Краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений дробного порядка с постоянными коэффициентами тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат наук Гадзова Луиза Хамидбиевна

• Гадзова Луиза Хамидбиевна
• кандидат наук
• 2019

Оглавление диссертации кандидат наук Гадзова Луиза Хамидбиевна

Введение

Вводные сведения

0.1 Специальные функции

0.2 Операторы интегро-дифференцирования дробного порядка

1 Задача Коши

1.1 Постановка задачи

1.2 Формула Лагранжа

1.3 Фундаментальное решение

1.4 Интегральное представление фундаментального решения

1.5 Решение задачи Коши

2 Двухточечные краевые задачи

2.1 Задача Дирихле

2.2 Задача Неймана

2.3 Задача с условиями Штурма-Лиувилля

2.4 Метод функции Грина

2.5 О вещественных собственных значениях

3 Нелокальные краевые задачи

3.1 Обобщенная задача Дирихле

3.2 Задача с нелокальным смещением

3.3 Задача с локальным смещением

3.4 Задача с интегральным смещением

Заключение

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений дробного порядка с постоянными коэффициентами»

Введение

За последние годы существенно возрос интерес к исследованию дифференциальных уравнений дробного порядка, который стимулируется практическими приложениями в различных областях науки, например, в физике и математическом моделировании. На сегодняшний день имеется достаточно большой список работ, посвященных как собственно теории дробного исчисления (см., например, М.М. Джрбашян, А.Б. Нерсесян, К.В. Oldham, J. Spanier, С.Г. Самко, О.И. Мири чей. A.M. Нахушев, A.A. Kilbas, Н.М. Sri-vastava, J.J. Trujillo, I. Ozturk, A.B. Псху, A.B. Глушак, B.E. Федоров, M.O. Мамчуев, Б.И. Эфендиев), так и различным ее приложениям (R.L. Bagley, P.J. Torvik, B.B. Учайкин, B.E. Тарасов, R. Hilfer и др.)[4, 5], [6] -[9], [17], [18] - [22], [24] - [30], [33], [34], [41], [42], [44] - [46], [49], [53], [58], [60], [61], [63], [64]. Подробное описание применения дробного исчисления к различным областям науки и техники на современном этапе дано в монографиях К.В. Oldham, J. Spanier (1974) [64], I. Podlubny (1999) [65] и B.B. Учайкина (2008) [42]. В частности, особый интерес представляют математические модели с ядрами дробного порядка, являющиеся обобщением "классических" вязкоупругих моделей. Например, для полимеров с резко изменяющимися свойствами в пространстве и во времени, в качестве математической модели можно взять дифференциальные уравнения дробного порядка (A.M. Нахушев, Р.Б. Тхакахов [20]). В теории вязкоупругости Ю.Н. Работнов предложил модель на основе ядра интегрального уравнения, которая сводится к уравнениям дробного порядка с производными Римана-Лиувилля. Такой метод дает возможность сравнительно просто доводить до получения числовых результатов решение многих задач в теории вязкоупругости [31, 32]. Ряд работ Т.А. Сургуладзе посвящены некоторым аспектам применения дробного исчисления в вязкоупругости [35] - [40].

Одной из первых работ, посвященных обыкновенным дифференци-

альным уравнениям дробного порядка является работа J.H. Barrett (1954) [48], в которой получено решение линейного дифференциального уравнения дробного порядка методом последовательных приближений. В работах М.М. Джрбашяна и A.B. Нерсесяна исследованы задача типа Коши и задача типа Штурма-Лиувилля для обыкновенных дифференциальных уравнений дробного порядка, доказаны теорема существования и единственности решений исследуемых задач [6] - [8]. Работы I. Ozturk [63] и посвящены краевым задачам для обыкновенных дифференциальных уравнений с дробными производными и со спектральным параметром.

В работах A.M. Нахушева даны постановки видоизмененных задач Коши и Неймана для уравнения второго порядка с дробной производной порядка а Е (1, 2) и исследована двухточечная краевая задача для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка с производной Римана-Лиувилля в группе младших членов [18, 22].

Среди операторов дробного дифференцирования особо выделяется класс операторов (дискретно или непрерывно) распределенного дифференцирования. Уравнения с такими операторами требуют специальных подходов, начиная с постановок задач, формы начальных и граничных условий, построения и исследования свойств решений.

Дифференциальные уравнения с операторами дискретно распределенного дифференцирования

и с операторами непрерывно распределенного дифференцирования

в настоящее время интенсивно исследуются, в том числе и в связи с различными приложениями в физике и механике. Оператор (1) можно интерпретировать как оператор (2) с мерой сосредоточенной на дискретном

у^ Д и

r~i к дуъ

(1)

(2)

множестве [30].

К исследованиям, посвященным дифференциальным уравнениям с операторами дискретно распределенного дифференцирования и операторами непрерывно распределенного дифференцирования относятся работы М. Са-puto, Z. Jiao, Y.Qu. Chen, I. Podlubny, K. Diethelm, N.J. Ford, Y. Luchko и A.N. Kochubei, которые используют уравнения с операторами дискретно распределенного дифференцирования при поиске приближенных решений уравнений с операторами непрерывно распределенного дифференцирования [50],[51], [54] - [57],[59], [62], [69]. Дифференциальные уравнения, содержащие операторы вида (2) относятся к классу непрерывных (континуальных) дифференциальных уравнений [2, с. 100], [19], [21, с. 99]. Начально-краевая задача для уравнения с оператором Капуто распределеного порядка рассматривается в работах [62], [69], [70]. В работе [33] рассматривается задача Коши для уравнения распределенного дробного порядка с производной Герасимова - Капуто в банаховом пространстве.

Ряд работ A.B. Псху посвящен исследованию и развитию методов решения и анализа краевых задач для уравнений с оператором дробного дискретно распределенного дифференцирования. В частности, краевая задача для уравнения в частных производных первого порядка с оператором дробного дискретно распределенного дифференцирования [29] и уравнение дробной диффузии с оператором дискретно распределенного дифференцирования [30]. В работах М.О. Мамчуева исследовались системы уравнений дробного порядка в смысле Римана-Лиувилля с переменными коэффициентами и краевая задача для диффузионного уравнения с производной дискретно-распределенного порядка с переменными коэффициентами [17], [61]. A.B. Псху и Б.И. Эфендиевым были решены краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений с континуальной производной [24], [26], [44], [45]. В работе [46] Б.И. Эфендиевым решена начальная

задача для непрерывного дифференциального уравнения второго порядка. М.Г. Мажгиховой решены начальная задача, задача Дирихле и задача Неймана для обыкновенного дифференциального уравнения дробного порядка с запаздывающим аргументом [14] - [16].

В работе [52] численным методом исследуется уравнение с оператором Капуто дискретно распределенного порядка. Априорные оценки дифференциальных и разностных задач с оператором дискретно распределенного порядка получены в работе [47].

Цель работы. Основной целью работы является исследование краевых задач для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с оператором дробного дифференцирования дискретно распределенного порядка с постоянными коэффициентами.

Методы исследования. Результаты работы получены с использованием метода функции Грина, методов интегральных преобразований, теории интегральных уравнений, теории специальных функций, методов теории дробного исчисления.

Научная новизна. Исследованы краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений дробного дискретно распределенного порядка с постоянными коэффициентами, которые найдут применение во многих разделах анализа и математического моделирования.

Основные результаты диссертации, выносимые на защиту.

Для обыкновенных дифференциальных уравнений с оператором дробного дискретно распределенного дифференцирования:

1. Построено фундаментальное решение и изучены его свойства. Доказана теорема существования и единственности решения задачи Коши.

2. Развит метод функции Грина решения задачи Дирихле, задачи Неймана и краевой задачи с условиями Штурма-Лиувилля. Построены представления решений и соответствующие функции Грина. Доказаны теоремы

существования и единственности.

3. Доказана конечность числа вещественных собственных значений основных двухточечных краевых задач.

4. Исследованы нелокальные краевые задачи, включая задачи с локальным и интегральным смещениями. Доказаны теоремы существования и единственности решений, получены явные представления решений поставленных задач.

