Краевые задачи для дифференциальных уравнений с дробными производными тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, доктор физико-математических наук Алероев, Темирхан Султанович

• Алероев, Темирхан Султанович
• доктор физико-математических наук
• 2000

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Алероев, Темирхан Султанович

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 2-го ПОРЯДКА С ДРОБНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ В МЛАДШИХ ЧЛЕНАХ?

§ 1.1. Оценки для собственных значений и собственных функций

§ 1.2. Задача Коши для дифференциальных уравнений с дробными производными

§ 1.3. Об одном методе оценки первых собственных значений

§1.4. О некоторых новых приемах оценки собственных значений и формуле М.И.Лифшица из квантовой статистики .г,.г. .».*•••

§ 1.5. О функции Грина и некоторых осциддяционных свой ствах.

§ 1.6. Об обратных задачах для дифференциальных уравне ний с дробными производными

§ 1.7. Взаимно сопряженные задачи и вопросы полноты соб ственных функций.«.

ЛАВАН. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДНЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ДРОБНОГО ПОРЯДКА.

§ 11,1. О собственных значениях и собственных функциях взаимно сопряженных задач.

§ 11.2. О первых собственных значениях задачи Штурма

-Лиувилля.

§ II.3. Об операторах преобразования для дифференциальных уравнений дробного порядка.

§ II.4 Вопросы полноты системы собственных функций и простоты собственных значений.

§ II.5. К гипотезе Миттаг-Леффяера.

§ II.6. Об одной задаче Бродского из теории открытых систем.ИЗ

ГЛАВА III; НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ.

§ IIIЛ.Приток нефти к скважинам в трещинном деформируемом плпсте. .• • •

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Краевые задачи для дифференциальных уравнений с дробными производными»

Первые исследования по теории линейных уравнений, содержащих оператор дробного интегродифференцирования, были выполнены Абелем, а затем Риманом, Лиувилием,ЛвтникоБым A.B.

В последние десятилетия некоторые результаты в этом направле нии получены А.М.Нахушевым, М.М. Лдрбащяном и А.Б. Прабхакаром |1 ] ~ [ Стимулом к активному изучению этих уравнений служат их приложения в теории вязкоупругого демпфирования [bOj в теории расчета тепловых и диффузионных потоков f2 . Нужно отметить, что те модели физических процессов, которые удерживают дробные производные более адекватны им.

В теории уравнений смешанного типа задачи типа^Штурма-Лиувш ля для дифференциальных уравнений. второго порядка с дробными производными в шгадших членах появились в 60-х годах в работах A.M. Нахушева. В частности к задаче f(0) *% W'lo, г, ,1(1)^1, t для уравнения к г1 сводится аналог задачи Трикоми для гиперболо-параболического ург нения с оператором Геллеретедта в главной части здесь я.

ГО-«О

Безусловно, исследование задач для уравнений с дробными производными имеет и значительное теоретическое значение, с точки зрения внутреннего развития самой математики.

Работа состоящая из трех глав, посвящена постановке и исследованию краевых задач для дифференциальных уравнений с дробными производными и их приложениям.

Сформулируем основные результаты диссертации.

В главе I, в первом параграфе рассматриваются задачи вида

V11 + {Л + и + ЪохЧ -0 1 (Я

ЯШ--0, Ш))~- 0 (г)

С Е*> П тогда все простые. тогда все соб

Доказаны :

Теорема 1.1. Пусть ^Г°0 6 собственные значения задачи С >- 6? ")

Теорема 1.2. Пусть ^ р(Ю = о ственные числа задачи (Я 'С2\ вещественны.

Второй параграф посвящен изучению задачи

-и" + = д и,

410) ~ (9 , 11(0 - о О

Здесь установлена

•Теорема 1.3. I. Решение задачи (О -(2) является целой функцией нулевого рода от параметра Л.

В третьем параграфе 1-й главы развит один прием для оценки первых собственных значений поставленных задач. В четвертом параграфе доказана

Теорема 1.4.1. Пусть { Лп^^ собственные значения задачи не о о > га О - 0.

Тогда имеет место формула

О, ¿¿О"1 ' л, < \ .

Следует отметить, что с помощью этого приема можно получить соответствующие оценки для достаточно широкого круга операторов.

Здесь оценки для первых собственных чисел получаются из совершенно других соображений, отметим что полученные результаты безмерно обобщают и усиливают результаты М.К. Гавурина в частиости; здесь же получим как следствие одну известную формулу И.М. Лифшща [4 5].

