Некоторые вопросы спектральной теории дифференциальных операторов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Семин, Николай Владимирович

• Семин, Николай Владимирович
• кандидат физико-математических наук
• 2009

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Семин, Николай Владимирович

Введение.

1 О некоторых обратных задачах спектрального анализа

1.1 Об обратной задаче спектрального анализа для обыкновенных дифференциальных уравнений.

1.2 Теорема о единственности решения обратной задачи спектрального анализа для оператора Гегенбауэра с финитным потенциалом

2 Свойства некоторых дифференциальных операторов и их решений

2.1 Приближенные формулы регуляризованных следов

2.2 Собственные функции оператора Лапласа.

2.3 Ортогональность собственных функций оператора Лапласа, заданного смешанными граничными условиями на равнобедренном прямоугольном треугольнике. Явный вид ядра резольвенты оператора Лапласа

2.4 Иденитификация смешанных краевых условий для оператора Лапласа в треугольной области

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Некоторые вопросы спектральной теории дифференциальных операторов»

Настоящая диссертация посвящена исследованию некоторых актуальных задач спектральной теории линейных операторов в гильбертовых пространствах: обратной спектральной задаче, теории регуляризованных следов, получению явного вида функций Грина для важных конкретных краевых задач математической физики.

Теория операторов охватывает обширную часть анализа, имеет многочисленные применения в прикладных вопросах и постоянно развивается. Спектральный анализ, развитый первоначально для интегральных операторов с симметрическим ядром, определенным и непрерывным в некоторой ограниченной области, был затем в рамках общей теории операторов распространен на многие другие типы операторов. Такое распространение повлекло существенное расширение и усложнение методов спектрального анализа.

Большая часть наших исследований посвящена дифференциальным операторам. Теории дифференциальных операторов посвящены многочисленные работы и монографии, из которых в соответствии с задачами, рассмотренными в диссертации, выделим наиболее известные [28, 35, 48, 38, 14, 29, 3, 23, 27].

Первым результатом в спектральной теории обратных задач была следующая теорема единственности В. А. Ам-барцумяна [1]:

Пусть ~ собственные числа краевой задачи

-у" + q(x)y = \у, ?/(0) = у'{ тг) = 0, где q(x) - действительная непрерывная функция. Если Хп = п2 для всех 71, то q(x) = 0.

Затем Г. Борг [7] показал, что результат Амбарцумяна является исключением, и одного спектра для восстановления кравеаой задачи недостаточно. Он решил задачу об однозначном определении потенциала и коэффициентов двух пар краевых условий оператора типа Штурма

Лиувилля по двум соответствующим последовательностям его собственных значений.

Далее А. Н. Тихонов [44] получил теорему единственности в задаче на полуоси по функции Вейля. Для операторов Штурма-Лиувилля обратная задача была полностью решена в работах В. А. Марченко, И. М. Гельфанда, Б. М. Левитана, М. Г. Крейна, М. Г. Гасымова, Л. А. Дикого [9, 10, 11, 15, 26, 34]. И в настоящее время обратная задача в различных постановках остается одной из важнейших задач спектральной теории.

Формулы регуляризованных следов играют важную роль в различных разделах спектрального анализа: могут служить для приближенного вычисления первых собственных чисел операторов, используются в обратных задачах спектрального анализа, представляют также и самостоятельный интерес [37, 31, 18, 16, 10, 19, 41, 21].

Регуляризованные следы дифференциальных операторов (суммы собственных чисел, из которых вычтены некоторые выражения так, что ряды становятся сходящимися) являются естественным обобщением понятия следа для матриц. Для регулярных обыкновенных дифференциальных операторов второго порядка такие тождества были доказаны И. М. Гельфандом и Б. М. Левитаном [11, 28]: для оператора Штурма - Лиувилля с потенци

7Г алом q(x), J q(x) dx = 0 верна формула: о

Е о- - п*) = .т+мш п=1

Метод, основанный на исследовании асимптотического разложения следа резольвенты предложил использовать И. М. Гельфанд [12], для оператора Штурма - Лиувилля впервые получив формулы следов высших порядков: оо

Е - Мп)) = В (к), (1)

71—1 где Ak(n) — отрезок разложения по степеням п (то есть фактически по степеням невозмущенного спектра Ап), содержащий только неотрицательные степени тг, В (к) в конечном виде выражаются через q(x) и ее производные.

