Краевые задачи со смещением для гиперболического, параболического, эллиптического и смешанного типов дифференциальных уравнений тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат наук Нахушева, Зарема Адамовна

• Нахушева, Зарема Адамовна
• кандидат наук
• 2014

Оглавление диссертации кандидат наук Нахушева, Зарема Адамовна

Оглавление

Введение

Глава I. Краевые задачи для гиперболических уравнений второго порядка с двумя независимыми переменными

1.1. Постановка классической и обобщенной задач Дарбу для вы-

рождающегося гиперболического уравнения второго порядка со спектральным параметром

1.2. Обобщенная задача Дарбу для волнового уравнения

1.3. Обобщенная задача Дарбу для уравнения Геллерстедта

1.4. Обобщенная задача Дарбу для телеграфного уравнения

1.5. Об одном методе решения задачи Дарбу для телеграфного уравнения

1.6. Обобщенная задача Дарбу для оператора Геллерстедта со спек-

тральным параметром

1.7. Задача Дарбу для линеаризованного уравнения Сен-Венана

1.8. Задача Гурса в интегральной постановке для уравнений гиперболического типа

1.9. Задача Гурса в интегральной постановке для специальных дифференциальных уравнений гиперболического типа

Глава II. Краевые задачи со смещением для локальных и нелокальных уравнений второго порядка параболического типа 90 2.1. Краевая задача с нелокальным смещением для уравнения теплопроводности

2.2. Видоизмененная задача Самарского для нелокального диффузионного уравнения

2.3. Редукция задачи Самарского для нелокального диффузион-

ного уравнения к локальным краевым задачам

2.4. Первая краевая задача в интегральной постановке для урав-

нения теплопроводности

2.5. Постановка краевых задач с интегральным смещением для ли-

нейного уравнения параболического типа и определение обобщенного решения

2.6. Вторая краевая задача в интегральной постановке для урав-

нения параболического типа

2.7. Первая краевая задача в интегральной постановке для урав-

нения параболического типа

2.8. Задача со смешанным сдвигом для класса уравнений парабо-

лического типа

Глава III. Краевые задачи с интегральным смещением для эллиптических уравнений

3.1. Краевая задача с интегральным смещением на двух гладких

непересекающихся частях границы для уравнения Лапласа

3.2. Краевая задача с интегральным смещением на двух непересе-

кающихся гладких частях границы для эллиптического уравнения с оператором Лапласа в главной части

3.3. Краевая задача с интегральным смещением на одной гладкой

части границы для уравнения Лапласа и её связь с составного типа уравнением Адамара

3.4 Краевая задача с интегральным смещением на двух гладких соприкасающихся частях границы для уравнения Лапласа и ее связь с составного типа уравнением Адамара четвертого порядка

Глава IV. Краевые задачи для уравнений смешанного типа

4.1. Об одном представлении дробного интеграла М. Сайго и его

приложении к нелокальной задаче для уравнения смешанного типа

4.2. Нелокальная задача A.A. Дезина для уравнения смешанного

эллиптико-гиперболического типа с разрывными коэффициентами

4.3. Задача Трикоми для уравнения Лаврентьева-Бицадзе с нело-

кальным условием сопряжения

4.4. Нелокальная внутреннекраевая задача с оператором Эрдейи-

Кобера для уравнения Лаврентьева-Бицадзе

4.5. Нелокальная внутреннекраевая задача с оператором Эрдейи-

Кобера для уравнения смешанного гиперболо-параболического типа с разрывными коэффициентами

4.6. Аналог задачи A.A. Дезина для уравнения смешанного гиперболо-

параболического типа

Заключение

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Краевые задачи со смещением для гиперболического, параболического, эллиптического и смешанного типов дифференциальных уравнений»

ВВЕДЕНИЕ

Диссертация посвящена линейным краевым задачам со смещением для основных и смешанных типов дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка, относящихся к важнейшим прежде всего благодаря своим приложениям к динамическим системам с распределенными параметрами, проблемам газовой динамики [141], [138], [3], [132], безмо-ментной теории оболочек [7], [65] и математического моделирования нелокальных физических процессов [67], [133]. Трудность проблем теории уравнений в частных производных, меняющих свой тип в замыкании области их задания, чрезвычайно стимулировала и продолжает стимулировать интенсивные исследования в области нелокальных краевых задач, в особенности задач со смещением. Это подтверждают многочисленные научные публикации отечественных и зарубежных авторов за последние пятнадцать лет, отмеченных в монографиях A.M. Нахушева [62], [63], [64], [66], М.С. Сала-хитдинова и А.К. Уринова [128], М.С. Салахитдинова и М. Мирсабурова [129], Т.Д. Джураева и А. Сопуева [16], В.И. Жегалова и А.Н. Миронова [21], O.A. Маричева, A.A. Килбаса и O.A. Репина [44].

К задачам со смещением относятся такие классические задачи как задачи Римана и Карлемана для голоморфных функций и задача Франк-ля для уравнений смешанного типа, которая была объектом исследования A.B. Бицадзе, К. Мораветц, Е.И. Моисеева, А.П. Солдатова. Задаче Дарбу, прямым и обратным краевым задачам с локальным и нелокальным смещением посвящены важные работы А.Н. Зарубина [24]-[26], Т.Ш. Кальменова [33], А.И. Кожанова и JI.C. Пулькиной [41], Е.И. Моисеева [57], С.М. Пономарева [114], Н.И. Попиванова [115], А.И. Прилепко [117], К.В. Сабитова

[125], [126], А.П. Солдатова и М.Х. Шханукова [135].

Об актуальности темы и ее востребованности свидетельствуют материалы и труды международных конференций и симпозиумов [45]—[56], посвященных нелокальным краевым задачам для уравнений смешанного типа и родственным проблемам анализа и информатики.

Научно-квалификационная работа выполнена по основному направлению научной деятельности Федерального государственного бюджетного учреждения науки Научно-исследовательского института прикладной математики и автоматизации Кабардино-Балкарского научного центра РАН «Нелокальные дифференциальные уравнения и математическая физика фракталов», утвержденному Постановлением Президиума РАН № 227 от 27.06.2006 г.

В.А. Стеклов [136] обратил внимание, что различные задачи об охлаждении тел линейных размеров, переведенных на язык анализа, сводятся к интегрированию дифференциальных уравнений параболического типа с краевыми условиями первого и второго классов. Эти краевые условия, имеющие, по словам A.A. Самарского [130], нестандартный вид, являются краевыми условиями со смещением [64]. Фундаментальную роль в развитии методов исследования нелокальных краевых и внутреннекраевых задач сыграли работы A.B. Бицадзе и A.A. Самарского [6], В.А. Ильина и Е.И. Моисеева [30], [31].

Главная научная цель диссертации состоит в разработке и развитии аналитических и функциональных методов поиска критериев однозначной разрешимости нелокальных краевых задач со смещением для основных типов линейных уравнений в частных производных с непрерывными и разрывными коэффициентами.

В работе доказаны теоремы единственности и существования решения краевых задач со смещением для линейных уравнений в частных производных второго порядка гиперболического, параболического, эллиптического и смешанных (как эллиптико-гиперболических, так и параболо-гиперболических) типов, а также смешанных задач с локальным и нелокальным условиями сопряжения на многообразиях параболического вырождения соответствующих им дифференциальных уравнений. Основные усилия направлены на доказательство теорем существования и единственности решений следующих задач:

1. Обобщенной задачи Дарбу в нелокальной постановке для вырождающегося гиперболического типа уравнения второго порядка со спектральным параметром.

2. Задачи Дарбу для линеаризованного уравнения Сен-Венана.

3. Задачи Гурса в интегральной постановке для линейного гиперболического уравнения второго порядка с двумя независимыми переменными.

4. Линейной краевой задачи с нелокальным смещением для уравнения теплопроводности и задачи Самарского для нелокального диффузионного уравнения.

5. Краевых задач в интегральной постановке и задач со смешанным сдвигом для уравнений второго порядка параболического типа.

6. Краевых задач с интегральным смещением для линейных эллиптических уравнений с оператором Лапласа в главной части.

7. Нелокальной задачи Дезина, задачи Трикоми и внутреннекраевой задачи с оператором Эрдейи-Кобера для уравнения Лаврентьева-Бицадзе.

8. Внутреннекраевой задачи с оператором Эрдейи-Кобера и аналога задачи Дезина для уравнений смешанного гиперболо-параболического типа

с разрывными коэффициентами.

