Разностные методы решения краевых задач для дифференциальных уравнений на фракталах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.03, кандидат физико-математических наук Дигурова, Алла Мисирикоевна

• Дигурова, Алла Мисирикоевна
• кандидат физико-математических наук
• 2000

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Дигурова, Алла Мисирикоевна

Введение.

Глава

Краевые задачи для обыкновенных уравнений на фракталах

1. Уравнения гидродинамики для пористых сред со структурой, обладающей фрактальной геометрией.

2. Построение разностных схем второго порядка точности для стационарного уравнения на фракталах.

3. Сходимость и точность разностных схем.

4. Схема повышенного порядка точности для третьей краевой задачи.

5. Сходимость и точность разностной схемы.

Глава

Дифференциальные уравнения в частных производных на фракталах

1. Постановка краевых задач, априорные оценки.

2. Метод Роте.

3. Построение разностных схем для нестационарного уравнения на фракталах.

4. Сходимость и точность разностной схемы.

5. Априорная оценка. Краевая задача с граничным условием третьего рода.

6. Сходимость и точность разностной схемы краевой задачи с граничным условием третьего рода.

Глава

Краевые задачи для уравнения диффузии дробного порядка в цилиндрической и сферической системах координат

1. Постановка начально-краевых задач, априорные оценки.

2. Построение разностных схем для обобщенного уравнения переноса дробного порядка.

3. Устойчивость и сходимость разностной схемы.

4. Третья краевая задача, априорная оценка.

5. Построение разностных схем.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Разностные методы решения краевых задач для дифференциальных уравнений на фракталах»

В последние годы для описания структуры неупорядоченных сред и протекающих в них процессов широко используется теория фракталов-множеств с дробной пространственной размерностью [20],[21],[28],[35], [52]. Примерами неупорядоченных сред являются пористые тела. При этом, согласно [29], фракталами могут быть поровое пространство, скелет породы, поверхность скелета породы. В случае, когда трещины и сплошные пористые блоки представляются однородными взаимопроникающими континуумами, обычно используется модель Баренблатта--Желтова [4]-[6]. Между тем в реальных трещиноватых породах для характерных размеров, сравнимых с размерами блоков, трещины образуют систему, которую нельзя считать однородной [20]. В работе [28] рассмотрено уравнение многофазной фильтрации в случае, когда поровое пространство представляет собой фрактал с размерностью Хаус-дорфа - Безиковича df, погруженный в сплошную среду с размерностью с1(с1 > df, с? = 2,3). В случае, когда df = с1 система трещин превращается в сплошную среду и обычно используется вышеназванная модель Баренблатта- Желтова.

В работе [28] также получено уравнение движения примеси в потоке однородной жидкости. дс Р 1 д т г<1/-1 г^с), (0.1) где с-концентрация примеси в водной фазе, D-коэффициент конвективной диффузии, u-скорость потока, m-пористость. При постановке начально - краевых задач для уравнения вида (0.1) следует различать случай слабого вырождения, когда 0 < df — 1<1,и случай сильного вырождения, когда 1 < df — 1 < 2.

В первом случае корректно поставлена задача Дирихле. В случае сильного вырождения необходимо ставить либо условие ограниченности

Зи limrV = 0, a = df- 1, (0.2) r-»0 дг либо видоизмененную задачу Дирихле и lim -— = ß\t), ol — 1, r-ю In г w lim ra1 = ¡i(t), а > 1,

Г—¥ 0 где u-искомое решение уравнения du I д ( пди\ , . ,/ ч

При численном решении задачи вместо условия ограниченности (0.2) в определенном классе коэффициентов уравнения и решения u(r, t) можно брать условие [40] г/(0, t) = 0.

Другой класс неклассических уравнений, дифференциальные уравнения дробного порядка, возникает при изучении также фильтрации жидкости в сильнопористой (фрактальной) среде [34],[43], [46]: £« + /(*,*), (0.3) t

1 д [ u(x,r)dr uQta и{х, i

Г(1 -a) at J (t- т)а о

-дробная в смысле Римана-Лиувилля производная порядка а, 0 < а < 1, д

Lu = ох k(x,t q(x, t)u.

