Методы конечнотемпературной квантовой теории поля в гравитации и проблема энтропии черных дыр тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, доктор физико-математических наук Фурсаев, Дмитрий Владимирович

• Фурсаев, Дмитрий Владимирович
• доктор физико-математических наук
• 2003

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Фурсаев, Дмитрий Владимирович

Введение

1 Квантовая теория на стационарном фоне и свойства одночаф стичных спектров

1.1 Введение

1.2 Свободные поля на стационарном фоне.

1.2.1 Квантование на стационарном фоне.

1.2.2 Примеры фоновых полей.

1.3 Нелинейные спектральные задачи.

1.3.1 Математическая формулировка.

1.3.2 Основной результат.

1.3.3 Спектральные асимптотики.

1.4 Дополнительные комментарии.

1.4.1 Задачи, связанные с уравнением Дирака.

1.4.2 Задачи, связанные с калибровочными полями.

1.4.3 Случай непрерывного спектра.

1.5 Размерная редукция и связь с однопетлевыми расходимостями

2 Конечнотемпературная теория поля на стационарном фоне

2.1 Введение

2.2 Свободная энергия.

2.2.1 Метод среднего поля

2.2.2 Предел высоких температур.

2.2.3 Пример вычислений в стационарном гравитационном поле: эффект вращения системы.

2.2.4 Пример вычислений в калибровочных теориях: дебаевская экранировка ф 2.3 Евклидова формулировка теории поля при конечной температуре

2.3.1 Достоинства и трудности евклидовой теории

2.3.2 Определения.

2.3.3 Связь между евклидовой и канонической формулировками

2.3.4 Виковский разворот в пределе больших Т.

2.4 Энергия вакуума и редукционные формулы.

Классические и квантовые аспекты гравитации на многообразиях с коническими сингулярностями

3.1 Введение

3.2 Инвариантные функционалы на торнифолдах.

3.2.1 Сглаживание конических сингулярностей

3.2.2 Топологические характеристики и гравитация Лавлока

3.2.3 Энтропия черных дыр в теориях гравитации с высшими производными.

3.3 Торнисферы и глобальные свойства торнифолдов.

3.3.1 Способы описания торнисфер

3.3.2 Уравнения связи на параметры торнисферы.

3.3.3 Предел малых дефицитов конических сингулярностей

3.3.4 Полиэдрические конфигурации.

3.3.5 Решения уравнений Эйнштейна с радиальными струнами

3.4 Спектральная геометрия торнифолдов.

3.4.1 Квантовые эффекты на конусе.

3.4.2 Результат для низших спинов.

3.4.3 Проблема высших спинов.

3.5 Извлечение энергии из черной дыры космическими струнами

Конечнотемпературная теория при наличии горизонтов Кил-линга

4.1 Введение

4.2 Свойства квантовых систем вблизи горизонта Киллинга.

4.3 Регуляризации инфракрасного типа.

4.4 Регуляризации ультрафиолетового типа.

4.5 Связь между канонической и евклидовой теориями.

4.6 Статистическая механика черных дыр и перенормировка в энтропии

5 Черные дыры и индуцированная гравитация

5.1 Идея и результат.

5.2 Модели конституентов

5.2.1 Модели с неминимальными связями скалярных полей

5.2.2 Модели с векторными полями.

5.3 Энтропия нейтральных статических и вращающихся черных дыр

5.4 Заряженные черные дыры.

5.4.1 Индуцированная теория Эйнштейна-Максвелла.

5.4.2 Заряженные поля вблизи горизонта заряженной черной дыры и вычисление энтропии.

5.5 Масштаб квантовой гравитации в пределе большого числа конституентов

5.6 Черные дыры в двух измерениях

5.6.1 Индуцированная гравитация Лиувилля.

5.6.2 Термодинамика черных дыр.

5.6.3 Статистическая механика

6 Интерпретация энтропии черной дыры в индуцированной гравитации

6.1 Введение

6.2 Энергия, гамильтониан, нетеровский заряд и черные дыры

6.2.1 Два определения энергии при наличии горизонта.

6.2.2 Каноническая эволюция вдоль времени Киллинга.

6.2.3 Энергия полей материи и первый закон термодинамики черных дыр.

6.2.4 Вращающиеся черные дыры.

6.3 Энтропия черной дыры и вырождение спектра масс.

6.3.1 Нетеровский заряд и мягкие моды.

6.3.2 Спектр масс черной дыры Шварцшильда

6.3.3 Спектр масс заряженных и вращающихся черных дыр

6.4 Энтропия черной дыры как мера потери информации под горизонтом

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Методы конечнотемпературной квантовой теории поля в гравитации и проблема энтропии черных дыр»

Настоящая диссертация содержит результаты исследований автора, которые имеют две цели: 1) развитие методов и анализ особенностей конечнотемпера-турной квантовой теории поля в стационарных калибровочных и гравитационных фоновых полях общего вида, включая случай пространств с горизонтом Киллинга; 2) использование этих методов для последовательного статистическо-механического обоснования энтропии черных дыр в теориях, где гравитация возникает целиком за счет квантовых эффектов.

Наш интерес к данной тематике связан с тем, что явления при конечной температуре играют фундаментальную роль во многих областях физики высоких энергий. Спектр приложений здесь огромен, от космологии и астрофизики до экспериментов на ускорителях будущего поколения. Более того, в настоящее время наступает период новых наблюдательных данных об эффектах, связанных с существованием материи в экстремальных условиях, т.е. при очень большой температуре, плотности, а также при наличии сильной гравитации. Это требует развития адекватных, строгих и эффективных методов теоретических расчетов.

Ключевую роль в получении новой информации будут играть эксперименты на большом адронном ускорителе (LHC), который начнет действовать в 2007 году в CERN. Одна из целей этого проекта - исследование в эксперименте ALICE возможных проявлений кварк-глюонной плазмы в столкновениях тяжелых ионов [1]. Первые официальные заявления о наблюдении нового состояния вещества в виде свободных кварков и глюонов появились в 2000 году, см. [2]. Прошедшие эксперименты с тяжелыми ионами в CERN, а также проводимые в данный момент эксперименты на американском ускорителе RHIC в Брукхэвене [3] можно отнести к исследованиям кварковой материи при высокой плотности, но относительно малой температуре. Эти данные представляют интерес с точки зрения астрофизики, поскольку аналогичные условия могут реализовы-ваться в нейтронных звездах. В будущих экспериментах на LHC соответствующая температура приблизится к температуре вещества в ранней Вселенной в момент Большого взрыва [2].

Другим источником информации о материи в экстремальных условиях являются астрофизические наблюдения, получившие мощный толчок благодаря новому поколению прецизионных приборов, таких, например, как телескопы Hubble и Chandra. Еще в 80х годах Виттеном [4] была высказана гипотеза о существовании стабильных состояний плотной материи, содержащей свободные и, d и s кварки. Им и рядом других авторов [5], [6] рассматривалась возможность существования кварковых или странных звезд, целиком образованных из подобной кварковой материи. В отличие от нейтронных эти звезды имеют большую плотность и меньший радиус. Объекты, являющиеся кандидатами на роль странных звезд, стали регистрироваться с конца 90х годов (см. [7] и ссылки в этой работе). Если гипотеза о странных звездах подтвердится, появится уникальная возможность исследовать проявления кварк-глюонной плазмы в "природных лабораториях", созданных под воздействием гравитации. С другой стороны, эксперименты на ускорителях приобретут важное значение для построения астрофизических моделей.

Заметим, что в нейтронных звездах эффекты общей теории относительности играют существенную роль [8], а в странных звездах они могут быть еще значительнее. Нейтронные звезды создают сильное магнитное и гравитационное поля, а также могут вращаться с огромной угловой частотой. Такие объекты известны как миллисекундные пульсары. Как считается [8], в начальный период после своего образования пульсары могут иметь экваториальную скорость ^ вращения близкую к скорости света.

Для теоретической разработки упомянутых выше экспериментальных данных необходимо развивать методы квантовой теории поля при конечной температуре и плотности в сильных гравитационных и других фоновых полях. К фоновым мы относим внешние классические поля, а также среднее поле, созданное самими квантовыми полями. Необходимо развивать как строгий математический аппарат, лежащий в основе вычислений, так и эффективные приближенные методы.

В квантовой гравитации метод фонового поля, реализуемый в формализме эффективного действия [9],[10],[11] давно является традиционным методом расчетов. Этот формализи восходит к работам Швингера [12] и де Витта [9]. Его существенная черта - ковариантность. Однако в теории при конечной темпе-щ ратуре ковариантность нарушена, поскольку состояние теплового равновесия существенно связано с выбором системы отсчета. Это приводит к явному отделению временной координаты от пространственных. По этой причине при конечной температуре во внешних полях ковариантные методы вычислений часто оказываются неприменимы и требуется разрабатывать новые подходы.

Основным методом расчетов при конечной температуре является диаграм-ная техника, применимая, как правило, в плоском пространстве-времени, когда прочие фоновые поля тривиальны1 (см., например, [14]). Косвенным способом эта техника позволяет делать определенные выводы для слабых фоновых полей, но этого приближения не всегда достаточно, особенно, если требуется учитывать нелокальные эффекты. Единственным хорошо исследованным случаем нетривиальных фоновых полей при конечной температуре является статическое гравитационное поле [15]—[17], а также случай, когда временная компонента калибровочного поля равна нулю. Однако ряд важных физических явлений, таких, например, как вращение системы или эффекты экранировки калибровочного поля, выходит за эти рамки.

