структура сферически - симметрич-' ных пространственно-временных многообразий, описаны геометрические инварианты А и И, сферически-симметричной метрики, введены понятия Д±- и Т±- областей. Общая классификация проиллюстрирована на примере максимального продолжения решения Шварцшильда.

В разделе 1.2 развит гамильтонов формализм для сферически-симметричного гравитационного поля, проанализированы уравнения связи, исследовано поведение канонических переменных на пространственных бесконечностях в сферически-симметричном пространстве -времени и структура поверхностных членов в гамильтоновом действии.

В конце главы приведено каноническое преобразование, найденное К.Кухаржем, доказывающее точную решаемость теории.

В главе 2 рассматривается простейший вид источников гравитационного поля - тонкие оболочки. После краткого объяснения общего формализма мы строим гамильтонову теорию для коллапсирующих пылевых сферически-симметричных оболочек. Эта гамильтонова теория служит основной модельной теорией в развиваемом далее подходе к квантовым черным дырам.

В главе 3 проводится квантование построенной гамильтоновой теории. Так как в отсутствии материи сферически-симметричная гравитация не имеет локальных физических степеней свободы (формальное число локальных степеней свободы равно числу локальных замен координат), после введения оболочки оказывается возможным свести квантованную гамильтонову теорию поля (гравитацию с материей в виде оболочки)

к конечномерной квантово-механической системе. Среди конечного числа степеней свободы редуцированной системы содержится динамическая степень свободы оболочки, а также глобальные степени свободы гравитационного поля rriin и rriout. (Эта редукция в данном случае может быть проведена и до и после квантования с одинаковым результатом.)

Получающаяся квантовая механика обладает необычными свойствами. Уравнение на волновую функцию (аналог уравнения Клейна-Гордона для пробной квантово-механической частицы), приведенное в разделе 3.1.2, оказывается уравнением в конечных разностях,

/ 1 М2 \ Ф(ш, 5 + К) + Ф(тп, S-iQ = F-1'2 f 2 - - ^J Ф(ш, 5) (0.9)

где положено т = mout, rriin = 0, S = R2/AGm2 - обезразмеренная площадь поверхности оболочки, F = 1 — 1/VS, а параметр сдвига £ = т2[/2т2 (mpi - масса Планка). Сдвиг аргумента волновой функции направлен вдоль мнимой оси. Видно, что глобальные гравитационные степени свободы min и rriout входят в это уравнение как параметры, т.е. уравнение не содержит производных волновой функции по этим переменным.

Вышеуказанные свойства являются, как обсуждалось ранее, общими для релятивистских гамильтоновых уравнений. Однако, основное квантовое уравнение данной модели обладает дополнительным интересным свойством, позволяющим решить для этой модели проблему построения конфигурационного пространства самогравитирующей оболочки. Уравнение в конечных разностях определено в классе аналитических функций. Поэтому его необходимо рассматривать на поверхности, на которой коэффициенты уравнения также аналитичны. В данном случае такой поверхностью является риманова поверхность Sp функции F1/2, дважды накрывающая комплексную плоскость. Конфигурационным пространством системы, на котором определена волновая функция, является действительное сечение этой поверхности. Использование такого конфигурационного пространства позволяет, во-первых, продолжить волновую функцию оболочки под горизонт и, во-вторых, описать в квантовой механике все возможные классические пространства-времена с оболочками (случаи черной дыры, кротовой норы и оболочки, коллапсирующей из бесконечности).

В разделе 3.2 анализируется спектр масс черной дыры, получающийся в рассматриваемой модели в пределе больших черных дыр. Для этого развивается метод нахождения спектра по асимптотике на бесконечности решений уравнения в комплексной области. Получающийся спектр масс имеет вид

л/2уТ+2£

т

м2_1

-тР1 (0.10)

т2

где М/ т находится из уравнения

1)3/2 1 + п М2 п

2--2

т2

(0.11)

Он зависит от двух квантовых чисел пирь случае связанных состояний и от одного (р) в случае свободных (когда оболочка может уходить на бесконечность).

В разделе 3.3 тот же метод нахождения спектра применяется к точному уравнению в конечных разностях. Для этого развивается метод нахождения асимптотических решений для уравнеия в конечных разностях. Рассматривается так же наиболее общий случай, когда как т¿п т(жг не равны нуою. Оказывается, что точный спектр связанных состояний практически совпадает (с точностью до числового фактора) со спекторм, найденным в приближении больших черных дыр. Это связано со специальной симметрией данного уравнения и может свидетельствовать о его точной решаемости.

