Краевые задачи для уравнения диффузии дробного порядка в многомерной области тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.03, кандидат физико-математических наук Нахушева, Фатима Мухамедовна

• Нахушева, Фатима Мухамедовна
• кандидат физико-математических наук
• 1998

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Нахушева, Фатима Мухамедовна

Введение.3

Глава 1.6

§1. Постановка задачи, априорная оценка.б

§2. Метод Ротэ для решения первой начально-краевой задачи в многомерной области.7

§3. Третья краевая задача.8

§4. Локально-одномерная схема (ЛОС) для нестационарного уравнения с дробной производной в р-мерном параллелепипеде.9

Глава II.12

§ 1. Постановка задачи. 12

§ 2. Априорная оценка. 12

§ 3. Третья краевая задача. 13

§ 4. Схема Ротэ третьей краевой задачи для уравнения. 14 теплопроводности в р-мерном прямоугольном параллелепипеде. 14

§ 5. Локально-одномерная схема для уравнения диффузии дробного порядка. 15

Глава III.17

§ 1. Постановка задачи. 17

§ 2. ЛОС для обобщенного уравнения переноса в р-мерном параллелепипеде.

§ 3. Первая начально-краевая задача для уравнения диффузии дробного порядка с малым параметром при старшей производной по времени. 19

§ 4. ЛОС для возмущенной задачи.20

§ 5. Краевые задачи с нелокальным по времени условием для уравнения теплопроводности.21

§ 6. Случай уравнения с переменными коэффициентами.23

Глава I. Краевые задачи для нестационарного уравнения с дробной производной в младших членах в многомерной области.22

§1. Постановка задачи.22

§2. Априорная оценка для решения первой начально-краевой задачи в многомерной области.22

§3. Метод Ротэ для нестационарного уравнения с дробной производной в младших членах.28

§4. Третья краевая задача, априорная оценка.31

§5. Метод Ротэ для решения третьей краевой задачи.35

§6. Локально-одномерная схема для нестационарного уравнения с дробной производной в р-мерном параллелепипеде.36

§7. Равномерная сходимость локально-одномерной схемы.42

Глава II. Краевые задачи для уравнения диффузии дробного порядка. 47

§ 1. Постановка задачи.47

§ 2. Априорная оценка для решения первой начально-краевой задачи (2.1).47

§ 3. Третья краевая задача.52

§ 4. Метод Ротэ третьей краевой задачи для уравнения теплопроводности в рмерном прямоугольном параллелепипеде.58

§ 5. Локально-одномерная схема для уравнения диффузии дробного порядка. 59

5.1. Дискретный аналог дробной производной порядка а, 0<а<1.60

5.2. Погрешность аппроксимации. .63

5.3. Устойчивость локально-одномерной схемы в равномерной метрике.65

5.4. Сходимость локально-одномерной схемы.69

Глава III.Краевые задачи для обобщенного уравнения переноса в р-мерном параллелепипеде.72

§ 1. Постановка задачи. 72

§ 2. Локально-одномерная схема для обобщенного уравнения диффузии в рмерном параллелепипеде. 74

§ 3. Устойчивость ЛОС. 76

§ 4. Первая начально-краевая задача для уравнения диффузии дробного порядка с малым параметром при старшей производной по времени.80

§ 5. Локально-одномерная схема для уравнения диффузии дробного порядка с малым параметром при старшей по времени производной.83

§6. Устойчивость ЛОС.85

§ 7. Сходимость ЛОС.87

§ 8. Краевые задачи с нелокальным по времени условием для уравнения теплопроводности.89

§ 9. Случай уравнений с переменными коэффициентами.93

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Краевые задачи для уравнения диффузии дробного порядка в многомерной области»

Многие проблемы теории фильтрации жидкости в сильно-пористой среде (во фрактальной среде), фильтрации жидкости в трещиноватой среде с фрактальной геометрией трещин приводят к необходимости изучения краевых задач для дифференциальных уравнений с дробной производной [9, 23, 33-36, 41, 54], язык дробных производных применен в работе [53] при описании физических процессов стохастического переноса. Дробные производные использовались также при изучении деформационно-прочностных свойств полимерных материалов [10]. В [55, 56] предложена физическая интерпретация дробной производной, не связанная с той или иной конкретной проблемой. На основе этой интерпретации получены обобщенные уравнения переноса для медленных и быстрых стохастических процессов. dp f(x)

