О свойствах корневых функций и спектральных разложений, отвечающих несамосопряженным дифференциальным операторам тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, доктор физико-математических наук Макин, Александр Сергеевич

• Макин, Александр Сергеевич
• доктор физико-математических наук
• 2000

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Макин, Александр Сергеевич

Введение .'.

Глава I. .КРАЕВЫЕ" ЗАДАЧИ НА СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ

ДЛЯ ОПЕРАТОРА ШТЗТМ-ЛИУВИЛЛЯ.

§ I. Двухточечные краевые задачи на интервале [0,1]

§ 2. Многоточечные краевые задачи на интервале (0,4)

Глава II. ИНФОРМАТИВНАЯ ЖША СРЕДНЕГО ЗНАЧЕНИЯ ДЛЯ

КОРНЕВЫХ ФУНКЦИЙ ОПЕРАТОРА ШРЕДННГЕРА

§ 3. Вывод формулы среднего значения

§ 4. Детализация формулы среднего значения в одномерном случае

Глава III. СХОДИМОСТЬ СРЕДНИХ РИССА СПЕКТРАЛЬНЫХ РАЗЛОЖЕНИЙ, ОТВЕЧАВШИХ ОПЕРАТОРУ ШТУРМА-ЛПУВИЛЛЯ

§ 5. Доказательство теорем о суммировании методом Рисса

Глава ТУ. СВОЙСТВА КОРНЕВЫХ ФУНКЦИЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ И

ГЖ10ЭЛЛШТНЧЕСКЙХ ОПЕРАТОРОВ

§ 6. Оценки антиаприорного типа для собственных и присоединенных функций эллиптического оператора

§ 7. Точные оценки для собственных функций и производных корневых функций

§ 6. Равномерные оценки присоединенных функций оператора Шредингера

§ 3. Оценки антиаприорного типа для собственных и присоединенных функций гипозллиптических операторов

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «О свойствах корневых функций и спектральных разложений, отвечающих несамосопряженным дифференциальным операторам»

I. Спектральная теория линейных дифференциальных операторов является интенсивно развивающейся областью современной математики, имеющей многочисленные приложения в математической физике. Применение метода Фурье для нахождения решения дифференциального уравнения в частных производных всегда приводит к задачам исследования спектра и разложения произвольной функции в ряд по корневым функциям дифференциального оператора.

В настоящее время наиболее разработанной является спектральная теория самосопряженных дифференциальных операторов, развитие которой было начато В.А.Стендовым. Значительно труднее поддавались исследованиям проблемы спектральной теории несамосопряженных дифференциальных операторов. Впервые крупные успехи в области несамосопряженных краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений были достигнуты Г.Биркгофом и Я.Д.Тамарниным Г £ ^ 3 . Интересные результаты по асимптотике собственных значений краевых задач для эллиптического оператора второго порядка были получены Т.Карлеманом С841 . Огромное- влияние на последующее развитие теории несамосопря}кенных операторов оказала фундаментальная работа М.В.Келдыша L (см. также ИЗ*/] ), позволившая установить полноту системы собственных и присоединенных функций для широких классов краевых задач,

Однакоs соответствующие биортогональные ряды Фурье, вообще говоря, не обладают свойством базисности. Изучению достаточных условий сходимости спектральных разложений, отвечающих обыкновенному несамосопряженному дифференциальному оператору к,)

K-t)