В частности здесь доказана

Те о р е м а 1.4.3. Пусть собственные числа самосопряжен

П л №) £ ного оператора Л о , с дискретным спектром суть ль -У\} > 1 [ н ~ 1 / з нормированные собственные функции оператора Лб суть ^ и пусть замкнутый оператор, причем

Тогда для собственных чисел оператора J~J0t g имеем fr. Лп *

J*-- rT+OCh^

В пятом параграфе получены оценки собственных значений и собственных функций задач вида

SW 1/ + Фох И = Я V , uto) - о , шо - 0.

Дяя изучения собственных функций и собственных значений этой задачи исследуем операторный пучок вида

Т(*,П- T'xTWTi здесь Т - полный самосопряженный оператор все собственные числа которого изолированы и имеют кратность равную единице, Ч\ Тг" определены в том же пространстве что и и ^ ограничены.

Еще Келлог установил, что непрерывные симметрические ядра К(.х, ¿> } удовлетворяющие неравенствам 3Cf at а. . лгч ч I 0С( «2. ОС,

0 КМ" • • ' - }>0

Sf Sa . Sh / ' \ ОС, • • ■ OCh для любых двух систем чисел ОС» * ЗСг ■ • ^ ь и взятых внутри интервата обладают целым рядом осцилляционных свойств.

В последнее время эта теория Келлога получила дальнейшее углубление и приложение к различным типам дифференциальных и разностных уравнений. В пятом параграфе показано, что задача

-и"- и ш о) с о ; и с О обладает осцилляционным спектром.

Доказано, что функция Сг(х> Ь ) аналог функции Грина.и является ядром Келлога.

Седьмой параграф посвящен изучению обратной задачи для уравнения

-и^ + р^ЯохЧ^ли. (*)

Для этого вводится открытая система ^ определяя вход И~ выход и* и внутреннее состояние ^(эг А ) соответственно равенствами мсо) } г/Чо))| к^ ( уо) , V'со)

- -г/сзгд где решение уравнения ( О , а Ц[0),1(0), УСО))цЬ]) значения функции у (ОС) Л и ее производной соответственно при Х-0\ Х - 1 ] ^ (Д ^ - передаточная матрица системы ¡Т

В данном параграфе доказаны следующие теоремы. Теорема 1.6.1. Пусть £ (&) £ С Г0; 1~] ; тогда имеет место соотношение причем

Г--Г $00

5(Л =

1(^(0 К2(0

Те о р е м а 1.6.2. Если определитель Вронского составленный для решений 11<(х) и ^(¿(х) уравнения ( * ) не равен нулю при каком- нибудь значении х - х0 на отрезке [о^] где ((/(х) € С С0) П , то он не обращается в нуль ни при каком эс на этом отрезке.

В седьмом параграфе исследованы вопросы полноты собственных и присоединенных функций следующих взаимосопряженных задач (^ и и" 4 Л ,

11(0Оъ 11(0 ' о и

Й)

2й

Г и)'(х) Шх/ к,

- (

Л(0) = О , 3(0 - о.

Доказаны следующие теоремы.

Те о р е м а 1.7.1. Система собственных функций задачи (м) И.(М ) полна в /).

Далее, задача о распределении собственных значений ставится как исследование ассимптотических свойств при Ъ 00 величины Д/(Х) ; где У точное число собственных значений задачи (^М ^ лежащих в круге М X.

Теорема 1,7,2. Имеет место соотношение

1Г7

ОО

Вторая глава посвящена изучению задач типа Штурма-Лиувилля для дифференциальных уравнений дробного порядка.

Пусть дана совокупность Хз. 5 ~ тРех чисел

0 ^ /-Н (^ 0, иУ; обозначим

Гк :}КГ1 ,

-О и положим, что у -- ^--Г"--1 >0 ■

Рассмотрим дифференциальные операторы ах '

-Г'"^) //о ^ & £ вообще говоря дробных порядков.

Рассмотрим задачу, являющуюся аналогом известной задачи Штурма-Лиувилля. Эта задача, которую мы как из [31 назовем ^ Л") заключается в следующем.

В классе или $2.(0, 0 , отыскать нетривиальное решение уравнения

Ь г) -1 К г к о л,

2.

Г ^ I ^к >0

К.-о

Т е о р е м а 11.1,2. Пусть , . ■> 3 и, . . • собственные ачения задачи ($") при ~ О , тогда совокупность нкций

А, ^ / / Мл-Но

Ф„(Х'ЛУ= Яи Цл X г ? + и г р .