Идея обобщения понятия — дифференцирования на нецелые р dxp возникла с самого зарождения дифференциального исчисления. Первые шаги в этом направлении были сделаны Г.Лейбницем, Я.Бернулли, Л.Эйлером, Ж.Фурье [69, 66]. Понятие дробной производной тесно связано с интегральным уравнением Абеля х>а,0

1 d}jm, (о.2)

T{\-a)dx[(x-t)a

Выражение, стоящее в правой части (0.2), есть дробная производная порядка а,

0<а<1 и будем обозначать ее через D"xf (или D"tf) (см. [49, 37]).

В 1832-1837 гг. появляется серия работ Лиувилля [70-77], сделавших его по праву создателем уже достаточно полноценной теории дробного исчисления. Изучение производных любого порядка было продолжено в работах Б.Римана, Х.Хольмгрена, А.В.Летникова, А.Грюнвальда [32, 67, 68, 81]. К первым работам по теории дифференциальных уравнений дробного порядка следует отнести работы L.O'Shaughnessy, S.Mandelbrojt [79, 78]. Задачу типа Коши для уравнения

D"хУ ~ /(Х>У) рассмотрели E.Pitcher, W.E.Sewell в работе [80], в которой они доказали теорему существования и единственности решения рассматриваемой задачи. В дальнейшем эти результаты были значительно обобщены в работах M.A.Bassam [64, 65], A.Z.Al.Abedeen [63], A.Z.Al.Abedeen, H.L.Arora [62], где получен ряд результатов, аналогичных теоремам из теории обыкновенных дифференциальных уравнений.

В работе А.М.Нахушева [37] изучена задача Штурма-Лиувилля для дифференциального уравнения дробного порядка т

Ly ее у\х) + а0(х)у'(х) + (x)Dg (cok(х)у(х)) + ат+1 (х)у(х) = /(*), (0.3) к=1 где 0<ак<\, а0(х), ат+1(х), аре), сок(х), к= 1, 2,., т; fix) - непрерывные на [0,1] функции, оператор дробного в смысле Римана-Лиувилля дифференцирования порядка а.

К задаче Штурма-Лиувилля р0у'( 0) + q0y( 0) = r0, рху\ 1) + qxy{\) = гх для уравнения вида (0.3) редуцируются многие прямые и обратные задачи для уравнения смешанного гиперболо-параболического типа.

В работах [1, 2] Т.С.Алероев исследовал спектр задачи Дирихле для дифференциального уравнения и\х) + a(x)D%xu = fix), 0<х<1, 0<а<1. (0.4)

Им показано, что задача и{0) + ри\Щ = и{ 1) = 0, у? > 0, /(х) = 0, а(х) = Я не имеет отрицательных собственных значений.

Еще раньше А.М.Нахушевым в [37] показано, что число X является собственным значением задачи м(0) = 0, и{ 1) = 0, а(х) = Х для уравнения (0.4) тогда и только тогда, когда Хк является нулем функции Миттаг-Леффлера Е1а2(-Л) (см. [20]).

Ряд работ В.К.Вебера [11-16], М.И.Иманалиева, В.К.Вебера [25] посвящен исследованию систем дифференциальных уравнений дробного порядка в пространствах обобщенных функций.

Работа М.Х.Шханукова [59] посвящена построению дискретного аналога дробной производной порядка а, 0<а<1 и построению разностных схем для решения первой краевой задачи для уравнения диффузии дробного порядка. Работы [7, 8, 18, 57, 58] посвящены построению разностных схем для обыкновенных и в частных производных дифференциальных уравнений в одномерном случае.

Бабенко Ю.А. в работе [5] для определения тепловых и диффузионных потоков на границе раздела двух сред применил метод расщепления оператора уравнения на два множителя, каждый из которых содержит производную порядка 1 по £ (см. также [28]).

