Динамика тонких оболочек и газа в гравитационном поле черной дыры тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат физико-математических наук Чернов, Сергей Владимирович

• Чернов, Сергей Владимирович
• кандидат физико-математических наук
• 2010

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Чернов, Сергей Владимирович

1. Введение.

2. Тонкая оболочка в общей теории относительности.

3. Квантование тонкой оболочки.

4. Идеальная жидкость и скалярные поля около черных дыр

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Динамика тонких оболочек и газа в гравитационном поле черной дыры»

А. Эйнштейн создал общую теорию относительности (ОТО) в 1915-1916 годах прошлого века. Эта теория описывает эффекты тяготения геометрическим образом за счет искривления пространства - времени. В настоящее время эта теория является общепризнанной. Как известно, теория считается "хорошей", если она подтверждается наблюдениями и делает новые предсказания, которые могут быть проверены в ближайшем будущем. ОТО подтверждается многими экспериментами, такими как: смещение перигелия Меркурия, отклонение света в поле тяготения Солнца, гравитационное замедление времени, гравитационное запаздывание света, задержка сигнала в гравитационном поле [1]. Также, решение уравнения Эйнштейна, найденное советским математиком, геофизиком A.A. Фридманом, является основной стандартной космологической моделью расширяющейся Вселенной. На основании ОТО сделаны предсказания принципиально новых явлений, в существовании которых на сегодняшний момент многие ученые не сомневаются, например, такие предсказания, как гравитационное излучение и самые загадочные объекты во Вселенной — черные дыры. Черные дыры — объекты со столь сильным гравитационным полем, что даже свет не может вырваться из них [2-4]. Эти объекты завораживают умы ученых уже не одно десятилетие потому, что они изменяют не только геометрию вокруг себя, но и топологию пространства - времени.

Тем не менее, эта теория также имеет ряд проблем, связанных с квантованием ОТО и сингулярностью. На сегодняшний день еще не создано самосогласованной, последовательной квантовой теории гравитации, поэтому приходится строить полу качественные, квантовоподобные модели, которые описывали бы известные квантовые явления (такие как спектр масс черных дыр [5, 6], излучение Хокинга [7, 8]) и предсказывали бы новые эффекты. Поэтому большое значение уделяется построению простых, точно решаемых моделей, которые могли бы описать вышесказанные квантовые эффекты.

Как было сказано выше, черная дыра является уникальным объектом во Вселенной. Физические проявления этих объектов охватывает многие разделы физики, будь то квантовая механика, астрофизика, космология и даже термодинамика [2-4, 9]. Поэтому исследование таких объектов, а также физических свойств веществ в гравитационном поле черной дыры может пролить свет на объяснение многих физических явлений. Бесспорно, изучение модельных задач в гравитационном поле черной дыры имеет важное значение в фундаментальной науке.

Диссертация посвящена изучению двух важных аспектов физики черных дыр: тонким оболочкам и задачам аккреции идеального газа на черные дыры.

4 Среди точно решаемых задач в ОТО важное место занимает модель тонких гравитирующих оболочек, впервые предложенная В. Израэлем [10] и затем разработанная в деталях в работах [11-19]. Этот формализм может быть применен во многих разделах физики, таких как космология, астрофизика, теория поля. В частности, при анализе фазовых переходов в ранней вселенной [20-30] модель тонких оболочек является очень удобным формализмом, позволяющим достаточно подробно проследить динамику как самих фазовых переходов, так и возникновение и эволюцию дочерних вселенных [22-36]. В результате космологического фазового перехода в ранней Вселенной [37] спонтанно возникают пузыри новой фазы в старой [38-40], как показано на рис. 1а, либо при расширении и взаимном пересечении пузырей новой фазы возможно также образование пузырей старой фазы, полностью окруженных новой фазой [42]. В таких пузырьках могут рождаться частицы [43], в результате чего образуются барионные острова [44]. Конечным результатом эволюции вакуумных пузырей может быть образование первичных черных дыр [45] и различных типов кротовых нор [46, 47], содержащих внутри себя дочерние вселенные [22-24, 48-51]. Процесс образования таких пузырей является чисто квантовым [52-57], но из-за быстрого расширения пузырьки нового вакуума переходят на классическую стадию эволюции, поэтому теория тонких оболочек достаточно точно описывает всю динамику таких процессов. Классическая стадия динамической эволюции вакуумных пузырьков в различных мирах рассматривалась с помощью формализма тонких оболочек во многих работах [14, 48-51, 58-65].

