Краевые задачи для обобщенных дифференциальных уравнений переноса тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Нахушева, Виктория Адамовна

• Нахушева, Виктория Адамовна
• кандидат физико-математических наук
• 1998

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Нахушева, Виктория Адамовна

СОДЕРЖАНИЕ

Стр.

Введение

Глава 1. О некоторых дифференциальных уравнениях состояния и переноса дробного порядка

§ 1.1 О дифференциальных уравнениях состояния дробного порядка в

сплошных средах с памятью

§ 1.2 Об одном интегральном представлении всех решений уравнения

Барретта

§1.3 О модельных уравнениях переноса в средах с памятью

§ 1.4 Уравнение неразрывности в средах с фрактальной геометрией и

обобщенное уравнение переноса дробного порядка

§ 1.5 Об эквивалентности уравнений субдиффузии и диффузии дробного порядка

Глава 2. Краевые задачи для уравнения Бицадзе-Лыкова, уравнений переноса дробного порядка и модельного уравнения смешанного гиперболо-параболического типа

- § 2.1 Об одной задаче А.В. Лыкова и конструктивной формуле ее решения

§ 2.2 Принцип экстремума для нелокального параболического уравнения

§ 2.3 Принцип экстремума для нелокального уравнения эллиптического

типа

§2.4 Видоизмененная задачи Коши и Дирихле для уравнения Барретта 41 § 2.5 Смешанная задача для однородного и неоднородного нелокального волнового уравнения

§ 2.6 Априорная оценка для многомерного оператора диффузии дробного порядка

§ 2.7 Смешанные краевые задачи для гиперболо-параболического уравнения

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Краевые задачи для обобщенных дифференциальных уравнений переноса»

Введение

Работа, состоящая из настоящего введения двух глав посвящена начальным и смешанным краевым задачам для основных типов дифференциальных уравнений состояния и переноса дробного порядка, их структурным и качественным свойствам.

Необходимость проведения фундаментальных исследований по теме диссертационной работы стала очевидной после того как выяснилось, что многие физические процессы (диффузия в средах с фрактальной геометрией и памятью, субдиффузия частиц) приводят к начальным краевым и смешанным задачам для нелокальных дифференциальных уравнений в частных производных дробного порядка. Более того, эти уравнения относятся к классу нагруженных дифференциальных уравнений, которые, как правило, не являются самосопряженными.

Тема дисссертации входит в план научно-исследовательских работ НИИ прикладной математики и автоматизации КБНЦ РАН по научному направлению "Исследование структурных и качественных свойств решений локальных и нелокальных краевых задач для широких классов уравнений и систем основных типов и их приложения", (№ГР 01.950004494 код 1.1.11.(1.1.11.1, 1.1.11.3)).

Основной целью настоящей работы является исследование структурных и качественных свойств модельных, но основных типов, нелокальных дифференциальных уравнений дробного порядка.

Для достижения основной цели используются метод интегральных представлений, свойства функции Миттаг-Леффлера, принцип экстремума для оператора дробного дифференцирования, метод Фурье и метод априорных оценок.

В диссертации впервые:

1. выделен качественно новый класс нелокальных дифференциальных уравнений состояния дробного порядка и на их основе получено нелокальное волновое уравнение с дробной производной по времени;

2. дано интегральное представление всех решений уравнения Барретта, позволяющего в явном виде выписать решение видоизмененной задачи Коши для этого уравнения;

3. доказана эквивалентность уравнений субдиффузии и диффузии дробного порядка;

4. дана конструктивная формула решения уточненной задачи А.В. Лыкова для уравнения Бицадзе-Лыкова;

5. доказан принцип экстремума для линейного нелокального уравнения параболического и эллиптического типов;

6. для уравнения Барретта решены видоизмененные задачи Коши и Дирихле;

7. доказаны теоремы единственности и существования решения смешанных задач для нелокального волнового уравнения и уравнения гиперболо-параболического типа"

Работа являетяся теоретической, ее результаты могут сыграть определенную роль в построении теории краевых задач для линейных уравнений в частных производных дробного порядка.

В отчете о деятельности Российской академии наук в 1996 г. (см. с. 25) как важнейший результат отмечено исследование качественно нового класса дифференциальных уравнений состояния и переноса в системах с памятью.

