Квантование сферически-симметричной гравитации: Модели квантовых черных дыр тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат физико-математических наук Неронов, Андрей Юрьевич

• Неронов, Андрей Юрьевич
• кандидат физико-математических наук
• 1998

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Неронов, Андрей Юрьевич

Оглавление

Введение

1 Гамильтонова формулировка гравитации

1.1 Сферически-симметричное пространство-время

1.1.1 Пространство-время Шварцшильда

1.2 Гамильтонов формализм для сферически -симметричной гравитации

1.2.1 - Действие в гамильтоновой форме

1.2.2 Поведение на бесконечности и поверхностные члены

1.2.3 Преобразование Кухаржа, полная интегрируемость теории

2 Теория тонких оболочек

2.1 Общий формализм

2.1.1 Сферически-симметричные оболочки

2.2 Черные дыры и кротовые норы

2.3 Гамильтонов формализм для сферически -симметричной

оболочки

2.3.1 Каноническое преобразование, доказывающее интегрируемость теории

3 Квантовая черная дыра

3.1 Квантовая механика самогравитирующей тонкой оболочки

3.1.1 Квантованное сферически-симметричной гравитационное поле в вакууме

3.1.2 Квантовая механика на оболочке

3.2 Спектр масс больших черных дыр

3.2.1 Метод вычисления спектра масс по асимптотикам

решений уранения

3.3 Квазиклассический спектр масс

3.3.1 Квазиклассические решения уравнения Шредингера

в комплексной плоскости

3.3.2 Квазиклассическая волновая функция в случае черной дыры

4 Спектр излучения Хокинга

4.1 Квантовое число для инфинитного движения

4.2 Спектр излучения и спектр масс черной дыры

Заключение

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Квантование сферически-симметричной гравитации: Модели квантовых черных дыр»

Введение.

Черные дыры являются одним из наиболее интересных объектов современной теоретической физики. Фактически, невидимые гравитирующие объекты (объекты, из которых свет не может уходить на бесконечность), были известны еще Лапласу триста лет назад. Рассмотрим сферически-симметричное гравитирующее тело массы М и радиуса Л0- Скорость, при которой тело может уйти на бесконечность, ье) можно найти из бал-ланса потенциальной и кинетической энергии частицы, которая начинает двигаться от гравитирующего тела. Используя нерелятивистскую механику и ньютоновскую теорию тяготения, получим, следуя Лапласу (С -гравитационная постоянная, а то - масса частицы),

то\ _ втМ

(0.1)

2 _ 2вМ е Яо

Приравнивая скорость частицы скорости света с, получим максимальный радиус невидимого тела

2СМ , х

Яо = — (0.2)

что в точности совпадает, как ни удивительно, с гравитационным радиусом тела в общей теории относительности.

В рамках общей теории относительности черные дыры приобрели фундаментальное значение [1] и в последнее время получили экспериментальное подтверждение [3].

Теоремы о сингулярностях Р.Пенроуза [2] позволяют заключить, что образование сингулярностей и горизонтов событий являются ситуацией

общего положения в явлении гравитационного коллапса массивных тел, процесс коллапса неизбежно оканчивается образованием черной дыры.

Будучи последней стадией процесса гравитационног коллапса, черная дыра обладает рядом интересных свойств.

Оказывается, после завершения процесса коллапса вся информация о деталях этого процесса теряется. Для стационарных макроскопических черных дыр в рамках общей теории относительности Дж.Уиллер [74] предположил справедливость ставшей широко известной гипотезы об "отсутствии волос": черная дыра описывается всего лишь несколькими параметрами, такими, как масса, угловой момент и заряды, подчиняющиеся законам типа гауссова (как электромагнитное поле). Таким образом, черная дыра напоминает тело в термодинамическом равновесии. В 1972 году Я.Бекенштейн [4] предположил, что это не просто совпадение, и черная дыра действительно обладает некоторым количеством энтропии и имеет определенную температуру. Эта точка зрения основывалась на неравенстве, уже известном в то время, а именно, что площадь горизонта классической черной дыры не может убывать.

> 0 (0.3)

Это уравнение напоминает второй закон термодинамики. Поэтому Я. Бе-кенштейн предположил, что энторпия черной дыры пропорциональна ее площади $ (или является монотонно возрастающей функцией площади). Более того, оказалось, что можно записать аналог первого закона термодинамики, который совпадает с формулой для приращения массы черной дыры.

6т = £-6$ + ШЛ-Фй<Э (0.4)

07Г

Здесь 8т - разница масс двух стационарных черных дыр с мало различающимися площадями 5Б, угловыми моментами ЬЗ и электрическими зарядами ¿<3, а О, - угловой момент черной дыры, Ф - значение куло-новского потенциала на ее поверхности. Множитель к перед <55 - это так называемая поверхностная гравитация на горизонте черной дыры, он равен

к = /м2 - д2/с - Р/МЮ (0.5)

о

Я.Бекейнштейн предположил, что он пропорционален температуре черной дыры Твн.

Это предположение было подтверждено открытием С.Хокингом явления испарения черных дыр [5, 6]. С.Хокинг рассматривал квантовые флуктуации полей материи на фоне щварцшильдовских черных дыр и показал, что само существование горизонта событий приводит к потоку излучения, исходящему из черной дыры (нарушающему классическую теорему йБ > 0). Неожиданным явилось то, что это излучение, оказалось, обладает тепловым спектром, причем с температурой

Твн = ^ (0.6)

87ТТЛ

где тР1 - масса Планка. Таким образом, энтропия черной дыры оказыа-ется в равной одной четверти обезразмеренной площади горизонта

= -А - (0-7)

что находится в полном соответствии с предположением Бекенштейна (мы используем единицы измерения, в которых постоянная Планка К, скорость света с и постоянная Больцмана к положены равными единице; тогда планковская длина равняется 1р1 = ^JhG/c3 = С1//2 ~ 10_33ст,

планковская масса шр; =

у/Пс/в = е-1'2 ~ ю-V)-Интересно заметить, что теплоемкость черной дыры Шварцшильда отрицательна. Действительно, имеем по определению

яс

С = Твн---- = -8тгОт2 < 0 (0.8)

дТвн

Это означает, что если за счет флуктуации масса черной дыры уменьшается и тепловое равновесие нарушается, то температура черной дыры растет (0.6) и поток энергии от черной дыры увеличивается, что приводит к еще большему уменьшению массы. За счет термодинамической нестабильности черная дыра должна испаряться до самого конца, если только формулы для температуры и энтропии остаются справедливыми вплоть до малых (т ~ тр{) масс черных дыр.

В этом случае мы сталкиваемся с проблемой, известной как проблема "потери информации" при испарении черной дыры. Она состоит в том, что вещество, падающее в черную дыру имеет, вообще говоря, вполне определенные характеристики (оно может, например, нести различные

заряды - содержать "информацию"). В то же время тепловое излучение Хокинга не корреллировано с поглощенным веществом. В таком случае, если черная дыра полностью испаряется, не оставляя после себя даже остатка малой массы, то вся информация о веществе, поглощенном черной дырой исчезает. Это значит, что квантовая теория, при учете гравитационных эффектов, становится существенно неунитарной теорией.

Однако, черные дыры малой массы являются объектами, которые должны описываться с помощью квантовой теории гравитации. В этом режиме, конечно же, гравитационное поле уже не может быть рассмотрено как фоновое для распространяющихся в нем материальных полей, и необходимо учитывать обратную реакцию излучения на гравитационное поле. В этом случае вычисления, проведенные С.Хокингом, не работают. В таком случае возникает естественный вопрос - как модифицируются полуклассические вычисления С.Хокинга в рамках квантовой гравитации?

Существуют различные подходы к проблеме квантования гравитации. Наиболее развитым из них является теория струн [7]. Вера в то, что теория струн является правильной теорией, описывающей гравитацию в квантовом режиме, основана на том, что она, с одной стороны, свободна от расходимостей, а с другой стороны, среди струнных возбуждений присутствует безмассовая мода спина два. Такая мода с необходимостью взаимодействует с тензором энергии-импульса остальных полей и в первом приближении дает уравнения общей теории относительности в классическом пределе. В рамках теории струн были получены результаты, касающиеся статистического происхождения энтропии черных дыр для заряженных экстремальных [8] и близких к экстремальным черных дыр [9]. Основные трудности теории струн состоят в отсутствии самосогласованной теории вне рамок теории возмущений [10], отутствии формулировки, не зависящей от фоновой метрики [11], а также отсутствие прямых предсказаний (кроме наличия общей теории относительности в классическом пределе, что является лишь требованием приемлемости для любой теории, претендующей на роль квантовой теории гравитации), каких-либо (в идеале - проверяемых) следствий теории [12].