Решение этих задач может применяться к новой, бурно развивающейся области космологии множественности вселенных [27]. Такие пузырьки можно рассматривать как замкнутые или полузамкнутые миры [66], которые могут либо вечно расширяться, либо коллапсировать с образованием черных дыр или кротовых нор. В случае образования кротовых нор существует возможность отщепления внутренней "вселенной" от внешней за счет квантового испарения перешейка (мост Эйнштейна - Розена), соединяющего две 11 Вселенные".

Стоит заметить, что фазовые переходы в ранней Вселенной имеют много схожего с аналогичными фазовыми переходами между обычными агрегатными метастабильными состояниями вещества, например, при возникновении и эволюции капли жидкости в переохлажденном паре. Поэтому и здесь теория тонких оболочек может быть использована для анализа поведения границы

раздела фаз [67].

В теории поля модели, аналогичные тонкой оболочке, строились для изучения возможности существования двухслойного вакуума, один из которых метастабильный, и изучались различные механизмы образования пузырьков и вероятности перехода пузырька из метастабильного состояния в другую фазу [38-41, 68-73].

В астрофизике формализм тонких оболочек помогает анализировать релятивистские свойства и эволюцию компактных звездных систем [74, 75]. Если мы рассмотрим покоящееся невращающееся центральное тело, окруженное большим количеством гравитирующих частиц, то движение каждой частицы будет происходить в некотором усредненном стационарном поле. И если разделить совокупность этих частиц на сферически симметричные тонкие слои (оболочки), то динамика таких частиц (оболочек) может быть прослежена достаточно полно и просто с помощью предложенного метода.

С помощью тонкой оболочки можно промоделировать некоторые свойства черных дыр [76]. Если мы рассмотрим достаточно массивную сферически - симметричную оболочку вне которой метрика описывается метрикой черной дыры, то такая система будет моделировать многие свойства черных дыр. В частности, этот метод моделирования помогает описать квантовые свойства черных дыр такие, как спектр масс, волновые функции.

Из приведенных выше примеров следует, исследование теории тонких оболочек в ОТО имеет важное значение для объяснения многих физических явлений.

Другим важным направлением изучения свойств черных дыр является изучение аккреции газа на черную дыру (в частности, на экстремальную).

Этот вопрос имеет важное значение для астрофизики компактных объектов [77]. Это, прежде всего, связано с колоссальным прогрессом в развитии наблюдательной (особенно после открытия рентгеновских источников излучения, которые, как полагают, связаны с черными дырами) и вычислительной техники.

Теоретическая основа для исследования таких задач была положена в работах X. Бонди и Ф. Хойла [78, 79] при исследовании трансзвуковых течений на гравитирующий центр. Затем Мичел обобщил эту задачу на релятивистский случай [80]. С тех пор было развито много различных аналитических методов решения таких задач [81-84], например, уравнение Грэда — Шафранова для идеальных осесимметричных стационарных течений [77], но эта задача оказалась настолько трудной, что даже сама постановка задачи является нетривиальной.

Хотя за последние годы вышло огромное количество научных работ, мы еще очень далеки от полного понимания задачи аккреции газа на черные дыры. Это связано как со сложностью задачи, так и с недостаточными наблюдательными данными. Аналитически задачу аккреции газа на черные дыры можно решить только в сферически симметричном случае и при условии, что черная дыра также обладает сферической симметрией. Только в одном частном случае удалось решить задачу аккреции газа на движущуюся и вращающуюся черную дыру Керра. Поэтому изучение этого решения и поиск новых решений, будь то точные решения или приближенные, представляет не только академический интерес.

В литературе мало внимания уделяется исследованию аккреции газа на экстремальные черные дыры или на черные дыры вблизи экстремального состояния, а также распределению газа вокруг голой сингулярности. Такие задачи также имеют важное значение как в связи с гипотезой космической цензуры [85-87], так и с новой физикой, которая может возникнуть вблизи экстремального состояния. И в первую очередь, новая физика связана с множественностью звуковых поверхностей, которые возникают при аккреции на экстремальные черные дыры. В свою очередь, множественность звуковых поверхностей может быть связана с образованием ударных волн. Такая же ситуация образуется при аккреции вращающегося газа на черную дыру [8894], поэтому при аккреции на экстремальные черные дыры образующиеся ударные волны могут останавливать газ, в результате чего может образоваться атмосфера из газа.