В главе 4 изучается спектр инфинитного движения оболочки. Показано, что этот спектр зависит (для массивной оболочки) от дискретного параметра к Е Z и непрерывного М -голой массой оболочки. Для безмассовой оболочки имеем

т2 = тгт^к, кег (0.12)

Этот спектр, примененный к излучению самой черной дыры, рассматриваемого в приближении сферических оболочек, должен быть согласован со спектром связанных состояний коллапсирующей оболочки, образующей черную дыру. В результате анализа спектров предлагается новый

механизм излучения Хокинга и дается определение квантовой черной дыры.

В главе 5 построена глобальная квазиклассическая волновая функция на первом листе римановой поверхности. Решения под горизонтом продолжены во внешнюю область черной дыры. В результате получено, что амплитуда падающих в черную дыру частиц относится к амплитуде выходящих как ехр{—уг}- Из этого результата, в пределе когда излучение мало, восстанавливаются правильные выражения для температуры и энтропии черной дыры, а также не-температурные поправки к тепловому спектру излучения.

В Заключении коротко сформулированы основные результаты, полученные в диссертации.

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Боярский, Алексей Михайлович

Заключение.

В заключение сформулируем кратко основные результаты, полученные в диссертации.

1. Построен гамильтонов формализм для тонких сферически- симметричных оболочек в рамках общей теории относительности. Соответствующая гамильтонова теория поля (2.28) в двумерном пространстве -времени описывает сферически -симметричное гравитационное поле, взаимодействующее с материей в виде тонкой пылевой оболочки. Доказана полная интегрируемость теории на классическом уровне. В явном виде найдены траектории гамильтоновой системы (2.62) в фазовом пространстве.

Качественно решениями классических уравнений движения являются три типа пространственно-временных многообразий с оболочкой - финитное движение оболочки, при котором она выходит за гравитационный радиус в момент наибольшего расширения (черные дыры, рис. 2.2) или остается на протяжении всего движения под горизонтом с точки зрения удаленного наблюдателя (кротовые норы рис. 2.3), а также инфинитное движение - пространство-время с оболочкой, уходящей на бесконечность. Эти решения имееют различную глобальную причинную структуру.

2. Проведено квантование построенной гамильтоновой теории поля со связями первого рода. Так как сферически-симметричная гравитация в отсутствии материи является чисто топологической теорией - она не имеет локальных физических степеней свободы - теория с оболочкой имеет лишь конечное число локальных степеней свободы. В данном случае редукция к физическим степеням свободы может быть проведена как на классическом уровне, так и после квантования, и обе процедуры оказываются эквивалентными. В результате была получена квантовая механика самогравитирующей оболочки. Переменными в такой механике являются геометрические величины, не зависящие от выбора координат в пространстве-времени

- площадь оболочки 5 и шварцшильдовы массы т^ и том4 внутри и снаружи оболочки. Массы Ш{п и тоиг являются "топологическими" (глобальными) степенями свободы гравитационного поля и формально входят в динамическое уравнение для оболочки как параметры - классическое уравнение не содержит импульсов, сопряженных этим координатам, а квантовое - производных от волновой функции по этим переменным. В классической теории при различных соотношениях этих параметров реализуются различные типы геометрии классического пространства-времени, соответствующие различным типам движения оболочки. В квантовой же теории все классические возможности должны быть представлены в конфигурационном пространстве системы. Одному и тому же значению переменной Б соответствуют два различных классических решения

- движение оболочки на различных сторонах моста Эйнштейна-Розена.

3. Описанные в предыдущем пункте свойства системы явно реализованы благодаря необычной форме полученного квантово-механического уравнения для самогравитирующей оболочки. Это уравнение является уравнением в конечных разностях со сдвигом вдоль мнимой оси. Появление конечно-разностного уравнения не случайно и связано со спецификой гамильтонова описания релятивистских квантово-механических систем. Наличие в уравнении конечного сдвига аргумента волновой функции вдоль мнимой оси обуславливает специальный выбор класса функций, на котором оно определено - аналитических функций. Однако, коэффициенты уравнения содержат не аналитичные, ветвящиеся функции. Это приводит к необходимости рассматривать такое уравнение на римановой поверхности Бр (3.12), на которой коэффициенты уравнения аналитичны. Действительное сечение римановой поверхности является конфигурационным пространством системы, на котором определена волновая функция, и принимает значения основная переменная 3. Такое конфигурационное пространство в данном случае дважды накрывает действительную прямую и позволяет описать все возможные решения классических уравнений движения (случаи черной дыры, кротовой норы и инфинитного движения оболочки).

