Краевые задачи для уравнений и систем уравнений с частными производными дробного порядка тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, доктор физико-математических наук Мамчуев Мурат Османович

• Мамчуев Мурат Османович
• доктор физико-математических наук
• 2021

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Мамчуев Мурат Османович

для волнового уравнения

2.3. Метод редукции нелокальных краевых задач к локальным

2.3.1. Способ определения корректности задач

2.3.2. Задача А.А. Самарского для дробного диффузионно-волнового уравнения

2.3.3. Задача А.А. Самарского для волнового уравнения

2.3.4. Краевая задача с нелокальным условием А.М. Нахушева

2.4. Метод параметрикса для дробного диффузионного уравнения . 71 2.4.1. Фундаментальное решение в ограниченной области

2.4.2. Фундаментальное решение в неограниченной области

2.4.3. Формула Грина

2.4.4. Задача Коши в нелокальной постановке

2.4.5. Теорема единственности решения

2.5. Аналог принципа Зарембы-Жиро для дробного диффузионного уравнения

3. Дробные телеграфные уравнения

3.1. Введение

3.2. Фундаментальное решение

3.2.1. Определения и обозначения

3.2.2. Свойства фундаментального решения

3.2.3. Общее представление решений

3.3. Задача Коши в видоизмененной постановке

3.3.1. Постановка задачи

3.3.2. Теорема существования решения

3.3.3. Теорема единственности решения

3.4. Первая краевая задача

3.4.1. Постановка задачи

3.4.2. Теорема существования и единственности решения

3.5. Функции Грина основных краевых задач

3.5.1. Постановки задач и определения

3.5.2. Функции Грина и представления решений

3.5.3. Краевая задача в полуполосе

3.5.4. Случай Ь = с =

3.6. Уравнение с производной Герасимова - Капуто

3.6.1. Формула Грина для оператора Герасимова - Капуто

3.6.2. Общее представление решений

3.6.3. Задача Коши

3.6.4. Краевая задача в полуполосе

3.6.5. Основные краевые задачи

4. Системы типа I

4.1. Введение

4.2. Краевая задача для двумерной системы

4.2.1. Постановка задачи

4.2.2. Функция Райта матричного аргумента

4.2.3. Специальное решение

4.2.4. Теорема существования и единственности решения

4.2.5. Представление решений при АВ = В А

4.2.6. Свойства функции С(х,у)

4.2.7. Доказательство теоремы

4.3. Системы уравнений первого порядка

4.3.1. Краевая задача в прямоугольной области

4.3.2. Нелокальная краевая задача

4.3.3. Задача Коши в нелокальной постановке

4.4. Краевая задача для многомерной системы

4.4.1. Постановка задачи и формулировка теоремы

4.4.2. Вспомогательные оценки

4.4.3. Представление решения

4.4.4. Свойства функции С(х\, ...,хт)

4.4.5. Доказательство теоремы

5. Системы типа II

5.1. Введение

5.2. Фундаментальное решение

5.2.1. Общее представление решений

5.2.2. Вспомогательные утверждения

5.2.3. Свойства фундаментального решения

5.3. Первая краевая задача

5.3.1. Постановка задачи и обозначения

5.3.2. Матрица Грина

5.3.3. Теорема существования и единственности решения

5.4. Нелокальная смешанная задача

5.4.1. Постановка задачи

5.4.2. Частные случаи задачи

5.4.3. Теорема о разрешимости задачи

5.5. Задача Коши в нелокальной постановке

5.5.1. Постановка задачи

5.5.2. Вспомогательные утверждения

5.5.3. Теорема существования решения

5.5.4. Теорема единственности решения

5.6. Краевая задача в полуполосе

5.6.1. Задача в положительной полуполосе

5.6.2. Задача в отрицательной полуполосе

Заключение

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Краевые задачи для уравнений и систем уравнений с частными производными дробного порядка»

Введение

Актуальность темы. Объект и предмет исследований. Уравнения с частными производными дробного порядка выступают в качестве основы большого количества математических моделей, возникающих во всевозможных областях современного естествознания и гуманитарных наук, таких как физика, химия, биология, экономика, социология и т. д. Это обстоятельство послужило толчком к развитию теории краевых задач для уравнений и систем уравнений с частными производными дробного порядка, которая в настоящее время превратилась в одну из интенсивно развивающихся областей современной математики.

Среди работ, посвящённых математическому моделированию процессов, описание которых приводит к уравнениям с производными дробного порядка отметим монографии следующих авторов: K. Nishimoto [170], А.М. Наху-шев [76], [78], [79], R. Hilfer [149], В.А. Нахушева [82], [83], R.L. Magin [163], J. Sabatier, O.P. Agrawal, J.A. Tenreiro Machado [176], Л.И. Сербина [112], В.В. Учайкин [115], K. Diethelm [132], Л.Н. Ляхов и Э.Л. Шишкина, [57], в которых также содержится обширный обзор литературы.

Диссертация посвящена описанию корректных постановок и развитию методов исследования начальных и краевых (локальных и нелокальных) задач для дробных эволюционных уравнений, и связанных с ними классов систем уравнений с частными производными дробного порядка не превышающего единицы.

Объектами исследования являются дробное диффузионно-волновое уравнение (по терминологии F. Mainardi [164])

да д2

^u(x, У) - дх"^^ У) = f (х, У), 0 < а - 2

(0.1)

и его обобщения, в том числе дробное телеграфное уравнение

( да дв \ д2

+ Ь^—в и(х, у) — и(х, у) + си(х, у) = /(х, у), 0 < а = 2в < 2,

\дуа дув) ' дх2

(0.2)

а так же системы уравнений с частными производными дробного порядка вида

д7 д6

и(х, у) + А—и(х, у) = Ви(х, у) + ^(х, у), 0 < 7, Я < 1, (0.3)

дхЛ v ' ду5

о V __

где оператор дробной производной понимается в смысле Римана - Ли-увилля Jt; = D0Vt, или в смысле Герасимова - Капуто Jtj = dVt, A и B -постоянные квадратные матрицы порядка n, U(х,у) и F(х,у) - соответственно искомый и заданный n-мерные вектор-функции.

Оператор Dvay дробного интегродифференцирования в смысле Римана -Лиувилля порядка v с началом в точке у = а определяется следующим образом [79, с. 9]:

y

Da g(y) = sign(y - а) / g(s)ds , v < 0,

Dayg(y) Г(—v) J |y - s|v+l ' v< 0

a

при v > 0 оператор Day можно определить с помощью рекурсивного соотношения

d

Diyg(y) = sign(y -а)dyyDa-1g(y), v >

од

ay

Дробная производная Герасимова - Капуто д(у) порядка V определяется формулой [79, с. 11]:

д; д(у) = ^пп(у — пд(п)(у), п — 1 ^ < п, п е N.

Уравнения (0.1) и (0.2) при определенных допущениях эквивалентны системам уравнений вида (0.3) с 7 = 1, 5 = а/2, п = 2 и специально подобранными матрицами А и В.

Возникновение уравнений с производными дробного порядка в приложениях связано с моделированием процессов во фрактальных (самоподобных) структурах, нелокальных процессов с памятью - эридитарных (наследственных) явлений, в которых текущее состояние системы зависит от ее предыдущих состояний (предыстории).

Уравнение (0.1) было введено в физику Р.Р. Нигматуллиным в 1986 году [169] при описании процесса замедленной диффузии (субдиффузии) во фрактальной среде. В дальнейшем оно использовалось для описания стохастических моделей переноса в работах J. Klafter и др. [153], диффузионных процессов в вязкоупругих средах - F. Mainardi [164], M.M. Ginoa и др. [144], моделей случайного блуждания по фракталам - H.E. Roman и P.A. Alemany [175], К.В. Чукбар [117], В.Л. Кобелев и др. [41], [42], процессов переноса с памятью и моделировании случайных величин - R. Gorenflo, F. Mainardi и др. [147].

Уравнения вида (0.2) выступают в качестве модельных для описания аномальных диффузионных процессов, наблюдаемых при циркуляции суспензионной крови E.C. Eckstein и др. [133], R.C. Cascaval и др. [127], «повторного» броуновского движения и телеграфного процесса с броуновским временем E. Orsinger и L. Beghin [171], E. Orsinger и X. Zhao [172].

Наряду с уравнениями (0.1) и (0.2) в приложениях часто встречается дробное уравнение адвекции-дисперсии

да д2 д

——u(x, t) — D—^;u(x,t) + v—u(x,t) + ßu(x,t) = 0, D> 0, (0.4) dta v ' дхХ2 ' дх ' ' '

которое было предложено группой авторов: D.A. Benson, S.W. Wheatcraft, M.M. Meerschaert, B. Baeumer, R. Schumer, для моделирования задач гидрологии [124], [121], [180].

Уравнения с частными производными дробного порядка относятся к классу нагруженных дифференциальных уравнений, исследование которых представляет собой научное направление, начало которому положено в работах А.М. Нахушева [70] - [73] и которое получило дальнейшее развитие в монографиях [75], [79], [81], [29], [30], [83], [100], [112].