Другой аспект задачи аккреции состоит в нахождении распределения скалярного поля в гравитационном поле черной дыры и голой сингулярности. Как показано в диссертации, при некоторых условиях скалярное поле может быть отождествлено с идеальным газом. Поэтому изучая распределение газа в гравитационном поле черной дыры, мы заодно изучаем и распределение скалярного поля около черной дыры. Такие задачи могут быть важны в теории поля, в частности, для исследования квантовых процессов, связанных с излучением Хокинга [7, 8].

Всем вышеизложенным вопросам в диссертации уделяется большое внимание.

Актуальность темы данного исследования заключается в необходимости:

- построения точно решаемых моделей тонких оболочек в ОТО;

- нахождения возможности образования черных дыр, кротовых нор при фазовых переходах в ранней Вселенной и возможности образования замкнутых и полузамкнутых миров и мультивселенных;

- получения волновых функций тонкой оболочки и спектра масс черных дыр;

- исследования распределения идеальной жидкости с ультражестким уравнением состояния в гравитационном поле вращающейся и электрически заряженной черной дыры (экстремальной) и голой сингулярности;

- нахождения распределения скалярного поля в метрике Керра — Ньюмена;

- исследования распределения идеальной жидкости с произвольным уравнением состояния в гравитационном поле заряженной черной дыры и голой сингулярности.

Целью диссертационной работы является анализ динамики тонкой оболочки в различных пространствах - временах с помощью разработанного метода эффективного потенциала, выяснение возможности образования черных дыр и кротовых нор, содержащих внутри себя дочерние вселенные, а также нахождение решений волнового уравнения и спектра масс тонкой оболочки и исследование распределения идеальной жидкости и скалярного поля вокруг вращающихся и электрически заряженных черных дыр (в частности, экстремальных) и голых сингулярностей.

Научная новизна и практическая ценность результатов.

Был разработан и применен к различным пространствам - временам метод эффективного потенциала, с помощью которого удалось полностью исследовать динамику тонкой оболочки с различными уравнениями состояния в следующих метриках: Шварцшильда — де Ситтера, Фридмана — Шварцшильда, Рейсснера — Нордстрема. В частности, была показана возможность образования черных дыр и кротовых нор с дочерными вселенными внутри. В мире Фридмана — Шварцшильда большое внимание уделяется приближенным решениям. В метрике Рейсснера — Нордстрема благодаря наличию заряда черной дыры существует более обширный класс возможных решений. В частности, возможна ситуация, когда существует отскок и тонкая оболочка будет совершать бесконечные осциллирующие движения из одной вселенной в другую по бесконечному ряду идентичных вселенных. Эта задача была решена полностью аналитически для пылевой оболочки. Было показано, что аналогичные результаты будут справедливы для оболочки с произвольным уравнением состояния.

Сначала была рассмотрена простая модель квантования тонкой оболочки в метрике заряженной черной дыры. Было сделано простое допущение, что гамильтониан системы есть масса черной дыры. Физической сутью этого допущения является то, что масса черной дыры есть полная внутренняя энергия на пространственной бесконечности, которая не меняется со временем. Делая такие простые, вполне физические, допущения можно легко получить волновое уравнение и спектр масс. Волновое уравнение оказалось уравнением разностного типа, которое необходимо дополнить бесконечными граничными условиями. Было сделано предположение, основываясь на диаграммах Картера — Пенроуза для Шварцшильдовской черных дыр, что спектр масс может зависеть от двух квантовых чисел. Это предположение было подтверждено. Отдельно был рассмотрен случай экстремальной черной дыры. Было показано, что в этом случаи спектр масс вырождается, т. е. перестает быть зависящим от квантовых чисел.

Затем, на более строгом уровне, была рассмотрена геометродинамика тонкой пылевой оболочки вокруг заряженной черной дыры. Исходя из действия гравитационного, электромагнитного поля и действия пылевой оболочки было получено волновое уравнение. В этой модели волновое уравнение также оказалось разностным. Был рассмотрен квазиклассический предел. В этом пределе получены волновые функции. Вычислен спектр масс, который зависит более чем от одного квантового числа. Также отдельно рассматривается случай экстремальной черной дыры.