Прршципиальным прорывом в теории следов стало применение методов теории функций для исследования дзета - функции оператора в работе В. Б. Лидского и В. А. Садовничего [31]. Здесь для специального класса функций

К, включающего в себя характеристические определители многих спектральных задач, в том числе "почти всех" задач для регулярных обыкновенных дифференциальных операторов, был дан метод вычисления регуляризован-ных сумм корней, что вместе с данным в работе этих же авторов [32] методом вычисления асимптотических разложений этих корней по степенно - логарифмическим функциям номера позволило решать задачи теории следов во многих важных случаях.

Во всех указанных работах, относящихся к этому вопросу, в регуляризованных суммах собственные числа входят в целых степенях. Вместе с тем, В. А. Садовничим [37] решена задача получения регуляризованных сумм, содержащих дробные степени собственных чисел. Остановимся подробно на полученных в них формулах регуляризованных следов полуцелых степеней оператора Штурма - Ли-увилля. В отличие от известных формул регуляризованных следов [31, 32] в случае полуцелых степеней суммы уже равны числам, которые в явном виде не выражаются через коэффициенты уравнения и константы в граничных условиях, а содержат интегралы от регуляризован-ных следов резольвенты.

В операторе Штурма - Лиувилля:

-у" + q(x)y = z2y = А у, 2/(0) - у{ тг) - 0 (2) предполагается, что функция q(x) вещественна, а собственные числа оператора положительны. Если q{x) — бесконечно дифференцируемая функция, то справедливо следующее асимптотическое разложение: оо

Zn ~ Ci ЕЕ 1, zn = > 0 р=о п = 1, 2,3,.).

Рассматривается дзета - функция оо

Со ОН XXs' п=1 здесь = ехр(—s In zn) и берется фиксированная ветвь логарифма, регулярная в плоскости с разрезом по положительной полуоси, и доказывается, что функция Со(5)> регулярная в полуплоскости Res > 1, допускает аналитическое продолжение влево как мероморфная функция с полюсами первого порядка в точках s = —2к + 1 и вычетами в них, равными р2к{—2к + 1), (к = 0,1,2,.).

Отсюда получено следующее представление для собственных чисел оо £

771=1 где р

Р2к(-т) п

-2 к+т к=0 lim [Со(s) + Dp{s)]. s—y—m к ,

P2k{s) = Ys Y1 { m=1 k\4-----\-кт=к ^ S к

C2ki-1 • ' • C2km-1, PO = 1, P

Dp{s) = -Y,p2k{s)({s + 2k). о

Если m — четно, то эти выражения известны, в этом случае, поскольку = Ап, суммируются собственные числа оператора. Выделяются только тождества с т — 21—1 (/ = 1,2,.). Суммы в левой части с т = 21—1 называются регуляризованными суммами полуцелых степеней собственных чисел оператора. Они равны пределу правой части рассматриваемого выражения при s —► — (21 — 1). Функция Co(s) имеет в этой точке полюс, а поэтому, чтобы определить регуляризованные суммы, необходимо знать значение регулярной части

Co(s)( reg Co(s) = C0(/)) a=-2l+\ в точке s = —21 + 1.

Далее В. А. Садовничий вывел следующие формулы: пр2к{-2к + 1) = (-1 )k2l2ki 2b(k) = р2к{-2к + 1), с(к) = cb(fc), Z(-fc) = (-1)*W (/с = 0,1,2,.), где числа lp (р = 0,1,2,.) определяются по формулам к = Ь = h = ~\]q{x)dx, = • • • , О с(к) — значение регулярной части дзета-функции оператора Штурма-Лиувилля Z(s) в точке —2к + Ь(к) — вычет Z(s) в этой же точке. Из этих формул получены следующие выводы:

1. Равенство р2к(—2к + 1) = 1 )khk дает систему рекуррентных соотношений для определения коэффициентов Ск (к = 1,2,.) разложения 2.

