Математическое моделирование нелокальных физических процессов в средах с фрактальной структурой тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, доктор физико-математических наук Нахушева, Виктория Адамовна

• Нахушева, Виктория Адамовна
• доктор физико-математических наук
• 2008

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Нахушева, Виктория Адамовна

Введение

Глава I. Фрактальные дифференциальные уравнения состояния и переноса 30 1.1.0 дифференциальных уравнениях состояния дробного порядка в сплошных средах.

1.2. Об одном интегральном представлении решений уравнения состояния Барретта

1.3. О модельных уравнениях переноса в средах с памятью

1.4. Уравнение неразрывности в средах с фрактальной структурой и обобщенное уравнение переноса дробного порядка.

1.5. Об эквивалентности уравнений субдиффузии и диффузии дробного порядка.

1.6. О классе фрактальных уравнений с частными производными и математических моделях диффузионного переноса

Глава II. Качественные свойства базовых дифференциальных уравнений математических моделей фрактальных процес

2.1. Задача Лыкова и качественные свойства ее решения.

2.2. Принцип экстремума для фрактальных уравнений параболического типа

2.3. Принцип экстремума для фрактального уравнения эллиптического типа

2.4. Видоизмененные: задачи Коши и Дирихле для уравнения Барретта.

2.5. Смешанная задача для фрактального волнового уравнения

2.6. Энергетическая оценка для многомерного фрактального оператора диффузии.

2.7. Смешанные краевые задачи для модельного гиперболо-параболического уравнения.

2.8. Структурные и качественные свойства решений дробного осцилляционного уравнения и фрактальных тригонометрических функций.

2.9. Об уравнении фрактального осциллятора.

2.10. Обобщенное уравнение одномерной фильтрации в средах с фрактальной структурой

2.11. Качественные и структурные свойства фрактальных моделей адиабатического процесса . . . . •.

Глава III. Модельные уравнения переноса в средах с фрактальной структурой и обобщенные законы Кольрауша-Уиль-ямса-Уоттса

3.1. Модельные уравнения переноса в средах с фрактальной структурой

3.2. Обобщенные законы Кольрауша-Уильямса-Уоттса

3.3. К проблеме корректного выбора уравнения состояния вещества

3.4. Об одном классе уравнений состояния вещества.

3.5. Математическая модель распределения плотности при детонации взрывчатых веществ с помощью синхротронного излучения

3.6. Об одном классе реологических уравнений состояния.

Глава IV. Математическая модель теплообмена в составной среде с идеальным контактом

4.1. Построение математической модели.

4.2. Условия линейного сопряжения.

4.3. Постановка краевых задач для смешанного типа уравнения теплопроводности с нелокальным условием сопряжения

4.4. Качественный анализ модельного варианта смешанной краевой задачи с нелокальным условием сопряжения.

4.5. Алгоритм редукции задачи о распределении температуры в ^ точке идеального контакта к смешанной задаче с нелокальным условием линейного сопряжения.

4.6. О фундаментальном соотношении между температурой и ее градиентом в точке идеального контакта в случае обобщенного закона Фурье.

4.7. Фундаментальное соотношение между температурой и ее градиентом в точке идеального контакта в случае закона Фурье

4.8. Анализ фундаментальных соотношений между температурой и ее градиентом в точке идеального контакта составной системы

4.9. Об одной математической модели переноса тепла в почве

Глава V. О линейных уравнениях смешанного типа, моделирующих тепловые процессы, протекающие в режимах с обостре

5.1. Линеаризация нелинейного уравнения теплопроводности с нелокальным условием Самарского.

5.2. Замыкающие соотношения для смешанного типа уравнений теплопроводности первого и второго рода.

5.3. Критерии ограниченности функции Трикоми для уравнения

Лаврентьева-Бицадзе в угловых точках области его задания

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое моделирование нелокальных физических процессов в средах с фрактальной структурой»

Диссертация посвящена разработке фундаментальных основ математического моделирования нелокальных процессов тепло- и массопереноса в средах с фрактальной структурой - в сложных системах, моделируемых фракталами; исследованию начальных и смешанных краевых задач для основных типов локальных и нелокальных дифференциальных уравнений состояния и переноса; различным и существенно новым обобщениям весьма важного в физике фракталов закона Кольрауша-Уильямса-Уоттса; развитию и разработке качественных и приближенных аналитических методов исследования математических моделей тепломассообмена в составных средах, решения задачи определения распределения плотности при детонации взрывчатых веществ с помощью синхротронного излучения; качественному анализу линейных уравнений смешанного типа, моделирующих экстремальные процессы, протекающие в режимах с обострением.

Необходимость разработки новых математических методов и высокоэффективных вычислительных алгоритмов востребовали проблемы моделирования нелокальных процессов и явлений фрактальной природы и, в первую очередь, процессы тепломассообмена в средах с фрактальной организацией и памятью [71], аномального переноса частиц с конечной скоростью свободного движения [117], [128], [135]. В частности, изучение свойств капиллярно-пористых сред, обладающих фрактальной структурой, требует разработки новых математических технологий, решений ряда фундаментальных проблем, которые практически не поддаются теоретическому исследованию стандартными методами статистической физики [54]. Эти проблемы приводят к принципиально новым начальным, краевым и смешанным задачам для фрактальных дифференциальных уравнений и уравнений смешанного типа первого и второго рода. В частности, адекватным аппаратом аналитического описания аномальной диффузии, обнаруженной в широком разнообразии физических процессов, служат нагруженные дифференциальные уравнения, содержащие частные производные дробного порядка, а в случае отсутствия диффузии через фрактальную границу двух сред, где эффективный коэффициент диффузии идеальных молекул обращается в нуль (см. [1]), роль такого математического аппарата может сыграть уравнение параболического типа со знакопеременной характеристической формой [70, с. 56].