Широко применяется также евклидова формулировка теории. Она привлекает своей формальной ковариантностью и возможностью использовать метод эффективного действия [9]. Проблема в том, что переход к евклидовой теории требует комплексификации внешних полей - процедуры, обобщающей понятие виковского разворота. В общем случае, учитывая нелокальный характер эффективного действия [10], такая процедура является весьма нетривиальной. Кроме того, евклидовы фоновые поля могут не только отличаться по своим свойствам от физических фоновых полей, но даже не иметь аналога в лоренцевом секторе. Этот факт известен в квантовой гравитации [18].

Одним из примеров, где учет фоновых полей в теории при конечной температуре играет ключевую роль, является термодинамика черных дыр и связанная с ней проблема статистической интерпретации энтропии Бекенштейна-Хокинга. Черные дыры являются специфическими решениями гравитации Эйнштейна, которые описывают области пространства со столь сильным гравитационным полем, что никакое вещество не может выйти за их пределы. Внутренняя область дыры скрыта от внешнего наблюдателя. Граница невидимой области

1 Здесь имеются в виду расчеты в стационарных фоновых полях. Помимо вкладов от стационарных конфигураций статистическая сумма при конечной температуре может также содержать вклады от инстантонов, как это, например, происходит в теории Янга-Миллса [13]. Конечнотемпературные эффекты, связанные с инстантонами, в данной диссертации не обсуждаются. называется горизонтом.

Черные дыры, которые образуются при гравитационном коллапсе вещества, быстро достигают стационарного состояния, которое характеризуется массой М и угловым моментом вращения J. Если допустить, что вещество может быть заряженным, то к этим параметрам нужно добавить электрический заряд Q. Никаких других параметров стационарная черная дыра в теории Эйнштейна-Максвелла иметь не может и ее метрика в общем случае описывается решением Керра-Ньюмана. Это утверждение известно как теорема об отсутствии " волос" [19]. Если QH - угловая скорость вращения черной дыры вблизи горизонта, а Фя - разность между значениями электрического потенциала на горизонте и бесконечности, то используя чисто классические уравнения теории, можно доказать следующую вариационную формулу [20]

Здесь А - площадь поверхности горизонта черной дыры, a G - постоянная Ньютона2. Величина к есть константа, называемая поверхностной гравитацией. Она определяет напряженность гравитационного поля вблизи горизонта. Если рассматривать массу дыры М как внутреннюю энергию, то (1) напоминает по форме первое начало термодинамики, в котором

8вн имеет смысл энтропии, а Тн температуры. Величина SBH была введена в работал [22]-[25] и называется энтропией Бекенштейна-Хокинга. Строго говоря, формула (1) определяет энтропию и температуру с точностью до множителя. Этот множитель фиксируется из других соображений: Тц совпадает с температурой излучения Хокинга от черной дыры [25]. Кроме первого начала, можно найти аналогию и с другими законами термодинамики. Например, рассматривая классические процессы с черными дырами, можно заключить, что площадь поверхности горизонта не убывает, что соответствует второму началу термодинамики. В квантовой теории этот закон будет справедлив, если SBH объединить с энтропией вещества во внешней области черной дыры. Именно из требования, что второе начало не нарушается в процессе гравитационного коллапса, следует вывод, что черная дыра должна обладать собственной энтропией, ассоциируемой с площадью горизонта. В противном случае энтропия коллапсирующего вещества исчезала бы после образования дыры бесследно.

23десь и далее, если нет специальных замечаний, мы используем систему единиц h = с — kg = 1 (кв постоянней Больцмана), и пользуемся определениями, принятыми в книге [21]. В частности, лоренцева сигнатура метрики (—, +, +, +).

SM = TH6SBH +nH6J + Ф H6Q,

1) (2)

Термодинамика и статистическая механика черных дыр одна из наиболее удивительных и быстро развивающихся областей физики черных дыр. В теории гравитации Эйнштейна энтропия черной дыры является чисто геометрической величиной. В реальных термодинамических системах энтропия есть логарифм числа микроскопических состояний, отвечающих данному набору макроскопических параметров. Возникает вопрос: обладает ли черная дыра микроскопическими степенями свободы, подсчет которых воспроизводит энтропию Бекенштейна-Хокинга?

Назовем основные причины, почему мы интересуемся проблемой энтропии черных дыр в данной диссертации.

Во-первых, объяснение микроскопического происхождения энтропии черных дыр важно для понимания теории квантовой гравитации. Вычисления энтропии определенного класса черных дыр в теории струн рассматриваются как одно из самых важных достижений в теоретической физике последних лет. Однако, хотя этой теме посвящены сотни публикаций, до сих пор остается ряд открытых вопросов (см. ниже), которые стимулируют дальнейшие исследования.

Во-вторых, конечнотемпературная теории поля вблизи черных дыр имеет ряд интересных особенностей, вызванных тем, что локальная температура вблизи горизонта дыры стремится к бесконечности из-за сильного ультрафиолетового сдвига. В результате, энтропия газа в узкой области планковского размера вблизи горизонта по порядку величины оказывается сравнимой с энтропией черной дыры. Чтобы понять, может ли данное наблюдение помочь в решении проблемы энтропии, методы конечнотемпературной теории поля при наличии черных дыр требуют специального исследования.

В рассуждениях, приведенных выше, мы рассматривали черные дыры как астрофизические объекты. Важно отметить, что в настоящий момент не меньший интерес вызывает и физика микроскопических черных дыр. Если, как предсказывается в некоторых сценариях с дополнительными измерениями [26], [27], фундаментальный планковский масштаб имеет порядок 1 Tev, черные дыры с массой в несколько Tev смогут рождаться при столкновении частиц на ускорителях будущего поколения [28] или в атмосфере Земли при прохождении сквозь нее высокоэнергетичных космических лучей [29]. Скорость рождения черных дыр на LHC оценивается как одно событие в секунду [28]. Верна ли эта смелая гипотеза или нет - покажет будущее, однако обсуждение черных дыр в рамках экспериментальных программ на ускорителях уже стало фактом.

Прежде чем излагать содержание диссертации, мы сделаем краткий обзор результатов по исследованию проблемы энтропии черных дыр. Начнем с простой оценки и рассмотрим массивную статическую нейтральную черную дыру с массой М порядка 109 масс Солнца. Учитывая, что Л = !6irG2M2, по формуле (2) получаем, что ее энтропия имеет порядок 1095. Это на восемь порядков больше, чем энтропия видимой части Вселенной (имеется в виду энтропия реликтового фона с температурой 2,7 К в пространстве размером 1028 см)! Картина усложняется тем, что в классической теории такая черная дыра есть просто пустое пространство с сильным гравитационным полем и ничего более. Таким образом, энтропия черных дыр это одна из тех фундаментальных проблем, разрешение которых требует отхода от классической гравитации.

Если условно поделить поверхность горизонта на ячейки планковского размера I ~ y/G, то, согласно (2), SBH совпадает по порядку величины с логарифмом числа способов разместить по этим ячейкам знаки "+" и "-". Появление в этой оценке планковского масштаба не случайно. Оно указывает на то, что разумное микроскопическое объяснение энтропии черной дыры должно основываться на квантовой гравитации. Более того, воспроизведение SBH методом статистической механики следует рассматривать как очень нетривиальную проверку любой теории, претендующей на роль квантовой гравитации.

На данный момент наиболее перспективным кандидатом на эту роль является теория D-бран (теория струн). Как мы уже отмечали, одним из фундаментальных результатов в этой теории за последние годы является успешное воспроизведение SBH для экстремальных [30]-[32], около-экстремальных [33],[34], [35], а также некоторых других типов черных дыр [36]. Кроме этого подхода и подхода, который будет излагаться в данной диссертации, существуют и другие точки зрения на данную проблему. Одно из предложений, например, основано на "петлевой" формулировке квантовой гравитации (loop quantum gravity) [37]. Другая интересная идея принадлежит авторам [38], [39], показавшим, что вблизи любого горизонта Киллинга можно выделить конформную группу диффеоморфизмов, чье вырождение совпадает с соответствующей энтропией Катализатором исследований в данном направлении послужила работа Стро-минджера [40].

Каждый из перечисленных подходов кроме достоинств имеет свои трудности. Например, подход [38], [39] никак не связан с термодинамикой черных дыр, поскольку он применим к области вблизи горизонта, где нет однозначного определения энергии, а температура хокинговского излучения стремится к бесконечности из-за ультрафиолетового смещения. Вычисления энтропии в теории струн [35] существенно используют суперсимметрию и поэтому ограничены специфическим классом черных дыр. Более того, метод этих расчетов не является универсальным, и каждая новая модель требует собственных вычислений. Наконец, поскольку вычисления проводятся для некоторой дуальной теории в плоском пространстве, они не дают информации о реальных степенях свободы черной дыры и о том, где они локализованы.

Термодинамика черных дыр определяется уравнениями гравитации при низких энергиях. Естественно предположить, что, если какая-либо теория квантовой гравитации способна объяснить энтропию черных дыр, то для понимания сути проблемы требуются не конкретные детали теории, а лишь те ее особенности, которые существенны в области низких энергий. Это позволяет надеяться, что вместо полной теории квантовой гравитации, построение которой еще не завершено, механизм возникновения энтропии можно понять, используя упрощенные модели.