Другой подход, называемый "петлевой квантовой гравитацией" [13], основан на формулировке общей теории относительности в переменных А.Аштекара [14] и на выборе голономий связности Аштекара в качестве наблюдаемых теории. Трудности петлевой квантовой гравитации, так

же, как и теории струн, состоят в отсутствии полной согласованной теории, а также в отсутствии определенных физических предсказаний. В петлевой квантовой гравитации, кроме того, неясен низкоэнергетический предел теории [12].

Существуют также подход к квантовой гравитации, основанный на триангуляции пространственно-временного многообразия - исчисление Редже [15]. Подход, основанный на анализе евклидова функционального интеграла для гравитационного поля [16] получил широкое применение в квантовой космологии [17].

Никакой из известных на сегодняшний день подходов не дает согласованной теории и не предсказывает физических явлений, которые нужно ожидать в задачах, где важны квантовые флуктуации метрики пространства-времени. Для того, чтобы понять, какого рода эффекты следует ожидать, или каковы могут быть проявления квантовой гравитации в экспериментально доступной области, необходимо обратиться к анализу физических моделей, которые, с одной стороны, достаточно просты, чтобы можно было справиться с математическими трудностями - квантования гравитации, а с другой стороны, соответствуют какой -либо конкретной физической ситуации.

Модели такого типа можно получать в рамках канонического подхода в квантовой гравитации.

Канонический формализм для гравитации был развит П.Дираком [18] и Р.Арновиттом, С.Дезером и Ч.Мизнером (АДМ) [19]. Действие Гильберта - Эйнштейна

I Я^^х (0.9)

м4

инвариантно относительно общих диффеоморфизмов 1?г//м4 пространства -времени М4. Поэтому соответствующая гамильтонова теория оказывается теорией со связями первого рода [20], причем гамильтониан оказывается пропорционален связям.

Для построения гамильтонова формализма АДМ пространственно-временное многообразие М4 расслаивается на пространственно - подобные поверхности М4 = Е3 х М1. Тогда метрику молено представить в виде

¿в2 = кц(с1х1 + №<И)((1х> + №<И) - (№)2 ^ (0.10) где х\ г = 1,2,3 — координаты на пространственно-подобной поверхности

E3, hij - индуцированная метрика на Е3, t - времени-подобная координата, трансверсальная этой поверхности, a (1/iV, Nl/N) - компоненты вектора нормали к Е3. Действие (0.9) переписывается через метрику (0.10) в виде

S = J тг^ hij -NU- NiWcPxdt + (surface terms) (0.11)

где

TTij = Vh (hijSpK - Kij) (0.12)

- импульсы, сопряженные h^,

K„

lj = Ш (Nilj + Njli" ^ (013)

- тензор внешней кривизны поверхности Е3, вложенной в М4. Здесь точка означает дифференцирование по времени, черта - ковариантное дифференцирование по трехмерной метрике /г^-. Функции

Tit = 8тт-^(hikhu + huh,к - - 11

W = -2тг Ц

8тx-jjihikhji + huhjk - Ы^ы)1*1'тгы - у^'--, ^ щ

ij 1Г

являются связями в гамильтоновом формализме. Здесь 71 - скалярная кривизна трехмерной метрики Нц. Видно, что величины N и Щ оказываются множителями Лагранжа и не определяются из уравнений движения; первичные связи % и %г являются связями первого рода и генерируют калибровочные преобразования, соответствующие в гамильтоновом формализме инвариантности действия относительно диффеоморфизмов -Ог//м4-

Решение уравнений движения строится следующим образом. Фиксируется четырехмерное многообразие М4. Строится его слоение М4 = Е3 х М1 на стандартные трехмерные поверхности Е3 и некоторое одномерное многообразие М1. Затем строится метрика на Е3, удовлетворяющая уравнениям связи

( = о

1 , Щу) = 0

После этого, выбрав произвольно зависящее от точки х £ М4 векторное поле {1/N,N%/N), трансверсальное поверхностям £3 и нигде не обращающееся в нуль, можно реализовать метрику h^ на Е3 как метрику, индуцированную вложением £3 С М4 по формуле (0.10). При этом поверхность Е3 становится пространственноподобной поверхностью в пространстве -времени М4, а вдоль векторного поля (1/N, N'/N) отсчиты-вается временная координата.

Конструктивная реализация этой процедуры сталкивается с трудностями уже в случае сферически-симметричного пространства-времени, которые связаны с необходимостью a priori фиксировать топологию пространственно -временного многообразия М4, слоение на трехмерные поверхности £3, так, чтобы они впоследствии оказались поверхностями Коши в пространстве-времени, а также с построением векторного поля {l/N,Nl/N) без особенностей на многообразии М4. Эти трудности привели к тому, что геометродинамика сферически-симметричной гравитации была проанализирована до конца только в 1994 году К.Кухаржем в [21], где. был а доказана полная интегрируемость соответствующей теории поля.

Калибровочная теория со связями первого рода может быть прокван-тована в соответствии с процедурой Дирака [22]. Релизация процедуры квантования Дирака в случае теории поля приводит к формализму Баталина-Вилковысского-Фрадкина (БВФ) [23]. Однако, связи (0.15) га-мильтонова формализма в теории гравитации имеют сложную нелинейную структуру, а калибровочная группа Dif fM4 - сложную геометрию, что затрудняет реализацию схемы квантования БВФ. В рамках другого варианта процедуры Дирака уравнения связи (0.15) переходят при квантовании в операторные уравнения на волновую функцию. Трудности этого подхода в теории поля связаны с тем, что волновая функция является функционалом Ф [hij], зависящим от полей h^, а связи (0.14) переходят при квантовании в операторнозначные функционалы [24, 25]

где й^ы = + НиЩи — Первый набор уравнений (0.16) озна-

чает, что физическое состояние должно быть инвариантно относитель-

' = 2г Ф[Лу] = 0

<

т2 (0.

но репараметризаций трехмерной поверхности £3, Второе уравнение в (0.16) есть известное уравнение Уиллера-деВитта [25, 24].

Решение и интерпретация этого уравнения в общем виде затруднены. Однако, замораживая почти все степени свободы, за исключением нескольких, (как, например, в космологических моделях)., можно получать точно решаемые модели в квантовой гравитации, что впервые было продемонстрировано деВиттом в [24]. Ч.Мизнер и его школа развили эту идею "квантования минисуперпространства" [26] до систематического исследования задач квантовой космологии [27, 28]. Далее техника "минисуперпространства" была развита до "квантования мидисупер-пространств" бесконечномерных моделей. Первая система, рассмотренная подобным образом, была цилиндрическая гравитационная волна [29]. На примерах таких "мидисуперпространств" стали ясны принципиальные трудности интерпретации уравнения Уиллера-деВитта (0.16). Исследование этих трудностей привело к исследованию так называемых "репараметризационно-инвариантных теорий" [22, 30].

Одна из наиболлее важных задач теории гравитации состоит в построении теории гравитационного коллапса. Простейший пример задачи такого типа - коллапс сферически-симметричного распределения материи. Этот случай является достаточно простым ввиду наличия большой группы симметриии. В то же время в решенях уравнений Эйнштейна уже в этом простом случае присутствуют характерные для гравитационного коллапса особенности геометрии пространства-времени, такие, как наличие сингулярностей и горизонтов. Виду справедливости общих теорем о сингулярностях [2] можно ожидать, что результаты, полученные для сферически-симметричного случая, качественно сохраняются и при малых отклонениях от симметрии.

Исследование гамильтонова формализма для сферически - симметричной гравитации началось с работы Б.Бергера, Д.Цитре, В.Монкрифа и У.Нутку (БЦМН) [31]. В этой работе изучалась мидисупермодель, состоящая из взаимодействующих сферически-симметричных гравитационного и скалярного полей. Авторы привели действие к выделенному разбиению пространства -времени на пространство и время, характеризующемуся обращением в нуль "радиального" импульса. Получившийся гамильтониан оказался существенно нелокальным и, кроме того, не воспроизводил правильных уравнений движения, что было замечено и исправлено У.Анру [32].