Степень разработанности темы. Научная новизна. Теория дробного интегродифференцирования имеет давнюю историю, которая нашла свое отражение в энциклопедическом труде [110] С.Г. Самко, А.А. Килбаса и О.И. Маричева, в котором, вместе с результатами авторов, содержится систематизированный обзор результатов (до 1986 года) и методов дробного исчисления, их приложений к теории функций, теории интегральных и дифференциальных уравнений.

Большой вклад в развитие дробного исчисления и методов теории дифференциальных уравнений с производными дробного порядка внесли работы М.М. Джрбашяна [28], уже упомянутая книга С.Г. Самко, А.А. Килбаса и О.И. Маричева [110], K.S. Miller, B. Ross [167], А.М. Нахушева [75], [79],

R. Gorenflo, F. Mainardi [145], A.A. Kilbas, H.M. Srivastava, J.J. Trujillo [152], I. Podlubny [174], А.В. Псху [100], С.М. Ситника и Э.Л. Шишкиной [111], посвященные изучению свойств операторов дробного интегродифференцирова-ния, исследованию уравнений содержащих такие операторы, систематизации и развитию методов их решения, исследованию свойств специальных функций теории уравнений дробного порядка.

Исследование дробных диффузионно-волновых уравнений с математической точки зрения началось практически одновременно с их появлением в физике. Первые работы в этом направлении относятся к исследованию задачи Коши и построению фундаментальных решений (W. Wyss [183], W.R. Shnei-der, W. Wyss [179], А.Н. Кочубея [50], [51], Ya. Fujita [140], [141], F. Mainardi [165], [166], С.Х. Геккиевой [19], [22], А.А. Ворошилова, А.А. Килбаса [16], [17]), решению краевых задач в прямоугольных областях и полубесконечной полосе (С.Х. Геккиевой [18], В.А. Нахушевой [84], З.А. Нахушевой [86] В.Х. Шогенова, С.К. Кумыковой, М.Х. Шханукова-Лафишева [118], М.А. Ке-рефова [37], O.P. Agrawal [120]) для дробных диффузионно-волновых уравнений с производными Римана - Лиувилля и Герасимова - Капуто. Решения исследуемых задач были построены с помощью методов интегральных преобразований и разделения переменных. Были получены представления фундаментальных решений в терминах специальных H-функции Фокса и функции Райта.

А.В. Псху [96] - [100], развил метод функции Грина решения краевых задач для дробного диффузионно-волнового уравнения с производными Римана-Лиувилля. S.D. Eidelman и A.N. Kochubei [134] исследовали задачу Коши для диффузионного уравнения с дробной производной Герасимова - Капуто и методом параметрикса построили фундаментальное решение в терминах H -функции Фокса. В 2014 г. A.N. Kochubei [157] исследовал задачу Коши для дробного волнового уравнения с дробной производной Герасимова - Капу-то на основе результатов работы [103], в которой была исследована Задача Коши для многомерного диффузионно-волнового уравнения с оператором Джрбашяна-Нерсесяна.

В настоящей работе развит метод параметрикса решения задачи Коши для дробного диффузионного уравнения с производной Римана-Лиувилля. В качестве параметрикса использовано фундаментальное решение уравнения (0.1) выраженное в терминах функции Райта. Использование представления решений в виде формулы Грина, позволило упростить реализацию метода параметрикса, а также применить, при доказательстве единствен-

ности решения задачи Коши, подход основанный на формуле Грина для сопряжённого уравнения и асимптотических свойствах фундаментального решения.

Аналоги уравнений смешанного типа, содержащие дробные диффузионно-волновые уравнения стали предметом исследования работ С.Х. Геккиевой [20], [21], А.А. Килбаса, О.А. Репина [38], [39], [40], А.А. Ефимова [31], Е.Ю. Ар-лановой [6], М.В. Бурцева, А.Н. Зарубина [10], В.А. Нахушевой [85], О.А. Репина, С.А. Сайгановой [107], М.С. Салахитдинова, Э.Т. Каримова [177], [178].

В работе [77] А.М. Нахушева для уравнения

k(y)

д ди

Оо'3 (х)—--+ c(x)u

^дх з ^дх'

- д07уu = 0, 1 <Y< 2

где yk(y) > 0, (y = 0), найден критерий единственности решения задачи Дирихле в цилиндрической области Qaß = D х [а, ß], где D - ограниченная область из Rn = {x = (x\, ...,xn)}. О.Х. Масаева [58], [59], [60] получила априорные оценки решения задачи Дирихле для обобщенного уравнения Лапласа с производной Герасимова - Капуто.

В работах М.Х. Шханукова-Лафишева [119], [55], [7], А.А. Алиханова [4], [5], получены априорные оценки решений краевых задач и построены разностные схемы для дробных диффузионных и волновых уравнений.

Принципы экстремума для доказательства единственности решений краевых задач с условиями первого рода в ограниченных областях были предложены в исследованиях В.А. Нахушевой [84] и Yu. Luchko [161], [162]. А.Н. Кочубей в работе [51] на основе принципа максимума доказал единственность решения задачи Коши для дробного диффузионного уравнения.

В диссертации доказан аналог принципа Зарембы-Жиро для дробных диффузионных уравнений в том числе и для уравнения с оператором дробного дифференцирования дискретно-распределенного порядка.

™ даг _

о,'-—, 0 < а' < 1, (i = 1,m).

' дуа¿' ' 4 7

i=1 у

Для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка с дробными производными в группе младших членов в работе А.М. Нахушева [69] были доказаны аналоги принципов Хопфа и Зарембы-Жиро и с их помощью доказаны теоремы существования и единственности задачи Штурма-Лиувилля для этого уравнения (см. также [79, п. 3.6]).

Отметим, что уравнения с оператором дробного дифференцирования дискретно-распределенного порядка, исследовались в работах A.N. Kochubei [154],

Yu. Luchko [161], [162], А.В. Псху [104], M.N. Stojanovic [182] (см. также библиографию в этих работах).

В настоящий момент недостаточно исследованными являются нелокальные краевые задачи для дробных диффузионно-волновых уравнений. Особое внимание привлекают задачи с интегральными краевыми условиями, в частности с условием А.А. Самарского

i

J u(x,y )dx = ß(y). (0.5)

о

E.G. Bazhlekova в работе [122] получила представление в виде интеграла типа Дюамеля решения задачи с условием (0.5) для уравнения (0.1) с производной Герасимова - Капуто порядка а £ (0,1], с однородными краевыми условиями и начальными условиями подобранными специальным образом. З.А. Нахушева [86], [88] исследовала эту задачу методом разделения переменных. Нелокальная краевая задача с интегральным смещением для дробного диффузионного уравнения с переменными коэффициентами исследована в работе Ф.М. Лосановой [56].

Отметим, что задача с нелокальным условием (0.5) для уравнения теплопроводности методом тепловых потенциалов была исследована в работе J.R. Саппоп [128], в более общей постановке - в работе Л.И. Камынина [36]. Н.И. Ионкин [35] построил классическое решение задачи используя возможность разложения функции, задающей начальное условие задачи, в биорто-гональный ряд по системе собственных и присоединенных функций несамосопряженного оператора исходной задачи. А.М. Нахушевым [75] был предложен метод решения задачи Самарского для уравнения Фурье основанный на редукции её к первой краевой задаче с помощью необходимых нелокальных условий. Для волнового уравнения задача Самарского методом редукции к задаче с условием Бицадзе-Самарского исследовалась в работе [8]. Е.И. Моисеев, В.И. Корзюк и И.С. Козловская в работе [61] предложили метод отыскания классических решений нелокальных краевых задач с интегральными условиями для гиперболических уравнений.

Следует отметить, что исследованию разрешимости нелокальных краевых задач, в том числе с интегральными условиями, для разных классов уравнений с частными производными посвящены работы А.И. Кожанова, Л.С. Пуль-киной и их учеников [2], [44] - [49], [62] - [67].

В настоящей работе доказана теорема о необходимых нелокальных усло-

виях для уравнения (0.1), которые связывают начальные значения со следами решения и его производной на границе прямоугольной области. Эта теорема позволяет редуцировать нелокальные краевые задачи (в том числе и задачу с интегральным условием А.А. Самарского) к локальным краевым задачам.

В работе [127] R.C. Cascaval, E.C. Eckstein, C.L. Frota, J.A. Goldstein рассмотрели уравнение

где А - положительный самосопряженный оператор в гильбертовом пространстве и назвали его дробным телеграфным уравнением. Авторы показали, что решение и(х, I) уравнения (0.6) аппроксимируется при £ ^ то с помощью решения у(х^) уравнения

E. Orsinger и L. Beghin в работе [171] получили решение задачи Коши для уравнения

в терминах обратного преобразования Фурье для 0 < а < 1. При а = 1/2 решение получено в явно виде. В работе [172] E. Orsinger и X. Zhao методом преобразования Фурье исследовали телеграфное уравнение с дробной производной по пространственной переменной. Задача Коши, краевая задача в полуполосе и первая краевая задача для уравнения (0.7) методом разделения переменных исследовались в работах J. Chen и др. [129], F. Huang [151], методами интегральных преобразований Фурье и Лапласа в работе F. Huang

Обобщённые, так называемые дробные по времени и пространству телеграфные уравнения, исследовались в работах S. Momani [168], R.F. Camargo и др. [125], A.Z. Fino, H. Ibrahim [135].