Мы упомянули, что в классической гравитации черная дыра есть пустое пространство в сильном гравитационном поле. В квантовой теории "пустое пространство" является физическим вакуумом, который, подобно сплошной среде, имеет сложную микроскопическую структуру, определяющую такие его макроскопические свойства как энергия, поляризуемость и т.д. Эти свойства меняются под воздействием внешних факторов, например, граничных условий или фоновых полей. С другой стороны, квантовые эффекты в вакууме приводят к тому, что меняются классические уравнения для самих фоновых полей. В частности, если фоновое поле на классическом уровне не обладает никакой динамикой, квантовые эффекты могут индуцировать для него нетривиальное действие. В 1968 году А.Д. Сахаров [41],[42] выдвинул идею о том, что гравитационное действие Эйнштейна может возникать целиком за счет квантовых вакуумных (петлевых) эффектов. Этот подход, который позднее исследовался многими авторами, получил название индуцированной гравитации. Механизм индуцированной гравитации имеет сходство с тем, как гравитация возникает в теории струн. Хотя в теории струн действие гравитационного поля и полей материи получается из древесных диаграмм замкнутой струны, эти же диаграммы можно рассматривать как однопетлевые диаграммы открытых струн [43]. С этой точки зрения гравитация действительно есть чисто петлевой эффект.

Идея данной диссертации состоит в том, что именно микроскопическая структура физического вакуума в гравитационном поле черной дыры может объясф нить происхождение энтропии Бекенштейна-Хокинга SBH. Предположение, что энтропия черной дыры может быть связана с квантовыми возбуждениями впервые появилась в работах [44],[45],[46], которые стимулировали большое количество публикаций. Возможность использовать для этой цели индуцированную гравитацию была впервые отмечена Джекобсоном в неопубликованной работе [47]. Тот факт, что механизм генерации энтропии в индуцированной гравитации может также реализовываться в теории открытых струн, обсуждался Хокингом, Мальдасеной и Строминджером в [48]. Остановимся подробнее на этих и связанных с ними работах.

Свойства физического вакуума, особенно при наличии гравитации, нетривиальны. В состоянии вакуума всегда присутствуют нулевые колебания физических полей. Наблюдатель, который покоится относительно горизонта черной дыры воспринимает возбуждения вакуума как тепловую атмосферу черной дыры [46]-[54]. Первые попытки связать энтропию черной дыры с ее тепловой атмосферой появились в работах Торна и Зурека [44] и т'Хоофта [45]. т'Хоофт [45] оценил тепловую энтропию, полагая, что температура атмосферы на бесконечности совпадает с температурой излучения Хокинга 7#, и показал, что энтропия пропорциональна площади поверхности горизонта Л. Это вычисление выявило очевидную трудность, связанную с тем, что температура вблизи горизонта оказывается бесконечной за счет ультрафиолетового смещения. Чтобы избежать расходимостей т'Хоофт предположил, что поля исчезают в пределах некоторого расстояния от горизонта. Если расстояние выбрать порядка план-• ковской длины, то энтропия тепловой атмосферы оказывается сравнимой с SBH.

Соответствующая модель получила название "brick wall model".

Причина, по которой статический наблюдатель вблизи черной дыры воспринимает вакуум как смешанное состояние, связана с потерей информации о той части квантовой системы, которая локализована внутри горизонта. Бомбелли и др. [55], а также Средницкий [56] показали, что даже в плоском пространстве, когда наблюдения в вакууме ограничены частью системы, находящейся внутри области Q, возникает ненулевая энтропия, пропорциональная площади границы Q. Аналогичные результаты были также установлены для полей ненулевого спина [57] и для чистого состояния, не совпадающего с вакуумным [58]. Ненулевая энтропия появляется, поскольку "наблюдаемые" и "ненаблюдаемые" вакуумные флуктуации "перепутываются" (entangled) друг с другом, причем, ® в локальной теории "перепутывание" происходит лишь на границе Учитывал это свойство, в [55],[56] было предложено отождествить SBH с entanglement энтропией для квантовых флуктуаций, по разные стороны горизонта.

Фролов и Новиков [63] предложили связать энтропию черной дыры со степенями свободы, соответствующими квантовым состояниям внутри черной дыры. Матрица плотности этих степеней свободы может быть получена усреднением по полной системе состояний локализованных снаружи горизонта. Для мод вблизи горизонта эта матрица плотности является тепловой. По сути подход Фролова-Новикова близок к работам [44],[45],[55]. Отметим, что малые флуктуации полей (включая гравитационные), распространяющиеся в поле черной дыры, можно связать с деформацией геометрии черной дыры. Это можно продемонстрировать явным образом в подходе "волновой функции черной дыры" ^ [64]. Таким образом, подсчет состояний квантовых полей связан с подсчетом состояний квантовых возбуждений самой черной дыры.

Замечательное особенность черных дыр состоит в том, что entanglement энтропия, и энтропия тепловой атмосферы совпадают [59]-[62]. В дальнейшем мы будем называть эту энтропию статистическо-механической или просто тепловой энтропией. В общем случае связь между тепловой энтропией и энтропией черной дыры очень нетривиальна из-за расходимостей вблизи горизонта [65]. Сасскинд и Аглум [66], а также Каллан и Вильчек [61] указали на то, что эта расходимость может быть связана с ультрафиолетовыми расходимостями теории и должна устраняться перенормировкой постоянной Ньютона. Это наблюдение, однако, означает, что для проведения перенормировки требуется ввести бесконечную "голую энтропию", которая не имеет никакого статистического щ обоснования. Именно по этой причине Джекобсон предположил [47], что проблема энтропии может быть решена, если гравитация Эйнштейна целиком возникает за счет квантовых эффектов, в духе идей А.Д. Сахарова.

Мы привели ряд аргументов в пользу того, что развитие аппарата конечнотемпературной теории в стационарных фоновых полях общего вида является важной задачей, имеющей прикладное и фундаментальное значения. В настоящей диссертации мы сосредоточим внимание на следующих основных проблемах:

1) Разработка эффективных методов расчетов в стационарных фоновых полях общего вида и получение приближенний для свободной энергии системы в калибровочных теориях и гравитации. щ 2) Исследование свойств конечнотемпературной теории при наличии горизонтов Киллинга.

3) Исследование на этой основе проблемы статистического обоснования энтропии черных дыр в рамках гипотезы о том, что механизм возникновения энтропии связан со свойствами физического вакуума в гравитационном поле черной дыры.

Диссертация состоит из настоящего Введения, шести глав и Заключения. В первой половине диссертации излагается формализм и р'яд математических результатов, полученных автором, а во второй эти результаты используются для исследования проблемы энтропии черных дыр.

В первой главе мы рассмотрим квантовую теорию на стационарном фоне и представим новый метод исследования волновых уравнений для одночастичных возбуждений, развитый в работах [67], [68], [69]. Основная цель этой главы - изучение свойств спектров одночастичных возбуждений в пределе больших энергий. Нетривиальность поставленной задачи в том, что в самом общем случае соответствующее уравнение на собственные значения является полиномом второго порядка от спектрального параметра. Поэтому методы, разработанные для стандартных задач на собственные значения, здесь не работают. Мы представим новый метод, позволяющий применять к данной задаче теорию эллиптических операторов. Результаты [67], [68], [69] являются новыми математическими результатами, которые могут быть положены в основу спектральной геометрии квадратичных операторных пучков. Они также имеют важные физические приложения, в частности, к конечнотемпературной квантовой теории поля. Сам метод и спектральные асимптотики будут описаны в разделе 1.3. В разделе 1.4. мы покажем как использовать полученные результаты в случае частиц спина 1/2, а также в неабелевой калибровочной теории. В последнем разделе изучается связь между спектральной геометрией квадратичных операторных пучков и ультрафиолетовыми расходимостями в соответствующей квантовой теории поля.

Вторая глава посвящена конечнотемпературной теории поля на стационарном фоне [67], [69], [70]. В разделе 2.2 результаты первой главы используются для получения асимптотического вида свободной энергии как функционала фоновых полей в пределе больших температур. Эффективность метода иллюстрируется в двух наиболее характерных случаях: в гравитации, для учета эффектов, связанных с вращением системы, и в калибровочных теориях, для описания эффектов экранировки в электрон-позитронной плазме. В разделе 2.3 исследуется евклидов подход к теории при конечной температуре. Основное внимание уделено трудностям виковского разворота в случае фоновых полей общего вида. Сформулированы требования на спектр, при которых виковский разворот возможен, а сама процедура разворота в явном виде исследована в пределе больших температур. Раздел 2.4 посвящен изучению общих свойств энергии вакуума на стационарном фоне.

Как мы уже говорили, конечнотемпературная теория в пространствах с горизонтом Киллинга обладает рядом уникальных свойств. В частности, здесь приходится работать с классом многообразий с коническими сингулярностями на евклидовом горизонте. Для краткости такие многообразия в данной диссертации будут называться торнифолдами. Третья глава посвящена изучению классических и квантовых аспектов гравитации на торнифолдах. Прежде всего, в разделе 3.2 мы дадим определение координатно-инвариантных функционалов ^ от метрики на торнифолдах [71], используя процедуру сглаживания конических сингулярностей. Наш способ дает возможность учесть сингулярный характер кривизны и имеет различные приложения, такие, например, как описание топологических характеристик торнифолдов, вычисление энтропии черных дыр в теориях гравитации с высшими производными и другие. В разделе 3.3 на примере торнисфер мы рассмотрим глобальные свойства замкнутых торнифолдов [72], [73]. Мы покажем, что величины конических дефектов и расположение конических сингулярностей должны удовлетворять определенному ограничению так, чтобы произведение голономий вокруг всех сингулярных точек было тривиальным. Используя этот результат, можно построить обобщение любого сферически-симметричного решения уравнений Эйнштейна, на случай произвольного числа космических струн, направленных радиально. В разделе # 3.4 изучаются однопетлевые расходимости в квантовой теории на торнифолдах. Геометрическая структура расходимостей в размерности D = 4 полностью установлена для полей спина 0, 1/2 и 1 [74], [75], [76]. Эти результаты имеют важное значение для определения методом евклидовой теории энтропии квантовых полей вблизи горизонта черной дыры. Мы также коснемся теории высших спинов на торнифолдах, рассматривая в качестве примера спины 3/2 и 2 [77]. Мы установим, что при наличии конических сингулярностей в квантовой теории таких спинов предельный переход, когда дефицит угла исчезает, не существует. Это связано с тем, что вблизи конических сингулярностей часть локальных изометрий нарушается, что приводит к появлению дополнительных состояний в спектре соответствующих операторов Лапласа. Третья глава завершается разделом 3.4, в котором мы рассматриваем вопрос об извлечении ® энергии черной дыры при помощи радиальных космических струн [78].