2. По формуле b(k) = к (к = 0,1,2,.) находятся вычеты функции Z(s) в точках s = ~2к+1.

3. Регуляризованные следы оператора Штурма-Лиувилля находятся из соотношений

Z{-k) = {-l)kl2k-i {к = 1,2,.), ю так как при к = 1 получаем Z(—1) = g(0)+g(7T) 4

4. Регуляризованные следы полуцелых степенней собственных чисел могут быть вычислены по формулам к оо £

71=1

2/+2А;—1 0

-1 со(/с) - P2fc(-2fc + 1)7 + Е +

1=0

2(к - I) здесь к = 1, 2,., а числа Co(fc) = c(fc) определяются из соотношений: с(к) =

-1) I к+12к~1

Е°р к — % р +hl) к оо

7Г

2 * 1 7Г ' Zn где использованы следующие обозначения:

2 к I р=о оо arctg-»^

77. 1

71

П=1

-1 f^zf-2 + (-l)^f-1 arctg

2k - 1 2k — 3 1 .

2-n

7 - постоянная Эйлера, B2(k-i) - числа Бернулли. li

Эти результаты В. А. Садовничего явились основой нового направления в спектральной теории операторов.

Важной задачей спектральной теории является задача о построении явного вида функции Грина некоторых краевых задач. Теоретико -групповые методы особенно эффективны в решении краевых задач математической физики, которые не допускают в тех или иных координатах разделение переменных [48]. Эти методы позволяют, например, для краевых задач с инвариантными относительно группы вращений дифференциальными полиномами естественным образом перейти к афинным группам отражений Вейля W(R), соответствующих системе корней R. Применение теоретико-групповых методов выступает на первый план и в связи с изучением спектра краевой задачи для уравнения Лапласа в фундаментальных областях аффинных групп Вейля. Таковыми являются многогранники, внутренние нормали к граням которых попарно образуют углы тт — 7г/ш^, где ш^- - целые числа. В двумерном евклидовом пространстве Е2 таковыми являются многоугольники, углы которых целое число раз вкладываются в 7г. Спектральная задача в этих областях изучалась многими авторами. Так, наименьшее собственное значение задачи Дирихле для прямоугольного треугольника (серия G2) с углом 7г/6 и соответствующая собственная функция были построены Д.Пойа [51]. Еще ранее Б.Р.Сетт [52] нашел бесконечную, но неполную систему собственных функций для этой же задачи. Для задачи Неймана полную систему собственных функций, хотя и не минимальную, указал С.К.Лакшмана Рао [50]. К тому же, вопрос о полноте этой системы не исследовался. Одной из наиболее ранних работ, в которой были найдены некоторые серии собственных функций для указанного треугольника, является работа Г.Ламе [30].

Спектральная задача для правильного треугольника была исследована в [46], где были построены функции Грина соответствующих задач и указан метод приведения их к спектральным разложениям, основанный на использовании обобщенной формулы суммирования Пуассона.

Перейдем к обзору содержания диссертации.

В первой главе диссертации рассматриваются две обратные задачи: о существовании решения обратной задачи для операторов Штурма - Лиувилля и о единственности решения в обратной задаче для оператора Гегенбауэ-ра с потенциалом.

В первом параграфе автор приводит свое доказательство теоремы единственности в задаче спектрального анализа для обыкновенных дифференциальных операторов при совпадении только части собственных чисел операторов для краевых условий Неймана и Дирихле.

Для этого используется понятие фундаментальной системы функций (ФСФ), введенное в монографии В.А.Ильина [23], где систематизированы результаты по спектральной теории самосопряженных эллиптических операторов.

Полную ортонормированную в произвольной N - мерной области G систему {^„(ж)} называют фундаментальной системой функций (ФСФ) оператора Лапласа в этой области, если каждая функция ип{х) принадлежит в открытой области G классу с® и для некоторого неотридательного числа Хп удовлетворяет внутри G уравнению

А ип + А пип = 0.