Практическая и теоретическая ценность. Работа является теоретической. Полученные результаты внесут вклад в развитие современной теории дифференциальных уравнений дробного порядка. Практическая ценность обусловлена прикладной значимостью дробного исчисления и теории дробных дифференциальных уравнений в математическом моделировании и других областях.

Апробация работы. Результаты работы докладывались и обсуждались на научно-исследовательском семинаре по проблемам современного анализа, информатике и физике ИПМА КБНЦ РАН (руководитель д.ф,-м.н., проф. Нахушев A.M.), на научно-исследовательском семинаре по актуальным проблемам прикладной математики ИПМА КБНЦ РАН (руководитель к.ф.-м.н. Алиханов A.A.), на заседаниях отдела Дробного исчисления ИПМА КБНЦ РАН (руководитель д.ф.-м.н., доц. Псху A.B.), на научном семинаре "Дифференциальные уравнения и математическое моделирование" при Совете молодых ученых и специалистов ИПМА КБНЦ РАН (председатель к.ф.-м.н. Мамчуев М.О.), на Международных и Всероссийских конференциях: Воронежская весенняя математическая школа "Понт-рягинские чтения - XXX" (Воронеж, 2019), Нелокальные краевые задачи и родственные проблемы математической биологии, информатики и физики, V конференция посвященная 80-летию Адама Маремовича Нахушева (Нальчик, 2018), XIV Владикавказская молодежная математическая шко-

ла "Математический анализ и математическое моделирование"(Цей, 2018), Воронежская весенняя математическая школа "Понтрягинские чтения -XXVIII" (Воронеж, 2017), Актуальные проблемы прикладной математики (Терскол, 2018, 2017, 2016), Теория операторов, комплексный анализ и математическое моделирование (Дивноморское, 2016), On actual problems of applied mathematics and physics and School for young scientists "Nonlocal boundary problems of algebra, analysis and informatics"(Elbrus, 2015), Порядковый анализ и смежные вопросы математического моделирования (Цей, 2015), Современные вопросы математической физики, математической биологии и информатики (Нальчик, 2014), Математическое моделирование фрактальных процессов, родственные проблемы анализа и информатики (Нальчик, 2011; Терскол, 2010, 2012), на IX - XII Школах молодых ученых "Нелокальные краевые задачи и проблемы современного анализа и информатики" (Нальчик - Эльбрус, 2011 - 2014).

Публикации. Основные результаты диссертации отражены в работах [76, 80, 86, 89, 90, 91, 94, 95, 99, 100, 104, 109, 110, 111], список которых приводится в конце автореферата. Из них [76, 80, 86, 91, 95, 99, 109, 111] опубликованы в изданиях, включенных в список изданий, рекомендованных ВАК.

Структура и объем. Диссертация состоит из введения, вводных сведений, трех глав, разбитых на параграфы, заключения и списка литературы, содержащего 113 наименований и изложена на 91 страницах.

Основное содержание работы

В Вводных сведениях приведены определения и свойства специальных функций, а также формулы из теории дробного интегро-дифференцирования, необходимые для дальнейшего изложения.

Основными объектами исследования являются уравнения

т

Х^вздоХи(х) + Ли(х) = ](х), 0 < х < 1, (3)

3=1

где а1 е (п — 1, п], п е Н, «1 > а2 > ... > ат, в1 > 0, Л, вз е М, ддж— дробная производная Герасимова-Капуто, и

т

О>(х) — ^ Л^£и(х) = / (х), 0 <х< 1, (4)

1=1

где а > 0, а е (п — 1,п], п е Н; а > а1 > а2 > ... > ат; Лi е М, г = 1, 2, ...,т; — дробная производная Римана-Лиувилля.

В первой главе найдено общее представление решения уравнения (3). Построено фундаментальное решение, исследованы его свойства и решена задача Коши.

В параграфе §1.1 приводится постановка задачи с условиями Коши для уравнения (3): найти регулярное решение уравнения (3), удовлетворяющее условиям

и{1\0)=ии I = 0, п — 1, (5)

где щ - заданные действительные числа.

Определение 1. Регулярным решением уравнения (3) назовем функцию и = и(х), имеющую абсолютно непрерывные производные до порядка п—1 на отрезке [0,1] и удовлетворяющую уравнению (3) для всех х е (0,1). В параграфе §1.2 для уравнения (3) получена формула Лагранжа. Дифференциальное выражение Ь*у(х), определенное формулой

т

¿Мх) = вз^(х) + Мх)

3=1

назовем сопряженным по Лагранжу к дифференциальному выражению

т

Ьи(х) = ^^ вз доХ и(х) + Ли(х). з=1

Лемма 1. Пусть и(х), у(х) - произвольные функции,

и(п—1)(х) е АС[0,1], е Сп[0,1], у(х) е Ь[0,1].

Тогда справедлива формула

(Ьи * у)(х) = (и * Ь*у)(х) + д(х), (6)

х

где (д * Н)(х) = / д(х — 1)Н(1)(И— свертка Лапласа функций д(х) и Н(х), о

п—1 т Ь—х

а,— I — 1 =

Q(x) = £ u(l)(t)J2 jDj v(x - t) l=0 j=i

t=0

Соотношение (6) назовем формулой Лагранжа для дифференциальных операторов Ь и Ь*.

В параграфе §1.3 строится фундаментальное решение. Введем в рассмотрение функцию От(х)

»

Gm(x) = Gm(x; Vi,...,vm; Yi,...,YTO) = J ^Sm(x; vit,..., vmt; Yi ,...,Ym)dt,

0

в терминах которой далее будет построено общее представление решения уравнения (3). Здесь и далее

Л (3j . ——.

= —Vj = -—, Yi = ah 7j = «i - щ, (j = 2,m) Pi Pi

Sm(x; zi,zm; Yi, ■■■,Ym) = (hi * h2 * ... * hm)(x), hj = hj(x) = xMj-1Ф(Yj, Hj; ZjxYj),

<< ; z ) = E

OO k

z k

k=0 k!r(Pk + z)

- функция Райта (Wright Е.М., 1933).

Далее считаем, что параметры функции Gm(x) изменяются в диапазонах

x > 0, Vj е R, Yj > 0, Мj > 0.

и

Заметим, что функция Оm(x) не зависит от распределения чисел > 0,

т

а лишь от их суммы д = Е ^Ij ■

Лемма 2. Функция От (х) обладает следующими свойствами: является решением уравнения (3) и удовлетворяет условиям

т

£ V;--1) От1 (х) = 1, (7)

\з=1 )

lim

х-> 0

(

lim

х0

V=

(8)

Функция От (х), удовлетворяющая свойствам (7), (8) является фундаментальным решением уравнения (3).

В параграфе §1.4 найдена асимптотика фундаментального решения уравнения (3) и построено его представление в виде контурного интеграла. Лемма 3. Справедливо интегральное представление

Gm(x)

эхр

p

а i — ^

ßl

m

Y bin) E ßj p" + А

j=1

dp,

(9)

Y(r,wn) = (z : |z| = r, | arg z| < wn|U(z : |z| > r, arg z = ±wn|, 1/2 < w < 1 — контур Ханкеля, направление обхода, выбрано в сторону неубывания, arg z.

Теорема 1. Пусть 0 < x < 1. Справедлива асимптотическая формула

п— 1

Qi

(

i=0

где

Qi = £

(—А)1

1!

1

\

V

А

п+1

А —> +оо,

J

ll + l2 + --- + lm=l

hW-U 1

ß

.k.

j=1

^ — «1-Е «jlj — 1 x j=1

m

Г ( ß — a1 — E aj j

j=1

В параграфе §1.5 выписывается представление решения задачи Ко-ши уравнения (3).