В настоящей диссертации для дробных телеграфных уравнений с производными Римана - Лиувилля и Герасимова - Капуто развит метод функции Грина, построены фундаментальные решения и функции Грина основных краевых задач. Метод функции Грина в случае уравнения с производными Герасимова - Капуто основывается на полученной автором формуле Грина для оператора Герасимова - Капуто.

d2au(x,t) + 2adatu(x,t) = Au(x,t), 0 < а < 1,

(0.6)

2ad0tv(x,t) = Av(x,t).

(0.7)

[151].

Отметим что дробное уравнение адвекции-дисперсии (0.4) с помощью замены искомой функции сводится к исследованному в диссертации дробному телеграфному уравнению (0.2) c b = 0. F. Liu, V.V. Anh, I. Turner и P. Zhuang [159] используя преобразования Лапласа и Меллина, и свойства H-функции Фокса исследовали уравнение (0.4). В работе [150] F. Huang и F. Liu исследовали задачи в полуплоскости и прямоугольной области для уравнения (0.4) в случаях ß = 0 и v = 0 соответственно.

Что касается систем уравнений с частными производными дробного порядка, то они впервые были исследованы в работах автора диссертации в 2002 году. Эти работы посвящены исследованию линейных систем уравнений с частными производными, порядок которых не превышает единицы.

Скалярные уравнения с частными дробными производными не выше первого порядка исследованы следующими авторами: Ph. Clement, G. Gripenberg, S-O. Londen, А.В. Псху, R. Gorenflo, A. Iskenderov, Yu. Luchko. В работах [130], [131] Ph. Clement, G. Gripenberg, S-O. Londen, исследовали вопрос о гельде-ровой гладкости решений уравнений

Dt(u - hi) + DX(u - h2) = f (t, x), 0 < а, в < 1,

Dt(u — h1) + c(x, t)ux(x,t) = f (x,t), t, x > 0, при заданных условиях

u(0,x) = h1(x), u(t, 0) = h2(t).

Для уравнения с постоянными коэффициентами было построено фундаментальное решение.

В работе Yu. Luchko, R. Gorenflo [160] в терминах обобщенной функции Райта получены инвариантные относительно масштабных преобразований решения уравнения

D0tu(x,t) = dDQXu(x,t), d > 0.

Для уравнения с частными производными Римана - Лиувилля

D0Xu(x,y) + D0yu(x,y) + cu(x,y) = f (x,y^ 0 < а,в < ^ в работах А.В. Псху [93] - [95] была исследована задача с условиями

lim D0x—1u(x,y) = lim 1u(x,y) = ^(x).

В терминах функции типа Райта было построено регулярное решение задачи и доказана его единственность. При а = 1, с =0 доказана однозначная разрешимость задачи Коши [99], [100]. В работе [101] рассмотрена краевая задача в гипероктанте для уравнения

п

^ АкВ^ки(х) + Аои(х) = /(х), 0 < ак < 1, Хк > 0, Л0 е К. к=1

Задача Коши и краевая задача в прямоугольной области для уравнения с переменными коэффициентами

их(х,у) + \х\тА(х)Ввуи(х,у) + с(х)и(х,у) = /(х,у), 0 <в < 1, т > 0

были исследованы в работах [202], [224], [225] автора диссертации.

В работе [148] А. Ые1Ы§ исследовал задачу Коши для общей системы

п

да и = ^2 агз (дх1 ,...,дхч )и, 0 <аг < 1,

%=1

иг |^=о и0^1

где - однородный полином степени 1 е М, а дробная производная определена так, что её преобразование Лапласа д^и (А) = Ащи(А) — Аа-1и0 Доказаны теоремы существования решения из класса Ь2. В работе [155] исследуется задача Коши для системы

д^и(г, х) — ^ Ав(х)вви(г, х) = /(г, х), 0 < г < Т,х е Кп, (0.8)

\<2Ь

где и = (и1,...,им), Ав(х) = \\ав (г,з = ) Вв = ВХ%\ ...Ввпп,

в] _ 1 д

Вх] = 1 ддГ, \в\ = А + ... + вп. Методом параметрикса строится фундаментальное решение системы (0.8). Системы вида (0.8) возникают при линеаризации дробных систем реакции-диффузии [142], [143], используемых при описании явлений самоорганизации.

В работе [156] А.Н. Кочубей описал класс систем с постоянными коэффициентами

д0уЬи(г,х) = Р ^г-^ и(г,х), 0 < г < Т,х е Кп, (0.9)

где и(г,х) = \\и1(г,х), ...,ит(г,х)\\, Р(б) - тхт-матрица, элементы которой полиномы первой степени от в1,...,вп, для которых существуют фундаментальные решения экспоненциально растущие вне множества {\х\г—а < 1}. Такие системы названы дробными гиперболическими системами.

При y = ö = 1 система (0.3) является гиперболической. Начало исследованию гиперболических систем было положено в работе [173] (см. также [91]) И.Г. Петровского. В которой было введено понятие гиперболических систем и для широкого класса гиперболических систем доказана корректность задачи Коши. В связи с задачей Коши для гиперболических систем следует упомянуть также работы H. Levy [158], K.O. Fridrichs [137], Р.К. Романовского [108] и [109]. Вопрос о корректности смешанных краевых задач для гиперболических систем первого порядка имеет богатую историю, которая освещена в работах В.Э. Аболини и А.Д. Мышкиса [1], М.С. Аграновича [3], К.В. Бруш-линского [9], Годунова С.К. [24], А.А. Дезина [25], [26], [27], Р.К. Романовского [15], K.O. Fridrichs [136], [138], [139].

В работе [15] построенный в работах [108] и [109] аппарат матриц Римана первого и второго рода применён к анализу различных краевых задач (в том числе и смешанной) для гиперболических систем на плоскости. Отметим работу Н.А. Журы и А.П. Солдатова [32], в которой предложены постановки корректных краевых задач для строго гиперболических систем на плоскости.

В настоящей диссертации описаны классы корректных начальных и начально-краевых задач для линейных систем уравнений с частными производными дробного порядка не превышающего единицы. Показано, что эти системы можно разделить на два разных типа, которые существенно отличаются в плане постановок корректных краевых задач. К первому типу относятся системы со знакоопределёнными собственными значениями матричных коэффициентов в главной части. Ко второму - системы матричные коэффициенты в главной части которых имеют собственные значения разных знаков.

Цель работы. Целью настоящей работы является:

Развитие методов решения начальных и начально-краевых (локальных и нелокальных) задач для дробных диффузионно-волновых и дробных телеграфных уравнений, исследование свойств их решений.

Описание корректных начальных и начально-краевых задач для линейных систем уравнений с частными производными дробного не превышающего единицы порядка, получение представлений их решений.

Методология диссертационного исследования. В работе используются методы теории дробного исчисления, теории функций, теории специальных функций, теории матриц, интегральных преобразований, факторизации, редукции. Развиты метод функции Грина, метод параметрикса, подход основанный на использовании специальных функций матричного аргумента для

уравнений и систем с дробными производными.

Положения выносимые на защиту. Основные результаты диссертации являются новыми, получены автором лично и состоят в следующем:

1. Теорема о необходимых нелокальных условиях для дробного диффузионно-волнового уравнения, и основанные на ней метод редукции нелокальных краевых задач к локальным краевым задачам и способ установления их корректности.

2. Метод параметрикса решения задачи Коши и аналог принципа Зарембы - Жиро для дробных диффузионных уравнений с переменными коэффициентами.

3. Аналог формулы Грина для оператора дробного дифференцирования в смысле Герасимова - Капуто и основанный на ней метод функции Грина для уравнений с производными Герасимова - Капуто.

4. Эффект влияния младшего члена с дробной производной на корректность задания начальных условий для дробного телеграфного уравнения с производными Римана - Лиувилля.

5. Фундаментальные решения, функции Грина, представления решений и теоремы об однозначной разрешимости основных краевых задач для дробных телеграфных уравнений с производными Римана - Лиувилля и Герасимова - Капуто.

6. Классы систем линейных уравнений с частными производными дробного порядка, качественно отличающиеся в плане постановок начально-краевых задач в зависимости от знакоопределённости собственных значений матричных коэффициентов.

7. Корректные постановки, фундаментальные решения, функции Грина, представления решений и теоремы об однозначной разрешимости краевых задач для каждого из выделенных классов систем.

Теоретическая и практическая значимость. Работа является теоретической. Полученные результаты найдут применение в развитии теории краевых задач для уравнений и систем уравнений с частными производными дробного порядка. Практическая значимость работы обусловлена эффективными применениями уравнений с производными дробного порядка при

математическом моделировании широкого круга прикладных задач. В частности, результаты третьей главы нашли своё применение в описании модели диффузионно-дрейфового транспорта носителей заряда в слоях с фрактальной структурой [194].

