Численные методы решения обобщенного нестационарного уравнения Шрёдингера в неограниченных областях тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.07, кандидат физико-математических наук Злотник, Илья Александрович

• Злотник, Илья Александрович
• кандидат физико-математических наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Злотник, Илья Александрович

Содержание

Введение

Глава 1. Семейство разностных схем с приближенным ПГУ

для нестационарного уравнения Шрёдингера на полуоси

1.1. Одномерная начально-краевая задача и семейство разностных схем с общим приближенным ПГУ

1.2. Устойчивость семейства разностных схем с общим ПГУ

1.3. Семейство разностных схем па бесконечной сетке на полуоси

1.4. Дискретное ПГУ для семейства разностных схем

Глава 2. Семейство разностных схем с приближенным ПГУ

для нестационарного уравнения Шрёдингера в полуполосе

2.1. Двумерная начально-краевая задача и семейство разностных схем с общим приближенным ПГУ

2.2. Устойчивость семейства разностных схем с общим ПГУ

2.3. Семейство разностных схем на бесконечной сетке в полуполосе

2.4. Дискретное ПГУ для семейства разностных схем и его реализация

2.5. Численные эксперименты

Глава 3. Метод конечных элементов с приближенным ПГУ для

нестационарного одномерного уравнения Шрёдингера

3.1. Начально-краевая задача и симметричный двухслойный модифицированный метод Галёркина с общим приближенным ПГУ

3.2. Симметричный двухслойный метод типа Галеркипа для исходной задачи на полуоси

3.3. Модельный метод конечных элементов для вспомогательного ОДУ на полуоси

3.4. Построение дискретного ПГУ для МКЭ

3.5. Численные эксперименты

Глава 4. Схема типа Кранка-Никольсон с расщеплением по потенциалу и дискретным ПГУ для уравнения Шрёдингера в

/

полуполосе

4.1. Уравнение Шрёдингера в полуиолосе и схема Кранка-Николь-

соп с расщеплением по потенциалу с общим приближенным ПГУ

4.2. Схема Кранка-Никольсон с расщеплением по потенциалу на бесконечной по пространству сетке и дискретное ПГУ

4.3. Численные эксперименты

Заключение

Литература

Приложение А. Поведение ядер одномерных дискретных ПГУ

Приложение Б. Свободное распространение гауссовой волны

Приложение В. Прохождение одномерного волнового пакета через прямоугольный барьер

Приложение Г. Прохождение одномерного волнового пакета через двойной потенциальный барьер

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Численные методы решения обобщенного нестационарного уравнения Шрёдингера в неограниченных областях»

Введение

Линейное нестационарное уравнение Шрёдингера и его обобщения играют важнейшую роль во многих областях физики: квантовой механике, ядерной, атомной и молекулярной физике, волновой физике и акустике, микроэлектронике, нанотехнологиях и других, см. [1, 2, 17, 19, 20, 77]. В задачах ядерной физики возникает обобщенное нестационарное двумерное уравнение Шрёдингера с переменными коэффициентами в полуполосе, см. [38, 58]. Уравнение Шрёдингера часто необходимо решать в неограниченных по пространству областях.

Подобные задачи привлекают большое внимание как в России, так и за рубежом. В этой и смежных областях в России работали: B.C. Рябенький, И.Л. Софронов, H.A. Зайцев, В.А. Гордин, В.А. Баскаков, A.B. Попов, Р.З. Даутов, Е.М. Карчевский, В.А. Трофимов, М.Ю. Трофимов, A.A. Злот-ник, см. в частности [3, 16, 23, 25, 26, 36, 45]. Ряд аспектов численного решения уравнения Шрёдингера отражен в недавних работах C.B. Полякова и А^.В. Разгул и на, см. [21, 22]. За рубежом тематикой, связанной с решением уравнения Шрёдингера в неограниченных областях, занимались: А. Arnold, M. Ehrhardt, A. Schädle, F. Schmidt, M. Schulte (Германия), X. Antoine, С. Besse, L. Di Menza, B. Ducomet, J. Szeftel (Франция). L. Greengard, B. Mayfield, C.A. Mover (США), T. Fevens, D. Yevick (Канада), J. Jin, H. Han, X. Wu (Китай), см., в частности [31, 32, 46, 47, 54, 57, 63, 70, 75, 79, 83, 84], и многие другие.

Эффективное решение указанных задач требует применения специальных численных методов, обычно связанных с постановкой на искусственных границах точных или приближенных неотражающих/прозрачных граничных условий (ПГУ). Известны также абсорбирующие граничные условия (ABC) [29, 66, 76], идеально соответствующие слои (PML) [37, 42-44], комплексные абсорбирующие потенциалы (САР) [67, 73, 78] и др. Следует отметить, что существующие методы отнюдь не равноценны. Для некоторых из них в расчетах присутствуют заметные отражения от искусственных границ, вопросы лучшего выбора параметров и/или устойчивости методов не решены удовлетворительным образом, а иногда возникают проблемы с вычислительно устойчивой реализацией приближенных ПГУ, см. недавние обзоры [30, 41, 59]. Лучшие

из подходов так или иначе используют аналитические интегро-дифференци-альные ПГУ.

Среди всех существующих выделяется подход, связанный с так называемыми дискретными ПГУ (ДПГУ), представляющими собой выводимые на дискретном уровне аналоги аналитических ПГУ, но не какую-либо их непосредственную аппроксимацию. Применение ДПГУ позволяет в точном математическом смысле сузить на конечную сетку решения схем на бесконечных по пространству сетках, которые непосредственно неприменимы на практике из-за бесконечности числа неизвестных на каждом слое по времени. Оно характеризуется полным отсутствием отражений от искусственных границ и устойчивостью вычислений. Четкая математическая основа ДПГУ позволяет построить строгую теорию устойчивости и обеспечить выполнение законов сохранения для использующих их методов (последнему придается особое значение в физической литературе). ДПГУ представляют собой нелокальные по времени (в двумерном случае - и по пространству) уравнения вдоль искусственных границ. Их реализация не сложнее, чем реализация дискретного третьего краевого условия, с точностью до вычисления дискретных сверток по времени в одномерном случае и дополнительно применения одномерного дискретного преобразования Фурье в двумерном случае. Для наиболее стандартной разностной схемы для одно- и двумерного уравнения Шрёдин-

грпя nnrv тзгтртлтэктр пячпя^птя пи А Ärnolrl ДА Т-ГЪ гЪ я rrl f ТА TT Г^АгЬг^пигпз тэ

1 <_Aj ^_Л. Л. Л. t/ 1JJ.1 1J 1 J А \_ЛЛ_I -А. L4U X Л. i А Д. • А LI IJ. V_/ А ^ » X . ' ' 1Л1 А А 1ДУ1 V4 V • 1 1 .1/ Л • V^ ^ A A ' ^

1998-2003 |33, 34. 52]. Дополнительный вклад в их теоретический анализ был выполнен В. Ducomet и A.A. Злотником [4, 48, 49]. Отметим, что на самом деле ранее подобный подход был предложен в довольно общем виде В.А. Гординым [3], с приложениями к другим уравнениям. Применение ДПГУ для систем уравнений, более сложных областей и родственных уравнений можно найти в работах [35, 51, 53, 71, 80].