Теорема 2. Пусть функция / (х) удовлетворяет условиям

х1—Ч (х) е С[0,1], / (х) = Б^Хх—пд (х), д (х) е Ь[0,1], ,> 0. (10)

Тогда решение задачи (5) для уравнения (3) существует, единственно и имеет вид

х

п1

п— 1 т

и{х) = - / + (Н)

в1 0 1=0 ¿=1 в1

Вторая глава посвящена решению основных двухточечных краевых задач для уравнения (3) при а^ е (1, 2). Решены основные краевые задачи, доказаны теоремы существования и единственности решений, найдены явные их представления решения. В терминах специальных функций построены соответствующие функции Грина, изучены их, а также возникающих при этом специальных функций, качественные и структурные свойства.

В параграфе §2.1 для уравнения (3) найдено решение задачи Дирихле: найти регулярное решение уравнения (3), удовлетворяющее условиям

и(0) = а, и(1) = Ь, (12)

где а,Ь заданные постоянные.

Лемма 4. Пусть функция /(х) такова, что

х1—И/(х) е С[0,1], /(х) = О0Х—2д(х), д(х) е Ь[0,1], ,> 0. (13) Тогда справедливо равенство

1

р1(/*С%)(х) = /(х). (14)

С + А

Лемма 5. Пусть функция /(х) удовлетворяет условиям (13). Тогда:

и(х)

ставима в виде

и(х) = ^-(/*в^)(х)+и(0) [1 + и1Са^\х)\+11!{0) [х + игС^+^х)} ; (15) Р1

2) функция, определенная равенством (15), является регулярным решением уравнения (3).

Теорема 3. Пусть функция /(х) удовлетворяет условиям (13) и выполнено неравенство

1 + ^+2(1) = о. (16)

Тогда, функция и(х), определяемая равенством

1

и(х) = — !

0

—а

л О?- (м)

3=1

+ ь

¿=0

3=1

г^е

^(х,*) = Н(х - (х - ¿) - С^1 (1 - ¿)

¿=1

х + ^1^т1+2(х)

1 + ^ет+2(1)'

является регулярным решением задачи (3), (12).

Решение задачи (3), (12) единственно тогда и только тогда, когда выполняется условие (16).

В параграфе §2.2 для уравнения (3) решена задача Неймана: найти регулярное решение уравнения (3), удовлетворяющее условиям

и'(0) = с, и' (1) = 6,

(17)

где с, 6 - заданные постоянные.

Теорема 4. Пусть функция /(х) удовлетворяет условиям (13) и выпол-

нено неравенство

^ (1) = о.

Тогда, функция и(х), определяемая равенством

1

1

(18)

.(х) = - у д2(х,г)/(г)&+

10

+с

Е

3=1

вз "^М)

-6

¿=0

Е

3=1

вз "^(М)

¿=1

где

02(:М) = Н(х - г)с%(х - *) - -1) ^ ,

является регулярным решением задачи (3), (17).

Решение задачи (3), (17) единственно тогда и только тогда, когда выполняется условие (18).

В параграфе §2.3 для уравнения (3) решена краевая задача с условиями Штурма-Лиувилля: найти регулярное решение уравнения (3), удовлетворяющее условиям

аи(0) + Ьи' (0) = 0, си(1) + <и'(1) = 0, (19)

где а, Ь, с, < - заданные постоянные, причем а2 + Ь2 = 0, с2 + <2 = 0.

Теорема 5. Пусть функция /(х) удовлетворяет условиям (13) и выполнено условие

А = ас [1 + и1Ст1+2(1)} + а< [1 + и1Ст1+1(1)} -

- Ьс [1 + +1(1)} - Ь<1и1Ст (1) = 0. (20)

и(х) ,

1

и(х) = J Яз(х,г)1 (г)<г,

0

где

1

в о

+ст(1 - г) [сЬ (1 + V1Ст+1(х)) - ас(х + У1Сат+2(х))] + +Ст-1(1 - г) [Ь< (1 + и1ст+1(х)) - а< (х + V1 ст1+2(х))' является регулярным решением задачи (3), (19).

Решение задачи (3), (19) единственно тогда и только тогда, когда выполняется условие (20).

В параграфе §2.4 развит метод функции Грина для исследуемых задач и построены функции Грина краевых задач для уравнения (3).

В параграфе §2.5 для уравнения (3) изучаются спектральные вопросы исследуемых краевых задач.

Доказаны следующие теоремы: Теорема 6. Пусть Л > 0. В случае, когда а2 + с2 = 0,

если а2 + с2 = 0. Тогда, задача (3), (19) имеет единственное решение для

Л

их числа.

Теорема 7. Пусть Л е Мм

Тогда, задача (3), (17) имеет единственное решение для всех веществен-Л

Теорема 8. Пусть Л е Мм

Тогда, задача (3), (12) имеет единственное решение для всех веществен-Л

Третья глава посвящена решению нелокальных краевых задач для уравнения (3) и уравнения (4).

Определение 2. Регулярным решением уравнения (4) назовем функцию и = и(х),и(х) е Ь(0,1), Ла~пм(х) е Сп(0,1), удовлетворяющую уравнению (4) для всех х го интервала (0,1).

и

В параграфе §3.1 для уравнения (4) исследуется следующая задача: найти регулярное решение уравнения (4) при n > 2 в интервале (0,1), удовлетворяющее условиям

lim (£ки)(х) = ак, к = Т~р, (21)

lim Dq3xu(x) = bj, j = l^q, (22)

где p + q = n, ßj < a, ak, bj - заданные вещественные числа,

M (k)

(lku)(x) = Dx-ku(x) — £ AiDx-ku(x),

i=i

M(k) G N U {0}, 1 < к < n, количество элементов в упорядоченной последовательности {a1, a2, •••, am} таких, что ai > a—n+k. To есть M(k) = 0, если ai < a — n + k для всех i, и M(k) = max{i : ai — k < a — n} в противном случае.

Теорема 9. Пусть f (x) G C(0,1) П L(0,1) и выполнено условие

А = det A = 0. (23)

Тогда функция

Г Р

u(x)= / f (t)Q(x,t)dt + £ ak(—1)

k1

+ £ bj (—1)j j=i

k=i j—i

k1

|i qm)

+

t=0

' d \j—1

t=i

где

i=i

Q(x,i) = H{x - t)Gam{x - t) - ]TG«-^+1(x) - *),

j=i ' '

ij

дополнительный

А = Аг] = = А

минор к элементу матрицы А, является регулярным решением задачи (4), (21), (22).

Решение задачи (4), (21), (22) единственно тогда и только тогда, когда выполняется условие (23).

В параграфе §3.2 решена нелокальная краевая задача с нелокальным смещением для уравнения (4): найти регулярное решение уравнения (4) при п > 2 в интервале (0,1), удовлетворяющее условиям

(1ки)(0) = ак, 1 < к < п - 1,

(24)

а(&и)(0) + Ъ[О0)хи(х)}= = с, V < 0, к = Ъ = 0, (25) где ак, а, Ъ, с - заданные постоянные.

Теорема 10. Пусть /(х) Е С(0,1) П Ь(0,1) и выполнено условие

ЪСа-^+1(1) + а = 0.

(26)

Тогда функция

и(х) = / (г)<(х,г)(г + ^^ ак

к= 1 к=3

^ (ж

к-1

Я(х,г)

+

г=о

+1 [ЩГ-'ЯМ]^,

где

<<(х, г) = сат(х - г)н(х - г) -

ъа«т-+1(х)ст~"(1 - г)

ъа

а-V-]+1

(1) + а

является регулярным решением задачи (4), (24), (25).

Решение задачи (4), (24), (25) единственно тогда и только тогда, когда

выполняется условие (26).

В параграфе §3.3 исследуется краевая задача для уравнения (3) с локальным смещением: найти регулярное решение уравнения (3), удовлетворяющее условиям

и(0) = и0, (27)

и

(1) аки(хк)= Щ, Хк Е (0,1),

к=1

где и0,и1,ак - заданные действительные числа.

1

Теорема 11. Пусть функция / (х) удовлетворяет условиям (13) и выполняется условие р = 0. Тогда существует регулярное решение задачи (27), (28) для уравнения (3), определяемое равенством 1

1

А 0

¿=0

где

= а%{х - 1)н(х - ¿) - 0^(1 - +

р

+ ]Г акС%(хк - 1)Н(хк - +

к=1 р

п

р = 1 + ^1^т1+2(1) - £ ак [хк + )].

