Линейные краевые задачи для нелокальных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка и уравнений параболического типа с дробными производными в младших членах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Бечилова, Аминат Расуловна

• Бечилова, Аминат Расуловна
• кандидат физико-математических наук
• 1998

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Бечилова, Аминат Расуловна

Введение

Глава I. Обыкновенные дифференциальные уравнения

с дробной производной в младших членах

§1. Элементы дробного исчисления

§2. Некоторые особенности при постановке краевых условий для

дифференциальных уравнений с дробной производной

§3. Дискретные аналоги дробной производной и принципа

экстремума для оператора дробного дифференцирования

§4. Построение разностных схем для обыкновенных

дифференциальных уравнений с дробной производной

§5. Принцип максимума для уравнения с разностной дробной

производной в младших членах

§6. Оценка решения разностной задачи в равномерной метрике

§7. Метод итерации для решения сеточных уравнений

§8. Другие краевые задачи для дифференциального уравнения с

дробной производной в младших членах

Глава II. Краевые задачи для параболических уравнений с дробной по пространственной переменной производной в младших членах

§1. Априорная оценка для решения первой краевой задачи

§2. Метод Ротэ

§3. Разностные схемы для первой краевой задачи

Глава III. Дифференциальные уравнения в частных производных

с дробной по времени производной

§1. Построение разностных схем первой начально-краевой задачи

для обобщенного уравнения переноса

§2. Устойчивость и сходимость в равномерной метрике

§3. Монотонные схемы для уравнения общего вида с дробной по

времени производной

§4. Третья краевая задача для уравнения диффузии дробного

порядка. Априорная оценка

§5. Разностные схемы для третьей краевой задачи уравнения диффузии

дробного порядка

§6. Устойчивость и сходимость

§7. Построение разностных схем повышенного порядка точности третьей краевой задачи для уравнения диффузии дробного

порядка

§8. Алгоритм решения задачи

§9. Нелокальная задача для уравнения теплопроводности с дробной

производной в граничных условиях

§10. Дискретный аналог нелокальной задачи с дробной производной

в граничных условиях

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Линейные краевые задачи для нелокальных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка и уравнений параболического типа с дробными производными в младших членах»

ВВЕДЕНИЕ

Решение многих задач теории уравнений смешанного типа, механики сплошных сред и изучение процессов стохастического переноса приводят к дифференциальным уравнениям с дробной производной (Нахушев A.M., Керефов A.A., Бэгли P.JL, Нигматуллин P.P., Чукбар К.В.).

В связи с этим возникает необходимость исследования краевых задач для дифференциальных уравнений с дробными производными и разработка методов их решений.

Тема диссертации входит в план научно-исследовательских работ НИИ прикладной математики и автоматизации КБНЦ РАН по направлению "Исследование структурных и качественных свойств решений локальных и нелокальных краевых задач для широких классов уравнений и систем основных типов и их приложения". (№ ГР 01.950004494 код 1.1.11. (1.1.11.1,1.1.11.3)).

Целью работы является исследование линейных краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка и уравнений параболического типа с дробной производной в младших членах и разработка численно-аналитических методов их решения.

Основными методами исследования являются: метод априорных оценок в сочетании с принципом экстремума для оператора дробного дифференцирования; метод функции Грина; метод построения устойчивых разностных схем.

В диссертационной работе рассматриваются новые по постановке задачи. Научную новизну представляют следующие результаты:

• построен специальный дискретный аналог дробной производной и установлен дискретный аналог принципа экстремума для оператора дробного дифференцирования;

• для широкого класса решений обыкновенного дифференциального уравнения с дробной производной в младших членах получена априорная оценка в норме 0^(0,1). Построены разностные схемы основных краевых задач, доказаны их устойчивость и сходимость;

• в нестационарном случае, дано обоснование метода Ротэ для третьей краевой задачи, построена разностная схема и доказана ее сходимость;

• для обобщенного дифференциального оператора переноса дробного порядка получена априорная оценка, гарантирующая единственность решения краевой задачи. На основе принципа максимума доказана сходимость соответствующих разностных схем в равномерной метрике;

• для уравнения теплопроводности изучен новый класс нелокальных задач с дробной производной по времени в граничных условиях.