Нет сомнений, что полученные теоретические результаты получат хорошую физическую интерпретацию.

Результаты работы, по мере их получения, докладывались на семинаре по современному анализу, информатике и физике НИИ ПМА КБНЦ РАН (19941998 гг.), на международной конференции "Нелокальные краевые задачи и родственные проблемы математической биологии, информатики и физики", посвященной 60-летию академика АМАН Нахушева А.М., Нальчик, 1996.

В диссертацию вошли результаты, полученные мною как одной из исполнителей проекта №94-01-00605, получившего грант Российского фонда фундаментальных исследований. Эти результаты изложены в §§ 1.1 и 1.3.

Список работ, включающий и публикации в годовых отчетах НИИ ПМА КБНЦ РАН, содержит 8 названий: [25] - [32].

Из них работа [27] выполнена в соавторстве с А.М. Нахушевым, которому принадлежит постановка задачи и метод получения уравнения состояния для сплошных сред с памятью.

Диссертация состоит из настоящего введения, двух глав и списка литературы, содержащего 32 наименований. В первой главе пять параграфов: 1.1 -1.5, а во второй - семь: 2.1 - 2.7.

Первая глава посвящена некоторым классам дифференциальных уравнений состояний и переноса дробного порядка.

Главный результат § 1.1 - вывод двух дифференциальных состояний в частных производных первого порядка с дробной производной по времени,

которые могут выступать как замыкающие уравнения системы, состоящей из одномерного уравнения Новье-Стокса и уравнения неразрывности.

В § 1.2 доказаны три теоремы, характеризующие структурные и качественные свойства всех решений уравнения Барретта следующего вида:

ЦнР-\р = ЕВ&р, 0 < а < 1,

(1)

где Дй " оператор дробного дифференцирования порядка а с началом в точке £ = 0, р = р(х, £), р — р(х, £), Ли Е - постоянные действительные величины. Основным результатом этого параграфа является следующая

Теорема 1.2.3. Пусть: ПТ = {(ж, £) : а < х < 6, 0 < £ < Т}; р(х,Ь) е С(£1т), ЩгР ? ¿[О, Т] для любого х £ [а, Ь]. Тогда единственное решение видоизмененной задачи Коши:

Ит£1-ар(ж,£) = (р(х), а<х<Ь

определяется формулой р(х, t) = <p(x)Ba(t-, А, 1)Г(а) + Е

t

I

р(х, t) + А / Ba(t — rj; А, 1 )р(х, rj) dr]

где (р(х) - заданная непрерывная на сегменте [а, Ъ] функция,

00 \k-lfak~1

- функция Барретта.

В § 1.5. рассматриваются: уравнение стахостического переноса при субдиффузионном режиме

f

д Г u(x,rf) , 1 d2u(x,t)

diJ (t ~ V)7 77 ~ 2 öa;2

о

= u(x, 0), 0 < 7 < 1;

(2)

уравнения диффузии дробного порядка

^ = c2D^uxx{x,r}),

(3)

(4)

где 2с2 = 1/Г(1 — 7), - регулиризованная (по терминологии

А.Н. Кочубей) дробная производная. Здесь найдены необходимые и достаточные условия эквивалентности уравнения (2), (3) и (4). Основные результаты сформулированы леммами 1.5.1,1.5.2 и теоремой 1.5.1.

Вторая глава посвящена краевым (смешанным) задачам для основных типов уравнений переноса и модельного уравнения смешанного гиперболо-параболического типа.

В § 2.1 обоснована некорректность задачи А.В Лыкова для гиперболического уравнения тепло-массопереноса:

dq nd2q D2d2q

q(0,t) = qQ(t), <7(00, i) = 0, <?(£,()) = 0, gt(£,0) = 0.

Дана уточненная постановка задачи A.B. Лыкова и найдена конструктивная формула ее решения через гипергеометрические функции. В § 2.2 доказан принцип экстремума для уравнения

ихх + а(х, у)их + b(x, y)D%yu + с(х, у) = f(x, у),

который распространен и на многомерное уравнение

п ffi^u п Qu

? aij ^ у* д^Г- + S V У^уи + с(х> = 0

¿¿=i 1 Уз j=1 3

с непрерывными в цилиндрической области коэффициентами, которые удовлетворяют условиям

п

0, Ь(х,у)< 0, с{х,у)< 0

».7=1

для всех X <Е R", у > 0, £ G R".