Достоверность результатов диссертации обеспечивается строгими математическими доказательствами.

Апробация результатов. Результаты работы докладывались на следующих научно-исследовательских семинарах:

1. семинар по современному анализу, информатике и физике Института прикладной математики и автоматизации КБНЦ РАН, г. Нальчик, (руководитель проф. А.М. Нахушев);

2. семинар кафедры дифференциальных уравнений Казанского государственного университета, г. Казань, (руководитель проф. В.И. Жегалов);

3. семинар «Спектральная теория дифференциальных операторов и актуальные вопросы математической физики» факультета ВМК Московского государственного университета, г. Москва, (руководители акад. Е.И. Моисеев и проф. И.С. Ломов);

4. семинар «Современные проблемы математической физики» научной лаборатории «Дифференциальные уравнения и их приложения» Института математики им. В.И. Романовского АН Республики Узбекистан, г. Ташкент, (руководители: акад. АН РУз. Ш.А. Алимов и проф. Р.Р. Ашу-ров);

5. семинар «Неклассические задачи математической физики», Институт математики им. С.Л. Соболева СО РАН, Математический центр в Академгородке - НГУ, Академия наук Республики Саха-Якутия, Челябинский государственный университет, (руководители: проф. А.И. Кожанов, проф. И.Е. Егоров, проф.С.В. Попов и проф. В.Е. Фёдоров);

и международных научных мероприятиях:

1. Международная конференция «Тихонов и современная математика», (Москва, 2006 г.);

2. Международная конференция «Дифференциальные уравнения, теория функций и приложения», (Новосибирск, 2007 г.);

3. Международная конференция «Порядковый анализ и смежные вопросы математического моделирования» (Владикавказ, 2008 г., Цея, 2019 г.);

4. Международная конференция «Современные проблемы вычислительной математики и математической физики», (Москва, 2009);

5. Международная конференция «Дифференциальные уравнения и динамические системы», (Суздаль, 2010 г.);

6. Шестая Международная конференция «Аналитические методы анализа и дифференциальных уравнений» АМАДЕ-2011, (Минск, 2011 г.);

7. Пятая Международная научная конференция «Современные методы и проблемы теории операторов и гармонического анализа и их приложения V» (Ростов-на-Дону, 2015 г.);

8. Международная научная конференция «Актуальные проблемы теории уравнений в частных производных», посвящённой 100-летию А.В. Би-цадзе (Москва, 2016 г.);

9. II, III и IV Международные конференции «Нелокальные краевые задачи и родственные проблемы математической биологии, информатики и физики» (Нальчик, 2001, 2006, 2013 гг.);

10. Международные Российско-Узбекские (2003, 2012 гг.), Российско-Казахские (2004, 2011 гг.), Российско-Азербайджанский (2008 г.) и Российско-Болгарский (2010 г.) симпозиумы «Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики» (Нальчик-Эльбрус);

11. Международная конференция «Актуальные проблемы прикладной математики и физики» (Нальчик-Терскол, 2016, 2017 гг.);

12. V Международная научная конференция «Нелокальные краевые задачи и родственные проблемы математической биологии, информатики и физики», посвящённая 80-летию А.М. Нахушева, (Нальчик, 2018 г.);

13. Республиканская научная конференция (с участием учёных из стран СНГ) «Современные методы математической физики и их приложения», посвящённая 75-летию Ш.А. Алимова, (Ташкент, 2020 г.).

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в одной монографии и 40 статьях автора, 16 из которых опубликованы в рецензируемых журналах, индексируемых в международных базах Scopus, Web of Scince и RSCI. Результаты пункта 2.5 вошли в монографию А.М. Нахушева [81, с. 117].

Структура и объем работы. Работа состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы. Список литературы включает в себя 226 наименований. Объем диссертации - 256 страниц.

Основное содержание работы

Первая глава носит вводный характер. В ней приведены сведения из теории специальных функций, дробного исчисления, теории краевых задач для уравнений дробного порядка, теории интегральных преобразований, которые необходимы для изложения основных результатов.

Вторая глава посвящена развитию методов решения краевых задач для дробных диффузионных и диффузионно-волновых уравнений.

В пункте 2.2 доказана теорема о необходимых нелокальных условиях, которым удовлетворяют все регулярные в прямоугольной области

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Мамчуев Мурат Османович, 2021 год

Литература

1. Аболиня В.Э., Мышкис А.Д. Смешанная задача для почти линейной гиперболической системы на плоскости // Математический сборник. 1960. Т. 50, № 4. С. 423 - 442.

2. Абдрахманов А.М., Кожанов А.И. Задача с нелокальным граничным условием для одного класса уравнений нечетного порядка // Известия вузов. Математика. 2007. № 5(540). С. 3-12.

3. Агранович М.С. Граничные задачи для систем псевдодифференциальных операторов 1-го порядка // Успехи математических наук. 1959. Т. 24. вып. 1(145). С. 61 - 125.

4. Алиханов А.А. Разностные методы решения краевых задач для волнового уравнения с дробной производной по времени // Вестник СамГТУ. Сер. физ.-мат. науки. 2008. № 2 (17). С. 13-20

5. Алиханов А.А. Априорные оценки решений краевых задач для уравнений дробного порядка // Дифференциальные уравнения. 2010. Т. 46, № 5. С. 660-666.

6. Арланова Е.Ю. Задача со смещением для уравнения смешанного типа с обобщенными операторами дробного интегро-дифференцирования в краевом условии // Вестник СамГУ. Естественнонаучная серия. 2008. № 6(65). С. 396-406.

7. Баззаев А.К., Шхануков-Лафишев М.Х. Локально-одномерная схема для уравнения диффузии дробного порядка с краевыми условиями III рода // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2010. Т. 50, № 7. С. 1200-1208.

8. Бейлин, С.А. Смешанные задачи с интегральными условиями для волнового уравнения: дис. ... канд. физ.-мат. наук / С.А. Бейлин. Самара, 2005.

9. Брушлинский К.В. О росте решения смешанной задачи в случае неполноты собственных функций // Изв. АН СССР. Сер. матем., 1959. Т. 23, № 4. С. 893 - 912.

10. Бурцев М.В., Зарубин А.Н. Обратная начально-краевая задача для дробного диффузионно-волнового уравнения с некарлемановским сдвигом // Дифференциальные уравнения. 2008. Т. 44, № 3. С. 373-382.

11. Вебер В.К. Структура общего решения системы = Ay, 0 < а < 1 // Труды Киргизского университета. Серия математических наук. 1976. Вып. 11. С. 26-32.

12. Вебер В.К. Асимптотическое поведение решений линейной системы дифференциальных уравнений дробного порядка // Исследования по интегро-дифференциальным уравнениям в Киргизии. Фрунзе: Илим, 1983. Вып. 16. С. 119-125.

13. Вебер В.К. К общей теории линейных систем с дробными производными // Исследования по интегро-дифференциальным уравнениям в Киргизии. Фрунзе: Илим, 1985. Вып. 18. С. 301-305.

14. Вебер В.К. Линейные уравнения с дробными производными и постоянными коэффициентами в пространствах обобщенных функций // Исследования по интегро-дифференциальным уравнениям в Киргизии. Фрунзе: Илим, 1985. Вып. 18. С. 306-312.

15. Воробьева Е.В., Романовский Р.К. Метод характеристик для гиперболических краевых задач на плоскости // Сиб. мат. журн. 2000. Т. 41, № 3. С. 531-540.

16. Ворошилов А.А., Килбас А.А. Задача типа Коши для диффузионно-волнового уравнения с частной производной Римана-Лиувилля // Доклады РАН, 2006. Т. 406, № 1. С. 12-16.

17. Ворошилов А.А., Килбас А.А. Задача Коши для диффузионно-волнового уравнения с частной производной Капуто // Дифференциальные уравнения. 2006. Т. 42, № 5. С. 599-609.

18. Геккиева С.Х. Краевая задача для обобщенного уравнения переноса с дробной производной по времени // Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. 1994. Т. 1, № 1. С. 17-18.

19. Геккиева С.Х. Задача Коши для обобщенного уравнения переноса с дробной по времени производной // Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. 2000. Т. 5, № 1. С. 16-19.

20. Геккиева С.Х. Об одном аналоге задачи Трикоми для уравнения смешанного типа с дробной производной // Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. 2001. Т. 5, № 2. С. 18-22.

21. Геккиева С.Х. Аналог задачи Трикоми для уравнения смешанного типа с дробной производной // Известия Кабардино-Балкарского Научного Центра РАН. 2001. № 2 (7). С. 78-80.

22. Геккиева С.Х. Краевая задача для обобщенного уравнения переноса с дробной производной в полубесконечной области // Известия Кабардино-Балкарского научного центра РАН. 2002. № 1 (8). С. 6-8.

23. Герасимов А.Н. Обобщение линейных законов деформирования и его применение к задачам внутреннего трения // Прикладная математика и механика, 1948. Т. 12. С. 251-260.

24. Годунов С.К. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1979. 392 с.

25. Дезин А.А. Смешанные задачи для некоторых симметрических гиперболических систем // ДАН. 1956. Т. 107, № 1. С. 13 - 16.