Понятие фундаментальной системы функций оператора Лапласа можно вводить и локально, т.е. не по отношению ко всей N- мерной области G, в которой эта система ортонормированна, а по отношению к произвольной N-мерной подобласти Q области G.

Полную ортонормированную в произвольной N- мерной области G систему {ип{х)} называют фундаментальной системой функций (ФСФ) оператора Лапласа в подобласти Q, области если каждая функция ип(х) принадлежит в открытой области О, классу и для некоторого неотрицательного числа Хп удовлетворяет внутри

Q уравнению

А ип + А пип = 0.

Понятие ФСФ оператора Лапласа (даже во всей области G ) включает в себя как частный случай системы собственных функций всех классических самосопряженных краевых задач для оператора Лапласа в произвольной области G (например, системы собственных функций первой, второй и третьей краевых задач в этой области), N — кратную тригонометрическую систему (в случае, когда область G представляет собой N — мерный прямоугольный параллелепипед, а краевые условия заключаются в равенстве на противоположных гранях этого параллелепипеда значений самих функций ип{х) и их нормальных производных) и вообще систему собственных функций любого неотрицательного самосопряженного расширения оператора Лапласа в области G, спектр которого является чисто точечным.

Как всякая ортонормированная система ФСФ оператора Лапласа (и во всей области Сив произвольной подобласти О, области G является не более чем счетной, и ее элементы можно пронумеровать.

Отдельные элементы ип{х) изучаемой ФСФ называют фундаментальными функциями, а отвечающие им числовые значения \п - фундаментальными значениями или собственными значениями. Совокупность всех фундаментальных значений называется спектром данной ФСФ.

В первом параграфе рассматривается обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка:

-у" + q(x)y = \у, 0 < х < 7Г, (3) где q(x) е £оо(0,тг).

Пусть {yn(q)(x), X^q)}™^ — набор фундаментальных функций и чисел, удовлетворяющих этому уравнению на любом отрезке [а, 0\ С (0,7г). Предполагается, что уп(я)(х) € С2[а,(3] для любого отрезка [а,(3] С (0,7г) и yn{q){x) £ СМО.тг].

Такие наборы

Ы?)(ж),Ап(<г);кг=1 называются фундаментальными системами функций (ФСФ) уравнения (3).

Доказана следующая теорема:

Теорема. Если

УпЫ(х), An[g]) - n2}~=1 = {^smnx+yn[q](x), Xn[q] = п2}™=1 — фундаментальная система функций для рассматрибаемого уравнения и

7Г

J q(x)dx = 0; q(x) = g(7r — ж), Va; G [0,7г], о а также

2/пИМ(-1)п-г/„И(0) - 0, , га = 1, оо, <?(а;) € L^O, тг) и выполнено неравенство тг/2 оо г 1 J sm2nx\^n{q){x)^{-l)n-lln{q){TT-x)\2dx < (4) п=1 0 то q{x) = 0, VxG[0,7t].

Далее аналогичным образом доказаны следующие две теоремы о равенстве потенциалов в обратной задаче операторов Штурма - Лиувилля.

Теорема. Пусть {yn[qi](x), An[gi]}~ х и {упЫ(х), An[g2]}£Li — Фундаментальная система функций для уравнения (3).

Предположим, что вещественные функции qi(x), #2 (ж), принадлежащие пространству Ь^О^п), удовлетворяют равенствам

7Г

J(qi(x) - q2{x))dx = 0; о qi(n -x)- q2(n - x) = qx(x) - q2{x), Ух £ (0,7r) и также выполнено \n[q2] = An[gi], п = 1,оо; Тогда если

ОО р \ smnx{yn[qi](x) + yn[q2](x) + {-l)n~1yn[qi](7r-x)+ п=1 {

-^)П~1УпЫ{к -х) + yn[qi](x)yn[q2}(x)+ +2/пЫ('тг - 2;)уиЫ(тг - < 1, тг/2 выполнены равенства