В основе методов исследования разрешимости рассматриваемых дифференциальных уравнений, описания качественных и количественных характеристик их решений лежат метод функций Римана и Грина-Адамара, метод интегральных уравнений, в том числе нагруженных и сингулярных, метод априорных оценок и необходимых краевых и внутреннекраевых условий, принципы Хопфа и Зарембы-Жиро, метод Фурье и специальные свойства функций типа Миттаг-Леффлера и Райта.

Основные научные результаты научно-квалификационной работы имеют теоретическую ценность и могут найти применение в теории динамических систем с распределенными параметрами и при математическом моделировании нелокальных физических процессов.

Достоверность результатов диссертации обеспечивается строгими математическими доказательствами.

Выносимые на защиту научные результаты были предметом обсуждения на заседаниях: научно-исследовательского семинара по проблемам современного анализа, информатики и физики Федерального государственного бюджетного учреждения науки Научно-исследовательского института прикладной математики и автоматизации КБНЦ РАН (руководитель семинара д.ф.-м.н., профессор Нахушев A.M.); объединенного научно-исследовательского семинара кафедры Вычислительной математики (зав. кафедрой д.ф.-м.н., профессор Шхануков-Лафишев М.Х.) и кафедры Теории функций и функционального анализа (зав. кафедрой д.ф.-м.н., профессор Елеев В.А.) Федерального государственного бюджетного образовательного учреждения ВПО "Кабардино-Балкарский государственный университет им. Х.М. Бербекова"; научно-исследовательского семинара кафед-

ры Функционального анализа и его применения (руководитель семинара академик РАН Моисеев Е.И.) факультета Вычислительной математики и кибернетики Федерального государственного образовательного учреждения ВПО "Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова"; научно-исследовательского семинара кафедры Дифференциальных уравнений (руководитель семинара д.ф.-м.н., профессор Шамаев A.C.) Механико-математического факультета Федерального государственного образовательного учреждения ВПО "Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова а также прошли апробацию на следующих научных мероприятиях:

1. Всесоюзная научная конференция "Краевые задачи и их спектральные вопросы для дифференциальных уравнений". Алма-Ата, 1991 г.

2. Вторая Международная конференция «Нелокальные краевые задачи и родственные проблемы математической биологии, информатики и физики», Нальчик, РФ, 2001 г.

3. Международный Российско-Узбекский симпозиум "Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики". Нальчик-Эльбрус, 2003 г.

4. Всероссийская научная конференция "Математическое моделирование и краевые задачи". Самара, 2004 г.

5. Международный Российско-Казахский симпозиум "Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики". Нальчик-Эльбрус, 2004 г.

6. III Международная конференция "Нелокальные краевые задачи и родственные проблемы математической биологии, информатики и физики". Нальчик, 2006 г.

7. Всероссийская научная конференция "Самдифф"—2007. Дифференциальные уравнения и их приложения. Самара, 2007 г.

8. Международный Российско-Азербайджанский симпозиум "Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики". Нальчик-Эльбрус, 2008 г.

9. Международная научная конференция "Современные проблемы вычислительной математики и математической физики посвященная 90-летию академика A.A. Самарского. Москва, 2009 г.

10. Международный Российско-Абхазский симпозиум "Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики". Нальчик-Эльбрус, 2009 г.

11. Шестая Всероссийская конференция "Математическое моделирование и краевые задачи". Самара. 2009 г.

12. Седьмая Всероссийская конференция "Математическое моделирование и краевые задачи". Самара, 2010 г.

13. Международный Российско-Болгарский симпозиум "Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики". Нальчик-Хабез, 2010 г.

14. Второй Международный Российско-Казахский симпозиум "Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики". Нальчик, 2011 г.

15. Международная конференция "Комплексный анализ и его приложения в дифференциальных уравнениях и теории чисел". Белгород, 2011 г.

16. Второй Международный Российско-Узбекский симпозиум "Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики". Терскол, 2012 г.

17. ВВМШ "Современные методы теории краевых задач". Понтрягин-ские чтения - XXIV. Воронеж, 2013 г.

18. Международная конференция "Дифференциальные уравнения и их приложения". Белгород, 2013 г.

19. Международная научная конференция "Дифференциальные уравнения и смежные проблемы". Стерлитамак, 2013 г.

20. Международная конференция "Самдифф-2013". Самара, 2013 г.

21. Республиканская научная конференция с участием ученых из стран СНГ "Современные проблемы дифференциальных уравнений и их приложения". Ташкент, 2013 г.

22. IV Международая конференция "Нелокальные краевые задачи и родственные проблемы математической биологии, информатики и физики". Нальчик-Терскол, 2013 г.

В диссертацию вошли результаты, полученные автором как одним из исполнителей проектов 00-01-00311-а «Исследование класса задаваемых дифференциальными операторами дробного порядка математических моделей тепло-массопереноса в средах с фрактальной структурой» (20002002 гг.), 06-01-96627-р_юг_а «Исследование краевых задач со смещением для канонических уравнений смешанного типа и их приложения к математическому моделированию энерго- и массообмена в составных средах с фрактальной структурой» (2006-2008 гг.), поддержанных Российским фондом фундаментальных исследований.

Основные научные результаты диссертации опубликованы в работах автора [68]-[113]. Результаты §2.2 вошли в монографию A.M. Нахушева [63, с.210].

Результаты диссертации внедрены соискателем в учебный процесс Тре-

тьей Школы молодых ученых «Нелокальные краевые задачи и проблемы современного анализа и информатики» (г. Нальчик - п. Эльбрус, 2005 г.).

Диссертация объемом 241 страница состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы, содержащего 157 наименований и набрана с использованием пакета LaTeX.

Объектом исследования первой главы, состоящей из девяти параграфов, являются краевые задачи для гиперболических уравнений второго порядка с двумя независимыми переменными.

В параграфе 1.1 рассматривается уравнение

иуу ~ \у\ш(ихх + 4Аи) = 0, т = const > О, А = const, (0.1) в области Qm = {z : 0 < £ < 77 < г} евклидовой плоскости точек z = x+iy,

2 , ч m-t-2 2 , * m+2

Пусть: Qm - замыкание области = Qm\{z : £ = 0};

0?(ri) =

Z + Г]

— г

(т + 2)(ту-0

2/(то+2)

Обобщенная задача Дарбу ставится следующим образом. Задача Ц^т, А). В области Г2т найти решение и[2:] = и(х,у) уравнения (0.1) из С(0,т) П С1(ПТО и 1Г), удовлетворяющее краевым условиям

п

ак(х)П%£и(г) + Ъ0(х)иу(х) = со(х), 0 < х < г, (0.2)

к=0

и[в£(х)] = фо{х), 0 <х<г. (0.3)

Здесь: /г = {(х, 0) = х : 0 < х < г}; - оператор Римана-Лиувилля порядка ¡1 с началом и концом в точках 0 и гс; и{х) = и(х, 0), иу(х) = иу(х, 0);

Ь0(х), со(х), фо(х) -заданные функции из класса С[0, г]; 0 < < а.\ <

х {т + 2 \2/(т+2) < ... < ап = а < 1, в^{х) = - -г (

В параграфе 1.2 в области исследуется обобщенная задача Дарбу

А*(0,0) для волнового уравнения

иуу - ихх = 0. (0.4)

Обобщенным решением уравнения (0.4) в области По называется функция и(г) € С(Г^о) П С1 (По и 1Г), удовлетворяющая уравнению

= + + - и(0)г

где £ = х + у, г/ = х — у, 0§(ж) = ж/2 ~ гх/2.

Основным результатом этого параграфа являются: Теорема 1.2.1. Пусть а < 1, Ьо(х)фО для всехх£ [0, г], фо(х) ЕС1[0, г]. Тогда задача Ба(0,0) для уравнения (0.4) имеет и притом единственное обобщенное решение и(г) £ С1(Пд)- Это решение и(г) Е С1 (По) тогда и только тогда, когда функция

п

А$(х) = - ак)

к=0

непрерывна в точке х = 0;

1ппЛ^) = ^(0), (0.5)

где Г(2:) - гамма-функция Эйлера.

Теорема 1.2.2. Пусть: а = 1, с*о = 0, функция ап(х) + Ьо(х) Ф 0 на [0,г]; Ьо(х) е С1[$,г], ак{х) е С^г] при к = 1,2,...,п. Тогда задача Д[(0,0) имеет единственное решение и(г) е С^П^ПС^По). Это решение и(г) 6 С1 (По) тогда и только тогда, когда функция

71— 1

Ап1~1(х) = ф0(0)^2^(х)х~ак/Г((Зк) к= 1

непрерывна в точке х = 0; lim = Л?_1(0).