Г г К \ Цъ-рЛ+р-О"^ й'иб<И-)0- ^(Ду, X Г) 1) - с^]** + ЬЫ

-и ; /^-N/"0. ляются собственными функциями задачи Г .Я -91 при

Теорема 11.2.3. Пусть - О 9 тогда все собстнные значения задачи (/}простые. Т е о р е м а 11.2.4. Пусть 0 » тогда все достаточно лыние по модулю собственные значения задачи {лежат утри угловых областей г любое число из промежутка

I . т Л (

•г ' г 21 *

Гп ' .1 1 • т # ( Нч И | гр у ^ - 2 ;

Теорема II.2.5. Если последовательность собственных значений задачи (Л) пронумерованны в порядке неубывания их модулей с учетом их кратности, то справедливы ассимптотические формулы й-г (¿^ [ I* о( т)

Приняв следующие обозначения к

V / I »VI Г^

Ск ^г-Г1: Д = о = о

Определим операторы

С.),

11 (1-х) , , , 4— -й- . £(Х)

В этом же параграфе изучена следующая задача, в определенном смысле ассоциированная с задачей , состоящая в следующем.

В классе ^¡(АО^ или £¿(0/1) , отыскать нетривиальное решение уравнения

- - 0 у хе1о)!)> уд о вле творяюще е условиям с)

Ъ г х-о ^) сои + Й 2 Л а г • л

Эту задачу будем называть задачей ( 1 ) ,

Теорема 11.1.6. Пусть О тогда число Л является собственным значением задачи ( Л ) , тогда и только тогда, когда Л является нулем целой функции м^СЛ ) Или

Ш) [¡(ы-^-м^рО1

Т е о р е м а 11.2.7. Пусть ^ ^ " собственные значения задачи ) при = О ' » тогда совокупность функций К

ХЬ I 0-а) -деи. .1 являются собственными функциями задачи

При исследовании задачи ("«Л) при будем пользоваться методами теории возмущений.

- ' ¿V/

Пусть и собственные значения и собственные функции задачи ( $) при 40.

Теорема II.I.9. Имеют место следующие соотношения Ф п

Т е о р е м а IIЛ. 10. Справедлива следующая формула

Т е о р е м а 11.1.11. Все собственные значения задачи Сл) простые.

В прикладных задачах наибольший интерес представляет обычно определение первых собственных значений. Полученные асимптотические выражения для больших номеров могут быть использованы и для вычисления первых собственных значений.

Во втором параграфе дается метод для оценки первых собственных чисел задачи вида ( В)

V" + Л ?Ь* к = 0, = 0,1 > то) - .о, = о

Установлена следующая оценка для первого собственного числа Л 1 задачи ( &^

В третьем параграфе изучаются обратные задачи для дифференциадь ных уравнений дробного порядка. В частности доказаны

Теорема II. 3.1. Пусть tj(x,s)) решение уравнения удовлетворяющее условиям

-ГНГО х9

Я п, СЛ Л тогда функция

-О (2.1,1) ж-с > удовлетворяет уравнению

И УСЛОВИЯ®.!

2. 3.2.У

В четвертом параграфе изучаются вопросы полноты систем собственных функций задачи

Н к * ? О, ¿%

Т е о р е м а 11.4.I. Система собственных функций задачи полна в гМ

Те о рема II.4.3. Все нули функции . } / е ^ простые.

В пятом параграфе доказана следующая теорема.

Теорема 11.5.1. Функция не имеет вещественных нулей.

Отметим, что гипотезе Миттаг-Леффдера посвящено много работ, в частности работы М.М.Джрбащяна, А.М.Нахушева, где указаны последние достижения в этом направлении. Но мне бы хотелось отметить, что эти теоремы достаточно убедительно показывают, что глубоко скрытые свойства функций £^(2,/') могут быть обнаружены посредством операций дробного интегро-дифференцирования.

В третьей главе получены дифференциальные уравнения дробного порядка для изучения притока нефти к скважинам в трещином деформируемом пласте. На основе большого эмпирического материала вводится новая методика, основанная на производных дробного порядка для выявления зависимости дебита от перепада давления

Й1 (а£г Р)2- УР = агг + йз Р.