Диссертационная работа посвящена разработке численно-аналитических методов решения краевых задач для дифференциальных уравнений с дробной производной в многомерной области. В ней получены следующие основные результаты:

1. Для решения краевых задач (первой начально-краевой и третьей) с дробной производной в младших членах в цилиндре <2к =Gx(0J(j]:, где О = {х = (х1, х2,., х ) :0 < хк < 1к, к = 1, 2,.,р) -/^-мерный параллелепипед, получена априорная оценка, откуда следует устойчивость решения задачи по правой части и начальным данным, а также единственность решения рассматриваемых задач.

2. Доказана сходимость метода Ротэ со скоростью О(т), где т - шаг сетки по времени, для решений рассматриваемых краевых задач.

3. Построена локально-одномерная схема (ЛОС) для нестационарного уравнения с дробной производной в /9-мерном параллелепипеде. Доказана сходимость ЛОС в классе достаточно гладких решений в равномерной метрике со скоростью 0(к+т), г - шаги сетки по времени и пространственной координате.

4. Для уравнения диффузии дробного порядка в ^-мерном параллелепипеде получены априорные оценки в дифференциальной и разностной трактовках. Доказана сходимость ЛОС в равномерной метрике со скоростью 0(\Ъ\2+т).

5. Для уравнения диффузии дробного порядка с малым параметром £ при старшей производной по времени построена ЛОС и доказана ее сходимость. Показано, что при £•—»0 решение возмущенной задачи стремится в некоторой норме к решению невозмущенной задачи, то есть краевой задачи для обобщенного уравнения переноса в /7-мерном параллелепипеде.

Перейдем к более детальному изложению диссертации.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Нахушева, Фатима Мухамедовна, 1998 год

1. Алероев Т.С. Задачи Штурма-Лиувилля для дифференциального уравнения второго порядка с дробными производными в младших членах. Дифференц. уравнения. 1982, т. 18, №2, с. 341.

2. Алероев Т.С. Спектральный анализ одного класса несамосопряженных операторов. Дифференц. уравнения. 1984, т. 20, №1, с. 171-172.

3. Андреев В.Б. Об одном методе численного решения третьей краевой задачи для уравнения параболического типа в р-мерном параллелепипеде. Сб. "Вычисл. методы и программирование", вып. 4. М.: изд-во МГУ, 1967, с. 64-75.

4. Андреев В.Б. О сходимости разностных схем с расщепляющимся оператором, аппроксимирующих третью краевую задачу для параболического уравнения. ЖВМ и МФ. 1969, т. 9, № 2, с. 337-349.

5. Бабенко Ю.И. Тепломассообмен. Метод расчета тепловых и диффузионных потоков. Л.: "Химия", 1986, 144 с.

6. Березовский A.A., Шхануков М.Х., Керефов A.A. Краевые задачи для уравнения теплопроводности с дробной производной в граничных условиях и разностные методы их численной реализации. Укр. мат. журн. 1993, т. 45, № 9, с. 1289-1298.

7. Бечелова А.Р. О сходимости разностных схем для уравнения диффузии дробного порядка. Нелинейные краевые задачи математической физики и их приложения. Сб. научных трудов. Киев, 1996, с. 42-43.

8. Бечелова А.Р. Построение разностных схем, аппроксимирующих третью краевую задачу для уравнения диффузии дробного порядка. Нелинейные краевые задачи математической физики и их приложения. Сб. научных трудов. Киев, 1996, с. 40-41.

9. Бродский А.Л. Влияние особенности структуры порового пространства на фильтрационные характеристики низкопроницаемых коллекторов Красноленинского свода. Диссерт. канд. геол.-мат. наук. М., 1989.

10. Бэгли Р.Л., Торвик П.Дж. Дифференциальное исчисление, основанное напроизводных дробного порядка новый подход к расчету конструкций с вязкоупругим демпфированием. Аэрокосмическая техника. 1984, т. 2, №2, с. 84-93.

11. Вебер В.К. Асимптотическое поведение решений линейной системы дифференциальных уравнений дробного порядка. Исследования по интегро-дифференциальным уравнениям в Киргизии. Фрунзе: Илим, 1983, вып. 16, с. 119-125.

12. Вебер В.К. К общей теории линейных систем с дробными производными. Исследования по интегро- дифференциальным уравнениям в Киргизии. Фрунзе: Илим, 1985, вып. 18, с. 301-305.