Единственным известным трехмерным точным решением задачи аккреции газа в метрике вращающейся черной дыры Керра является аналитическое решение Петрича, Шапиро, Тыокольского [129]. Это решение описывает стационарную аккрецию на движущуюся черную дыру Керра идеальной жидкости с ультражестким уравнением состояния р = р, где р — давление, р — суммарная плотность энергии. Было найдено обобщение этого решение на случай движущейся черной дыры Керра — Ньюмена и получено точное аналитическое решение. Отдельно был рассмотрен случай экстремальной черной дыры и голой сингулярности. Было показано, что для экстремальной черной дыры приближения пробной жидкости или стационарности нарушаются. В случае голой сингулярности было получено точное аналитическое решение распределения идеальной жидкости (скалярного поля) без потока, которая не распространяется в топологическую область замкнутых времениподобных геодезических. Было показано, что при некоторых условиях распределение скалярного поля не может быть отождествлено с идеальной жидкостью.

Точно решена задача аккреции газа с произвольным уравнением состояния на заряженную черную дыру Рейсснера — Нордстрема. Выписаны аналитические решения. Для случая голой сингулярности показано, что стационарная аккреция газа невозможна. Вместо этого образуется статическая газовая атмосфера. Распределение газа в такой атмосфере найдено аналитически.

Результаты, выносимые на защиту.

1) Разработан и применен метод эффективного потенциала для расчета динамики тонкой оболочки с произвольным уравнением состояния для сферически-симметричных метрик. Рассмотрены три вида различных пространств - времен: Шварцшильда — де Ситтера, Фридмана — Шварцшильда и Рейсснера — Нордстрема.

2) Показано, что в метрике Шварцшильда — де Ситтера и Фридмана — Шварцшильда могут образовываться черные дыры и кротовые норы с дочерними вселенными внутри. Траектории движения вакуумной оболочки вычислены приближенно.

3) Показано, что в метрике Рейсснера — Нордстрема возможны осциллирующие решения с переходом из одной вселенной в другую по бесконечному ряду идентичных вселенных. Траектория движения тонкой пылевой оболочки вычислена аналитически. Показано, что осциллирующие траектории возможны для политропного уравнения состояния с произвольным политроп-ным индексом.

4) Получен спектр масс черных дыр для простой квазиклассической модели тонкой пылевой оболочки. Показано, что он зависит от двух квантовых чисел (для метрики Шварцшильда). Вычислены волновые функции. Показано, что они ортонормированы в смысле суммирования по дискретной переменной. Показано, что в экстремальном случае спектр масс вырождается.

5) Аналитически точно решена задача о распределении идеальной жидкости с ультражестким уравнением состояния в метрике Керра — Ньюмена.

6) Найдено распределение скалярного поля в метрике Керра — Ньюмена. Для случая голой сингулярности было найдено распределение скалярного поля, которое не отождествляется с идеальным газом.

Апробация работы и публикации. Основные полученные результаты были доложены на следующих конференциях: 15-м международном семинаре QUARKS'08 (Россия, Сергиев Посад, 2008), 51-я Научная конференция МФТИ (Россия, Долгопрудный, 2008), 13-я российская конференция — международная конференция по гравитации, космологии и астрофизике RUSGRAV-13 (Россия, Москва, 2008), Всероссийская астрофизическая конференция "Астрофизика высоких энергий сегодня и завтра" (Россия, Москва, 2008), международная научная конференция "Физические интерпретации теории относительности" PIRT-2009 (Россия, Москва, 2009), международная конференция "Frontiers in black hole physics" (Россия, Дубна, 2009), 16-м международном семинаре QUARKS'10 (Россия, Коломна, 2010), международная конференция "Современные проблемы гравитации, космологии и релятивистской астрофизики" (Россия, Москва, 2010).

Основные результаты, полученные в диссертации, опубликованы в следующих работах:

В. И Докучаев, С. В. Чернов, Письма в ЖЭТФ 85, 727 (2007);

S.V. Chernov, V.I. Dokuchaev, Class. Quant. Grav. 25, 015004 (2008);

В. И Докучаев, C.B. Чернов, ЖЭТФ 134, 245 (2008);

Е. Babichev, S. Chernov, V. Dokuchaev, Yu. Eroshenko, Phys. Rev. D, 78, 104027 (2008);

В. И. Докучаев, C.B. Чернов, ЖЭТФ 137, 13 (2010);

В. И. Докучаев, C.B. Чернов, ЖЭТФ 138, 645 (2010);

Структура диссертации.