Основной результат параграфа 2.3 - принцип экстремума для уравнения

д2и

D%yU + с2 =0, 1 < а < 2

в прямоугольной области О = {(ж, у) : 0 < х < I, 0 < у < Т}, с = const > 0.

В § 2.4 доказаны теоремы единственности и существования решения видоизмененной задачи Кохпи и видоизмененной задачи Дирихле для уравнения

D2cu(t) — Аад(ж) + v(x), а <х <b,

где 1 < а < 2. В случае видоизмененной задачи Кохпи получена явная формула ее решения.

В § 2.5 впервые сформулирована и методом Фурье решена смешанная задача для нелокального волнового уравнения

д2и(х t)

D%tu(x, t) = с2 qJ + v(x, t), 1 < a < 2, с = const > 0.

В § 2.6 получена априорная оценка для оператора диффузии Ьа = ~ А*Дх> дробного порядка а €]0,1[, где Ах - оператор Лапласа по ж= (х!,х2,... ,хп) еЕ".

Пусть В - цилиндрическая область в пространстве М™+1 точек (х, £), заключенная между двумя гиперплоскостями Ь = I = Т\ Во - нижнее основание, а Вт - верхнее основание этого цилиндра; 5 - боковая поверхность. Предполагается, что Во - односвязная область в пространстве К™.

Пусть далее Щ(В) - множество функции и = и(х, £) со следующими свойствами:

V. и - дважды непрерывно дифференцируема по пространственным переменным Х\,Х2, ■ ■ ■ ,хп в В всюду за исключением, быть может, Во;

2. производная В^и - непрерывна для всех £>0ижеД)И суммируема по х £ В0 и £ € [0,Т];

3. существует

Иш£1-ам(ж, £) = 0, Ух € В0]

4. и(х, £) удовлетворяет граничному условию

и(х,1) = 0,

А

Основным результатом § 2.6 является

Теорема 2.6.1. Для любой функции и(х,£) £ Щ{В) имеет место неравенство

Ва J ^ (^х^ ^Х^ ~ / и^аи ^х

б г>

В последнем заключительном параграфе 2.7 доказаны единственность и существование решения трех краевых задач (задачи ¿1, ¿2 и 5з) для модельного уравнения смешанного типа

_ Г иу, у> 0,

хх~\иуу, У < 0

в области О. = {(ж, у) : —а < у < ¡3, 0,ж < а}, где а и /3 - положительные величины.

В задачах ¿х, ¿2 и 5з - на гиперболических частях границы ¿Ю смешанной области О задаются условия Дирихле, а на нехарактеристических частях параболической части границы - условие Дирихле - в случае задачи ¿х, условие Неймана - в случае задачи 52 и условие Самарского - в случае задачи 5з.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Нахушева, Виктория Адамовна, 1998 год

ЛИТЕРАТУРА

1. Мизес Р. Математическая теория течения сжимаемой жидкости. М.: ИЛ, 1961, 588 с.

2. Нахушев A.M. Об уравнениях состояния непрерывных одномерных систем и их приложениях. Нальчик: Логос, 1995, 50 с.

3. Хакен Г. Синергетика. М.: Мир, 1985, 419 с.

4. Виноградов М.Б., Руденко О.В., Сухарков А.П. Теория волн. М.: Наука, 1979, 282 с.

5. Бегли P.JI., Торвик П.Дж. Аэрокосмическая техника. 1984, т 2, №2, с. 84-93.

6. Barrett J.H. J. Maht. Cañad., 1954, v. 6, №4, p. 529-524.

7. Джрбашян M.M. Интегральные преобразования и представления функций в комплексной области. М.: Наука, 1966, 677 с.

8. Mandelbrot B.B. The Fractal Geometry of Nature. N.Y: Freman, 1983.

9. Заславский T.M., Авдеев Р.З. Введение в нелинейную физику от маятника до турбулентности и хаоса. М.: Наука, 1988.