13. Вебер В.К. Линейные уравнения с дробными производными и постоянными коэффициентами в пространстве обобщенных функций. Исследования по интегро-дифференциальным уравнениям в Киргизии. Фрунзе: Илим, 1985, вып. 18, с. 306-312.

14. Вебер В.К. Об одном дифференциальном уравнении нецелого порядка. Сб. трудов аспирантов и соискателей Кирг. ун-та. Сер. мат. наук. 1973, вып. 10, с. 7-14.

15. Вебер В.К. Пассивность линейных систем дифференциальных уравнений с дробными производными и квазиасимптотика решений. Исследования по интегро-дифференциальным уравнениям в Киргизии. Фрунзе: Илим, 1983, вып. 16, с. 349-356.

16. Вебер В.К. Структура общего решения системы у(а) = Ау, 0<а<1. Сб. тр. аспирантов и соискателей Кирг. ун-та. Сер. мат. наук. 1976, вып. 11, с. 26-32.

17. Вишик М.И., Люстерник Л.А. Регулярное вырождение и пограничный слой для линейных дифференциальных уравнений с малым параметром. Успехи мат. наук. 1967, вып. 5, т. 12, с. 3-122.

18. Гарепенина И.Ю., Бечелова А.Р. Об одном итерационном методе решения первой краевой задачи для дифференциального уравнения с дробной производной. Вестник Кабардино-Балкарского государственного университе-та. Нальчик, 1996, вып. 1, с. 38-40.

19. Геккиева С.Х. Краевая задача для обобщенного уравнения переноса с дробной производной по времени. Докл. АМАН. 1994, т. 1, №1, с. 17-19.

20. Джрбашян М.М. Интегральные преобразования функций в комплексной области. М.: Наука, 1966, 671 с.

21. Джрбашян М.М. Краевая задача для дифференциального оператора дробного порядка типа Штурма-Лиувилля. Изв. АН Арм. ССР, мат. 1970, т. 5, №2, с. 71-97.

22. Джрбашян М.М., Нерсесян А.Б. Дробные производные и задача Коши для дифференциальных уравнений дробного порядка. Изв. АН Арм. ССР, мат. 1968, т. 3, №1, с. 3-29.

23. Динариев О.Ю. // Изв. АН СССР, МЖГ. 1990, № 5, с. 66-70.

24. Дьяконов Е.Г., Лебедев В.И. Метод расщепления оператора при решении третьей краевой задачи для параболического уравнения. Сб. "Вычисл. методы и программирование". М.: Изд-во МГУ, 1967, вып. 4, с. 121-143.

25. Иманалиев М.И., Вебер В.К. Об одном обобщении функции типа Миттаг-Леффлера и его применение. Исследования по интегро- дифференциальным уравнениям в Киргизии. Фрунзе: Илим, 1980, вып. 13, с. 49-59.

26. Кочубей А.Ю. Диффузия дробного порядка. Дифференц. уравнения. 1990, т.26. с. 660-670.

27. Кумыкова С.К. Об одной краевой задаче для уравнения sign\y\nихх + и = 0. Дифференц. уравнения. 1976, т. 12, № 1, с. 79-88.

28. Курант Р. Уравнения с частными производными. М.: Мир, 1964, 832 с.

29. Ладыженская O.A. Краевые задачи математической физики. М.: Наука, 1973, 407 с.

30. Ладыженская O.A., Солонников В.А., Уральцева H.H. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука, 1967, 736 с.

31. Лебедев В.И., Дьяконов Е.Г. О применении разностных схем с расщепляющимся оператором для решения третьей краевой задачи в случае уравнения параболического типа. Сибирский матем. журн. 1965, т. 6, № 1, с. 80-85.

32. Летников A.B. Теория дифференцирования с произвольным указателем. Мат. сб. 1968, т. 3, с. 1-68.

33. Малыпаков A.B., Ефимов В.А. // ИФЖ. 1991, т. 61, № 4, с. 635-640.

34. Малыпаков A.B. Уравнения гидродинамики для пористых сред со структурой порового пространства, обладающей фрактальной геометрией. ИФЖ. 1992, т. 62, № 3, с. 405-410.

35. Мосолов А.Б., Динариев О.Ю. //ЖТФ. 1987, т. 57, вып. 9, с. 1679-1685.