26. Дезин А.А. Теоремы существования и единственности решений граничных задач для уравнений с частными производными в функциональных пространствах// Успехи математических наук. 1959. Т.14, вып. 3.С. 21 -73.

27. Дезин А.А. Граничные задачи для некоторых симметричных линейных систем первого порядка// Математический сборник. 1959. Т.49, №4. С. 459 - 484.

28. Джрбашян М.М. Интегральные преобразования и представления функций в комплексной области. М.: Наука, 1966. 672 с.

29. Дженалиев М.Т. К теории линейных краевых задач для нагруженных дифференциальных уравнений. Алматы: Компьютерный центр ИТПМ, 1995. 270 с.

30. Дженалиев М.Т., Рамазанов М.И. Нагруженные уравнения как возмущения дифференциальных уравнений. Алматы: Рылым, 2010. 334 с.

31. Ефимов А.В. О краевых задачах с операторами М. Сайго для уравнения смешанного типа с дробной производной // Вестник СамГТУ. Сер. физ.-мат. науки. 2004. № 26. С. 16-20.

32. Жура Н.А., Солдатов А.П. Краевая задача для гиперболической системы первого порядка в двумерной области // Изв. РАН. Сер. матем., 2017. Т. 81, вып. 3. С. 83-108.

33. Ильин А.М., Калашников А.С., Олейник О.А. Линейные уравнения второго порядка параболического типа // Успехи математических наук. 1962. Т. 17, № 3 (105). С. 3-146.

34. Иманалиев М.И., Вебер В.К. Об одном обобщении функции типа Миттаг-Леффлера и его применении // Исследования по интегро-дифференциальным уравнениям в Киргизии. Фрунзе: Илим, 1980. Вып. 13. С. 49-59.

35. Ионкин Н.И. Решение одной краевой задачи теории теплопроводности с неклассическим краевым условием // Дифференциальные уравнения. 1977. Т. 13, № 2. С. 294-304.

36. Камынин Л.И. Об одной краевой задаче теории теплопроводности с неклассическими граничными условиями // Журнал вычисл. мат. и мат. физ. 1964. Т. 4, № 6. С. 1006-1024.

37. Керефов М.А. Решение одной краевой задачи для волнового уравнения дробного порядка // Нелинейные проблемы дифференциальных уравнений и математической физики. Сборник научных трудов института математики НАН Украины. Киев, 1997. С. 144-145.

38. Килбас А.А., Репин О.А. Аналог задачи Бицадзе-Самарского для уравнения смешанного типа с дробной производной // Дифференциальные уравнения. 2003. Т. 39, № 5. С. 638-644.

39. Килбас А.А., Репин О.А. Нелокальная задача для уравнения смешанного типа с частной производной Римана-Лиувилля и операторами обобщенного дробного интегрирования в краевом условии // Труды Института математикики. 2004. Минск. Т. 12, № 2. С. 75-81.

40. Килбас А. А., Репин О.А. Аналог задачи Трикоми для дифференциального уравнения с частными производными, содержащего уравнение диффузии дробного порядка // Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. 2010. Т. 12, № 1. С. 28-37.

41. Кобелев В. Л., Кобелева О. Л., Кобелев Я. Л., Кобелев Л. Я. О диффузии через фрактальную поверхность // ДАН. 1997. Т. 355, № 3. С. 326-327.

42. Кобелев В. Л., Романов Е. П., Кобелев Я. Л., Кобелев Л. Я. Недебаевская релаксация и диффузия в фрактальном пространстве // ДАН. 1998. Т. 361, № 6. С. 755-758.

43. Колмагоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1981. 544 с.

44. Кожанов А.И. Нелокальная по времени краевая задача для линейных параболических уравнений // Сибирский журнал индустриальной математики. 2004. Т. 7, № 1. С. 51-60.

45. Кожанов А.И., Пулькина Л.С. О разрешимости краевых задач с нелокальным граничным условием интегрального вида для многомерных гиперболических уравнений // Дифференциальные уравнения. 2006. Т. 42, т9. С. 1166-1179.

46. Кожанов А.И., Попов Н.С. О разрешимости некоторых задач со смещением для псевдопараболических уравнений // Вестник НГУ. Серия математика, механика, информатика. 2010. Т. 10, № 3. С. 46-62.

47. Кожанов А.И. О разрешимости некоторых пространственно нелокальных краевых задач для линейных гиперболических уравнений второго порядка // Математические заметки. 2011. Т. 90, вып. 2. С. 254-268.

48. Кожанов А.И., Лукина Г.А. Нелокальные задачи с интегральным условием для дифференциальных уравнений нечетного порядка // Сибирские электронные математические известия. 2016. Т. 13. С. 452-466.

49. Кожанов А.И., Лукина Г.А. Нелокальные краевые задачи с частично интегральными условиями для вырождающихся дифференциальных уравнений с кратными характеристиками // Сибирский журнал чистой и прикладной математики. 2017. Т. 17, № 3. С. 37-51.

50. Кочубей А.Н. Задача Коши для эволюционных уравнений дробного порядка // Дифференциальные уравнения. 1989. Т. 25, № 8. С. 1359-1368.

51. Кочубей А. Н. Диффузия дробного порядка // Дифференциальные уравнения. 1990. Т. 26, № 4. С. 660-670.

52. Кочубей А. Н., Эйдельман С.Д. Уравнение одномерной фрактальной диффузии // Доклады НАН Украины. 2003. № 12. С. 11-16.

53. Кочубей А. Н., Эйдельман С.Д. Задача Коши для эволюционного уравнения дробного порядка // Доклады РАН. 2004. Т. 394, № 2. С. 159-161.

54. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1973. 736 с.

55. Лафишева М.М., Шхануков-Лафишев М.Х. Локально-одномерная разностная схема для уравнения диффузии дробного порядка // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2008. Т. 48, № 10. С. 1878-1887.

56. Лосанова Ф.М. Об одной нелокальной краевой задаче для нагруженного уравнения параболического типа // Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. 2007. Т. 9, № 2. С. 54-58.

57. Ляхов Л.Н., Шишкина Э.Л. Дробные производные и интегралы и их приложения / Воронеж: Издат.-полиграф. центр Воронеж. гос. ун-та, 2011. 102 с.

58. Масаева О.Х. Априорная оценка для уравнения с фрактальным оператором Лапласа в главной части // Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. 2009. Т. 11, № 1. С. 36-37.

59. Масаева О.Х. К вопросу единственности решения задачи Дирихле для обобщенного уравнения Лапласа в полуполосе // Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. 2010. Т. 12, №2. С. 36-38.

60. Масаева О.Х. Задача Дирихле для обобщенного уравнения Лапласа с производной Капуто // Дифференциальные уравнения. 2012. Т. 48, № 3. С. 442-446.

61. Моисеев Е.И., Корзюк В.И., Козловская И. С. Классическое решение задачи с интегральным условием для одномерного волнового уравнения // Дифференциальные уравнения, 2014. Т. 50, № 10. С. 1373-1373.

62. Пулькина Л.С. Нелокальная задача с интегральными условиями для гиперболического уравнения // Дифференц. уравнения, 2004. Т. 40, № 7. С. 887-892.

63. Пулькина Л.С., Кечина О.М. Нелокальная задача с интегральными условиями для гиперболического уравнения в характеристическом прямоугольнике // Вестн. СамГУ. Естественнонаучн. сер., 2009. № 2(68). С. 80-88.

64. Пулькина Л.С., Дюжева А.В. Нелокальная задача с переменными по времени краевыми условиями Стеклова для гиперболического уравнения // Вестн. СамГУ. Естественнонаучн. сер., 2010. № 4(78). С. 56-64.

65. Пулькина Л.С., Савенкова А.Е. Задача с интегральным смещением для одномерного гиперболического уравнения // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2016. Т. 20, №2. С. 276-289.

66. Пулькина Л.С., Бейлин А.Б. Задача с нелокальными динамическими условиями для уравнения колебаний толстого стержня // Вестн. СамУ. Естественнонаучн. сер., 2017. №4. С. 7-18.

67. Пулькина Л.С., Киричек В.А. Разрешимость нелокальной задачи для гиперболического уравнения с вырождающимися интегральными условиями // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2019. Т. 23, № 2. С. 229-245.

68. Нахушев А.М. Обратные задачи для вырождающихся уравнений и интегральные уравнения Вольтерра третьего рода // Дифференциальные уравнения, 1974. Т. 10, № 1. С. 100-111.

69. Нахушев А.М. Задача Штурма-Лиувиля для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка с дробными производными в младших членах // Доклады АН СССР. 1977. Т. 234, № 2. С. 308-311.

70. Нахушев А.М. О задаче Дарбу для одного вырождающегося нагруженного интегро-дифференциального уравнения второго порядка // Дифференциальные уравнения. 1976. Т. 12, № 1. С. 103-108.

71. Нахушев А.М. Краевые задачи для нагруженных интегро-дифференциальных уравнений гиперболического типа и некоторые их приложения к прогнозу почвенной влаги // Дифференциальные уравнения. 1979. Т. 15, № 1. С. 96-105.

