Краевые задачи для нагруженных уравнений и уравнений с дробным дифференцированием тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат наук Тарасенко, Анна Валерьевна

• Тарасенко, Анна Валерьевна
• кандидат наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат наук Тарасенко, Анна Валерьевна

Содержание

Введение

Вводные сведения

- Специальные функции

— Операторы дробного интегро-дифференцирования

и некоторые их свойства

Глава 1. Краевые задачи для нагруженных

уравнений теплопроводности и Геллерстедта

§ 1.1. Об одной задаче с оператором М. Сайго в краевом условии для нагруженного уравнения теплопроводности

1.1.1. Постановка задачи I

1.1.2. Единственность и существование решения

краевой задачи I

§ 1.2. Задачи Гурса и Дарбу для одного нагруженного интегро-дифференциального уравнения второго порядка

1.2.1. Постановка задачи Гурса

1.2.2. Единственность и существование решения

задачи Гурса

1.2.3. Постановка задачи Дарбу

1.2.4. Единственность и существование решения

задачи Дарбу

§ 1.3. Об одной нелокальной задаче для нагруженного уравнения Геллерстедта

1.3.1. Постановка задачи II

1.3.2. Единственность и существование решения задачи II

Глава 2. Некоторые нелокальные задачи для

уравнения смешанного типа

§ 2.1. Нелокальная задача для уравнения с частной

дробной производной Римана-Лиувилля

2.1.1. Постановка задачи III

2.1.2. Единственность решения задачи III

2.1.3. Существование решения задачи III

61

§ 2.2. Нелокальная задача для уравнения (2.1) с обобщенными операторами в краевом условии в исключительных случаях

2.2.1. Постановка задачи

2.2.2. Единственность решения задачи

2.2.3. Существование решения задачи

§ 2.3. Краевая задача для уравнения (2.1) в области, параболическая часть которой - верхняя полуплоскость

2.3.1. Постановка задачи IV

2.3.2. Единственность решения задачи IV

2.3.3. Существование решения задачи IV

Заключение

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Краевые задачи для нагруженных уравнений и уравнений с дробным дифференцированием»

Введение

Актуальность темы. Настоящая диссертационная работа посвящена новым корректно поставленным краевым задачам для нагруженных дифференциальных уравнений и дифференциальных уравнений смешанного типа, то есть уравнений, которые в разных частях рассматриваемой области принадлежат к различным типам; кроме этого исследования диссертации примыкают к направлению, связанному с теорией дробного интегро-дифференцирования.

Одним из важнейших разделов современной теории дифференциальных уравнений с частными производными является теория уравнений смешанного типа, истоком которой стала известная задача Ф. Трикоми [104] о нахождении решения уравнения

УЧ-^хх "I" ILyy —

которая впервые была решена самим Ф. Трикоми в 20-е годы XX века. Основы этой теории были заложены также в трудах С. Геллер-стедта [112].

Началом нового этапа в развитии теории уравнений смешанного типа явились работы Ф.И. Франкля [108], в которых он обнаружил важные приложения теории уравнений смешанного типа к проблемам трансзвуковой газовой динамики.

Впервые на необходимость рассмотрения задач сопряжения, когда на одной части области задано параболическое уравнение, на другой - гиперболическое, было указано в 1959 г. в работе И.М. Гель-фанда [15], где рассматривается пример, связанный с движением газа в канале, окруженном пористой средой, при этом в канале движение газа описывается волновым уравнением, вне его - уравнением диффузии. Затем Г.М. Стручина [93], Я.С. Уфлянд [106], JI.A. Золина [24] показали другие применения этих задач.

После этого теория уравнений смешанного типа получила бурное развитие, что обуславливается: во-первых, непосредственной связью уравнений смешанного типа с проблемами теории сингулярных интегральных уравнений и специальных функций, то есть теоретической значимостью получаемых результатов; во-вторых, прикладными задачами физики и механики, которые сводятся к таким уравнениям.

В дальнейшем были поставлены и исследованы новые задачи для уравнений смешанного типа как в нашей стране, так и за рубежом. На сегодняшний день в математической литературе имеются многочисленные работы, в которых изучены такие задачи. Отметим ученых, которые сделали большой личностный вклад и, тем самым, повлияли на развитие данной теории: М.А. Лавреньев, A.B. Бицадзе [46], Ф.И. Франкль [108], В.А. Ильин [25], М.М. Смирнов [90], Е.И. Моисеев [52-54], С.П. Пулькин [71], A.M. Наху-шев [57], В.Ф. Волкодавов [10], В.Н. Врагов [12], Т.Ш. Кальменов [31-33], А.П. Солдатов [92], В.И. Жегалов [23], А.И. Кожанов [42], Н.Р. Раджабов [73], P.C. Хайруллин [109], Н.Б. Плещинский [69], A.A. Килбас [37], Н.Ю. Капустин [34-35], К.Б. Сабитов [85-86], O.A. Репин [74], JI.C. Пулькина [72], A.B. Псху [68] и другие. В монографии A.B. Бицадзе [3] отмечено, что уравнения смешанного типа стали объектами систематических исследований с конца сороковых годов.

В свою очередь, не менее важным разделом в теории дифференциальных уравнений являются нагруженные уравнения. Работы, которые посвящены их исследованию, можно разделить на два типа: работы, в которых изучаются нагруженные интегральные уравнения, и работы, в который изучаются нагруженные дифференциальные уравнения.

Исторически сложилось так, что первые работы были посвящены нагруженным интегральным уравнениям

Ки = Lи(х) + Ми(х) = f(x) в областиQ, Е RN, (1)

где L - интегральный оператор, а М - интегральный оператор по многообразиям размерности строго меньше N. Этому классу нагруженных уравнений посвящены работы A. Kneser [113], L. Lichtenstein, Н.М. Гюнтера [16-17], H.H. Назарова [55]. Важность изучения таких уравнений подчеркивали А.Н. Крылов [45], В.И. Смирнов [89], А.Н. Тихонов, A.A. Самарский [103], которые приводили примеры задач из техники и физики, сводящиеся к нагруженным интегральным уравнениям.

Интерес к нагруженным дифференциальным уравнениям (то есть уравнениям вида (1), где L - дифференциальный оператор, а

М - дифференциальный или интегро-дифференциальный оператор, включающий операцию взятия следа от искомой функции и(х) на многообразиях из замыкания Q размерности строго меньше N) обуславливается тем, что решение многих важных задач, например, по оптимальному управлению агроэкосистемой, сводятся к изучению именно таких уравнений.

Большой вклад в разработку теории нагруженных дифференциальных уравнений внесли следующие учёные: В.М. Будак, А.Д. Ис-кендеров [8], A.M. Нахушев [59-65], A.B. Бородин [5-7], В.М. Казиев [28-30], A.M. Krall [114], A.A. Керефов, P.M. Кумышев [36]. Отметим, что в последние годы, благодаря усилиям A.M. Нахушева и его последователей, а также М.Т. Дженалиева и учеников его научной школы теория нагруженных уравнений получила дальнейшее развитие. В обзорных работах A.M. Нахушева [64-65] на многочисленных примерах показана практическая и теоретическая важность исследований по нагруженным уравнениям. М.Т. Дженалиев в своей монографии [21] отмечает потребность в изучении нагруженных уравнений:

1. при приближенном решении интегро-дифференциальных уравнений;

2. при исследовании некоторых обратных задач;

3. при линеаризации нелинейных уравнений;

4. при соответствующем преобразовании нелокальных краевых задач;

5. при изучении некоторых задач оптимального управления и т.д.