Результаты, полученные в работе, являются определенным вкладом в теорию краевых задач для нелокальных дифференциальных уравнений, численно-аналитических методов их решения.

Результаты работы могут быть использованы для решения конкретных задач теории фильтрации в сильно пористых средах, при изучении деформационно-прочностных свойств полимерных материалов, а также при описании физических процессов стохастического переноса.

Основные результаты работы докладывались и обсуждались на научно-исследовательском семинаре НИИ ПМА по современному анализу, на научно-исследовательском семинаре математических кафедр Кабардино-Балкарского государственного университета, отдельные ре-

зультаты докладывались на международной конференции «Нелокальные краевые задачи и родственные проблемы математической биологии, информатики и физики.» (Нальчик, 1996 г.), на международной конференции «Нелинейные проблемы дифференциальных уравнений и математической физики» (Киев, 1997 г.).

В первой главе изучаются краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений с дробной производной в младших членах. 1. Исследована краевая задача

г(хЩх и - q(x) и = -/(*), 0 < х < 1, (1)

ах ах

и(0)=0, и(1)=0, (2)

где &(x)>Ci>0, г(х)>0, <у(х)>0, Dqx - оператор дробного в смысле Рима-

на-Лиувилля дифференцирования порядка ае]0,1[:

Установлен дискретный аналог принципа экстремума для дробной производной: пусть сеточная функция y(Xj) ^ const принимает йаиболь-шее положительное (наименьшее отрицательное) значение в некоторой точке х = х1о сеточной области coh={Xi=ih, i-l,2,...,N-lj, тогда А"0л: j>0

(Аа0х. у < 0), для всех осе (ОД).

1

Здесь Д" и=

а 1 Z_iv «-S+1 i-s f x,s

х. 1 — СС S=i

Г(1 - a)

- дискретный аналог дробной производной порядка а. В этой же главе установлена важная формула

Х)£и=Ла0х11 + О(А). 2. Задаче (1) - (2) поставлена в соответствие разностная схема

L"y = (ЧУ* )х ~ КхЖхУ ~dy = ~y у (3)

jo=jn=0, (4)

cii=ki_1/2, di=q(Xi), (Pi~f(Xi),

Пусть q(x)> т> О, тогда для решения разностной задачи получена априорная оценка в равномерной метрике. В случае, когда </(л;)>0, пользуясь методом функции Грина, доказана сходимость решения разностной задачи (3)-(4) к решению дифференциальной задачи (1)-(2) со скоростью 0{li) в равномерной метрике.

Аналогичные результаты справедливы и в случае более общего уравнения

d du '"

Lu=~— [£(*) aj (x)D^u-am+1(x)u= -f(x). (5)

ах dx

Для решения рассматриваемых краевых задач получена априорная оценка ЦиЦ^ < М||/||о,

II II2 II II2 II II2 II II2 V 2 /- ч J

N 1 = к + М , N = \и (x)dx.

II IlWjio.i) II *llo II Но' II Но J v '

о

Во второй главе исследуются краевые задачи для нестационарного уравнения с дробной производной по пространственной переменной.

1. В области Q ={(x,/):0<x<l, 0</<Т} рассмотрена первая l . >-I ¡ краевая задача

^ = А [/с(х,0- r(x,t)Da0Xu- q(x,t)u + /(дс,t), (6)

dt ох ох

M(0,t)=M(l,0=0,

и(\,0)=и0(х) , (7)

k(x,t)>cx>0, г(дс,*)>0 , q(x,t)>О,

где Щи =--\ —L,0 < а < 1.