В четвертой главе мы переходим к непосредственному изучению конечно-температурной теории в пространствах с горизонтом Киллинга [75], [79], [80], [81], [82], [83]. В разделе 4.2 обсуждаются общие свойства одночастичных возбуждений вблизи горизонта Киллинга. В разделах 4.3 и 4.4 представлены два способа регуляризации расходимости спектральной плотности одночастичных спектров. В разделе 4.3 используется регуляризация инфракрасного типа, когда ограничивается объем ультрастатического пространства, что эквивалентно введению обрезания на некотором расстоянии вблизи горизонта. В разделе 4.4 показано, что расходимости также можно устранить в размерной регуляризации и в регуляризации Паули-Вилларса. Для скалярных и спинорных полей геометрическая структура этих расходимостей получена в явном виде для произвольного стационарного гравитационного поля с горизонтом Киллинга и ненулевой поверхностной гравитацией [75]. На основе этих результатов и результатов третьей главы в разделе 4.5 установлено, что расходимости в энтропии полей низших спинов, вычисленные с применением регуляризации ультрафиолетового типа, полностью эквивалентны расходимостям, возникающим за счет конических сингулярностей в евклидовой теории. Тем самым установлено соответствие между каноническими определениями в рамках статистической механики при наличии горизонтов Киллинга и определениями евклидовой теории. Данное свойство позволяет относиться к расходимостям энтропии квантовых полей вблизи черной дыры как к расходимостям ультрафиолетового типа. В разделе 4.6 мы докажем общее утверждение, что для полей, не имеющих неминимальной связи с кривизной, расходимости энтропии полностью устраняются перенормировкой констант в эффективном гравитационном действии [79], [77], [76], [75]. В случае неминимальных связей преренормировка также возможна, если учесть непосредственный вклад полей в энтропию черной дыры.

Проблема энтропии черных дыр в теории индуцированной гравитации [84], [85], [86], [87], [88], [81], [89], [90], [91], [92] рассматривается в пятой главе. В разделе 5.2 представлены модели индуцированной гравитации, где действие Эйнштейна целиком возникает за счет эффектов поляризации вакуума невзаимодействующими массивными полями (конституентами) со спинами 0,1/2 и 1. Показано, что существуют модели, в которых индуцированная постоянная Ньютона Gind и индуцированная космологическая константа Aind не содержат ультрафиолетовых расходимостей. Такие модели неизбежно включают конституенты, имеющие неминимальные связи с кривизной. Цель следующих двух разделов в том, чтобы продемонстрировать, что в пределе, когда кривизна пространства мала по сравнению с массами конституентов, энтропия Бекенштейна-Хокинга черной дыры дается универсальной формулой sB" = 45Z = s-q- Р>

Здесь S - суммарная тепловая энтропия всех конституентов вблизи горизонта черной дыры, a Q - среднее значения нетеровского заряда.на горизонте, отвечающее неминимальным связям конституентов. В (3) расходимости в тепловой энтропии S полностью компенсируются расходимостями в Q. Формула (3) универсальна. Она не зависит от модели конституентов и справедлива для неэкстремальных вращающихся черных дыр (см. раздел 5.3) и заряженных черных дыр (см. раздел 5.4). Случай заряженных черных дыр изучается в разделе 5.4 на примере индуцированной теории Эйнштейна-Максвелла в трех измерениях, где можно добиться полного сокращения всех ультрафиолетовых расходимостей. Результаты затем обобщаются на теорию в четырех измерениях. В разделе 5.5 мы обсуждаем возможность того, что в индуцированной теории масштаб, где проявляются эффекты квантовой гравитации, может быть существенно ниже планковской шкалы [89]. Это возможно при большом числе конституентов. Раздел 5.6 посвящен проблеме энтропии черных дыр в двух измерениях [90], [91] и моделям индуцированной гравитации в форме теории Ли-увилля [92]. Особенность этой теории состоит в том, что основную роль здесь играют безмассовые конституенты. Нетеровский заряд Q в (3) в таких моделях является константой и энтропия 2-мерной черной дыры полностью определяется энтропией безмассовых полей.

В отличие от S, величина Q в формуле (3) не имеет смысла энтропии. Поэтому в шестой главе интерпретация вычитания Q в (3) дана с точки зрения статистической механики. Прежде всего, в разделе 6.2 показано, что в пространстве с горизонтом Киллинга существует два определения энергии. Энергия может быть определена канонически, как гамильтониан системы Н. Можно также определить энергию £ в терминах тензора энергии-импульса, получаемого вариацией по метрике. Вариации энергии £ полей материи снаружи черной дыры входят в первый закон термодинамики черной дыры. Величины Н и £ отличаются на полную дивергенцию, которая сводится к поверхностному слагаемому на горизонте. Оказывается, что в случае полей с неминимальной связью И — £ = THQ, см. [93]. Используя это свойство, в разделе 6.3 показано, что энтропию Бекенштейна-Хокинга в индуцированной гравитации можно связать с вырождением спектра масс черной дыры [85]. В основе этого вывода лежит предположение, что квантовые возбуждения конституентов приводят к флуктуациям массы черной дыры. Если масса черной дыры М на пространственной бесконечности фиксирована, то вариация массы Мц = М — £ определяется изменением энергии S конституентов снаружи черной дыры. Таким образом, спектр масс черной дыры Л/# эквивалентен спектру £. Чтобы теперь перейти от распределения по энергиям к распределению, определяемому спектром канонической энергии 7i, нужно учесть, что 8 = И — T^Q. Это факт объясняет вычитание Q в (3). В разделе 6.4 представлена также другая точка зрения на формулу (3). Здесь энтропия черной дыры интерпретируется как entanglement entropy или мера потери информации о состояниях конституентов под горизонтом черной дыры [94]. Поскольку критерием здесь опять служат изменения энергии обе точки зрения не противоречат друг другу.

В заключении перечислены основные результаты, выносимые на защиту.

Результаты диссертации докладывались и обсуждались на семинарах Лаборатории теоретической физики им. Н.Н.Боголюбова ОИЯИ, в Физическом институте им. П.Н. Лебедева РАН, в Институте Ядерных Исследований РАН (г. Москва), в Математическом институте им. В.А. Стеклова РАН (г. Москва), в Обсерватории Парижа (Медон, Франция), в университетах в городах Ереван (Армения), Едмонтон, Виктория, Виннипег, Ватерлоо (Канада), Тур (Франция), Неаполь, Тренто (Италия), Мюнхен (Германия). Также по результатам диссертации были представлены доклады на следующих международных конференциях и совещаниях: канадская конференция по космологии и астрофизике (Калгари, 1997), "Black Holes: Theory and Mathematical Aspects" (Банф, 1997), "Quantum Field Theory under Influence of External Conditions" (Лейпциг, 1998), "Quantum Gravity and Constrained Dynamics" (Сардиния, 1999), "Quantization, Gauge Theory, and Strings" (Москва, 2000), "Квантовая гравитация и суперструны" (Дубна, 2001), Зя Международная сахаровская конференция по физике (Москва, 2002). Автором был прочитан цикл лекций на Международной конференции "Quantum Gravity and Spectral Geometry" (Неаполь, 2001). По теме диссертации опубликовано 28 работ.

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Фурсаев, Дмитрий Владимирович

Заключение

В диссертации получены следующие основные результаты:

1. Развит новый подход к исследованию класса нелинейных спектральных задач - квадратичных операторных полиномов, имеющих вид (и2—Ь(ш))фш = О, где фш - волновая функция, из - вещественный спектральный параметр и Ь(ш) - положительный эллиптический оператор второго порядка, действующий в векторных расслоениях и зависящий квадратично от и. Метод состоит в определении спектра и по спектру оператора Ь(ш) и применим к системам с непрерывным и дискретным спектрами. Показано, что асимптотика спектральной плотности для данных квадратичных операторных полиномов ведет себя также как асимптотика спектральной плотности эллиптического оператора второго порядка. Введено понятие псевдо-следа - функции K(t) = гДе £ > 0, и суммирование идет по всему спектру. Показано, что при малых t асимптотика K(t) имеет вид K(t) ~ tn~d^an, где ап определяются коэффициентами an(ui) асимптотического разложения следа TV e~tL^ ~ Соотношение между оп и ап(ш) приведено в явном виде.

2. Получена высокотемпературная асимптотика свободной энергии F системы на внешнем стационарном калибровочном и гравитационном фоне общего вида. Эта асимптотика полностью определяется коэффициентами ап разложения K(t).

3. Найдена связь между коэффициентами асимптотического разложения следа ядра теплопроводности оператора Р = + L(id0) в D-мерном стационарном пространстве и коэффициентами ап (D — 1)-мерной нелинейной спектральной задачи с оператором L(ui). На основе этих результатов показано, что в пространстве-времени размерности D = 2т, коэффициент dm, который фигурирует в асимптотике псевдо-следа K(t), совпадает с коэффициентом Ат теплового ядра D-мерного оператора Р.