Г JI А В A I

КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ДШФЕРВНЩШЕЬШХ УРАВНЕНИЙ 2-ГО ПОРЯДКА С ДРОБНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ В МЛАДШХ ЧЛЕНАХ

§ 1.1. Оценки для собственных значений и собственных

Функций операторов порожденных дадреренциальными выражениями 2-го порядка с дробными производными в младших членах и краевыми условиями типа Штурма-Лиувилля. В интервале J в { о ^ х * 3f\ рассмотрим уравнение

- ИС*) = Ли , СМ-Л где ¿ ^ i t Не*) - оператор дробного диохберенцирования порядка <к :

Э(

I ¿Ш ell

Изучим следующую задачу. 3 классе С С найти решение уравнения fl.1. 1) удовлетворяющее краевым условиям

11 СО) - (9 , 1ЛСГ1) - О

В данном параграфе покажем, что все собственные значения этой задачи простые и установим оценки для собственных значений и собственных функций. Для этого рассмотрим следующий линейный one шторный пучок где Т дифференциальный оператор ~Т К = - и , на интервале J - f О ^ х ^ >i ^ и ограниченный условиями

И.Со) - О , ИСЯ") ~ О

Каждое собственное значение оператора Т изоировано и имеет кратность равную единице, поэтому соответствующие обственные значения ^(¿О оператора ЧЧ полученные озмутцением оператора Т оператором Ж. голоморфны по райнеи мере для малых ^ . Действительно, выпишем резоль-енту оператора Т . Ясно, что Г ] является интеграль-ым оператором ядро которого совпадает с функцией ■ Яи (I а-х)

Ги • si'^fïtfx) а ■ yu fgi

У 4 X * У оэтому, ооозначая и иь hnfey ^fïGf'X)

Jx + b^-b^f^V) Jj, олучим l uti' T u)

В дальнейшем нагл часто понадобится оценка для 'aie как || )? )||не превосходит m и* J dx^

R(VT) то имеем Л

Упал

Я ^и VI дс ■ и>%\ГЪ СИ-У)

I аи

X f

Л свьИ у ■ «и от-л)

I. 1 ос

Я / Г* I

ОС 4

• I/1 @ а о Илах ||Д> I 1 I - № (ПОТ-3)1*1*

-+ 5

Так как

2 | < ( г), I см г( ^ сЦЗъ^) для любого комплексного ^ то полагая

1--кй, получим, что я

1п йх

Так как р г t-tib* J ICosfh ;|f 4 fFu5 f + Г ie Z. модуль 4 | Z ¥ - 4 у t • 1/г 1/ ь.4 + ^ t f

Отсюда на параболе ~-1г

11Ф.Х Ц(^Т>|| * С1-15") ассмотрим теперь замкнутую кривую Г», на отрезке парабол

4 --сС- Г7< отрезков горизонтальных прямых -- i (г*-*). сно, что для любого еоьбтвенного числа Я™ оператора Т уществует хотя бы одна замкнутая кривая С» охватывающая одно и олько одно собственное значение Д™

Из оценок (1.1.3.) и (I. £) следует, что на Г™ tw х ъ.

Теперь мы можем вычислить радиус сходимости Х0 ряда Тейлора функции • известной формуле имеем

То- мли (not ццт)цу'-ву

Ги

Отметим теперь, что по крайней мере в круге собственные значения ЯиС^О оператора Т(^) голоморфны.

Осталось оценить собственные значения Сио) оператора Т^) Известно [ Д £ ] , что Яи С*) - ^ | где ^Р С ^) мажорирующая функция для Ли - Я* I Ч'(Х-) ил) имеет следующий

Vi Льлл л р. + [ 1- (Р* * t«)*-] где ir» " ®0 ds X О к О с

О и

Vi

Sn

-{ Г i- Ч») ас]2"- и Л

Операторы ßi и ^ являются интегральными операторами с ядрами и соответственно, где

P-JU, X1) = их - fr*

2 5

•у

И h эс м <1

-f f'JC kl И Vi ^ Cßi VlX г ^Й^'цих

1ри ос < ^ в правых частях этих формул нужно поменять местами эс } . Ясно, что оператор преобразовывает взаимно однозначно ( -ортогональное дополнение фунщии 5пГм ^юэс) в себя и анулирует ь'п х . Поэтому $и где Я тора Т Поэтому

II (, (( = Пи И

О и есть ближайшее к и2- собственное число опера 1 1 Р

Предварительная оценка для оператора ' * Ню . очевидна г>

Поэтому формула (1- 1- 0> ) дает ( ) ~ 3 И 1

1 1

Таким образом доказана

Теорема 1.1.1. Пусть (-зОИ ^ , тогда все собственные значения задачи fj-i.lV СМ-Я простые. Здесь мы отметим следующее предложение :

Для собственных значений задачи (1.-1. ^ ~ (1- ^ ^ имеет место соотношение

Далее рассмотрим следующую задачу -и" + а(х) ($ох <и 1Л(0)^О) г((П~-0.