Результаты настоящей диссертационной работы являются продолжением исследований в этих направлениях. Ставятся различные задачи для нагруженных уравнений и уравнений с частной дробной производной Римана-Лиувилля, отличительной особенностью которых является наличие в краевых условиях операторов дробного интегро-дифференцирования в смысле Римана-Лиувилля, Эрдейи-Кобера, М. Сайго или их комбинации.

Обобщенные операторы дробного интегро-дифференцирования с гипергеометрической функцией Гаусса, введенные М. Сайго в работах [115], [116], [117], представляют собой обобщение широко известных дробных интегралов и производных Римана-Лиувилля

[87], которые имеют многочисленные практические применения. Классические и современные результаты теории дробного интегро-дифференцирования и ее приложений к интегральным и дифференциальным уравнениям и теории функции изложены в монографии С.Г. Самко, A.A. Килбаса и О.И. Маричева [87], которая также содержит исторические сведения, обзоры работ по данной тематике и обширную библиографию.

Актуальность исследований таких краевых задач можно обосновать как внутренними потребностями теоретического обобщения классических задач для уравнений математической физики, так и прикладным значением этих задач, играющих большую роль при математическом моделировании различных процессов естествознания.

Цели и задачи исследования. Основной целью исследования является постановка новых краевых задач для нагруженных дифференциальных уравнений и уравнений с частной дробной производной Римана-Лиувилля, а также доказательство теорем существования и единственности решения этих задач.

Общая методика исследования. В работе при доказательстве единственности и существования решений поставленных задач широко используется аппарат специальных функций, методы теории интегральных уравнений и теории дифференциальных уравнений с частными производными, свойства операторов обобщенного дробного интегро- дифференцирования.

Структура и объём работы. Диссертационная работа состоит из введения, двух глав, которые разбиты на шесть параграфов, заключения и списка использованной литературы, включая работы автора. Объем диссертации составляет 106 страниц машинописного текста. Список литературы содержит 118 источников, из них 8 - иностранных авторов. Работа иллюстрирована 4 рисунками.

Вводные сведения включают в себя вспомогательный материал. Даны определения и некоторые свойства ряда специальных символов и функций (Гамма-функции, Бета-функции, функции типа Миттаг-Леффлера и др.), а так же вводятся определе-

ния оператора Эрдейи-Кобера

операторов дробного

интегро-дифференцирования в смысле Римана-Лиувилля (/q+/) (х) > (Dg+f) (х) и (/f_/) (ж), (Df_f) (х), и операторов обобщенного дробного интегро-дифференцирования в смысле М. Сайго ^/д^'77/^ (а?),

(х). Показано, что дробные интегралы и производные Римана-Лиувилля являются частным случаем обобщенного оператора дробного интегро-дифференцирования в смысле М. Сайго. Из многочисленных свойств этих операторов приводятся именно те, которые необходимы в дальнейшем.

Первая глава диссертации посвящена краевым задачам для нагруженных уравнений теплопроводности и Геллерстедта.

В § 1.1 рассматривается уравнение

Щ = ихх + и{ О, t) (2)

в односвязной области О, — {(x,t) : 0 < £ < 0 < £ < Т}, где /,Т - заданные положительные действительные числа. Формулируется задача I.

Задача I. Найти в области Q решение u(x,t) уравнения (2) из класса C(Q) П С1 (О U {ж = 0})7 удовлетворяющее следующим условиям:

и(х,0) = <р(х), O^x^l; (3)

ux(0,t) - iSfM^t) =-ii(t); (4)

u(l,t) = pi(t), O^t^T, (5)

где ip{x) G Сх[0, /], G Cl[0, T], fj,(t) G Cl[0, T), удовлетво-

ряющие условиям согласования = —ß(0), = <р(1),

причем не нарушая общности считаем = 0, </?(/) = 0,

(Iq.- обобщенный оператор дробного интегро-дифференцирования с гипергеометрической функцией Гаусса в ядре.

В публикации A.A. Керефова и P.M. Кумышева [36] изучалась краевая задача для нагруженного уравнения теплопроводности, где в краевом условии использовался оператор дробного дифференцирования Римана-Лиувилля порядка а. Новизна постановки задачи I заключается в том, что в краевом условии содержится обобщенный оператор дробного интегро-дифференцирования в смысле М. Сайго [115].

Доказано существование единственного решения краевой задачи для уравнения теплопроводности, нагруженного значением искомой функции и(х, у) на границе х = 0 прямоугольной области Q. Используя свойства функции Грина смешанной задачи и указанное краевое условие, задача сводится к интегральному уравнению воль-терровского типа относительно следа искомой функции и(0, t). Показано, что полученное уравнение является интегральным уравнением Вольтерра второго рода со слабой особенностью в ядре, которое однозначно и безусловно разрешимо. Основной результат приведён в виде теоремы.

Теорема 1.1.1. Пусть выполняются условия 0<a<i, ß<0, a + ß> О,

li

либо

О < а < ß > 0. Тогда задача I всегда разрешима и притом единственным образом.

В этом же параграфе выписаны условия для параметров а и ß, при которых обобщенный оператор дробного интегро-диффференцирования в смысле М. Сайго сводится либо к оператору Эрдейи-Кобера, либо к оператору дробного интегрирования Римана-Лиувилля, либо к оператору дробного дифференцирования Римана-Лиувилля; и для первых двух случаев обосновано существование единственного решения краевой задачи, сформулирован-ны леммы 1.1.3 и 1.1.4, при выполнении которых однозначная разрешимость задачи также будет сводится к вопросу разрешимости интегрального уравнения Вольтерра второго рода со слабой особенностью в ядре и с непрерывной правой частью, а последний случай, когда обобщенный оператор дробного интегро-диффференцирования в смысле М. Сайго сводится к оператору дробного дифференцирования Римана-Лиувилля, был рассмотрен в работе A.A. Керефова, P.M. Кумышевой [36]. Все три случая записаны в виде замечаний 1.1.1-1.1.3.

В § 1.2 рассмотрены задачи Гурса и Дарбу для одного нагруженного интегро-дифференциального уравнения второго порядка. Но-

визна рассматриваемых задач заключается в том, что роль нагрузки выполняет оператор в смысле Эрдейи-Кобера [57], [87], в отличие от работ A.M. Нахушева [59] и В.М. Казиева [30], в которых также изучались задачи Дарбу и Гурса для нагруженного интегро-дифференциального уравнения, которое содержало дробные производные от следов искомой функции, определяемыми в смысле Римана-Лиувилля, и от работ H.A. Вирченко и O.A. Репина [9], [75], в которых в качестве нагрузки использовался обобщенный оператор дробного интегро-дифференцирования в смысле М. Сайго [115].