Необходимость проведения фундаментальных исследований по теме диссертационной работы стала очевидной, после того как выяснилось, что понятие фрактала становится одной из парадигм современной фундаментальной и экспериментальной физики, радиофизики и радиолокации, а дробное исчисление - математической основой физики фракталов, геотермии и космической электродинамики [21], [51], [69], [93], [99].

Работа выполнена по основному направлению научной деятельности Института прикладной математики и автоматизации КБНЦ РАН "Математическое моделирование нелокальных экстремальных процессов в системах с фрактальной структурой и памятью", которое утверждено Постановлением Президиума РАН № 227 от 27.06.2006 г.

Актуальность темы диссертационной работы подтверждают и многочисленные публикации отечественных и зарубежных авторов, среди которых следует отметить: работы B.JI. Кобелева, O.A. Кобелева, Я.Л. Кобелева, Л.Я.Кобелева, Е.П.Романова [32]—[38], [106], посвященные фрактальной диффузии; аналитический обзор Л.М. Зеленого и A.B. Милованова [21] по актуальным проблемам фрактальной топологии и обратной кинетики (от теории перколяции к проблеме космической электродинамики); работы Р.П. Мейланова [54]—[56] и P.P. Нигматуллина [93], [94], [95]; монографии А.А.Потапова с библиографическим списком в 1017 наименований [99], A.B. Псху [101] и Л.И. Сербиной [116]; исследования С.Ш. Рехвиашвили [105], Р.Т. Сибатова, В.В.Учайкина [117] по фрактальному переносу в токопро-водящих полимерах и неупорядоченных полупроводниках.

На актуальность разработки численных методов решения уравнений диффузии дробного порядка обращено внимание в работах К.В. Oldham, J. Spanier [156], R. Gorenfio [151], B.M. Головизнина, В.П. Киселева, И.А. Ко-роткина, Ю.И.Юркова [8], [9] и М.Х. Шханукова [139].

Об интенсивности исследований в области фрактальной диффузии свидетельствует и тот факт, что на запрос "Fractal AND diffusion" в Научной Электронной Библиотеке (http://elibrary.ru) найдено 5282 работы.

На востребованность использования концепции фрактала в физике . конденсированной среды и на то, что анализ интегро-дифференциальных уравнений в частных производных дробного порядка представляет весьма трудную задачу, обращено внимание в работе А.И. Олемского, А.Я. Флата, опубликованной в 1993 г. в журнале "Успехи физических наук" [96].

Основной целью диссертации является разработка новых качественных и приближенных аналитических методов и алгоритмов моделирования и исследования нелокальных физических процессов и их математических моделей, которые задаются как локальными, так и нелокальными дифференциальными операторами, связывающими значения интенсивных переменных в различных точках пространства-времени.

Для достижения основной цели используются: основные принципы метода математического моделирования и вычислительного эксперимента как двуединого процесса создания моделей и их исследования средствами математических наук; концепции фрактальной геометрии и дробного исчисления; метод энергетических оценок и интегральных уравнений; принцип Зарембы-Жиро и принцип экстремума для оператора дробного дифференцирования; качественные свойства специальных функций и функции Миттаг-Леффлера; метод Фурье и метод функции Грина; методы теории нагруженных дифференциальных уравнений и уравнений с частными производными смешанного типа, разработанные и развитые в известных исследованиях Ф. Трикоми [124], A.B. Бицадзе [5], М.С. Салахитдинова [110], [111], Т.Д. Джураева [13], A.M. Нахушева [70], Е.И. Моисеева [58], Т.Ш. Кальменова [29], М.Т. Дженалиева [12], В.А. Елеева [15], А.Н. Зарубина [18], [19], JI.C. Пулькиной [102], O.A. Репина [104], К.Б. Сабитова [108], Л.И. Сербиной [116], М.М. Хачева [134].

В диссертации впервые разработаны следующие, выносимые на защиту, существенно новые теоретические положения, совокупность которых можно квалифицировать как новое крупное достижение в области математического моделирования:

1. Исследован широкий класс фрактальных дифференциальных уравнений состояния сплошных сред и нелокальное волновое уравнение с дробной производной по времени, найдено эффективное интегральное представление решения уравнения состояния Барретта через давление и функцию типа Миттаг-Леффлера;

2. Доказана теорема эквивалентности уравнений субдиффузии и диффузии дробного порядка и установлена связь уравнений микротурбулентной аномальной диффузии с базовыми нагруженными дифференциальными уравнениями математических моделей эридитарных явлений;

3. Разработан конструктивный алгоритм решения смешанной начально-краевой задачи для уравнения Бицадзе-Лыкова, обнаружено экстремальное свойство потока влаги в коллоидном капиллярно-пористом теле и доказан принцип экстремума для широкого класса фрактальных уравнений с частными производными параболического и эллиптического типов;

4. В локальной постановке сформулированы задача Коши, задача Дирихле и начально-краевые задачи для дифференциального уравнения Бар-ретта, фрактального волнового уравнения и эталонного уравнения смешанного типа с нелокальным условием Самарского и предложены эффективные аналитические методы их решения, получена энергетическая оценка для многомерного оператора диффузии дробного порядка, из которой следует единственность решения первой краевой задачи в видоизмененной постановке;

5. Исследованы структурные и качественные свойства решений дробного осцилляционного уравнения, обобщенного уравнения фильтрации в средах с фрактальной структурой, фрактальных тригонометрических функций, обобщенной функции релаксации, фрактальных моделей адиабатического и диффузионно-релаксационных процессов; найден новый подход к решению проблемы корректного выбора уравнения состояния вещества при высоких давлениях, позволивший найти и описать трехпараметриче-ский класс масштабных дифференциальных уравнений дробного порядка, включающий уравнение состояния хладона Ш34а;

6. Предложены аналитический и вычислительный алгоритмы определения распределения плотности при детонации взрывчатых веществ с помощью синхротронного излучения;

7. Реализована корректная постановка краевых задач для смешанного типа уравнения теплопроводности, найдено фундаментальное соотношение между температурой и ее градиентом в точке идеального контакта составных сред;

8. Решена проблема эффективной линеаризации основополагающих уравнений теории режимов с обострением, установлено, что базовыми уравнениями математических моделей широких классов физических процессов являются линейные локальные и фрактальные дифференциальные уравнения смешанного типа первого и второго рода.