В рамках модели БЦМН оказалось удобно анализировать излучение Хокинга [5, 33].

Изучение мидисупермоделей в квантовой гравитации имеет существенное преимущество перед другими подходами, состоящее в том, что су-щетвует возможность получать непертурбативные результаты. Кроме того, если только в пространстве-времени отсутствуют горизонты Кб-ши, то вся информация о системе содержится в наборе канонических данных на поверхности Коши. Таким образом, можно изучать процессы внутри черной дыры и процессы образования сингулярностей. (Такая возможность отсутствует во всех остальных подходах к квантовой гравитации.) Однако, для того, чтоб использовать это преимущество, нужно (а) построить расслоение пространства-времени М4 = Е3 х М1 на пространство и время, покрывающее все многообразие, и (б) обеспечить условие, чтобы эволюция по времени нигде не была заморожена (векторное поле (1/Л^, нигде не обращалось бы в нуль). Расслое-

ние, выбранное в [31], не удовлетворяет этим условиям. Модель БЦМН была обобщена П.Хаичеком в [34], где специальное внимание было уделено выбору расслоения пространства-времени и свойствам горизонтов видимости.

Нетрудно видеть, что расслоение, предложенное в [31] не работает в случае пространства-времени вечной черной дыры. Поверхности Е3 совпадают с поверхностями постоянного киллингового времени. Они покрывают только статические области и диаграмы Картера- Пен-роуза для решения Крускала на рис. 1.1 и не проникают под горизонт. Эта трудность была преодолена Ф.Лундом [35]. Он использовал расслоение, даваемое системой координат Леметра [36]. Однако и эта система координат не покрывает всего пространства-времени вечной черной дыры.

Следующий шаг в каноническом описании сферически-симметричной гравитации был сделан К.Кухаржем [21]. Он нашел новые канонические переменные, описывающие сферически-симметричное гравитационное поле, которые позволили показать полную интегрируемость ми-дисупермодели, состоящей из сферически-симметричного гравитационного поля в вакууме. В [21] также было построено каноническое квантование этой модели. В это же время полная интегрируемость динамики сферически-симметричного гравитационного поля была доказана Т.Тиманом и Г.Каструпом [38], с использованием переменных Аштека-

ра.

Этот результат дал толчок к построению моделей квантовых швар-цшильдовских черных дыр. Поскольку, в соответствии с [21], у сферически -симметричной гравитации нет локальных степеней свободы, то нетривиальная динамика в таких моделях получается заданием поведения метрики на границах пространства-времени. Так, И.Лоуко и Б.Вайтинг [39] развили подход Кухаржа, считая, что пространство-время черной дыры не является асимптотически плоским при Я -» оо, а содержит границу, расположенную на расстоянии которая может эволюцио-

нировать со временем. Локальные степени свободы гравитационного поля живут на граничной поверхности дМ4. Идея исползовать степени свободы на граничной поверхности в качестве динамических переменных принадлежит Дж.Брауну и Дж.Йорку [40]. Значения гравитационного поля (метрики) на граничной поверхности содержат информацию о глобальной энергии гравитирующей системы, заключенной внутри этой поверхности. При анализе термодинамики черной дыры понятие энергии играет центральную роль, и граничные условия выбираются таким образом, чтобы система, находящаяся внутри, образовывала микроканонический ансамбль (черная дыра в тепловом резервуаре). Введение границы, расположенной на конечном расстоянии от черной дыры важно, если рассматривается взаимодействие черной дыры с излучением Хокинга. В этом случае предположение асимптотической плоскости пространства-времени не выполнено. Однако, в построении гамильтоновой системы на границе при этом подходе имеется большой произвол, связанный с произволом в выборе граничных условий для поведения гравитационного поля на горизонте черной дыры. На это было указано в работе [41], в которой сравниваются гамильтонианы систем, получающиеся при разных способах фиксации граничных условий.

Некоторые результаты по квантованию вечных черных дыр были получены в рамках модели, называемой "двумерная гравитация с дилато-ном" [42, 43]. Задачи, приводящие к такой модели, появляются в рамках комформно-инвариантной формулировки теории Эйнштейна [44], теории струн [45], и др. Соответствующие теории поля оказываются точно решаемыми [45, 46], что дает возможность получить некоторые точные квантовые результаты, такие, как спектр масс черных дыр [46] или термодинамическую статистическую сумму [47], а также точные решения, описывающие испаряющиеся черные дыры [48].

Некоторые авторы [21, 46, 50], получают спектр масс в моделях квантовых черных дыр, основанных на квантовании сферически- симметричного гравитационного поля в вакууме. В моделях [21, 46] спектр непрерывен, поскольку после разрешения уравнений связи гамильтонового формализма единственная наблюдаемая в теории - шварцшильдовская масса черной дыры т - имеет тривиальную динамику, она является интегралом движения. Ясно, что такая квантовая система не соответствует никакой реальной физической ситуации. В [50] получен дискретный спектр масс. Результат, полученный в этой работе явно ошибочен. В качестве (фиктивной) динамической переменной выбирается радиус горловины моста Эйнштейна-Розена. Получающаяся динамическая система имеет сложный гамильтониан, дискретный спектр которого отождествляется со спектром масс черной дыры.

В работе [51] формализм, развитый К.Кухаржем [21] для сферически-симметричной гравитации в вакууме, был обобщен на случай присутствия сферически-симметричного электормагнитного поля, что дало возможность Й.Макеле и П.Репо [52] построить квантово-механическую модель заряженной черной дыры. В случае заряженной черной дыры классическое решение уравнений Эйнштейна - решение Райснера- Нордстре-ма [2]. Оно содержит горизонты Коши. Как было указано выше, гео-метродинамическое описание динамики гравитационного поля сталкивается с трудностями при наличии в пространстве-времени горизонтов Коши. Канонические данные не могут быть продолжены за горизонт. Эта проблема не решена в [52], переменные, использованные авторами, сингулярны на горизонтах Коши й = Л+ и Д = гамильтонова система финитно движется между ними, что приводит при квантовании к дискретному спектру соответствующего гамильтониана. Авторы ошибочно отождествляют оператор гамильтониана этой системы с массой квантовой черной дыры.

Основным недостатком обсуждавшихся выше моделей квантовых черных дыр является произвол в выборе гамильтоновой системы, описывающей динмику дыры. Это связано с тем, что у сферически-симметричного гравитационного поля отсутствуют локальные степени свободы, а динамика глобальных тривиальна. Нетривиальная динамика сферически-симметричной геометрии возможна только при наличии полей материи.

Модели черных дыр с материей обладают следующими достоинствами по сравнению с моделями, основанными на чистой гравитации.

Во-первых, с помощью этих моделей можно изучать физику гравитационного коллапса и образование горизонтов и сингулярностей пространства -времени как на классическом, так и на квантовом уровне. Именно эти ситуации представляют интерес в физике черных дыр. Действительно, например, излучение Хокинга существует только у черных дыр, образовавшихся в результате гравитационного коллапса.

Во-вторых, включение материи порождает возникновение локальных степеней свободы у гравитационного поля. Дело в том, что теория поля с действием (0.11) является калибровочной теорией с калибровочной группой 1?г//М4. Наблюдаемые теории (в смысле Дирака) должны быть калибровочно-инвариантными величинами. Но у чистой гравитации нет локальных калибровочно-инвариантных величин (например, скаляр кривизны преобразуется при калибровочном преобразовании как 6Я(х) = ф 0, тде./й(х) - векторное поле, генерирующее дей-

ствие на М4). Поэтому квантовая теория чистой гравитации

может давать информацию только об эффектах, связанных с флукту-ациями глобальных характеристик пространственно-временного многообразия [53]. В то же время, при включении материальных степеней свободы - материальных систем отсчета, у гравитационного поля появляются локальные наблюдаемые, построенные из коэффициентов метрики в месте нахождения системы отсчета [54]. Поэтому в этом случае имеет смысл говорить об эффектах, связанных с флуктуациями метрики пространства-времени (явление, традиционно предсказываемое в режимах теории поля, где становятся важны эффекты квантовой гравитации).

Простейший вид материи, который можно ввести в теорию, не нарушая симметрии - это самогравитирующая сферически-симметричная тонкая оболочка. Общий подход к изучению тонких оболочек в рамках общей теории относительности был развит В.Израэлем [55]. Тонкие оболочки изучалисть в контексте различных задач общей теории относительности, таких, как свойства классического [56] и квантового [58] гравитационного коллапса, свойства классических [57] и квантовых [64] черных дыр, динамика фазовых переходов во Вселенной [59, 60, 61], энтропия черных дыр [62], обратная реакция излучения Хокинга [63], распространение сигналов в общей теории относительности [65].