к=1

Решение задачи (3), (27), (28) единственно тогда и только тогда, когда р = 0.

В параграфе §3.4 исследуется краевая задача для уравнения (3) с интегральным смещением: найти регулярное решение уравнения (3), удовлетворяющее условиям

и(0) = и0, (29)

1

и(1) — ^ К= и2, (30)

0

где К(£) Е С[0,1]- заданная функция, и0, и2— заданные постоянные.

Теорема 12. Пусть функция /(х) удовлетворяет условиям (13) и выполняется условие (ТЖ) (0) = 0. Тогда, существует регулярное решение задачи (29), (30) для уравнения (3), определяемое равенством

1 1 ,/ ч^/ Л, Ж(х) / ,, ч (ТЖ')(0)Ж(х)\

'w v ' у ЧТж)(0) Ч ' у (Тж)(0)

ж (х) (тет1) (г)

0 где

г (х, г) = ст1 (х — (х — г) —

(Т ж) (0)

(Тп)(г) = п(1 - г) -у к (£ Ш - гЩ,

г

ш = х + и1ат+2(х).

Решение задачи (3), (29), (30) единственно тогда и только тогда, когда выполняется условие (ТШ) (0) = 0.

Вводные сведения

0.1 Специальные функции

Гамма-функция Эйлера определяется одной из следующих формул:

с»

о

оо

» / Ч и

^ ( — 1)k 1 Г

k=0 i

Для любых z G C имеет место интегральное представление Ханкеля

( epp~zdp,

r(z) 2ni J

j(r, шп)

где 1/2 < ш < 1; через Y(г,шп) обозначен контур Ханкеля, состоящий из дуги окружности |p| = r, arg p < шп, и двух луч ей arg p = шп, и argp = -шп, |p| > r :

Y(r, шп) = {p : |p| = r, | argp| < шп} U {p : |p| > r, argp = ±шп}.

Направление обхода выбрано в сторону неубывания arg p. Гамма-функция удовлетворяет соотношениям

r(z + 1) = zr(z),

Г(п + 1) = n!, n G N,

Г(4Г(1 - z) = -

п

sin пz

Г(г)Г(г + 1/2) = ^Г(2г).

Для больших положительных значений х имеет место асимптотическая формула Стирлипга

■ в/ Ух-

Бета-функция представляется в виде интеграла

1

BM = jX*-\1 - x)q~ldx, ШР.Шд> О,

0

и связана с гамма-функцией соотношением

н(г> п\ Г> пас

Q) = ТТ7—;—г P,q ь. Г(р + q)

Функция типа Миттаг-Леффлера определяется с помощью ряда [6, с.

1171

Ei/a(z; =

zn

„ Г(ап + а)'

n=0 v ' '

Справедливы формулы

Ei/a{z] fi) = —+ zE1/a(z; ß + a),

E\(z; 1) = ez, zEi/2(—z2; 2) = sin z, Ei/2(-z2; 1) = cos z.

Для больших значений |z| имеет место асимптотическое разложение функции типа Миттаг-Леффлера: при | arg z| < а\п

Ел, (z' и) = -z^)/aezl/a - V_—_+ о( 1 ^

при a1n < | argz| < п

n

z-k „( 1

, r(ß — ka) V|z|n+17'

k=1 v 7

где 0 < a < 2, a1 £ (a/2, a). В случае a > 2 справедлива формула

1 n —k / i \

= - E (г™)1-"^ - E W^TXT + °

a^* '' — ka) V|z|n+1

k=1

где Zm = z1/aei2nm/a, а суммирование в первой сумме проводится по тем т, m = 0, ±1, ±2,..., для которых выполнены неравенства | argz+2пт1 < £ + ап/2; n G N, £ > 0.

0.2 Операторы интегро-дифференцирования дробного порядка

Оператор интегро-дифференцирования в смысле Римана-Лиувилля дробного порядка а Е К, с началом в точке а, определяется следующим образом [22]:

X

- а) Г и(в)(18

а

Лахм(х) = и(х), а = 0;

В^хи{х) = sigпn(ж — а)^—пи(х), п — 1 < а < п, пеЕ

Регуляризованная дробная производная (производная Капуто) определяется равенством [22], [25]

д>(х) = ^Пп(х — а)^пи(п)(х), п — 1 < а < п, п Е Н, (0.1) и связана с производной Римана-Лиувилля соотношением

п1

дахи(х) ~ ^ахи(х) 'У ^ . '

к=0 а + 1)

где п — 1 <а < п, п Е N.

В случае, когда порядок дифференцирования а = п является целым, имеют место соотношения

ЛПхм(х) = дПхи(х) = signn(x — а)и(п)(х), п е N.

Отметим, что оператор (0.1) в научной литературе также известен под названием оператора Герасимова-Капуто [11], [23].

Для произвольного а Е К справедливы: закон композиции операторов дробного интегро-дифференцирования [22, с. 87]

Я0ХЯвХи(х) = ^х+ви(х), в < 0, (0.2)

и обобщенная формула Ньютона-Лейбница

п | |_а_к

х — а а к

к=1

где n — 1 <в < n, n G N.

Имеют место формулы дробного интегрирования по частям [25, с. 15 b b J = Ja < 0, (0.3)

a a

Для степенных функций и функции типа Миттаг-Леффлера справедливы формулы дробного интегрирования и дифференцирования

Г)а 1т — — U _ nlM-«-!

1 "Г(д-а)1 1

|x — а|м—1E1/e(A|x — а|в; д) = |x — а|м—a—1 E^e(A|x — а|в; д — a),

где a G R для любого д > 0 и a G N для произвольного д G R.

Свертка Лапласа функций u(x) и v(x) представляется в виде интеграла

x

(u * v)(x) = Ju(s)v(x — s)ds. 0

В терминах свертки операторы дробного интегро-дифференцирования с началом в точке а = 0 могут быть представлены следующим образом:

D?Vru(x) = и * --, а < 0,

Г(—a)

dn f xn—1 \

DZru(x) = -— f и * —-- ), n — 1 < a < n, nGN,

0x w dxn V Г(п — a) у "

^n—a—1

da„u(x) = * —--, n - 1 < a < n, nGN,

Г(п - a)

Справедлива формула

1 в 1 ГУ*I в 1

-*-=- о В > 0

Г(а) Г(/3) Г(а + /3)'

Функция типа Райта определяется через контурный интеграл

e^[Z)~2m J

Y(r, шп)

1

еН~6Ei (zt?; д) dt.

При а > в, а > 0 для любо го г £ С справедливо представление

с

__гуП

/ \ _ _£_

1 3

При а = ц = 1 совпадает с функцией Райта: в^(г) = ф(—в, 5, г), где

» хи

> М, г) = У2 -;—V Р>~1

^ п\Г(рп + ц)

п=0 к /

- функция Райта [67].

Для функции ф (р, ц; г) справедливы формулы [67, 68

(

м; ¿0 = Ф(р, м + р; ¿0

и, при Л> 0, р > —1, ц, V £ М, [25, с. 25]

ур—1ф (р, ц; —Лур) = у—1 ф (р, ц — V; —Лур)

- формула дробного дифференцирования функции Райта.

у

I (у — гу—1 ф (р, ц; —С (у — г)р) г"—1ф (р, ц; —пгр) (г = о

= ур+1У—1ф (р, ц + V; — (С + п) ур) ,С,П> 0, р> —1, ц, V £ М

формула свертки функции Райта [25, с. 30]. Известно также, что [91, [25, с. 74

J г5-1ф (р, ¡1\ -г) (И = у м е м, р> -1, б > о

о

и [66]

ф (р, ц; —у) > 0, р> —1, ц > 0, у > 0. Имеет место интегральное представление функции Райта [68

ф(р, [г, г) = [ р мехр (р + гр ф, 2 е С,/х > -1,/х е М, (0.4)

где y(r, шп) — контур Ханкеля, состоящий из дуги окружности |p| = r, | arg p| < шп и двух луч ей |p| > r > 0, arg p = ±шп :

Y(r, шп) = {p : |p| = r, | argp| < шп} U {p : |p| > r, argp = ±шп}.