Настоящая диссертация связана с развитием и дальнейшим применением последнего подхода. В ней рассматриваются начально-краевые задачи для обобщенного нестационарного уравнения Шрёдингера с переменными коэффициентами на полупрямой и в полуполосе. (Отметим, что чаще фигурирующие в литературе случаи всей прямой или полосы отличаются несущественно, но формально требуют более длинного анализа). Для их численного решения строятся и изучаются следующие методы:

• семейство разностных схем с усреднением по пространству для одномерного уравнения Шрёдингера на полупрямой;

• семейство разностных схем с усреднением по пространству для двумерного уравнения Шрёдингера в полуполосе;

• метод конечных элементов (МКЭ) произвольного порядка для одномерного уравнения Шрёдингера на полупрямой;

• разностная схема с расщеплением по потенциалу для двумерного уравнения Шрёдингера в полуполосе.

Строгое построение и анализ методов с дискретными ПГУ представляет собой непростую математическую задачу. Чтобы не решать ее каждый раз заново для различных, но в чем-то родственных схем, в работе строятся новые семейства двухслойных симметричных разностных схем с трехточечным усреднением по каждой из пространственных переменных. Они охватывают богатый набор довольно разных по способу построения схем: стандартную схему без усреднений, изученную в [4, 34, 48, 49, 52]; метод линейных/билинейных конечных элементов (с различными способами численного интегрирования), в одномерном случае рассмотренный в [31, 80] с некоторыми приближенными ПГУ1; четырех/восьми-точечную векторную мультисимплектическую ч схему, в одномерном варианте представленную в [60] с некоторым прибли-

женным ПГУ, см. также [61, 62, 65]; кроме того, схему, в случае постоянных коэффициентов связанную со схемой повышенного порядка точности типа Нумерова, рассмотренную с ДПГУ в одномерном случае в [72] и в двумерном - в [81]. Как представители одного семейства, все перечисленные схемы анализируются единым образом и для них доказываются новые результаты об устойчивости при общих приближенных ПГУ; а также строго выводятся и анализируются дискретные ПГУ, в том числе являющиеся новыми.

Отметим, что аппроксимация по времени как в семействах схем, так и в МКЭ - консервативная двухслойная симметричная (т.е. типа Кранка-Николь-сон), весьма популярная для уравнения Шрёдингера, т.е. различия касаются именно аппроксимации по пространственным переменным. Дальнейшее введение расщепления по потенциалу в двумерном случае позволяет построить

1 приближенными ПГУ будем называть разнообразные аппроксимации аналитических или дискретных ПГУ, включая и сами дискретные ПГУ

эффективный прямой метод реализации схемы (с использованием быстрого дискретного преобразования Фурье (ДПФ)) для общего потенциала, не нарушая свойств консервативности схемы.

В диссертации исследование перечисленных методов в основном проводится по следующему единому плану:

• выводятся теоремы о равномерной по времени устойчивости методов в ¿2 ив энергетической норме по начальным данным и правой части при общем приближенном ПГУ типа Dirichlet-to-Neumann тар (на конечной сетке);

• изучаются варианты методов на бесконечной сетке по пространству, доказываются аналогичные теоремы о равномерной устойчивости и выводятся законы сохранения;

• на основе результатов, доказанных для бесконечной сетки, с помощью аналитического решения вспомогательных сеточных задач строго выводятся дискретные ПГУ, а также обосновывается равномерная устойчивость методов с дискретными ПГУ;

• методы программно реализуются, проводятся серии численных экспериментов, которые позволяют дополнить теоретические результаты рядом важных практических выводов.

При этом развивается подход к анализу устойчивости схем с общими ПГУ и построению дискретных ПГУ, предложенный в [4, 48, 49]. Отметим, что в предшествующих работах по ДПГУ анализу устойчивости уделялось недостаточное внимание (в частности, не исследовалась устойчивость по правой части, которая - как оказалось - на самом деле имеет ключевое значение при анализе методов именно с ДПГУ), а сама техника требовала совершенствования. Выражающие устойчивость оценки доказывались только в сеточной норме L2. Вывод ДПГУ выполнялся формально, т.е. без строгого анализа сходимости возникающих рядов и аналитичности возникающих функций или их ветвей. Кроме того, в оригинальных работах сам вывод ДПГУ был довольно громоздким и двухэтапным, причем на первом этапе (в диссертации он отсутствует) возникала неустойчивая форма записи, которая затем корректировалась. При выводе ранее использовалось Z-преобразование, основанное

на рядах Лорана: в диссертации же применяется более простой метод производящих функций, основанный на разложении аналитических функций в ряды Тейлора. Сама форма записи ДПГУ в форме дискретного БтсЫеМо-Меитапп тар в диссертации является несколько иной и более адекватной (соответствующей конкретной схеме).

Перейдем к подробному описанию содержания диссертации. Ее текст написан таким образом, что отдельные главы могут в основном читаться независимо друг от друга. Глава 1 организована следующим образом. В разделе 1.1 формулируется начально-краевая задача для уравнения Шрёдингера на полуоси с переменными коэффициентами, выходящими на константу при больших х. Строится семейство разностных схем с усреднением по пространственным переменным. Предлагается такой новый естественный способ записи общих приближенных ПГУ, который в дальнейшем позволяет достаточно просто анализировать их устойчивость, а для дискретного ПГУ сразу приводит к вычислительно устойчивой форме записи.

В разделе 1.2 изучается устойчивость семейства разностных схем с общим приближенным ПГУ (что позволяет охватить как дискретные, так и некоторые другие ПГУ). Укажем, что анализ достаточно общих приближенных ПГУ может быть полезен, например, уже при переходе к различным упрощениям ДПГУ типа [34] и иных. Энергетическим методом доказываются две оценки решений, выражающие абсолютную устойчивость решения в сеточной норме ¿2 и в энергетической норме по отношению к начальным данным и свободным членам в уравнении и приближенном ПГУ. Оценки равномерны по времени и не предполагают никаких ограничений на шаги сеток; они даны при естественном ограничении на параметр семейства. (Для сравнения отметим, что добиться равномерности оценок по времени для отличных от ДПГУ подходов затруднительно - в них возникают экспоненциально растущие во времени множители). Для их вывода на оператор приближенного ПГУ накладываются те же условия, что и в [48, 49].

В разделе 1.3 для семейства разностных схем на бесконечной сетке на полуоси выводятся аналогичные установленным в разделе 1.2 оценки решений. Доказывается существование и единственность решений (с помощью теоремы Лакса-Мильграма-Вишика), а также справедливость для них законов сохранения. Поскольку сужения указанных решений на выбранную конечную

часть сетки являются решениями тех же разностных схем на конечной сетке с дискретным ПГУ на искусственной границе, то законы сохранения позволяют прояснить для оператора дискретного ПГУ 5ге( энергетический смысл неравенств, наложенных ранее на оператор приближенного ПГУ. В разделе 1.4 представлен подробный вывод (с помощью метода производящих функций) и анализ двух различных форм записи дискретного ПГУ, имеющих вид дискретной свертки. Приводятся два различных доказательства неравенств, накладываемых на оператор в утверждениях об устойчивости решений. Первое доказательство основано на результатах раздела 1.3 и в действительности выражает тот важный факт, что схема с дискретным ПГУ автоматически сохраняет свойства устойчивости соответствующей схемы на бесконечной сетке на полуоси. Второе доказательство более аналитично и основано на свойствах производящей функции, соответствующей (что может быть полезно при упрощении дискретного ПГУ). Кроме того, установлены свойства, связанные с вычислительно более удобной формой записи и устойчивостью 5гсг. Типичные графики поведения во времени ядер дискретных ПГУ для различных схем семейства приводятся в приложении А.