Построенная квантовая механика является простейшим примером квантовой механики самогравитирующих систем. При помощи этой модели в диссертации исследовались ключевые вопросы физики черных дыр - вопросы о спектре масс квантовых черных дыр, о поведении материи при гравитационном коллапсе, о конечной судьбе черных дыр при испарении.

4. Найден точный спектр масс для рассматриваемой модели квантовых черных дыр и кротовых нор. Для этого развит метод нахождения спектра квантовомеханической задачи по асимптотикам решений уравнения в конечных разностях.

Спектр зависит от двух квантовых чисел для связанных состояний и от одного для свободных (когда оболочка уходит на бесконечность). Наличие квантового числа, общего для финитного и инфи-нотного движения, является совершенно новым эффектом и связано с возможностью квантовомеханического движения оболочки в классически запрещенной Д-области.

5. Показано, что наличие квантового числа в случае инфинитного движения приводит к квантованию частоты излучения, распространяющегося от черной дыры. Обнаружено, что, благодаря нетривиальной структуре конфигурационного пространства, энергия са-могравитирующей изотропной оболочки имеет дискретный спектр. Оказывается, спектр излучения не соответствует расстояниям между уровнями в спектре масс коллапсирующей массивной оболочки. Разрешение этого противоречия возможно, если предположить, что коллапсирующая оболочка излучает кванты не только на бесконечность, но и вовнутрь. Кванты, излученные вовнутрь, приводят к изменению массы Ш{п внутри оболочки (даже если изначально пространство-время внутри оболочки было плоским). Таким образом, внутренняя структура черной дыры изменяется в процессе излучения.

Что касается удаленного наблюдателя, измеряющего спектр масс черной дыры по исходящему от нее излучению, то он вынужден заключить, что спектр (для больших черных дыр) имеет вид га ~ л/п (спектр, предсказываемый из качественных соображений Я.Бекенштейном и В.Мухановым в том же приближении). Этот спектр универсален и не зависит от способа образования черной дыры.

Используемая модель описывает излучение черной дыры лишь в э-волнах и приближении тонких оболочек, что (например, для скалярного поля) соответвсвует приближению геометрической оптики. Учет толщины волнового пакета, а также квантовая неопределенность в положении центра для малых черных дыр приводит к появлению -значительной ширины уровней и даже их перекрытию. Поэтому, количественно, полученный спектр не дает хорошего описания реальной ситуации во многих физически интересных случаях. Однако, качественные свойства, особенно универсальность спектра и независимость его от деталей образования черной дыры, являются очень важными. Качественно, полученный эффект и основанная на нем картина излучения связаны с учетом в самосогласованной квантовой задаче классических траекторий с различной причинной структурой, например, кротово-норных конфигураций, и являются, по- видимому, более общими, чем используемая модель. Важной качественной особенностью полученного спектра излучения является также появление "минимальных" черных дыр с массой порядка планковской, которые перестают излучать, дте

6. Построено квазиклассическое приближение для случая безмассовой оболочки. Вычислена вероятность рождения безмассовых частиц с учетом обратного влияния на метрику черной дыры. В пределе, когда энергия излучаемых частиц мала по сравнению с массой черной дыры, полученные формулы приводят к выражениям для температуры и энтропии черной дыры, в точности совпадающим со ставшими классическими результатами Хокинга и Бекенштейна. Учет ненулевой обратной реакции излучения на вещество приводит к отклонению спектра от теплового. Этот эффект также обсуждался в литературе.

Следовательно, наша модель описывает важнейшие явления физики черных дыр, что является основным физическим тестом при посто-ении квантовой механики самогравитирующей оболочки.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Боярский, Алексей Михайлович, 1998 год

Библиография

[1] M.A.Markov, Can gravitational field prove essential for elementary-particles, Progr. Theor. Phys., 85, extra number, (1965)

[2] М.А.Марков, Элементарные частицы максимально больших масс (кварки, максимоны), ЖЭТФ, 51, 878, (1966)

[3] G. 't Hooft Transplanckian particles and quantization of time Preprint THU-98/22, gr-qc/9805079, (1998)

[4] C.Rovelli, Strings, Loops and Others: a critical survey of the present approach to quantum gravity, Proc. of International Conference "General Relativity 15", Pune, India, (1997)

[5] М.Грин, Дж.Шварц, Э.Виттен, Теория суперструн, ?????