72. Нахушев А.М. Нагруженные уравнения и их приложения // Дифференциальные уравнения. 1983. Т. 19, № 1. С. 86-94.

73. Нахушев А.М. О нелокальных краевых задачах со смещением и их связи с нагруженными уравнениями // Дифференциальные уравнения. 1985. Т. 21, № 1. С. 92-102.

74. Нахушев А.М. К теории дробного исчисления // Дифференциальные уравнения. 1988. Т. 24, № 2. С. 313-324.

75. Нахушев А.М. Уравнения математической биологии. М.: Высшая школа, 1995. 301 с.

76. Нахушев А.М. Об уравнениях состояния непрерывных одномерных систем и их применениях. Нальчик: Логос, 1995. 50 с.

77. Нахушев А.М. Задача Дирихле для нагруженного уравнения смешанного типа в цилиндрической области // Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. 2011. Т. 13, № 1. С. 83-89.

78. Нахушев А.М., Кенетова Р.О. Математическое моделирование социально-исторических и этнических процессов. Нальчик: Эль-Фа, 1998. 170 с.

79. Нахушев А.М. Дробное исчисление и его применение. М.: Физматлит, 2003. 272 с.

80. Нахушев А.М. Задачи со смещением для уравнений в частных производных. M.: Наука, 2006. 287с.

81. Нахушев А.М. Нагруженные уравнения и их применение. М.: Наука, 2012. 232 с.

82. Нахушева В.А. Некоторые классы дифференциальных уравнений математических моделей нелокальных физических процессов. Нальчик: Изд-во КБНЦ РАН, 2002. 144 с.

83. Нахушева В.А. Дифференциальные уравнения математических моделей нелокальных процессов. М: Наука, 2006. 174 с.

84. Нахушева В.А. Принцип экстремума для нелокального параболического уравнения и смешанная задача для обобщенного волнового уравнения // Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. 1996. Т. 2, № 1. С. 26-28.

85. Нахушева В.А. Краевые задачи для уравнения теплопроводности смешанного типа // Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. 2010. Т. 12, № 2. С. 39-45.

86. Нахушева З.А. Видоизмененная задача Самарского для нелокального диффузионного уравнения // Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. 1997. Т. 2, № 2. С. 36-41.

87. Нахушева З.А. Об одной задаче А.А. Дезина для уравнения смешанного типа с разрывными коэффициентами // Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. 2006. Т. 8, № 2. С. 49-56.

88. Нахушева З.А. Нелокальные краевые задачи для основных и смешанного типа дифференциальных уравнений. Нальчик: Изд-во КБНЦ РАН, 2011. 196 с.

89. Нигматуллин Р.Р. Особенности релаксации системы с "остаточной" памятью // Физика твердого тела. 1985. Т. 27, № 5. С. 1583-1585.

90. Нигматуллин Р.Р. Дробный интеграл и его физическая интерприта-ция // Теоретическая и математическая физика. 1992. Т. 90, № 3. С. 354368.

91. Петровский И.Г. Избранные труды. Системы уравнений с частными производными. Алгебраическая геометрия. М.: Наука. 1986, 500 с.

92. Псху А.В. Решение краевых задач для дифференциальных уравнений с частными производными дробного порядка. Нальчик: Сообщения НИИ ПМА КБНЦ РАН. 2001. 43 с.

93. Псху А.В. Краевая задача для дифференциального уравнения с частными производными дробного порядка // Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. 2000. Т. 5, № 1. С. 45-53.

94. Псху А.В. Краевая задача для дифференциального уравнения с частными производными дробного порядка // Известия Кабардино-Балкарского научного центра РАН. 2002. № 1(8). С. 76-78.

95. Псху А.В. Решение краевой задачи для уравнения с частными производными дробного порядка // Дифференциальные уравнения. 2003. Т. 39, № 8. С. 1092-1099.

96. Псху А.В. Решение первой краевой задачи для уравнения диффузии дробного порядка // Дифференциальные уравнения. 2003. Т. 39, № 9. С. 1286-1289.

97. Псху А.В. Решение краевых задач для уравнения диффузии дробного порядка методом функции Грина // Дифференциальные уравнения. 2003. Т. 39, № 10. С. 1430-1433.

98. Псху А.В. Условие типа Тихонова для диффузионно-волнового уравнения // Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. 2003. Т. 6, № 2. С. 72-73.

99. Псху А.В. Краевые задачи для дифференциальных уравнений с частными производными дробного и континуального порядка. Нальчик: Изд-во КБНЦ РАН, 2005. 186 с.

100. Псху А.В. Уравнения в частных производных дробного порядка. М.: Наука, 2005. 199 с.

101. Псху А.В. Краевая задача для многомерного дифференциального уравнения дробного порядка // Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. 2006. Т. 8, №2. С. 57-64.

102. Псху А.В. К теории задачи Коши для линейного обыкновенного дифференциального уравнения дробного порядка // Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. 2009. Т. 11, № 1. С. 61-65.

103. Псху А.В. Фундаментальное решение диффузионно-волнового уравнения дробного порядка // Известия РАН. Серия математическая. 2009. Т. 73. № 2. С. 141-182.

104. Псху А.В. Задача Коши для уравнения диффузии с оператором дробного дифференцирования дискретно-распределенного порядка // Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. 2010. Т. 12, № 1. С. 69-72.

105. Псху А.В. Краевая задача для многомерного дифференциального уравнения дробного порядка // Дифференциальные уравнения. 2011. Т. 47, № 3. С. 385-395.

106. Псху А.В. Начальная задача для линейного обыкновенного дифференциального уравнения дробного порядка // Математический сборник. 2011. Т. 202, № 4. С. 111-122.

107. Репин О.А., Сайганова С.А. Краевая задача со смещением для уравнения смешанного типа с дробной производной // Известия Саратовского университетата. Серия Математика. Механика. Информатика. 2011. Т. 11. С. 89-94.

108. Романовский Р.К. О матрицах Римана первого и второго рода // Докл. АН СССР. 1982. Т. 267. №3. С. 577-580.

109. Романовский Р.К. О матрицах Римана первого и второго рода // Мат. сб. 1985. Т. 127. №4. С. 494-501.

110. Самко С.Г., Килбас А.А., Маричев О.И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. Минск: Наука и техника, 1987. 688 с.

111. Ситник С.М., Шишкина Э.Л. Метод операторов преобразования для дифференциальных уравнений с операторами Бесселя. М.: ФИЗМАТ-ЛИТ, 2019. 224 с.

112. Сербина Л.И. Нелокальные математические модели переноса в водоносных системах. М.: Наука, 2007. 167 с.

113. Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и таблицами, (под ред. М. Абрамовица и И. Стигана). М.: Наука, 1979. 832 с.

114. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1972. 735 с.

115. Учайкин В.В. Метод дробных производных. Ульяновск: Артишок, 2008. 512 с.

116. Фридман А. Уравнения с частными производными параболического типа. М.: Мир, 1968. 427 с.

117. Чукбар К.В. Стохастический перенос и дробные производные // ЖЭТФ, 1995. Т. 108, вып. 5(11). С. 1875-1884.

118. Шогенов В.Х., Кумыкова С.К., Шхануков-Лафишев М.Х. Обобщенное уравнение переноса и дробные производные // Доклады НАН Украины. 1997. № 12. С. 47-54.

119. Шхануков-Лафишев М.Х, Таукенова Ф.И. Разностные методы решения краевых задач для дифференциальных уравнений дробного порядка // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2006. Т. 46, № 10. С. 1871-1881.

120. Agrawal O.P. Solution for a fractional diffusion-wave equation defined in a bounded domain // Nonlinear Dynam. 2002. 29 : 1-4. P. 145-155.

121. Baeumer B., Meerschaert M.M., Benson D.A., Wheatcraft S.W. Subordinated advection-dispersion equation for contaminant transport, Water Resources Res. 37 (2001) 1543-1550.

122. Bazhlekova E.G. Duhamel-type representations of the solutions of nonlocal boundary value problems for the fractional diffusion-wave equation, Transform Methods and Special Functions, Varna 96. Proceedings of Second International Workshop, 23 - 30 August 1996.

123. Bazhlekova E., Dimovski I. Explicit solution for a wave equation with nonlocal condition, Article in Aip Conference Proceedings, January 2012, DOI: 10.1063/1.4766789.

124. Benson D.A., Wheatcraft S.W., Meerschaert M.M. Application of a fractional advection-dispersion equation, Water Resources Res. 36 (2000) 1403-1412.

125. Camargo R.F., Chiacchio E., De Oliveiro E.C. Differentiation to fractional orders and the fractional telegraph equation // Journal of Mathematical Physics. 2008. Vol. 49, No. 3. Article ID 033505, 12 pages.

126. Caputo M. Elasticita e Dissipazione. Zanichelli, Bologna, 1969. (in Italian).

127. Cascaval R.C., Eckstein E.C., Frota C.L., Goldstein J.A. Fractional telegraph equations // Journal of Mathematical Analysis and Applications. 2002. Vol. 276, No. 1. P. 145-159.