Основные научные результаты научно-квалификационной работы имеют теоретическую ценность и могут найти применение в развитии фундаментальных основ математического моделирования фрактальных объектов и наносистем, странных процессов переноса и процессов, протекающих в режимах с обострением, теории нагруженных дифференциальных уравнений [12]. Практическую ценность, наряду с теоретической, будут иметь полученные в диссертации обобщенный закон движения границы раздела фаз (§ 1.6), обобщенный закон Пуассона (§ 2.1), обобщенные законы Кольрауша-Уильямса-Уоттса (§3.2) и уравнение состояния хладона Ш34а (§3.4).

В "Отчете о деятельности Российской академии наук" в 1996 году исследование класса дифференциальных уравнений состояния и переноса в системах с памятью отмечено как важнейший результат в области естественных наук (раздел прикладная математика, информатика, математическое моделирование, информационные системы), а в отчете РАН в 2006 году как основной результат названы построение и исследование существенно новых и разного уровня прогностической значимости математических моделей нелокальных процессов тепло- и массопереноса, протекающих в сплошных средах с памятью и в средах, имеющих пространственную и временную фрактальную организацию, выявление фундаментальных соотношений между температурой и ее градиентом в точке идеального контакта составной системы в случае одномерного уравнения теплопроводности смешанного типа.

Достоверность результатов диссертации и адекватность математических моделей обеспечиваются строгими математическими доказательствами, вычислительными экспериментами и в отдельных случаях предельными переходами к эталонным вариантам, сравнением с данными экспериментов и натурных наблюдений.

Выносимые на защиту научные результаты были предметом обсуждения на заседаниях научно-исследовательского семинара и итоговых заседаниях Ученого совета Института прикладной математики и автоматизации КБНЦ РАН и прошли апробацию на следующих научных мероприятиях:

1. XIV Международная конференция «Воздействие интенсивных потоков энергии на вещество». Терскол, РФ, 1992 г.

2. Международная конференция «Аналитические методы анализа и дифференциальных уравнений», АМАБЕ. Минск, Беларусь, 1999 г.

3. XVI Международная конференция «Воздействие интенсивных потоков энергии на вещество». Черноголовка-Эльбрус, РФ, 2001 г.

4. Вторая международная конференция «Нелокальные краевые задачи и родственные проблемы математической биологии, информатики и физики», Нальчик, РФ, 2001 г.

5. XVIII Международная конференция «Физика экстремальных состояний вещества», Черноголовка-Эльбрус, РФ, 2003 г.

6. Международный Российско-Узбекский симпозиум «Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики». Нальчик-Эльбрус, РФ, 2003 г.

7. Международный Российско-Казахский симпозиум «Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики». Нальчик-Эльбрус, РФ, 2004 г.

8. XIX Международная конференция «Уравнения состояния вещества». Эльбрус, РФ, 2004 г.

9. III Международная конференция «Нелокальные краевые задачи и родственные проблемы математической биологии, информатики и физики», Нальчик, РФ, 2006 г.

10. Международная конференция «Дифференциальные уравнения, теория функций и приложения», посвященная 100-летию со дня рождения академика Ильи Несторовича Векуа. Новосибирск, РФ, 2007 г.

В диссертацию вошли результаты, полученные автором как одним из исполнителей проектов 00-01-00311-а «Исследование класса задаваемых дифференциальными операторами дробного порядка математических моделей тепло-массопереноса в средах с фрактальной структурой» (20002002 гг.), 03-01-96728-р2003юга «Разработка математических моделей автоматизированного мониторинга экологического состояния предгорных территорий и мероприятий по предотвращению или уменьшению до средних величин катастрофических последствий» (2003-2005 гг.), 06-01-96625-рюга «Математические основы моделирования во фрактальных средах и их приложение к описанию физических, природных и социально-биологических систем» (2006-2008 гг.) и как руководителем проекта «Исследование краевых задач со смещением для канонических уравнений смешанного типа и их приложения к математическому моделированию энергои массообмена в составных средах с фрактальной структурой» (2006-2008 гг.), поддержанных Российским фондом фундаментальных исследований.

Основные научные результаты диссертации опубликованы в монографии [71] и в работах автора [72]-[91]. Отдельные результаты диссертанта, изложенные в параграфах 1.1, 2.5, 2.8, 2.9, включены в книгу [69] (см. §§5.8, 5.13, 5.20, 5.21). Результаты пятой главы, оформленные в виде трех лекций, внедрены соискателем в учебный процесс Пятой Школы молодых ученых «Нелокальные краевые задачи и проблемы современного анализа и информатики» [53, с. 169].

Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы, содержащего 157 наименований.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Нахушева, Виктория Адамовна

Заключение

Итак, в диссертации получен ряд ключевых научных результатов, являющихся основополагающими в качественно новом и интенсивно развивающемся научном направлении: «Математическое моделирование нелокальных физических процессов и явлений в средах с фрактальной структурой и памятью». Эти результаты приведены во введении и они могут сыграть позитивную роль не только в названных в диссертации вопросах математического моделирования, разработки двумерных схем расщепления для вырождающихся эллиптических уравнений и уравнений параболического типа [121], но и при решении проблем моделирования массопереноса электрическим полем в многокомпонентных химически активных средах, интерпретируемых как системы с фрактальной организацией, когда диффузионные процессы на заключительных этапах эволюции (см. [17]) оказываются существенными. Математической основой научного направления являются дробное исчисление и теория нелокальных дифференциальных уравнений, в особенности нагруженных уравнений, содержащих операции дробного (в смысле Римана-Лиувилля) интегро-дифференцирования, которые автор называет фрактальными дифференциальными уравнениями.