[6] E.Witten, Quantum background independence in string theory, Preprint I A SSNS-HEP-93/29, hep-th/9306122

[7] J.Polchinski, TASI Lectures on D-Branes, hep-th/9611186

[8] E.Witten, String Theory Dynamics In Various Dimensions, Nucl.Phys. B443 (1995) 85-126

[9] P.K.Townsend, in Frontiers in Quantum physics Kuala Lumpur 1997, S.C.Lim at al, Eds., Springer 1998, p.15.

[10] A.Sen An Introduction to non-perturbative string theory, lectures given at Isaac Newton Inst., DAMTP, Cambridge,hep-th/9802051

[11] A.Strominger, G.Vafa, Microscopic origin of black hole entropy, Phys. Lett., B379, 99, (1996)

12

13

14

15

16

17

18 19

20

21 22

23

24

G.Horovitz, J.Maldasena, A.Strominger, Non-extremal black hole micro-states and U-duality, Phys. Lett., B383, 151 (1996)

L.Smolin, Towards a background independent approach to M theory, Contribution to a special issue of Chaos, Solitons and Fractals on " Superstrings, M,F,S....Theory", hep-th/9808192

C.Rovelli, L.Smolin, A new approach to quantum gravity, based on loop variables, Proceedings of International conference on Gravitation and Cosmology, Goa, India, (1987)

A.Ashtekar, New variables for classical and quantum gravity, Phys. Rev. Lett. 57, 2244, (1986)

L.Smolin, A candidate for a background independent formulation of M theory, hep-th/9903166

L.Smolin, Strings as perturbations of evolving spin-networks, hep-th/9801022

T.Regge, Nouvo Cimento, 19, 558, (1961)

S.W.Hawking, in Astrophysical Cosmology: Proc. of the Study Week on Cosmology and Fundamental Physics, ed. by H.A.Bruck, G.V.Coyne, M.S.Longair, Pontifical Academical Scientiarum Scripta Varia, Vatican Sity, (1982)

S.W.Hawking, The Quantum State of the Universe, Nucl. Phys. В 239, 257 (1984)

P.A.M.Dirac, Proc. Roy. Soc. (London), A246, 333 (1958)

R.Arnowitt, S.Deser, C.W.Misner, in Gravitation: an Introduction to Current Research., ed. by L.Witten, Wiley, New-York, (1962)

Д.М.Гитман, И.В.Тютин, Каноническое квантование полей со связями., Наука, (1986)

П.А.М.Дирак, Лекции по квантовой механике, Наука, (1986)

[25] E.S.Fradkin, G.A.Vilkovisky, Quantization of Relativistic Systems with Constraints, Equivalence of Canonical and Covariant Formalisms in Quantum Theory of Gravitational Field, Preprint CERN, Ref. TH 2332 , (1977)

[26] B.S. deWitt, Phys. Rev., 160, 1113, (1967)

[27] J.A.Wheeler, in Batelle Recontres: 1967 Lectures in Mathematics and Physics, Benjamin, New-York, (1968)

[28] C.W.Misner, in Magic Without Magic: John Archibald Wheeler, a Collection of Essays in Honor of His 60th Birthday, edited by J.Klauder, Freeman, San-Francisco, (1972)

[29] M.Ryan, Hamiltonian Cosmology, Springer, Berlin, (1972)

[30] M.A.H.McCallum, in Quantum Gravity, edited by C.J.Isham, R.Penrose and D.W.Sciama, Clarendon, Oxford, (1975)

[31] K.Kuchar, Phys. Rev., D 4, 955, (1971)

[32] K.Kuchar, in Quantum Gravity II: Second Oxford Symposium, edited by C.J.Isham, R.Penrose and W.Sciama, Clarendon, Oxford, (1981)

[33] S.Deser, R.Jackiw and G.'t Hooft, Three-dimensional Einstein gravity: Dynamics of flat space, Ann.Phys 152 (1984)220.