х—»0

В параграфе 1.3 в области Qm рассматривается обобщенная задача Дарбу Da(m, 0) для уравнения Геллерстедта

Щу ~ \у\тихх = 0. (0.6)

Обобщенным решением уравнения (0.6) в области Qm называется любая функция u(z) 6 C(Qm) П Cl{Slm U 1Г), удовлетворяющая уравнению

w=\ +

|~иК{щ)] + ^tC(m)]} H0(m;(,V), (0.7)

где £ = т/(2т + 4),

Ho(m;€,ri) = <

I Г(25)Г(1 - 5) ^' V Ч л-т.

- след функции Грина-Адамара ту) второй задачи Дарбу при

£1 = 0, .Р(а, Ь, с; 2;) - гипергеометрическая функция Гаусса.

В этом параграфе доказана

Теорема 1.3.1. Пусть а < 2/(т+2), Ь0(х) ф 0 на [0,г], фо(х) е Сг[0,г]. Тогда задача Па(т, 0) для уравнения (0.6) имеет и притом единственное обобщенное решение и(г) 6 СЭто решение и(г) 6 С1(Г2т) тогда и только тогда, когда соблюдено условие (0.5).

Здесь же исследована модельная задача Трикоми, подтверждающая, что в теории уравнений смешанного типа возникают и случаи, когда 1 < ап = = а < 2. Эта задача сводится к спектральной задаче:

D%xu(t) + \Dl~2£u(t) = 0, u(0) = 0, и(г) = 0.

Параграф 1.4 посвящен обобщенной задаче Дарбу для телеграфного уравнения

ихх ~ Щу + Ц2и = 0? /х2 = —4Л. (0.8)

Главный результат этого параграфа -

Теорема 1.4.1. Пусть а < 1, Ь0{х) ф 0 на [0,1], фо(х) € Сх[0,1]. Тогда задача Ва(0, А) для уравнения (0.8) имеет и притом единственное решение и{х) € С(П0) П С^Нд). Это решение и(г) Е С1 (По) тогда и только тогда, когда соблюдено условие (0.5).

В параграфе 1.5 предложен метод поиска решения задачи Дарбу для телеграфного уравнения как решения специальной смешанной задачи для этого же уравнения.

В параграфе 1.6 для уравнения (0.1) исследуется обобщенная разрешимость задачи Дарбу Па(т, А) при т\ ф 0. Центральное место в § 1.6 занимает

Теорема 1.6.1. Если Ьо(х) ф 0 всюду на [0, г] и а < 2/(т + 2), то задача Оа(т; Л) имеет и притом единственное обобщенное решение и которое при А = (/¿/2)2 удовлетворяет уравнению

х 2£

и{х) = ВД / бгт) 1Л [~Х{х " 1 ~е] и"т+ 0

X 2

о

где

ОО £

Дь И = Е г^гМЙ. Л > й > °>

к—и

- функция типа Райта [157], [118].

т

Г(2е)х*

/

ФоМ + -ФоМ

В параграфе 1.7 в области Д. = {г : 0 < х < г, 0 < у < х/2} для линеаризованного уравнения Сен-Венана

а а — 2 ^ ООЬ + 1 + ^Л - 0 (0 9)

0/1(12дх2 дхду ду2 ао \2 <9:г <9?// с параметрами ах = 1 + 1/.Р, а2 = 1 — 1/.Р, числом Фруда .Р и динамической переменной Н{г) = /г(гг, ?/) исследуется следующая обобщенная задача Дарбу в локальной постановке.

Задача 1.7.1. Найти регулярное в области Д- решение = Н(х, у) уравнения (0.9) из класса С(Лг)Г\С1(Оги1г), удовлетворяющее локальным краевым условиям

а(х)Ьх(х) + Ъ{х)ку{х) + с(х)Н(х) = й(х), х 6 /г, К ( а1 1 х ) = фо(х), х Е /г.

Главным научным достижением § 1.7 является

Теорема 1.7.1. Пусть а(х), Ь(х), с(х), ¿(х) б С{1Г) р) С1{1Г), фо(х) € С2(1Г), а{х) — а\Ь(х) ф 0 для всех х € 1Г. Тогда задача 1.7.1 имеет, и притом единственное, решение.

Параграф 1.8 первой главы посвящен уравнению

иху + а(г)их + Ь(г)иу + с(г)и = 0 (0.10)

в области £1 = {г : 0 < гс < г, 0 < у < Т} с коэффициентами, обладающими тем свойством, что Ъу(г) и с(г) € С(Г2).

Обобщенным решением уравнения (0.10) в области П назовем любую непрерывную в О функцию и(г), представимую в виде

и(г) = г)<р(х) + Я^у, г)ф{у) - Д(0; *)и(0)+

+

О

J[6(0д«; z) - ДеК; + /М«7) Д(*»7;*) - Rr,{%m *)]ФШъ

(0.11)

где R(C, z) = 77; х, ?/) - функция Римана,

и(х, 0) = <р(х), 0 < х < г, (0.12)

и(0,у) = ф(у), 0<у<Т. (0.13)

Задачей Гурса в интегральной постановке называется Задача 1.8.1. В области Г2 найти обобщенное решение и(z) уравнения (0.10), удовлетворяющее интегральным условиям:

а 0

Ju(z)dx = il>a(y), у в [0,Т], Ju(z)dy = (fP(x), х е [0,г], о о

где и У/9 (ж) - заданные непрерывные функции, а и ¡3 - заданные

числа, 0 < а <г, 0 < (3 <Т.

Основные научные результаты сформулированы в виде двух теорем Теорема 1.8.1. Задача 1.8.1 эквивалентна линейной системе двух нагруженных интегральных уравнений Фредгольма второго рода omhocu-

ct 0

тельно и(х) и и(гу). Если J dx J R(0, 0; z)dy Ф 0, то эта система сводит-

o о

ся к системе двух интегральных уравнений Фредгольма второго рода.

В уравнении (0.10) перейдем к новой зависимой переменной v — v (z), определяемой как решение задачи Гурса:

v(0,y) = 0, v(x,0) = 0, 0 <у<Т, 0 <х<г (0.14)

для уравнения vxy = и (z) в области Q. Функция v(z) такова, что

v(x,P) = Ф(х), v {а, у) = Ф (у), 0 < х < г, 0 <у<Т, (0.15)

где Ф(х) = / <рр (£) Ф (у) = ] Фа (Г/) (¿7/. о о

Для любого решения и (г) £ С (П) ПС1 (Г2) задачи 1.8.1 функция V (г)

представляет собой решение уравнения

д^и д^и д3и д2и

+ + + = о, (0.16)

дх2ду2 дх2ду дхду2 дхду

удовлетворяющее локальным условиям (0.14) и (0.15).

Положим а = г, (3 = Т и рассмотрим однородную задачу Дирихле:

гф,0) = 0, ^ (0,у) = 0, 0<я<о;, 0 < у < /3, (0.17)

у(х,Р) = 0, у(а,у) = 0, 0 < а; < а, 0 <у</3, (0.18)

для уравнения (0.16).

Теорема 1.8.2. Пусть а = г, (3 = Т; коэффициенты уравнения (0.10) удовлетворяют условиям а{х),Ъ(г) £ С1(Й), с(г) б С(О), функция С (г) = = с(г) — ах(г) — Ьу(г) имеет смешанную производную Сху(г) £ С(О);

ау{г) > 0, Ьх(г) > 0, Сху(г) > 0, ау(г)Ьх(г) > С2{г) V 2 £ П. (0.19)

Тогда задача Дирихле (0.17) - (0.18) для уравнения (0.16) в области Г2 имеет лишь тривиальное решение V = 0.

В последнем параграфе первой главы доказаны единственность и существование решения задачи Гурса в интегральной постановке для гиперболического уравнения с нулевым инвариантом и других специальных дифференциальных уравнений, в том числе телеграфного, не удовлетворяющих условиям теоремы 1.8.2.

Вторая глава состоит из восьми параграфов и посвящена краевым задачам со смещением для локальных и нелокальных уравнений второго порядка параболического типа.

Объектом исследования параграфа 2.1 является поиск условий однозначной разрешимости задачи 6).