10. Нигматулин Р. В. The Realization of the Generaliized Transfer Equation in a Medium with Fractal geometry. Phys. Status Solldi, В.: 1986, v. 133, №11, p. 425-430.

11. Кочубей A.H. Дифференц. уравнения. 1989, т. 25, №8, с. 1359-1368.

12. Кочубей A.H. Дифференц. уравнения. 1990, т. 26, №4, с. 660-670.

13. Чукбар К.В. ЖЭТФ, 1995, т. 108, №5(11), с. 1875-1884

14. Шогенов В.Х., Шхануков-Лафишев М.Х., Бештоев Х.М. Дробные производные: интерпретация и некоторые применения в физике. Сообщение Объединенного института ядерных исследований. Дубна, Р4-97-81, 1997, с. 1-16.

15. Отчет НИИ прикладной математики и автоматизации КБНЦ РАН по теме "Исследование структурных и качественных свойств решений локальных и нелокальных внутреннекраевых задач для широких классов уравнений и систем основных типов и их приложения". Нальчик, НИИ ПМА, 1995, 114 с.

16. Нахушев A.M. Уравнения математической биологии. М.: Высш. шк., 1995, 301 с.

17. Лыков A.B. Инженерно-физический журнал.1965, т. 9, №1.

18. Нахушев A.M. Дифференц. уравнения. 1980, т. 16, №9.

19. Бицадзе A.B. Некоторые классы уравнения в частных производных. М.: наука, 1981, 448 с.

20. Нахушев A.M. ДАН СССР. 1988, т. 300, №4.

21. Тихонов А.Н., Самарский A.A. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1997, 735 с.

22. Самко С.Г., Килбас A.A., Маричев О.И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения Минск: Наука и техника, 1987, 688 с.

23. Ионкин Н.И. Дифференц. уравнения. 1997, т. 8, №2, с. 294-304.

24. Ионкин H.H., Моисеев Е.И. Дифференц. уравнения. 1979, т. 15, №7, с. 1285-1295.

25. Нахушева В.А. Об одном классе дифференциальных уравнений состояния дробного порядка в сплошных средах с памятью, (см. [15], с. 15-17 начиная со второго абзаца на с. 15).

26. Нахушева В.А. Уравнения неразрывности в средах с фрактальной геометрией и принцип экстремума для обобщенного дифференциального уравнения переноса дробного порядка, (см. [15], с. 10-11 начиная со второго абзаца на с. 10).

27. Нахушева В.А. (в соавторстве с Нахушевым A.M.) Об одном классе дифференциальных уравнений состояния дробного порядка в сплошных средах с памятью//Доклады Адыгской (Черкесской) Международной Академии наук. Нальчик: 1996, т. 2, №1, с. 52-55.

28. Нахушева В.А. Принцип экстремума для нелокального параболического уравнения и смешанная задача для обобщенного волнового уравнения/ /Доклады Адыгской (Черкесской) Международной Академии наук. Нальчик: 1996, т. 2, №1, с. 26-28.

29. Нахушева В.А. Смешанная задача для обобщенного волнового уравнения. (см. [15], с. 37-41).

30. Нахушева В.А. Смешанная задача для волнового уравнения с дробной производной по времени В книге №1 (см. с. 194-199) Отчета НИИ ПМА по научно-исследовательской работе "Исследования структурных и качественных свойств решений локальных и нелокальных внутреннекра-евых задач для широких классов уравнений и систем основных типов и их приложения" за 1994 г. Нальчик: 1994, 232 с.

31. Нахушева В.А. Задача Коши для гиперболического уравнения влагопе-реноса и его приложения к прогнозу потока почвенной влаги. В отчете (см. с. 95-101) НИИ ПМА по научно-исследовательской работе "Разработка и исследование нелокальных внутреннекраевых задач и их приложение к проблемам экологии" по проекту 950 (шифр проекта УМБ). Нальчик:, 1993, 196 с.

32. Нахушева В.А.Об одной задаче A.B. Лыкова и конструктивной формуле ее решения// Вестник КБНЦ РАН. Нальчик: 1998, т. 1, №1.

с

58