Направление обхода выбрано в сторону неубывания arg p. Представление (0.4) справедливо для любых r> 0 и ш £ (1/2,1].

Глава 1

Задача Коши

В этой главе построим общее представление решения уравнения

т

Ьи(х) = ви(х) + Ли(х) = /(х), 0 < х < 1, (1.0.1)

где а1 е (п — 1,п], а1 > а2 > ••• > ат, в1 > 0, Л, вз е М, где д^— дробная производная Герасимова-Капуто, определяемое равенством (0.1).

Для уравнения (1.0.1) найдем общее представление решения, построим фундаментальное решение, исследовуем его свойства и решеним задачу Коши.

1.1 Постановка задачи

Определение 1. Регулярным решением уравнения (1.0.1) назовем функцию и = и(х), имеющую абсолют,но непрерывные производные до порядка п — 1 х е (0,1).

ЗАДАЧА 1. Найти регулярное решение уравнения (1.0.1), удовлетворяющее условиям:

и^(0)=щ, / = 0, п — 1, (1.1.1)

где и/ - заданные действительные числа.

1.2 Формула Лагранжа

Лемма 6. Пусть и(х), -и(х) - произвольные функции,

и(и—1)(х) е АС[0,1], и^(х) е Си[0,1], ^(х) е Ь[0,1].

Тогда справедлива формула

(Ьи * V)(х) = (и * £*и)(х) + ф(х), (1.2.1)

гс^е

и— 1

д(х) = V и(/)(г) V вз Д/(х — г)

/=0

3=1

¿=0

ЬМх) = £ в ^(х) + Мх)

(1.2.2)

3=1

Доказательство. Найдем свертку Лапласа функций Ьи(г) и г>(х),

то есть

(Ьи * г>)(х) = J Ьи(^)^(х — = 0

£вз да и(г) + Ли(£)

3=1

V(х — г)^. (1.2.3)

Пользуясь определением дробной производной Капуто (0.1) из равенства (1.2.3), имеем:

£вз до"/ и(г) + Ли(г)

3=1

г»(х — =

£в3 / Д/ ии(и)(ф(х — + Л / и(ф(х — г)^. (1.2.4)

3=1

х

Далее, с учетом формулы дробного интегрирования по частям (0.3) из соотношения (1.2.4) получаем следующее равенство:

X

т

/ < ь р р

(Ьп * V= вз (х - г)(г + х п(г)у(х - г)(г. (1.2.5)

3=1 0 0 Проинтегрируем первое слагаемое в правой части равенства (1.2.5) п раз по частям.

Подставив полученное выражение в соотношение (1.2.5)

тп

\Ь=х

-п-1+\,(х - ь)С0+

3=1 к=1

т

+ I п(г) £ в3вХ;v(x - г) + XV(х - г) I (г

0 3 =1

придем к формуле (1.2.1).

Дифференциальное выражение Ь*v(x), определенное формулой (1.2.2), назовем сопряженным к дифференциальному выражению Ьп(х), а соотношение (1.2.1) формулой Лагранжа для дифференциальных операторов Ь и Ь*.

1.3 Фундаментальное решение

Введем в рассмотрение функцию От(х)

Ст(х) = От(х; VI,..., ит; ъ,...,1т) =

сс

= J в-г вт (х; и1г,...,итг; ъ,...,1т)((г, (1.3.1) 0

в терминах которой далее будет построено решение уравнения (1.0.1). Здесь и далее

л /3,

VI = -—, У3 = 71 = а 1, = «1 - а,-, {] = 2,ш) (1.3.2)

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Гадзова Луиза Хамидбиевна, 2019 год

Литература

[1] Богатырева Ф.Т. Краевая задача со смещением для обыкновенного дифференциального уравнения с оператором дробного дифференцирования Джрбашяна-Нерсесяна / Ф.Т. Богатырева // Дифференциальные уравнения. -2014. -Т. 50, № 2. - С. 160-166.

[2] Вольтерра В. Теория функционалов, интегральных и интегро-дифференциальных уравнений / В. Вольтерра —М.: Наука, 1982. -304 с.

[3] Выгодский М.Я. Справочник по элементарной математике / М.Я. Выгодский —М.: ACT: Астрель, 2006. -509 с.

[4] Глушак A.B. О корректности задачи типа Коши для абстрактного дифференциального уравнения с дробными производными /A.B. Глушак // Изв. вузов. Матем. -2009. № 9. - С. 13-24.

[5] Глушак A.B. Об одной обратной задаче для абстрактного дифференциального уравнения дробного порядка / A.B. Глушак // Матем. заметки. -2010. -Т. 87, № 5. -С. 684-693.

[6] Джрбашян М.М. Интегральные преобразования и представления функций в комплексной области /М.М. Джрбашян М.: Наука, 1966. -672 с.

[7] Джрбашян М.М., Нерсесян А.Б. Дробные производные и задача Коши для дифференциальных уравнений дробного порядка /М.М. Джрба-

шян, А.Б.Нерсесян // Изв. АН Армянской ССР. Матем. -1968. -Т. 3, Л" 1. - С. 3-28.

[8] Джрбашян М.М. Краевая задача для дифференциального оператора дробного порядка типа Штурма-Лиувилля / М.М. Джрбашян // Изв. АН Армянской ССР. -1970. -Т. 5, № 2. - С. 71-96.

[9] Джрбашян М.М., Багян P.A. Об интегральных представлениях и мерах, ассоциированных с функцией Миттаг-Леффлера /М.М. Джрбашян, P.A. Багян // Докл. АН СССР. -1975. -Т. 223, № 6. - С. 1297-1300.

[10] Ильин В.А., Моисеев Е.И. Нелокальная краевая задача первого рода для оператора Штурма-Лиувилля в дифференциальной и разностной трактовках / В.А. Ильин, Е.И. Моисеев // Дифференциальные уравнения. -1987. -Т. 23. № 7. -С. 1198-1207.

[11] Килбас А.А Теория и приложения дифференциальных уравнений дробного порядка (курс лекций) / A.A. Килбас // Методологическая школа-конференция "Математическая физика и нанотехнологии". Самара, 2009. -121 с.

[12] Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа, Т. II. / Л.Д. Кудрявцев -М.: Высшая школа, 1981. -584 с.

[13] Курош А.Г. Курс высшей алгебры / А.Г. Курош — М., 1968. -431 с.

[14] Мажгихова М.Г. Задача Дирихле для обыкновенного дифференциального уравнения дробного порядка с запаздывающим аргументом / М.Г. Мажгихова // Дифференциальные уравнения. -2018. -Т. 54. Л'° 2. С. 187-194.

[15] Мажгихова М.Г. Краевые задачи для линейного обыкновенного дифференциального уравнения дробного порядка с запаздывающим аргументом / М.Г. Мажгихова // Сиб. электрон, матем. изв. -2018. -Т. 15. -С. 685-695.

[16] Мажгихова M.Г. Начальная h краевая задачи для обыкновенного дифференциального уравнения дробного порядка с запаздывающим аргументом / М.Г. Мажгихова // Челябинский Физико-Математический Журнал. -2018. -Т. 3. № 1. -С. 27-37.

[17] Мамчуев М.О. Краевая задача для линейной системы уравнений с частными производными дробного порядка /М.О. Мамчуев // Челябинский физико-математический журнал. -2017. -Т. 2, вып. 3. - С. 295311.

[18] Нахушев A.M. Задача Штурма-Лиувилля для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка с дробными производными в младших членах / A.M. Нахушев // ДАН СССР. -1977. -Т. 234, № 2. - С. 308-311.

[19] Нахушев A.M. К теории дробного исчисления / A.M. Нахушев // Дифференциальные уравнения. -1988. -Т 24, № 2. - С. 313-324.

[20] Нахушев A.M., Тхакахов Р.Б. О континуальных аналогах реологических уравнений состояния и логистическом законе изменения вязко-упругих свойств полимера / A.M. Нахушев, Р.Б. Тхакахов // Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. -1995. -Т. 1, Л" 2. - С. 6-11.