0.1) заданному на некотором интервале о , были посвящены работы многих математиков. Наибольшее внимание уделялось двухточечным краевым задачам, когда краевые условия задаются на концах интервала G . В. П. Михайл овым и Г. М. Ке с ельманом 13П было установлено, что система корневых функций оператора (0.1), рассматриваемого на интервале (О, 4) , с усиленно регулярными краевыми условиями образует базис Рисса в пространстве L^fO^j , В С 55*] также приведен пример оператора (0.1) с регулярными, но не усиленно регулярными краевыми условиями, система собственных и присоединенных функций которого не является базисом в Lf,(0,i) . В работе L4H1 A.A.Шкаликов показал, что система корнеых функций оператора (0.1) с регулярными краевыми условиями образует базис Рисса со скобками в пространстве L¿{0,1) . В статье С3£] А.Г.Костюченко и A.A.Шкаликов решили задачу о суммировании методом Абеля спектральных разложений, отвечающих оператору (0.1) с постоянными коэффициентами в случае распадающихся нормированных краевых условий. Различные аспекты спектрального анализа двухточечных краевых задач с обширной библиографией изложены в монографиях Э.А.Коддингтона и Н,Левинеона [363, М.А.Наймарка C5ö3 , Н.Данфорда и Дж.Т.Шварца [ 93 , обзоре Дд.Локера [$£-8?] .

В ряде работ исследовались краевые задачи на собственные значения для обыкновенных несамосопряженных дифференциальных операторов с интегральными и, в частности, многоточечными краевыми условиями. Подробный перечень литературы по данному вопросу указан в обзоре A.M.Кралла [ F^l . Отметим, что в работе [УП А.А.Шпаликова была установлена полнота системы собственных и присоединенных функций оператора (0,1), рассматриваемого на интервале [0,4) 5 с интегральными краевыми условиями и доказано, что система корневых функций образует базис Рисса со скобками в ¡-¿(О,!) . Сходимость разложений по корневым функциям нелокальных краевых задач исследовалась Т.А. Самарской Г64-621.

В перечисленных выше работах авторы исходили из классического определения собственных и присоединенных функций рассматриваемого дифференциального оператора, в соответствии с которым они должны удовлетворять каким-либо конкретным краевым условиям» В.А.Ильиным в [10, И] была предложена новая, обобщенная трактовка корневых функций* согласно которой собственные и присоединенные функции являются только регулярными решениями соответствующих дифференциальных уравнений с комплексным спектральным параметром.

Рассмотрим обыкновенный несамосопряженный дифференциальный оператор порядка &

0.2) е . заданный на некотором интервале

Определение I. Следуя В.А.Ильину, под собственной функцией оператора (0.2), отвечающей комплексному собственному значению Л » будем понимать любую, не равную тождественно нулю комплекснозначную функцию МХ) из класса СМ{£) , являющуюся регулярным решением

Lo .о

М. Ы - О . Аналогично под присоединенной функцией порядка £, г 9 отвечающей тому же X и собственной функо £• ции И(К) , будем понимать любую комплекснозначную функцию и-[К) из класса С^((г), являющуюся регулярным решением уравнения £ , г г-1 хы- и,.

В работе В.А.Ильина [10,411 были установлены необходимые и достаточные условия базисности и равносходимости с тригонометрическим рядом Фурье разложений по понимаемым в указанном смысле корневым функциям оператора (0.2) с совершенно произвольными краевыми условиями. Сформулируем один из основных результатов работы

С 10,111 .

Обозначим через собственные значения оператора (0.2), а

- б: через отвечающие этим Лц собственные и присоединенные функции (при нумерации собственных значений допускается их совпадение). Кроме собственных значений А* также рассматриваются числа к вида если К четно,

ИМ"* если если

VI нечетно, ,1/НоХк (0.3) Н> нечетно, Х^и, Ак ¿0, где всюду 12-е Л -Ч. -е

ТС

1Ъ при ~ Ч - .

Пусть {и,к} — какая угодно полная в ((г) и минимальная система собственных и присоединенных функций оператора (0.2). ¡Едя такой системы ¿¡Л-к} существует (и притом единственная) биортого-нально сопряженная к ней в ((г) система » Считая, что числа ^ не имеют конечных точек сгущения, занумеруем их в порядке неубывания 1*1 и для любой функции ^(Х) из класса !£. (составим частичную сумму порядка "6 биортотонального ряда с: \\£)= И .