0v T{\-a)äcl (x-xj

В предположении существования регулярного в области Q решения задачи (6)-(7) получена априорная оценка

где

< 2 ни = ЛИ(*»')1

о о

2. Для дифференциальной задачи (6)-(7) записана схема Ротэ Уг

о о

— [к(х, О - Г(х, (Щ*ху - 9(х, О у + /(*, О,

оде сЬс

^(0,0^(1.0=0,

V-V • у

У, =-, = =

т

т- шаг сетки по временной координате. Получен дискретный аналог априорной оценки (8):

(9)

/=1 \/=1

Для погрешности г = у - и, как это следует из (9), справедлива оценка

(Ю)

\\40+уТК ог-м£1г" /=1 /=1

где М=соп81>0 не зависящая от т, \|/ = О(т).

Из оценки (10) следует сходимость метода Ротэ со скоростью 0(т) в норме, стоящей слева в (10).

3. Для задачи (6)-(7) построено однопараметрическое семейство разностных схем.

у, = Л(ау+(1-о-)у) + <р, Уо=У*= 0, .К^О) = и0(х),

(11)

у = у]+1, У = У], У

Ау = (а(х,Оу,)х - г(х,1)Аа0ху

а{х.,О = (О, Л(х, О = ?(л;,0, ф = /(х,1), * = *;+1/2.

Для решения задачи (11) получена априорная оценка в равномерной метрике на слое:

j+1

<

/ „+2V

/=о

maxJ

o<i<N

откуда следует сходимость разностной схемы со скоростью где

А,т - шаги сетки по пространственной и временной координате.

В третьей главе исследованы краевые задачи для обобщенного уравнения переноса или уравнения диффузии дробного порядка. 1. В области О ={(л:,*): 0<дс<1, О<*<Г} рассмотрена задача

^ ч г 4^1 , Ч

Dotu = Lu + f (х, 0» Lu = — [к{х, t)—] - q(x, t)u.

м(0,О = и(1,О = 0,

О, (или =0 )

(12)

K1"

t=o

í->0

где

k(x,t)>cx>Q, q(x,t)> 0,

1 д 'rii(x,T)dT

m.u =

01

í-

0<a<l

Г(1-а) át o (t-r)a Для решения u(x,t) задачи (12) справедлива априорная оценка:

1

ш <M\\f\\ , М =

II * 112,0 П-7 112,6:

(13)

где £>0 - произвольная постоянная, удовлетворяющая условию

£<2Ci, V=CI - £•/2. Из оценки (13) следует единственность решения задачи.

2. В замкнутой области Q ={(x,í): 0 < х < 1,0 < t < Т} введена сетка

cohT =сокха>г= {(ih,jr):i = 0,1,...,N;j = 0,1,...,j0} с шагом h=l/N, r=T/j0.

Предполагается, что Л(х,/)еС3[0,1], еС2[0,1] при каждом фикси-

рованном ¿е[0,Г]. Установлено, что если исходная дифференциальная задача (12) однозначно разрешима в классе достаточно гладких функций, то необходимо и(л;,0) = 0.

Дифференциальной задаче (12) поставлена в соответствие разностная схема:

Аа0^ = Л(а^+(1-а)з;) + ф, (14)

У о ~ Ум — 0, у(х,0) = 0,

где

Лр = (я(0л), - ¿(¿)у, <р = /СМ),

I У'+> ^

Ло % ¡У = г(2- а) ^ ~ '

у-^у'-уЩ*, у = у1+\ У = у,

Имеет место следующая

Теорема. Пусть выполнены условия А:(х,*)еС3[0,1], #,/еС2[0,1]

при каждом фиксированном

(2 — 11~аЛк2

ха <-----—; 0 < с, < к <с2 у 0 <а<с3. (15)

Г(2 - а)(1 - а)(2с2 + сък ) 1 2 3

Тогда решение разностной задачи (14) сходится в равномерной метрике к решению дифференциальной задачи со скоростью

О

\ т

, кг = о{тх~а).