2/nfei](0) УпЫ(0) УпЫт УпЫ(о)

S/nMM S/nfeK71") 2/пЫМ 2/пЫМ mo ^i(x) = q2(x) почти всюду на [0,7г]. Теорема. Если нормы

Halloo, p = i,2 малы и п — 1, СХ)

5)

- = — х) — д2(т - ж), 0 < ж < тг;

7Г

Jte-O) - 42(x))dx = о, r(<Zl) = 71= 1,00, где принимает только одно из значений 1 или 2, то

Ql(x) = 92(ж), 0 < Ж < 7Г.

Во втором параграфе второй главы рассматривается единственность решения обратной задачи для оператора Гегенбауэра с потенциалом. Полученный результат развивает результаты работы [17].

Пусть Т - оператор типа Гегенбауэра в комплексном гильбертовом пространстве измеримых по Лебегу функций Нш = (—1> 1) с весом ш(х) = (1 — x2)x~i, А > а именно:

Ту =-(1 - а?)у" + (2\ + 1)ху', где у, Ту <Е

Пусть Vi - оператор умножения в Нш на вещественную (одна из функций Pi,i = 1,2 может быть комплексной), финитную, измеримую по лебегу, существенно ограниченную функцию pi(x), г — 1,2, ~~ собственные числа оператора T + Vi, занумерованные в порядке возрастания их действительных частей с учетом алгебраической кратности.

Обозначим Q множество точек <2 = {0}У{ТГ}У{0<| + ^ + ^<7Г}, П =

6)

Доказано следующее утверждение

Теорема. Пусть А > — pi - вещественные (одна из функций pi(x),i = 1,2 может быть комплексной) измеримые по Лебегу, ограниченные в существенном функции. Пусть функция

Po(cos0) — p\(cos9) — p2(cos9) зануляется в окрестности множества Q и функция

Po(cos9)sin(2\e — \ir) четная относительно точки 0 = | на отрезке [0,7г]; а также выполнено условие

7Г

J po(cos9)d0 = 0. о

Если спектры операторов Т + Vi, г = 1,2 совпадают за исключением конечного числа собственных чисел, то

Pi{x) = Р2(х) почти всюду на отрезке [—1,1].

21

Во второй главе рассмотрены две важные задачи спектральной теории: о полуцелых степенях собственных чисел в формулах следов и о явном виде функций Грина.

В параграфе 2.1 предлагается новый способ получения приближенных формул регуляризованных сумм полуцелых степеней собственных чисел оператора. Формулы являются приближенными, они имеют простой вид; доказывается также оценка погрешности в указанных формулах. Получены следующие результаты.

Пусть Т - дискретный самосопряженный положительный оператор, действующий в сепарабельном гильбертовом пространстве Н. Пусть T~l £ Si/2 т.е. Т"1/2 - ядерный оператор; здесь Т-1/2 = J X~1^2dE(X), где Е(\) -спектральное разложение оператора Т. Обозначим через Хп- собственные значения оператора Т, занумерованные в порядке их возрастания с учетом кратности; V- ограниченный, линейный не обязательно самосопряженный оператор, a fjLn- собственные числа оператора Т + V, занумерованные в порядке возрастания их действительных частей с учетом алгебраической кратности.

Теорема. Для собственных чисел оператора Т + V справедливо соотношение

ОО 1 оо

1=1 к-О где Sp — след ядерного оператора, причем ряды абсолютно сходятся.

Пусть Т-1/2 = А + В , где А - вольтерров, а В - конечномерный оператор.

Теорема. Для собственных чисел операторов (T+V)1/2 и Т1/2 справедлива формула

- АУ2) = 1 Sp(AV0 + \ Sp(BV) + о(\\Т-^\\IIVII).

Полученный результат развивает результаты работ [37], [18], где рассмотрены аналогичные формулы для обыкновенных дифференциальных операторов.