Определение 2. Будем говорить, что система / обладает свойством базисности, если для любой функции /(Х) из класса ¡1 От, и любого компакта К интервала С имеет место равенство —> £.£ {Л/

Теорема (В.А.Ильина)«, Пусть выполнены следующие два условиям I) коэффициенты рК (X) оператора (0.2) принадлежат классам

2) числа , определяемые соотношениями (0,3), удовлетворяют двум неравенствам рбцгср^рп для любого 1*02 0 ).

Тогда необходимым и достаточным условием базисности системы {к-к} собственных и присоединенных функций оператора (0.2) является существование для любого компакта К интервала & постоянной С (К) , обеспечивающей справедливость неравенства для любого номера К ,

В статье С131 В,А.Ильин распространил все основные результаты работы £10,111 на случай пространств с произвольным р из интервала оо и установил: I) необходимые и достаточные условия базисности в (на любом компакте основного интервала) систем собственных и присоединенных функций оператора (0.2), 2) необходимые и достаточные условия равномерной на любом компакте равносходимости с тригонометрическим рядом Фурье спектральных разложений по указанным системам для произвольной функции из класса (-р при -I £ р < оо

В работах Г^З , [141 'В.А.Ильин получил необходимые и достаточные условия безусловной базисности на замкнутом интервале 6 системы корневых функций оператора

0.5)

В случае нарушения необходимого условия базисности (0.4) естественно возникает вопрос о возможности, суммирования соответствующего биортогонального ряда каким-либ®-обобщенным методом, например, методом Рйсса. Заметим, что, как показано в [1X1 » выполнение или нарушение условия (0.4) может зависеть не только от краевых условий, присоединяемых к оператору (0.5), но и от коэффициентов- ргМ и (х) . В работе В.А.Ильин и В.В.Тихомиров установили достаточные условия базисности.и равносходимости с рис-совскими средними тригонометрического ряда Фурье риссовских средних (того же порядка) спектральных разложений, отвечающих оператору (0.2), рассматриваемому на произвольном интервале (х . Сформулируем один из основных результатов работы С %ГЗ .

Обозначим через А^ собственные значения оператора (0.2) с совершенно произвольными краевыми условиями, а через — отвечающие этим Ак собственные и присоединенные функции, понимаемые в смысле определения I (при нумерации собственных значений допускается их совпадение). Пусть числа определяются соотношениями (0.3), а - какая угодно полная в ¿£ ((г) и минимальная система собственных и присоединенных функций оператора. (0.2). Считая, что числа ^к не тлеют конечных точек сгущения, занумеруем их в порядке неубывания 1рх1 и для любой функции 4М из класса ((г) составим частичную сумму порядка £ { £ ^ 0 ) риссовских средних порядка Г биортогонального ряда к I 1

Определение 3. Будем говорить, что средние Рисса системы обладают свойством базисности, если для любой функции из класса и (С) и любого компакта /ч интервала 1г имеет место равенство

I оо г I*/

Теорема (В.А.Ильина и В.В.Тихомирова). Пусть выполнены следующие условия:

1) коэффициенты ^(X) оператора (0.2) принадлежат классам

2) числа рк , определяемые соотношениями (0.3), удовлетворяют неравенствам

Ufokfcl - с< / 21 ^ С* для любого р 0 |

3) общее число присоединенных функций в системе конечно. Тогда достаточным условием базисности средних Рисса порядка ' полной и минимальной системы -¿Як} собственных и присоединенных функций оператора (0.2) является существование для любого компакта К интервала С постоянной С (К) г обеспечивающей справедливость неравенства для всех элементов и,* изучаемой системы.

Методы В.А.Ильина позволяют охватить задачи с нелокальными краевыми условиями типа Бицадзе-Оамарского С } задачи с вырождением на концах интервала,, а также системы обобщенных экспонент.