Задача Sf(a, 6). Найти регулярное в области П = {z : 0 < х < О < у < Т} и непрерывное в замыкании Í2 решение u(z) = u(x, у) уравнения теплопроводности uy = ихх со следующими свойствами: 1) функция u(z) удовлетворяет начальному условию u(x) = (р(х), 0 < х < I; 2) производная uy(z) является абсолютно суммируемой на сегменте [0, /] функцией

пространственной переменной х для любого момента времени у > 0 и удо-

I

влетворяет условию Самарского 4- f u(z) dx = 0; 3) lim ux(z) = ux{r,y) £

У Q X—tr

£ L[0, T], r = 0, l; 4) функции u{0, y), u(l, у) при у > 0 имеют производные порядка < 1 и удовлетворяют краевому условию

aDgyu(0, r¡) = bDßQyu(l, rj) + с(у), 0<у<Т.

Здесь <р(х) и с{у) - заданные функции tp(x) £ С2[0,1], с(у) £ С[0,Т]; а, /?, a и b - заданные числа; —l<ß<a<p;a2 + b2^0; при a = 0 число ß отождествляется с числом а.

Через |М|п и \\ф\\г обозначим max \и{х, у)\ и та x\i¡)(t)\ для функций

_ Í2 [0,г]

u(x,y) £ С (Г2) и 4>(t) £ С[0,г].

Главным результатом этого параграфа является Теорема 2.1.1. Пусть -1 < ß < а < 1; <р(х) £ С2[0,1], с(у) £ С[0, Т], DlJy~ac{r¡) £ C]0,T] uc(y) е С~а[0:Т] при а < 0; а ф -Ь и aip(0)-b<p(l) = = lim DQyC(ri) при а = ß; а ф 0 при а > ß и сир(0) = MmDñ^cirf);

у->0 у у-> 0 у

b<p(l) = — lim dq^c(t]) при а = 0. Тогда существует единственное решение и(х,у) задачи S%(a, b), и оно удовлетворяет оценкам

КО, у) + и(1, у)\\Т < А\Ми |И|п < В 4- \\D^c\\T) , где А и В - положительные постоянные, не зависящие от <р(х) и с(у).

Доказательство теоремы 2.1.1 опирается на 5 лемм, которые могут представлять самостоятельный интерес.

Объектом исследования в параграфах 2.2 и 2.3 является видоизмененная задача Самарского для нелокального диффузионного уравнения

Щи(х, rj) = ихх, 0 < а < 1, (0.20)

в области 9, = {(ж, t) : 0 < х < 1,0 < t < Г}.

Задача S. Найти решение и = u(x,t) уравнения (0.20), удовлетворяющее условиям

\im tl~au(x 11) = т(х), 0 < х < I, (0.21)

I

и(0, t) = 0, J u(x, t)dx = nta~l, 0 < i < T, (0.22)

о

где т(х) G C[0, /], a ¡i - заданное действительное число.

Главным достижением этих параграфов является реализация метода Фурье решения задачи S и метода ее редукции к локальной краевой задаче:

Y\mt1~av{x, t) = т+(х), limtl~aw(x, t) = г"(ж), 0 < х < I,

Ux(0,у) = 0, vx(l,y) = 0, w{0,y) = -v(0,y), w(!,y) = v(l,y), 0 < у < Г, для системы двух нелокальных диффузионных уравнений

D%tv(x,y) = vxx, DQtw(x,y) = wxx,

связанных с уравнением (0.20) формулами

2v(x, t) = и(х, t) + u(l — х, t), 2w(x, t) = u(x, t) — u(l — x, i);

редукция задачи S к локальной краевой задаче:

lim£1-al7(:r,£) = тх(х) = D^r(t), 0 <х<1,

U(0,t) = O, Ux(0,t) = O, U{l,t) = ia_1Ti(0, о < t < т,

для уравнения

-^[D%tU(x,r])-Uxx} = 0.

В параграфах 2.4-2.8 дается постановка и исследование краевых задач с интегральным смещением для линейного уравнения параболического типа второго порядка вида

A(z)uxx + B(z)ux + C(z)u -Uy = f(z) (0.23)

в области £1 = {z : 0 < х < а, 0 < у < Т}. Предполагается, что A(z), B(z), C(z), f(z), Axx(z), Bx(z) принадлежат классу C{Q)\ A(z) > Ao > 0, IA(z) - A(C)| < M(\x - + т^/2), IB(z) - B&y)\ < M\x -\C{z)-C(Z,y)\ < \Ax(z)-Ax(£,y)\ < M\x-Í\5, \bx(z)-bx&y)\ <

< M\x — ^l"5, где b(z) = B{z) — Ax(z), M, e, 6 - положительные постоянные, причем 0<£<1, 0<£<1.

Первая краевая задача в интегральной постановке - это Задача 2.5.1. Найти решение и — и(х,у) уравнения (0.23), удовлетворяющее начальному условию и(х, 0) = т(х), 0 < х < а < оо, и нелокальным условиям

а а

$ Г Ö Г

— j u(x,y)dx = ip(y), — J u{x,y)dx = ф(у), 0 < у < T, о ß

где т, ср и ф - заданные функции, а а и ß - заданные числа, причем

0 < а < а, 0 < ß < а, (a-a)2+ß2 ф 0, т(х) <Е С[0,а\, <р(у),ф(у) G С[0,Т].

Доказано, что при е = 1 задача 2.5.1 однозначно разрешима. Доказательство реализовано методом функции Грина первой краевой задачи

для уравнения (0.23) в области Г2. В случае уравнения теплопроводности иу = ихх задача 2.5.1 сводится к задаче Бицадзе-Самарского. В § 2.8 центральное место занимает следующая

Задача 2.8.2. Найти регулярное в области = : 0<гг<а, 0 < у < Т} решение v(z) = v(x, у) уравнения

vxx + A(z)vx + B(z)vy + C(z)v = F(z),

непрерывное в Cl и удовлетворяющее краевым условиям

т

v{iy) = Aj(y)v(xj + iy) + Q<y<T,

3=1

n

v(a + = £ Bj(yMZj + iy) + фр(у), 0 <y<T, j=i

v(x) = r(x), 0 < x < a.

Здесь A(z), B(z), C(z), F(z), A?(y), <pa(y), В?(у), фр(у) - заданные непрерывные функции, a xi и - фиксированные точки из ]0, а[. Доказана

Теорема 2.8.1. Пусть: A(z), B(z), C(z) е С(П); C(z) < 0 в Л; B(z) <0 при Т - е < у < Т, 0 < е = const < Т; А? (у) > 0 при j = 1,2,..., тп; В? (у) >0npuj = l,2,...,n;

тп п

5>?(з/)< 1, Х>/(у)< 1, о <у<Т.

3=1 3=1

Тогда задача 2.8.2 не имеет более одного решения.

Третья глава состоит из четырех параграфов и посвящена исследованию краевых задач с интегральным смещением для уравнений эллиптического типа в области Q, = {z : а < х < Ь, 0 < у < Т}.

Задача 3.2.1. Найти регулярное в области решение и = и(г) уравнения

ихх + иуу + \\(у)иу + Х2(у)и = (0.24)

непрерывное в О, и удовлетворяющее краевым условиям:

а

У и(г)<1а

д2 д — + Ai(y)— + Л2(у)

ду

ду

1х +

m

+ Y2AAy)ux(xj + iy) = v{y), 0 <y<T; j=i

д2 л / л 9 w N

ф + Шщ + Ш

о

р

п

+ Y, Bj(y)ux(? + iy) = ф(у), 0 < у < Г;

3=1

u(x) = tq(x), u(x -f iT) = т\(х), а < х < 6;

где A,-, Bj, <р(у) и ф(у) е С[0,Т]; а < х1 < х2 < ... < х» = а < ... < xm < Ь, а < ? < <£2 < ... < ? = Р < ... < е < Ь; т0(х) и п(х) е С1[а,Ъ].

Единственность и существование решения задачи 3.2.1 в случае, когда Ai(у) = 0, А2(у) = 0, f(z) = 0, Aj(y) = 0 и В5(у) = 0 (см. задачу 3.1.1) доказывается в §3.1.

Уравнение (0.24) является частным случаем уравнения эллиптического типа

Azv + A{z)vx + B(z)vy + C(z)v = F(z) (0.25)

с оператором Лапласа Az = д2/дх2 + д2/ду2 и с непрерывными в Q коэффициентами A(z), B(z), C(z) и правой частью F(z).