Численные эксперименты для семейства схем с дискретными ПГУ из главы 1 вынесены в приложения Б, В и Г. Они включают расчеты свободного распространения гауссовой волны и моделирование туннельного эффекта ^ для потенциалов (барьеров) ступенчатой формы, включая известный пример

прохождения волнового пакета через двойной потенциальный барьер из [30]. Все выполненные в работе расчеты относятся к подобным случаям. Как обычно, наглядно видно полное отсутствие отражений от искусственных границ, что весьма существенно, поскольку вещественные и мнимые части типичных решений сами представляют собой сильно осциллирующие функции, и наличие отражений могло бы резко исказить их поведение. Это в полной мере относится и к последующим численным результатам. Результаты расчетов позволяют дополнить теоретический анализ и сравнить между собой различные схемы семейства. В частности, оказывается, что самая популярная схема без усреднений вовсе не является лучшей; рекомендуемая в ряде теоретических работ так называемая мультисимплектическая схема дает, как правило, результаты хуже, а наилучшие результаты показывает схема типа Нумеро-ва, причем даже в случае кусочно-постоянных потенциалов (когда решение

не является достаточно гладким). Таким образом, применение правильных усреднений позволяет повысить качество численных решений. Другой вывод состоит в том, что погрешность в весьма интересной на практике сеточной норме С по пространству хотя обычно больше, чем в норме L2) н0 ведет себя аналогичным образом. Эти достаточно важные практические выводы затем подтверждаются и в двумерном случае.

Глава 2 имеет следующую структуру. В разделе 2.1 формулируется начально-краевая задача для обобщенного уравнения Шрёдингера в полуполосе. Для нее строится и изучается семейство разностных схем с векторным параметром; при этом существенно используется аппарат из предыдущей главы. Дискретизация по пространству базируется на разностной схеме из [86]. Аналогично главе 1 используется естественный способ постановки для семейства схем общих приближенных ПГУ, позволяющий достаточно просто анализировать их устойчивость и для дискретного ПГУ приводящий к вычислительно устойчивой форме записи. В разделе 2.2 доказываются утверждения об устойчивости решения в сеточной норме ¿2 и в энергетической норме по отношению к начальным данным и свободным членам в уравнении и приближенном ПГУ. Доказанная устойчивость снова является абсолютной (отсутствуют какие-либо ограничения на сетку), а соответствующие оценки равномерны по времени, при надлежащем условии на параметры семейства. Для их вывода

у- ТТТ^Л т с*

на оператор приолиженного Iii У ö накладываются уже известные условия неотрицательности из [4, 48, 49].

Построение и анализ дискретных ПГУ непосредственно связаны с изучением семейства разностных схем на бесконечной сетке в полуполосе, который выполняется в разделе 2.3. В нем дается анализ устойчивости, соответствующий сделанному в разделе 2.2, а также доказываются существование и единственность решений и справедливость законов сохранения. Как следствие проясняется энергетический смысл условий неотрицательности, накладываемых на оператор приближенного ПГУ при анализе устойчивости. В разделе 2.4 представлен вывод дискретного ПГУ, основанный на использовании ДПФ поперек полосы и сведении двумерной задачи к набору одномерных задач с последующим применением одномерных дискретных ПГУ, выведенных в главе 1. Для оператора двумерного дискретного ПГУ доказывается выполнение условий неотрицательности. Кроме того, обсуждаются детали

эффективной реализации семейства схем с дискретным ПГУ в частном случае коэффициентов, зависящих только от координаты вдоль полосы. Глава 2 завершается разделом 2.5, где представлены результаты численных экспериментов и дан анализ качества применения схем с усреднениями, в том числе повышенного порядка точности. Изучаются две задачи о свободном распространении гауссовой волны и моделировании туннельного эффекта для потенциала ступенчатой формы, зависящего от координаты вдоль полосы.

В статье [30], а также в наших численных экспериментах, см. главу 2 и приложения Б-В, были отмечены преимущества применения методов повышенного порядка аппроксимации. Отметим, что ранее дискретные ПГУ для разностных схем были построены в случае схемы Нумерова 4-го порядка по пространству на равномерных сетках в [72, 81] (см. также результаты для близких схем с усреднениями по пространству в главах 1 и 2). Однако в случае гораздо более мощного МКЭ дискретные ПГУ построены не были (за исключением простейшего случая линейных конечных элементов, см. главу 1), хотя различные аспекты применения МКЭ для одномерного уравнения Шрёдингера обсуждались, например, в [31, 40, 64, 80]. Сама возможность их построения была под вопросом. Это не случайно - такое построение оказалось довольно сложной задачей, потребовавший преодоления новых технических трудностей по сравнению со случаем разностных схем.

Глава 3 посвящена решению последней задачи. Рассматривается прежняя начально-краевая задача для одномерного уравнения Шрёдингера на полуоси. Для ее решения в разделе 3.1 сначала изучается двухслойная симметричная схема (т.е. схема Кранка-Никольсон) по времени и общий метод типа Галеркина (включающий стандартный МКЭ произвольного порядка) по пространству на конечном отрезке с общим приближенным ПГУ. Доказываются равномерные по времени оценки решения в норме (с весом) и в энергетической норме при прежних ограничениях (см. главу 1) на оператор в общем приближенном ПГУ. Они выражают устойчивость как по отношению к начальным данным, так и к свободному члену в интегральном тождестве, определяющем решение (последнее играет существенную роль в последующем анализе). Затем в разделе 3.2 изучается аналогичный двухслойный симметричный метод типа Галеркина с подпространствами бесконечной размерности (включающий МКЭ произвольного порядка) для задачи на по-

луоси и доказываются аналогичные оценки приближенного решения, а также его существование и единственность. Выясняется энергетический смысл неравенств устойчивости, накладываемых на оператор ¿>ге{' дискретного ПГУ (в предположении, что он существует).

В разделе 3.3 ставится и аналитически решается модельный МКЭ для вспомогательного ОДУ 2-го порядка на полуоси с комплексным параметром. Решение включает анализ матричных пучков и обобщенных матричных задач на собственные значения, связанных с матрицами жесткости и масс эталонного элемента. Доказываются утверждения о свойствах собственных значений (их вещественности, неотрицательности, разделении и частичном совпадении). С использованием метода производящих функций в разделе 3.4 строится дискретное ПГУ для МКЭ, позволяющее сузить задачу на полуоси как задачу на конечном отрезке с дискретным ПГУ на искусственной границе. Оператор дискретного ПГУ снова представляет собой дискретную свертку, но теперь для МКЭ п-го порядка ядро оператора само имеет вид п-кратной свертки. Типичные графики поведения во времени дискретных ПГУ для МКЭ, а также оценка времени их расчета в зависимости от порядка п КЭ приводятся в приложении А; в расчетах используется известный эффективный алгоритм вычисления дискретных сверток, основанный на быстром ДПФ. Доказывается выполнение неравенств устойчивости для

тптп П ТОТТГ Г ТПГТА Т7ТТГГТГ\ТТГТ»Л Т Т Т ГЛ

иисисиира Дцш о • и рсюДьлс Дииилплнлцис х^ирши

зультаты приложения МКЭ до 10-го порядка включительно с дискретными ПГУ к двум задачам: о свободном распространении гауссова волнового пакета с большим волновым числом и о туннельном эффекте для прямоугольного барьера. Кроме того, в приложении Г представлены результаты для уже упомянутого выше примера из [30]. Все они наглядно демонстрируют преимущества МКЭ высокого порядка даже в случае быстро осциллирующих по пространству и времени решений и разрывных потенциалов. Эти преимущества вовсе не очевидны априори, поскольку в указанных примерах нормы производных решения быстро растут с ростом порядка производных или же решение вовсе не является достаточно гладким.