Значительно менее изученными являются проблемы спектральной теории несамосопряженных эллиптических операторов. Суммируемость методом Абеля спектральных разложений рассматривалась в работах В.Б.Лидского Г41-4$}, М.С.Аграновича С 4-3] , А.Г.Костюченко и Г.В.Радзиевского СЗ*] , А. А. Шкалик о ва и других авторов. В.Э.Кацнельсоном С 30, ЪА1 было показано, что системы корневых подпространств некоторых классов слабо возмущенных самосопряженных операторов образуют базис, эквивалентный ортогональному.

Свойства собственных и присоединенных функций, а также вопросы сходимости спектральных разложений, отвечающих несамосопряженным эллиптическим операторам, исследовались В.А.Ильиным и его учениками. Для общего эллиптического оператора второго порядка В.А.Ильин С 16] получил точные по порядку спектрального параметра Л оценки антиаприорного типа, связывающие 1-х - нормы корневых функций. Ранее такие оценки для оператора Шредингера были установлены БД.Ильиным и Е.И.Моисеевым в работе [181 . Аналогичные результаты были получены Н.Ю.Капустиным СПЯ! для оператора теплопроводности, а затем для общего параболического оператора второго порядка [291 . Н.Ю.Капустин [ %В1 также снял фигурировавшие в работах Г 16,4%] ограничения на область изменения спектрального параметра Л .

В работе [191 В.А.Ильин и Е.И.Моисеев установили точные ' : соотношения между [. -нормами и -нормами собственных и присоединенных функций общего эллиптического оператора второго порядка, что позволило В.А.Ильину в получить достаточные условия абсолютной и равномерной сходимости разложений по системе корневых функций указанного оператора в случае, если порядок присоединенных функций, входящих в систему, ограничен одной постоянной.

Важную роль при изучении суммируемости спектральных разложений играют формулы среднего значения для собственных и присоединенных функций рассматриваемого оператора. Для оператора Лапласа такая формула была получена В.А.Ильиным и Е.й.Моисеевым С. Ими же была предложена формула среднего значения для корневых функций оператора Шредингера СНА, . Указанная формула среднего значения для собственных и присоединенных функций оператора Лапласа в сочетании с известными антиаприорными оценками дала возможность Я.Ш.Салимову [5*6-£0] провести исследование сходимости средних Рисса биортогональных разложений по системам корневых функций несамосопряженных расширений оператора Лапласа в случае, если порядок присоединенных функций, входящих в систему, ограничен одной постоянной.

2. Настоящая работа, основные результаты которой опубликованы в статьях £91-4011, состоит из введения, четырех глав и списка литературы. Перейдем к подробному изложению содержания диссертации.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Макин, Александр Сергеевич, 2000 год

1. Агранович M. С. О суммируемости рядов по корневым векторам несамосопряженных эллиптических операторов. // Функц. анализ и его прилож. 1976. Т. 10, № 3. С. 1-12.

2. Агранович М.С. О радах по корневым векторам операторов, очень близких к самосопряженным. // Функц. анализ и его прилож. 1977. Т. 11. № 4. С. 65-67.

3. Агранович М.С. Дополнение к кн. Войтович H.H., Каценеленбаум Б.З., Сивов А.Н. Обобщенный метод собственных колебаний в теории дифракции. М., 1977.

4. Бицадзе A.B., Самарский A.A. О некоторых простейших обобщениях линейных эллиптических краевых задач. // ДАН СССР. 1969. Т. 185. №4. G. 739-740.

5. Бохнер С. Лекции об интегралах Фурье. М., 1962.

6. Ватсон Г.Н. Теория бесселевых функций, ч. L М., 1949.

7. Гохберг И.Ц., Крейн М.Г. Введение в теорию линейных несамосопряженных операторов. М., 1965.

8. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М., 1971.

9. Данфорд Н., Шварц Дж.Т. Линейные операторы, т. 3. Спектральные операторы. М., 1974.

10. Ильин В.А. Необходимые и достаточные условия базисности и равносходимости с тригонометрическим рядом спектральных разложений. I. // Дифференц. уравнения. 1980. Т. 16. № 5. С. 771-794.