Пусть Q - конечная область евклидовой плоскости точек (х, у), ограниченная характеристиками АС : £ = 0, ВС : rj = 1, где

2 . ч т+2 2 . ч тп+2

Z = X-—2{-y)2' 71 = * + " • (6)

оператора

L(u) = иуу — (—y)muxx, m = const > 0 (7)

и отрезком AB : 0 ^ x ^ 1 прямой у = O.B дальнейшем через / будем обозначать единичный интервал (0,1), а через Q замыкание fl.

В области tt рассматривается нагруженное интегро-дифферен-циальное уравнение второго порядка с оператором Геллерстедта (7) в главной части

L(u)-fiE^u(x,0)=f(x,y), (8)

где ¡1 - действительная константа, (Ед+ср)(х) - оператор Эрдейи-Кобера, определяемый формулой

X

= J(х - tf-lMt) dt, а > 0, (9)

о

f(x,y)eC(U)nC3(Q). (Ю)

Формулировка задачи Гурса выглядит следующим образом.

Задача Гурса. Найти в области О решение и(х, у) уравнения (8) из класса С (О,) П С2 (О), удовлетворяющее краевым условиям

1"

u\ac = <pi(x), х е

°'2

(И)

причем

и\вс = х Е

VI u

1

2'1

(12)

Вопрос существования и единственности решения задачи Гурса сведен к вопросу разрешимости интегрального уравнения Вольтер-ра второго рода со слабой особенностью в ядре. В итоге получается следующий результат.

Теорема 1.2.1. Пусть правая часть уравнения /(х,у) Е С(Г2) ПС3(0), а для функции <р\{х) и <¿>2(я) справедливы равенства

^1(3;) = ^! (ж), ¿1^1-20,

<р2{х) = {1-х)5*Тр2{х), ¿2^1-2/3,

где

(13)

(14)

Щ{х) Е С1

4

, Тр2(х) Е С1

1

(15)

(2т + 4)Р = т, 0 < /3 < -.

Z

Тогда задача Гурса (8), (11), (12) разрешима и притом единственным образом, если

т

k^n ^ , т + 2' b > 0, а> { т + 4

2(т + 2)'

О < га ^ 4, т > 4.

(16)

Также в § 1.2 для уравнения (8) в той же области О ставится следующая задача.

Задача Дарбу. Определить в области Vt решение уравнения (8) из класса C(Q) П С1 (ft U I), удовлетворяющее краевым условиям

иу{х,0) = и(х), х £ I; и\АС = <р{г}), г) Е Т. (17)

Причём будем предполагать, что

f(x,y) Е С(Щ П C3(Q), <p(rj) Е С1 (7) П С2(/), |/(яг) Е С2(/).

Проблема однозначной разрешимости исследуемой задачи также сводится к вопросу разрешимости интегрального уравнения Вольтер-ра второго рода. Получаем, что задача Дарбу эквивалентно редуцируется к задаче Коши

и(х,0)=т(х), х£1, иу(х,0) = и(х), х£1 для уравнения

£(«) = /(*, у)+ (*),

решение которой дается в явном виде

Г (2/3)

1

/

= гЩ 1 т

0

1

У / V

и / ч т+2 , _ ч

Г(2 - 2/3) Г2(1-/3)

(* - ¿У"1 си+

т

+7о J

6

(т - Ы

11Е${т) + Р(£ ьт) Лть

где

7о = --(2 - 4/3)4/3,

£ + 7? /т + 2\ 1-2/3

2 ' V 4

2/3

У - е)1_2/?

к»/ - ео (т - ог'

Основной результат сформулирован в виде теоремы 1.2.2.

Теорема 1.2.2. Пусть выполняются условия т > 0, а > 4/3—2, Ь > 0. Тогда задача Дарбу всегда разрешима и притом единственным образом.

В замечании 1.2.1 рассматривается задача Дарбу (17) для уравнения (8) в случае, когда т — 0.

В § 1.3 в той же области Г2 для нагруженного уравнения (8) ставится и исследуется задача такого содержания.

Задача II. Найти в области Q решение уравнения (8) из класса C(Q.) nC^^U/), удовлетворяющее краевым условиям

u\ac = У (г/), г] el, (19)

A^uix, 0) + А2Ес£иу{х, 0) = AaEgfyi(x), (20)

где a > 0, с > 0; d > 0 и Ai — const, г = (1,3);

Ж) e c\7) n C2(/), ipx(x) e c% 1]. (21)

Доказательство существования и единственности решения рассматриваемой задачи вытекает из эквивалентной редукции её к интегральному уравнению Вольтерра второго рода, которое имеет единственное решение.

Полученный результат сформулирован в виде следующей теоремы.

Теорема 1.3.1 Пусть для уравнения (8) справедливы условия (19), (20), а также выполняются условия А2 ^ 0, а > с, d > с. Тогда существует единственное решение и(х, у) исследуемой задачи из класса C(Q,) П С1 (О, U I).

Вторая глава диссертации посвящена нелокальным задачам для уравнения смешанного параболо-гиперболического типа с частной дробной производной Римана-Лиувилля. В § 2.1 рассматривается уравнение

ихх - D^yu - 0 (у > 0), {~у)тихх -иуу + a(-y)^'lux = 0 (у<0),

где Dq+ v - частная дробная производная Римана-Лиувилля порядка

а (0 < а < 1) от функции и(х,у) [87]:

у

/ ™ \ / ч ( д \ 1 Г и(х, t)dt

№,„«) (х, У)=(щ) J ¿ф (0 < a < 1, V > 0),

О

(23)

а - вещественная постоянная, т > 2, в конечной области Q, ограниченной отрезками AAq , BBq , AqBq прямых ж = 0, ж = 1, у = 1

соответственно, лежащих в полуплоскости у > 0, и характеристиками

. Л 2 т+2 _ ^ 2 т+2

АС : ж--(-у)"Г" =0, ВС : ж +-(-?/) * = 1

m + 2v т + 2

уравнения (22) в полуплоскости у < 0.

Краевые задачи для уравнения вида (2.1) при у > 0 были объектом исследований в работах [14], [68], [82], [88], а при у < 0 - в работе [80]. При т = 2 и у < 0 данное вырождающееся гиперболическое уравнение является уравнением Бицадзе-Лыкова или уравнением влагопереноса [2], для которого были поставлены и изучены краевые задачи в публикациях [77-79].

В последнее время появились публикации [39], [44], [68], [66], посвященные исследованию уравнения вида (2.1) при а = 0, т > 0. Это связано с их применением в различных задачах физики, химии, механики, в частности, приложениями к процессам субдиффузии и супердиффузии [67].

Для уравнения (2.1) формулируется следующая задача.