В заключение вновь рассматривается двумерный случай. Отметим, что изученные в главе 2 разностные схемы типа Кранка-Никольсон являются неявными, и для вычисления их решений на каждом слое по времени необхо-

димо решать специальные комплексные системы линейных алгебраических уравнений. К сожалению, к настоящему времени эффективные методы решения подобных систем разработаны лишь в вещественном, но не комплексном, случае. С другой стороны, для упрощения вычисления решения хорошо известна техника расщепления по физическим процессам, которая активно применяется для нестационарного уравнения Шрёдингера и родственных уравнений, см., в частности, [39, 55, 56, 68, 69, 74]. В главе 4, раздел 4.1 выполняется симметризованное расщепление по потенциалу типа Стренга для схемы Кранка-Никольсон без усреднений с общим приближенным ПГУ. Для полученной трехшаговой схемы доказывается равномерная устойчивость в норме ¿2 при уже знакомом по главе 2 условии на оператор £ в нем.

Для вывода дискретного ПГУ в разделе 4.2 строится схема с расщеплением по потенциалу на бесконечной сетке в полуполосе и доказывается равномерная по времени оценка решения в норме 1/2, а также закон сохранения массы. Оператор дискретного ПГУ для схемы с расщеплением совпадает с оператором дискретного ПГУ для исходной схемы Кранка-Никольсон без усреднений из главы 2 и удовлетворяет упомянутому условию устойчивости. Благодаря расщеплению для реализации метода с дискретным ПГУ в случае общего потенциала разработан эффективный прямой алгоритм вычисления решения, использующий прогонки вдоль полосы и быстрое ДПФ по переменной поперек полосы (при этом остальные коэффициенты уравнения Шрёдингера от этой переменной зависеть не должны). В разделе 4.3 представлены результаты численных экспериментов со схемой с расщеплением по потенциалу по расчету туннельного эффекта для прямоугольных барьеров. Один из важных практических выводов состоит в том, что построенное в работе расщепление по потенциалу не ведет к тому резкому снижению точности результатов, которое наблюдается для некоторых других типов расщепления.

Утверждения 1.1. 1.4, 1.6, 1.7, 1.10 и их следствия в главе 1; все результаты главы 2 (см. [7, 9, 13]); утверждения 3.1-3.4 и их следствия и результаты раздела 3.5 в главе 3 (см. |12, 15]); утверждение 4.2 и его следствие и результаты раздела 4.3 в главе 4 получены автором самостоятельно. Остальные теоретические результаты, опубликованные в совместных работах [5, 6, 50, 85], принадлежат соавторам в равной степени. Программная реализация всех методов и все расчеты выполнены лично автором.

Заключение диссертации по теме «Вычислительная математика», Злотник, Илья Александрович

Заключение

В диссертации для численного решения начально-краевых задач для обобщенного нестационарного уравнения Шрёдингера в неограниченных областях - на полупрямой и в полуполосе - изучены:

• новые широкие семейства разностных схем с усреднением по пространству;

• МКЭ произвольного порядка (в случае полупрямой);

• разностная схема с расщеплением по потенциалу (в случае полуполосы).

Для всех перечисленных методов выполнено следующее:

• доказаны теоремы о равномерной по времени устойчивости как в Ь2) так и в энергетической норме, по начальным данным и правой части при общем приближенном ПГУ;

• выведены новые дискретные ПГУ, доказана равномерная по времени устойчивость методов с дискретными ПГУ и получены соответствующие законы сохранения;

• выполнена программная реализация и проведены серии численных экспериментов.

При этом заметно развита техника исследования устойчивости методов с приближенными и дискретными ПГУ. Разработана новая естественная форма записи дискретных ПГУ, значительно упрощен и сделан строгим их вывод. Численные эксперименты позволили дополнить теоретические результаты, выполнить сравнение методов и дать практический анализ их погрешности.

Утверждения 1.1, 1.4, 1.6, 1.7, 1.10 и их следствия в главе 1; все результаты главы 2 (см. [7, 9, 13]); утверждения 3.1-3.4 и их следствия и результаты раздела 3.5 в главе 3 (см. [12, 1-5]); утверждение 4.2 и его следствие и результаты раздела 4.3 в главе 4 получены автором самостоятельно. Остальные теоретические результаты, опубликованные в совместных работах [5, 6, 50, 85], принадлежат соавторам в равной степени. Программная реализация всех методов и все расчеты выполнены лично автором. Результаты были также доложены автором на ряде конференций [8, 10, 11, 14, 87, 88].

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Злотник, Илья Александрович, 2013 год

Литература

1. Борн М. Атомная физика. М.: Мир, 1970.

2. Виноградова М.Б., Руденко О.В., Сухоруков А.П. Теория волн. М.: Наука, 1979.

3. Гордин В.А. Математические проблемы гидродиномического предсказания погоды. Вычислительные аспекты. Ленинград: Гидрометеоиздат, 1987.

4. Злотник A.A., Дюкоме Б. Устойчивость симметричной разностной схемы с приближенными прозрачными граничными условиями для нестационарного уравнения Шрёдингера // Докл. АН. 2007. Т. 413, № 4. С. 444-449.

5. Злотник A.A., Злотник И.А. Об устойчивости семейства разностных схем с приближенными прозрачными граничными условиями для уравнения Шрёдингера на полуоси // Вестник МЭИ. 2008. №6. С. 31-45.

6. Злотник A.A., Злотник И.А. Метод конечных элементов с дискретными прозрачными граничными условиями для одномерного нестационарного уравнения Шрёдингера // Докл. АН. 2012. Т. 447, № 2. С. 130-135.

7. Злотник И.А. Об устойчивости семейства разностных схем с приближенными прозрачными граничными условиями для нестационарного уравнения Шрёдингера в полуполосе // Вестник МЭИ. 2009. № 6. С. 127-144.

8. Злотник И.А. Семейство разностных схем с дискретными прозрачными граничными условиями для уравнения Шрёдингера на полуоси // Тезисы докладов XV Межд. научно-техн. конф. студ. и асп. «Радиоэлектроника, электротехника и энергетика». Т. 1. Изд. дом МЭИ, 2009. С. 257-258.

9. Злотник И.А. Компьютерное моделирование туннельного эффекта // Вестник МЭИ. 2010. № 6. С. 118-125.

10. Злотник И.А. Семейство разностных схем с приближенными прозрачными граничными условиями для нестационарного уравнения Шрёдингера в полу полосе / / Тезисы докладов XVI Межд. научно-техн. конф. студ. и

асп. «Радиоэлектроника, электротехника и энергетика». Т. 1. Изд. дом МЭИ, 2010. С. 332-333.

11. Злотник И.А. Двухслойный метод конечных элементов с дискретными прозрачными граничными условиями для уравнения Шрёдингера на полуоси // Тезисы докладов XVII Межд. научно-техн. конф. студ. и асп. «Радиоэлектроника, электротехника и энергетика». Т. 1. Изд. дом МЭИ, 2011. С. 333-334.