Гамильтонов формализм для системы тонкой самогравитирующей оболочки в собственном гравитационном поле может быть получен двумя путями. В рамках одного из них гамильтониан строится по извест-

Рис. 0.1: Типы траекторий самогравитирующей оболочки. Случай черной дыры (а), случай кротовой поры (Ь) и случай ипфипитного движения (с).

ным уравнениям движения [64, 66, 67]. Иначе, гамидьтонов формализм выводится из варпционного принципа для системы, состоящей из гравитационного поля и оболочки [63, 68, 69].

При построении гампльтонова формализма уже для такой простейшей системы из материи, взаимодействующей с гравитационным полем, становятся в полной мере видны трудности гампльтонова формализма в теории гравитации. Это, во-первых, существенно нелинейный гамильтониан, который при квантовании становится нелокальным оператором [69, 70].

Во-вторых, пространство-время имеет довольно сложную геометрию уже в этом простейшем примере. Если при рассмотрении механики пробных частиц на фоне этой сложной геометрии мы можем учесть ее особенности, выбрав достаточно сложное конфигурационное пространство, то при построении самосогласованной динамики оболочки в собственном гравитационном поле можно видеть, что глобальная структура пространства -времени, являющегося конфигурационным пространством, в котором строится траектория оболочки, зависит от самой траектории.

Действительно, на рис. 0.1 приведены различные типы пространства-времени с оболочкой (на рисунке изображены диаграммы Картера- Пен-роуза [2] соответствующих пространств-времен, см. главу 1). В случае черной дыры (а), оболочка выходит в момент наибольшего расшире-

ния из-под горизонта и доступна для наблюдателя на бесконечности; в случае кротовой норы (Ь) оболочка, в момент наибольшего расширения находится на противоположной стороне моста Эйнштейна-Розена [2] и, таким образом, не выходит из-под горизонта за все время своего движения; в случае инфинитного движения (с) траекктория начинается на бесконечности В, = оо и коллапсирует с образованием сингулярности в Д = 0. Нетривиальной задачей является определение "универсального" конфигурационного пространства, оприсывающего возможные конфигурации оболчки и объемлющего пространства-времени. В [68] анализируются фазовые пространства, соответствующие различным глобальным геометриям пространственного сечения Е3 пространства-времени, в котором движется оболочка. Эти пространства имеют различную размерность для разных типов движения. Ввиду того, что пространство-время является нетривиальным многообразием, оно покрывается несколькими картами. Если мы ограничимся рассмотрением классической механики коллапсирующей оболочки, то достаточно найти гамильтонианы и соответствующие уравнения движения в каждой карте отдельно. Однако, при построении квантовой механики становятся важны именно глобальные свойства операторов. Поэтому становится важным построение глобальных выражений для связей гамильтонова формализма, справедливых во всех картах. В [70] фазовое пространство соответствующей гамильтоно-вой системы покрывается 16-ю картами, в каждой из которых справедливо свое выражение для связей. В [66] предлагается единый гамильтониан, описывающий движение оболочки, справедливый во всех картах, покрывающих классическое пространство-время. Этот гамильтониан является, однако, комплекснозначной функцией динамических переменных.

Ключевой вопрос, на который должна дать ответ терия квантовых черных дыр - вопрос о спектре масс. Принято считать, что на планков-ских масштабах трг ~ 1019 МэВ, /р/ ~ 10~33 см, ( используются единицы в которых С = с = 1) становятся важны эффекты квантовой гравитации. Но этот масштаб настолько далек от лабораторных стандартов, что, похоже, эффекты квантовой гравитации никогда нельзя будет обнаружить в лаборатории. Уместен, однако, вопрос: не существует ли какого-нибудь побочного эффекта, в котором квантовая гравитация может проявить себя на масштабах энергий, гораздо меньших планковских. Такой эффект может состоять в особенностях спектра излучения черных дыр (и вообще в его наличии).

Спектр масс черных дыр к классической теории непрерывен. В то же время, известные результаты о пропорциональности энтропии черных дыр площади поверхности и об излучении Хокинга предполагают, что в квантовой теории спектр масс должен быть дискретным и сильно вырожденным (вырождение соответствует, по формуле Больцмана, энтропии).

Первый вопрос, который возникает при описании квантовой черной дыры (впервые поставленный Дж.Уиллером и М.А.Марковым в 1960-х) - каков полный набор квантовых чисел, требуемых для описания черной дыры в стационарном квантовом состоянии. Квантовые числа - это главный атрибут элементарных частиц. Гравитационный радиус элементарного объекта с массой, меньшей массы Планка тР1, меньше его комп-тоновской длины волны (именно поэтому такой объект можно условно назвать элементарной "частицей"). В противоположность этому, у объектов с массой, большей тр[, комптоновская длина волны меньше гравитационного радиуса, и такие объекты логичнее называть элементарными "черными дырами" (см. обсуждение понятия "транс-планковских" частиц в [71]). Кажущееся качественное различие между двумя типами объектов, выражающееся в возникновении горизонта на гравитационном радиусе, на самом деле отсутствует, поскольку, конечно, структура пространства-времени на планковских масштабах сильно отличается от предсказываемой в общей теории относительности. Поэтому черные дыры малой массы должны быть похожи на элементарные частицы и должны описываться с помощью небольшого числа параметров - массы, спина, заряда и.т.п. М.А.Марков [72, 73] предположил, что тр\ является верхним пределом для массы элементарной частицы и предложил название "максимон" для частицы с наибольшей массой.

Каково должно быть поведение квантовых, черных дыр, когда масса становится гораздо больше планковской? Макроскопические черные дыры, в предположении справедливости гипотезы об "отсутствии волос", описываются всего лишь несколькими параметрами, такими, как масса, угловой момент и заряды, подчиняющиеся законам типа гауссова.

Если это так, то нетрудно сразу же получить результат о квантовании массы черной дыры. Действительно, рассмотрим черную дыру с массой т, электрическим зарядом магнитным С, угловым моментом .У2 и его проекцией на ось симметрии. Спектры собственных сначений <5, С, 72 и хорошо известны. Делая стандартные предположения о том,

что соответствующие операторы в квантовой механике взаимно коммутируют, можно немедленно получить спектр масс экстремальной черной дыры [75]. Параметры экстремальной черной дыры Керра-Нюмена [1] связаны уравнением

Зг

т

тг

(0.17)

Решая это уравнение относительно т и заменяя <3 —qe, (7 —дЬ/ 2е, /2 —> ](] + 1)Н2 где q, д -целые, ] - неотрицательное целое, и е элементарный электрический заряд, получаем:

т.

<¡93

тР1

д2е2

2*2

9 "

'д2е2 ^ д2й

8е2

+ 3(3 + 1)

(0.18)

Другое указание на необходимость квантования массы черной дыры приведено в работе В.Муханова [76]. В ней рассматривался процесс поглощения черной дырой частицы малой массы и заряда. Такой процесс является адиабатическим и площадь горизонта черной дыры является адиабатическим инвариантом (А5 ~ 0 в первом приближении). В соответствии с предположением Эренфеста [79] любой классический адиабатический инвариант соответствует квантовому оператору с дискретным спектром (в частности, интегралы Якоби §грс1х гамильтоновой системы при квантовании дают условия Бора-Зоммерфельда § рс1х = 2тгКп ). Таким образом, площадь черной дыры должна принимать дискретные значения при квантовомеханическом описании. Возникает вопрос, какого вида должна быть функция

5 = /(п), п — гЫедег

(0.19)

В [76, 77] вид функции f(n) выводится из рассмотрения процесса поглощения -излучения частиц черной дырой. В [78] показано, что минимальный прирост площади черной дыры при таких процессах составляет Д^гтп = 87г/лА, где (х - масса частицы, А - комптоновская длина волны. То есть Дб'пип ~ 121 независимо от массы, заряда и других характеристик черной дыры. Это дает основания полагать, что спектр оператора площади для больших черных дыр эквидистантен

5 = а12р1 (п + г,)

(0.20)

где г] - некоторая постоянная больше —1. Этот результат хорошо согласуется с полуклассическими вычислениями С.Хокинга [5]. Действительно, излучение черной дыры имеет температуру ТВн (0.6). Следовательно, характерная энергия квантов излучения должна быть порядка Е ~ Твн. Но, в соответствии с постулатом Бора, энергия испущенных квантов должна равняться расстоянию между энергетическими уровнями в спектре черной дыры. Спектр (0.20) предполагает следующий спектр масс квантовой черной дыры:

т = тпР1^а(п + 7]) (0-21)

то есть расстояние между уровнями для черной дыры массы ш

(0.22)

2т т к '

как раз порядка средней энергии квантов хокинговского излучения.