В параграфах 2.2 и 2.3 диссертации рассмотрена задача о нахождении и ортогональности собственных функций, о явном виде ядра резольвенты оператора Лапласа, заданного смешанными граничными условиями на равнобедренном прямоугольном треугольнике. Задача решается на основе теоретико - групповых методов спектральной теории операторов, разработанных в работах А. Ф. Ше-стопала [46, 45, 47], и результатов В. А. Ильина [22] о сходимости билинейных рядов.

Для решения задачи, поставленной в параграфе 1.1, используется метод, основанный на разложении функции Грина но фундаментальным решениям, которые можно записать в виде интеграла Фурье. При этом обобщенная формула суммирования Пуассона ведет к спектральному разложению, а каждому собственному значению отвечают две серии собственных функций: одна серия имеет узлы на линии симметрии, а другая - пучины [48].

Таким образом можно построить системы собственных функций при смешанных условиях, когда на части границы выполняется условие Дирихле, а на оставшейся части - условие Неймана.

Пусть D - область равнобедренного прямоугольного треугольника, а Щ- прямые, на которых лежат стороны этого треугольника:

Н1 = {х € Е2]х 1 = а}, Я2 = {х <Е Е2]х 1 = ж2}, #3 = {f € £2;ж2 = 0}.

В параграфе 1.1 в области D рассматривается следующая граничная задача:

А2и(х) = Аи(х), х 6 D, kid^u(x) + Tiuix) = 0, х € D П Hi, где ki и ri - неотрицательные целые числа при условии hi + т{ = 1.

В зависимости от значений к\ и Гг получим восемь краевых задач, для каждой из которых соответственно находится собственная функция.

При этом учтено, что разные граничные условия могут выполняться на сторонах, образующих углы 7г/га^, где п^ - четные числа. В противном случае решение имеет точку ветвления в угле и следует прибегать к разложению по фундаментальным решениям на римановой поверхности с одной точкой ветвления.

В параграфе 2.3 доказывается ортогональность построенных собственных функций и находятся соответствующие функции Грина.

В параграфе 2.4 показывается, что для мембраны, имеющей форму равнобедренного прямоугольного треугольника, закрепление ее сторон определяется по первому собственному значению однозначно с точностью до перестановки закреплений на равных сторонах.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [19, 41, 20, 42, 43].

Результаты работы неоднократно докладывались на научном семинаре академика РАН В. А. Садовничего по теории операторов на кафедре математического анализа механико - математического факультета МГУ им. М. В. Ломоносова (1997-2009 гг.).

Автор выражает свою глубокую признательность академику РАН В. А. Садовничему и доктору физико - математических наук профессору В. В. Дубровскому за постановку задач, научное руководство, активное и требовательное обсуждение полученных результатов. Диссертант выражает благодарность и уважение к коллективам кафедры математического анализа механико - математического факультета и Института математических исследований сложных систем Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова за поддержку и помощь в повседневной работе, которые позволили подготовить и написать представляемую работу.

Заключение диссертации по теме «Математический анализ», Семин, Николай Владимирович

Заключение

Таким образом, основные результаты диссертации состоят в следующем:

1. Доказаны теоремы о единственности потенциалов для дифференциальных выражений второго порядка на отрезке при условии близости их фундаментальных систем функций, отвечающих одинаковым системам соответствующих фундаментальных чисел.

2. Развит метод приближенного суммирования регуля-ризованных следов полуцелых степеней собственных чисел для некоторых классов неограниченных абстрактных операторов.

3. Получены новые формулы для функций Грина оператора Лапласа на прямоугольном треугольнике с различными краевыми операторами.

В диссертации использованы методы теории возмущений операторов, теории симметрично-нормированных идеалов компактных операторов, теории дифференциальных операторов, элементы теории функций и теории специальных функций.

Все результаты диссертации являются новыми и посвящены исследованиям в теории обратных задач дифференциальных операторов; распространению на абстрактные неограниченные операторы теории В. А. Садовничего о регуляризованных суммах полуцелых степеней дифференциальных операторов; получению явных формул для функции Грина важных конкретных краевых задач для оператора Лапласа.