11. Ильин В.А. Необходимые и достаточные условия базисности и равносходимости с тригонометрическим рядом спектральных разложений. II. // Дифференц. уравнения. 1980. Т. 16. № 6. С. 980-1009.

12. Ильин В.А. О безусловной базисности на замкнутом интервале систем собственных и присоединенных функций дифференциального оператора второго порядка. // ДАН СССР. 1983. Т. 273. N° 5. С. 1048-1053.

13. Ильин В Л. Необходимые и достаточные условия базисности в Lp и равносходимости с тригонометрическим рядом спектральных разложений и разложений по системам экспонент. // ДАН СССР. Т. 273. № 4. 1983. С. 789-793.

14. Ильин В.А. Необходимые и достаточные условия базисности Рисса корневых векторов разрывных операторов второго порядка. // Дифференц. уравнения. 1986. Т. 22. № 12. С. 2059-2071.

15. Ильин В.А. О связи между видом краевых условий и свойствами базисности и равносходимости с тригонометрическим рядом разложений по корневым функциям несамосопряженного дифференциального оператора. // Дифференц. уравнения. 1994. Т. 30. № 9. С. 1516-1529.

16. Ильин В.А. О точных по порядку соотношениях между L^ -нормами собственных и присоединенных функций эллиптического оператора второго порядка. // Дифференц. уравнения. 1982. Т. 18. № 1. С. 30-37.

17. Ильин В.А. Об абсолютной и равномерной сходимости разложений по собственным и присоединенным функциям несамосопряженного эллиптического оператора. // ДАН СССР. 1984. Т. 274. №1. С. 19-22.

18. Ильин В.А., Моисеев Е.И. Точные по порядку оценки антиаприорного типа для собственных и присоединенных функций оператора Шредингера. //Дифференц. уравнения. 1981 Т. 17. № 10. С. 1859-1867.- Ш56

19. Ильин В.А., Моисеев Е.И. Точные по порядку оценки максимумов модулей собственных и присоединенных функций эллиптического оператора. // Матем. заметки. 1983. Т. 34. № 5. С. 683-692.

20. Ильин В.А., Моисеев Е.И. Формула среднего значения для присоединенных функций оператора Лапласа. // Дифференц. уравнения. 1981. Т. 17. № 10. С. 1908-1910.

21. Ильин В.А., Моисеев Е.И. Об одном обобщении формулы среднего значения для регулярного решения уравнения Шредингера. В кн.: Проблемы матем. физики и вычисл. математики. М., 1977. С. 157-166.

22. Ильин В.А., Моисеев Е.И. Формула среднего значения для корневых функций оператора Шредингера. // Дифферец. уравнения. 1991. Т. 27. № 4. С. 702-705.

23. Ильин В.А, Моисеев Е.И. Об отсутствии свойства базисности у системы корневых функций задачи с наклонной производной. // Дифференц. уравнения. 1994. Т. 30. № 1. С. 128-143.

24. Ильин В.А., Садовничий В.А., Сендов Бл.Х. Математический анализ. М., 1979.

25. Ильин В.А., Тихомиров В.В. О базисности риссовских средних спектральных разложений, отвечающих обыкновенному несамосопряженному дифференциальному оператору порядка УЬ . // Дифференц. уравнения. 1982. Т. 18. № 12. С. 2098-2126.

26. Ионкин Н.И. Решение одной краевой задачи теории теплопроводности с неклассическими краевыми условиями. // Дифференц. уравнения. 1977. Т. 13. № 2. С. 294-304.

27. Капустин Н.Ю. О точных по порядку оценках антиаприорного типа для собственных и присоединенных функций оператора теплопроводности. // Дифферец. уравнения. 1984. Т. 20. № 1. С. 41-45.

28. Капустин Н.Ю. Точные по порядку антиаприорные оценки для собственных и присоединенных функций эллиптического оператора. // ДАН СССР. 1984. Т. 227. М> 4. С. 791-794.