Эквидистантный спектр площади поверхности черной дыры был впервые предложен в "1975 году Я.Бекенштейном [80]. С тех пор этот спектр был получен во многих моделях в квантовой гравитации, таких как модели, происходящие из теории струн [81], модели, в которых поверхность черной дыры трактуется как квантовая мембрана [82, 83], канонической квантовой гравитации [84, 85, 50, 46].

Однако, в этом вопросе нет общего согласия. Так, например, при вычислениях в рамках петлевой квантовой гравитации [86] и в рамках теории струн [87] спектр оператора площади не эквидистантен.

Тот факт, что спектр масс черной дыры (0.21) не зависит ни от каких параметров, кроме главного квантового числа, является квантовым аналогом гипотезы об отсутствии волос - вся информация о деталях процесса гравитационного коллапса, в результате которого сформировалась черная дыра, исчезает.

В частности, черная дыра может сформироваться либо в процессе финитного движения коллапсирующей материи, либо же в результате инфинитного движения, когда частицы приходят из бесконечности. В обычной квантовой механике мы привыкли к тому факту, что дискретный спектр энергий можно наблюдать у системы, движущейся финитно (в потенциальной яме), спектр же инфинитного движения непрерывен. Таким образом, имются две взаимоисключающие возможности.

Если квантовая черная дыра сформировалась в результате коллапса финитно двигавшихся частиц, то ее спектр масс дискретен. Если же частицы изначально были бесконечно удалены, то спектр масс, такой черной дыры должен быть непрерывен. Однако,, изложенные выше общие рассуждения показывают, что спектр масс черной дыры в стационарном состоянии не должен зависеть от деталей коллапса и должен быть универсальным для всех шварцшильдовских черных дыр массы т. Это значит, что мы должны предположить, независимо от конкретной модели, либо существование непрерывного спектра в случае финитного движения, либо существование квантового числа для инфинитного движения.

В первом случае неясно, как привести этот результат в соответствие с доказательством С.Хокинга существования излучения определенной температуры, поскольку при непрерывном спектре масс у черной дыры массы т нет выделенной частоты излучения.

Во втором случае мы вынуждены заключить, что в ситуации финитного движения должны существовать дополнительно "обычные" квантовые числа, возникающие в силу правил квантования Бора-Зоммерфельда обычной квантовой механики. То есть, если масса черной дыры квантуется, то состояние квантовой черной дыры описывается не только главным квантовым числом, но еще и некоторым набором дополнительных параметров, дискретных для финитного движения и непрерывных для инфинитного.

Таким образом, у квантовой черной дыры существуют "квантовые волосы", в противоположность классической ситуации [88], а состояние с данной шварцшильдовской массой т - смешанное состояние в силу того, что спектр вырожден.

Существование дискретных параметров, описывающих инфинитное движение частиц, хорошо известное явление в неабелевых калибровочных теориях. В случае, когда конфигурационное пространство системы имеет нетривиальную топологию, (как, например, пространство связно-стей в нетривиальном расслоении), полевые конфигурации характеризуются дискретными топологическими зарядами [89].

Нетривиальное конфигурационное пространство возникает, даже если мы рассматриваем движение частиц на фоне тривиальной геометрии пространства времени (а не самосогласованную задачу). Так, в [90] показано, что при движении пробной квантовомеханической частицы в пространстве -времени с кротовой норой, квазиклассический спектр энергии

частицы дискретен, хотя движение инфинитно.

При рассмотрении конкретной модели гравитационного коллапса са-могравитирующей сферически-симметричной оболочкой в качестве кол-лапсирующего тела, фазовое и конфигурационное пространство системы имеет сложную структуру, как обсуждалось выше. В [69, 91] показано, что сложная структура фазового пространства гамильтоновой системы, описывающей движение оболочки, приводит к эффекту существования дополнительного квантового числа у черной дыры, образованной в результате коллапса финитно движущейся оболочки, и квантового числа для инфинитного движения оболочки.

Таким образом, рассмотрение конкретной модели гравитационного коллапса позволяет заключить, что спектр масс (0.21) не может иметь места для всех черных дыр, независимо от способа их образования. Он, вообще-говоря, имеет сложную структуру и зависит от дополнительных параметров (дискретных или непрерывных). Однако, это противоречит изложенным выше качественным соображениям, приведшим к формуле (0.21), а также не согласуется с результатами, об излучении Хокинга.

Действительно, если спектр масс имеет сложную структуру, то спектр излучения, приходящего от черной дыры также имеет сложную структуру, поскольку, в соответствии с постулатом Бора частота излученных квантов соответствует расстоянию между уровнями в энергетическом спектре квантовой системы. Но в рамках подхода квантовой теории поля в искривленном пространстве-времени [92], спектр излучения черной дыры не зависит от внутреннего состояния черной дыры или способа, в результате которого она образовалась. С точки зрения квантовой теории поля в искривленном пространстве-времени имеет значение лишь существование горизонта видимости с определенным значением поверхностной гравитации в пространстве-времени с черной дырой. Таким образом, предсказания, касающиеся спектра масс черной дыры и предсказания о спектре излучения не согласуются. Мы приходим к противоречию.

В последующем изложении мы покажем, что это противоречие может быть разрешено [93]. Основная идея состоит в том, что необходимо учитывать обратное влияние излучения на гравитационное поле, в котором оно распространяется, то есть рассматривать самосогласованную задачу. Это, конечно, приводит к серьезным математическим трудностям, обсуждавшимся выше.

Действительно, задача о самосогласованном распространении излу-

чения в поле черной дыры является частью задачи о гравитационном коллапсе, если в качестве коллапсирующей материи рассматривать излучение (ситуация распространения излучения от черной дыры является обращением по времени ситуации гравитационного коллапса излучения). Следовательно, приводя те же аргументы, что и в случае коллапса массивного тела, можно заключить, что для инфинитного (уходящего на пространственную бесконечность) движения излучения существует квантовое число. Следовательно, излучение, распространяющееся в гравитационном поле черной дыры, имеет дискретный спектр само по себе, независимо от того, каков спектр масс черной дыры.

Это значит, что на процесс испускания квантов наложено дополнительное ограничение. Помимо того, что частота испущенных квантов должна соответствовать расстояниям между уровнями в спектре масс черной дыры, эта частота должна быть допустимой для излучения распространяющегося в поле черной дыры. Именно за счет последнего требования спектр излучения становится универсальным для любых черных дыр с массой т, и именно за счет него восстанавливается соответствие с результатами, полученными в рамках квантовой теории поля в искривленном пространстве-времени [93].

Таким образом, с точки зрения бесконечно удаленного наблюдателя, большая черная дыра действительно выглядит, как объект, обладающий спектром масс (0.21), поскольку наблюдатель на бесконечности может регистрировать только кванты излучения, пришедшего от черной дыры, частоты которых, как оказывается, соответствуют растояниям между уровнями в спектре (0.21). В то же время реальный спектр масс имеет довольно сложную структуру.

Диссертация имеет следующую структуру.

В главе 1 строится гамильтонова формулировка сферически- симметричной гравитации, находятся соответствующие канонические переменные, уравнения связи. В конце главы приведено. каноническое преобразование, найденное К.Кухаржем [21], доказывающее точную решаемость теории.

В главе 2 рассматривается простейший вид источников гравитационного поля - тонкие оболочки. После краткого объяснения общего формализма мы строим гамильтонову теорию для коллапсирующих пылевых сферически-симметричных оболочек. Эта гамильтонова теория служит основной модельной теорией в развиваемом далее подходе к квантовым

черным дырам.

В главе 3 проводится квантование построенной гамильтоновой теории. Вследствие простого вида связей гамильтонова формализма, оказывается возможным свести квантованную гамильтонову теорию поля (гравитацию с материей в виде оболочки) к конечномерной квантовоме-ханической системе.