36. Мосолов А.Б., Динариев О.Ю. //ЖТФ. 1988, т. 58, вып. 2, с. 233-237.

37. Нахушев A.M. Задача Штурма-Лиувилля для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка с дробными производными в младших членах. ДАН СССР. 1977, т. 234, №2, с. 308-311.

38. Нахушев A.M. Обратные задачи для вырождающихся уравнений и интегральные уравнения Вольтерра третьего рода. Дифференц. уравнения. 1974, т. 10, №1, с. 100-111.

39. Нахушев A.M. Об уравнениях состояния непрерывных одномерных систем и их приложениях. Нальчик, 1995, 50 с.

40. Нахушев A.M. Уравнения математической биологии. М.: Высшая школа, 1995, 301 с.

41. Нигматуллин P.P. Решение обобщенного уравнения переноса в среде с фрактальной геометрией. Phs. stat. Sol. b. 133, 1986.

42. Самарский A.A. Аддитивные схемы. Доклад на Международном съезде математиков в Москве. Тезисы докладов, секция 14, вычислит, математика, 1966, с. 46-47.

43. Самарский A.A., Гулин A.B. Устойчивость разностных схем. М.: Наука, 1973, 415 с.

44. Самарский A.A. Локально-одномерные разностные схемы на неравномерных сетках. ЖВМ и МФ. 1963, т. 3, № 3, с. 431-466.

45. Самарский A.A. Об одном экономичном разностном методе решения многомерного параболического уравнения в произвольной области. ЖВМ и МФ. 1962,т. 2, №5, с. 787-811.

46. Самарский A.A. О приниципе аддитивности для построения экономичных разностных схем. ДАН СССР. 1965, т. 165, № 6, с. 1253-1256.

47. Самарский A.A. О разностных схемах для многомерных дифференциальных уравнений математической физики. Aplikace Mathematiky. 1965, 10, № 2, р. 146-164.

48. Самарский A.A. Теория разностных схем. М.: Наука, 1977, 656 с.

49. Самко С.Г., Килбас A.A., Маричев О.И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. Минск: "Наука и техника", 1987, 688 с.

50. Тихонов А.Н. Теоремы единственности для уравнения теплопроводности. Матем. сборник. 1935, т. 42, № 2, с. 199-216.

51. Фрязинов И.В. О разностной аппроксимации граничных условий для третьей краевой задачи. ЖВМ и МФ. 1964, т. 4, № 6, с. 1106-1112.

52. Фрязинов И.В. О решении третьей краевой задачи для двумерного уравнения теплопроводности в произвольной области локально-одномерным методом. ЖВМ и МФ. 1966, т. 6, № 3, с. 487-502.

53. Чукбар К.В. Стохастический перенос и дробные производные. ЖЭТФ. 1995, т. 108, вып. 5(11), с. 1875-1884.

54. Шефер Д., Кефер К. Фракталы в физике. Тр. 6-го Междунар. симпоз. по фракталам в физике. (МЦТФ. Триест, Италия, 9-12 июня 1985). М., 1988, с. 62-71.

55. Шогенов В.Х., Кумыкова С.К., Шхануков-Лафишев М.Х. Обобщенное уравнение переноса и дробные производные. Докл. АМАН. 1996, т. 2, №1, с. 43-45.

56. Шогенов В.Х., Шхануков-Лафишев М.Х., Бештоев Х.М. Дробные производные: интерпретация и некоторые применения в физике. Препринт. Сообщения объединенного института ядерных исследований. Дубна, 1997, Р4-97-81.

57. Шхануков-Лафишев М.Х., Бечелова А.Р Замечание к постановке краевых задач для дифференциальных уравнений с дробными производными. Сб. научных трудов. Киев, 1996, с. 286-287.

58. Шхануков-Лафишев М.Х., Бечелова А.Р. Численное решение третьей краевой задачи для обобщенного уравнения диффузии, дробного порядка. Нелокальные задачи и родственные проблемы математической биологии, информатики и физики. Нальчик, 1996, с. 103.

59. Шхануков М.Х. О сходимости разностных схем для дифференциальных уравнений с дробной производной. Докл. РАН. 1996, т. 348, №6, с. 746-748.