Диссертационная работа состоит из введения, трех глав и заключения.

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Чернов, Сергей Владимирович

Основные результаты диссертации можно сформулировать следующим образом.

1) Были найдены все возможные сценарии эволюции и построены глобальные геометрии для тонкой вакуумной оболочки в мире Шварцшильда — де Ситтера и Фридмана — Шварцшильда. Были проанализированы случаи эволюции вакуумной оболочки приводящие к образованию черных дыр и кротовых нор.

2) Были проанализировали все возможные типы динамической эволюции тонкой оболочки в геометрии вечно существующей электрически заряженной черной дыры на примере пылевой оболочки. Помимо решений с коллапсом или бесконечным расширением оболочки существует еще и специфическое осциллирующее решение, соответствующее последовательному переходу оболочки из одной вселенной в следующую по бесконечному ряду идентичных вселенных. Было получено точное аналитическое решение. Было показано, что такие осциллирующие решения возможны для политропного уравнения состояния с произвольным политропным индексом.

3) Была рассмотрена простейшая модель квазиклассического квантования тонкой оболочки в метрике Рейсснера — Нордстрема. Было выведено и решено аналитически волновое уравнение. Было показано, что волновые функции ортогональны в смысле суммирования по дискретной переменной. Была сделана гипотеза, которая затем подтвердилась вычислениями, что спектр масс черной дыры Шварцшильда может зависеть более, чем от одного квантового числа.

4) Была рассмотрена геометродинамика тонкой оболочки метрики заряженной черной дыры Рейсснера — Нордстрема. Был выведен гамильтониан тонкой пылевой оболочки из вариационного принципа. Волновое уравнение оказалось уравнением разностного типа. Простейшее аналитическое решение получено. Рассмотрено квазиклассическое приближенное. В этом приближении найдено решение волнового уравнения и спектр масс.

5) Исследована аккреция газа с ультражестким уравнением состояния на движущуюся черную дыру Керра — Ньюмена и найдено соответствующее аналитическое решение. Показано, что в случае экстремальной черной дыры приближение пробной жидкости или стационарности нарушается. В случае голой сингулярности найдено распределение скалярного поля с нулевым потоком, которое не сводится к случаю идеального газа.

6) Исследована аккреция газа с произвольным уравнением состояния на заряженную черную дыру Рейсснера — Нордстрема. Для частных случаев получены аналитические решения. Отдельно рассмотрен случай голой сингулярности. Показано, что в этом случае стационарная аккреция газа невозможна, а образуется статическая газовая атмосфера.

5. Заключение

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Чернов, Сергей Владимирович, 2010 год

1. К. Уилл, 'Теория и экспреримеит в гравитацонной физике', Энергоатомиздат, Москва (1985).

2. И. Д. Новиков, В. П. Фролов, 'Физика черных дыр', Наука, Москва (1986).

3. Ч. Мизнер, К. Торн, Дж. Уилер, 'Гравитация', Айнштайн, Москва (1996).

4. Д. В, Гальцов, 'Частицы и поля в окрестности черных дыр', МГУ, Москва (1986).

5. В. Ф. Муханов, Письма в ЖЭТФ 44, 50 (1986).

6. J.D. Bekenstein, V. F. Mukhanov, Phys. Lett. В 360, 7 (1995).

7. S.W. Hawking, Nature 248, 30 (1974).

8. S.W. Hawking, Comm. Math. Phys. 43, 199 (1975).

9. J.D. Bekenstein, Phys. Rev. D 9, 3293 (1974).

10. W. Israel, Nuovo Cimento В 44, 1 (1966); В 48, 463 (1967).

11. W. Israel, Phys. Rev. 153, 1388 (1967).

12. V. De La Cruz, W. Israel, Phys. Rev. 170, 1187 (1968).

13. К. Kuchar, Czech. J. Phys. В 18, 435 (1968).

14. V. A. Berezin, V.A. Kuzmin, I.I.Tkachev, Phys. Rev. D 36, 2919 (1987).

15. К. Maeda, Gen. Rel. Grav. 18, 931 (1986).

16. C. Barrabes, W. Israel, Phys. Rev. D 43, 1129 (1991).

17. A. B. Evans, Gen. Rel. Grav. 8, 155 (1977).

18. J. Ipser, P. Sikivie, Phys. Rev. D 30, 712 (1984).

19. A. Aurilia, G. Denardo, F. Legovivni, E. Spallucci, Nucl. Phys. В 252, 523 (1985).

20. Д. А. Киржниц, Письма в ЖЭТФ 15, 745 (1972).