Задача 3.2.1 инициирует следующую задачу.

Задача 3.2.2. Найти регулярное в области Q решение v(z) уравнения (0.25), непрерывное в О, и удовлетворяющее краевым условиям

m

v(a + iy) = Y< Aj(yMxi + w) + <Р<*(у), 0 <y<T, j=i

n

v(b + iy) = Y, B?(y)v(tj + iy) + Mv)> ЖУ<Т,

3=1

v{x) = vo(x), v(x -f zT) = V\(x), a < x <b. В § 3.2 доказана

Теорема 3.2.1. Пусть: AJ(y) > 0, j = 0,1, ...,m; В?{у) > 0,

m n

j = 1,2,...,n; Y.A«(y) < 1; £ BPAy) < 1; C(z) < 0; v(z) - решение

3=1 3=1

задачи 3.2.2 при cpa(y) = i>p{y) = 0 и F(z) = 0. Тогда положительный максимум (отрицательный минимум) функции v{z) на компакте О, не могут достигаться в точках z = a + iy или z = b -{-iy.

Одним из объектов исследования параграфа 3.3 является Задача 3.3.1. Найти регулярное в области D = {z : 0 < х < а, 0 < у < Ь} решение u(z) = и(х, у) уравнения Лапласа Azu = 0, непрерывное в D и удовлетворяющее локальным краевым условиям

и(х) = 7о(ж), и{х + Ы) = ti(x), 0 < х < а, и(а -Ь iy) = ф(у), 0 < у < b,

и условию с интегральным смещением

а

J u(z)dx = (р(у), 0 < у < Ь. о

Эта задача простой заменой v{z) = +iy) редуцируется к локальной

краевой задаче: v(iy) = 0, v(x) = vq(x), v(x + ib) = v\{x), v(a + iy) = ip(y),

vx(a + iy) = ф(у), 0 < x < a, 0 < у < b, для уравнения Адамара dAv/dx = 0 (см. задачу 3.3.2).

Пусть <р(у) G С2[0,Ь]. Тогда задача 3.3.1 эквивалентна следующей задаче.

Задача 3.3.3. Найти регулярное в области D и непрерывное в D решение u(z) уравнения Azu = 0, удовлетворяющее краевым условиям: и(х) = т0(х), u(x+ib) = Ti(x), 0 < х < a; u(a+iy) = ф(у), ux(iy) = ux(a+iy)+ +tp"(y), 0 < у < b.

К задаче Бицадзе-Самарского сводится важная в приложениях Задача 3.3.4. Найти регулярное решение u(z) уравнения Лапласа Azu = 0, непрерывное в D и удовлетворяющее условиям:

и(х) = то(х), и{х + ib) = Ti(x), 0 < х < о,

а

их(а + iy) = ф\(у), Ju(z)dx = (pi(у), 0 < у < b, 0 < а < а,

о

где г0(ж) и п(х) е С1 [0, а), а (у) и ipi(y) 6 С[0,6]. В §3.4 исследуется краевая

Задача 3.4.1. Найти регулярное в области D решение и (z) уравнения Azu = 0, которое непрерывно в D и удовлетворяет условиям

а

u{a + iy) = ф(у), J и (z) ¿х = фа(у), 0 < у < Ь;

о

Р

и (х + ib) = т\ (х), J и (z) dy = (рр (х), 0 < х < а;

о

где п(х) в С1 [0, а], <рр(х) G С2[0,а], ф(у) е С[0,Ь], фа(у) € С2[0,6].

Реализован метод редукции задачи 3.4.1 к локальной внутреннекрае-

вой задаче

v(0,2/) = 0, v (ж, 0) = 0, 0 <у<Ь, 0 < х < а; v (а, у) = Ф (у), v(x,P) = Ф (ж), 0 < у < Ъ, 0 < ж < а; ^(ж + ib) = п(ж), Vxy(a + г?/) = 0 < ж < а, 0 < т/ < 6;

для уравнения Адамара д2 Azv/дхду = 0. При а = а, ¡3 = Ъ эта задача представляет собой локальную краевую задачу: г;(0, у) = 0, v(a, у) = Ф(у), г?(ж,0) = 0, v(x,/3) = Ф(ж), vyx(x,(3) = п(х), vxy(a,y) = ф(у) для этого же уравнения Адамара составного типа.

Последняя IV глава диссертации, состоящая из шести взаимосвязанных параграфов, посвящена разработке и развитию методов постановки и исследования новых краевых задач для уравнений смешанного как эл-липтико-гиперболического, так и параболо-гиперболического типа второго порядка в специальных смешанных областях.

Основным научным достижением §4.1 является теорема 4.1.1 о представлении

= Dlt-^D-ГМО, а + /3 < 1, -а < 7 < 0,

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Нахушева, Зарема Адамовна, 2014 год

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Бакиевич Н.И. Сингулярная задача Трикоми для уравнения Т1ащ£ — um — ß2T]au = 0 // Изв. вузов. Сер. "Математическая". 1964. № 2 (9). С. 7-13.

2. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Функция Лежандра. М.: Наука, 1965. 296 с.

3. Берс Л., Джон Ф., Шехтер М. Уравнения с частными производными. М.: Мир. 1965. 357 с.

4. Бицадзе A.B. Некоторые классы уравнений в частных производных. М.: Наука, 1981. 448 с.

5. Бицадзе A.B., Салахитдинов М.С. К теории уравнений смешанно-составного типа // Сибирский математический журнал. 1961. Т. II, № 1.

6. Бицадзе A.B., Самарский A.A. О некоторых простейших обобщениях линейных эллиптических краевых задач // ДАН СССР. 1969. Т. 185, №4. С. 739-740.

7. Веку а И.Н. Некоторые общие методы построения различных вариантов теории оболочек. М.: Наука, 1982. 288 с.

8. Волкодавов В.Ф., Носов В.А. Принцип локального экстремума для гиперболического уравнения с постоянными коэффициентами. Волжский матем. сборник. Куйбышев, 1963. С. 226-228.

9. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. М.: Наука, 1977. 640 с.

10. Губайдуллин К.А. Решение некоторых краевых задач для уравнений смешанного типа и смешанно-составного типа // Волжский математический сборник, вып. 8, 1971, с. 85-94.

11. Гурса Э. Курс математического анализа. Т.З, ч.2. М., 1934. 320 с.

12. Дезин A.A. On the solvable extensions of partial differential operators // Outlines of the Joint Soviet-American Symposium on Partial Differential Equations. 1963 (august). Novosibirsk. P. 65-66.

13. Джрбашян M. M. Интегральные преобразования и представления функции в комплексной переменной. М.: Наука, 1966. 671 с.

14. Джураев Т.Д. Краевые задачи для уравнений смешанного и смешанно-составного типов. Ташкент: ФАН, 1979.

15. Джураев Т.Д., Сопуев А., Мамажанов М. Краевые задачи для уравнений параболо-гиперболического типа. Ташкент: Фан, 1986. 220 с.

16. Доюураев Т.Д., Сопуев А. К теории дифференциальных уравнений в частных производных четвертого порядка. Ташкент: ФАН, 2000. 144 с.

17. Дикинов X. Ж., Сохов Т. 3. Численное решение одной нелокальной задачи для нелинейного уравнения параболического типа. В сб. "Дифференциальные и интегральные уравнения". Вып. 1, Нальчик, КБГУ, 1977. С. 100-107.

18. Должанский Ф.В. Лекции по геофизической гидродинамики. М.: ИВМ РАН, 2006. 378 с.

19. Елеев В.А. О некоторых задачах типа задачи Коши и задач со смещением для одного вырождающегося гиперболического уравнения // Дифференциальные уравнения. 1976. Т. 12, № 1. С. 44-58.

20. Елеев В.А. О некоторых задачах со смещением для одного уравнения смешанного параболо-гиперболического типа // Дифференциальные уравнения. 1978. Т. 14, № 1. С. 22-29.

21. Жегалов В.И., Миронов А.Н. Дифференциальные уравнения со старшими производными. Казань: Казанское математическое общество, 2001. 226 с.

22. Зайнулабидов М.М. О некоторых краевых задачах для уравнений смешанного типа с двумя перпендикулярными линиями вырождения // Дифференциальные уравнения. 1969. Т.5, №1. С. 91-99.

23. Зайнулабидов М.М. Об одном способе регуляризации сингулярных интегральных уравнений с ядрами Геллерстедта // Доклады Академии наук. 2003. Т.389, №6. С. 739-741.