Однако, получающаяся квантовая механика обладает необычными свойствами. Так, уравнение на волновую функцию (аналог уравнения Клейна-Гордона для пробной квантовомеханической частицы) оказывается уравнением в конечных разностях, причем сдвиг аргумента волновой функции направлен вдоль мнимой оси.

Это свойство является отражением (специально-) релятивистского характера рассматриваемой гамильтоновой системы. Действительно, релятивистскую инвариантность в теории поля можно реализовать либо перейдя к равноправному рассмотению пространственных и временной координат, реализуя группу Лоренца в четырехмерном пространстве-времени (обычный формализм релятивистской теории поля), либо реализуя действие группы Лоренца на трехмерном пространственно-подобном сечении. В этом случае алгебра Ли группы Пуанкаре выглядит как q-деформированная алгебра Ли группы Галилея [94], а соответствующие генераторы являются генераторами преобразований конечного сдвига.

К уравнению Клейна-Гордона в конечных разностях приводит также квазипотенциальный подход А.Логунова и А.Тавхелидзе [95] в квантовой теории поля. В этом случае появление уравнений в конечных разностях также связано с необходимостью сочитать релятивистскую инвариантность с трехмерным описанием задачи, как показано В.Кадышевским и др. в [96].

Гамильтонов формализм АДМ [19] приводит к рассмотрению гамильтоновой системы на трехмерной пространственно-подобной поверхности Е3. Релятивистский характер движения коллапсирующей оболочки обуславливает появление конечных разностей в соответствующем квантовом уравнении на пространственно-подобном сечении.

Уравнение в конечных разностях со сдвигом аргумента вдоль мнимой оси требует того, чтоб волновая функция была определена (и регулярна) на комплексном многообразии (а не на действительной прямой). В разделе 3.1.2 мы показываем, что адекватным комплесным многообразием в рассматриваемом случае является риманова поверхность, дважды на-

крывающая комплексную плоскость. Переход к рассмотрению волновой функции на римановой поверхности позволяет, во-первых, продолжить волновую функцию оболочки под горизонт и, во-вторых, определить достаточно богатое конфигурационное пространство системы, позволяющее одновременно описывать все возможные варианты классического поведения оболочки, приведенные на рис. 0.1.

Мы анализируем спектр масс черной дыры, получающийся в рассматриваемой модели в пределе больших черных дыр. Для этого в разделе 3.2 развивается метод нахождения спектра по асимптотике на бесконечности решений уравнения в комплексной области. Получающийся спектр масс зависит от двух квантовых чисел в случае связанных состояний и от одного в случае свободных (когда оболочка может уходить на бесконечность). Качественно причина такого поведения спектра обсуждалась во введении выше, а в разделе 3.2 показано, что математически такой характер спектра возникает по причине того, что волновая функция оболочки, образующей черную дыру, проникает в классически запрещенную й_-область (рис. 1.1), которая даже не присутствует в классическом пространстве-времени с оболочкой. Квантовомеханическое движение оболочки в -области определяет возникновение второго квантового числа.

Для того, чтоб построить квазиклассическую волновую функцию оболочки, необходимо воспользоваться комплексным методом ВКБ [101], (волновая функция определена на римановой поверхности). В разделе 3.3 мы показываем, что построенная нами квантовая система правильно ведет себя в классическом пределе, а также находим квазиклассический спектр масс, который также, оказывается, задается двумя квантовыми числами, возникающими из условий типа Бора-Зоммерфельда.

В главе 4 показано, что одно из квантовых чисел не исчезает в случае инфинитного движения оболочки, так что спектр свободных состояний массивной оболочки определяется одним дискретным и одним непрерывным параметром, а спектр свободных состояний безмассовой оболочки дискретен. Этот эффект приводит к квантованию энергии излучения, находящегося в состоянии 5-волны, распространяющегося в собственном гравитационном поле или в гравитационном поле черной дыры.

Дискретность спектра энергии излучения определяет дополнительное правило запрета на процесс испускания излучения квантовой черной дырой. В разделе 4.2 мы исследуем самосогласованную картину испускания

квантов излучения и приходим к выводу, что такой процесс согласуется с предсказаниями об излучении Хокинга. Кроме того, в рамках самосогласованного рассмотрения в нашей модели (полностью учитывается обратная реакция излучения на гравитационное поле) мы наблюдаем, что излучение кванта приводит не только к переходу квантовой черной дыры с одного энергетического уровня на другой, но к изменению самого энергетического спектра - кванты с необходимостью излучаются парами, причем один из них падает внутрь черной дыры, изменяя ее внутреннее состояние.

В Заключении коротко сформулированы основные результаты, полученные в диссертации.

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Неронов, Андрей Юрьевич

Заключение.

В заключение сформулируем кратко основные результаты, полученные в диссертации.

1. Построен гамильтонов формализм, для тонких сферически- симметричных оболочек в рамках общей теории относительности. Соответствующая гамильтонова теория поля (2.28) в двумерном пространстве -времени описывает сферически -симметричное гравитационное поле, взаимодействующее с материей в виде тонкой пылевой оболочки. Доказана полная интегрируемость теории на классическом уровне. В явном виде найдены траектории гамильтоновой системы (2.62) в фазовом пространстве. Качественно решения классических уравнений движения (пространства-времена с оболочкой) делятся на три типа - черные дыры (рис. 2.2), кротовые норы (рис. 2.3) и решения с оболочкой, уходящей на бесконечность. Эти решения различаются глобальной структурой пространства - времени. Найден вид связей гамильтонова формализма, справедливый сразу во всех координатных картах, покрывающих классическое пространство - время.

2. Проведено квантование построенной гамильтоновой теории поля со связями первого рода. В результате гамильтоновой редукции задача сводится к квантовой механике (вместо квантовой теории поля). Волновая функция (3.6) зависит от площади поверхности оболочки 5 и шварцшильдовских масс снаружи {тоЫ) и внутри (т,гп) сферически-симметричной оболочки. Волновая функция является решением уравнения в конечных разностях со сдвигом аргумента вдоль мнимой оси (3.11). Построенная квантовая механика является простейшим примером квантовой механики самогравитирующих систем. На этом простейшем примере в диссертации исследовались ключевые вопросы физики черных дыр - вопросы о спектре масс квантовых черных дыр, о поведении материи при гравитационном коллапсе, о конечной судьбе черных дыр при испарении. Ввиду того, что был найден вид гамильтоновых связей, справедливый во всех картах, волновая функция оболочки может быть продолжена в Т-область под горизонт событий, возникающий при гравитационном коллапсе. Оказывается, волновая функция черной дыры также не равна нулю в области В, решения Крускала, которая вообще не присутвует в классическом пространстве-времени с оболочкой в - случае черной дыры.

3. Наличие в уравнении (3.11) конечного сдвига аргумента волно-. вой функции вдоль мнимой оси обуславливает специальный выбор гильбертова пространства аналитических функций на рима. новой поверхности Бр (3.12), на которой коэффициенты уравнения являются регулярными функциями. Действительное сечение рима-новой поверхности оказывается естественным конфигурационным пространством для классической динамики сферически - симметричной самогравитирующей оболочки. Оно имеет нетривиальную топологию креста (рис. 3.2), Это обусловлено тем, что конфигурационное пространство должно содержать все возможные решения классических уравнений движения (случаи черной дыры, кротовой ■ норы и инфинитного движения оболочки).

4. Найден спектр масс квантовых черных дыр и кротовых нор в приближении больших масс. Для этого развит метод нахождения спектра квантовомеханической задачи по асимптотикам решений уравнения (Шредингера) в комплексной области. Спектр зависит от двух квантовых чисел для связанных состояний, и от одного для свободных (когда оболочка уходит на бесконечность). Наличие второго квантового числа связано с возможностью квантовомеханического движения оболочки в классически отсутствующей Д-области. ^

5. Найдены квазиклассические решения уравнения в конечных разностях (3.11) и квазиклассический спектр масс черных дыр. Исследовано поведение решений в классическом пределе. Ввиду того, что волновая функция определена на комплексном многообразии - ри-мановой поверхности, а не на действительной прямой, необходимо накладывать дополнительное требование регулярности (однозначной определенности) волновой функции на этой поверхности. Наличие нетривиального цикла у римановой поверхности привело к дополнительному условию квантования типа Бора-Зоммерфельда, возникающему как требование тривиальности монодромии волновой функции при продолжении вдоль нетривиального цикла. Квазиклассический спектр масс также, оказалось, зависит от двух квантовых чисел в случае финитного движения и, от одного, в случае инфинитного.