3. Рассмотрена третья краевая задача для уравнения диффузии дробного порядка

» <Эи „ дх

, ди » -л— = р2и-ц2(/), л; = 1.

дх

и(х,0)=0.

к{х^)>сх >0,^г(х,О>0,Р1(О>0,(32(О>0,Р1 + р2 >0. Для решения и=и(х,1) задачи (16) получена априорная оценка

о

откуда следует единственность решения исходной задачи.

Третьей краевой задаче поставлена в соответствие разностная задача

л

Д^ = А(ст^+(1-а)>0 + Ф,

кл- А(0 л)+(! - о-К^л,!+Л ('к) = -МО, (1?)

У К А(О^) + (1 - ООКЛ.ЛГ + Д (ОУАГ) = (О. У(х,0)=0.

Пусть 0 < с1 < с2, 0</и<^<с3, тогда при выполнении условия

(15) и 0 < и < 1 для решения задачи (17) справедлива оценка

шах

0<й<у+1

< — тъх\(рк \\с + ~ тах(|// )| + \цг {1к )|),

/// 0<*-./+1 И 0<к^+1

(18)

где Д. > Д > 0, 1 = 1,2.

При </>0 для решения задачи (17) получена априорная оценка в равномерной метрике

У

У+1

<

У +тах

0<к<}+1

/=о

а для погрешности г = .у - и неравенство

с

ry'+l

c ^max

0</(</+l

/= о

(20)

Так как v,,v2,\|/ =0(r + h), то из (20) следует оценка

< h Л г' у

<М\ т°

, 0<а <1,

(21)

Из (21) следует, что

—>

0 при —> 0, если h = 0(xx а).

4. Для третьей краевой задачи (16) написана схема повышенного порядка точности

Aa0ty = А(<зу+ (1 - а)у) + Ф, у(х, 0) = 0,

(22)

Л =

Л, xecoh, Л", х = 0, Л+, .V = 1,

где

Ay = (a(i)y,)x-d(i)y,

-й(*кь д(0=д(0+0.5/^(0,

п

= -7К(Oj,„v -Д(0*J, Д(0=Д(0+0.5/i<jrv(i). h

Ф =

<р, XECOh, <p = f(x,t), i = tJ+ll2, ^ -

p", * = 0, Д = //,(*)+0,5A/O(i),

0,5 h

277

0.5/i

Схема (22) имеет порядок аппроксимации 0(re + /г2) при любом а.

На основании принципа максимума для решения разностной задачи (22) получена оценка:

У

j+1

<

cpJ

ß* o<ksj+i j'=o

5. В области Q ={(jc,/):0<jc</, 0</<T} рассмотрена задача

(23)

du _ д dt cbc

k(x,t)

дх

+

f(x,t\

kux(0,t)= ß,{t)u{0,t)-mM * =

-kux(l,t) = ßt(t)Z>0"u(l,t)~/j2(t\ x = l, и(л;,0) = uQ(x\

k(x,t)>ci > 0, A,/?2>0, ßt+ß2>0. Для решения задачи (24) получена априорная оценка

( * (

(24)

Построен дискретный аналог нелокальной задачи (24) и получена оценка в равномерной метрике, откуда следует сходимость соответствующей разностной задачи со скоростью 0{т1'а +к).

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [53], [54], [55], [56], [57], [58].

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Бечилова, Аминат Расуловна, 1998 год

Литература

1. Абаза М.Г., Нахушев A.M., Шхануков М.Х., Тхакахов Р.Б. К вопросу прогнозирования деформационно-прочностных свойств полимерных материалов на основе методов дробного исчисления. Нелинейные краевые задачи математической физики и их приложения. Сб. научных трудов, Киев, 1994, с. 3-4.

2. Алероев Т.С. Задачи Штурма-Лиувилля для дифференциального уравнения 2-го порядка с дробными производными в младших членах. Дифференциальные уравнения, 1982, т. 18, N2, с. 341.