24. Зарубин А.Н. Об одной задаче для дифференциально-разностного уравнения смешанно-составного типа // Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. 2004. Т.7, №1. С. 39-41.

25. Зарубин А.Н. Задача Коши для дифференциально-разностного нелокального волнового уравнения // Дифференциальные уравнения. 2005. Т. 41, №10. С. 1406-1410.

26. Зарубин А.Н. Прямая и обратная задачи для дифференциально-разностного уравнения диффузии // Дифференциальные уравнения. 2006. Т. 42, №10. С. 1431-1433.

27. Ионкин Н.И. Решение одной краевой задачи теории теплопроводности с неклассическим краевым условием // Дифференциальные уравнения. 1977. Т. 8, № 2. С. 294-304.

28. Ионкин Н.И., Моисеев Е.И. О задаче теплопроводности с двухточечными краевыми условиями // Дифференциальные уравнения. 1979. Т. 15, № 7. С. 1284-1285.

29. Ильин В.А. Линейные уравнения второго порядка параболического типа // ДАН СССР, 1976, т. 227, № 4, с. 796-799.

30. Ильин В. А., Моисеев Е.И. Нелокальная краевая задача для оператора Штурма-Лиувилля // Доклады АН СССР. 1986. Т. 291, №3. С. 534-538.

31. Ильин В.А., Моисеев Е.И. Нелокальная краевая задача второго рода для оператора Штурма-Лиувилля // Дифференциальные уравнения. 1987. Т. 23, №8. С. 1422-1431.

32. Капилевич М.Б. Об одном уравнении смешанного эллиптико-гиперболического типа // Матем. сборник. 1952. Т.ЗО (72), № 1. С. 11-38.

33. Кальменов Т.Ш. Краевые задачи для линейных уравнений в частных производных гиперболического типа. Шымкент, Гылая, 1993. 328 с.

34. Капилевич М.Б. О конфлюэнтных гипергеометрических функциях Горна // Дифференциальные уравнения. 1966. Т.2, № 9. С. 1239-1254.

35. Капустин Н.Ю. К теории краевых задач с граничными функциями из Ь2 // ДАН СССР. 1989. Т.305, №1. С. 31-33.

36. Капустин Н.Ю. О единственности решения краевой задачи с граничными условиями A.A.Самарского для параболического уравнения второго порядка // ДАН. 1995. Т.341, №5, С. 585-587.

37. Капустин Н.Ю. Краевые задачи с граничными условиями для параболического уравнения второго порядка // ДАН. 1995. Т.341, №6. С. 740-743.

38. Каратопраклиев Г.Д. Об одном обобщении задачи Трикоми // ДАН СССР, 151, №6, 1963. С. 1271-1273.

39. Кечина О.М., Пулькина JI.C. О разрешимости одной нелокальной задачи для гиперболического уравнения. Труды международной науч-

ной конф. "Дифференциальные уравнения и смежные проблемы". T.I. Стерлитамак, 24-28 июня 2008 г. С.120-122.

40. Килбас A.A., Репин O.A. Задача со смещением для параболо-гиперболического уравнения // Дифференциальные уравнения. 1998. Т. 34, №6. С. 799 - 805.

41. Кожанов А. И., Пулъкина Л. С. О разрешимости некоторых граничных задач со смещением для линейных гиперболических уравнений // Математический журнал. 2009. Т. 9, №2 (32). С. 78 - 92.

42. Кумыкова С. К. Об одной задаче с нелокальными краевыми условиями на характеристиках для уравнения смешанного типа // Дифференциальные уравнения. 1974. Т.10, №1. С. 78-88.

43. Лебедев H.H. Специальные функции и их приложения. M.JL: ФМ, 1963. - 358 с.

44. Маричев O.A., Килбас A.A., Репин O.A. Краевые задачи для уравнений в частных производных с разрывными коэффициентами. Самара: Изд-во Самарского государственного экономического университета, 2008. - 276 с.

45. Материалы Международного Российско-Узбекского симпозиума "Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики "и Школы молодых ученых "Нелокальные краевые задачи и проблемы современного анализа и информатики". Нальчик-Эльбрус, 2003.

46. Материалы Международной научной конференции "Современные проблемы математической физики и информационные технологии посвя-

щенной 70-летию академика АН РУз Салахитдинова М.С. Ташкент. 2003.

47. Материалы Международного Российско-Казахского симпозиума "Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики"и II Школы молодых ученых "Нелокальные краевые задачи и проблемы современного анализа и информатики". Нальчик-Эльбрус, 2004.

48. Материалы международной научной конференции "Дифференциальные уравнения с частными производными и родственные проблемы анализа и информатики посвященной 70-летию академика АН РУз Джу-раева Т.Д. Ташкент. 2004.

49. Материалы Третьей Международной конференции "Нелокальные краевые задачи и родственные проблемы математической биологии, информатики и физики". Нальчик. 2006.

50. Материалы Международного Российско-Азербайджанского симпозиума "Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики "и VI Школы молодых ученых "Нелокальные краевые задачи и проблемы современного анализа и информатики". Нальчик-Эльбрус, 2008.

51. Материалы Международного Российско-Абхазского симпозиума "Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики"и VII Школы молодых ученых "Нелокальные краевые задачи и проблемы современного анализа и информатики". Нальчик-Эльбрус, 2009.

52. Материалы Международного Российско-Болгарского симпозиума

"Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики". Нальчик-Хабез, 2010.

53. Труды Седьмой Всероссийской конференции "Математическое моделирование и краевые задачи"(ММ-2010). Самара, 2010 г.

54. Материалы Второго Международного Российско-Казахского симпозиума "Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики". Нальчик, 2011.

55. Материалы Международной конференции "Комплексный анализ и его приложения в дифференциальных уравнениях и теории чисел". Белгород, 17-21 октября 2011 г.

56. Материалы Второго Международного Российско-Узбекского симпозиума "Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики". Нальчик, 2012.

57. Моисеев Е.И. Уравнения смешанного типа со спектральным параметром. М.: Изд-во МГУ, 1988. 150 с.

58. Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы. М.: Наука, 1969. 526 с.

59. Нахушев A.M. Нелокальная задача и задача Гурса для нагруженного уравнения гиперболического типа и их приложения к прогнозу почвенной влаги // ДАН СССР. 1978. Т. 242, № 5. С. 1008-1011.

60. Нахушев A.M. Краевые задачи для нагруженных интегро-дифференциальных уравнений гиперболического типа и некоторые их приложения к прогнозу почвенной влаги // Дифференциальные уравнения. 1979. Т. 15, №1. С. 96-105.

61. Нахушев A.M. Об одном классе линейных краевых задач для гипербо-

лического и смешанного типов уравнений второго порядка. Нальчик: Эльбрус, 1992. 155 с.

62. Нахушев A.M. Уравнения математической биологии. М.: Высшая школа, 1995. 301с.

63. Нахушев A.M. Дробное исчисление и его применение. М.: Физматлит, 2003. 272 с.

64. Нахушев A.M. Задачи со смещением для уравнений в частных производных. М.: Наука, 2006. 287с.

65. Нахушев A.M. Вклад академика И.Н. Векуа в развитие теории уравнений смешанного типа // Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. 2007. Т.9, № 2. С. 9-16.

66. Нахушев A.M. Нагруженные уравнения и их применение. М.: Наука, 2012. 232 с.

67. Нахушева В.А. Дифференциальные уравнения математических моделей нелокальных процессов. М.: Наука, 2006. 174 с.

68. Нахушева З.А. Об одной нелокальной задаче для уравнений в частных производных // Дифференц. уравнения. 1986. Т. 22, № 11. С. 171-174.

69. Нахушева З.А. Обобщенная задача Самарского для параболического уравнения второго порядка // Сб. научных трудов "Нелокальные задачи для уравнений в частных производных и их приложения к моделированию и автоматизации проектирования сложных систем". Нальчик: КБГУ, 1986. С. 35-36.

70. Нахушева З.А. Первая и вторая краевые задачи в интегральной постановке для параболического уравнения второго порядка // Дифференц. уравнения. 1990. Т. 26, № 11. С. 1982-1992.

71. Нахушева З.А. Задача Трикоми в интегральной постановке для уравнения смешанного гиперболо-параболического типа / Тезисы докладов Всесоюзной научной конф. "Краевые задачи и их спектральные вопросы для дифференциальных уравнений". Алма-Ата, 1991. С.65.