Разработанные в диссертации новые математические модели фрактальных процессов являются универсальными, решения базовых фрактальных дифференциальных уравнений допускают различные физико-биологические интерпретации, и их анализ может привести к новым законам, адекватно действующим в той или иной области. Рассмотрим, например, простейшее, но вместе с тем важное дифференциальное уравнение дробного порядка со спектральным параметром Л: ЛN{x)t 0 < ж < ж*. (1)

Согласно теореме 2.4.1 общее решение уравнения (1) при 0 < ß < 1 пред-ставимо в виде где aß = lim Dq^N^) - произвольная постоянная. Если ввести функцию х—»0

Ехр/3(Л;ж) = ж^-1 ехр^(Лж/3), то любое решение N(x) уравнения (1) определяется формулой

N(x) = aßExpß{X-x). (2)

Функция Ехр/3(1;ж) = Ехр^(ж) = ехр/3(ж/3), которая при /5 = 1 совпадает с ехр ж, является решением уравнения DqxN(£) = N(ж). Поэто-. му дифференциальное уравнение (1) порядка ß е]0,1[ представляют собой обобщенный экспоненциальный закон развития системы «вход-выход» с входным объектом ж €=]0, ж*] и выходным объектом N{x) 6 С]0, ж*]ПЬ[0, ж*]. Его по аналогии с уравнением показательного (экспоненциального) роста: N'(x) = \N{ж) можно назвать фрактальным уравнением обобщенного экспоненциального роста (или развития).

Из формулы (2) при А = 0, /? = 1 — а получаем степенной закон распределения вероятностей при статистическом описании катастроф и стихийных бедствий

N(x) = aß х~а, где N(x) - число бедствий, в которых число погибших больше некоторой величины ж [59], [60].

Как продемонстрировано в диссертационной работе, при описании процессов, протекающих в средах с фрактальной организацией и памятью, важную роль может сыграть и другое обобщение классического уравнения показательного роста, когда вместо уравнения (1) берется уравнение düxN(£) = \N(x): 0 < ß <1, 0 < х < х*, (3) которое эквивалентно нагруженному дифференциальному уравнению (см. § 2.8): DgtN{£) = XN(x) + N(0)x~ß/T(l - ß), 0 < ж < ж,.

Единственное решение N(x) задачи Коши N(0) = Nq для уравнения (3) задается формулой

N(x) — NoEß(Xx^), (4) где Eß(z) = Ei/ß(z] 1) - функция Миттаг-Леффлера.

Обобщенной экспоненциальной функцией можно назвать и функцию

ОО ßfc

Exp^z) = Eß(J) = £ r{1X+ßky х > О- (5) к—0

Функция (4) при Щ = 1, А = 1 совпадает с функцией (5). Легко видеть, что = Ехр^я), &ЕхрР(х) = ЕхрДж).

Когда А = — , формула (4) записывается в виде

N(x) = ЩЕхр13 (—сох). (6)

Формула (6) может быть интерпретирована как обобщенный закон радиоактивного распада, если х = t - время, Щ - число ядер в начальный момент времени t = 0, N(t) - число ядер, не распавшихся по прошествии времени t, ш13 - постоянная распада.

В заключение хочу выразить искреннюю признательность редактору моей монографии [71], заслуженному деятелю науки РФ, д.ф.-м.н. А.П. Солдатову и ее рецензентам докторам физ.-мат. наук А.И. Сухинову и А.И. Темрокову за высокую оценку моих научных результатов.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Нахушева, Виктория Адамовна, 2008 год

1. Андреев Г.Б., Максименко В.В. Отсутствие диффузии через фрактальную границу двух сред // Теоретическая и математическая физика. 2001. - Т. 128, № 2. - С. 309-320.

2. Агеев М.И., Алик В.П., Марков Ю.И. Библиотека алгоритмов 5161006, в.2. М.: Сов. радио, 1976.

3. Бабенко Ю.И. Тепломассообмен. Метод расчета тепловых и диффузионных потоков. JL: Химия, 1986. - 144 с.

4. Бегли Р.Л., Торвик П.Дж. Дифференциальное исчисление, основанное на производных дробного порядка новый подход к расчету конструкций с вязкоупругим демпфированием // Аэрокосмическая техника. - 1984. - Т. 2, №2. - С. 84-93.

5. Бицадзе A.B. Некоторые классы уравнений в частных производных. М.: Наука, 1981. - 448 с.

6. Бурчаков A.C., Мустелъ П.И., Ушаков К.З. Рудничная аэрология. -М.: Недра, 1971. 376 с.

7. Виноградов М.Б., Руденко О.В., Сухарков А.П. Теория волн. М.: Наука, 1979. - 282 с.

8. Головизнин В.М., Киселев В.П., Короткий И.А., Юрков Ю.И. Некоторые особенности вычислительных алгоритмов для уравнений дробной диффузии. М.: ИБРАЭ, 2002. - 57 с.

9. Головизнин В.М., Короткий И.А. Методы численного решения некоторых одномерных уравнений с дробными производными // Дифферент уравнения. 2006. - Т42, №7. - С. 907-913.

10. Гурса Э. Курс математического анализа. Т III, ч. 1. M.-JL: ГТТИ, 1933. - 276 с.

11. Джрбашян М.М. Интегральные преобразования и представления функций в комплексной области. М.: Наука, 1966. - 677 с.

12. Дженалиев М. Т. К теории линейных краевых задач для нагруженных дифференциальных уравнений. Алматы: Компьютерный центр ИТ-ПМ, 1995. - 270 с.

13. Джураев Т.Д. Краевые задачи для уравнений смешанного и смешанно-составного типов. Ташкент: ФАН, 1979. 238 с.