3. Алероев Т.С. Спектральный анализ одного класса несамосопряженных операторов. Дифференциальные уравнения, 1984, т. 20, N1, с. 171-172.

4. Бабенко Ю.И. Тепломассообмен. Метод расчета тепловых и диффузионных потоков. Ленинград, "Химия", 1986, с. 144.

5. Бицадзе A.B. Уравнения смешанного типа. М., Итоги науки 2, физ.-мат. наука, 1958, 154 с.

6. Бэгли Р.Л., Товик П.Дж. Дифференциальное исчисление, основанное на производных дробного порядка - новый подход к расчету конструкций с вязкоупругим демпфированием. Аэрокосмическая техника, 1984, т.2, N2, с.84-93.

7. Вебер В.К. Асимптотическое поведение решений линейной системы дифференциальных уравнений дробного порядка. Исследование по интегро-дифференциальным уравнениям в Киргизии. Фрунзе: Илим, 1983, вып. 16, с. 119-125.

8. Вебер В.К. К общей теории линейных систем с дробными производными. Фрунзе, Илим, 1985, вып. 18, с. 301-305.

9. Вебер В.К. Линейные уравнения с дробными производными и постоянными коэффициентами в пространстве обобщенных функций. Фрунзе, Илим, 1985. Вып. 18, с. 306-312.

Ю.Вебер В.К. Об одном дифференциальном уравнении нецелого порядка. Сб.тр. аспирантов и соискателей Кирг. ун-та. Сер. мат. наук, 1973, вып. 10, с. 7-14.

11.Вебер В.К. Пассивность линейных систем дифференциальных уравнений с дробными производными и квазиасимптотика решений. Фрунзе, Илим, 1983, Вып. 16, с. 349-356.

12.Вебер В.К. Структура общего решения системы _у(а) = Ау, 0<а<1. Сб.тр. аспирантов и соискателей Кирг. ун-та. Сер. мат. наук, 1976, вып. 11, с. 2632.

13.Вольтерра В. Теория функционалов, интегральных и интегродифференци-альных уравнений. М., "Наука", Физматгиз, 1982, с. 304.

14.Воскобойников Ю.Е. Регуляризующий алгоритм обращения уравнения Абеля // Инж. - физ. журн., 1980, т.39, N2. с.270-274.

15.Воскобойников Ю.Е. Обращение уравнения Абеля с использованием кубических сплайнов // Инверсия Абеля и ее обобщения. Новосибирск. Институт теоретической и прикладной механики. СО АН СССР, 1978, с. 180189.

16.Выродов И.П., Завалко Г.В. - Тр. Краснодарского политехнического института, 1973, вып. 51, с. 145-172.

17.Геккиева С.Х. Краевая задача для обобщенного уравнения переноса с дробной производной по времени. Докл. Адыгской (Черкесской) Международной Академии Наук. Майкоп, "Меоты", 1994, т.1., N1, с. 17-19.

18.Годунов С.К., Рябенький B.C. Разностные схемы. М., Наука, 1977, 439 с.

19.Джрбашян М.М. Краевая задача для дифференциального оператора дробного порядка типа Штурма-Лиувилля. Изв. АН Арм. ССР мат. 1970, т.5, N2, с. 71-97.

20.Джрбашян М.М., Нерсесян А.Б. Дробные производные и задача Коши для дифференциальных уравнений дробного порядка. Изв. АН Арм. ССР мат. 1968,t.3,N1,C. 3-29.

21.Джрбашян М.М. Интегральные преобразования и представления функций в комплексной области. М., Наука, 1966, 671 с.

22.Докторский Р.Я., Осипов A.B. Обращение уравнения Абеля с помощью кубических сплайнов. // Вычислительные системы и алгоритмы. Ростов-на-Дону, Изд-во Рост, университета, 1983, с. 114-121.

23.Иманалиев М.И., Вебер В.К. Об одном обобщении функции типа Миттаг-Леффлера и его применение. Фрунзе, Илим, 1980. Вып. 13, с. 49-59.