128. Cannon J.R. The solution of the heat equation subject to the specification of energy // Quart. Appl. Math., 1963. Vol. 21, No 2. P. 155-160.

129. Chen J., Liu F., Anh V. Analitical solution for the time-fractional telegraph equation by the method of separating variables // Journal of Mathematical Analysis and Applications. 2008. Vol. 338, No. 2. P. 1364-1377.

130. Clement Ph., Gripenberg G., Londen S-O. Holder regularity for a linear fractional evolution equation // Progress in Nonlinear Differential Equations an Their Applications, 1999, 35, 62-82.

131. Clement Ph., Gripenberg G., Londen S-O. Schauder estimetes for equations with fractional derivatives // Transactions of the American Mathematical Society, 2000, 352, 5, 2239-2260.

132. Diethelm K. The Analysis of Fractional Differential Equations. An Application-Oriented Exposition Using Differential Operators of Caputo Type. Berlin; Heidelberg: Springer, 2010. 247 p.

133. E.C. Eckstein, J.A. Goldstein and M. Leggas, The analytical solutions and asymptotic analyticity. Electron. J. Differ. Eq. Conf. 3 (1999) 39-50.

134. Eidelman S.D., Kochubei A.N. Cauchy problem for fractional diffusion equation // J. of Differential Equations. 2004. Vol. 199, P. 211-255.

135. Fino A.Z., Ibrahim H. Analytic solution for a generalized space-time fractional telegraph equation // Journal of Applied Mathematics. 2011. Vol. 2009. Article ID 890158, 13 pages.

136. Friedrichs K.O. The identity of weak and strong extension of differential operators // Trans. Amer. Math. 1944. V.55.

137. Friedrichs K.O. Nonlinear hyperbolic differential equations for function oftwo independent vsriables// Amer. J. Math. 1948. V. 70. 555 - 588.

138. Friedrichs K.O. Symmetric hyperbolic linear differential equations // Comm. Pure Appl. Math. 1954. V.11.

139. Friedrichs K.O. Symmetrical positive linear differential equations// Comm. Pure Appl. Math. 1958. V. 11.

140. Fujita Ya. Integrodifferential equation which interpolates the heat equation and thewave equation // Osaka J. Math. 1990. 27:2. P. 309-321.

141. Fujita Ya. Integrodifferentialequation which interpolates the heat equation and the wave equation. II // Osaka J. Math. 1990. 27:4. P. 797-804.

142. Gafiychuk, V., Datsko, B. Stability analysis and oscillatory structures in time-fractional reaction-diffusion systems // Phys. Rev. 2007. E 75, article 055201(R).

143. Gafiychuk, V., Datsko, B., Meleshko, V. Mathematical modeling of time-fractional reactiondiffusion systems //J. Comput. Appl. Math. 2008. V. 220, 215-225.

144. Ginoa M., Cerbelli S., Roman H.E. Fractional diffusion equation and relaxation in complex viscoelastic materials, Phys. A 191 (1992) 449-453.

145. Gorenflo R., Mainardi F. Fractional calculus: integral and differential equations of fractional order. In: A. Carpinteri and F. Mainardi (Editors): Fractals and Fractional Calculus in Continuum Mechanics. Springer Verlag, Wien and New York, 1997, pp. 223 - 276.

146. Gorenflo R., Luchko Yu., Mainardi F. Analytical properties and applications of the Wright function // Fractional Calculus and Applied Analysis, 1999. V. 2. No 4. P. 383-414.

147. Gorenflo R., Mainardi F., Moretti D., Paradisi P. Time fractional diffusion: a discrete random walk approach, Nonlinear Dynamics 29 (2002) 129-143.

148. Heibig A. Existence of solutions for a fractional derivative system of equations // Integral Equation and Operator Theory. 2012. V. 72. P. 483508.

149. Hilfer, R. (ed) Applications of Fractional Calculus in Physics. World Scientific, Singapore, 2000.

150. Huang F., Liu F. The time fractional diffusion equation and the advection-dispersion equation // The ANZIAM Journal. 2005. V. 46. P. 317-330.

151. Huang F. Analytic solution of the time-fractional telegraph equation // Jornal of Applied Mathematics. 2009. Vol. 2009. Article ID 890158, 9 pages.

152. Kilbas A.A., Srivastava H.M., Trujillo J.J. Theory and Applications of Fractional Differential Equations. Elsevier, Amsterdam, 2006.

153. Klafter J., Blumen A., Shlesinger M.F. Stochastic pathways to anomalous diffusion, Phys. Rev. A 35 (1987) p. 3081-3085.

154. Kochubei A. Distributed order calculus and equations of ultraslow diffusion // J. Math. Anal. Appl. 2008. Vol. 340. P. 252-281.

155. Kochubei A.N. Fractional-parabolic systems // Potential Analysis. 2012. V. 37. P. 1-30.

156. Kochubei A.N. Fractional-hiperbolic systems // Fractional Calculus and Applied Analysis. 2013. V. 16, № 4. P. 860-873.

157. Kochubei A.N. Cauchy problem for fractional diffusion-wave equations with variable coefficients // Applicable Analysis. 2014. 93:10. P. 2211-2242.

158. Levy H. U ber Anfangswertproblem fii r eine hyperbolishe nichtlineare Differenzialgleichung zweiter Ordnung mit zwei unabh a ngigen Ver anderlichen. // Math. Ann., 1927, 97, 179-191.

159. Liu F., Anh V. V., Turner I., Zhuang P. Time fractional advection-dispersion equation //J. Appl. Math. Computing. 2003. V. 13. P. 223-245.

160. Luchko Yu., Gorenflo R. Scale-invariant solution of a partial differential equation of fractional order // Fractional Calculus and Applied Analysis. 1998. V. 1, №1, P. 63-78.

161. Luchko Yu. Maximum principle for the generalized multi-term time-fractional diffusion equations and its applications // Symposium on Fractional Signals and Systems Lisbon'09 M. Ortigueire et al. (eds.) Lisbon, Portugal, 2009.

162. Luchko Yu. Boundary value problems for the generalized time-fractional diffusion equation of distributed order // Fractional calculus and applied analysis. 2009. 12:4, 409-422.

163. Magin R. L. Fractional Calculus in Bioengineering. Begell House Publisher, 2006.

164. Mainardi F. "Fractional diffusive waves in viscoelastic solids"in J.L. Wegner and F.R. Norwood (Editors), IUTAM Symposium on Nonlinear Waves in Solids, ASME book No AMR 137, Fairfield NJ (1995), pp. 93-97. [Abstract in Appl. Mech. Rev., Vol. 46, No 12, p. 549 (1993)]

165. Mainardi F. Fractional relaxation-oscillation and fractional diffusion-wave phenomena // Chaos Solitons Fractals. 1996. 7:9. P. 1461-1477.

166. Mainardi F. The fundamental solutions for the fractional diffusion-wave equation // Appl. Math. Lett. 1996. 9:6. P. 23-28.

167. Miller K.S., Ross B. An Introduction to the Fractional Calculus and Fractional Differential Equations. John Wiley and Sons, Inc., New York, 1993.

168. Momani S. Analytic and approximate solution of the space- and time-fractional telegraph equations // Applied Mathematics and Computation. 2005. Vol. 170. No. 2. P. 1126-1134.

169. Nigmatullin R.R. The realizition of generalized transfer equation in a medium with fractal geometry // Phisica status solidi (B) 1986. Vol. 133. P. 425-430.

170. Nishimoto K. Fractional Calculus and Its Applications. Koriyama: Nihon University, 1990. 284 p.

171. Orsinger E., Beghin L. Time-fractional telegraph equations and telegraph processes with brownian time // Probability Theory and Related Fields. 2004. Vol. 128. No. 1. P. 141-160.

172. Orsinger E., Zhao X. The space-fractional telegraph equation and the related fractional telegraph process // Chinese Annals of Mathematics Series B. 2003. Vol. 24. No. 1. P. 45-56.

173. Petrowsky I.G. U ber das Cauchysche Problem fii r Systeme von partielle Differenzialgleichungen. // MaTeM. c6., 1937, 2 (44), 815-870.

174. Podlubny I. Fractional differential equations. N.-Y.: Acad. press, 1999. 340 p.

175. Roman H. E., Alemany P. A. Continuoustime random walks and the fractional diffusion equation, J. Phys. A 27 (1994) P. 3407-3410.

176. Sabatier J., Agrawal O.P., Tenreiro Machado J.A. (eds). Advances in Fractional Calculus: Theoretical Developments and Applications in Physics and Engineering. Springer, Netherlands, 2007.

177. Salakhitdinov M.S., Karimov E.T. On a nonlocal problem with gluing condition of integral form for parabolic-hyperbolic equation with Caputo operator. Reports of the Academy of Sciences of the Republic of Uzbekistan (DAN RUz), No 4, 2014, pp.6-9

178. Salakhitdinov M.S., Karimov E.T. Uniqueness of an inverse source non-local problem for fractional order mixed type equations. Eurasian Math. J., 7:1 (2016), 74?83.