[21] Нахушев A.M. Уравнения математической биологии / A.M. Нахушев -М.: Высш. шк., 1995. -301 с.

[22] Нахушев A.M. Дробное исчисление и его применение / A.M. Нахушев -М.: Физматлит, 2003. -272 с.

[23] Новоженова О.Г. Биография и научные труды Алексея Никифорови-ча Герасимова. О линейных операторах, упруго-вязкости, элевтерозе и дробных производных / О.Г. Новоженова -М.: Перо, 2018. -235 с.

[24] Псху A.B. Задача Коши для дифференциального уравнения континуального порядка /A.B. Псху // Матем. моделирование и краев, задачи. -2004. Часть 3. - С. 180-182.

[25] Псху A.B. Уравнения в частных производных дробного порядка / A.B. Псху -М.: Наука, 2005. -199 с.

[26] Псху A.B. Фундаментальное решение обыкновенного дифференциального уравнения континуального порядка / A.B. Псху // Матем. моделирование и краев, задачи. -2007. Часть 3. - С. 153-156.

[27] Псху A.B. К теории задачи Коши для линейного обыкновенного дифференциального уравнения дробного порядка /A.B. Псху // Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. -2009. -Т. 11, Л" 1. -С. 61-65.

[28] Псху A.B. Начальная задача для линейного обыкновенного дифференциального уравнения дробного порядка / A.B. Псху // Мат. сборник. -2011. -Т. 202, № 4. -С. 111-122.

[29] Псху A.B. Краевая задача для уравнения в частных производных первого порядка с оператором дробного дискретно распределенного дифференцирования / A.B. Псху // Дифференциальные уравнения. -2016. -Т. 52, № 12. -С. 1682-1694.

[30] Псху A.B. Уравнения дробной диффузии с оператором дискретно распределенного дифференцирования / A.B. Псху // Сиб. электрон, матем. изв. -2016. -Т. 13. -С. 1078-1098.

[31] Работнов Ю.Н. Ползучесть элементов конструкций / Ю.Н. Работнов -М.: Наука, 1966. -752 с.

[32] Работнов Ю.Н. Элементы наследственной механики твердых тел / Ю.Н. Работнов -М.: Наука, 1977. -261 с.

[33] Стрелецкая Е.М., Федоров В.Е., Дебуш А. Задача Коши для уравнения распределенного порядка в банаховом пространстве / Е.М. Стрелецкая, В.Е. Федоров, А. Дебуш // Математические заметки. -2018. -Т. 25, № 1. - С. 63-72.

[34] Самко С.Г., Килбас A.A., Маричев О.И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения / С.Г. Самко, A.A. Килбас, О.И. Маричев -Минск.: Наука и техника, 1987. -688 с.

[35] Сургуладзе Т.А. О некоторых применениях дробого исчисления в вязкоупругости / Т.А. Сургуладзе -Рукопись деп. в ВИНИТИ РАН, 07.06.99, № 1827-В99.

[36] Сургуладзе Т.А. Об одном применении дробного исчисления в вязкоупругости / Т.А. Сургуладзе -Вести. Моск. ун-та. Матем. Механ. -2000. № 5. -С. 62-66.

[37] Сургуладзе Т.А. Об одном применении дробой функции Грина / Т.А. Сургуладзе // Изв. РАН. Механ. твердого тела. -2001. № 1. -С. 53-60.

[38] Сургуладзе Т.А. Об одном применении дробного исчисления к вязко-упругим волнам на всей оси / Т.А. Сургуладзе // Упругость и неупругость. Изд-во Моск. ун-та. -2001. -С. 404-406.

[39] Сургуладзе Т.А. О некоторых применениях дробого исчисления в вязкоупругости / Т.А. Сургуладзе В книге "Итоги науки и техники. Фундаментальные направления". -2001. -Т. 83. -59 с.

[40] Сургуладзе Т.А. On Certain Applications of Fractional Calculus to Viscoelasticity / Т.А. Сургуладзе // Journal of Mathematical Sciences. -2002. December 10. -Pp. 4517-4558.

[41] Тарасов В.Е. Модели теоретической физики с интегро-дифференцированием дробного порядка / В.Е. Тарасов- М. Ижевск: Институт компьютерных исследований. -2011. -568 с.

[42] Учайкин В.В. Метод дробных производных / В.В. Учайкин -Ульяновск: Изд."Артишок". -2008. -512 с.

[43] Штокала И.З. Операционное исчисление (обобщение и приложения) / И.З. Штокала -Киев: Наукова думка. -1972. -304 с.

[44] Эфендиев Б.И. Задача Коши для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка с континуальной производной / Б.И. Эфендиев // Дифференциальные уравнения. -2011. -Т. 47, № 9. - С. 1304 1368.

[45] Эфендиев Б.И. Задача Стеклова для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка с континуальной производной / Б.И. Эфендиев // Дифференциальные уравнения. -2013. -Т. 49, № 4. -С. 469-475.

[46] Эфендиев Б.И. Начальная задача для непрерывного дифференциального уравнения второго порядка / Б.И. Эфендиев // Дифференциальные уравнения. -2014. -Т. 50, № 4. - С. 564-568.

[47] Alikhanov Anatoly A. Numerical methods of solutions of boundary value problems for the multi-term variable-distributed order diffusion equation / Anatoly A. Alikhanov // Applied Mathematics and Computation. -2015. -Vol. 268, № 1. -Pp. 529-541.

[48] Barrett J.H. Differential equations of non-integer order / J.H. Barrett // Canadian J.Math. -1954. -Vol. 6, № 4. -Pp. 529-541.

[49] Bagley R.L., Torvik P.J. Fractional Calculus in the Transient Analysis of Viscoelastically Damped Structures / R.L. Bagley, P.J. Torvik // AIAA Journal. -1985. -Vol. 23, № 6. -Pp. 918-925.

[50] Caputo M. Diffusion with space memory modelled with distributed order space fractional differential equations / M. Caputo // Annals of Geophysics. -2003. -Vol. 46. № 2. -Pp. 223-234.

[51] Diethelm K., Ford N.J. Numerical analysis for distributed-order differential equations / K. Diethelm, N.J. Ford // J. of Comp. and Appl. Math. -2009. -Vol. 225. -Pp. 96-104.

[52] Gongsheng Li, Chunlong Sun, Xianzheng Jia, Dianhu Du. Numerical Solution to the Multi-Term Time Fractional Diffusion Equation in a Finite Domain / Li Gongsheng, Sun Chunlong, Jia Xianzheng, Du Dianhu // Numer. Math. Theory. Meth. Appl. -2016. -Vol. 9, № 3. -Pp. 337-357.

[53] Hilfer R. Applications of fractional calculus in physics / R. Hilfer World Scientific, River Edge, NJ, USA. -2000.

[54] Jiao Z., Chen Y.-Qu., Podlubny I. Distributed-Order Dynamic Systems: Stability, Simulation, Applications and Perspectives / Z. Jiao, Y.-Qu. Chen, I. Podlubny -London. -2012.

[55] Kochubei A.N. Distributed Order Derivatives and Relaxation Patterns / Anatoly N. Kochubei // Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical. - 2009/5/5. arXiv preprint arXiv:0905.0616.

[56] Kochubei A.N. Distributed order calculus and equations of ultraslow diffusion / Anatoly N. Kochubei // Journal of Mathematical Analysis and Applications. -2008. -Vol. 340,№ 1. -Pp. 251-282.

[57] Kochubei A.N. General Fractional Calculus, Evolution Equations, and Renewal Processes / Anatoly N. Kochubei // Integral Equations and Operator Theory. -2011. -Vol. 71, № 4. -Pp. 583-600.

[58] Kilbas A.A., Srivastava H.M., Trujillo J.J. Theory and applications of fractional differential equations / A.A. Kilbas, H.M. Srivastava, J.J. Trujillo // North-Holland Math. Stud., Elsevier, Amsterdam. -2006. -Vol. 204.