24.Желудев В.А. Производные дробного порядка и численное решение одного класса уравнений в свертках. Дифференц. уравнения, 1982, т. 18, N3, с. 1950-1960.

25.Касаев Е.Л. О численном решении интегрального уравнения Абеля. Журн. вычисл. мат. и мат. физ., 1973, т. 13, N6, с. 1591-1596.

26.Кочубей А.Ю. Диффузия дробного порядка. Дифференц. уравнения, 1990, т, 26, с. 660-670.

27.Краснов В.А. О дробных производных функций многих переменных // Краевые задачи электродинамики производящих сред. Киев, Институт математики АН УССР, 1976, с. 240-243.

28.Краснов В.А., Фохт A.C. Интегральные оценки дробных производных решений линейных уравнений эллиптического типа в метрике L2. г.1. // Дифференциальные уравнения, 1975, т. 11, N6, с. 1042-1053.

29.Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики, т. 1,2. Гостехиз-дат, 1951,220 с.

30.Курант Р. Уравнения с частными производными. М., "Мир". 1964, 832 с.

31.Косарев Е.Л. О численном решении интегрального уравнения Абеля // Журн. вычисл. мат. и мат. физ., 1973, т.З., N6, с.1591-1596.

32.Ладыженская O.A. Краевые задачи математической физики. М., Наука, 1973, 407 с.

33.Ладыженская O.A., Солонников В.А., Уральцева H.H. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М., Наука, 1967, 736 с.

34.Ладыженская O.A., Уральцева H.H. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. М., Наука, 1973, 620 с.

35.Летников A.B. Теория дифференцирования с произвольным указателем. // Мат. сб., 1968, т.З, с. 1-68.

36.Медведев Н.В. Решение интегральных уравнений Абеля методом сплайнов // Вопросы качественной теории дифференциальных уравнений. Чебоксары, Чебокс. ун-т, 1982, с.62-65.

37.Михлин С.Г. Интегральные уравнения. Лекции по линейным интегральным уравнениям. М., Физматгиз, 1959, 232 с.

38.Нахушев A.M. Задача Штурма-Лиувилля для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка с дробными производными в младших членах. ДАН СССР, 1977, т. 234, N2, с. 308-311.

39.Нахушев A.M. Уравнения математической биологии. М., Высшая школа, 1995,301 с.

40.Нахушев A.M. К теории интегральных уравнений Вольтерра третьего рода и связанных с ними вырождающихся дифференциальных уравнений с дробными производными. ДУ, 1974, т. 10, № 1, с. 100-111.

41.Нахушев A.M. О положительности операторов непрерывного и дискретного дифференцирования и интегрирования весьма важных проблем исчислений и в теории уравнений смешанного типа. ДУ, 1998, т. 34, № 1, с. 101-109.

42.Нигматуллин P.P. Решение обобщенного уравнения переноса в среде с фрактальной геометрией. Phs. stat. sob. b. 133, 1986.

43.Сакалюк К.Д. Обобщенное интегральное уравнение Абеля // Докл. АН СССР, 1960, т. 131, N4, с.748-751.

44.Самарский A.A., Гулин A.B. Устойчивость разностных схем. М., Наука, 1973,415 е..

45.Самарский A.A. Теория разностных схем. М., Наука, 1977, 656 с.

46.Самко С.Г., Килбас A.A., Маричев О.И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. Минск, "Наука и техника", 1987, 686 с.

47.Чукбар К.В. Стохастический перенос и дробные производные. ЖЭТФ, 1995, т. 108, вып. 5(11), с.1875-1884.

48.Шогенов В.Х., Кумыкова С.К., Шхануков-Лафишев М.Х. Обобщенное уравнение переноса и дробные производные. Докл. Адыгской (Черкесской) Международной Академии Наук, 1996, т. 2. N1, с. 43-45.