4. Показано, что расходимости в энтропии квантовых полей вблизи горизонта черной дыры полностью устраняются стандартной перенормировкой постоянной Ньютона и других констант в эффективном гравитационном действии. Данный результат справедлив, если поля не имеют неминимальной связи с кривизной.

5. Построен ряд моделей индуцированной гравитации , в которых гравитационное действие полностью возникает в пределе низких энергий из эффективного действия квантовых полей (конституентов). В пространстве-времени D = 4 построена индуцированная гравитация в форме теории Эйнштейна и в ней исследована энтропия черных дыр Шварцшильда и Керра. В D = 3 построена индуцированная теория Эйнштейна-Максвелла с отрицательной космологической постоянной и исследована статистическая механика заряженных черных дыр. В D = 2 исследована статистическая механика черных дыр в индуцированной гравитации в форме теории Лиувилля.

6. Показано, что в индуцированной гравитации в перечисленных выше моделях механизм возникновения энтропии черных дыр имеет универсальный характер: он не зависит от конкретно выбранной модели, т.е., от вида конституентов и их параметров, не зависит от типа черной дыры, ее углового момента и электрического заряда, не зависит от размерности пространства-времени D, по крайней мере, если D > 3. Энтропия Бекенштейна-Хокинга SBH неэкстремальной черной дыры в индуцированной гравитации всегда имеет вид SBH = S — Q, где S - тепловая энтропия конституентов вблизи горизонта дыры, a Q - нетеровский заряд, связанный с наличием в действии конституентов слагаемых с неминимальной связью.

7. Показано, что в общем случае энергия £ и гамильтониан Н полей материи во внешней области черной дыры не совпадают и имеют разный смысл. Н определяет каноническую эволюцию системы вдоль времениподобного поля Киллинга, а £ фигурирует как энергия в первом законе термодинамики черных дыр. Для полей с неминимальной связью разность Н — £ сводится к интегралу по поверхности горизонта и определяется нетеров-ским зарядом, Н — £ = ThQ. Выражение для Q найдено в общем виде для теории гравитации с высшими производными. Первый закон термодинамики черных дыр в таких теориях, полученный ранее другими авторами, обобщен на случай слабых, но произвольных полей материи.

8. Учитывая связь между И, £ и Q, предложены две возможные дополняющие друг друга интерпретации энтропии Бекенштейна-Хокинга SBH в индуцированной гравитации. Согласно первой интерпретации, SBH может быть связана с вырождением спектра массы черной дыры при условии, что полная масса системы на бесконечности фиксирована. Энтропия 8вн может также рассматриваться как мера потери информации о кон-ституентах индуцированной гравитации внутри горизонта черной дыры, которая определяется квантовыми корреляциями между состояниями с положительной и отрицательной энергией £.

9. На многообразиях с коническими сингулярностями предложен способ определения координатно-инвариантных функционалов, зависящих полиномиально от кривизны. С его помощью дан альтернативный вывод энтропии черных дыр в теориях гравитации с высшими производными и получены явные выражения для числа Эйлера и других топологических инвариантов в присутствии конических сингулярностей.

10. Определена структура и явно найдены первые коэффициенты асимптотического разложения ядра теплопроводности эллиптических операторов, действующих на векторных расслоениях над многообразиями с коническими сингулярностями. Тем самым определена геометрическая форма однопетлевых расходимостей вблизи конических сингулярностей для полей разных спинов.

11. Исследовано соответствие в случае стационарного (но не обязательно статического) гравитационного фона общего вида между однопетлевым эффективным действием We, которое определяется функциональным интегралом в евклидовой гравитации, и свободной энергией системы, F, получаемой суммированием по модам. Сформулированы условия, при которых существует связь между We и F, а сама связь установлена в явном виде. Соответствие между We и F также исследовано при наличии горизонтов Киллинга. В частности, показано, что существуют регуляризации, в которых расходимости F, возникающие вблизи горизонта, полностью совпадают ультрафиолетовыми расходимостями в We, которые появляются в евклидовой теории за счет конических сингулярностей.

12. Дано описание торнисфер - сферических поверхностей с коническими сингулярностями. На их примере продемонстрировано, что введение конических сингулярностей требует в общем случае выполнения определенных глобальных условий. Любая торнисфера может быть изометрично вложена в плоское 3-мерное пространство с соответствующим числом бесконечно тонких радиально направленных из одной точки космических струн. Глобальное условие состоит в том, что полное произведение голономий вокруг струн должно быть тождественным преобразованием. На основе использования торнисфер построены решения уравнений Эйнштейна, описывающие пространство-время с произвольным числом радиально направленных струн и обобщающие известные сферически-симметричные решения.

13. Показано, что за счет квантовых эффектов поперечные степени свободы струны, пересекающей черную дыру, возбуждаются тепловым образом и распространяются вдоль струны на бесконечность. Это приводит к потере энергии черной дырой, причем, данный процесс можно интерпретировать как эффект Хокинга в 2-мерной гравитации, индуцированной на мировом листе струны. Показано, что скорость потери энергии вдоль одной струны сопоставима со скоростью потери энергии за счет обычного хокинговского излучения, поэтому для N струн потеря энергии в N раз превышает эффект Хокинга. Максимально возможное значение N для GUT струн 10э, а для электрослабых струн 1031.

В заключении я хотел бы выразить искреннюю благодарность всем моим соавторам и особенно С.Н. Солодухину, В.П. Фролову и А.И. Зельникову за плодотворное сотрудничество. Я также искренне благодарен В.Г. Кадышевскому, А.Т. Филиппову и Д.И. Казакову за внимание к моей работе и создание благоприятных условий для ее выполнения. Наконец, я признателен Российскому Фонду Фундаментальных Исследований за финансовую поддержку на протяжении ряда лет.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Фурсаев, Дмитрий Владимирович, 2003 год

1. J. Ellis, Future Perspectives at CERN, talk given at CERN-ESA-EASO Symposium, Muenchen 2002, preprint astro-ph/0206054.

2. U. Heinz, The Little Bang: Searching for Quark-Gluon Matter in Relativistic Heavy-Ion Collisions, Nucl. Phys. A685 (2001) 414.

3. L. McLerran, What we have learned from RHIC?, preprint hep-ph/0202025.

4. E. Witten, Cosmic Separation of Phases, Phys. Rev. D30 (1984) 272.

5. P. Haensel, J.L. Zdunik, R. Schaeffer, Strange Quark Stars, Astron. Astrophys 160 (1986) 121.

6. C. Alcock, E. Farhi, A. Olinto, Strange Stars, Astrophys. Journal 310 (1986) 261.

7. J.J. Drake, et al. Is RXJ1856.5-3754 a Quark Star, Astrophys. J 572 (2002) 996.

8. И.С. Шкловский, Звезды: их рождение, жизнь и смерть, Наука, 1984.

9. B.S. DeWitt, Dynamical Theory of Groups and Fields, Gordon and Breach, New York 1965.

10. A.O. Barvinsky and G.A. Vilkovisky, The Generalized Schwinger-DeWitt Technique in Gauge Theories and Quantum Gravity, Phys. Rept. 119 (1985) 1.

11. I.L. Buchbinder, S.D. Odintsov, and I.L. Shapiro, Effective Action in Quantum Gravity, Bristol, 1992.

12. J.S. Schwinger, On the Green's functions of Quantized Fields, Proc. Nat. Acad. Sci. 37 (1951) 452, ibid 455.

13. D. Gross, R. Pisarski and L. Yaffe, QCD and Instantons at Finite Temperature, Rev. Mod. Phys. 53 (1981) 43.

14. J.I. Kapusta, Finite-Temperature Field Theory, Cambridge University Press, Cambridge, UK, 1989.

15. J.S. Dowker and G. Kennedy, Finite Temperature and Boundary Effects in Static Space-Times, J. Phys. A: Math. Gen. 11 (1978) 895.

16. J.S. Dowker and J.P. Schofield, High Temperature Expansion of the Free Energy of a Massive Scalar Field in a Curved Space, Phys. Rev. D38 (1988) 3327.1.. J.S. Dowker and J.P. Schofield, Chemical Potentials in Curved Space, Nucl. Phys. 327 (1989) 267.

17. S.W. Hawking, In: General Relativity: An Einstein Centenary Survey, (eds. S.W. Hawking and W. Israel), Cambridge Univ.Press, Cambridge, 1979.

18. V.P. Frolov and I.D. Novikov, Black Hole Physics: Basic Concepts and New Developments, Kluwer Academic, Dordrecht, 1998.

19. J.M. Bardeen, B. Carter, and S.W. Hawking, The Four Laws of Black Hole Mechanics , Commun. Math. Phys. 31 (1973) 161.

20. C.W. Misner, K.S. Thome, and J.A. Wheeler, Gravitation, San Francisco: Freeman, 1973.

21. J.D. Bekenstein, Black Holes and the Second Law , Nuov. Cim. Lett. 4 (1972) 737.

22. J.D. Bekenstein, Black Holes and Entropy , Phys. Rev. D7 (1973) 2333.

23. J.D. Bekenstein, Generalized Second Law of Thermodynamics in Black Hole Physics , Phys. Rev. D9 (1974) 3292.

24. S.W. Hawking, Particle Creation by Black Holes , Comm. Math. Phys. 43 (1975) 199.

25. N. Arkani-Hamed, S. Dimopoulos, and G. Dvali, The Hierarchy Problem and New Dimensions ata Millimeter, Phys. Lett. B429 (1998) 263.

26. L. Randall, R. Sundrum, An Alternative to Compactification, Phys. Rev. Lett. 83 (1999) 4690.

27. S. Giddings and S. Thomas, High Energy Colliders as Black Hole Factories: The End of Short Distance Physics, Phys. Rev. D65 (2002) 056010.