72. Нахушева З.А. Видоизмененная задача Самарского для нелокального диффузионного уравнения // Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. 1997. Т. 2, № 2. С. 36-41.

73. Нахушева З.А. Нелокальная задача с оператором Эрдейи-Кобера для уравнения Лаврентьева-Бицадзе // Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук, 2001. Т. 5, №2. С.44-48.

74. Нахушева З.А. Нелокальная задача с оператором Эрдейи-Кобера для уравнения Лаврентьева-Бицадзе // Тезисы докладов II Международной конференции "Нелокальные краевые задачи и родственные проблемы математической биологии, информатики и физики". Нальчик-2001, 3-7 декабря. С.76-77.

75. Нахушева З.А. Об одной нелокальной краевой задаче для уравнения теплопроводности // Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук, 2002. Т.6, №1. С. 28-34.

76. Нахушева З.А. Об одной нелокальной внутреннекраевой задаче для уравнения параболо-гиперболического типа // Материалы Международного Российско-Узбекского симпозиума "Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики". Нальчик-Эльбрус, 2003. С. 71-73.

77. Нахушева З.А. Нелокальная задача для уравнения смешанного

параболо-гиперболического типа // Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. 2003. Т. 6, №2. С. 68-71.

78. Нахушева З.А. Задача Трикоми для уравнения Лаврентьева-Бицадзе с нелокальным условием сопряжения // Материалы Международного Российско-Казахского симпозиума "Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики". Нальчик-Эльбрус, 2004. С. 136.

79. Нахушева З.А. Задача Трикоми для уравнения Лаврентьева-Бицадзе с нелокальным условием сопряжения // Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. 2004. Т. 7, № 2. С. 66-74.

80. Нахушева З.А. Задача Трикоми с нелокальным условием сопряжения для уравнения Лаврентьева-Бицадзе / Труды всероссийской научной конф. "Математическое моделирование и краевые задачи". Самара, 2628 мая 2004 г. С. 165-167.

81. Нахушева З.А. О задаче Трикоми для уравнения Лаврентьева-Бицадзе с нелокальным условием сопряжения // Дифференциальные уравнения. 2005. Т. 41, №10. С. 1426-1428.

82. Нахушева З.А. Об одной задаче A.A. Дезина для уравнения смешанного типа с разрывными коэффициентами // Материалы III Международной конференции "Нелокальные краевые задачи и родственные проблемы математической биологии, информатики и физики". Нальчик, 2006. С. 209-210.

83. Нахушева З.А. Об одной задаче A.A. Дезина для уравнения смешанного типа с разрывными коэффициентами // Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. 2006. Т.8, №2. С. 49-56.

84. Нахушева З.А. О задаче А.А. Дезина для уравнения Лаврентьева-Бицадзе/ Тезисы конференции "Самдифф"—2007. Дифференциальные уравнения и их приложения. Самара-2007. С. 81.

85. Нахушева З.А. Обобщенная задача Дарбу для вырождающегося гиперболического уравнения второго порядка // Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. 2008. Т. 10, № 1. С. 40-46.

86. Нахушева З.А. Обобщенная задача Дарбу для вырождающегося гиперболического уравнения / Материалы Международного Российско-Азербайджанского симпозиума "Уравнения смешанного типа и проблемы современного анализа и информатики "и VI Школы молодых ученых "Нелокальные краевые задачи и проблемы современного анализа и информатики". Нальчик-Эльбрус, 12-17 мая 2008 г. С. 129-131.

87. Нахушева З.А. Нелокальная задача для телеграфного уравнения с оператором Римана-Лиувилля в краевых условиях/ Материалы Международного Российско-Абхазского симпозиума "Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики "и VII Школы молодых ученых "Нелокальные краевые задачи и проблемы современного анализа и информатики Нальчик-Эльбрус. 2009. С. 175-178.

88. Нахушева З.А. Нелокальная задача с дробной производной для вырождающегося уравнения гиперболического типа/ Тезисы докладов Международной научной конференции "Современные проблемы вычислительной математики и математической физики посвященной 90-летию академика А.А. Самарского. Москва-2009. С. 224-226.

89. Нахушева З.А. Нелокальная задача с дробной производной для телеграфного уравнения/ Труды Шестой Всероссийской конференции

"Математическое моделирование и краевые задачи"(ММ-2009). Самара. 2009. С.172-174.

90. Нахушева З.А. Об одной нелокальной задаче A.A. Дезина для уравнения Лаврентьева-Бицадзе// Дифференциальные уравнения. 2009. Т. 45, № 8. С. 1199-1203.

91. Нахушева З.А. Обобщенная задача Дарбу для вырождающегося гиперболического уравнения второго порядка со спектральным параметром // Докл. Адыгской (Черкесской) Международ, акад. наук. 2009. Т. 11, №1. С. 42-55.

92. Нахушева З.А. Об одной нелокальной задаче для эллиптического уравнения с двумерным оператором Лапласа в главной части // Докл. Адыгской (Черкесской) Международ, акад. наук. 2009. Т. И, №2. С. 3235.

93. Нахушева З.А. Задача Дарбу для линеаризованного уравнения Сен-Венана // Докл. Адыгской (Черкесской) Международ, акад. наук. 2010. Т. 12, №1. С. 57-63.

94. Нахушева З.А. Об одном представлении дробного интеграла М. Сайго и формуле его обращения // Известия Кабардино-Балкарского научного центра РАН. 2010. №2 (34). С. 122-126.

95. Нахушева З.А. Задача Гурса в интегральной постановке. Материалы Международного Российско-Болгарского симпозиума "Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики". Нальчик-Хабез, 2010. С. 185-187.

96. Нахушева З.А. Нелокальная задача для эллиптического уравнения с двумерным оператором Лапласа в главной части / Труды Седьмой Все-

российской конференции "Математическое моделирование и краевые задачи"(ММ-2010). Самара, 2010 г. С. 210-213.

97. Нахушева З.А. К теории линеаризованного уравнения Сен-Венана // Известия Кабардино-Балкарского научного центра РАН. 2010. № 5 (37). С.23-30.

98. Нахушева З.А. Характеристическая краевая задача со смещением для телеграфного уравнения // Материалы Второго Международного Российско-Казахского симпозиума "Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики". Нальчик, 2011. С. 127-130.

99. Нахушева З.А. Нелокальные краевые задачи для основных и смешанного типов дифференциальных уравнений // Материалы Международной конференции "Комплексный анализ и его приложения в дифференциальных уравнениях и теории чисел". Белгород, 17-21 октября 2011 г. С. 86-87.

100. Нахушева З.А. Нелокальные краевые задачи для основных и смешанного типов дифференциальных уравнений. Нальчик: Изд-во КБНЦ РАН, 2011. 189 с.

101. Нахушева З.А. Об одной нелокальной краевой задаче для вырождающегося гиперболического уравнения второго порядка со спектральным параметром // Дифференциальные уравнения. 2011. Т. 47, № 10. С. 1452-1465.

102. Нахушева З.А. Задача Гурса в интегральной постановке для специальных дифференциальных уравнений гиперболического типа // До-

кл. Адыгской (Черкесской) Международ, акад. наук. 2011. Т. 13, №1. С. 98-101.

103. Нахушева З.А. Нелокальные характеристические и смешанные задачи для уравнений гиперболического типа // Докл. Адыгской (Черкесской) Международ, акад. наук. 2011. Т. 13, №2. С. 43-48.

104. Нахушева З.А. Нелокальные краевые задачи для уравнений основных и смешанного типов // Материалы Второго Международного Российско-Узбекского симпозиума "Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики". Нальчик, 2012. С. 205207.

105. Нахушева З.А. Характеристические и смешанные задачи для уравнений второго порядка гиперболического типа // Дифференциальные уравнения. 2012. Т. 48, № 10. С. 1418-1427.

106. Нахушева З.А. Нелокальная внутреннекраевая задача для уравнения Лаврентьева-Бицадзе // Материалы ВВМШ "Современные методы теории краевых задач. Понтрягинские чтения - XXIV". Воронеж, 6 мая - 11 мая 2013 г. С. 130-131.

107. Нахушева З.А. Об одной нелокальной краевой задаче для уравнения фрактальной диффузии // Материалы Международной конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения". Белгород, 2331 мая 2013 г. С. 157-158.