Иногда уравнение (0.3) называют еще уравнением медленной диффузии (субдиффузии). При этом следует заметить, что порядок дробной производной связан с размерностью фрактала, а принципы вычисления фрактальной размерности изложены в работах [29],[51],[52]. Уравнения вида (0.1),(0,3), следуя [20], будем называть уравнениями на фракталах.

Из ранних работ, посвященных дифференциальным уравнениям дробного порядка, отметим работу Pitcher Е, Sewell W.[54], в которой доказана теорема существования и единственности задачи Коши для уравнения v:xy = f(x,y).

К дифференциальному уравнению дробного порядка пришел также S.Mandelbrojt [53] (1925).

Бабенко Ю.А. в работе [3] для определения тепловых потоков на границе раздела двух сред примененил метод расщепления оператора уравнения на два множителя, каждый из которых содержит производную по ж и производную порядка 1/2 по t. Из более поздних работ, посвященных дифференциальным уравнениям дробного порядка, отметим работу Нахушева A.M. [31]. Здесь изучена задача Штурма-Лиувилля для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка с дробными производными в младших членах т у"(ж) + а0(х)у' + Y^ a3(x)Doxuj{x)y + am+i(x)v = f(x)> (°-4) i=i где 0 < am < . < a2 < «i < 1, 1)ож-оператор дробного в смысле Римана-Лиувилля дифференцирования порядка а. К задаче Штурма-Лиувилля

Роу'{0) + до 2/(0) = г0, ргу'( 1) + qiy( 0) = п для уравнения (0.4) редуцируются прямые и обратные задачи для уравнения смешанного гиперболо-параболического типа.

Задаче Коши для одного класса дифференциальных операторов дробного порядка посвящена работа Джрбашяна М.М., Нерсесяна А.Б. [17],[19], в которой доказана теорема существования и единственности задачи типа Коши для весьма общего линейного дифференциального уравнения дробного порядка.

Алероев Т.С. в работах [1] - [2] исследовал спектр задачи Дирихле для дифференциального уравнения и"(х) + a(x)V%xu = f(x), 0 < а < 1. Он показал, что при ¡3 > 0 в классе С[0, l]f|C2(0,1) задача ЦО) + /Зи'(0) = и(1) = 0, f(x) = 0, а(х) = А не имеет отрицательных собственных значений, а задача сш(0) + ри'(0) = 0, аи( 1) + ¡Зи'(1) = 0, а(х) = А имеет не более чем счетное множество собственных чисел.

Еще раньше Нахушев A.M. [30] показал, что число А является собственным значением последней задачи тогда и только тогда, когда А является нулем функции Миттаг-Леффлера £,2а,2(—А) (см.[18]).

Достаточно свежий материал, посвященный дифференциальным уравнениям дробного порядка содержится в [31], [33].

Ряд работ Вебера В.К. [10]-[15] посвящен исследованию систем дифференциальных уравнений дробного порядка в пространствах обобщенных функций.

Дифференциальным уравнениям дробного порядка посвящены так же работы Бабенко Ю.А. [3], Геккиевой С. [16].

Разностным методам решения дифференциальных уравнений дробного порядка посвящены работы Шханукова М.Х. [47], Шханукова -Лафишева М.Х., Бечеловой А.Р. [48], Нахушевой Ф.М. [49].

Диссертационная работа посвящена разработке численно - аналитических методов решения дифференциальных уравнений на фракталах вида (0.1) и (0.3).

У коэффициентов уравнений (0.1),(0,3) при г = 0 порядка 1 < а < 2 имеются особенности, поэтому методика построения и исследования разностных схем, схем типа Роте имеют некоторую специфику. При а = 1,2 эти моменты глубоко проработаны в работах [27], [35], [41], [42].

В случае, когда уравнение содержит дробную по времени производную порядка а, 0 < а < 1, возникают трудности, связанные с построением дискретного аналога дробной производной, с сохранением известного принципа экстремума для производных дробного порядка, с обоснованием устойчивости и сходимости разностных схем. В последнем случае мы имеем многослойные схемы для дифференциального уравнения дробного порядка.