Задача III. Найти решение и(х,у) уравнения (22) в области при уф 0, удовлетворяющее краевым условиям

Ц0, у) = ipxiy), и{ 1, у) = (р2(у), O^y^l, (24)

А(х) ^ßl'mw(t)u[e0(t)}^ (х) + В(х) (/^'^(iMÖiW]) (*)+ +Ci(z) (/¿^"ЧМ)) (х) + С2{х) (l{Zß*-ßuy{t, 0)) (х)+ +Mi(x)uy(x, 0) + М2(х)и(х, 0) = 7(ж), Ухе I,

(25)

а также условиям сопряжения

lim у1~аи(х, у) = lim и(х,у), Ух G /, (26)

2/—>04- ¡/-> 0- 4 ' V '

lim yl~a (yl-au{x,y)) = lim uy{x,y), Ух G /, (27)

у—>0+ » у—>0—

где ipi{y) (г = 1,2), Л(ж); C^z), С2(ж), Mi(x), M2(z),

у(х) - заданные функции такие, что

А2(х) + В\х) + С2{х) + С|(х) + М2{х) + М2{х) ф 0, Л(х), Яф, Ci(a;), С2(х), M^z), М2(я), 7(х) G С^ПС3^),

(28)

^(0) = </>2(0) = 0, (29)

у1-аМу),у1~аЫу)еС([о,1}): (зо)

©о (ж) и 01 (х) - точки пересечения характеристик уравнения (22), выходящих из точки (х, 0) Е I, с характеристиками АС и ВС соответственно;

т — 2а га + 2а

Р = 7Т7-ГТл » Р =

2(га + 2)' ^ 2(т + 2)'

— 1 < а < 1, 0</T<i 0</3<i,

где а\, ß\, щ, а2, ß2, Щ ~ действительные числа, удовлетворяющие некоторым дополнительным условиям, которые будут указаны далее.

Решение и(х,у) поставленной задачи ищется в классе дважды дифференцируемых функций в области О таких, что

yl-au(x,y) Е C(Hi), и(х,у) Е С(П2),

у1~а (yl-au)y Е C(yt\ U {(;х, ^: 0 < ж < 1, у = 0}), (31)

ихх е c(f2i и гг2), иуу е c(q2)-

Истоком данной задачи послужила публикация A.A. Килбаса, O.A. Репина [39]. Новизна этой задачи состоит в условии (25), которое является обобщением краевых условий подобного типа. Доказана следующая теорема единственности решения задачи.

Теорема 2.1.1. В области Q не может существовать более одного решения задачи (22), (24)~(25), если либо

w(x)=pi, S(x)=p2, ai = -ß\ ßi = Q, a2 = -ß, ß2 = 0,

(32)

либо

w(x) = PlxP+f>-\ 6(x) = p2( 1 - а! = -ß\

ß!=ß*+ß-l, a2 = -ß, ß2 = ß* + ß-l, 1 j

где Pi = const (г = 1,2), и выполняются условия

Е{х) = T{ß*{+ß)ß) ViA{x) + Щ±^-р2В(х) + D{x) ^ 0 Уже/;

(34)

^ о

Ci(l)

Е( 1) 'С2(х) Е{х)\

п Ж1) л

Pi > 0» т^тт < О,

С2(0)

<0,

ад

Е(х)\

Е( 0)

VxgT;

^ О,

£7(1)

[ Е(х)

л Ж1)

Е(х) /

^ 0 или

А(х)

£(0)

£7(1)

В{хУ Е(х)

LЕ(х)\

^ 0 или

В(х)

(36)

^ OVz G /;

[Е(х)\

(37)

^ OVx G /.

В замечании 2.1.1 выписаны условия, при выполнении которых теорема единственности решения поставленной задачи может быть доказана на основании принципа экстремума для нелокального параболического уравнения и принципа экстремума для операторов дробного дифференцирования в смысле Римана-Лиувилля.

Вопрос существования решения рассматриваемой задачи сводится к вопросу разрешимости интегрального уравнения Фредгольма второго рода со слабой особенностью в ядре.

В замечании 2.1.2 приведено доказательство существования решения ещё одной исследуемой задачи в случае

А(х) = к\ = const, В(х) — 0, С\(х) = к2 = const, С2(х) — 0,

Mi (я) = 0, М2(х) = кз = const.

При таких условиях получаем, что доказательство существования решения эквивалентно сводится к вопросу разрешимости дифференциального уравнения дробного порядка. Решение поставленой задачи даётся в явном виде:

у

и(х, У) = J Ч>\у, 0, г]) dr) -

о

у 1

- J Mri)G^x,y,l,T))dri + r(a) J T(t)G(x,p,£,0)dt,

где

1-/3

ж - £ + 2п\

(у-чУ .

|ж + £ + 2п|

(у - ^

оо

4'Чс(г) = У" --ГТ > Ь > с> 6 > °> Е

—О

+с*2Е1+р*+р (р^х^Г+Р^ +ъ{х)-

~ У {х ~ *)Я1+/г.+Д2

о

Г(1 + а)

V*

(х-г)

ш

VI

(И,

71 (*) = —, <$ = -71(0),

/¿1

£

г(1+а) М2

VI

1

+ I(1 - ((1 - *)

О

Г(£* + Р)

Г(1+а)\ 7"(£)

(И

№ / VI + /сз = const Ф О,

VI =

Г(2-£* -/3) /га + 2\^ /С1 к2

---= сог^ ф О,

VI VI

Г(1 -0*) \ 4 ) Еа11+а-ь{\ха) и Еауа[\(х — ¿)а] - специальные случаи функции Миттаг-Лёффлера Еаф(г).

Используя полученное решение, непосредственно проверяется выполнение краевых условий (24), (25) и условий сопряжения (26), (27), а также принадлежность полученного решения поставленной задачи классу функций (31), что завершает доказательство существования решения исходной задачи.

Справедлива следующая теорема.

Теорема 2.1.2. Пусть для уравнения (22) справедливы условия (24)-(25), (29)-(30), а также выполняются условия сопряжения (26), (27). Тогда существует решение и(х,у) исследуемой задачи III из класса (31).

В § 2.2 для уравнения (22) в области Q ставится и исследуется нелокальная задача.

Задача III (в исключительных случаях). Найти решение и(х,у) уравнения (22) в области О, при уф 0, удовлетворяющее краевым условиям (24) и

где

Аг (/¿>[0О(£)]) (х) + А2 (/¿>М)) (х)+ +А3 (/¿;ЧМ)) (X) = Ä4Xk,

к > тах{0, /л + j — rj) — 1, ¡i > О, 7 = ^tö, Т) — любое действительное число,

(38)

(39)

'П - n'is\r\f\t> ff£J'llf"rri£J'll'rri£S/l'i^'t-lf'U Ч I С П f\

т+2'

а также условиям сопряжения (26), (27). Здесь А{, i = 1,4, - действительные константы, на которые далее будут наложены необходимые условия; (у), <р2{у) - заданные функции, удовлетворяющие условиям (29), (30); во (я) - точка пересечения характеристик уравнения (22), выходящих из точек (х, 0) 6 I, с характеристикой АС.

Новизна постановки заключается в том, что решение и(х,у) поставленной задачи ищется для двух исключительных случаев а = у и а — — у в заданном классе функций (31).

При исследовании задачи III (в исключительных случаях) доказана теорема единственности. Доказательство существования решения, так же как и в § 2.1, эквивалентно сводится к вопросу разрешимости дифференциального уравнения дробного порядка. Полученный результат формулируется в виде двух теорем.

Теорема 2.2.1. Пусть выполняются неравенства

А* Ач

-А2 < А\ < -— либо - — < Ах < -А2, (40)

Ао А0

где

А„ = 7(£) Г(7),

и условия сопряжения (26), (27). Тогда, если существует, решение исследуемой задачи, то оно единственно.