179. Schneider W.R., Wyss W. Fractional diffusion and wave equations// J. Math. Phys. 1989. 30:1. P. 134-144.

180. Schumer R., Benson D.A., Meerschaert M.M., Baeumer B. Multiscaling fractional advection-dispersion equations and their solutions, Water Resources Res. 39 (2003) 1022-1032.

181. Stankovic B. On the function of E. M. Wright // Publications de l'Institut Mathe'matique. 1970. Vol. 10, No 24. P. 113-124.

182. Stojanovic M.N. Well-posendness of diffuzion-wave problem with arbitrary finite number of time fractional derivatives in Sobolev spaces Hs // Fract. Calc. Appl. Anal. 2010. V.13, No 1. P. 21-41.

183. Wyss W. The fractional diffusion equation // J. Math. Phys., 27:11 (1986), P. 2782-2785.

184. Wright E.M. On the coefficients of power series having exponential singularities //J. London Math. Soc. 1933. V. 8. No 29. P. 71-79.

185. Wright E.M. The asymptotic expansion of the generalized Bessel function // Proc. London Math. Soc. Ser. II, 1934. V. 38. P. 257-270.

Публикации автора диссертации в рецензируемых научных изданиях, индексируемых в базах данных Web of Science,

Scopus, RSCI

186. Мамчуев М.О. Краевая задача для системы уравнений с частными производными дробного порядка // Дифференциальные уравнения, 2008. Т. 44, №12. С. 1674-1686.

187. Мамчуев М.О. Фундаментальное решение системы уравнений с частными производными дробного порядка // Дифференциальные уравнения. 2010. Т. 46, № 8. С. 1113-1124.

188. Мамчуев М.О. Задача Коши в нелокальной постановке для системы уравнений с частными производными дробного порядка // Дифференциальные уравнения. 2012. Т. 48, № 3. С. 351-358.

189. Мамчуев М.О. Смешанная задача для нагруженной системы уравнений с производными Римана-Лиувилля // Математические заметки. 2015. Т. 97, вып. 3. С. 428-439.

190. Мамчуев М.О. Фундаментальное решение нагруженного параболического уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами // Дифференциальные уравнения. 2015. Т. 51, № 5. С. 611-620.

191. Мамчуев М.О. Видоизменённая задача Коши для нагруженного параболического уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами // Дифференциальные уравнения. 2015. Т. 51, № 9. С. 1147-1153.

192. Мамчуев М.О. Смешанная задача для системы уравнений с частными производными дробного порядка // Дифференциальные уравнения, 2016. Т. 52, № 1. С. 132-136.

193. Мамчуев М.О. Решения основных краевых задач для нагруженного параболического уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами // Дифференциальные уравнения, 2016. Т. 52, № 6. С. 811-819.

194. Рехвиашвилли С.Ш., Мамчуев М.О., Мамчуев М.О. Модель диффузионно-дрейфового транспорта носителей заряда в слоях с фрактальной структурой // Физика твёрдого тела, 2016. Т. 58, вып. 4. С. 763766.

195. Mamchuev M. O. Solutions of the main boundary value problems for the time-fractional telegraph equation by the Green function method // Fractional Calculus and Applied Analysis, Vol. 20, No 1 (2017), pp. 190-211, DOI: 10.1515/fca-2017-0010.

196. Mamchuev M. O. Boundary value problem for the time-fractional telegraph equation with Caputo derivatives // Mathematical Modelling of Natural Phenomena (Special functions and analysis of PDEs). Vol. 12, No. 3, 2017, pp. 82-94, DOI: 10.1051/mmnp/201712303.

197. Мамчуев М.О. Нелокальная краевая задача для системы уравнений с частными производными дробного порядка // Математические заметки СВФУ. 2019. Т. 26, № 1. С. 23-31. DOI: 10.25587/SVFU.2019.101.27244.

198. Мамчуев М.О. Краевая задача для системы многомерных дифференциальных уравнений дробного порядка // Сибирские электронные математические известия. 2019. Т. 16. С. 732-747. DOI 10.33048/semi.2019.16.049.

199. Mamchuev M.O. Non-local boundary value problem for a system of fractional partial diffrential equations of the type I // AIMS Mathematics, Vol. 5, No 1, 2020, pp. 185-203. DOI:10.3934/math.2020011

200. Мамчуев М.О. О постановке корректных краевых задач для дробного диффузионно-волнового уравнения и одном подходе к их решению // Дифференциальные уравнения, 2020. Т. 56, № 6. С. 768-772. DOI: 10.1134/S0374064120060084.

201. Mamchuev M. Cauchy problem for a linear system of ordinary differential equations of the fractional order // Mathematics. 2020; 8(9): 1475. DOI: 10.3390/math8091475.

Монография

202. Мамчуев М.О. Краевые задачи для уравнений и систем уравнений с частными производными дробного порядка. Нальчик: Изд-во КБНЦ РАН, 2013. 200 с.

Публикации автора диссертации в других изданиях

203. Мамчуев М.О. Краевая задача для системы многомерных дифференциальных уравнений дробного порядка // Вестник СамГУ. Естественнонаучная серия. 2008. № 8/2(67). C. 164-175.

204. Мамчуев М.О. Аналог принципа Зарембы-Жиро для уравнения дробной диффузии с переменными коэффициентами // Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. 2010. Т. 12, № 2. С. 37-40.

205. Мамчуев М.О. Фундаментальное решение уравнения дробной диффузии с переменными коэффициентами // Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. 2011. Т. 13, № 2. С. 33-37.

206. Мамчуев М.О. Общее решение нагруженного параболического уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами // Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. 2012. Т. 14, № 1. С. 46-50.

207. Мамчуев М.О. Видоизмененная задача Коши для нагруженного параболического уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами // Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. 2012. Т. 14, № 2. С. 22-27.

208. Мамчуев М.О. Первая краевая задача для нагруженного параболического уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами // Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. 2012. Т. 14, № 3. С. 24-29.

209. Мамчуев М.О. Задача Коши для уравнения дробной диффузии с переменными коэффициентами // Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. 2013. Т. 15, № 2. С. 48-53.

210. Мамчуев М.О. Общее представление решений дробного телеграфного уравнения// Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. 2014. Т. 16, № 2. С. 47-51.

211. Мамчуев М.О. Необходимые нелокальные условия для диффузионно-волнового уравнения // Вестник СамГУ. Естественнонаучная серия. 2014. № 7(118). С. 45-60.

212. Мамчуев М.О. Краевая задача для линейной системы уравнений с частными производными дробного порядка // Челябинский физико-математический журнал. 2017. Т. 2, вып. 3. С. 295-311.

213. Мамчуев М.О. Задача Коши для системы уравнений с частными производными дробного порядка // Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2018. № 3(23). С. 76-82.

214. Мамчуев М.О. Краевая задача для системы дифференциальных уравнений с частными производными дробного порядка // Известия Кабардино-Балкарского Научного Центра РАН. 2002. № 1 (8). С. 37-42.

215. Мамчуев М.О. Метод матрицы Грина для системы дифференциальных уравнений с частными производными дробного порядка // Доклады

Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. 2002. Т. 6, № 1. С. 18-21.

216. Мамчуев М.О. Краевые задачи для системы дифференциальных уравнений с частными производными дробного порядка в неограниченных областях // Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. 2003. Т. 6, № 2. С. 60-63.

217. Мамчуев М.О. Смешанная задача для системы дифференциальных уравнений с частными производными дробного порядка // Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. 2004. Т. 7, № 1. С. 56-59.

218. Мамчуев М.О. Общее представление решения уравнения диффузии дробного порядка с постоянными коэффициентами в прямоугольной области // Известия Кабардино-Балкарского научного центра РАН. 2004. № 2 (12). С. 116-118

219. Мамчуев М.О. Краевые задачи для уравнения диффузии дробного порядка с постоянными коэффициентами // Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. 2005. Т. 7, № 2. С. 38-45.

220. Мамчуев М.О. Краевая задача для системы уравнений с частными производными дробного порядка // Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. 2006. Т. 8, №2. С. 25-31.

221. Мамчуев М.О. Необходимые нелокальные условия и задача Самарского для диффузионно-волнового уравнения // Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. 2007. Т. 9, № 2. С. 16-19.

222. Мамчуев М.О. Разрешимость нелокальной краевой задачи для диффузионно-волнового уравнения // Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. 2008. Т. 10, № 1. С. 32-34.

223. Мамчуев М.О. Краевая задача для системы уравнений с частными производными дробного порядка в многомерной области // Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. 2008. Т. 10, № 2. С. 2025.

224. Мамчуев М.О. Краевая задача для уравнения первого порядка с частной производной дробного порядка с переменными коэффициентами //

Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. 2009. Т. 11, № 1. С. 32-35.

225. Мамчуев М.О. Задача Коши в нелокальной постановке для уравнения первого порядка с частной производной дробного порядка с переменными коэффициентами // Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. 2009. Т. 11, № 2. С. 21-24.

226. Мамчуев М.О. Нелокальная краевая задача для системы уравнений с частными производными дробного порядка типа I // Известия Кабардино-Балкарского Научного Центра РАН. 2018. № 6 (86). С. 42-47.