28. L. Anchordoqui, T. Paul, S. Reucroft, J. Swain, Ultrahigh Energy Cosmic Rays: The State of the Art before the Auger Observatory, hep-th/0206072.

29. A. Strominger and C. Vafa, Microscopic Origin of the Вekenstein-Hawking Entropy, Phys. Lett. B379 (1996) 99.

30. C.V. Johnson, R.R. Khuri, and R.C. Myers, Entropy of 4-D Extremal Black Holes, Phys. Lett. 378 (1996) 78.

31. J.M. Maldacena and A. Strominger, Statistical Entropy of Four-Dimensional Extremal Black Holes , Phys. Rev. Lett. 77 (1996) 428.

32. C.G. Callan and J.M. Maldacena, D-Brane Approach to Black Hole Quantum Mechanics , Nucl. Phys. B472 (1996) 591.

33. G.T. Horowitz and A. Strominger, Counting States of Near Extremal Black Holes , Phys. Rev. Lett. 77 (1996) 2368.

34. A.W. Peet, The Bekenstein Formula and String Theory (N-Brane Theory), Class. Quamtum Grav. 15 (1998) 3291.

35. J.R. David, G. Mandal, and S.R. Wadia, Microscopic Formulation of Black Holes in String Theory, preprint hep-th/0203048.

36. A. Ashtekar, J. Baez, A. Corichi, K. Krasnov, Quantum Geometry and Black Hole Entropy, Phys. Rev. Lett. 80 (1998) 904.

37. S. Carlip, Entropy From Conformal Field Theory at Killing Horizons , Class. Quantum Grav. 16 (1999) 3327.

38. S. Solodukhin, Conformal Description of Horizon's States, Phys. Lett. B454 (1999) 213.

39. A. Strominger, Black Hole Entropy from Near Horizon Microstates, J. High Energy Phys. 02 (1998) 009.

40. A.D. Sakharov, Vacuum Quantum Fluctuations in Curved Space and the Theory of Gravitation , Sov. Phys. Doklady 12 (1968) 1040.

41. A.D. Sakharov, Spectral Density of Eigenvalues of the Wave Equation and the Vacuum Polarization, Theor. Math. Phys. 23 (1976) 435.

42. M.B. Green, J.H. Schwarz, E. Witten, Superstring Theory, Cambridge University Press 1987.

43. W.H. Zurek and K.S. Thome, Statistical Mechanical Origin of the Entropy of a Rotating, Charged Black Hole , Phys. Rev. Lett. 54 (1985) 2171.

44. G.'t Hooft, On the Quantum Structure of a Black Hole, Nucl. Phys. B256 (1985) 727.

45. K.S. Thome, R.H. Price, and D.A. Macdonald, Black Holes: The Membrane Paradigm, Yale University Press 1986, New Haven and London.

46. T. Jacobson, Black Hole Entropy in Induced Gravity, gr-qc/9404039.

47. S.W. Hawking, J. Maldacena and A. Strominger, DeSitter Entropy, Quantum Entanglement and AdS/CFT, JHEP 0105 (2001) 001.

48. W. Israel, Thermo Field Dynamics of Black Holes , Phys. Lett. 57A (1976) 107.

49. J.J. Bisognano and E.H. Wichmann, On the Duality Condition for Quantum Fields, J. Math. Phys. 17 (1976) 303.

50. W.G. Unruh and N. Weiss, Acceleration Radiation in Interacting Field Theories , Phys. Rev. D29 (1984) 1656.

51. S. Takagi, Vacuum Noise and Stress Induced by Uniform Accelerator: Hawking-Unruh Effect in Rindler Manifold of Arbitrary Dimensions, Progress of Theoretical Physics Supplement 88 (1986).

52. B.S. Kay and R.M. Wald, Theorems on the Uniqueness and Thermal Properties of Stationary, Nonsingular, Quasifree States on Space-Times with a Bifurcate Killing Horizon , Phys. Rep. 207(2) (1991) 49.

53. R. Laflamme, Geometry and Thermofields, Nucl. Phys. B324 (1989) 233.

54. L. Bombelli, R.K. Koul, J. Lee, and R.Sorkin, A Quantum Source of Entropy for Black Holes , Phys. Rev. D34 (1986) 373.

55. M. Srednicki, Entropy and Area, Phys. Rev. Lett. 71 (1993) 666.

56. F. Larsen and F. Wilczek, Geometric Entropy, Wave Functionals, and Ferrni-ons, Ann. Phys. 243 (1995) 280.

57. E. Benedict and S.-Y. Pi, Entanglement Entropy of Nontrivial States , Ann. Phys. 245 (1996) 209.

58. J.D. Bekenstein, Do We Understand Black Hole Entropy?, 7th Marcel Grossman Meeting on General Relativity (1994) p. 39, gr-qc/9409015.

59. D. Kabat and M.J. Strassler, A Comment on Entropy And Area, Phys. Lett. B329 (1994) 46.

60. C. Callan and F. Wilczek, On Geometric Entropy, Phys. Lett B333 (1994) 55.

61. T. Jacobson, A Note on Hartle-Hawking Vacua, Phys. Rev. D50 (1994) 6031.

62. V. Frolov and I. Novikov, Dynamical Origin of the Entropy of a Black Hole, Phys. Rev. D48 (1993) 4545.

63. A.O. Barvinsky, V.P. Frolov, and A.I. Zelnikov, Wave Function of a Black Hole and the Dynamical Origin of Entropy, Phys. Rev. D51 (1995) 1741.

64. V.P. Frolov, Why the Entropy of a Black Hole is A/4, Phys. Rev. Lett. 74 (1995) 3319.

65. L. Susskind and J. Uglum, Black Hole Entropy In Canonical Quantum Gravity And Superstring Theory, Phys. Rev. D50 (1994) 2700.

66. D.V. Fursaev, Kaluza-Klein Method in Theory of Rotating Quantum Fields, Nucl. Phys. B596 (2001) 365-386.

67. D.V. Fursaev, Spectral Asymptotics of Eigen-value Problems with Non-linear Dependence on the Spectral Parameter, Class. Quantum Grav. 19 (2002) 36353652.

68. D.V. Fursaev, Statistical Mechanics, Gravity and Euclidean Theory, Nucl. Phys. В (Proc. Suppl.) 104 (2002) 33-62.

69. D. Fursaev and A. Zelnikov, Thermodynamics, Euclidean Gravity and Kaluza-Klein Reduction, Class. Quantum Grav. 18 (2001) 3825-3842.

70. D.V. Fursaev and S.N. Solodukhin, Description of the Riemannian Geometry in the Presence of Conical Defects, Phys. Rev. D52 (1995) pp. 2133-2144.

71. V.P. Frolov, D.V. Fursaev, and D.N. Page, Thorny Spheres and Black Holes with Strings, Phys. Rev. D65 (2002) 104029.

72. V. Frolov and D. Fursaev, Black Holes with Polyhedral Multistring Configurations, Class. Quantum Grav. 18 (2001) 1535-1542.

73. D.V. Fursaev, Spectral Geometry and One Loop Divergences on Manifolds with Conical Singularities, Phys. Lett. B334 (1994) 53-60.

74. D. Fursaev, Euclidean and Canonical Formulations of Statistical Mechanics in the Presence of Killing Horizons, Nucl. Phys. B524 (1998) 447-468.

75. L. De Nardo, D.V. Fursaev and G. Miele, Heat Kernel Coefficients and Spectra of the Vector Laplacians on Spherical Domains with Conical Singularities, Class. Quantum Grav. 14 (1997) 1059 -1078.

76. D.V. Fursaev and G. Miele, Cones, Spins and Heat Kernels, Nucl. Phys.B844 (1997) 697-723.

77. V.P. Frolov and D.V. Fursaev, Mining Energy from a Black Hole by Strings, Phys. Rev. D63 (2001) 124010.

78. D.V. Fursaev and S.N. Solodukhin, On One-Loop Renormalization of Black-Hole Entropy, Phys. Lett. B365 (1996) 51-60.

79. V. Frolov and D. Fursaev, Thermal Fields, Entropy and Black Holes, Class. Quantum Grav. 15 (1998) 2041-2074.

80. V. Frolov and D. Fursaev, Statistical Mechanics on Axially Symmetric Space-Times with the Killing Horizon and Entropy of Rotating Black Holes in Induced Gravity, Phys. Rev. D61 (2000) 024007.

81. D.V. Fursaev, Black Hole Thermodynamics and Renormalization, Mod. Phys. Lett. A10 (1995) 649-656.

82. D.V. Fursaev, Temperature and Entropy of a Quantum Black Hole and Con-formal Anomaly, Phys. Rev. D51 (1995) R5352-R5355.

83. V.P. Frolov, D.V. Fursaev and A.I. Zelnikov, Statistical Origin of Black Hole Entropy in Induced Gravity, Nucl. Phys. B486 (1997) 339-352.

84. V. Frolov and D. Fursaev, Mechanism of Generation of Black Hole Entropy in Sakharov's Induced Gravity, Phys. Rev. D56 (1997) 2212-2225.

85. V. Frolov and D. Fursaev, Plenty of Nothing: Black Hole Entropy in Induced Gravity, J. Astrophys. Astr. 20 (1999) 121-129.

86. V. Frolov and D. Fursaev, Black Hole Entropy in Induced Gravity: Reduction to 2D Quantum Field Theory on the Horizon, Phys. Rev. D58 (1998) 124009.

87. V. Frolov and D. Fursaev, Statistical Mechanics of Charged Black Holes in Induced Einstein-Maxwell Gravity, Phys. Rev. D61 (2000) 064010.