Теорема 2.2.2. Пусть для уравнения (22) справедливы условия (24), (38)-(39), (29)-(30) и (40), а также выполняются условия сопряжения (26), (27). Тогда существует решение и(х,у) исследуемой задачи из класса (31).

В § 2.3 для уравнения (22) при а = 0 и т > 0, которое принимает вид:

0=iu^~Do+,yu (У>0)' (41)

| {-у)тихх - иуу (га = const > 0, у < 0),

в области П, которая представляет собой объединение верхней полуплоскости = {{х,у) : —оо < х < оо, у > 0} и области ; лежащей в нижней полуплоскости (г/ < 0) и ограниченной характеристиками

. „ 2 тп+2 „ _ 2 ш+2

АС:£ = х--~(-у)—= 0, ВС:г] = х +-- (~у)~ = 1

s га + 2 ' га + 2

и отрезком [0, 1] прямой у — 0, ставится и исследуется следующая задача.

Задача IV. Найти решение и(х,у) уравнения (41) в области Г2; удовлетворяющее краевым условиям

yl~au\y=Q = 0 (—оо < х ^ 0, 1 ^ х < оо), (42)

а(х) (lot'^-Meo(i)]) (x) + b(x) (i^-MQiit)]) (x)+

+c(x)u(x, 0) + d(x)uy(x, 0) = g(x), x G /, а также условиям сопряжения

\imu(x,y) = a(x)\im+yl~au(x,y), (же/), (44)

lim uy(x,y) = ß{x) lim yl-a{yl-au{x,y))v, (x G /). (45)

(43)

Здесь /3 =

т

2т + 4

заданные функции, такие, что

, а(х), b(x), с(х), d(x), а(х), (3(х), д(х)

а(х), Ь(х), с(х), d(x), д{х) G С1 (7) П С2(/), а{х), еС2(7)пС3(/), d2

(46)

а(ж)/3(ж) > О,

dx2

{а{хЩх)\ < О,

©о(х) и ©i(x) - точки пересечения характеристик уравнения (2.66), выходящих из точки (х, О) G / соответственно с характеристиками АС и ВС; I = (О, 1) единичный интервал прямой у = О.

Будем искать решение и(х, у) поставленной задачи в классе дважды дифференцируемых функций в области Q таких, что

у1~аи(х,у)еС(Щ, и(х,у) G С(П2),

yl~a {yl~au)y G C(fli и {(х,у) : 0 < * < 1,у = 0}),

ихх G C(fii U П2), иуу G С(П2), (47)

и(х,у) стремится к нулю при (х2 + у2) —> оо.

Доказана следующая теорема единственности решения поставленной задачи.

Теорема 2.3.1. В области Q, не может существовать более одного решения задачи (41), (4%)~(45), если

а{1) , 6(0)

+

^ 0,

£7(1) £7(0) Е(х) = 7i[a(z) + Ь(х)] + с(х) Уж G 7,

а(х)

ЁЩ J

^ о,

Кх)

[Е(х)

> 0,

d{x) Щх)

^0 Ух el,

(48)

(49)

(50)

где

7i =

Г(2/3)

т'

Вопрос существования решения рассматриваемой задачи сводится к вопросу разрешимости интегрального уравнения Фредгольма второго рода со слабой особенностью в ядре.

В замечании 2.3.1 приведено доказательство существования решения ещё одной исследуемой задачи в случае

а{х) — к\ = const ф 0, (3(х) = к2 = const ф О,

ai(x) = к;$ = const Ф 0, bi(x) = с\(х) = 0.

При таких условиях получаем, что доказательство существования решения эквивалентно сводится к вопросу разрешимости дифференциального уравнения дробного порядка. Решение поставленой задачи даётся в явном виде:

1

у) = J G(x, у, t)r(t) dt,

где

оо

ebqc(z) Y^r{p + kb)T (q-скУ Ь k=0

> c, b > 0, z eC,

k2k$ тт. fkiT(l + a)x2i3+{

T(x) = —,-CiX^+1,2

«1

кок

+

1 к

X

- J (x - t)E2/3+1,2

fcir(l + g) к2к3

(x-t)

g"(t) dt,

ci

^2^3-^2/3+1,2 1

/...r(l+e)

к

c2

кок

2^3

^аД+а-ьС^я") и — ¿)а] - специальные случаи функции

Миттаг^Лёффлера Еа^(г).

В замечании 2.3.2 рассмотрен случай, когда ф к2. Проблема однозначной разрешимости исследуемой задачи сводится к вопросу разрешимости интегрального уравнения Вольтерра второго рода.

В замечании 2.3.3 рассматривается задача для уравнения (22) в случае, когда параболическая область О1 представляет собой половину верхней полуплоскости, то есть О1 = {(я, у) : 0 ^ х < оо, У > 0}-

Научная новизна. Результаты работы, выносимые на защиту, являются новыми. В числе наиболее важных следует отметить:

1. Постановку и исследование новых задач для нагруженных уравнений и уравнений с частной дробной производной Римана-Лиувилля, краевые условия которых содержат операторы дробного интегро-дифференцирования в смысле Римана-Лиувилля, Эрдейи-Кобера, М. Сайго или их комбинации. Доказательство теорем единственности и существования решения краевых задач.

2. Определение интервалов изменения параметров операторов дробного интегрирования и дифференцирования, при которых задачи корректны.

3. Разработка методов сведения исследуемых задач к вопросам разрешимости интегральных уравнений Вольтерра второго рода со слабой особенностью в ядре или интегральных уравнений Фредгольма второго рода со слабой особенностью в ядре, а также разработка методов сведения задач к однозначной разрешимости дифференциальных уравнений дробного порядка.

4. Исследование частных случаев, допускающих возможность нахождения явных решений изучаемых задач.

Теоретическая и практическая значимость. Материалы диссертации носят теоретический характер. Полученные в ней результаты могут представлять научный интерес для широкого круга математиков и специалистов, работающих в области дифференциальных уравнений, краевых задач, и могут быть использованы для дальнейшей разработки теории нагруженных дифференциальных уравнений, а также при решении прикладных задач, приводящихся к таким уравнениям.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Тарасенко, Анна Валерьевна, 2013 год

Литература

[1] Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Т.1: Гипергеометрическая функция. Функция Лежандра — М.: Наука, 1973.-296 с.

[2] Бицадзе А. В. Некоторые классы уравнений в частных производных — М.: Наука, 1981.—448 с.

[3] Бицадзе A.B. Уравнения смешанного типа — М.: Изд-во АН СССР. 1959.-164 с.

[4] Бородин A.B. Об одной оценке для уравнений в частных производных второго порядка и ее приложения // Дифференц. уравнения. - 1978. - Т. 14, 1. - С. 12-21.

[5] Бородин A.B. Дифференцируемость по параметру решений нелинейно нагруженных краевых задач для уравнений в частных производных второго порядка. I // Дифференц. уравнения. —

1979.-Т. 15, № 1.-С. 18-25.

