Корреляционные модели аномального переноса для структурной плазменной и гидродинамической турбулентности тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.08, доктор физико-математических наук Бакунин, Олег Геннадьевич

• Бакунин, Олег Геннадьевич
• доктор физико-математических наук
• 2012

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Бакунин, Олег Геннадьевич

Введение

1. Важность проблемы описания турбулентного переноса в структурной гидродинамической и плазменной турбулентности

2. Цели и результаты работы по исследованию процессов аномального переноса в условиях сильной турбулентности

Цель работы

Связь с государственными научно-техническими программами

Научная новизна полученных результатов

Научная и практическая ценность полученных результатов

Основные положения, выносимые на защиту

Личный вклад автора

Достоверность и апробация работы

Публикации автора по теме диссертации

Структура и объем диссертации

Краткое содержание диссертации

Основные результаты диссертации

3. Краткий обзор используемых в диссертации подходов к описанию аномального переноса в условиях структурной турбулентности а) Турбулентная диффузия и концепция скейлинга б) Турбулентная диффузия и стохастическое магнитное поле в) Перенормировка квазилинейных уравнений переноса г) Перколяционные модели аномального переноса в двумерном течении д) Метод ренормализации в теории континуальной перколяции е) Перколяционный перенос в стационарном течении ж) Перколяционный перенос и перестройка топологии течения з) Кинетическое описание и диффузионные уравнения и) Аномальный перенос частиц и эффекты «захвата» в фазовом пространстве 82 к) Кинетическое описание надтепловых электронов в сильно неоднородной высокотемпературной плазме 86 л) Автомодельные переменные и степенные хвосты в кинетике быстрых электронов

Глава I. Турбулентный перенос ионов в плазме токамака в низкочастотном пределе

1.1 Влияние турбулентности на неоклассический перенос ионов в плазме токамака

1.2 Перенормировка малого перколяционного параметра в «градиентных» системах

1.3 Эффекты влияния малой дрейфовой скорости

1.4 Квазилинейное приближение и эффекты нестационарности при описании влияния турбулентности на дрейфовое движение ионов в токамаке

1.5 Низкочастотные режимы и корреляционные масштабы в перколяционном пределе

1.6 Результаты расчета эффективного коэффициента диффузии в низкочастотном дрейфовом приближении

1.7 Сравнение перколяционного коэффициента турбулентной диффузии с неоклассическим 122 Итоги главы I

Глава II. Перенос скаляра и инкременты стохастической неустойчивости в двумерных турбулентных гидродинамических и МГД течениях в режиме обратного каскада

2.1 Эволюция корреляционных масштабов и перколяционные параметры

2.2 Двумерная гидродинамическая турбулентность и обратный каскад

2.3 Турбулентная диффузия скаляра в течениях в области обратного каскада энергии

2.4 Стохастическая неустойчивость как декорреляционный механизм и перенос скаляра в турбулентных течениях

2.5 Инкремент стохастической неустойчивости в перколяционном пределе

2.6 Стохастическая неустойчивость и обратный каскад

2.7 Инкремент стохастической неустойчивости в двумерных турбулентных МГД течениях 168 Итоги главы II

Глава III. Перенос скаляра в системе случайных дрейфовых течений и скейлинги аномальной диффузии

3.1. Супердиффузионный перенос скаляра в системе случайных шировых потоков

3.2 Обобщение модели случайных потоков и аномальный перенос скаляра

3.3 Выбор режимов турбулентного переноса на основе принципа доминирования быстрой моды

3.4 «Изотропизация» как метод перенормировки выражения для эффективной турбулентной диффузии

3.5 Квазилинейный подход к описанию корреляционных эффектов в модели случайных шировых потоков

3.6 Нелокальное уравнение в дробных производных для описания переноса скаляра в поле случайных шировых течений

3.7 Спектр корреляционной функции скорости и супердиффузионные режимы переноса скаляра в поле случайных шировых течений

3.8 Функция памяти и перенормиронные квазилинейные уравнения переноса в дробных производных

3.9 Корреляционные эффекты и перенос в многомасштабном случайном потоке в перколяционном пределе

3.10 Описание стохастической неустойчивости в многомасштабном пределе 217 Итоги главы III

Глава IV. Функции распределения надтепловых электронов в сильно неоднородной плазме токамака и нелокальные эффекты

4.1 Искажение хвоста функции распределения надтепловых электронов в стохастическом магнитном поле

4.2 Нелокальное уравнение для симметричной части функции распределения надтепловых электронов в стохастическом магнитном поле токамака