Из анализа квазиклассической волновой функции видно, что различным физическим ситуациям соответствуют разные формы связей гамильтонова формализма. Эти связи эквивалентны на классическом уровне, но приводят к разным квантовым'механикам. В частности, оболочки, коллапсирующие из бесконечности с образованием сингулярности, расширяющиеся до бесконечности из сингулярности прошлого и рассеивающиеся квантовомеханически на собственной сингулярности, описываются различными квантовыми версиями классических уравнений связи.

6. Показано, что наличие квантового числа в случае инфинитного движения приводит к квантованию частоты излучения, распространяющегося от черной дыры. Основной эффект состоит в следующем. Мы обнаружили, что, благодаря нетривиальной структуре конфигурационного пространства (что отражает сложную структуру полного многообразия Шварцшильда), энергия самогравити-рующей изотропной оболочки имеет дискретный спектр. Мы считаем, что такие квантованные оболочки описывают в первом приближении кванты излучения Хокинга. Оказывается, спектр излучения не соответствует спектру масс коллапсирующей массивной оболочки. Разрешение этого противоречия возможно, если предположить, что коллапсирующая оболочка излучает кванты не только на бесконечность, но и вовнутрь. Кванты, излученные вовнутрь, приводят к изменению массы rriin внутри оболочки (даже если изначально пространство-время внутри оболочки было плоским). Таким образом, внутренняя структура черной дыры изменяется в процессе излучения.

Что касается удаленного наблюдателя, измеряющего спектр масс черной дыры по исходящему от нее излучению, то он вынужден заключить, что спектр имеет вид т ~ у/п (спектр, предсказываемый из качественных соображений Я.Бекенштейном и В.Мухановым для больших черных дыр).

В рамках рассмотренной нами модели мы обнаружили, что, ввиду того, что частота излучения, распространяющегося от'черной дыры квантуется, а также из-за того, что излучение даже одного кванта приводит к изменению внутреннего состяния черной дыры, черные дыры с массой порядка планковской перестают излучать. Причина этого состоит в том, что излучение кванта привело бы к отрицательной массе черной дыры.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Неронов, Андрей Юрьевич, 1998 год

Библиография

[1] Ч.Мизнер, К.Торн, Дж.Уиллер, Гравитация, Мир, (1977)

[2] С.Хокинг, Дж.Эллис, Крупномасштабная структура пространств а-времени, Мир, (1976)

[3] L.Stella, G.L.Israel, s.Mereghetti, D.Ricci, The search for black holes in X-Ray binaries: an update, Proc. of the 7-th Marcel Grossmann Meeting, Stanford, (1994), astro-ph/9410073

[4] J.D.Bekenstein, Black holes and the second law, Lett. Nuovo Cim., 4, 737,(1972)

[5] S.W.Hawking, Particle creation by black hole, Comm. Math. Phys., 43, 199 (1975)

[6] S.W.Hawking, The unpredictability in quantum gravity, Comm. Math. Phys., 87, 395, (1982)

[7] A.Sen An Introduction to nonperturbative string theory, lectures given at Isaac Newton Inst., DAMTP, Cambridge,hep-th/9802051

[8] A.Strominger, G.Vafa, Microscopic origin of black hole entropy, Phys. Lett., B379, 99, (1996)

[9] G.Horovitz, J.Maldasena, A.Strominger, Nonextremal black hole microstates and U-duality, Phys. Lett., B383, 151 (1996)

[10] T.Banks, W.Fisher, S.H.Shenker, L.Susskind, M Theory as a matrix model, Phys. Rev., D 55, 5112 (1997)

[11] E.Witten, Quantum background independence in string theory, Preprint I A SSNS-HEP-93/29, hep-th/9306122

[12] C.Rovelli, Strings, loops and others: a critical survey of the present approaches to quantum gravity, Proceedings of International conference "General Relativity - 15", Pune, India, (1997)

[13] C.Rovelli, L.Smolin, A new approach to quantum gravity, based on loop variables, Proceedings of International conference on Gravitation and Cosmology, Goa, India, (1987)

[14] A.Ashtekar, New variables for classical and quantum gravity, Phys. Rev. Lett. 57, 2244, (1986)

[15] T.Regge, Nouvo Cimento, 19, 558, (1961)

[16] S.W.Hawking, in Astrophysical Cosmology: Proc. of the Study Week on Cosmology and Fundamental Physics, ed. by H.A.Bruck, G.V.Coyne, M.S.Longair, Pontifical Academical Scientiarum Scripta Varia, Vatican Sity, (1982)

[17] S.W.Hawking, The Quantum State of the Universe, Nucl. Phys. В 239, 257 (1984)

[18] P.A.M.Dirac, Proc. Roy. Soc. (London), A246, 333 (1958)

[19] R.Arnowitt, S.Deser, C.W.Misner, in Gravitation: an Introduction to Current Research., ed. by L.Witten, Wiley, New-York, (1962)

[20] Д.М.Гитман, И.В.Тютин, Каноническое квантование полей со связями., Наука, (1986)

[21] K.Kuchar, Geometrodynamics of Schwarzchild black holes, Phys. Rev., D 50, 3961, (1994)

[22] П.А.М.Дирак, Лекции no квантовой механике, Наука, (1986)

[23] E.S.Fradkin, G.A.Vilkovisky, Quantization of Relativistic Systems with Constraints, Equivalence of Canonical and Covariant Formalisms in Quantum Theory of Gravitational Field, Preprint CERN, Ref. TR 2332 , (1977)

[24] B.S. deWitt, Phys. Rev., 160, 1113, (1967)

[25] J.A.Wheeler, in Batelle Recontres: 1967 Lectures in Mathematics and Physics, Benjamin, New-York, (1968)

[26] C.W.Misner, in Magic Without Magic: John Archibald Wheeler, a Collection of Essays in Honor of His 60th Birthday, edited by J.Klauder, Freeman, San-Francisco, (1972)

[27] M.Ryan, Hamiltonian Cosmology, Springer, Berlin, (1972)

[28] M.A.H.McCallum, in Quantum Gravity, edited by C.J.Isham, R.Penrose and D.W.Sciama, Clarendon, Oxford, (1975)

[29] K.Kuchar, Phys. Rev., D 4, 955, (1971)

[30] K.Kuchar, in Quantum Gravity II: Second Oxford Symposium, edited by C.J.Isham, R.Penrose and W.Sciama, Clarendon, Oxford, (1981)

[31] B.K.Berger, D.M.Chitre, V.E.Moncrief, 1 Y.Nutku, Hamiltonian formulation of spherically symmetric gravitational fields. Phys. Rev., D 8, 3247, (1973)

[32] W.G.Unruh Phys. Rev., D 14, 870, (1976)

[33] S.W.Hawking, Phys. Rev., D 14, 2460, (19.76)

[34] P.Hajicek, Phys. Rev., D 31, 785, (1985)

[35] F.Lund, Phys. Rev., D 8, 3247, (1973)

[36] В.П.Фролов, И.Д.Новиков, Физика черных дыр, Наука, (1986)

[37] И.Д.Новиков, Сообщения ГАИШ, 132 3, (1964); там же, 132, 43, (1964)

[38] T.Tiemann, H.Kastrup, Spherically Symmetric Gravity as a Completely Integrable System. Nucl. Phys., В 399, 221, (1993)

[39] J.Louko, B.F.Whiting, Hamiltonian Thermodynamics of Schwarzchild Black Hole. Phys. Rev., D 51 , 5583, (1995), gr-qc/9411017

[40 [41

[42

[43

[44 [45

[47

[48

[49

[50 [51

J.D.Brown, J.W.Jork, The microcanonical functional integral. The gravitational Field. Phys. Rev., D 47, 1407, (1993), gr-qc/9209014

S.Bose, L.Parker, Y.Peleg, Lorentzian approach to Black Hole Thermodynamics in the Hamiltonian approach, Phys. Rev, D 56, 987,

(1997)

S.B.Giddings, Toy models of black hole evaporation. Univ. of California Report UCSBTH-92-36 (1992)

A.Strominger, Quantum aspects of black holes, Enrico Fermi Inst. Report EFI-92-41, (1993)

J.Gegenberg, G.Kunstatter, Phys. Lett, B 223, 331, (1989)

C.Kalian, S.Giddings, J.Harvey, A.Strominger, Phys.Rev. , D 45,1005, (1992)