14. Джураев Т.Д., Сопуев А., Мамажанов М. Краевые задачи для уравнений параболо-гиперболического типа. Ташкент: ФАН, 1986. 220 с.

15. Елеев В.А. О некоторых задачах со смещением для одного уравнения смешанного параболо-гиперболического типа // Дифференц. уравнения. 1978. Т. 14. №1. С. 22-29.

16. Жарков В.Н., Калинин В.А. Уравнения состояния твердых тел при высоких давлениях и температурах. М.: Наука, 1968. - 311 с.

17. Жуков М.Ю. Математическое моделирование массопереноса электрическим полем в многокомпонентных химически активных средах. Автореферат дис. . уч. степени д.ф.-м.н. Ростов-на-Дону, 2006. 31 с.

18. Зарубин А.Н. Задача Коши для дифференциально-разностного нелокального волнового уравнения // Дифференц. уравнения. 2005. -Т. 41, № 10. - С. 1406-1409.

19. Зарубин А.Н. Прямая и обратная задача для дифференциально-разностного уравнения диффузии // Дифференц. уравнения. 2006. - Т. 42, № 10. - С. 1431-1433.

20. Заславский Т.М., Авдеев Р.З. Введение в нелинейную физику от маятника до турбулентности и хаоса. М.: Наука, 1988.

21. Зеленый Л.М., Милованов A.B. Фрактальная топология и странная кинетика: от теории перколяции к проблемам кинетической электродинамики // УФН. 2004. - Т. 174, №8. - С. 809-850.

22. Золина A.A. О краевой задаче для модельного уравнения гиперболо-параболического типа // ЖВМ и МФ. 1966. - Т. 6. № 6. - С. 991-1001.

23. Ильин В.А., Садовничий В.А., Сеидов Б.Х. Математический анализ.- М.: Наука, 1979.-720 с.

24. Ионкин Н.И. Решение одной краевой задачи теории теплопроводности с неклассическим краевым условием // Дифференц. уравнения. 1977. -Т. 13, №2. С.294-304.

25. Ионкин Н.И., Моисеев Е.И. О задаче для уравнения теплопроводности с двуточечными краевыми условиями // Дифференц. уравнения.- 1979.-Т. 15, №7. С. 1287-1295.

26. Кальменов Т.Ш. Критерий единственности решения задачи Дарбу для одного вырождающегося гиперболического уравнения // Дифференц. уравнения. 1971. - Т. 7, № 1. - С. 178-181.

27. Кальменов Т.Ш. Критерий непрерывности решения задачи Гурса для одного вырождающегося уравнения // Дифференц. уравнения. 1972. -Т.8, №1. -С.41-54.

28. Кальменов Т.Ш. О характеристической задаче Коши для одного класса вырождающихся гиперболических уравнений // Дифференц. уравнения. 1973. - Т. 9, № 1. - С. 84-96.

29. Калъменов Т.Ш. Краевые задачи для линейных уравнений в частных производных гиперболического типа. Шымкент, Гылая, 1993. 328 с.

30. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. СПб.: Лань, 2003. - 576 с.

31. Капель Г. И., Разоренов С. В., Уткин А. В., Фортов В. Е. Ударно-волновые явления в конденсированных средах. М.: Янус-К, 1996. -408 с.

32. Кобелев В. Л., Кобелева О. Л., Кобелев Я. Л., Кобелев Л. Я. О диффузии через фрактальную поверхность // ДАН. 1997. - Т. 355, №3. -С. 326-327.

33. Кобелев В. Л., Романов Е.П., Кобелев Л. Я., Кобелев Я. Л. О фрактальной диффузии к вращающемуся диску // ДАН. 1998. - Т. 362, №2. - С. 184-186.

34. Кобелев В. Л., Романов Е.П., Кобелев Я. Л., Кобелев Л. Я. Недеба-евская релаксация и диффузия в фрактальном пространстве // ДАН.- 1998. Т. 361, №6. - С. 755-758.

35. Кобелев Я. Л., Кобелев Л. Я., Романов Е. П. Автоволновые процессы при нелинейной фрактальной диффузии // ДАН. 1999. Т. 369, № 3.- С. 332-333.

36. Кобелев Л. Я., Романов Е. П. Фрактальная размерность поверхности как параметр порядка // ДАН. 2000. Т. 370, №6. - С. 757-759.

37. Кобелев Л. Я., Романов Е. П. Кинетические уравнения для больших систем с фрактальными структурами // ДАН. 2000. Т. 372, №2. -С. 177-180.

38. Кобелев Я. Л., Кобелев Л. Я., Климентъева Ю. Л. // Доклады РАН.- 2003. Т. 390, №5. - С. 605-609.

39. Колмогоров А. Н. Новый метрический инвариант транзитивных динамических систем и автоморфизмов пространств Лебега // ДАН СССР.- 1958. Т. 119, № 5. - С. 861-864.

40. Кормер C.B., Урлин В.Д. Об интерполяционных уравнениях состояния металлов для областей сверхвысоких давлений // ДАН СССР. -1960. Т. 131, m 3. - С. 542-545.

41. Кормер С.Б., Урлин В.Д., Попова Л. Т. Интерполяционное уравнение состояния и его приложение к описанию экспериментальных данных по ударному сжатию металлов // Физика твердого тела. 1961. - Т. 3, в. 7. - С. 2132-2140.

42. Кочубей А.Н. Задача Коши для эволюционных уравнений дробного порядка // Дифференц. уравнения. 1989. - Т. 25, № 8. - С. 1359-1368.

43. Кочубей А.Н. Диффузия дробного порядка // Дифференц. уравнения.- 1990. Т. 26, №4. С. 660-670.

44. Кратцер А., Франц В. Трансцендентные функции. М.: Иностранная литература, 1963. - 466 с.