21. D.A. Kirzhnits, A.D. Linde, Phys. Lett. В 42, 471 (1972).

22. К. Sato, M. Sasaki, H. Kodama, K. Maeda, Prog. Theor. Phys. 65, 1443 (1981).

23. H. Kodama, M. Sasaki, K. Sato, K. Maeda, Prog. Theor. Phys. 66, 2052 (1981).

24. K. Sato, Prog. Theor. Phys. 66, 2287 (1981).

25. M. Sasaki, H. Kodama, K. Sato, Prog. Theor. Phys. 68, 1561 (1982).

26. H. Kodama, M. Sasaki, K.Sato, Prog. Theor. Phys. 68, 1979 (1982).

27. K. Sato, M. Sasaki, H. Kodama, K. Maeda, Phys. Lett. В 108, 103 (1982).

28. К. Maeda, M. Sasaki, K. Sato, Prog. Theor. Phys. 69, 89 (1983).

29. K. Maeda, H. Sato, Prog. Theor. Phys. 70, 772 (1983).

30. Y. Suto, K. Sato, H. Sato, Prog. Theor. Phys. 71, 938 (1984).

31. H. Kodama, Prog. Theor. Phys. 63, 1217 (1980).

32. H. Kodama, M. Sasaki, Prog. Theor. Phys. 68, 1398 (1982).

33. V. A. Berezin, V. A. Kuzmin, I.I. Tkachev, Phys. Lett. В 120, 91 (1983).

34. V. A. Berezin, V. A. Kuzmin, I.I.Tkachev, Phys. Lett. В 124, 479 (1983).

35. V. A. Berezin, V. A. Kuzmin, I.I.Tkachev, Phys. Lett. В 130, 23 (1983).

36. В. А. Березин, В. А. Кузмин, И. И. Ткачев, Письма в ЖЭТФ 41, 446 (1985).

37. Д. С. Горбунов, В. А Рубаков, 'Введение в теорию ранней Вселенной', УРСС, Москва (2008).

38. S. Coleman, Phys. Rev. D 15, 2929 (1977).

39. S. Coleman, F. Luccia, Phys. Rev. D 21, 3305 (1980).

40. M. Б. Волошин, И. Ю. Кобзарев, JI. Б. Окунь, Ядерная физика 20, 1229 (1974).

41. В. А. Рубаков, 'Классические калибровочные поля', УРСС, Москва (1999).

42. Wu Zhong Chao, Phys. Rev. D 28, 1898 (1983).

43. В. А. Рубаков, Письма в ЖЭТФ 39, 89 (1984).

44. А. Д. Долгов, А. Ф. Илларионов, Н. С Кардашев, И. Д. Новиков, ЖЭТФ 94, 1 (1988).

45. B.J. Сагг, S.W. Hawking, Mon. Not. Roy. Astron. Soc. 168, 399 (1974).

46. H. Maeda, T. Harada, B. Carr, Phys. Rev. D 77, 024023 (2009).

47. N. S. Kardashev, I.D. Novikov, A.A. Shatskiy, Int. J. Mod. Phys. D 16, 909 (2007).

48. В. И Докучаев, C.B. Чернов, Письма в ЖЭТФ 85, 727 (2007).

49. S.V. Chernov, V.l. Dokuchaev, Class. Quant. Grav. 25, 015004 (2008).

50. В.И Докучаев, C.B. Чернов, ЖЭТФ 134, 245 (2008).

51. В. И. Докучаев, С. В. Чернов, ЖЭТФ 137, 13 (2010).

52. S. Ansoldi, A. Aurilia, R. Balbinot, Е. Spallucci, Class. Quant. Grav. 14, 2727 (1997).

53. V. A. Berezin, V. A. Kuzmin, LI. Tkachev, Phys. Lett. В 207, 397 (1988).

54. V. A. Berezin, N. G. Kozimirov, V.A. Kuzmin, I.I. Tkachev, Phys. Lett. В 212, 415 (1988).

55. V.A. Berezin, Phys. Lett. В 241, 194 (1990).

56. В. И. Докучаев, C.B. Чернов, ЖЭТФ 138, 645 (2010).