Тогда аналогичные оценки можно получить для собственных функш (х) и собственных значений этой задачи. В частности

II %(х) - Ь'и^хЦ 5 3,? ЦйС*ф.

Пусть теперь (2(х) является скаляром не превосходящий по мо-улю Уч . Тогда справедлива

Теорема 1Л.2. Пусть аах^^сотА =О , тогда се собственные числа задачи (/.М-)- ((-1-2-) вещественны.

Доказательство. Каждое собственное значение ператора Т изолировано и имеет кратность равную единице, оэтому гЫ^ и <КЛ ( соответствующие собственное число и обственная функция оператора Т (эО^ зависят от ^ ана-итически и разложения

Яп (XV- ди ходятся по крайней мере для 1 ж 1 * '\/Т. п (Л ,л и') оэсрфициенты \ м и у и вычисляются по формулам о А и и И) к - ( ' (и.?)

Де -дк - о5ох > при , а при других значениях Л к равен нулю. 5 о уже выше отмечалось, приведенная !езольвента оператора Т - соответствующая точке Я и . Как мыуже отмечали выше, приведенная резольвента оператора ^ является интегральным оператором с ядром

Поэтому из структуры оператора ^^ и формул (!./.<?") следует доказательство теоремы 1.1.2.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Алероев, Темирхан Султанович, 2000 год

1. М а х у ш е в A.M. Новая краевая задача для одного вырождаю-щемся гиперболического уравнения // докл. АН СССР. 1969. т. 187. М. С. 736-739.

2. НахушевА.М. Обратные задачи для вырождающихся уравнений и интегральные уравнения Вольтера третьего рода //Дифференциальные уравнения. 1974. т. 10. М. С. I00-III.

3. Н а х у ш е в A.M. Об одной смешанной задаче для вырождающихся эллиптических уравнений // Дифференциальные уравнения. 1975'. т. II. ё I. С. 192-195.

4. Я а х у ш е в A.M. О задаче Дабру для одного вырождающегосянагруженного интегор-дифференциального уравнения второго порядка // Дифференциальные уравнения. 1976. т. 12. Ji I. С. 103-108.

5. НахушевА.М. Задача Штурма-Лиувилля для обыкновенногодифференциального уравнения второго порядка с дробными производными в младших членах // Докл. АН СССР. 1977. т. 234. № 2. С. 308-311.

6. Н а х. у ш е в A.M. О неприрывных дифференциальных уравненияхи их разностных аналогах // Докл. АН СССР. 1988.

7. Джрбащян A.M. Интегральные преобразоваия и представления функций в комплексной области. // М.: Наука. 1966. 671 с.

8. Джрбащян A.M. Обобщенный оператор Римана-Лиувилля и некоторые его применения // Докл. АН СССР. 1967. т. 177. J& 4. С. 767-770.

9. Д ж р б а щ я н М.М. Интерполяционные и спектральные разложения ассоциированные с дифференциальными операторами дробного порядка // Изв. АН АрмССР. Серия " Математика". 1984. т. 19. » 2. С. 81-181.

10. Джрбащян М.М., Нерсесян А.Б. Критерий разложимости функций в ряды Дирихле // Изв. АН Арм ССР. Серия "Физ.-мат. наук." 1958. т. II. № 5. С. 85-106.

11. Д ж р б а щ я н М.М., Не рее с я н А.Б. Некоторы интегро-дифференциальные операторы и связанные с ними квазианалитические классы функций // Изв. АН Арм ССР. Серия"Физ.--мат. наук." 1958. т. II. §5. С. 107-120.

12. Джрбащян М.М. .Нерсесян А.Б. Разложения по некоторым биортогональным системам и краевые задачи для дифференциальных уравнений дробного порядка // Труды Моск. мат. об-ва. 1961. т. 10. С7 89-179. *

13. Джрбащян М.М., Нерсесян А.Б. Дробные производные и задачи Коши для дифференциальных уравнений дробного порядка // Изв. АН Арм ССР. Серия "Математика". 1968. т. 3. 3 I. С. 3-29.17,19,1920,21,22,23,24,25