12. Злотник И.А. О двухслойном методе Галёркина для уравнения Шрёдингера // Труды XIX Межд. научно-техн. конф. «Информационные средства и технологии». Т. 1. Изд. дом МЭИ, 2011. С. 215-223.

13. Злотник И.А. Семейство разностных схем с приближенными прозрачными граничными условиями для обобщенного нестационарного уравнения Шрёдингера в полуполосе // ЖВМиМФ. 2011. Т. 51, № 3. С. 384-406.

14. Злотник И.А. Метод конечных элементов для одномерного уравнения Шрёдингера // Тезисы докладов XVIII Межд. научно-техн. конф. студ. и асп. «Радиоэлектроника, электротехника и энергетика». Т. 2. Изд. дом МЭИ, 2012. С. 16-17.

15. Злотник И.А. О применении МКЭ с дискретными прозрачными граничными условиями для нестационарного уравнения Шрёдингера на полуоси // Труды XX Межд. научно-техн. конф. «Информационные средства и технологии». Т. 1. Изд. дом МЭИ, 2012. С. 172-178.

16. Карчевский Е.М. Математические модели и численные методы в спектральной теории диэлектрических волноводов. Дисс. ... доктора физ.-матем. наук. Казань: Казанский госуниверситет, 2006.

17. Квасников И.А. Термодинамика и статистическая физика. Т. 2. Теория равновесных систем. Статистическая физика. М.: Едиториал УРСС, 2002.

18. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1987.

19. Ландау JI.Д., Лившиц Е.М. Теоретическая физика. Т. III. Квантовая механика (нерелятивистская теория). М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004.

20. Лившиц Е.М., Питаевский Л.П. Теоретическая физика. Т. IX. Статистическая физика. Часть II. Теория конденсированного состояния. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004.

21. Поляков С.В. Математическое моделирование с помощью многопроцессорных вычислительных систем процессов электронного транспорта в вакуумных и твердотельных микро- и наноструктурах. Дисс. ... доктора физ.-матем. наук. М.: ИММ РАН, 2010.

22. Разгулин А.В. Математическое моделирование нелинейных оптических систем с управляемым преобразованием аргументов. Дисс. ... доктора физ.-матем. наук. М.: МГУ им. М.В. Ломоносова, 2006.

23. Рябенький В.С. Метод разностных потенциалов и его приложения. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002.

24. Стренг Г., Фикс Д. Теория метода конечных элементов. М.: Мир, 1977.

25. Терёшин Е. Б., Трофимов В. А., Федотов М. В. Консервативная разностная схема для задачи распространения фемтосекундного импульса в нелинейном фотонном кристалле с неотражающими краевыми условиями // ЖВМиМФ. 2006. Т. 46, № 1. С. 161-171.

26. Трофимов М.Ю. Математическое моделирование звуковых и внутренних волн в океане методом параболического уравнения. Дисс. ... доктора физ.-матем. наук. Владивосток: ДВО РАН, 2009.

27. Хорн Р., Джонсон Ч. Матричный анализ. М.: Мир, 1989.

28. Яненко Н.Н. Метод дробных шагов решения многомерных задач математической физики. Новосибирск: Наука, 1967.

29. Alonso-Mallo I., Reguera N. Weak ill-posedness of spatial discretizations of absorbing boundary conditions for Schr5dinger-type equations // SIAM J. Numer. Anal. 2002. V. 40, № 1. P. 134-158.

30. Antoine X., Arnold A., Besse C. et al. A review of transparent and artificial boundary conditions techniques for linear and nonlinear Schrodinger equations // Commun. Comp. Phys. 2008. V. 4, № 4. P. 729-796.

31. Antoine X., Besse C. Unconditionally stable discretization schemes of non-reflecting boundary conditions for the one-dimensional Schrodinger equation // J. Comp. Phys. 2003. V. 188, № 1. P. 157-175.

32. Antoine X., Besse C., Mouysset V. Numerical schemes for the simulation of the two-dimensional Schrodinger equation using non-reflecting boundary conditions // Math. Comp. 2004. V. 73, № 1779-1999. P. 365-374.

33. Arnold A. Numerically absorbing boundary conditions for quantum evolution equations // VLSI Design. 1998. V. 6. P. 313-319.

34. Arnold A., Ehrhardt M., Sofronov I. Discrete transparent boundary conditions for the Schrodinger equation: fast calculations, approximation and stability // Comm. Math. Sci. 2003. V. 1. P. 501-556.

35. Arnold A., Schulte M. Transparent boundary conditions for quantum-waveguide simulations // Math, and Comp. in Simulation. 2008. V. 79, № 4. P. 898-905.

36. Baskakov V., Popov A. Implementation of transparent boundaries for numerical solution of the Schrodinger equation // Wave Motion. 1991. V. 14, № 2. P. 123-128.

37. Berenger J. A perfectly matched layer for the absorption of electromagnetic waves //J. Comp. Phys. 1994. V. 114, № 2. P. 185-200.

38. Berger J.-F., Girod M., Gogny D. Time-dependent quantum collective dynamics applied to nuclear fission // Comp. Phys. Comm. 1991. V. 63, № 1-3. P. 365-374.

39. Blanes S., Moan P. Splitting methods for the time-dependent Schroodinger equation // Math. Comp. 2000. V. 265. P. 35-42.

40. Burger S., Schadle A., Zschiedrich L., Schmidt F. Advanced FEM analysis of nano-optical devices // Proceedings of SPIE. V. 6195. 2006. P. 72-82.

41. Carjan N.. Rizea M., Strottman D. Efficient numerical solution of the time-dependent Schrodinger equation for deep tunneling // Roman. Reports Phys. 2003. V. 55. P. 555-579.

42. Collino F. Perfectly matched absorbing layers for the paraxial equations // J. Comp. Phys. 1997. V. 131, № 1. P. 164-180.

43. Collino F., Monk P. Optimizing the perfectly matched layer // Comp. Meth. Appl. Mech. and Engineering. 1998. V. 164, № 1. P. 157-171.

44. Collino F., Monk P. The perfectly matched layer in curvilinear coordinates // SIAM J. Sci. Computing. 1998. V. 19, № 6. P. 2061-2090.

45. Dautov R.Z., Karchevskiy E.M. Exact nonlocal boundary conditions in the theory of dielectric waveguides // PIERS Online. 2009. V. 5, № 5. P. 436-440.

46. Di Menza L. Absorbing boundary conditions on a hypersurface for the Schrodinger equation in a half-space // Appl. Math. Lett. 1996. V. 9, № 4. P. 55-59.

47. Di Menza L. Transparent and absorbing boundary conditions for the Schrodinger equation in a bounded domain // Numer. Funct. Anal, and Op-timiz. 1997. V. 18. P. 759-775.

48. Ducomet B., Zlotnik A. On stability of the Crank-Nicolson scheme with approximate transparent boundary conditions for the Schrodinger equation. Part I // Comm. Math. Sci. 2006. V. 4. P. 741-766.

49. Ducomet B., Zlotnik A. On stability of the Crank-Nicolson scheme with approximate transparent boundary conditions for the Schrodinger equation. Part II // Comm. Math. Sci. 2007. V. 5, № 2. P. 267-298.

50. Ducomet B., Zlotnik A., Zlotnik I. On a family of finite-difference schemes with discrete transparent boundary conditions for a generalized Schrodinger equation // Kinetic and Related Models. 2009. V. 2, № 1. P. 151-180.