60. Эйлер Л. De progressionibvs transcendentibvs, sev qvarvm termini generales algebraice dari neqvevnt iL. Eulero// Comment. Acad. Sei. Imperialis petropolitanae. 1738. T. 5. P. 38-57.

61. Abel N.H. Solution de quelques problems a l'aide d'integrales defines // Gesammelte mathematische werke. Leipzig: Teubner, 1881. T. 1. P. 11-27.

62. Al-Abedeen A.Z., Arora H.L. A global existence and uniqueness theorem for ordinary differential equations of qeneralized order // Canad. Math. Bull. 1978. Vol. 21, № 3. P. 267-271.

63. Al-Abedeen A.Z. Existence theorem on differential equations of generalized order / / Rafidain J. Sei. Mosul. Univ. Iraq. 1976. Vol.1. P. 95-104.

64. Al-Bassan M.A. On fractional calculus and its applications to the theory of ordinary differential equations of generalized order // Lect. Notes in Pure and Appl. Math. Dekker. New York, 1982. Vol. 80. P. 305-331.

65. Al-Bassan M.A. Some existence theorems on differential equations of generalized order // Ibid. 1965. Bd 218. S. 70-78.

66. Fourier J. The Analytical Theory of Heat. N. Y. Dover pull., 1955. 466 p. (First publ.: Theorie Analytique de la Chaleur. A Paris: Chez firmin diclot pere et fils, 1822).

67. Grunwald A.K. Uber "begrenzte" Derivationen und deren Anwendung // Z. angew. Math, und Phys. 1867. Bd 12. S. 441-480.

68. Holmgren H. Om differentialkalkylen med indices af hvad natur som helst // Kongl. Svenska Vetenskaps Akad. Handl. Stockholm. 1865-1866. Bd 5, № 11. S. 1-83.

69. Leibniz G. W. Leibniz an de Г Hospital // Oeuvres Mathématiques de Leibniz. Paris: Libr, de A. Franck, ed. 1853. P. 1. Vol. 2. P. 297-302.

70. Liouville J. Memoire sur le calcul des différentielles a indices quelconques //Ibid. P. 71-162.

71. Liouville J. Memoire sur le changement de la variable indépendante dans le calcul des différentielles a indices quelquens // J. l'Ecole Roy. Polytechn. 1835. T. 15, sent. 24. P. 17-54.

72. Liouville J. Memoire sur le theoreme des fonctions complémentaires // J. fur reine und angew. Math. 1834. Bd 11. S. 1-19.

73. Liouville J.Memoire sur l'intégration de l'équation:mx2 +nx + p)—y + (qx + r)— + sy = 0, a l'aide des différentielles a indices dx dxquelconques // Ibid. P. 163-186.

74. Liouville J. Memoire sur l'intégration des équations différentielles a indices fractionnaires // Ibid. 1837. T. 15, № 55, P. 58-84.

75. Liouville J. Memoire sur l'usage l'on pent faire de la formule de Fourier, dans le calcul des différentielles a indices quelconques // Ibid. 1835. Bd 13. S. 219-232.

76. Liouville J. Memoire sur une formule d'analyse // Ibed. 1834. Bd 12, № 4, S. 273287.

77. Liouville J. Memoire sur quelques questions de geometrie et de mecanique, et sur un nouveau genre de calcul pour résoudre ces questions // J. l'Ecole Roy. Polytechn. 1832. T. 13, sect. 21. P. 1-69.

78. Mandelbrojt S. Sulla generalizzazione del calcolo delle variazione // Atti Reale Accad. Naz. Lincei. Rend Cl. sei. fis. mat. e natur. Ser. 6. 1925. Vol. 1. P. 151-156.

79. O'Shaughnessy L. Problem # 433 // Amer. Math. Month. 1918. Vol. 25. P. 172-173.

80. Pitcher E., Sewell W. Existence theorems for solutions of differential équations of non-integral order. Ibid. 1938. Vol. 44, № 2. P. 100-107.

81. Riemann B. Versuch einer allgemeinen Auffassung der intégration und Differentiation// Gesammelte Mathematische Werke. Leipzig: Teipzig: Teubner, 1876. P. 331-344.