4.3 Функциональное уравнение для распределения по скоростям слабо-столкновительных частиц 240 Итоги главы IV

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Корреляционные модели аномального переноса для структурной плазменной и гидродинамической турбулентности»

1. Важность проблемы описания турбулентного переноса в структурной гидродинамической и плазменной турбулентности

Проблема термоизоляции плазмы в термоядерных исследованиях занимает центральное место. Несмотря на значительный прогресс в исследованиях по этой проблеме, достигнутый за более чем полувековой период, в этой области все еще существуют серьезные задачи, которые необходимо решить [1]. Повышенные потери частиц и тепла в системах с магнитным удержанием способны значительно ухудшить эффективность удержания плазмы, в том числе и в проектируемом в рамках проекта ИТЭР токамаке [1-3]. Развитие работ по управляемому термоядерному синтезу показало, что плазма проявляет повышенную способность к преодолению магнитной изоляции. На начальном этапе исследований считалось, что удастся построить термоядерный реактор, не особенно вникая в физическую сущность происходящих в нем явлений. Неудачи в достижении этой цели чисто техническими средствами привели к осознанию необходимости углубленного исследования физической сущности явлений, связанных с аномальным характером переноса частиц и тепла. На сегодняшний день считается общепризнанным, что причиной аномального переноса является вызванная многочисленными неустойчивостями турбулентность плазмы [1, 4]. Несмотря на то, что линейная теория неустойчивостей хорошо предсказывает условия раскачки колебаний и их характерные частоты и инкременты, турбулентное состояние плазмы с широким спектром колебаний требует создания принципиально новой нелинейной теории. Сложности создания теории сильной турбулентности плазмы в токамаке связаны как с математической сложностью, так и с недостаточностью имеющихся на сегодняшний день экспериментальных данных. Кроме того, для получения коэффициентов переноса необходимо развить методы, позволяющие учесть эффекты длинных корреляций и нелокальности, присущие сильно турбулентному состоянию высокотемпературной плазмы в токамаке [5, 6].

Турбулентный перенос - это фундаментальное физическое явление, имеющее колоссальное практическое значение не только для физики высокотемпературной плазмы, но и для таких важных областей как астрофизика [7-9], физика атмосферы и океана [10-16]. Многолетние интенсивные исследования в этой области все еще не привели к созданию его строгой физико-математической картины. С одной стороны, это открывает широкий простор для исследователей, а с другой, создает серьезные трудности при решении конкретных задач. Действительно, явления переноса в турбулентных течениях крайне редко удается описать посредством классических диффузионных моделей. Главной причиной этого является чрезвычайная сложность неупорядоченных движений, возникающих в турбулентных потоках. Неупорядоченность поля течения, когда скорости жидких частиц являются случайными (т. е. не контролируются макроскопическими свойствами потока), приводит к необходимости широкого использования корреляционных моделей и концепции скейлинга [17-19]. Развитое турбулентное течение порождается иерархической совокупностью вихрей, где самые крупные из вихревых образований имеют размеры, сравнимые с размером рассматриваемой области, а мелкие вихри имеют «вязкостные» масштабы. В таких условиях выбор характерной корреляционной длины и времени корреляции, определяющих перенос турбулентным потоком частиц, не является тривиальным. Здесь необходимо принять во внимание как корреляционные характеристики поля скорости течения, так и его «топологические» особенности, которые не всегда напрямую связаны с мелкомасштабными движениями [10, 20, 21]. Кроме того, при описании процессов турбулентного переноса требуется учесть такие «конкурирующие» факторы, как затравочная (молекулярная) диффузия, пересоединение линий тока, стохастическая неустойчивость и другие [22-24].

Аналогичные проблемы возникают в физике плазмы при рассмотрении движения заряженных частиц в стохастическом магнитном поле и в физике твердого тела при описании переноса в аморфных полупроводниках, и во многих других системах, где закон, описывающий диффузию, существенно отличается от классического [25-33]. Несмотря на значительный прогресс в понимании аномального переноса, многие аспекты ставших уже классическими работ в этой области остаются актуальными. Так, уже на первой стадии исследования процессов турбулентной диффузии предлагалось использовать корреляционные функции, модификацию классического диффузионного уравнения, методы перенормировки и др. [34, 35]. Представить эволюцию всех этих научных концепций в данной работе не представляется возможным. Автор сосредоточил свое внимание на идеях скейлинга, которые являются важным и достаточно универсальным инструментом, используемым как теоретиками, так и экспериментаторами [36-40]. Именно подход, в основе которого лежат скейлинговые представления, позволяет достаточно быстро разобраться в постановках задач и проблемах, имеющихся в различных современных областях физики, связанных с исследованием турбулентности. Прошло более 70 лет со времени публикации основополагающих работ Колмогорова и Обухова, посвященных скейлинговому описанию развитой турбулентности [41, 42]. Тем не менее, фундаментальный вопрос о характере взаимодействия вихрей в турбулентном потоке остается открытым [43-45].