51. Ehrhardt M. Discrete transparent boundary conditions for Schrodinger-type equations for non-compactly supported initial data // Appl. Numer. Math. 2008. V. 58, № 5. P. 660-673.

52 Ehihaidt M Arnold A Discrete tiansparent boundaiy conditions foi the Schrodmger equation // Riv Mat Umv Parma 2001 V 6 P 57-108

53 Ehrhardt M , Zheng C Exact artificial boundary conditions for problems with periodic structures // J Comp Phys 2008 V 227, № 14 P 6877-6894

54 Fevens T , Jiang H Absorbing boundary conditions for the Schrodmger equation // SIAM J Sci Computing 1999 V 21, № 1 P 255-282

55 Gao Z , Xie S Fourth-oidei alternating direction implicit compact finite difference schemes for two-dimensional Schrodmgei equations // Appl Numer Math 2011 V 61 P 593-614

56 Gauckler L Convergence of a split-step Hernnte method for Gross-Pitaevskn equation // IMA J Numer Anal 2011 V 31 P 396-415

57 Givoli D High-ordei local non-ieffecting boundary conditions a leview // Wave Motion 2004 V 39 № 4 P 319-326

58 Goutte H , Beiger J -F , Casoli P , Gogny D Microscopic appioach of fission dynamics applied to fragment kinetic energy and mass distributions m 238U // Phys Rev C 2005 - Feb V 71 №2 P 4316(1-13)

59 Hagstiom T New Results on Absoibing Layers and Radiation Boundaiy Conditions // Topics m Computational Wave Propagation / Ed by M Ainsworth, P Davies, D Duncan et al Springer Berlin Heidelberg, 2003 V 31 of Lecture Notes m Computational Science and Engineering P 1-42

60 Han H Jin J , Wu X A finite-difference method for the one-dimensional time-dependent Schiodmgei equation on unbounded domain // Comp Math Appl 2005 V 50 № 8-9 P 1345-1362

61 Hong J , Liu Y Munthe-Kaas H Zanna A Globally conservative properties and error estimation of a multi-symplectic scheme foi Schrodmger equations w ith variable coefficients // Appl Nurnei Math 2006 V 56, № 6 P 814-843

62 Hong J , Qm M Multisymplecticity of the centred box discretization for hamil-toman PDEs with m = 2 space dimensions // Appl Math Lett 2002 V 15, A'0 8 P 1005-1011

63. Jiang S., Greengard L. Efficient representation of nonreflecting boundary conditions for the time-dependent Schrodinger equation in two dimensions // Commun. Pure and Appl. Math. 2007. V. 61, № 2. P. 261-288.

64. Jin J., Wu X. Analysis of finite element method for one-dimensional time-dependent Schrodinger equation on unbounded domain //J. Comp. Appl. Math. 2008. V. 220. P. 240-256.

65. Kong L., Liu R., Zheng X. A survey on symplectic and multi-symplectic algorithms // Appl. Math, and Comp. 2007. V. 186, № 1. P. 670-684.

66. Kosloff R., Kosloff D. Absorbing boundaries for wave propagation problems // J. Comp. Phys. 1986. V. 63, № 2. P. 363-376.

67. Kouri D., Arnold M., Hoffman D. Time-to-energy transform of wavepackets using absorbing potentials. Time-independent wavepacket-Schrodinger and wavepacket-Lippmann—Schwinger equations // Chem. Phys. Lett. 1993. V. 203, № 2. P. 166-174.

68. Lubich C. From quantum to classical molecular dynamics. Reduced models and numerical analysis. Zurich: EMS, 2008.

69. Lubich C. On splitting methods for Schrodinger-Poisson and cubic nonlinear Schrodinger equations // Math. Comp. 2008. V. 77, № 264. P. 2141-2153.

70. Lubich C., Schadle A. Fast convolution for nonreflecting boundary conditions // SIAM J. Sci. Computing. 2002. V. 24, № 1. P. 161-182.

71. Mikhin D. Analytic discrete transparent boundary conditions for high-order Pade parabolic equations // Wave Motion. 2008. V. 45, № 7. P. 881-894.

72. Moyer C. Numerov extension of transparent boundary conditions for the Schrodinger equation in one dimension // Amer. J. Phys. 2004. V. 72, № 3. P. 351-358.

73. Muga J., Palao J., Navarro B., Egusquiza I. Complex absorbing potentials // Phys. Reports. 2004. V. 395, № 6. P. 357-426.

74. Neuhauser C., Thalhammer M. On the convergence of splitting methods for linear evolutionary Schrodinger equations involving an unbounded potential // BIT Numer. Math. 2009. V. 49. P. 199-215.

75. Papadakis J. Exact, nonreflecting boundary conditions for parabolic-type approximations in underwater acoustics //J. Comp. Acoustics. 1994. V. 2, № 02. P. 83-98.

76. Reguera N. Analysis of a third-order absorbing boundary condition for the Schrodinger equation discretized in space // Appl. Math. Lett. 2004. V. 17, № 2. P. 181-188.

77. Ring P., Schuck P. The nuclear many-body problem. Berlin Heidelberg New York: Springer, 2004.

78. Riss U., Meyer H. The transformative complex absorbing potential method: a bridge between complex absorbing potentials and smooth exterior scaling // J. Phys. B: Atomic, Molecular and Optical Physics. 1999. V. 31, № 10. P. 2279.

79. Schadle A. Non-reflecting boundary conditions for the two-dimensional Schrodinger equation // Wave Motion. 2002. V. 35. P. 181-188.

80. Schmidt F., Yevick D. Discrete transparent boundary conditions for Schrodinger-type equations // J. Comp. Phys. 1997. V. 134, № 1. P. 96-107.

81. Schulte M., Arnold A. Discrete transparent boundary conditions for the Schrodinger equation, a compact higher order scheme // Kinetic and Related Models. 2008. V. 1, 1. P. 101-125.

82. Strang G. On the construction and comparison of difference scheme // SIAM J. Numer. Anal. 1968. V. 5. P. 506-517.

83. Szeftel J. Design of absorbing boundary conditions for Schrodinger equations in Rd // SIAM J. Numer. Anal. 2004. V. 42, № 4. P. 1527-1551.

84. Yevick D., Friese T., Schmidt F. A comparison of transparent boundary conditions for the Fresnel equation //J. Comp. Phys. 2001. V. 168, № 2. p. 433-444.

85. Zlotnik A., Zlotnik I. Finite element method with discrete transparent boundary conditions for the time-dependent ID Schrodinger equation // Kinetic and Related Models. 2012. V. 5, № 3. R 639-667.

86. Zlotnik A.A. Some finite-element and finite-difference methods for solving mathematical physics problems with non-smooth data in n-dimensional cube // Sov. J. Numer. Anal. Math. Modelling. 1991. V. 6, № 5. P. 421-451.

87. Zlotnik I. FEM with discrete transparent boundary conditions for the ID Schrodinger equation // 17th International Conf. «Mathematical Modelling and Analysis». Abstracts. TU Tallinn, 2012. P. 122-123.

88. Zlotnik I. FEM with discrete transparent boundary conditions for the ID Schrodinger equation // 5th Conf. «Computational Methods in Applied Mathematics». Book of Abstracts. CCSA, HU Berlin, 2012. P. 59-60.

Приложение А Поведение ядер одномерных дискретных ПТУ

В настоящем приложении приведены типичные графики поведения ядер одномерных дискретных ПГУ для семейства разностных схем и МКЭ.