[6] Бородин A.B. Дифференцируемость по параметру решений нелинейно нагруженных краевых задач для уравнений в частных производных второго порядка. II // Дифференц. уравнения. —

1980.-Т. 16, № 1.-С. 20-33.

[7] Бородин A.B. Краевые задачи для нагруженных уравнений в частных производных // Матем. сб. - Орджиникидзе: ГУ — 1976.-С. 15-23.

[8] Будак В.М., Искендеров А. Д. Об одном классе обратных краевых задач с неизвестными коэффициентами // Докл. АН СССР - 1967. - Т. 176, № 1. - С. 20-23.

[9] Вирченко H.A., Репин O.A. О задаче Дарбу для нагруженного уравнения Геллерстедта // Докл. нац. АН Украины — 1996. — № 7.-С. 21-25.

[10] Волкодавов В. Ф. Принцип локального экстремума и его применение к решению краевых задач для дифференциальных уравнений с частными производными. Автореферат дис. на соискание учён, степени д-ра физ.-мат. наук. Казань. — 1969. — 10 с.

[11] Вольтерра В. Теория функционалов, интегральных и интегро-дифференциальных уравнений — М.: Наука, 1982.— 304 с.

[12] Врагов В. Н. Краевые задачи для неклассических уравнений математической физики. — Новосибирск: НГУ. 1983. — 84 с.

[13] Врагов В.Н. О задачах Гурса и Дарбу для одного класса гиперболических уравнений // Дифференц. уравнения. — 1972. — Т. 8, № 1.-С. 7-16.

[14] Геккиева С. X. Аналог задачи Трикоми для уравнения смешанного типа с дробной производной // Изв. Кабардино-Балкар. науч. центра РАН - 2001.2 (7).-С. 78-80.

[15] Гелъфанд Ф.Д. Некоторые вопросы анализа и дифференциальных уравнений // УМН.-1959.-Т. 14, Вып. 3(87).-С. 3-19.

[16] Гюнтер Н.М. К теории интегралов Стильтьеса-Радона и интегральных уравнений // Докл. АН СССР. — 1938. — Т. 21.— С. 219-223.

[17] Гюнтер Н.М. К общей теории интегральных уравнений // Докл. АН СССР.-1939.-Т. 22.-С. 215-219.

[18] Доюеналиев М. Т. Начально-краевая задача для нагруженного уравнения параболического типа // Теоретические и прикладные вопросы дифференциальных уравнений. — Караганда: КарГУ, 1986. - С. 70-76.

[19] Дженалиев М. Т. Об одной краевой задаче для линейного нагруженного параболического уравнения с нелокальными гра-

ничными условиями // Дифференц. уравнения. — 1991. — Т. 27, № 10.-С. 1925-1927.

[20] Дженалиев М. Т. Краевые задачи и задачи оптимального управления для линейных нагруженных уравнений гиперболического типа // Дифференц. уравнения. —1992.—Т. 28, № 2.— С. 232-241.

[21] Дженалиев М. Т. К теории линейных краевых задач для нагруженных дифференциальных уравнений— Алматы: Компьютерный центр ИТПМ, 1995.-270 с.

[22] Джон Ф., Берс М., Шехтер М. Уравнения с частными производными— М.: Мир, 1966.— 352 с.

[23] Жегалов В. И. Краевая задача для уравнения смешанного типа с граничным условием на обеих характеристиках и с разрывами на переходной линии // Уч. зап. Казанск. ун-та. — 1962. — Т. 122. Кн. З.-С. 3-16.

[24] Золина Л.А. О краевой задаче для модельного уравнения гиперболо-параболического типа // ЖВМ и МФ. —1966. — Т. 6, № 6.-С. 991-1001.

[25] Ильин В.А. О разрешимости смешанных задач для гиперболических и параболических уравнений // Успехи матем. наук. — 1960.-Т. 15, вып. 2.-С. 97-154.

[26] Искендеров А. Д. О краевой задаче для нагруженной системы квазилинейных параболических уравнений // Дифференц. уравнения. - 1971. - Т. 7, № 10.-С. 1911-1913.

[27] Искендеров А. Д. О смешанной задаче для нагруженных квазилинейных уравнений гиперболического типа // Докл. АН СССР.-1971.-Т. 19, № 6.-С. 1237-1239.

[28] Казиев В. М. О задаче Дарбу для одного нагруженного интегро-дифференциального уравнения второго порядка // Дифференц. уравнения.-1978.-Т. 14, № 1.-С. 181-184.

[29] Казиев В. М. Задача Трикоми для нагруженного уравнения Лаврентьева-Бицадзе // Дифференц. уравнения. — 1979. — Т. 15, № 1.-С. 173-175.

[30] Казиев В. М. Задача Гурса для одного нагруженного интегро-дифференциального уравнения // Дифференц. уравнения. — 1981. - Т. 17, № 2. - С. 313-319.

[31] Кальменов Т. III. Критерий единственности решения задачи Дарбу для одного вырождающегося гиперболического уравнения // Дифференц. уравнения. - 1971. - Т. 7, № 1.-С. 178-181.

[32] Кальменов Т. III. Критерий непрерывности решения задачи Гурса для одного вырождающегося уравнения // Дифференц. уравнения. -1972. - Т. 8, № 1. - С. 41-54.

[33] Кальменов Т. III. О задаче Дарбу для одного вырождающегося уравнения // Дифференц. уравнения. — 1974. — Т. 10, № 1.— С. 59-68.

[34] Капустин Н. Ю. К теории обобщённого параболо-гиперболического уравнения теплопроводности // Дифференц. уравнения. - 1996. - Т. 32, № 3. - С. 375-383.

[35] Капустин Н. Ю. О разрешимости в классе задачи Трикоми для одного параболо-гиперболического уравнения с вырождающейся гиперболической частью // Дифференц. уравнения. — 1986.-Т. 22, № 1.-С. 60-66.

[36] Керефов А. А., Кумышее Р. М. О краевых задачах для нагруженного уравнения теплопроводности // Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. — Нальчик,— 1996.-Т. 2, № 1.-С. 13-15.

[37] Килбас А. А. Ассимптотические разложения дробных интегралов и решений уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу // Дифференц. уравнения-1986.-Т. 24, № 10.-с. 1764-1777.

[38] Килбас А. А., Репин О. А. Задача со смещением для параболо-гиперболического уравнения // Дифференц. уравнения - 1998. - Т. 34, № 6. - с. 799-805.

[39] Килбас A.A., Репин O.A. Аналог задачи Бицадзе-Самарского для уравнения смешанного типа с дробной производной // Дифференц. уравнения — 2003. — Т. 39, № 5. —с. 638644.

[40] Килбас A.A., Репин O.A. Нелокальная задача для уравнения смешанного типа с частной производной Римана-Лиувилля и операторами обобщенного дробного интегрирования в краевом условии // Труды Института математики. Минск. - 2004. -Т. 12, № 2. - с. 75-81.

[41] Килбас А. А., Репин О. А. Аналог задачи Трикоми для дифференциального уравнения с частными производными, содержащего уравнение диффузии дробного порядка // Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. — 2010.-Т. 12, № 1. — с. 31-39.

[42] Кожанов А. И. Смешанная задача для некоторых классов нелинейных уравнений третьего порядка // Матем. сб. — 1982. — Т. 118 (160). № 4.-с. 504-522.