[34] A.Achucarro and P.K. Townsend, A Chern-Simons action for three-dimensional anti-de-Sitter supergravity theories, Phys. Lett. B 180,89(1986),//

[35] E.Witten, Commun.Math.Phys. 104,207 (1986)

[36] E.Witten, 2+1 Dimensional gravity as an exactly soluble system, Nucl. Phys. B 331, (1988)46. ■

[37] J.Plebanski, J.Math.Phys 18 (1977)2511-2520.

[38] R.Capovilla, J.Dell, T.Jacobson, Class and quantum gravity 8 (1991) 59-74.

[39] G. 't Hooft, Quantization of Space and Time in 3 and in 4 Space-time Dimensions, Lectures held at the NATO Advanced Study Institute on "Quantum Fields and Quantum Space Time", Cargese, July 22-August 3, 1996, gr-qc/9608037

[40] H.-J.Matschull, M.Welling, Quantum Mechanics of a Point Particle in 2+1 Dimensional Gravity, Class. Quant. Grav. 15 (1998) 2981-3030

[41] A.Gorsky and N.Nekrasov, Relativistic Calogero-Moser model as gauged WZW theory, Nucl. Phys. B436 (1995) 582

[42] S.N.M.Ruijsenaars, H.Schneider, A New Class of Integrable Systems and Its Relation to Solitons, Ann. Phys., 170, 370, (1986)

[43] H.Braden, R.Sasaki,The Ruijsenaars-Schneider Model, Prog. Theor.Phys. 97 (1997) 1003-1018

[44] A.A.Logunov, A.N.Tavkhelidze, Quasioptical approach in Quantum Field Theory, Nouvo Cimento, 29, 380 (1963)

[45] В.Г.Кадышевский, P.M.Мир-Касимов, H.Б.Скачков, Трехмерная формулировка релятивистской проблемы двух тел, Э ЧАЯ, 2, вып. 3, 636,(1972)

[46] Ч.Мизнер, К.Торн, Дж.Уиллер,Гравитация, Мир, (1977)

[47] L.Stella, G.L.Israel, S.Mereghetti, D.Ricci, The search for black holes in X-Ray binaries: an update, Proc. of the 7-th Marcel Grossmann Meeting, Stanford, (1994), astro-ph/9410073

[48] С.Хокинг, Дж.Эллис, Крупномасштабная структура пространства-времени, Мир, (1976)

[49] R.Ruffini, J.A.Wheeler, Physics Today, 24, 30, (1971)

[50] J.D.Bekenstein, Black holes and the second law, Lett. Nuovo Cim., 4, 737,(1972)

[51] S.W.Hawking, Particle creation by black hole, Comm. Math. Phys., 43, 199 (1975)

[52] S.W.Hawking, The unpredictability in quantum gravity, Comm. Math. Phys., 87, 395, (1982)

[53] J.ВЛ&тИе,S.W Marking,Phys.Rev.D 13,2188 (1976)

[54] T.Banks, W.Fisher, S.H.Shenker, L.Susskind, M Theory as a matrix model, Phys. Rev., D 55, 5112 (1997)

[55] B.K.Berger, D.M.Chitre, V.E.Moncrief, Y.Nutku, Hamiltonian formulation of spherically symmetric gravitational fields. Phys. Rev., D 8, 3247,(1973)

[56] W.G.Unruh Phys. Rev., D 14, 870, (1976)

[57] S.W.Hawking, Phys. Rev., D 14, 2460, (1976)

[58] P.Hajicek, Phys. Rev., D 31, 785, (1985)

[59] F.Lund, Phys. Rev., D 8, 3247, (1973)

[60] В.П.Фролов, И.Д.Новиков, Физика черных дыр, Наука, (1986)

[61] K.Kuchar, Geometrodynamics of Schwarzschild black holes, Phys. Rev., D 50, 3961, (1994)

[62] И.Д.Новиков, Сообщения ГАИШ, 132 3, (1964); там же, 132, 43, (1964)

[63] T.Tiemann, H.Kastrup, Spherically Symmetric Gravity as a Completely Integrable System. Nucl. Phys., В 399, 221, (1993)

[64] J.Louko, B.F.Whiting, Hamiltonian Thermodynamics of Schwarzschild Black Hole. Phys. Rev., D 51 , 5583, (1995), gr-qc/9411017

[65] J.D.Brown, J.W.Jork, The microcanonical functional integral. The gravitational Field. Phys. Rev., D 47, 1407, (1993), gr-qc/9209014