При £ = 0 у решения дифференциальной задачи имеется особенность, поэтому уже на этапе постановки начально-краевых задач необходимо проявлять осторожность.

В диссертационной работе, состоящей из трех глав и введения, получены следующие результаты:

1.Для обыкновенного дифференциального уравнения на фракталах построены разностные схемы и получены априорные оценки в равномерной метрике, откуда следует сходимость схемы со скоростью О (И2).

2.Для решения основных краевых задач для дифференциальных уравнений в частных производных параболического типа на фракталах получены априорные оценки в естественных нормах с весом. Получены также дискретные аналоги априорных оценок, откуда следует сходимость метода Роте.

3.Для решения дифференциальных уравнений с частными производными на фракталах построены разностные схемы и методом стационарных неоднородностей получены априорные оценки, откуда следует сходимость схемы в равномерной метрике со скоростью О {к2 + т), к,т - параметры сетки.

4. Для решения обобщенного уравнения переноса дробного с вырождением порядка получена априорная оценка в естественных нормах с весом. Для основных краевых задач для уравнения диффузии дробного порядка построены разностные схемы и методом стационарных неоднородностей получены априорные оценки в равномерной метрике, откуда следует сходимость схем со скоростью О (к2 + т).

Переходим к более детальному изложению содержания диссертации.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Дигурова, Алла Мисирикоевна, 2000 год

1. Алероев Т.С. Задачи Штурма-Лиувилля для дифференциального уравнения второго порядка с дробными производными в младших членах.// Дифференциальные уравнения, 1982, т.18, №2, с. 341.

2. Алероев Т.С. Спектральный анализ одного класса несамосопряженных операторов. //Дифференциальные уравнения, 1984, т.20, №1, с. 171-172.

3. Бабенко Ю.А. Тепломассобмен. Метод расчета тепловых и диффузных потоков. Л., Химия. 1986, 144 с.

4. Баренблатт Г.И., Ентов В.М., Рыжик В.М. Теория нестационарной фильтрации жидкости и газа. М., Недра, 1972, 288 с.

5. Баренблатт Г.И., Желтов Ю.П. Об основных уравнениях фильтрации однородной жидкости в трещиноватых породах //ДАН СССР, 1960, т. 132, №3, с. 545-548.

6. Баренблатт Г.И., Желтов Ю.П., Кочина И.Н. Об основных представлениях теории фильтрации однородных жидкостей в трещиноватых породах //ПММ, 1960, т.24, вып.5, с. 852-864.

7. Бечелова А.Р. О сходимости разностных схем для уравнения диффузии дробного порядка. //Нелинейные краевые задачи математической физики их приложения. Сб. научных трудов. Киев, 1995, с. 42-43.

8. Бечелова А.Р. Построение разностных схем, аппроксимирующих третью краевую задачу для уравнения диффузии дробного порядка. // Нелинейные краевые задачи математической физики их приложения. Сб. научных трудов. Киев, 1995, с. 40-41.

9. Бэгли Р.Л., Торвик П.Дж. Дифференциальное исчисление, основанное на производных дробного порядка новый подход к расчету конструкций с вязкоупругим демпфированием. // Аэрокосмическая техника, 1984, т.2, с. 84-93.

10. Вебер В.К. К общей теории линейных систем с дробными производными. // Исследования по интегро-дифференциальным уравнениям в Киргизии. Фрунзе: Илим, 1985, вып.18, с. 301-305.

11. Вебер В.К. Асимптотическое поведение решений линейной системы дифференциальных уравнений дробного порядка.// Исследования по интегро-дифференциальным уравнениям в Киргизии. Фрунзе: Илим, 1983, вып. 16, с. 119-125.

12. Вебер В.К. Линейные уравнения с дробными производными и постоянными коэффициентами в пространстве обобщенных функций. // Исследования по интегро-дифференциальным уравнениям в Киргизии. Фрунзе: Илим, 1985, вып.18, с. 306-312.