[43] Кочубей А.Н. Задача коши для эволюционных уравнений дробного порядка // Дифференц. уравнения. - 1989. - Т. 25, № 8. - с. 1359-1368.

[44] Кочубей А.Н. Диффузия дробного порядка // Дифференц. уравнения. - 1990. - Т. 26, № 4. - с. 660-670.

[45] Крылов А.Н.О некоторых дифференциальных уравнениях — М.: Наука. - 1932. - 358 с.

[46] Лаврентьев М.А., Бицадзе A.B. К проблеме уравнений смешанного типа // Докл. АН СССР. -1950. - Т. 70, № 3.-С. 373-376.

[47] Ломов И. С. Свойства базисности корневых векторов нагруженных дифференциальных операторов второго порядка на интервале // Дифференц. уравнения. — 1991. — Т. 27, № 1.— С. 80-93.

[48] Манжиров А. В., Полянин А. Д. Справочник по интегральным уравнениям: Методы решения. — М.: Изд-во Факториал Пресс, 2000. - 384 с.

[49] Маричев О. И. Метод вычисления интегралов от специальных функций (теория и таблицы формул) — Минск: Наука и техника. 1978.-310 с.

[50] Маричев О. И., Килбас А. А., Репин О. А. Краевые задачи для уравнений в частных производных с разрывными коэффициентами // Самара: Изд-во Самар. гос. экон. ун-та, 2008. —276 с.

[51] Михлин С. Г. Линейные уравнения в частных производных — М.: Наука.-1977.-431 с.

[52] Моисеев Е. И. О единственности решения задачи Трикоми для уравнения смешанного типа // Матем. заметки. — 1986. — Т. 30. Вып. 5.-С. 707-718.

[53] Моисеев Е. И. Решение задачи Трикоми в специальных областях // Дифференц. уравнения. - 1990. - Т. 26. № 1. - С. 93-103.

[54] Моисеев Е. И. О некоторых краевых задачах для уравнений смешанного типа // Дифференц. уравнения. — 1992. — Т. 28. № 1.-С. 110-121.

[55] Назаров H.H. Об одном новом классе интегральных уравнений // Тр. ин-та матем. и мех. АН УзССР. - Ташкент. — 1948. — Вып. 4.-С. 77-106.

[56] Нахушев А. М. Дробное исчисление его применение — М.: Физ-матлит. - 2009. - 272 с.

[57] Нахушев А. М. Уравнения математической биологии — М.: Высш. шк., 1995.-300 с.

[58] Нахушев А. М. Элементы дробного исчисления и их применение. - Нальчик: Изд-во КБНЦ РАН. - 2000. - 299 с.

[59] Нахушев А. М. О задаче Дарбу для одного вырождающегося нагруженного интегро-дифференциального уравнения второго порядка // Дифференц. уравнения. —1976.—Т. 12, № 1.— С. 103-108.

[60] Нахушев А. М. Нелокальные задачи и задача Гурса для нагруженного уравнения гиперболического типа и их приложения к прогнозу почвенной влаги // Докл. АН СССР. — 1978. — Т. 242, № 5.-С. 1008-1011.

[61] Нахушев А. М. Краевые задачи для нагруженных интегро-дифференциальных уравнений гиперболического типа и некоторые их приложения к прогнозу почвенной влаги // Дифференц. уравнения. - 1979. - Т. 15, № 1.-С. 96-105.

[62] Нахушев А. М. Локальные и нелокальные краевые задачи для нагруженного уравнения параболического типа и их приложения к прогнозу почвенной влаги // Тезисы докл. республ. симпозиума по дифференциальным уравнениям — Ашхабад, 1978. — С. 27-28.

[63] Нахушев A.M. Нагруженные уравнения и их применение.— М.: Наука.-2012.-231 с.

[64] Нахушев А. М. Нагруженные уравнения и их приложения // Дифференц. уравнения. - 1983. - Т. 19, № 1. - С. 86-94.

[65] Нахушев А. М. О нелокальных краевых задачах со смещением и их связи с нагруженными уравнениями // Дифференц. уравнения. - 1985. - Т. 21, № 1.-С. 92-101.

[66] Нахушева З.А. Нелокальные краевые задачи для основных и смешанного типов дифференциальных уравнений. - Нальчик. -2011.

[67] Нахушева В. А. Дифференциальные уравнения математических моделей нелокальных процессов — М.: Наука. — 2006.— 173 с.

[68] Псху А. В. Уравнения в частных производных дробного порядка - М.: Наука. - 2005. - 199 с.

[69] Плещинский Н. Б. Применение метода интегральных уравнений к решению задачи типа Геллерстедта // Труды семинара по краевым задачам. Казань: КГУ. — 1982. — Вып. 18. — С. 144-145.

[70] Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. Т.1: Элементарные функции. — М.: Наука. — 1981. — 797 с.

[71] Пулькин С.П. О единственности решения сингулярной задачи Геллерстедта // Изв. вузов. Математика. — 1960. № 6. — С. 214-225.

[72] Пулъкина JI.C. О разрешимости в L2 нелокальной задачи с интегральными условиями для гиперболического уравнения // Дифференц. уравнения.-2000.-Т. 36, № 2.-С. 279-280.

[73] Раджабов Н.Р. Некоторые краевые задачи с высшими производными для уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу // Докл. АН Тадж. ССР.-1965.-Т. 13.-С. 3-8.

[74] Репин О. А. Краевые задачи со смещением для уравнений гиперболического и смешанного типов. Монография. — Изд-во Саратовского ун-та. — 1992. — 162 с.

[75] Репин O.A. О задаче Гурса для нагруженного уравнения Геллерстедта // Труды второго межд. семинара "Дифференциальные уравнения и их приложени". Самара.— 1998. — С. 133-139.

[76] Репин O.A. Смешанная задача для нагруженного уравнения Геллерстедта с оператором М.Сайго в краевом условии // Вестник Самар. гос. техн. ун-та. Серия Физико-математические науки. - 2000. № 9.-С. 13-18.

[77] Репин O.A. О задаче с операторами дробного интегро-дифференцирования в краевом условии для вырождающегося гиперболического уравнения // Труды V-ой Всероссийской научной конференции "Матем. моделирование и краев, задачи." Ч.З.

Дифференциальные уравнения.Самара, СамГТУ. — 2008. № 3. — С. 143-149.

[78] Репин O.A., Арланова Е.Ю. Аналог второй задачи Дарбу для одного вырождающегося гиперболического уравнения // Труды Ш-ей Всероссийской научной конференции. "Матем. моделирование и краев, задачи." Ч.З. Дифференциальные уравнения. Самара. СамГТУ. - 2006. №3. - С. 46-51.

[79] Репин O.A., Кумыкова С.К. Нелокальная задача для уравнения Бицадзе-Лыкова // Известия вузов. Математика. — 2010. №. - С. 28-35.

[80] Репин O.A., Кумыкова С.К. Нелокальная задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с обобщенными операторами дробного интегро-дифференцирования произвольного порядка // Вестник Самар. гос. техн. ун-та. Серия Физико-математические науки. — 2011. № 4.— С. 25-36.