57. V.A. Berezin, V.A. Kuzmin, I.I. Tkachev, Phys. Rev. D 43, 3112 (1991).

58. V. Berezin, V. Dokuchaev, Yu. Eroshenko, A. Smirnov, Class. Quant. Grav. 22, 4443 (2005).

59. S.K. Blau, E.I. Guendelman, A.H. Guth, Phys. Rev. D 35, 1747 (1987).

60. W. Lee, B.-H. Lee, S. Nam, C. Park, Phys. Rev. D 75, 103506 (2007).

61. J. Kijowski, G. Magli, D. Malafarina, Gen. Rel. Grav. 38, 1697 (2006).

62. S.M.C.V. Goncalves, Phys. Rev. D 66, 084021 (2002).

63. M. Ishaek, K. Lake, Phys. Rev. D 65, 044011 (2002).

64. A. Aguirre, M. C. Johnson, Phys. Rev. D 72, 103525 (2005).

65. A. Aurilia, M. Palmer, E. Spallucci, Phys. Rev. D 40, 2511 (1989).

66. V.P. Frolov, M. A. Markov, V. F. Mukhanov, Phys. Rev. D 41, 383 (1990).

67. В. А. Березин, В. А. Кузмин, И. И. Ткачев, ЖЭТФ 86, 785 (1984).

68. Я. Б. Зельдович, И.Ю. Кобзарев, Л. Б. Окунь, ЖЭТФ 67, 3 (1974).

69. G. Callan, S. Coleman, Phys. Rev. D 16, 1762 (1977).

70. L.F. Abbott, S. Coleman, Nucl. Phys. В 259, 170 (1985).

71. W. Lee, B.-H. Lee, С. H. Lee, C. Park, Phys. Rev. D 74, 123520 (2006).

72. W. Lee, B.-H. Lee, C.H. Lee, S. Nam, C. Park, Phys. Rev. D 77, 063502 (2008).

73. A. Aguirre, M. Johnson, Phys. Rev. D 73, 123529 (2006).

74. M. В. Барков, В. А. Белинский, Г. С. Бисноватый-Коган, ЖЭТФ 122, 435 (2002).

75. V. Berezin, М. Okhrimenko, Class. Quant. Grav. 18, 2195 (2001).

76. V.A. Berezin, A.M. Boyarsky, A.Yu. Neronov, Phys. Lett. В 455, 109 (1999).

77. В. С. Бескин, 'Осесимметричные стационарные течения в астрофизике', Физматлит, Москва (2005).

78. H. Bondi, F. Hoyle, MNRAS 104, 273 (1944).

79. H. Bondi, MNRAS 112, 195 (1952).

80. F. С. Michel, Astrophys. Space Sci. 15, 153 (1972).

81. K. S. Thorne,R. A. Flammang, A. N. Zytkow, Mon. Not. Roy. Astron. Soc. 194, 475 (1981).

82. M. C. Begelman, Astron. Astrophys. 70, 583 (1978).

83. D. Ray, Astron. Astrophys. 82, 368 (1980).

84. K. M. Chang, Astron. Astrophys. 142, 212 (1985).

85. R. Penrose, Riv. Nuovo Cim. 1, 252 (1969).

86. S.W. Hawking, R. Penrose, Proc. Roy. Soc. A 314, 529 (1970).

87. С. Хокинг, Дж. Эллис, 'Крупномасштабная структура пространства-времени', Мир, Москва (1977).

88. M. A. Abramowicz, W.H. Zurek, Astrophys. J. 246, 314 (1981).

89. J. F. Lu Astron. Astrophys. 148, 176 (1985).

90. S. К. Chakrabarti, Astrophys. J. 347, 365 (1989).

91. Б. К. ОткгаЬаг^, Л. Ав^ор!^. Astron. 10, 261 (1989).

92. Э.К. СЬакгаЬаг^, Ав^орЬуз. 3. 337, Ь89 (1989).93. 8. К. СЬакгаЬаНл, МШАБ 240, 7 (1989).

93. Б. К. СЬакгаЬаНа, Аз^орЬув. 3. 471, 237 (1996).

94. И. Д. Новиков, Сообщения ГАИШ 132, 43 (1964).

95. В. А. Березин, В. А. Кузмин, И. И. Ткачев, ЖЭТФ 93, 1159 (1987).

96. Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц, 'Теория поля', Наука, Москва (1988).

97. Л.Д Ландай, Е. М., Лифшиц, 'Гидродинамика', Наука, Москва (1988).