13. Вебер В.К. Об одном дифференциальном уравнении нецелого порядка.// Сб. трудов аспирантов и соискателей Кирг. Университета. Серия мат. наук, 1973, вып 10, с. 7-14.

14. Вебер В.К. Пассивность линейных систем дифференциальных уравнений с дробными производными и квазиасимптотика решений.// Исследования по интегро-дифференциальным уравнениям в Киргизии.Фрунзе: Илим, 1983, вып.16, с. 346-356.

15. Вебер В.К. Структура общего решения системы уравнения у(а) = Ау, 0 < а < 1. // Сб.трудов аспирантов и соискателей Кирг. Университета. Серия мат. наук, 1976, вып 11, с. 26-32.

16. Геккиева С. Краевая задача для обобщенного уравнения переноса с дробной производной по времени.// Докл. АМАН, 1994, т.1, №1, с. 17-19.

17. Джрбашян М.М., Нерсесян А.Б. Дробные производные и задача Коши для дифференциальных уравнений дробного порядка.// Изв. АН. Арм. ССР, матем., 1986. т. 3, №1, с. 3-29.

18. Джрбашян М.М. Интегральные преобразования функций в комплексной области. М., Наука, 1966, 671 с.

19. Джрбашян М.М. Краевая задача для дифференциального оператора дробного порядка типа Штурма-Лиувилля.// Изв. АН. Арм. ССР, матем., 1970. т.5, №2, с. 71-97.

20. Динариев О.Ю. Фильтрация в трещиноватой среде с фрактальной геометрией трещин.// МЖГ, 1990, №5, с. 66-70.

21. Зельдович Я.Б., Соколов Д.Д. //УФН, 1985, т.146, №3, с. 493506.

22. Кобелев В.Л., Кобелев Я.Л., Кобелев Л.Я., Романов Е.П.// Докл. РАН. 1998, т. 361, №6, с. 755-758.

23. Кобелев Я.Л., Кобелев Л.Я., Романов Е.П.// Докл. РАН. 1999, т. 369, №6, с. 332-333.

24. Кочубей А.Ю. Диффузия дробного порядка. // Дифференциальные уравнения, 1990, т. 26, с. 660-670.

25. Кумыкова С.К. Об одной краевой задаче для уравненияsign | у |т ихх -f иуу = 0. // Дифференциальные уравнения, 1976, т.12, №1, с. 79-88.

26. Ладыженская O.A. Краевые задачи математической физики. М., Наука, 1973, 407 с.

27. Макаров В.Л. Про формули сумарних зображень осесиметрич-ного потенцшалу для одше1 схеми твищеного порядку точность// ДАН УССР, 1970, №5, с. 403-408.

28. Малыпаков A.B. Уравнения гидродинамики для пористых сред со структурой порового пространства, обладающей фрактальной геометрией //ИФЖ 1992, т. 62, №3, с. 405-410.

29. Мосолов А.Б., Динариев О.Ю. Автомодельность и фрактальная геометрия. // ЖТФ, 1987, т. 57, вып. 9, с. 1679-1685.

30. Нахушев A.M. Задача Штурма-Лиувилля для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка с дробными производными в младших членах. // ДАН СССР, 1977, т. 234, №2, с. 308-311.

31. Нахушев A.M. Об уравнениях состояния непрерывных одномерных систем и их приложениях. Нальчик, 1995, 506 с.

32. Нахушев A.M. Обратные задачи для вырождающихся уравнений и интегральные уравнения Вольтерра третьего рода.// Дифференциальные уравнения, 1994, т. 10, №1, с. 100-111.

33. Нахушев A.M. Уравнения математической биологии. М.: Высшая школа, 1995, 301 с.

34. Нигматуллин P.P. Решение обобщенного уравнения переноса в среде с фрактальной геометрией. Phs. stat. sol. b. 133, 1986.

35. Самарский A.A. Теория разностных схем. М., Наука, 1997, 656с.

36. Самарский A.A. Введение в теорию разностных схем. М.: Наука, 1971, 437 с.

37. Самарский A.A., Гулин A.B. Устойчивость разностных схем. М., Наука, 1973, 415 с.