29. Капустин Н.Ю. Вопросы сходимости спектральных разложений по собственным и присоединенным функциям параболического оператора. // Дифференц. уравнения. 1986. Т. 22. № 9. С. 1616-1618.

30. КацнельсоН В.Э. Об условиях базисности системы корневых векторов некоторых классов операторов. // Функц. анализ и его прилож. 1967. Т. 1. № 2. С. 39-51.

31. Кацнельсон В.Э. О сходимости и суммируемости рядов по корневым векторам некоторых классов несамосопряженных операторов. Кавд. дисс., Харьков, 1967.

32. Качмаж С., Штейнгауз Г. Теория ортогональных рядов. М., 1958.

33. Келдыш М.В. О собственных значениях и собственных функциях некоторых классов несамосопряженных уравнений. // ДАН СССР. 1951. Т. 77. № 1. С. 11-14.

34. Келдыш М.В. О полноте собственных функций некоторых классов несамосопряженных линейных операторов. // УМН. 1971. Т. 26. В. 4. С. 15-41.

35. Кесельман Г.М. О безусловной сходимости разложений по собственным функциям некоторых дифференциальных операторов. // Изв. вузов, математика. 1964. № 2. С. 82-93.

36. Коддингтон Э.А. и Девинсон Н. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений. М., 1958.

37. Костюченко А.Г., Радзиевский Г.В. О суммировании методом Абеля VI -кратных разложений. // Сиб. матем. ж. 1974. Т. 15. № 4. С. 855-870.

38. Костюченко А.Г., Шкаликов A.A. О суммируемости разложений по собственным функциям дифференциальных операторов и операторов свертки. // Функц, анализ и его прилож. 1978. Т. 12. № 4. С. 24-40.

39. Ладыженская O.A. Краевые задачи математической физики. М., 1973.

40. Лебедь Г.К. Некоторые неравенства для тригонометрических и алгебраических многочленов и их производных. // Тр. МИАН. 1975. Т. 134. С. 142-160.

41. Лидский В.Б. О суммируемости рядов по главным векторам несамосопряженных операторов. // ДАН СССР. 1960. Т. 132. N° 2. С. 275-278.

42. Лидский В.Б. О суммируемости рядов по главным векторам несамосопряженных операторов. // Тр. Моск. матем. о-ва. 1962. Т. 11. С. 3-35.

43. Лидский В.Б. О разложении в ряд Фурье по главным функциям несамосопряженного эллиптического оператора. // Матем. сб. 1962. Т. 57. № 2. С. 137-150.

44. Лидский В.Б. Об одной оценке резольвенты эллиптического дифференциального оператора. // Функц. анализ и его прилож. 1976. Т. 10. В. 4. С. 89-90.

45. Ломов И.С. Некоторые свойства собственных и присоединенных функций оператора Штурма-Лиувилля. // Дифференц. уравнения. 1982. Т. 18. N° 10. С. 1684-1694.

46. Мизохата С. Теория уравнений с частными производными. М., 1977.

47. Михайлов В.П. О базисах Рисса в (0,1). // ДАН СССР. 1962. Т. 144. № 5. С. 981-984.

48. Моисеев Е.И. Об отсутствии свойств базисности у системы корневых функций одной нелокальной краевой задачи. // Дифференц. уравнения. 1994. Т. 30. № 12. С. 2082-2093.

49. Муравей Л.А. Базисы Рисса в ЦИД Тр. МИАН. Т. 91. С. 113-131.

50. Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы. М., 1969.

51. Никифоров А.Ф., Уваров В.Б. Специальные функции математической физики, м., 1978.

52. Никольский С.М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. М., 1977.

53. Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М., 1974.

54. Прудников А.П., Брычков ЮЛ, Маричев О.И. Интегралы и ряды. Элементарные функции. М., 1981.

55. Прудников А.П., Брычков Ю.А, Маричев О.И. Интегралы и ряды. Специальные функции. М., 1983.