45. Кроновер P.M. Фракталы и хаос в динамических системах. М.: Техносфера, 2006. - 488 с.

46. Курдюмов С.П., Куркина Е.С. Тепловые структуры в среде с нелинейной теплопроводностью // Нелинейный мир. 2005. - Т. 3, №5-6.

47. Лебедев H.H. Специальные функции. M.-JL: Физматлит, 1963. 458 с.

48. Лыков A.B. // Инженерно-физический журнал. 1963. - Т. 9, №3.

49. Лыков A.B. Применение методов термодинамики необратимых процессов к исследованию тепло- и массообмена // Инженерно-физический журнал. 1965. - Т. 9, Ns 1.

50. Лыков A.B. Тепломассообмен. М.: Энергия, 1971. - 560с.

51. Магомедов K.M. Теоретические основы геотермии. М.: Наука, 2001. - 277 с.

52. Максюта Н. В. Использование дифференциальных уравнений в дробных производных в теории каналорования заряженных частиц в кристаллах. Поверхность: рентгеновские, синхронные и нейтронные исследования. 2001. К0- 5. - С. 45-47.

53. Материалы V Школы молодых ученых «Нелокальные краевые задачи и проблемы современного анализа и информатики». Нальчик-Эльбрус, сентябрь 2007 г. 170 с.

54. Мейланов Р. П. К теории фильтрации в пористых средах с фрактальной структурой // Письма в ЖТФ. 1996. - Вып. 23. Т. 22.

55. Мейланов Р.П. Обобщенные уравнения одномерной фильтрации с дифференцированиями дробной степени // Инженерно-физический журнал. 2001. Т. 74, № 2. С. 34-37.

56. Мейланов Р.П., Янполов М.С. Особенности фазовой траектории "фрактального" осциллятора // Письма в ЖТФ. 2002.- Вып. 1. Т. 28.

57. Мизес Р. Математическая теория течения сжимаемой жидкости. М.: ИЛ, 1961. - 588 с.

58. Моисеев Е.И. Уравнения смешанного типа со спектральными параметрами. М.: Изд-во МГУ, 1988. - 150 с.

59. Найденов В.И., Кожевникова И.А. О степенном законе катастрофических наводнений // Доклады АН. Механика. 2002. - №3.

60. Найденов В.И., Кожевникова H.A. Закон катастрофических наводнений // Вестник РАН. 2005. - Т. 75, № 1. - С. 46-55.

61. Нахушев A.M. Задача Штурма-Лиувилля для дифференциального уравнения второго порядка с дробными производными в младших членах // ДАН СССР. 1977. - Т. 234, № 2. - С. 308-311.

62. Нахушев A.M. Об уравнениях состояния непрерывных одномерных систем и их приложениях. Нальчик: Логос, 1995. - 50 с.

63. Нахушев A.M. Уравнения математической биологии. М.: Высш. шк., 1995.- 301с.

64. Нахушев A.M. Критерий единственности решения задачи Дарбу для одного вырождающегося гиперболического уравнения влагопереноса // Дифференц. уравнения. 1980 - Т. 16, №9.

65. Нахушев A.M. О непрерывных дифференциальных уравнениях и их разностных аналогах // ДАН СССР. 1988. Т. 300, №4.

66. Нахушев A.M. Об одном классе линейных краевых задач для гиперболического и смешанного типов уравнений второго порядка. Нальчик: Эльбрус, 1992. - 155 с.

67. Нахушев A.M. Математические модели вязкоупругого тела // Известия вузов. Северо-Кавказский регион. Естественные науки. 2000. -№3.-С. 107-109.

68. Нахушев A.M. Математические методы в исторических исследованиях. Нальчик: КБГУ. - 1987. - 56 с.

69. Нахушев A.M. Дробное исчисление и его применение. М.: ФИЗМАТ-ЛИТ, 2003. - 272 с.

70. Нахушев A.M. Задачи со смещением для уравнений в частных производных. М.: Наука, 2006. - 287с.

71. Нахушева В.А. Дифференциальные уравнения математических моделей нелокальных процессов. М.: Наука, 2006. - 173 с.

72. Нахушева В.А. Об одной математической модели теплообмена в смешанной среде с идеальным контактом // Вестник Самарского государственного технического университета. Вып. 42. Сер. ФМН. - 2006. -С. 11-34.

73. Нахушева В.А. Критерии ограниченности следа производной решения задачи Трикоми для уравнения Лаврентьева-Бицадзе в угловых точках области его задания // Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. 2006. - Т. 8, №2. - С. 139-143.

74. Нахушева В.А. О базовых уравнениях математических моделей тепловых процессов, протекающих в режимах с обострением // Доклады Адыгской (Черкесской) международной академии наук. 2007. - Т. 9, № 1. - С. 139-143.

75. Нахушева В.А. О линейных смешанного типа уравнениях теплопроводности, моделирующих тепловые процессы, протекающие в режимах с обострением // Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. 2007. - Т. 9, № 2. - С. 78-92.

76. Нахушева В.А. Об определении распределения плотности при детонации взрывчатых веществ с помощью синхротронного излучения // Математическое моделирование. 2005. - Т. 17, №7. - С. 53-58.

77. Нахушева В.А. Некоторые классы дифференциальных уравнений математических моделей нелокальных физических процессов. Нальчик: Изд-во КБНЦ РАН, 2002. - 100 с.

78. Нахушева В.А. Принцип экстремума для нелокального параболического уравнения и смешанная задача для обобщенного волнового уравнения // Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. 1996. - Т. 2, № 1. - С. 26-28.

79. Нахушева В.А. Об одной задаче A.B. Лыкова и конструктивной формуле ее решения // Известия КБНЦ РАН. 1998. - Т. 1, № 1. - С. 48-53.

80. Нахушева В.А. Смешанные краевые задачи для гиперболо-параболического уравнения // Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. 1998. - Т. 3, №2. - С. 12-15.