108. Нахушева З.А. Об одной нелокальной задаче с оператором Эрдейи-Кобера для уравнения смешанного гиперболо-параболического типа // Материалы Международной научной конференции "Дифференциальные уравнения и смежные проблемы". Стерлитамак, 26-30 июня 2013 г.

109. Нахушева З.А. Краевая задача с интегральным смещением для эллиптического уравнения с оператором Лапласа в главной части // Материалы международной конференции "Самдифф-2013". Самара, 29 июня - 03 июля 2013 г. С. 59-60.

110. Нахушева З.А. Нелокальная задача для уравнения Лаврентьева-Бицадзе и его аналогов в теории уравнений смешанного параболо-гипербо-лического типа // Дифференц. уравнения. 2013. Т. 49, № 10. С. 1332-1339.

111. Нахушева З.А. Об одной нелокальной эллиптической краевой задаче типа задачи Бицадзе-Самарского // Докл. Адыгской (Черкесской) Международ, акад. наук. 2013. Т. 15, № 1. С. 18-23.

112. Нахушева З.А. Об одной краевой задаче для системы двух линейных уравнений с частными производными первого порядка // Материалы Республиканской научной конференции с участием ученых из стран СНГ "Современные проблемы дифференциальных уравнений и их приложения". Ташкент, 21-23 ноября 2013 г. С. 78-80.

113. Нахушева З.А. Об одной краевой задаче со смещением для уравнения эллиптического типа // Материалы IV Международной конференции "Нелокальные краевые задачи и родственные проблемы математической биологии, информатики и физики". Нальчик-Терскол, 4-8 декабря 2013 г. С. 197-199.

114. Пономарев С.М. К задаче на собственные значения для уравнения Лаврентьева-Бицадзе // Доклады АН СССР. 1977. Т. 223, № 1. С. 3940.

115. Попиванов Н.И. Многомерный аналог задачи Дарбу для вырожда-

ющихся гиперболических уравнений // Дифференц. уравнения. 1978. Т. 14, №1. С. 80-93.

116. Попов А.Ю. О количестве вещественных собственных значений одной краевой задачи для уравнения второго порядка с дробной производной // Фундаментальная и прикладная математика. 2006. Т. 12, №6. С. 137155.

117. Прилепко А.И., Ткаченко Д.С. Корректность обратной задачи об источнике для параболических систем // Дифференциальные уравнения. 2004. Т. 40, №11. С. 1540-1547.

118. Псху A.B. Уравнения в частных производных дробного порядка. М.: Наука, 2005. 199 с.

119. Пулъкин С.П. Избранные труды. Самара: Универс групп, 2007. 264 с.

120. Пулькина JI. С. О разрешимости в Ь2 нелокальной задачи с интегральными условиями для гиперболического уравнения // Дифференциальные уравнения. 2000. Т. 36, № 2. С. 279-280.

121. Репин O.A. Краевые задачи со смещением для уравнений гиперболического и смешанного типов. Самара: Самарский филиал изд-ва Саратовского университета. 162 с.

122. Репин O.A. О задаче Гурса для нагруженного уравнения Геллер-стедта. Труды второго Международного семинара сДифференциаль-ные уравнения и их приложениях Самара. 1998. С. 133 139.

123. Репин О. А. Нелокальная краевая задача для одного вырождающегося гиперболического уравнения // ДАН. 1994. Т. 335, №3. С. 295-296.

124. Репин О. А. Аналог задачи Нахушева для уравнения Бицадзе-Лыкова // Дифференциальные уравнения. 2002. Т. 38, № 10. С. 1412-1417.

125. Сабитов К.Б. Принцип локального экстремума для одного уравнения второго рода в бесконечной области // Труды пединститутов РСФСР. Дифференциальные уравнения. 1977. Вып. 10. С. 146-148.

126. Сабитов К.Б. Построение в явном виде решения задач Дарбу для телеграфного уравнения и их применения при обращении интегральных уравнений. I // Дифференциальные уравнения. 1990. Т.26, №6. С. 1024-1032.

127. Салахитдинов М.С. Уравнения смешанно-составного типа. Ташкент: ФАН, 1974. - 156 с.

128. Салахитдинов М. С., Уринов А.К. Краевые задачи для уравнений смешанного типа со спектральным параметром. Ташкент: ФАН, 1997.165 с.

129. Салахитдинов М.С., Мирсабуров М. Нелокальные задачи для уравнений смешанного типа с сингулярными коэффициентами. Ташкент: Universitet, 2005. 224 с.

130. Самарский A.A. О некоторых проблемах теории дифференциальных уравнений // Дифференциальные уравнения. 1980. Т. 16, №11. С. 19251935.

131. Самко С.Г., Килбас A.A., Маричев О.И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. - Минск: Наука и техника, 1987. 688 с.

132. Седов Л.И. Плоские задачи гидродинамики и аэродинамики. М.: Наука. 1966. 448 с.

133. Сербина Л.И. Нелокальные математические модели переноса в водоносных системах. М.: Наука, 2007. 167 с.

134. Смирнов В.И. Курс высшей математики. M.-JL: ГИТТЛ, 1951. Т. 4, 804 с.

135. Солдатов А.П., Шхануков М.Х. Краевые задачи с общим нелокальным условием A.A. Самарского для псевдопараболических уравнений высокого порядка // Доклады АН СССР. 1987. Т.297, №3. С. 547-552.

136. Стеклов В.А. Основные задачи математической физики. М.: Наука, 1983. 432 с.

137. Тихонов А.Н., Самарский A.A. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1977. 735 с.

138. Трикоми Ф. Лекции по уравнениям в частных производных. М.: ИЛ, 1957. 443 с.

139. Уткина Е.А. О единственности решения задачи Дирихле для псевдопараболического уравнения шестого порядка. Материалы Международного Российско-Болгарского симпозиума "Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики". Нальчик-Хабез, 2010. С. 235-237.

140. Уткина Е.А. Задача Дирихле для одного уравнения четвертого порядка // Дифференциальные уравнения. 2011. Т.47, № 4. С. 600-604.

141. Франкль Ф.И. Избранные труды по газовой динамике. М.: Наука, 1973. 771 с.

142. Фридман А. Уравнения с частными производными параболического типа. М.: Мир, 1968, 427 с.

143. Чудновский А.Ф. Теплофизика почв. М.: Наука, 1976.

144. Чукбар К.В. ЖЭТФ, т.108, вып. 5(11), с. 1875-1884.

145. Gellerstedt S. Sur une equation lineare aux derivees partielles de type mixte // Arkiv for Matematik, Astronomi och Fysik. 25A. № 29, 1937.

146. Hadamard J. Proprictes d'une equation lineare aux derivees partielles du quatrine ordre, The Tonoku math. J., 1933, vol. 37, p.133-150.

147. Hadamard J. Equatuions aux derivees partielles, L'enseigment mathematique, 1936, vol. 35, p.5.

148. Kilbas A. A., Repin 0. A., Saigo M. Solution in closed from of boundary value problem for degenerate equation of hyperbolic type. Kyungpook Mathematical Jornal. V. 36. №2. 1996. P. 261 - 273.

149. Manwell A.R. // Arch. Rat. Mach. Anal. 1963. V.12, №3. P. 250-258.

150. Litrico X., Fromion V. Frequency modeling of open chanel flow //J. Hydraul. Eng. 130 (8), p. 806-815.

151. Ridolfi L., Porporato A., Revelli R. Green's function of the linearized de Saint-Venant equations// J. of Engineering Mechanics. 2006, № 2. P. 125132.

152. Saigo M. A remark on integral operators involving the Gauss hipergeometric functions // Mathematical Reports of College of General Education, Kyushu University. V. XI. №2. 1978. P. 135-143.

153. Saigo M. A remark on integral operators involving the Gauss

/

hupergeometric functions. Math. Rep. of College of General Education. Kyushu University. V. XI. №2. 1978. P. 135 - 143.

154. Saigo M. A certain boundary value problem for the Euler-Darboux equation II. Math. Japon. 25 (1979). №2. P. 211-220.

155. Saigo M. A certain boundary value problem for the Euler-Darboux equation III. Math. Japon. 26 (1981). №1. P. 103-119.

I f

156. Saigo M., Repin O.A., Kilbas A. A. On a non-local boundary vaiue problem for an equation of mixed parabolic-hyperbolic type. Int. J. Math. & Stat. Sci. V. 5. m. 1996. P. 103-117.

157. Wright E.M. On the coefficients of power series having exponential singularities // J. London. Math. Soc. 1933. Vol. 8. № 29. P. 71-79.