56. Салимов Я.Ш. О средних Рисса биортогональных разложений по собственным и присоединенным функциям несамосопряженных расширений оператора Лапласа. // ДАН СССР. 1986. Т. 286. № 2. С. 291-295.

57. Салимов Я.Ш. О средних Рисса спектральной функции несамосопряженного оператора Лапласа при наличии присоединенных функций порядка, превосходящего порядок средних Рисса. // ДАН СССР. 1986. Т. 289. № 6. С. 1311-1314.

58. Салимов Я.Ш. О средних Рисса биортогональных разложений по собственным и присоединенным функциям несамосопряженных расширений оператора Лапласа. // Дифференц. уравнения. 1986. Т. 22. № 5 С. 864-876.

59. Салимов Я.Ш. Спектральные разложения в случае, когда порядки присоединенных функций превосходят порядок средних Рисса. // Дифференц. уравнения. 1986. Т. 22. № 12. С. 2097-2106.

60. Салимов Я.Ш. О средних Рисса биортогональных разложений по собственным и присоединенным функциям оператора Лапласа. Докт. дисс., М., 1987.

61. Самарская Т.А. Абсолютная и равномерная сходимость разложений по корневым функциям нелокальной краевой задачи I рода. // Дифференц. уравнения. 1989. Т. 25. № 7. С. 1155-1160.

62. Самарская Т.А. Об одном обобщении теоремы разложимости Стеклова на случай нелокальных краевых условий. // Дифференц. уравнения. 1989. Т. 25. № И. С. 2008-2010.

63. Свешников А.Г., Тихонов А.Н. Теория функций комплексной переменной. М., 1974.

64. Тамаркин Я.Д. О некоторых общих задачах теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Пг., 1917.

65. Тиман А.Ф. Теория приближений функций действительного переменного. М., 1960.

66. Титчмарш Э.Ч. Разложения по собственным функциям, связанные с дифференциальными уравнениями второго порядка. Т. 1. М., 1969.

67. Тихомиров В.В. Точные оценки регулярных решений одномерного уравнения Шредингера со спектральным параметром. // ДАН СССР. 1983. Т. 273. N° 4. С. 807-810.

68. Фельдман Н.И. Приближения алгебраических чисел. М., 1981.

69. Фридман А. Уравнения с частными производными параболического типа. М., 1968.

70. Хермандер JI. К теории общих дифференциальных операторов в частных производных. М., 1959.7L Хермандер J1. Линейные дифференциальные операторы с частными производными. М., 1965.

71. Чандрасекхаран. Введение в аналитическую теорию чисел. М., 1974.

72. ШидЛовский А.Б, Трансцендентные числа. М., 1987.

73. Щкаликов A.A. О базисности собственных функций обыкновенного дифференциального оператора. // УМН. 1979. Т. 34. № 5. С. 235-236.

74. Шкаликов A.A. О базисности собственных функций обыкновенных дифференциальных операторов с интегральными краевыми условиями. // Вестн. МГУ, сер. матем. и мех. 1982. № 6. С. 12-21.

75. Шкаликов A.A. Об оценках мероморфных функций и суммировании рядов по корневым векторам несамосопряженных операторов. // ДАН СССР. 1983. Т. 268. № 6. С. 1310-1314.

76. Эдварде Р. Функциональный анализ.- Теория и приложения. М., 1969.

77. Birkhoff G.D. On the asymptotic character of the solution of certain linear differential equations containing a parameter. // Trans. Amer. Math. Soc. 1908. Y. 9. No. 2. P. 219-231.

78. Birkhoff G.D. Boundary value and expansion problems of ordinary linear differential equations. // Trans. Amer. Math. Soc. 1908. V. No. 4. P. 373395.

79. Birkhoff G.D. Note of the expansion problems of the ordinary linear differential equations. // Rendiconti Palermo. 1913. V. 36. P. 115-116.