Рассмотрим сначала случай семейства разностных схем. На рис. А.1 представлены графики (здесь и далее - в логарифмической шкале) зависимости |Лта| от т для схем семейства при различных значениях параметра в для примера 1 приложения Б с числом узлов 3 = 1000 и J = 30, при одном и том же М = 3000.

(а) при ,1 = 1000 и0< т ^ 100 (б) при = 30 и 0 ^ те ^ 3000

Рис. А.1. Пример 1. Графики ядер дискретных ПГУ |Ят| для семейства разностных схем при в = 1/4,1/6,1/12, 0cJ = 30иJ = 1000 и М = 3000

На рис. А.2 представлено поведение |/?то| для того же примера, но с числом узлов 3 = 240, М = 300.

(а) при 0 ^ т ^ 50 (б) при 0 ^ т < 300

Рис. А.2. Пример 1. Графики ядер дискретных ПГУ |Ят| для семейства разностных схем при в = 1/4,1/6,1/12, 0 с 7 = 240 и М = 300

Для наглядности график А.2(а) представляет собой фрагмент графика А.2(6). При указанных значениях числа узлов в приложении Б построены графики поведения решения и погрешностей, см. рис. Б.2 - Б.5.

Перейдем теперь к анализу дискретных ПГУ для МКЭ. Сначала отметим, что в силу представления ядра дискретного ПГУ для МКЭ п-го порядка в виде п-кратной дискретной свертки важен вопрос о его эффективном вычислении. Оказывается, что с помощью известного эффективного алгоритма, использующего быстрое дискретное преобразование Фурье (ДПФ), ядро

{( 771 ТУЪ

-^гсГ г оператора дискретного ПГУ вычисляется просто и быстро, и

J т=0

время расчета растет с ростом п вполне удовлетворительным образом, см. рис. А.З.1

Рис. А.З. Время вычисления ядра оператора дискретного ПГУ при различных порядках конечных элементов п — 1, 2, 3, 5, 7, 9 в зависимости от М

На рис. А.4 и А.5 представлены типичные графики поведения ядер при п = 1,.... 9. Ввиду сильно осциллирующего поведения графики представлены вместе для п = 1,.. ., 6 и отдельно для каждого п = 7.8,9 в сравнении с п — 6. Они получены для примера по распространению волнового пакета с волновым числом к = 100 для свободного уравнения Шрёдингера с постоянными коэффициентами (см. подробнее раздел 3.5), при J = 30 и М = 3000.

' расчеты выполнены па ПК следующей конфигурации: процессор Intel Core ¡3-2350М 2.3 ГГц. ОП

4 Гб. ОС Windows 7 64 bit.

Рис. А.4. Пример 1. Графики т\, 0 ^ т ^ 1000, для МКЭ при п = 1,..., 9 с 3 = 30 и М = 3000

ю

ю"

10"

- п - |

- - 71 = 4 -71 = 5

- - п = Ь

500

1000

1500 2000 2500

т

3000

10

10

10"

1 j

2 ''-v г . 1 "v,'.v

- - п = 61 ч 11 = 1\ ' * * 4 ' 1 . * ч

3000

3000

3000

Рис. А.5. Пример 1. Графики т|, 0 ^ то ^ 3000, для МКЭ при п = 1,.. . , 9 с 3 = 30 и М = 3000

Последовательности \К^'т\ демонстрируют осциллирующее и медленно убывающее поведение с ростом т, которое, к счастью, не ухудшается с ростом порядка п. Отметим очень малую амплитуду колебаний в случае п = 3 (при т ^ 200), а также схожее поведение ядер при п — 7, 8, 9.

Рис. А.6 дополняет предыдущие графиками поведения последовательностей \Ю, I и ж ^ 1000, при п = 5 (верхние графики) и при п — 7 (нижние). Эти последовательности также демонстрируют осциллирующее и убывающее поведение с ростом т, причем оно становится все более и более осциллирующим с ростом I.

Рис. А.6. Пример 1. Графики |^п),т| и \Ь{еп)'т\, 0 ^ т ^ М, для МКЭ при п = 5 и п = 7 с 7 = 30 и М = 3000

Приложение Б Свободное распространение гауссовой волны

В настоящем приложении представлены результаты применения семейства разностных схем с дискретным ПГУ, построенным в главе 1, для расчета стандартного примера по свободному распространению гауссовой волны.

Обратимся к начально-краевой задаче (1.1)—(1.3) в простейшем случае постоянных коэффициентов р(х) = 1, В[х) = 2 и V(x) = 0, при h = 1.

Рассмотрим наиболее стандартное решение уравнения Шрёдингера типа гауссовой волны

ф(х. t) = фс(х, t) := — ^ exp \ik(x — х^ — kt)) х

х J

Г (х - z<°> - 2kt)2 \ v ХеХР{ 4(« + й) } (БЛ)

с вещественными параметрами к, а > 0 и Ему соответствует начальная функция

ф°(х) = фс{х, 0) = ехр |гк(х - х{0)) - •

Эта функция не финитна, поэтому X выбирается так, чтобы при х ^ X значение ф°(х) стало достаточно мало, а именно,

max\ф°{х)\ ^ е0. (Б.2)

х^Х

Отметим также, что решение вида (Б.1) не удовлетворяет левому краевому условию (1.2). Хотя в примерах ниже функция фо^) = фс(0,i) мала, для исключения влияния соответствующей ошибки граничные условия (1.2) и (1.20) на левой границе заменяются на их неоднородные варианты ф\х=0 — фо(Ь) и Фд1 = фо(trn)j тп ^ 1. Выбирается также конечный отрезок времени 0 ^ t ^ Т — ¿м с некоторым подходящим Т.

Выбираются равномерные сетки по х и t и анализируется поведение во времени погрешности е : = ф — Ф. Используются сеточные нормы Ь2 и С для е, как абсолютные

ец ее ||em||Sh, Eg = ||em||c(tuh) := max \е™\

(ясно, что e7Q = 0), так и относительные

771771,

Z/9, rel

pm,

С, rel

|С(07Л)

(Б.З)

llîTIk' °'rel" lliTIIW

Отметим, что именно такие определения относительных погрешностей стандартны, хотя в ряде статей по данной тематике используются иные определения, см., например, [34].

В приложении рассмотриваются два примера по распространению гауссовой волны с различными волновыми числами: к = 100 и к = 30. В первом случае дополнительно выполняется детальный анализ погрешности на подробных сетках по пространственной переменной.

В примере 1 выбираются следующие значения параметров гауссовой волны: к = 100, а = 1/120 и = 0.8. Искусственная граница вводится при X = 1.5; тогда£о ~ 4.1-Ю-7 в (В.2). Выбирается финальный момент времени Т = 0.006. На рис. Б.1 представлены модуль и вещественная часть начальной функции.

0.5

-Q.5

— Re фс

0.5

1.5

Рис. Б.1. Пример 1. Модуль и вещественная часть начальной функции -фс

Сначала выбираются сетки с числом узлов J = 240 по ж и M = 300 по

О, шш п ши J

»тветственно равны h = 1/160 и г = 2 • 10~°; эти значения шагов использовались в ряде статей, см., например, [33, 34, 52]. Рассматриваются значения параметра в = 0,1/12,1/6,1/4.

На рис. Б.2 представлено поведение модуля и вещественной части численного решения при в = 1/12, для моментов времени ¿то, m = 90,150, 210 и 270.