A.Barvinsky, G.Kunstatter, Exact physical black hole states in generic 2D dilaton gravity, Phys. Lett, B 389, 231, (1996), hep-th/9606134

G.Kunstatter, R.Petryk, S.Shelemy, Hamiltonian thermodynamics of black holes in generic 2D dilaton gravity, Phys. Rev., D 57, 3537,

(1998)

S.B.Giddings, Quantum mechanics of black holes, Lectures at the 1994 Trieste Summer School in High Energy Physics and Cosmology, hep-th/9412138

A.Strominger, Les Houches lectures on black holes, Lectures at the 1994 Les Houches Summer school "Fluctuating Geometries in Statistical Mechanics and Field Theory", hep-th/9501071

J.Louko, J.Makela, Area spectrum of the Schwarzchild black hole, Phys. Rev., D 54, 4982, (1996)

J.Louko, S.N.Winters-Hilt, Hamiltonian thermodynamics of the Reissner - Nordstrem - anti - deSitter black hole, Phys. Rev., D 54, 2647,(1996)

[52] J.Makela, P.Repo, A quantum mechanical model of the Reissner-Nordstrom black hole, Phys. Rev., D 57, 4899, (1998)

[53] См., например, Proc. Osgood Meeting on Conceptual Problems of Quantum Gravity, Birkhauser, Boston, (1988)

[54] C.Rovelli, What is observable in classical and quantum gravity?, Class. Q. Grav., 8, 297, (1991)

[55] W.Israel, Nuovo Cimento, В 44, 1, (1966)

[56] V. de la Cruz, J.E.Chase, W.Israel, Phys. Rev. Lett., 24, 423, (1970)

[57] C.J.Farrugia, P.Hajcek, Comm. Math. Phys., 68, 291, (1979)

[58] P.Hajicek, B.S.Kay, K.Kuchar, Phys. Rev., D 46, 5439, (1992)

[59] E. Far hi, A.H.Guth, J.Guven, Nucl. Phys., В 339, 417, (1990)

[60] A.Arisoldi, A.Aurilia, R.Balbinot, E.Spalluci, Class. Quantum Grav., 14, 2727, (1997)

[61] V.A.Berezin, V.A.Kuzmin, I.I.Tkachev, Phys. Rev., Ц 36, 2919, (1987)

[62] E.A.Martinez, J.W.Jork, Phys. Rev., D 40, 2124, (1989)

[63] P.Kraus, F.Wilcek, Nucl. Phys., В 433, 403, (1995)

[64] V.A.Berezin, Quantum black hole model and Hawking radiation, Phys. Rev., D 55, 2139, (1997)

[65] C.Barabes, P.A.Hogan, Light-like signals in General Relativity and cosmology, Phys. Rev.,В 58, 044013, (1998)

[66] V.A.Berezin, On a quantum mechanical model of a black hole, Phys. Lett., В 241, 194, (1990) -

[67] P.Hajicek, J.Bicak, Gauge-invariant Hamiltonian formalism for spherically symmetric gravitating shells, Phys. Rev., D 56, 4706, (1997)

[68] J.L.Friedman, J.Louko, S.N.Winters-Hilt, Reduced phase space formalulation for spherically symmetric geometry with a massive dust shell, Prys. Rev., D 56, 7674, (1997)

[69] V.A.Berezin, A.M.Boyarsky, A.Yu.Neronov, Quantum geometrodynamics for black holes and wormholes, Phys. Rev., D 57, 1118,(1998)

[70] P.Hajicek, Spherically symmetric gravitating shell as a reparametrization invariant system, Phys. Rev., D 57, 936, (1997)

[71] G. 't Ho oft Transplankian particles and quantization of time Preprint THU-98/22, gr-qc/9805079, (1998)

[72] M.A.Markov, Can gravitational field proove essential for elementary particles, Progr. Theor. Phys., 85, extra number, (1965)

[73] М.А.марков, Элементарные частицы максимально больших масс (кварки, максимоны), ЖЭТФ, 51, 878, (1966)

[74] R.Ruffini, J.A.Wheeler, Physics Today, 24, 30, (1971)

[75] P.Mazur, Gen. Rel. Grav., 19, 1173, (1987)

[76] В.Ф.Муханов, Письма в ЖЭТФ, 44, 50, (1986)

[77] J.D.Bekenstein, V.Mukhanov, Spectroscopy of quantum black holes, Phys. Lett., В 360, 7, (1995)

[78] J.D.Bekenstein, Black holes and entropy, Phys. Rev., D 7, 2333, (1973)

[79] см., например, M.Born, Atomic Physics, Blackie, London, (1969)

[80] J.D.Bekenstein, Lett. Nouvo Cimmento, 11, 467, (1974)

[81] Ya.I.Kogan, JETP Lett., 44, 267, (1986)

[82] M.Maggiore, Black holes as quantum membranes, Nucl. Phys., В 429, 205, (1994)

[83

[84

[85 [86

[87

[88

[89 [90

[91

[92 [93 [94 [95

C.O.Lousto, The emergence of an effective two-dimansional quantum description from the study of critical phenomena in black holes, Phys. Rev., D 51, 1733, (1995)

M.Schiffer, Black hole spectroscopy, Sao Paolo preprint, IFT/P-38/89, (1989)

Y.Peleg, Phys. Lett., В 356, 462, (1995)

C.Rovelli Outline of a generally covariant quantum field theory and a quantum theory of gravity, J. Math. Phys., 36, 6529, (1995)

C.Roveli, Strings, Loops and Others: a critical survey of the present approache to quantum qravity, Proc. of Internationa Conference "General Relativity 15", Pune, India, (1997)

V.A.Berezin, A.M.Boyarsky, A.Yu.Neronov, Towards the mass spectrum of black holes, Proceedings of II International Symposium "Quantum Field Theory and Quantum Gravity", Tomsk, (1997)

А.С.Шварц, Квантовая теория поля и топология, Мир, (1988)

А.Ю.Неронов, Квазиклассические решения уравнения Клейна-Гордона в пространстве-времени с замкнутыми времениподобными кривыми, ЖЭТФ,.113, 3, (1998)

A.Yu.Neronov, Quasiclassical mass spectrum for quantum black hole model with selfgravitating dust shell, Phys. Rev., D58, November 15, (1998)

B.Бирелл, М.Дэвис, Квантовая теория поля в искривленном пространстве-времени, Мир, (1985)

V.A.Berezin, A.M.Boyarsky, A.Yu.Neronov, Black hole mass spectrum vs. spectrum of Hawking radiation, gr-qc/9808027 (1998)

S.N.M.Ruijsenaars, H.Schneider, A New Class of Integrable Systems and Its Relation to Solitons, Ann. Phys., 170, 370, (1986)

A.A.Logunov, A.N.Tavkhelidze, Quasioptical approach in Quantum Field Theory, Nouvo Cimento, 29, 380 (1963)

[96] В.Г.Кадышевский, P.M.Мир-Касимов, Н.Б.Скачков, Трехмерная формулировка релятивистской проблемы двух тел, ЭЧАЯ, 2, вып. 3, 636, (1972)

[97] J.A.Wheeler, in Relativity, Groups and, Topology, editted by B.S.deWitt, Gordon and Breach, New-York, (1964)

[98] T.Regge, C.Teitelbom, Ann. Phys., 174, 463, (1987)

[99] J.Louko, B.F.Whiting, J.L.Friedman, Hamiltonian spacetime ynamics with a spherically-symmetric null-dust shell, Phys. Rev., D 57, 2297, (1998)

[100] В.Вазов, Ассимптотические разложения обыкновенных дифференциальных уравнений, Наука, (1977) v

[101] М.В.Федорюк, Асимптотический методы для обыкновенных дифференциальных уравнений, Наука, (1983)

[102] Дж.Хединг, Введение в метод фазовых интегралов, Мир, (1968)

[103] Болтянский, Сидоров, Шабунин, Теория функций комплексного переменного, Наука, (1989)

[104] G. 't Hooft, Scattering matrix approach for the quantum black hole, Int. J. Mod. Phys., A 11, 4623, (1996) :

[105] C.R.Stephens, G. 't Hooft, B.F.Whiting, Black Hole evaporation without information loss, Class. Q. Grav., 11, 621, (1994)

[106] Y.Kein, E.Verlinde, H.Verlinde, Black hole horizons and complimentarity, Phys. Rev., D 52, 7053, (1995)