[81] Репин O.A., Кумыкова С.К. Об одной краевой задаче со смещением для уравнения смешанного типа в неограниченной области // Дифференц. уравнения. - 2012. - Т. 48, № 8. - с. 1140-1149.

[82] Репин O.A., Сайганова С.А. Краевая задача со смещением для уравнения смешанного типа с дробной производной // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. - 2011. Т.11, вып.1. - С. 89-94.

[83] Репин O.A., Тарасенко A.B. Задачи Гурса и Дарбу для одного нагруженного интегро-дифференциального уравнения второго порядка // Математический журнал. Алматы. — 2011. Т.Н. № 2(40). — С.64-72.

[84] Репин O.A., Тарасенко A.B. Нелокальная задача для нагруженного дифференциального уравнения с обобщенными операторами в краевом условии // Дифференциальные и интегральные уравнения, их приложения. Труды XIV международной научной конференции им. акад. Кравчука. Украина. — 2012. — С. 362-369.

[85] Сабитов К. Б. Начально-граничная задача для нагруженного уравнения параболо-гиперболического типа // Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. — 2009. Т. 11. № 1.-С. 66-73.

[86] Сабитов К.Б. Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения: Учеб. пособие для вузов. — М.: Высш. шк. — 2005.-672 с.

[87] Самко С. Г., Килбас A.A., Маричев О. И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения — Минск: Наука и техника. — 1987. — 688 с.

[88] Сёмина С.А. Об одной задаче для уравнения смешанного типа с частной дробной производной Римана—Лиувилля // Ма-тем. моделирование и краев, задачи. Труды VI Всероссийской научной конференции. Часть 3. Самара: СамГТУ. — 2009. №3. — С. 203-205.

[89] Смирнов В.И. Курс высшей математики. Т. IV, часть 1. —М.: Наука-1974.-336 с.

[90] Смирнов М. М. Уравнения смешанного типа—М.: Высш. шк,-1985.-304 с.

[91] Смирнов М. М. Вырождающиеся эллиптические и гиперболические уравнения — М.: Изд-во Наука—1966.— 292 с.

[92] Солдатов А. П. О задачах типа Дирихле для уравнения Лав-рентьева-Бицадзе // Тр. МИАН. -2012.-Т. 278.-С. 242-249.

[93] Стручина Г.М. Задача о сопряжении двух уравнений // Инженерно-физический журнал. — 1961. — Т. 4, № 11. —С. 99104.

[94] Тарасенко A.B. Об одной нелокальной задаче для нагруженного уравнения Геллерстедта // Докл. АМАН —2011. Т. 13, №2,— С. 57-61.

[95] Тарасенко A.B. Об одной задаче с оператором М.Сайго в краевом условии для нагруженного уравнения теплопроводности // Вестник Самарск. госуд. техн. ун-та. Сер: физ.-мат. науки. — 2012. Вып. 3(28).-С. 41-46.

[96] Тарасенко A.B. О разрешимости нелокальной задачи для нагруженного параболо-гиперболического уравнения // Известия вузов. Математика.-2013. Ж 1.-С. 73-81.

[97] Тарасенко A.B. О задаче со смещением для одного уравнения в частных производных // Вестник Самарск. госуд. техн. ун-та. Сер: физ.-мат. науки.-2013. Вып. 3(32).-С. 22-28.

[98] Тарасенко A.B. Об одной нелокальной задаче для нагруженного уравнения Геллерстедта // Дифференциальные уравнения и их приложения. Тезисы докладов Всероссийской научной конференции. — Самара: Изд-во Универс групп. — 2011. — С.116.

[99] Тарасенко A.B. О краевых задачах для нагруженного уравнения теплопроводности // Аналитические методы анализа и дифференциальных уравнений. Труды международной конференции. Минск.— 2011.— С. 141.

[100] Тарасенко A.B. Об одной задаче с оператором М.Сайго в краевом условии для нагруженного уравнения теплопроводности // Математическое моделирование и краевые задачи. Труды восьмой Всероссийской научной конференции с международным участием. Ч.З: Дифференциальные уравнения и краевые задачи. — Самара: СамГТУ. - 2011. - С.173-174.

[101] Тарасенко А. В. Об одной задаче с оператором дробного интегрирования Римана-Лиувилля в краевом условии для нагруженного уравнения теплопроводности // Труды математического центра им. Н.И. Лобачевского. Т.45.: Лобачевские чтения-2012: материалы XI молодежной школы-конференции. Казань. — 2012.-С. 199-201.

[102] Тарасенко А. В. О разрешимости нелокальной задачи для нагруженного уравнения смешанного типа // Труды матема-

тического центра им. Н.И. Лобачевского. Т.46.: Лобачевские чтения-2013: материалы XII молодежной школы-конференции. Казань.-2013.-С. 168-170.

103] Тихонов А.Н., Самарский A.A. Уравнения математической физики. — М.-.Наука — 1966. — 724 с.

104] Трикоми Ф. О линейных уравнениях в частных производных второго порядка смешанного типа— М.: ИЛ. — 1947. — 192 с.

105] Трикоми Ф. Лекции по уравнениям в частных производных — М.: Изд-во Иностр. лит-ры — 1957. — 443 с.

106] Уфлянд Я. С. К вопросу о распространении колебаний в составных электрических линиях // Инженерно-физический журнал. - 1964. - Т. 7, № 1. - С. 89-92.

107] Фихтпенголъц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 3 —М.: Наука, 1970. —656 с.

108] Франкль Ф.И. Избранные труды по газовой динамике — М.: Наука.-1973.-711 с.

109] Хайруллин Р. С. К теории уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу // Изв. вузов. Математика. — 1993. — № 11. — С. 69-76.

110] Шхануков M. X. Разностный метод решения одного нагруженного уравнения параболического типа // Дифференц. уравнения. - 1977. - Т. 13, № 1.-С. 163-167.

111] Bushman R.G. Integrals of hypergeometric functions // Math. Z. - 1965. - Vol. 89. - P. 74-76.

112] Gellerstedt S. Sur une equation lineaire aux derivees partielles de type mixte // Arciv Mat., Astr. och. fisik. — 1937. — 25A. 29. — P. 1-23.

113] Kneser A. // Rendiconti del Circolo Matemático di Palermo.— 1914.-T. 37.-P. 169-197.

[114] Krall A.M. The development of general differetial and general differential boundary systems // Rocky Mountains I.Math. — 1975. — V. 5, № 4.-P. 493-542.

[115] Saigo M. A certain boundary value problem for the Euler-Poisson-Darboux equation // Math. Japan. — 1979. — V. 24, № 4. — C. 377-385.

[116] Saigo M. A remark on integral operators involving the Gauss hypergeometric function // Math. Rep. Kyushu Univ. —1978. — Vol. 11, № 2.-P. 135-143.

[117] Saigo M. On the Holder continuity of the generalized fractional integrals and derivatives // Math. Rep. Kyushu Univ. —1980. — Vol. 12, № 2.-P. 55-62.

[118] Saigo M., Raina R.K. Fractional Calculus Operators Associated a General Class of Polynomials // Fukuoka Univ. — 1988. — Vol. 18, № l.-P. 15-22.