88. V. Frolov, D. Fursaev, J. Gegenberg, G. Kustatter, Thermodynamics and Statistical Mechanics of Induced Liouville Gravity, Phys. Rev. D60 (1999) 024016.

89. V.P. Frolov, D.V. Fursaev and A.I. Zelnikov, Black Hole Entropy: Statistical Mechanics, Thermodynamics and Subtraction Procedure, Phys. Lett. B382 (1996) 220-226.

90. V.P. Frolov, D.V. Fursaev and A.I. Zelnikov, Black Hole Entropy: Off Shell versus On Shell, Phys. Rev. D54 (1996) 2711-2731.

91. D.V. Fursaev, Energy, Hamiltonian, Noether Charge and Black Holes, Phys. Rev. D59 (1999) 064020.

92. D.V. Fursaev, Black Hole Entropy in Induced Gravity and Information Loss, Nucl. Phys. (Proc. Suppl.) 88 (2000) 277-280.

93. A.C. Маркус, Введение в спектральную теорию полиномиальных операторных пучков, "Штиинца", Кишинев, 1986.

94. М.В. Келдыш, О собственных значениях и собственных функциях некоторых классов несамосопряженных операторов, ДАН СССР 77 (1951) 11.

95. S.W Hawking and G.F.R. Ellis, The Large Scale Structure of Space-Time, Cambridge University Press, 1973.

96. B.F. Schutz, Geometrical Methods of Mathematical Physics, Cambridge University Press, 1982.

97. Т.Я. Азизов и И.С. Иохвидов, Основы теории линейных операторов в пространствах с индефинотной метрикой, Наука 1982.

98. К. Надь, Пространства состояний с индефинитной метрикой в квантовой теории поля, Мир, 1969.

99. Р.В. Gilkey, Invariance Theory, the Heat Equation, and the Atiyah-Singer Index Theorem, CRC Press, Boca Raton, 1995.

100. E.C. Titchmarsh, Eigenfunction Expansions Associated with Second-order Differential Equations, Oxford at the Clarendon Press, 1958.

101. R. Balian and C. Bloch, Distribution of Eigenfrequences for the Wave Equation in a Finite Domain, Annals of Phys. 60 (1970) 401.

102. S.A. Fulling, The Local Geometric Asymptotics of Continuum Eigenfunction Expansions I. Overview, Siam. J. Math. Anal. 13 (1982) 891.

103. S.A. Fulling, Some Propertise of Riesz Means and Spectral Expansions, Electronic J. Diff. Eqs. 1999, N6 (1999) 1-39; physics/9710006.

104. K.B. Oldham and J. Spanier, The Fractional Calculus, Academic Press, New York, 1974.

105. J.S. Dowker, 1. The Counting Function. 2. Hybrid Boundary Conditions Nucl. Phys. (Proc. Suppl.) 104 (2002) 153, hep-th/0107171.

106. I.M. Gel'fand and G.E. Shilov, Generalized functions, v.l, Academic Press, New York and London, 1964.

107. Л.Д. Ландау и E.M. Лифшиц, Статистическая физика. Часть 1., Москва, Физматлит, 2001.

108. J. Zinn-Justin, Quantum Field Theory and Critical Phenomena, Clarendon Press, Oxford, 1989.1.l. Т. Matsubara, A New Approach To Quantum, Statistical Mechanics, Prog. Theor. Phys. 14 (1955) 351.

109. E.C. Фрадкин, Квантовая теория поля и гидродинамика, Труды ФИ АН 29 (1965) 7.

110. Р.С. Martin and J. Schwinger, Theory of Many Particle Systems, Phys. Rev. 115 (1959) 1342.

111. N.P. Landsman and Ch.G. van Weert, Real and Imaginary Time Field Theory at Finite Temperature and Density, Phys. Rep. 145 (1987) 141.

112. S.A. Fulling and S.N.M. Ruijsenaars, Temperature, Periodicity and Horizons, Phys. Rep. 152 (1987) 135.

113. G.W. Gibbons and S.W. Hawking, Action Integrals and Partition Functions in Quantum Gravity , Phys. Rev. D15 (1977) 2752.

114. J.B. Hartle and S.W. Hawking, Path Integral Derivation of Black Hole Radiance , Phys. Rev. D13 (1976) 2188.

115. G.W. Gibbons and S.W. Hawking, Cosmological Event Horizons, Thermodynamics, and Particle Creation , Phys. Rev. D15 (1977) 2738

116. G.W. Gibbons, in General Relativity: an Einstein Centenary Survey, Cambridge University Press 1979, p. 639.

117. R.P. Feynman and A.R. Hibbs Quantum Mechanics and Path Integrals, McGraw-Hill, New York, 1965.

118. N. Nakazawa and T. Fukuyama, On the Energy Momentum Tensor at Finite Temperature in Curved Space-Time, Nucl. Phys. B252 (1985) 621.

119. S.W. Hawking, C.J. Hunter and M.M. Taylor-Robinson, Rotation and the AdS / CFT Correspondence , Phys. Rev. D59, 064005 (1999), hep-th/9811056.

120. D.S. Berman and M.K. Parikh, Holography and Rotating AdS Black Holes, Phys. Lett. B463 (1999) 168. hep-th/9907003.

121. S.W. Hawking and H.S. Reall, Charged and Rotating AdS Black Holes and Their CFT Duals, Phys. Rev. D61 (2000) 024014. hep-th/9908109.

122. К. Landsteiner and E. Lopez, The Thermodynamic Potentials of Kerr AdS Black Holes and their CFT Duals, JHEP 9912:020 (1999), hep-th/9911124.

123. E. Shuryak, Theory of Hadron Plasma, ZhETPh, 74 (1978) 408.

124. J.S. Dowker and R. Critchley, Effective Lagrangian and Energy Momentum Tensor in De Sitter Space, Phys. Rev. D13 (1976) 3224.

125. S.W. Hawking, Zeta Function Regularization of Path Integrals in Curved Space-Time, Commun. Math. Phys. 55 (1977) 133.

126. K. Fujikawa, Path Integral Measure for Gauge Invariant Fermion Theories, Phys. Rev. Lett 42 (1979) 1195.

127. A.A. Bytsenko, G. Cognola, L. Vanzo, and S. Zerbini, Quantum Fields and Extended Objects in Space-Times with Constant Curvature Spatial Section, Phys. Rep. 266 (1996) 1-126.

128. I.G. Avramidi, Covariant Algebraic Method for Calculation of The Low-Energy Heat Kernel, J. Math. Phys. 36 (1995) 5055.

129. T.P. Branson, P.B. Gilkey, and D.V. Vassilevich, Vacuum Expectation Value Asymptotics for Second Order Differential Operators On Manifolds with Boundary, J. Math. Phys. 39 (1998) 1040; Erratum-ibid. 41 (2000) 3301, hep-th/9702178.

130. K. Schleich and D.M. Witt, Generalized Sums over Histories for Quantum Gravity. 1. Smooth Conifolds, Nucl. Phys. B402, (1993) 411, ibid 469.

131. A.A. Vilenkin, Cosmic Strings and Domain Walls, Phys. Rep. 121 N5 (1985) 263.

132. D.D. Sokolov and A.A. Starobinsky, DAN SSSR 22 (1977) 312.

133. S. Kobayashi and K. Nomizu, Foundations of Differential Geometry, (New York, 1969).

134. D. Lovelock, The Einstein Tensor and its Generalizations, J. Math. Phys. 12, 498 (1971).

135. B. Zwiebach, Curvature Squared Terms and String Theories, Phys. Lett. B156 (1985) 315.

136. В. Zumino, Gravity Theories in More than Four-Dimensions, Phys. Rep. 137 (1986) 137.

137. R.M. Wald, Black Hole Entropy is Noether Charge, Phys. Rev. D48 (1993) R3427.

138. V. Iyer and R.M. Wald, Some Properties of Noether Charge and a Proposal for Dynamical Black Hole Entropy, Phys. Rev. D50 (1994) 846.

139. T. Jacobson and R.C. Myers, Black Hole Entropy and Higher Curvature Interactions , Phys. Rev. Lett. 70 (1993) 3684.

140. A.T. Filippov, Integrable 1+1 Dimensional Gravity Models, Int. Journal of Mod. Phys. A12 (1997) 13-22.

141. A.T. Filippov, Exact Solutions of (1+1) Dimensional Dilaton Gravity Coupled to Matter, Mod. Phys. Lett. All (1996) 1691-1704.

142. A. Sommerfeld, Proc. Lond. Math. Soc. 28 (1897) 417.

143. J. Cheeger, Spectral Geometry of Singular Riemannian Spaces, J. Differential Geometry, 18 (1983) 575.

144. H. Donnelly, Math. Ann. 224 (1976) 161.

145. B.S. Kay and U.M. Studer, Boundary Conditions for Quantum Mechanics on Cones and Fields Around Cosmic Strings, Commun. Math. Phys. 139 (1991) 103.

146. J.S. Dowker, Quantum Field Theory on a Cone, J. Phys. A: Math. Gen. 10 (1977) 115.

147. J.S. Dowker, Vacuum Averages for Arbitrary Spin around a Cosmic String, Phys. Rev. D15 (1987) 3742.

148. S. Deser and R. Jackiw, Classical and Quantum Scattering on a Cone, Comm. Math. Phys 118 (1988) 495.

149. J.S. Dowker, Heat Kernels on Curved Cones, Class. Quantum Grav. 11 (1994) L137.

150. J.S. Dowker, Effective Actions with Fixed Points, Phys. Rev. D50 (1994) 6369.

151. G. Cognola, К. Kirsten and L. Vanzo, Free and Selfinteracting Scalar Fields in The Presence of Conical Singularities, Phys. Rev. D49 (1994) 1029.