80. Carleman T. Uber die asimptotische Verteilung der Eigenwerte particller Differentialgleichungen. // Ber. Der Sach. Akad. Der Wiss. Zu Leipzig Math. Phys. Klasse. 1936. Bd. 58.

81. Hormander L. On the Interior Regularity of the Solutions of Partial Differential Equations. // Comm. Pure and Appl. Math. 1958. V. 11. No. 2. P. 197-218.

82. Hormander L. Local and global properties of fundamental solutions. // Math. Scand. 1957. V. 5. No. 1. P. 27-39.

83. Krall A.M. The development of general differential and differential-boundary systems. // Rocky Mountain J. Math. 1975. V. 5. No. 4. P. 493-542.

84. Locker J. The spectral theory of second order two-point differential operators:

85. A priori estimates for the eigenvalues and completeness. // Prop. Roy. Soc. Edinburgh, Sect. A. 1992. Y. 121. No. 3/4. P. 279-301.

86. Locker J. The spectral theory of second order two-point differential operators:1.. Asymptotic expansions and the characteristic determinant. // J. Differential Equations. 1994. V. 114. No. 1. P. 272-287.

87. Locker J. The spectral theory of second order two-point differential operators:

88. I. The eigenvalues and their asymptotic formulas. // Rocky Mountain J. Math. 1996. V. 26. No. 2. P. 679-706.

89. Locker J. The spectral theory of second order two-point differential operators: IV. The associated projections and the subspace (¿J . // Rocky Mountain J. Math. 1996. V. 26. No. 4. P. 1473-1498.

90. Shkalikov A.A. Estimates of meromorphic functions and summability theorems. // Pac. J. Math. 1982. V. 103. No. 2. P.569-582.

91. Walker P.W. A nonspectral Birkhoff-regular differential operator. // Proc. Amer. Math. Soc. 1977. V. 66. No. 1. P. 187-188.Список работ А. С. Макина

92. Макии А.С. О точных оценках для собственных и присоединенных функций эллиптического оператора второго порядка. // ДАН СССР. 1984. Т. 279. № 6. С. 1314-1318.

93. Макин А.С. Некоторые свойства собственных и присоединенных функций гипоэллиптических операторов. // ДАН СССР. 1986. Т. 288. № 6. С. 1305-1307.

94. Макин А. С. О сходимости средних Рисса спектральных: разложений, отвечающих одномерному оператору Шредингера. // Дифференц. уравнения. 1988. Т. 24. № 5. С. 897-899.

95. Макин А.С. О суммируемости спектральных разложений, отвечающих несамосопряженному оператору Шредингера. I. // Дифференц. уравнения. 1989. Т. 25. № 1. С. 65-73.

96. Макин А.С. О формуле среднего значения для собственных и присоединенных функций оператора Шредингера. // ДАН СССР. 1989. X, 304. № 2. С. 280-284.- 264

97. Макин A.C. Точные по порядку оценки для корневых функций эллиптического оператора второго порядка. // Дифференц. уравнения. 1992. Т. 28. № 1. С. 97-110.

98. Макин A.C. О средних Рисса биортогональных разложений по корневым функциям несамосопряженных расширений оператора Шредингера. // ДАН СССР. 1992. Т. 322. № 3. С. 472-475.

99. Макин A.C. Точные по порядку оценки максимумов модулей присоединенных функций оператора Шредингера. // Дифференц. уравнения. 1997. Т. 33. № 1. С. 120-129.

100. Макин A.C. Точные оценки для корневых функций общего эллиптического оператора второго порядка. // Докл. РАН. 1998. Т. 358. № 5. С. 594-596.

101. Макин A.C. Об одном классе краевых задач для оператора Штурма-Лиувилля. // Дифференц. уравнения. 1999. Т. 35. № 8. С. IDS'?-106б\

102. Makin A. On Properties of Eigenfunction Expansions Connected with Ordinary Differential Operators. // International Conference on Differential and Functional Differential Equations. Moscow. 1999. Abstracts of talks. P. 71.