[66] S.Bose, L.Parker, Y.Peleg, Lorentzian approach to Black Hole Thermodynamics in the Hamiltonian approach, Phys. Rev, D 56, 987, (1997)

[67] S.В.Giddings, Toy models of black hole evaporation. Univ. of California Report UCSBТИ-92-36 (1992)

[68] A.Strominger, Quantum aspects of black holes, Enrico Fermi Inst. Report EFI-92-41, (1993)

[69] J.Gegenberg, G.Kunstatter, Phys. Lett., В 223, 331, (1989)

[70] С.Kalian, S.Giddings, J.Harvey, A.Strominger, Phys.Rev. , D 45, 1005, (1992)

[71] A.Barvinsky, G.Kunstatter, Exact physical black hole states in generic 2D dilaton gravity, Phys. Lett., В 389, 231, (1996), hep-th/9606134

[72] G.Kunstatter, R.Petryk, S.Shelemy, Hamiltonian thermodynamics of black holes in generic 2D dilaton gravity, Phys. Rev., D 57, 3537, (1998)

[73] S.B.Giddings, Quantum mechanics of black holes, Lectures at the 1994 Trieste Summer School in High Energy Physics and Cosmology, hep-th/9412138

[74] A.Strominger, Les Houches lectures on black holes, Lectures at the 1994 Les Houches Summer school "Fluctuating Geometries in Statistical Mechanics and Field Theory", hep-th/9501071

[75] J.Louko, J.Makela, Area spectrum of the Schwarzschild black hole, Phys. Rev., D 54, 4982, (1996)

[76] J.Louko, S.N.Winters-Hilt, Hamiltonian thermodynamics of the Reissner-Nordstrem-anti-deSitter black hole, Phys. Rev., D 54, 2647, (1996)

[77] J.Makela, P.Repo, A quantum mechanical model of the Reissner-Nordstrom black hole, Phys. Rev., D 57, 4899, (1998)

[78] См., например, Proc. Osgood Meeting on Conceptual Problems of Quantum Gravity, Birkhauser, Boston, (1988)

[79] C.Rovelli, What is observable in classical and quantum gravity?, Class. Q. Grav., 8, 297, (1991)

[80] W.Israel, Nuovo Cimento, B 44, 1, (1966)

[81] V. de la Cruz, J.E.Chase, W.Israel, Phys. Rev. Lett., 24, 423, (1970)

[82] C.J.Farrugia, P.Hajcek, Comm. Math. Phys., 68, 291, (1979)

[83] P.Hajicek, B.S.Kay, K.Kuchar, Phys. Rev., D 46, 5439, (1992)

[84] E.Farhi, A.H.Guth, J.Guven, Nucl. Phys., B 339, 417, (1990)

[85] A.Ansoldi, A.Aurilia, R.Balbinot, E.Spalluci, Class. Quantum Grav., 14, 2727, (1997)

[86] V.A.Berezin, V.A.Kuzmin, I.I.Tkachev, Phys. Rev., D 36, 2919, (1987)

[87] E.A.Martinez, J.W.Jork, Phys. Rev., D 40, 2124, (1989)

[88] P.Kraus, F.Wilcek, Nucl. Phys., B 433, 403, (1995)

[89] V.A.Berezin, Quantum black hole model and Hawking radiation, Phys. Rev., D 55, 2139, (1997)

[90] C.Barabes, P.A.Hogan, Light-like signals in General Relativity and cosmology, Phys. Rev.,D 58, 044013, (1998)

[91] V.A.Berezin, On a quantum mechanical model of a black hole, Phys. Lett., B 241, 194, (1990)

[92] P.Hajicek, J.Bicak, Gauge-invariant Hamiltonian formalism for spherically symmetric gravitating shells, Phys. Rev., D 56, 4706, (1997)

[93] J.L.Friedman, J.Louko, S.N.Winters-Hilt, Reduced phase space formulation for spherically symmetric geometry with a massive dust shell, Phys. Rev., D 56, 7674, (1997)

[94] V.A.Berezin,A.M.Boyarsky,A.Yu.Neronov,

Quantum geometrodynamics for black holes and wormholes, Phys. Rev., D 57, 1118, (1998)

[95] P.Hajicek, Spherically symmetric gravitating shell as a reparametrization invariant system, Phys. Rev., D 57, 936, (1997)

[96] P.Mazur, Gen. Rel. Grav., 19, 1173, (1987)