98. КТ. Тоорег, Ав^орЬув. 3. 142, 1541 (1965).100 101 102103104105106 107

99. Я. Б. Зельдович, ЖЭТФ 41, 1609 (1961).

100. G.W. Gibbons, S.W. Hawking, Phys. Rev. D 15, 2738 (1977).

101. M. Ishak, K. Lake, Phys. Rev. D 65, 044011 (2002).

102. Я.Б. Зельдович, ЖЭТФ 43, 1037 (1962).

103. И. Д. Новиков, Письма в ЖЭТФ 3, 223 (1966).

104. И. Д. Новиков, Вестник МГУ 5, 90 (1962).

105. И. Д. Новиков, Астрон. Ж. 43, 731 (1966).

106. Guendelman, I. Shilon, Class. Quant. Grav. 26, 045007 (2009).

107. С. Чандрасекар, 'Математическая теория черных дыр', Мир, Москва (1986).109110 111 112113114115116117118119120 121 122

108. V. A. Berezin, Int. J. Mod. Phys. A 17, 979 (2002). P. Hajicek, Comm. Math. Phys. 150, 545 (1992). В. А. Березии, ЭЧАЯ 34, 48 (2003).

109. A. Aurilia, G. Denardo, F. Legovivni, E. Spallucci, Phys. Lett. В 147, 258 (1984).

110. А. Ф. Никифоров, С. К. Суслов, В. Б. Уваров, 'Классические ортогональные полиномы дискретной переменной', Наука, Москва (1985).

111. V. A. Berezin, Phys. Rev. D 55, 2139 (1997).

112. V.A. Berezin, A.M. Boyarsky, A.Yu. Neronov, Phys. Rev. D 57, 1118 (1998).

113. A. Barvinsky, S. Das, G. Kunstatter. Found. Phys. 32, 1851 (2002). S. Das, A. Dasgupta, P. Ramadevi, Mod. Phys. Lett. A 12, 3067 (1997). S. Das, P. Majumdar, R. K. Bhaduri, Class. Quant. Grav. 19, 2355 (2002).

114. A.J.M. Medved, hep-th/0112056.

115. B.S. DeWitt, Phys. Rev. 160, 1113 (1967).

116. T. Regge, C. Teitelboim, Annals of Phys. 88, 286 (1974). K.V. Kuchar, Phys. Rev. D 50, 3961 (1994).

117. J. Mäkelä, P. Repo, M. Luomajoki, J. Piilonen, Phys. Rev. D 64, 024018 (2001).

118. C. Vaz, L. Witten, Phys. Rev. D 63, 024008 (2000).1251 E. Babichev, S. Chernov, V. Dokuehaev, Yu. Eroshenko, Phys. Rev. D 78, 104027 (2008).126127128129130131132133134135136

119. E. Babichev, S. Chernov, V. Dokuehaev, Yu. Eroshenko, arXiv:gr-qc/0806.0916.

120. V. Moncrief, Astrophys. J. 235, 1038 (1980).

121. V. Karas, R. Mucha, Am. J. Phys. 61, 825 (1993).

122. Petrich, S. Shapiro, S. Teukolsky, Phys. Rev. Lett. 60, 1781 (1988).

123. S.L. Shapiro, Phys. Rev. D 39, 2839 (1989).

124. Petrich, S. Shapiro, R. Stark, S. Teukolsky, Astrophys. J. 336, 313 (1989).

125. A. M. Abrahams and S.L. Shapiro, Phys. Rev. D 41, 327 (1990). V. N. Lukash, arXix:astro-ph/9910009.

126. B.C. BecKHH, B.H. riapbeB, Y<DH 163, 95 (1993). B.C. BecKHH, y$H 167, 689 (1997).

127. V. Beskin, Les Houches Lect. Notes, 78, 85 (2004); arXiv:astro-ph/0212377. S.V. Bogovalov, Astron. Astrophys. 323 634 (1997).

128. M. Abramowitz and LA. Sregun, 'Handbook of mathematical functions', National Bureau of Standards, Applied mathematics, Washington, (1964).

129. В.Ф. Зайцев, А. Д. Полянин, 'Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям', Физматлит, Москва (2001).

130. В. Carter, Phys. Rev. 174, 1559 (1968).

131. J. M. Bardeen, Astrophys. J. 162, 711 (1970).

132. J.M. Bardeen, W. H. Press, S.A. Teukolsky, Astrophys. J. 178 347 (1972).