Отметим, что поведение численного решения при всех рассматриваемых значениях параметра в качественно аналогично поведению точного аналитического решения. Однако обратимся к рис. Б.З и Б.4, где представлены

(в) tm = 0.0048, т = 210 (г) tm = 0.0054, т = 270

Рис. Б.2. Пример 1. Модуль и вещественная часть численного решения т = 90,150, 210 и 270, при в = 1/12, с J = 240 и М = 300

значения фактических погрешностей, отвечающих различным значениям параметра в.

Видно, что ошибки очень велики в наиболее стандартном случае 9 = 0 (ранее в публикациях внимание на это не обращалось), а также в случае муль-тисимплектической схемы 9 = 1/4. При 9 = 1/6 ошибки несколько уменьшаются, но по-прежнему остаются достаточно большими. Отметим, что уменьшение т не приводит к существенному изменению результатов. Для схемы повышенного порядка аппроксимации (при в = 1/12) ошибки становятся приемлемыми. Конечно, причина больших ошибок при 9 ф 1/12 ясна: выбранное значение шага h слишком велико при столь быстро осциллирующих вещественной и мнимой частях решения (хотя это и не так для его модуля, график которого только обычно и изображался в других работах ранее, см., например, [33, 34, 52]). На рис. Б.5 представлены погрешности вычисления модуля решения при 9 = 1/6 и 9 = 1/12. Наконец на рис. Б.6(a) представлены послойные нормы и С точного решения фс-

В целях детального анализа погрешностей для различных схем семей-

Absolute error Relative error Absolute error Relative error

Рис. Б.З. Пример 1. Абсолютные и относительные погрешности численного решения при в = 0 и в = 1/4 с 7 = 240 и М = 300

Absolute error

Relative error

Absolute error

Relative error

0.2

0.15

. 0.1

0.05

0.2

0.15

0.1

0.05

0.002 0.004 0.006

0.002 0.004 0.006

0.002 0.004 0.006

(а) в = 1/6

(б) в = 1/12

Рис. Б.4. Пример 1. Абсолютные и относительные погрешности чи в = 1/6 и в = 1/12 с У = 240 и М = 300

bJlWlllWi \J

решения при

Absolute error Relative error Absolute error Relative error

Рис. Б.5. Пример 1. Абсолютные и относительные погрешности модуля численного решения при в = 1/6 и в = 1/12 с 0 = 240 и М = 300

Norm of solution

Norm of solution

10'

10

10"

10"

10"

0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006

10'

0.013 0.025 0.037 0.050

(а) пример 1, T = 0.006

(б) пример 2, T = 0.05

Рис. Б.6. Послойные и С- нормы точного решения 1рс примеров 1 и 2 при 0 ^ £ ^ Т

ства увеличим в 3 раза число временных слоев до М = 3000. На рис. Б.7, Б.8 и Б.9 приводятся десятичные логарифмы максимальных по времени ¿то, О ^ т ^ М значений абсолютных погрешностей в нормах Ь2 и С для численных решений с различными значениями параметра 9 = 0,1/12,1/6,1/4 в зависимости от числа отрезков разбиения 3. Ясно, что сходимость погрешностей монотонна для всех 0, а скорость их убывания для схемы 4-го порядка (при 9 = 1/12) заметно выше в сравнении с другими схемами семейства как в норме Ь2} так и в норме С.

При этом погрешности сходятся не к нулю, а к некоторым минимальным положительным значениям, поскольку М фиксировано; указанные минимальные значения составляют приблизительно 4.7 • Ю-4 для /^-нормы и

1.2-10-3 для С-нормы. Особенно медленная сходимость наблюдается в случае в Ф 1/12, обеспечивая очень грубую точность даже для последнего значения 3 = 1000 на рис. Б.7(а): к сожалению, такое поведение характерно для любых разностных схем второго порядка аппроксимации по пространственной переменной, столь популярных на практике. Отметим, что относительные погрешности в нормах Ь2 и С демонстрируют схожее поведение.

В примере 2 выбирается меньшее (хотя все еще достаточно большое) значение параметра к = 30, а «центр» волны сдвигается правее в х^ = 1 при прежнем а = 1/120. На рис. Б. 10 представлены модуль и вещественная часть начальной функции. Расчетная область расширяется до X = 1.75 (тогда £о ~ 4.6 • 10"8 в (Б.2)), а финальный момент времени выбирается равным Т = 0.05. При этом шаг по пространству сохраняется тем же, что и в первом примере, т.е. К = 1/160 (тогда число отрезков разбиения 3 = 280), а шаг по

(а) 3 = 100,200,..., 1000 (б) 3 = 1000,1500,..., 5000

Рис. Б.7. Пример 1. Максимальные по времени абсолютные погрешности в норме Ъч для численного решения при 0 = 0,1/12,1/6/1/4 и М — 3000

(а) 3 = 100, 200,..., 1000 (б) 3 = 1000,1500,..., 5000

ч Рис. Б.8. Пример 1. Максимальные по времени абсолютные погрешности в норме С для

численного решения при 0 = 0,1/12,1/6/1/4 и М = 3000

5000 6000 7000 8000 9000 10000 11000 12000 13000 14000 15000 5000 6000 7000 8000 9000 10000 11000 12000 13000 14000 15000

/ I

(а) в норме Ь2

(б) в норме С

Рис. Б.9. Пример 1. Максимальные по времени абсолютные погрешности в нормах ¿2 и С для численного решения при в = 0,1/12,1/6/1/4 с 3 = 5000, 6000,..., 15000 и М = 3000

времени т = 6.25 • 10 5 (т.е. число временных слоев М = 800).

Рис. Б. 10. Пример 2. Модуль и вещественная часть начальной функции

На рис. Б. 11 представлено поведение модуля и вещественной части численного решения при в = 1/6, для моментов времени ¿т, т = 40,160,280 и 400, а на рис. Б.6(6) - послойные нормы решения фс. Обратим внимание на то, что уже при ¿4оо = 0.025 волновой пакет практически полностью покидает расчетную область [0, X], не испытывая никаких отражений от искусственной границы.

-0.5- -0.5-11________■_ _1_■_■_■_■__

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6

(в) ип = 0.0175. т = 280 (г) 1т = 0.025. т = 400

Рис. Б.11. Пример 2. Модуль и вещественная часть численного решения Ф771, т = 40,160, 280 и 400, при в = 1/12, с 3 = 280 и М = 800

На рис. Б. 12 и Б. 13 представлены в логарифмической шкале погрешности при различных значениях параметра 9 = 0,1/4,1/6,1/12. При в ф 1/12 погрешности в нормах Ь2 и С составляют несколько процентов, однако при в = 1/4 погрешности больше, чем при 9 = 0, тогда как при в = 1/6 они меньше. Отметим, что снова при 9 = 1/12 погрешности значительно меньше, чем при других значениях 9.

Рис. Б. 12. Пример 2. Абсолютные и относительные погрешности численного решения при в = 0 и в = 1/4 с 3 = 280 и М = 800

Absolute error Relative error Absolute error Relative error

Рис. Б.13. Пример 2. Абсолютные и относительные погрешности численного решения при в = 1/6 и в = 1/12 с 3 = 280 и М = 800

В обоих рассмотренных примерах численные результаты для дискретного ПГУ демонстрируют полное отсутствие отражений от искусственной границы в соответствии с изложенной в главе 1 теорией. Видно также, что разностные схемы, отвечающие различным значениям параметра /9, могут с успехом применяться на практике, а результаты в наиболее стандартном случае 9 = 0 отнюдь не лучшие.