49.Шогенов В.Х., Шхануков-Лафишев М.Х., Х.М. Бештоев. Дробные производные: интерпретация и некоторые применения в физике. Сообщения объединенного института ядерных исследований. Дубна, 1997, с. 17.

50.Шханукова М.М. Нелокальнае задачи для параболических уравнений и их приложения к проблемам соле- и влагопереноса. Канд. диссертация, Киев, 1994 г.

51.Шхануков М.Х. О сходимости разностных схем для дифференциальных уравнений с дробной производной. Докл. РАН, 1996, т. 348, №6, с. 746748.

52.Шхануков М.Х., Керефов A.A., Березовский A.A. Краевые задачи для уравнения теплопроводности с дробной производной в граничных условиях и разностные методы их численной реализации. Укр. мат. журн., 1993, т. 45, N9, с. 1289-1298.

53.Шхануков-Лафишев М.Х., Бечелова А.Р. Замечание к постановке краевых задач для дифференциальных уравнений с дробными производными. Сб. научных трудов. Киев, 1996, с. 286-287.

54.Шхануков-Лафишев М.Х., Бечелова А.Р. Численное решение третьей краевой задачи для обобщенного уравнения диффузии, дробного порядка. Нелокальные задачи и родственные проблемы математической биологии, информатики и физики. Нальчик, 1996, с. 103.

55.Бечелова А.Р. Построение разностных схем, аппроксимирующих третью краевую задачу для уравнения диффузии дробного порядка. Нелинейные краевые задачи математической физики и их приложения. Сб. научных трудов. Киев, 1996, с. 40-41.

56.Бечелова А.Р. О сходимости разностных схем для уравнения диффузии дробного порядка. Нелинейные краевые задачи математической физики и их приложения. Сб. научных трудов. Киев, 1996, с.42-43.

57.Гарепекина И.Ю., Бечелова А.Р. Об одном итерационном методе решения первой краевой задачи для дифференциального уравнения с дробной производной. Вестник Кабардино-Балкарского государственного университета, вып. 1, Нальчик, 1996, с. 38-40. ^ cö„onnDo a pü сходимости разностных схем для уравнения диффузии

за. ъечелова/v.r дробного порядка. Укр. мат. журнал, 1998, l&Q,*/*it-994-sjç

59.Abel N.H. Solution de quelques problems a l'aide d'integrales defines // Gesammelte mathematische werke. Leipzig: Teubner, 1881, T.l, p. 11-27.

60.Abel N.H. Auflosung einer mechanischen aufgabe // J. fur reine und angew. Math, 1826, Bd. 1,S. 153-157.

61.A1.-Abedeen A.Z. Existence theorem on differential equations of generalized order//Rafidain J. Sei. Mosul. Univ. Iniv. Iraq. 1976, Vol.1, p.95-104.

62.A1.-Abedeen A.Z., Arora H.L. A global existence and uniqueness theorem for ordinary differential equations of qeneralized onder // Canad. Math. Bull. 1978, Vol. 21, №3, p. 267-271.

63.A1.-Bassam M.A. Some existence theorems an differential equations of generalized order // Jbid, 1965, Bd ZI 18. S.70-78.

64.A1.-Bassam M.A. On fractional calculus and its applications to the theory of ordinary differential equations of generalized order. Lect. Notes, in Pure and Appl. Math. Dekker. New York, 1982, Vol.80, p.305-331.

65.Balasubramanian R., Norrce D.H., Vries G. de. The anpplication of the least squares finite element method to Abel's integral equation // Intern. I. Numer. Methods in Eng. 1979. Vol. 14. P.201-209.

66.Barrett J.H. Differential equations of noninteger order // Canad. J.Math., 1954, Vol.6, N4, p.529-541.

67.Butzer P.L., Westphal U. An access to fractional differentiation via fractional difference quotients // Leet. Notes, Math. 1975, Vol.457, p. 116-145.