81. Нахушева В.А. О некоторых математических моделях диффузионного переноса вещества в средах с фрактальной структурой // Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. 2003. - Т. 6, №2. -С. 115-118.

82. Нахушева В.А. Об одной задаче определения распределения плотности при детонации взрывчатых веществ с помощью синхротронногоизлучения // Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. 2004. - Т. 7, № 1. - С. 124-128.

83. Нахушева В.А. Об одном классе уравнений состояния вещества // Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. -2005. Т. 7, № 2. - С. 101-108.

84. Нахушева В.А. Об одной математической модели процессов переноса // Материалы Международного Российско-Узбекского симпозиума "Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики". Нальчик-Эльбрус, 2003. С. 142-144.

85. Нахушева В.А. Об одной математической модели нестационарной теплопроводности // Материалы Международного Российско-Казахского симпозиума "Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики". Нальчик-Эльбрус, 2004. С. 259-262.

86. Нахушева В.А. Об одном классе уравнений состояния вещества. Сборник трудов XX международной конференции "Физика экстремальных состояний вещества 2005". Черноголовка-2005. С. 137-139.

87. Нахушева В.А. Об одной математической модели переноса тепла в почве // Материалы III Международной конференции "Нелокальные краевые задачи и родственные проблемы математической биологии, информатики и физики". Нальчик, 2006. С. 208-209.

88. Нахушева В. А. Об одном классе уравнений состояния вещества. Тезисы XX международной конференции "Воздействие интенсивных потоков энергии на вещество". Эльбрус-2005. С. 114.

89. Нахушева З.А. Задача Трикоми для уравнения Лаврентьева-Бицадзе с нелокальным условием сопряжения // Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. 2004. - Т. 7, № 1. - С. 66-74.

90. Нигматуллин P.P. The Realization of the Generalized Transfer Equation in a Medium with Fractal Geometry. Phys. Status Solldi. B. 1986. V. 133, №11. P. 425-430.

91. Нигматулин P.P. Дробный интеграл и его физическая интерпретация // Теоретическая и математическая физика. 1992. - Т. 90, № 3. -С. 354-368.

92. Олемской А.И. Флат А.Я. Использование концепции фрактала в физике конденсированной среды // УФН. 1993. - Т. 163, № 12. - С. 1-43.

93. Полубарипова-Кочина П. Я. Теория движения грунтовых вод. М.: Наука, 1977.

94. Попов А.Ю. О количестве вещественных собственных значений одной краевой задачи для уравнения второго порядка с дробной производной // Фундаментальная и прикладная математика. 2006. - Т. 12, № 6. -С. 137-155.

95. Потапов A.A. Фракталы в радиофизике и радиолокации: Топология выборки. М.: Университетская книга, 2005. - 848 с.

96. Псху A.B. О вещественных нулях функции типа Миттаг-Леффлера // Мат. заметки. 2005. - Т. 77, №4. - С. 592-599.

97. Псху A.B. Уравнения в частных производных дробного порядка. М.: Наука, 2005. - 199 с.

98. Пулькина Л. С. Нелокальная задача с интегральными условиями для гиперболического уравнения // Дифференц. уравнения. 2004. Т. 40. №7. С. 837-892.

99. Работное Ю.Н. Элементы наследственной механики твердых тел. -М.: Наука, 1977.

100. Репин O.A. Краевые задачи со смещением для уравнений гиперболического и смешанного типов. Самара: Саратовский университет, Самарский филиал, 1992.-161 с.

101. Рехвиашвили С.Ш. Нестационарная электропроводность полимеров в модели с дробным интегродифференцированием // Физика твердого тела. 2007. - Т. 49, вып. 8. - С. 1522-1526.

102. Романов Е. П. Влияние фрактальных характеристик поверхности твердых электролитов на температурную зависимость элемента постоянной фазы // ДАН. 2000. - Т. 374, №2. - С. 180-183.

103. Сабитов К. Б. О принципе максимума для уравнений смешанного типа // Дифференц. уравнения. 1988. - Т. 24, № 11. - С. 1967-1976.

104. Сабитов К.Б. Уравнения математической физики. М.: Высшая школа, 2003. - 255 с.

105. Саичев А.И., Уткин С.Г. Асимптотические законы супердиффузии // ЖТФ. 2003. - Т. 73, вып 7. - С. 1-7.

106. Салахитдипов М.С. Уравнения смешанно-составного типа. Ташкент: Фан, 1974. 156 с.

107. Салахитдипов М.С., Мирсабуров М. Нелокальные задачи для уравнений смешанного типа с сингулярными коэффициентами. Ташкент: Университет, 2005. 224 с.

108. Самарский A.A. Введение в численные методы. М.: Наука, 1997. -240 с.

109. Самарский A.A., Вабищевич ¡Т.Н. Вычислительная теплопередача. -М.: Едиториал УРСС, 2003. 784с.

110. Самко С.Г., Килбас A.A., Маричев О.И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. Минск: Наука и техника, 1987. - 688 с.

111. Седов Л.И. Плоские задачи гидродинамики и аэродинамики. М.: Наука, 1966. -448 с.

112. Сербина Л.И. Нелокальные математические модели переноса в водоносных системах. М.: Наука, 2007. - 167 с.

113. Сибатов Р.Т., Учайкин В.В. Дробно-дифференциальная кинетика переноса заряда в неупорядоченных полупроводниках // Физика и техника полупроводников. 2007. - В. 3 - С. 346-351.

114. Соболев С. JI. Локально-неравновесные модели процессов переноса // УФН. 1997. - Т. 167, № 10. - С. 1096-1106.

115. Станиславский A.A. Вероятностная интерпретация интеграла дробного порядка // Теоретическая и математическая физика. 2004. -Т. 138, № 3. - С. 491-507.

116. Сургуладзе Т.А. Об одном применении дробного исчисления в вязко-упругости // Вестник Московского университета. Сер. 1. Математика. Механика. - 2000. № 5. - С. 62-66.