[59] LuchkoYwri Boundary value problems for the generalized time-fractional diffusion equation of distributed order / Yuri Luchko // Fract. Calc. Appl. Anal. . -2009. -Vol. 12, № 4. -Pp. 409-422.

[60] Mamchuev M.O. Solutions of the main boundary value problems for the time-fractional telegraph equation by the Green function method /M.O. Mamchuev // Fract. Calc. Appl. Anal. -2017. -Vol. 20, № 1. -Pp. 190-211.

[61] Mamchuev M.O. Boundary Value Problem for the Time-Fractional Telegraph Equation with Caputo Derivatives / M.O. Mamchuev // Math. Model. Nat. Phenom. (Special functions and analysis of PDEs). -2017. -Vol. 12, № 3. -Pp. 82-94.

[62] Mohammed Al-Refai, Yuri Luchko Analysis of fractional diffusion equations of distributed order: Maximum principles and their applications / Mohammed Al-Refai, Yuri Luchko // Analysis. -2016. -Vol. 36, № 2. -Pp. 123-133.

[63] Ozturk I. On the theory of fractional differential equation / I. Ozturk // Reports of Adydhe (Circassian) International Academy of Scienses. -1998. -Vol. 3, № 2. -Pp. 35-39.

[64] Oldham K.B., Spanier J. The fractional calculus / K.B. Oldham, J. Spanier -N.-Y.; L.: Acad, press. -1974.

[65] Podlubny I. Fractional Differential Equations / I. Podlubny -ACADEMIC PRESS. -1999. -Vol. 198.

[66] Stankovic B. On the function of E.M. Wright / B.Stankovic // Publications de L'institut Mathematique, Beograde. -1970. -Vol. 10, № 24. -Pp. 113124.

[67] Wright E.M. On the coefficients of power series having exponential singularities / E.M. Wright // J.London Math. Soc. -1933. -Vol. 8, № 29. -Pp. 71-79.

[68] Wright E.M. The generalized Bessel function of order greater than one / E.M. Wright // Quart. J. Math., Oxford Ser. -1940. 11. -Pp. 36-48.

[69] Zhiyuan Li, Yuri Luchko, Masahiro Yamamoto Asymptotic estimates of solutions to initial-boundary-value problems for distributed order time-fractional diffusion equations / Zhiyuan Li, Yuri Luchko, Masahiro Yamamoto // Fract. Calc. Appl. Anal. -2014. -Vol. 17, № 4. -Pp. 11141136.

[70] Zhiyuan Li, Yuri Luchko, Masahiro Yamamoto Analyticity of solutions to a distributed order time-fractional diffusion equation and its application to an inverse problem / Li Zhiyuan, Yuri Luchko, Masahiro Yamamoto // Computers Mathematics with Applications. -2017. -Vol. 73, № 6. -Pp. 1041-1052.

Список публикаций по теме диссертации

[71] Гадзова Л.Х. Краевая задача для обыкновенного дифференциального уравнения дробного порядка / Л.Х. Гадзова // Нелокальные краевые задачи и проблемы современного анализа и информатики: Материалы VIII Школы молодых ученых. -Нальчик-Хабез. -2010. - С. 35-36.

[72] Гадзова Л.Х. Краевая задача для линейного дифференциального уравнения дробного порядка с постоянными коэффициентами / Л.Х. Гадзова // Математическое моделирование фрактальных процессов, родственные проблемы анализа и информатики: Материалы Первой Всероссийской конференции молодых ученых. -Терскол. -2010. - С. 72-73.

[73] Гадзова Л.Х. Об одной краевой задаче для линейного дифференциального уравнения дробного порядка с постоянными коэффициентами / Л.Х. Гадзова // Нелокальные краевые задачи и проблемы современного анализа и информатики: Материалы IX Школы молодых ученых. -Нальчик. -2011. - С. 25-28.

[74] Гадзова Л.Х. Нелокальная краевая задача для обыкновенного дифференциального уравнения дробного порядка с постоянными коэффициентами / Л.Х. Гадзова // Математическое моделирование фрактальных процессов, родственные проблемы анализа и информатики: Материалы Международной конференции молодых ученых. -Нальчик: Изд. КБНЦ РАН. -2011. - С. 94-96.

[75] Гадзова Л.Х. Краевая задача для дифференциального уравнения дробного порядка с постоянными коэффициентами / Л.Х. Гадзова // Комплексный анализ и его приложения в дифференциальных уравнениях и теории чисел: Сб. материалов Международной конференции. -Белгород: ИПК НИУ "БелГУ". -2011. - С. 39-40.

[76] Гадзова Л.Х. Краевая задача для линейного дифференциального уравнения дробного порядка с постоянными коэффициентами / Л.Х. Гадзова // Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. 2011. -Т. 13, № 1. - С. 47-49.

[77] Гадзова Л.Х. Краевая задача для дифференциального уравнения дробного порядка с производной Капуто / Л.Х. Гадзова // Нелокальные краевые задачи и проблемы современного анализа и информатики: Материалы X Школы молодых ученых. -Нальчик. -2012. - С. 37-38.

[78] Гадзова Л.Х. Задача Неймана для обыкновенного дифференциального уравнения дробного порядка / Л.Х. Гадзова // Математическое моделирование фрактальных процессов, родственные проблемы анализа и информатики: Материалы Второй Всероссийской конференции молодых ученых. -Терскол. -2012. - С. 72-73.

[79] Гадзова Л.Х. Обобщенная задача Дирихле для линейного дифференциального уравнения дробного порядка с постоянными коэффициентами / Л.Х. Гадзова // Обратные и некорректные задачи математической

физики: Материалы Международной конференции, посвященная 80-летию со дня рождения академика М.М. Лаврентьева. -Новосибирск. -2012. - С. 354.

80] Гадзова Л.Х. Нелокальная краевая задача для обыкновенного дифференциального уравнения дробного порядка / Л.Х. Гадзова // Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. -2012. -Т. 14, ..V« 3. - С. 15-18.

81] Gadzova L.H. Generalized Dirichlet problem for linear differential equation of fractional order / Л.Х. Гадзова // International Conference on Actual Problems of Mathematics and Informatics. -Baku. -2013. -Pp. 40-41.

82] Гадзова Л.Х. Задача Штурма - Лиувилля для обыкновенного дифференциального уравнения дробного порядка / Л.Х. Гадзова // Современные методы и проблемы теории операторов и гармонического анализа и их приложения: Материалы III Международной научной конференции. -Ростов-на-Дону. -2013. - С. 52-53.

83] Гадзова Л.Х. Задача Неймана для обыкновенного дифференциального уравнения дробного порядка / Л.Х. Гадзова // Порядковый анализ и смежные вопросы математического моделирования: Тезисы докладов международной научной конференции. -Владикавказ: ЮМИ ВНЦ РАН и РСО-А. -2013. - С. 123.

84] Гадзова Л.Х. Нелокальная краевая задача для обыкновенного дифференциального уравнения дробного порядка / Л.Х. Гадзова // Современные проблемы дифференциальных уравнений и их приложения: Материалы научной конференции. -Ташкент. -2013. - С. 41-42.

85] Гадзова Л.Х. Задача Штурма - Лиувилля для обыкновенного дифференциального уравнения дробного порядка / Л.Х. Гадзова // Нелокальные краевые задачи и проблемы современного анализа и инфор-

матики: Материалы XI Школы молодых ученых. -Нальчик. -2013. -С. 20-21.

86] Гадзова Л.Х. Задача Дирихле для обыкновенного дифференциального уравнения дробного порядка / Л.Х. Гадзова // Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. -2013. -Т. 15, № 2. -С. 36-39.

87] Гадзова Л.Х. К теории краевых задач для дифференциального уравнения дробного порядка с постоянными коэффициентами / Л.Х. Гадзова // Современные вопросы математической физики, математической биологии и информатики: Всероссийская научная конференция молодых ученых. -Нальчик. -2014. - С. 42-43.

88] Гадзова Л.Х. О разрешимости задачи Дирихле для обыкновенного дифференциального уравнения дробного порядка с постоянными коэффициентами / Л.Х. Гадзова // Нелокальные краевые задачи и проблемы современного анализа и информатики: Материалы XII Школы молодых ученых. -Терскол. -2014. - С. 17-18.