[97] В.Ф.Муханов, Письма в ЖЭТФ, 44, 50, (1986)

[98] J.D.Bekenstein, V.Mukhanov, Spectroscopy of quantum black holes, Phys. Lett., В 360, 7, (1995)

[99] J.D.Bekenstein, Black holes and entropy, Phys. Rev., D 7, 2333, (1973)

100] см., например, M.Born, Atomic Physics, Blackie, London, (1969)

101] J.D.Bekenstein, Lett. Nouvo Cimmento, 11, 467, (1974)

102] Ya.I.Kogan, JETP Lett., 44, 267, (1986)

103] M.Maggiore, Black holes as quantum membranes, Nucl. Phys., В 429, 205,(1994)

104] G.O.Lousto, The emergence of an effective two-dimensional quantum description from the study of critical phenomena in black holes, Phys. Rev., D 51, 1733, (1995)

105] M.Schiffer, Black hole spectroscopy, Sao Paolo preprint, IFT/P-38/89, (1989)

106] Y.Peleg, Phys. Lett., В 356, 462, (1995)

107] C.Rovelli Outline of a generally covariant quantum field theory and a quantum theory of gravity, J. Math. Phys., 36, 6529, (1995)

108] V.A.Berezin, A.M.Boyarsky, A.Yu.Neronov, Towards the mass spectrum of black holes, Proceedings of II International Symposium "Quantum Field Theory and Quantum Gravity", Tomsk, (1997)

109] А.С.Шварц, Квантовая теория поля и топология, Мир, (1988)

110] V.A.Berezin, A.M.Boyarsky, A.Yu.Neronov, Quantum black hole spectrum: what is it?, Gravitation&Cosmology, vol.5 No.1(17), pp.11-15(1999)

[111] A.Yu.Neronov, Quasiclassical mass spectrum for quantum black hole model with selfgravitating dust shell, Phys. Rev., D58, November 15,

(1998)

[112] В.Бирелл, М.Дэвис, Квантовая теория поля в искривленном пространстве-времени, Мир, (1985)

[113] Л.Д.Ландау и Е.М.Лифшиц, Квантовая механика. Нерелятивистская теория, Москва, 1963.

[114] V.A.Berezin, A.M.Boyarsky, A.Yu.Neronov, Black hole mass spectrum vs. spectrum of Hawking radiation, gr-qc/9808027, Phys.Letters,(1999)

[115] V.A.Berezin, A.M.Boyarsky, A.Yu.Neronov, On the spectrum of relativistic Schroedinger equation in finite difference, INR-1011/99

(1999), gr-qc/9902028

[116] J.A.Wheeler, in Relativity, Groups and Topology, edited by B.S.deWitt, Gordon and Breach, New-York, (1964)

[117] T.Regge, C.Teitelbom, Ann. Phys., 174, 463, (1987)

[118] J.Louko, B.F.Whiting, J.L.Friedman, Hamiltonian spacetime ynamics with a spherically-symmetric null-dust shell, Phys. Rev., D 57, 2297, (1998)

[119] V.A.Berezin,A.M.Boyarsky,A.Yu.Neronov (Paper in preparation.)

[120] В.Вазов, Ассимптотические разложения обыкновенных дифференциальных уравнений, Наука, (1977)

[121] М.В.Федорюк, Асимптотический методы для обыкновенных дифференциальных уравнений, Наука, (1983)

[122] В.П.Маслов, М.В.Федорюк, Квазиклассическое приближение для уравнений квантовой механики, Наука, (1976)

[123] Дж.Хединг, Введение в метод фазовых интегралов, Мир, (1968)

[124] V.A.Berezin,A.M.Boyarsky,A.Yu.Neronov, On the mechanism of Hawking radiation, Gravitation&Cosmology, vol.5 No. 1(17), pp. 16-22(1999)

[125] Болтянский, Сидоров, Шабунин, Теория функций комплексного переменного, Наука, (1989)

[126] G. 't Hooft, Scattering matrix approach for the quantum black hole, Int. J. Mod. Phys., A 11, 4623, (1996)

[127] C.R.Stephens, G. 't Hooft, B.F.Whiting, Black Hole evaporation without information loss, Class. Q. Grav., 11, 621, (1994)

[128] Y.Kein, E.Verlinde, H.Verlinde,

Black hole horizons and complementarity, Phys. Rev., D 52, 7053, (1995)