38. Самко С. Г., Килбас A.A., Маричев О.Н., Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. Минск, Наука и техника, 1987, 688 с.

39. Смирнов Б.М. // УФН, 1986, т. 149, №2, с. 177-219.

40. Тихонов А.Н., Самарский A.A. Уравнения математической физики М., Наука, 1966, 724 с.

41. Фрязинов И.В., Бакирова М.И. Об экономичных разностных схемах для уравнения теплопроводности в полярных, цилиндрических и сферических системах координат.// ЖВМ и МФ, 1972, т. 12, №2, с. 352-363.

42. Фрязинов И.В. О разностных схемах для уравнения Пуассона в полярной, цилиндрической и сферической системах координат.// ЖВМ и МФ, 1971, т.11, №5, с. 1219-1228.

43. Чукбар К.В. Стохастический перенос и дробные производные.// ЖЭТФ, 1995, т. 108, вып. 5(11), с. 1875-1884.

44. Шефер Д., Кефер К. // Фракталы в физике. Тр.6-го Международного симпозиума по фракталам в физике. (Триест, Италия, 1985), М.: 1988, с. 62-71.

45. Шогенов В.Х., Шхануков М.Х., Бештоев Х.М. Дробные производные: интерпретация и некоторые применения в физике. Препринт. Сообщения объединенного института ядерных исследований. Дубна, 1997.

46. Шогенов В.Х., Кумыкова С.К., Шхануков-Лафишев М.Х. Обобщенное уравнение переноса и дробные производные.// Докл. Адыгской (Черкесской) Международной Академии Наук, 1996, т. 1, №3.

47. Шхануков М.Х. О сходимости разностных схем для дифференциальных уравнений с дробной производной. // Докл. РАН, т. 348, №6, с. 746-748.

48. Шхануков-Лафишев М.Х., Бечелова А.Р. Численное решение третьей краевой задачи для обобщенного уравнения диффузии дробного порядка. // Сб. Нелокальные задачи и родственные проблемы мат. биологии. Нальчик, 1996, с. 103.

49. Шхануков-Лафишев М.Х., Нахушева Ф.М. Локально-одномерная схема первой начально-краевой задачи для уравнения теплопроводности с дробной производной в младших членах. // Вестник КБНЦ РАН, Нальчик, 1998, т. 1, №1.

50. Шхануков-Лафишев М.Х., Нахушева Ф.М. Краевые задачи для уравнения диффузии дробного порядка и сеточные методы их решения. // Сб. избранных трудов 3 Сибирского конгресса по прикладной и индустриальной математике. Новосибирск, 1998, с. 37-44.

51. Mandelbrojt В.В. Fractals. Form,chance and dimension. San Francisco: Freeman, 1977, 365 p.

52. Mandelbrojt B.B The fractal geometry of nature.San-Francisco: Freeman, 1983, 468 p.

53. Mandelbrojt S. Sulla generalizzazione del calcolo delle variazione // Atti. Reale Accad. Naz. Lincei. Rend CI. Fis. mat.e netur. Ser 6, 1925, vol. 1, h. 151-156.

54. Pitcher E., Sewell W. Existence theorems for solution of differential equations of non-integral order. // Ibid. 1938, vol. 44, №2, p. 100-107.

55. Дигурова A.M., Карсанова Ж.Т. Об одной краевой задаче для дифференциального уравнения на фракталах. // Вестник СОГУ. Естественные науки — Владикавказ, 1999, с. 10-12.

56. Дигурова А. М. Построение разностных схем второго порядка точности для одного класса уравнений на фракталах. //Сб. научных трудов. IV Всероссийский симпозиум "Математическое моделирование и компьютерные технологии" — Кисловодск, 2000, т. 2, с. 21-23.

57. Дигурова A.M., Шхануков М.X. Краевые задачи для дифференциальных уравнений на фракталах и разностные методы их решения. // Тезисы докладов. Четвертый Сибирский конгресс по прикладной и Индустриальной математике — Новосибирск, 2000. Часть I, с. 37-40.