89] Гадзова Л.Х. К теории краевых задач для дифференциального уравнения дробного порядка с производной Капуто / Л.Х. Гадзова // Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. -2014. -Т. 16, № 2. - С. 34-40.

90] Гадзова Л.Х. Задача Штурма - Лиувилля для обыкновенного дифференциального уравнения дробного порядка с постоянными коэффициентами / Л.Х. Гадзова // Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. -2014. -Т. 16, № 3. - С. 13-16.

91] Гадзова Л.Х. Обобщенная задача Дирихле для линейного дифференциального уравнения дробного порядка с постоянными коэффициен-

тами / Л.Х. Гадзова // Дифференциальные уравнения. -2014. -Т. 50, № 1. - С. 121-125.

[92] Гадзова Л.Х. Краевые задачи для обыкновенного дифференциального уравнения дробного порядка с постоянными коэффициентами / Л.Х. Гадзова // Порядковый анализ и смежные вопросы математического моделирования: Международная научная конференция. -Цей. -2015. -С. 135.

[93] Gadzova L. On solvability of Neumann problem for linear ordinary differential equation of fractional order with constant coefficients / L. Gadzova // On actual problems of applied mathematics and physics and School for young scientists"Nonlocal boundary problems of algebra, analysis and informatics" Proceedings of International Russian-Chinese conference. -Elbrus, Kabardino-Balkarian. -2015. -Pp. 65-66.

[94] Гадзова Л.Х. О разрешимости задачи Дирихле для обыкновенного дифференциального уравнения дробного порядка с постоянными коэффициентами / Л.Х. Гадзова // Доклады Адыгской (Черкесской) Международной акаде-мии наук. -2015. -Т. 17, № 2. - С. 25-28.

[95] Гадзова Л.Х. Задачи Дирихле и Неймана для обыкновенного дифференциального уравнения дробного порядка с постоянными коэффициентами / Л.Х. Гадзова // Дифференциальные уравнения. -2015. -Т. 51, № 12. - С. 1580-1586.

[96] Гадзова Л.Х. Задача Дирихле для обыкновенного дифференциального уравнения дробного порядка / Л.Х. Гадзова // Современные методы и проблемы теории операторов и гармонического анализа и их приложения VI: Материалы конференции. -Ростов - на - Дону. -2016. - С. 86.

[97] Гадзова Л.Х. Краевая задача для линейного обыкновенного дифференциального уравнения с оператором дробного дискретно распреде-

ленного дифференцирования / Л.Х. Гадзова // Теория операторов, комплексный анализ и математическое моделирование: Тезисы докладов XIII Международной научной конференции, нос. Дивноморское. -2016. - С. 103.

[98] Гадзова Л.Х. Двухточечная краевая задача для обыкновенного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами / Л.Х. Гадзова // Актуальные проблемы прикладной математики и автоматизации и XIV Школы молодых ученых "Нелокальные краевые задачи и современные проблемы анализа и информатики": Материалы Международной конференции. -Терскол. -2016. - С. 86-87.

[99] Гадзова Л.Х. Задача Неймана для обыкновенного дифференциального уравнения дробного порядка / Л.Х. Гадзова // Владикавказский математический журнал. -2016. -Т. 18, № 3. - С. 22-30.

[100] Гадзова Л.Х. Об асимптотике фундаментального решения обыкновенного дифференциального уравнения дробного порядка с постоянными коэффициентами / Л.Х. Гадзова // Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки, 2016. -Т. 13. 2. - С. 7-11.

[101] Гадзова Л.Х. Нелокальная краевая задача для обыкновенного дифференциального уравнения дробного порядка / Л.Х. Гадзова // Актуальные проблемы прикладной математики и физики: Материалы Международной научной конференции. -Нальчик, ИПМА КБНЦ РАН. -2017. - С. 63-64.

[102] Гадзова Л.Х. Краевые задачи для дифференциального уравнения с оператором дробного дискретно распределенного дифференцирования / Л.Х. Гадзова // Современные методы теории краевых задач: материалы международной конференции: Воронежская весенняя матема-

тическая школа "Понтрягинские чтения - XXVIII". -Воронеж. -2017. - С. 54.

[103] Гадзова Л.Х. Об асимптотике фундаментального решения обыкновенного дифференциального уравнения дробного порядка / Л.Х. Гад-зова // Тезисы докладов "Ежегодная научно апрельская конференция ИМММ посвященная дню науки и научный семинар "Дифференциальные операторы и моделирование сложных систем" (DOMCS-2017), посвященный 70 - летному юбилею профессора М.Т. Дженалиева". -Казахстан. -2017. - С. 128-130.

[104] Гадзова Л.Х. Нелокальная краевая задача для обыкновенного дифференциального уравнения с оператором дискретно распределенного дифференцирования / Л.Х. Гадзова // Известия Кабардино-Балкарского научного центра РАН. -2017. -Т. 75. 1. - С. 12-18.

[105] Гадзова Л.Х. Формула Лагранжа для обыкновенного дифференциального уравнения с оператором дробного дискретно распределенного дифференцирования / Л.Х. Гадзова // Актуальные проблемы прикладной математики: Материалы IV Международной научной конференции,- Нальчик, ИПМА КБНЦ РАН. -2018. - С. 77.

[106] Гадзова Л.Х. К теории краевых задач для уравнения с оператором дробного дискретно распределенного дифференцирования / Л.Х. Гадзова // Математический анализ и математическое моделирование: тезисы докладов XIV Владикавказской молодежной математической школы (РСО-А, с. Н. Цей, 16-21 июля 2018 г.) -Владикавказ: ЮМИ ВНЦ РАН. -2018. - С. 13.

[107] Гадзова Л.Х. Нелокальные краевые задачи для обыкновенного дифференциального уравнения с оператором дискретно распределенного дифференцирования / Л.Х. Гадзова // Современная математика и ее

приложения: материалы Международной научно-практической конференции (Грозный 21-23 октября 2018 г.) -Махачкала: АЛЕФ, ЧГПУ. -2018. - С. 49-50.

[108] Гадзова Л.Х. Нелокальная краевая задача для обыкновенного дифференциального уравнения с оператором дискретно распределенного дифференцирования / Л.Х. Гадзова // Нелокальные краевые задачи и родственные проблемы математической биологии, информатики и физики: Материалы V Международной научной конференции, посвященной 80-летию Адама Маремовича Нахушева. -Нальчик, IIII.MА КБНЦ РАН. -2018. - С. 62.

[109] Гадзова Л.Х. Краевая задача для линейного обыкновенного дифференциального уравнения с оператором дробного дискретно распределенного дифференцирования / Л.Х. Гадзова // Дифференциальные уравнения. -2018. -Т. 54, № 2. - С. 180-186.

[110] Гадзова Л.Х. Краевая задача со смещением для линейного обыкновенного дифференциального уравнения с оператором дискретно распределенного дифференцирования / Л.Х. Гадзова // Итоги науки и техн. Сер. Соврем, мат. и ее прил. Темат. обз. -2018. -Т. 149. - С. 25-30.

[111] Гадзова Л.Х. Задача Коши для обыкновенного дифференциального уравнения с оператором дробного дискретно распределенного дифференцирования / Л.Х. Гадзова // Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. -2018. -Т. 23. 3. - С. 47-56.

[112] Гадзова Л.Х. Метод функции Грина решения краевых задач для обыкновенного дифференциального уравнения дробного порядка / Л.Х. Гадзова // Материалы IX международной конференции "Современные методы и проблемы теории операторов и гармонического анализа и их приложения". -Ростов-на-Дону. -2019. -С. 78-79.

[113] Гадзова Л.Х. К теории краевых задач для обыкновенного дифференциального уравнения дробного порядка с постоянными коэффициентами / Л.Х. Гадзова // Современные методы теории краевых задач: материалы международной конференции: Воронежская весенняя математическая школа "Понтрягинские чтения - XXX". -Воронеж. -2019. - С. 98.