117. Сухинов А.И. Двумерные схемы расщепления и некоторые их приложения. М.: МАКС Пресс, 2005. - 408 с.

118. Тен К.А., Аульченко В.М., Евдокимов О.В., Жогин И.Л., Жуланов

119. Тихонов А.Н., Самарский A.A. Уравнения математической физики. -М.: Наука, 1977. 735 с.

120. Трикоми Ф. О линейных уравнениях смешанного типа. М.:-Л.: ГИТ-Т.Л. 1947. - 192 с.

121. Устюжанин Е.Е., Реутов Б. Ф., Сукач И. А. Тезисы докладов XIV Международной конференции "Воздействие интенсивных потоков энергии на вещество". Терскол, 1999. С. 60.

122. Устюэ/санин Е. Е., Реутов Б. Ф., Кузубов К. А. Тезисы докладов XV

123. Международной конференции "Уравнения состояния вещества". Тер-скол, 2000. С. 46-47.

124. Уфлянд Я. С. К вопросу о распространении колебаний в составных линиях // Инженерно-физический журнал. 1964. - Т. VII, №1. -С. 89-92.

125. Учайкин В.В. Аномальный перенос частиц с конечной скоростью и асимптотическая фрактальность // ЖТФ. 1998. - Т. 68, №1. -С. 138-139.

126. Учайкин В.В. Фрактальные блуждания и блуждания на фракталах // ЖТФ. 2004. - Т. 74, вып 7. - С. 123-126.

127. Фортов В. Е. Модели уравнений состояния вещества (препринт). Черноголовка, 1979. Отделение института хим. физики им. Ленина РАН.

128. Фракталы в физике: Труды VI Международного симпозиума по фракталам в физике (МЦТФ, Триест, Италия, 9-12 июля 1985 г.): Пер. с англ. / Под ред. Л. Пьетронеро, Э. Тозатти. М.: Мир, 1988.

129. Франклъ Ф.И. Избранные труды по газовой динамике. М.: Наука, 1972. 712 с.

130. Хакен Г. Синергетика. М.: Мир, 1985. 419 с.

131. Хачев М.М. Первая краевая задача для линейных уравнений смешанного типа. Нальчик: Эльбрус, 1998. 168 с.

132. Чукбар К. В. Стохастический перенос и дробные производные // ЖЭТФ. 1995. - Т. 108, №5(11). - С. 1875-1884.

133. Шаткое А.Г. Системно-структурный анализ процесса теплообмена и его применение. М.: Энергоатомиздат, 1983. - 280 с.

134. Шейн Е.В.Курс физики почв. М.: Изд-во МГУ. 2005. - 432 с.

135. Шогенов В.Х., Шхануков-Лафишев М.Х., Бештоев Х.М. Дробные производные: интерпретация и некоторые применения в физике. Сообщение Объединенного института ядерных исследований. Дубна, Р4-97-81, 1997. С. 1-16.

136. Шхануков М.Х. О сходимости разностных схем для дифференциальных уравнений с дробной производной // ДАН. 1996. - Т. 348, №6. - С. 746-748.

137. Bagley R.L., Torvik P.J. A theoretical basis for the application of fractional calculus to viscoelastically damped srtuctures // J. Rheol. 1983. -V.27, -№3. -P. 201-213.

138. Bagley R.L., Torvik P.J. Fractional calculus a different approach to the analysis of viscoelastically damped srtuctures // AIAA Journal. 1983. -V. 21, №5. - P. 741-748.

139. Bagley R.L., Torvik P.J. On the fractional calculus model of viscoelastic behavior // J. Rheol. 1986. - V. 30, № 1. - P. 133-155.

140. Barrett J.H. Differential equation of non-integer // J. Math. Canad. -1954. V. 6, №4.-P. 529-524.

141. Benson D. The Fractional Advection-Dispersion Equation: Development and Application: A dissertation submitted in partial fulfillment of the Doctor of Philosophy in Hydrogeology. Nevada, USA, 1998. Canad. 1954. -V.6, №4.-P. 529-524.

142. Caputo M. Elasticita e Dissipazione. Zanichelli, Bologna (1969) (in Italian).

143. Fujita Y. Integrodifferential equation which interpolates the heat equation and the wave equation // Osaka J. Math. 1990. - V. 27. - P. 309-321.V

144. Gemant A. On Fractional Differential Equations // Philosophical Magazine. 1938. - V. 25. P. 540-549.

145. Gemant A. On Fractional Differential. Philosophical Magazine. 1938. V. 25. P. 540-549.

146. Goldstein S. // J. Mech. Appl. Math., 1951. V.4, №2.

147. Gorenflo R. Fractional Calculus: Some Numerical Methods. CISM Lecture Notes. International Centre for Mechanical Sciences. Palazzo del Torso, Piazza Garibaldi, Udine, Italy. P. 277-290.

148. Koeller R.C. Applications of fractional calculus to the theory of viscoelasticity // J. Appl. Mech. 1984. - V. 51. - P. 299-307.

149. Mainardi F. Fractional Relaxation-Occilation and Fractional Diffusion-Wave Phenomena Chaos // Solitons and Fractals. 1996. - V. 7, №9. P. 1461-1477.

150. Mandelbrot B.B. The Fractal Geometry of Nature. N.Y.: Freman, 1983.

151. Miller K.S., Ross B. Fractal Green's function // Indian J. Pure Appl. Math. 1991. - V. 22, № 9. - P. 763-767.

152. Oldham Keith B., Spanier Jerome. The Fractional Calculus (Theory and Applications of Differentiation and Integration to Arbitrary Order). Academic Press, New York and London, 1974. 233 p.

153. Wright E.M. The Generalzed Bessel Function of order Greater Than One // The Quarterly Journal of Mathematics, Oxford series. 1940. V. 11, №41. -P.36-48.