152. D.V. Fursaev, The Heat Kernel Expansion on a Cone and Quantum Fields Near Cosmic Strings, Class. Quantum Grav. 11 (1994) 1431.

153. D. Kabat, Black Hole Entropy and Entropy of Entanglement, Nucl. Phys. B453 (1995) 281.

154. W. Rarita and J. Schwinger, On a Theory of Particles With Half Integral Spin, Phys. Rev. 60 (1941) 61.

155. A. Das and D.Z. Fteedman, Gauge Quantization for Spin 3/2 Fields, Nucl. Phys. B114 (1976) 271.

156. G.W. Gibbons and M.J. Perry, Quantizing Gravitational Instantons, Nucl. Phys. 146 (1978) 90.

157. S. Carlip and C. Teitelboim, The Off-Shell Black Hole , Class. Quantum. Grav. 12 (1995) 1699.

158. C. Teitelboim, Statistical Thermodynamics of A Black Hole in Terms of Surface Fields , Phys. Rev. D53 (1996) 2870.

159. W.G. Unruh, R.M. Wald, Acceleration Radiation And Generalized Second Law of Thermodynamics, Phys. Rev. D25 (1982) 942.

160. W.G. Unruh, R.M. Wald, Entropy Bounds, Acceleration Radiation, and the Generalized Second Law, Phys. Rev. D27 (1983) 2271.

161. W.G. Unruh, R.M. Wald, Gen. Relativ. Grav. 15 (1983) 195.

162. V. Frolov, S. Hendy and A.L. Larsen, How to Create a 2-D Black Hole, Phys. Rev. D54 (1996) 5093.

163. M. Christensen, V.P. Frolov, A.L. Larsen, Soap Bubbles in Outer Space: Interaction of a Domain Wall with a Black Hole, Phys. Rev. D58, 085008 (1998).

164. V.P. Frolov, A.L. Larsen, and M. Christensen, Domain Wall Interacting with a Black Hole: a New Example of Critical Phenomena, Phys. Rev. D59 125008 (1999).

165. A. Lawrence and E. Martinec, Black Hole Evaporation along Macroscopic

166. Strings, Phys. Rev. D50 (1994) 2680.

167. R. Emparan, G. Horowitz, and R.C. Myers, Black Holes Radiate Mainly on the Brane , Phys. Rev. Lett. 85 (2000) 499.

168. R. Myers and M. Perry, Black Holes in Higher Dimensional Space-Times , Ann. Phys. 172 (1986) 304.

169. A.A. Starobinsky, JETPh 37 (1973) 28.

170. D. N. Page, Particle Emission Rates from a Black Hole: Massless Particles from an Uncharged, Nonrotating Hole, Phys. Rev. D13, 198 (1976).k) 173. B.S. DeWitt, Quantum Field Theory in Curved Space-Time, Physics Rept,1. C19, 297 (1975).

171. T. Elster, Vacuum Polarization Near a Black Hole Creating Particles, Phys. Lett. A94, 205 (1983).

172. R.D. Simkins, Massive Scalar Particles Emission from Schwarzschild Black Holes, PhD thesis, (1986), (unpublished).

173. D.N. Page, Particle Emission Rates from a Black Hole. Massless Particles from A Rotating Hole, Phys. Rev. D14, 3260 (1976).

174. F. Dowker, R. Gregory, J. Traschen, Euclidean Black Hole Vortices, Phys.1. Rev. D45 (1992) 2762.

175. A.L. Larsen and V.P. Frolov, Propagation of Perturbations Along Strings, Nucl. Phys. B414 (1994) 129.

176. J.-G. Demers, R. Lafrance, and R.C. Myers, Black Hole Entropy Without Brick Walls, Phys. Rev. D52 (1995) 2245.

177. G. Cognola, L. Vanzo and S. Zerbini, One Loop Quantum Corrections to the Entropy for a Four-Dimensional Eternal Black Hole, Class. Quantum Grav. 12 (1995) 1927.

178. A.A. Bytsenko, G. Cognola, and S. Zerbini, Finite Temperature Effects for Massive Fields in D-Dimensional Rindler Like Spaces, Nucl. Phys. B4581996) 267.

179. R. Camporesi, Harmonic Analysis and Propagators on Homogeneous Spaces, Phys. Rep. 196 (1990) 1.

180. R.B. Mann and S.N. Solodukhin, Conical Geometry and Quantum Entropy of a Charged Kerr Black Hole, Phys. Rev. D54 (1996) 3932.

181. S.N. Solodukhin, Black Hole Entropy: Statistical Mechanics Agrees Thermodynamics, Phys. Rev. D54 (1996) 3900.

182. P.R. Anderson, W.A. Hiscock, and D.J. Loranz, Semiclassical Stability of the Extreme Reissner-Nordstrom Black Hole, Phys. Rev. Lett. 74 (1995) 4365.

183. L. Vanzo, Radiation From the Extreme Black Holes, Phys. Rev. D55 (1997) 2192.

184. S.W. Hawking, G. Horowitz, and S. Ross, Entropy, Area, and Black Hole Pairs, Phys. Rev. D51 (1995) 4302.

185. C. Teitelboim, Action and Entropy of Extreme and Nonextreme Black Holes, Phys. Rev. (1995) D51 4315.

186. J.W. York, Black Hole Thermodynamics and the Euclidean Einstein Action, Phys. Rev. D33 (1986) 2092.

187. T.A. Jacobson, G. Kang, and R.C. Myers, On Black Hole Entropy , Phys. Rev. D49 (1994) 6587.

188. F. Larsen and F. Wilczek, Renormalization of Black Hole Entropy and of the Gravitational Coupling Constant, Nucl. Phys. B458 (1996) 249.

189. S.N. Solodukhin, The Conical Singularity and Quantum Corrections to Entropy of Black Hole, Phys. Rev. D51 (1995) 609.

190. S.N. Solodukhin, One Loop Renormalization Of Black Hole Entropy Due To Nonminimally Coupled Matter, Phys. Rev. D52 (1995) 7046.

191. Л.Д. Ландау и E.M. Лифшиц, Механика сплошных сред, Москва, 1954.

192. С. Вейнберг, Ультрафиолетовые расходимости в квантовых теориях гравитации в книге Общая теория относительности, ред. С. Хокинг и В. Израэль, Москва "Мир", 1983.

193. S.L. Adler, Einstein Gravity as a Symmetry Breaking Effect in Quantum Field Theory, Rev. Modern Phys. 54 (1982) 729.

194. Yu.V. Novozhilov and D.V. Vassilevich, Induced Classical Gravity, Lett. Math. Phys. 21 (1991) 253.

195. M. Visser, Sakharov's Induced Gravity: a Modern Perspective, gr-qc/0204062.

196. K.S. Stelle, Classical Gravity with Higher Derivatives, Gen. Rel. Grav. 9 (1978) 353.

197. J.T. Lopuszanski and M. Wolf, Central Charges in the Massive Supersymmet-ric Quantum Theory of Scalar Spinor and Scalar Spinor - Vector Fields, Nucl. Phys. B184 (1981) 133.

198. M. Baiiados, C. Teitelboim and J. Zanelli, The Black Hole in Three-Dimensional Space-Time, Phys. Rev. Lett. 69 (1992) 1849.

199. G. Clement, Spinning Charged BTZ Black Holes and Self dual Particle Like Solutions, Phys. Lett. B367 (1996) 70.

200. L. Abbott and S. Deser, Stability of Gravity with a Cosmological Constant, Nucl. Phys. B195 (1982) 76.

201. S.W. Hawking and G.T. Horowitz, The Gravitational Hamiltonian, Action, Entropy And Surface Terms , Class. Quantum Grav. 13 (1996) 1487.

202. J.D. Brown, J. Creighton and R.B. Mann, Temperature, Energy and heat Capacity of Asymptotically Anti-De Sitter Black Holes, Phys. Rev. D50 (1994) 6394.

203. G. Veneziano, Large-N bounds on, and compositeness limit of gauge and gravitational interactions, hep-th/0110129.

204. J. Maldacena, The Large N Limit of Superconformal Field Theories and Su-pergravity, Adv. Theor. Math. Phys. 2 (1998) 231.

205. S.S. Gubser, AdS/CFT and Gravity, hep-th/9912001.

206. A.M. Polyakov, Quantum Geometry of Bosonic Strings, Phys. Lett. 103B, 207 (1981).

207. N. Seiberg, Notes On Quantum Liouville Theory and Quantum Gravity, Progress of Theoretical Physics Suppl. 102, 319 (1990).

208. E. D'Hoker and R. Jackiw, Liouville Field Theory, Phys. Rev. D26, 3517 (1982).

209. J. Gegenberg, G. Kunstatter, and D. Louis-Martinez, Observables for Two-Dimensional Black Holes, Phys. Rev. D51 (1995) 1781. '

210. J. Gegenberg, G. Kunstatter, and D. Louis-Martinez, Exact Dirac Quantization of All 2-D Dilaton Gravity Theories, Phys. Lett. B321 (1994) 193.

211. H. Bateman and A. Erdelyi, Tables of Integral Transformations, v.l, New York, McGraw-Hill Book Company, Inc., 1954.

212. S.W.Hawking, Black Holes and Thermodynamics , Phys. Rev. D13 (1976) 191.

213. R.D. Sorkin, Statistical Mechanics of Black Hole Thermodynamics, gr-qc/9705006.

214. T. Jacobson, On the Nature of Black Hole Entropy, gr-qc/9908031.