68.Chan C.K., Lu P. On the stability of the solution of Abel's integral equation // I.Phys. A: Math, and Gen. 1981. Vol. 14, N3. P.575-578.

69.Edels H., Hearne K., Young A. Numerical solutions of the Abel integral equation //1. Math, and Phys. 1962. Vol. 41, N1. P. 62-75.

70.Eggermont P.P.B. A new analysis of the trapezoidal - diseretization method for the numerical solution of Abel-type integral equations //1. Integr. Equat. 1981. Vol. 3, N4. P.317-332.

71.Fettis H.E. On the numerical solution of equations of the Abel type // Math. Comput. 1964. Vol. 18, N84. P.491-496.

72.Frie W. Zur Auswertung der Abelschen Integralgleichung // Ann. Phys. DDR. 1963. Bd 10, N5-6. S. 332-339.

73.Gorenflo R. Losung einer Abelschen Integralqleichung bei Anwesenheit von Störungen mittels quadratischer Optimierung // Z/ angew. Math, und Mech. 1965. Bd 45. S.-H. S.T33-T35.

74.Grunwald A.K. Uber "begrenzte" Derivationen und deren Anwendung // Z. angew. Math, und Phys., 1867, Bd. 12, S. 441-480.

75.Hadamardd J. Essai sur Tetude des fonctions donnees par leur développement de Taylor // J. Math. Pures et appl. Ser. 4, 1892, T.8, P. 101-186.

76.Hille E, Tamarkin J.D. Ann. Math. 1930, v.31, p.479-528.

77.Holmgren H. Om Differentialkalkylen med indices af hvad Natur som helst. -Stockholm Akad. Handl. 1866, 5, N 11.

78.Liouville J. Memoire sur quelquens de geometrie et de mecanique et sur un nouveau genre de calcul pour résoudre ces questions. -J. de l'Ecole Polytechnique, 1832, 13, N21, 1-69.

79.Liouville J. Vtvoire sur le calcul des différentielles a indices quelconques. -J. de Iecole Polytechnique, 1832,13, N21, 71-162.

80.Liouville J.Memoire sur l'intégration de l'équation (mx +nx+p)yxx+ +(qx+r)yx+sy=0, a l'aide des différentielles a indices quelconques. -J. l'Ecole Polytechnique, 1832, 13, N21, 163-186.

81.Mandelbrojt S. Sulla generalizzazione del calcolo delle variazione // Anti Reale Accad. Naz. Lincei Rend. CI. sei. fis., mat. e natur. Ser. 6. 1925, Vol.1, P. 151156.

82.Minerbo G.N., Levy M.E. Inversion of Abel's integral equation by means of orthogonal polynomials // SIAM I. Numer. Anal. 1969. Vol. 6, N4. P.598-616.

83.0'Shaughnessy L. Problem 433 // Amer. Math. Month. 1918, Vol. 25, p. 172173.

84.Pitcher E., Sewell W. Existence theorems for solutions of differential equations of non-integral order. Ibid. 1938, Vol. 44, N2, P.100-107.

85.Riemann B. Versuch einer allgemeinen Auffassung der integration und Differentiation 1847; Gesammelte Werke. - Leipzig; B.F. Teubner, 1876, S. 331-344.

86.Sirola R.O., Anderson T.P. Abel integral inverter // Rev/ Sei. Instrum. 1967. Vol. 38, N6. P.749-759.

87.Ugniewski S. Solving the Abel integral equation by interpolation methods // Zastoa. Mat. Appl. Math. 1977. Vol. 16, Nl.P.91-109.

88.Ugniewski S. Solving the Abel integral equation by means of orthogonal polynomials // Warszawa, 1976, 17 P.

89.Weiss R. Product integration for the generalized Abel equation // Math. Comput. 1972. Vol. 26, N117. P.177-190.

90.Whittaker E.T. On the numerical solution of integral equations // Proc. Roy. Soc. London. Ser. A. 1917-1918. Vol.94. P.367-383.