Важно отметить, что при описании аномального переноса в плазме подобные проблемы возникли уже в конце 40-х годов прошлого века. Так, в 1949 году Бом выдвинул гипотезу о том, что перенос зарядов плазмы может, в основном, определяться не парными столкновениями частиц, а переменными электрическими полями коллективного происхождения [46].

Предложенная им формула для коэффициента турбулентной диффузии стала общеупотребительной как мера аномальности. Заметим, что простота формулы Бома, а также тот факт, что в ее основу не был положен конкретный физический механизм переноса, создавали иллюзию ее универсальности. Здесь, также как и в скейлинге Колмогорова, электрическое поле «выпадало» из окончательного выражения, аналогично тому, как при рассмотрении каскада в теории гидродинамической турбулентности характерное время нелинейного взаимодействия вихрей удалось описать простой размерностной оценкой. В дальнейшем эксперименты на токамаках и стеллараторах показали, что энергетическое время удержания плазмы оказывается слишком малым, чтобы его можно было описать неоклассическими формулами. Поэтому возникла необходимость использовать концепцию скейлинга для того, чтобы предсказывать характер удержания. Такие скейлинги были предложены Горбуновым, Мирновым и Стрелковым в 70 году [47] и Арцимовичем в 1971 году [48]. Сознавая трудности строгого теоретического описания турбулентного переноса в высокотемпературной плазме, Арцимович назвал свой скейлинг «псевдоклассическим». В этот же период начал разрабатывать методы описания сильно-турбулентной плазмы Кадомцев, работы которого сыграли важную роль для понимания базовых механизмов аномального переноса, связанного с низкочастотной структурной турбулентностью [49, 50].

Для объяснения нелокального переноса в высокотемпературной замагниченой плазме была привлечена концепция самоорганизации, которая позволила применить скейлинговые зависимости, развитые в теории фазовых переходов [51-53]. Идея о самоорганизации плазмы в токамаке нашла свое выражение в представлении о самосогласованных профилях и активно развивалась в Институте Курчатова Кадомцевым, Днестровским, Разумовой и другими.

Фактически, скейлинг по-прежнему остается главным инструментом анализа плазменной и гидродинамической турбулентности. Естественно, при описании явлений переноса в условиях сильной турбулентности мы сталкиваемся с теми же проблемами. Возникающие при больших числах Рейнольдса или Кубо когерентные структуры значительно осложняют описание эффективного переноса. Методы, развитые для слабой турбулентности, приводят к результатам, противоречащим как эксперименту, так и численному моделированию [1, 3, 4, 9, 10, 54-58]. В отсутствие универсального метода анализа эффектов переноса в структурной турбулентности естественно сосредоточить внимание на современных теоретических подходах, выбирая в качестве основы конкретный вид вихревых (когерентных) структур, формирующих рассматриваемый класс турбулентных течений. Это позволяет получить новые скейлинги для эффективных коэффициентов аномальной диффузии, которые могут быть использованы при анализе имеющихся экспериментальных данных и при проектировании новых установок с магнитным удержанием горячей плазмы.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Бакунин, Олег Геннадьевич, 2012 год

1. Progress in the 1.ER Physics Basis. // Nucl. Fusion. -2007. - V. 47. - P. Sl-S413.

2. Миямото К. Основы физики плазмы и управляемого синтеза. М.: Физматлит, 2007. - 424 с.

3. Wesson J.A. Tokamaks. Oxford: Oxford University Press, 2011. - 782 p.

4. Woods L.C. Theory of Tokamak Transport. Wiley-VCH, 2010. - 237 p.

5. Bakunin O.G. Correlations and Anomalous transport, in: Reviews of Plasma Physics ed. V.D. Shafranov - Berlin: Springer-Verlag- 2008,- V. 24.- P. 53203.

6. Itoh K. Transport and structural formation in plasmas. Bristol: IOP Pablishing 2006. - 306 p.

7. Вайнштейн С.И., Зельдович Я.Б., Рузмайкин А.А. Турбулентное динамо в астрофизике. М.: Наука, 1980. - 435. с.

8. Зельдович Я.Б., Рузмайкин А.А., Соколов Д.Д. Магнитные поля в астрофизике. Москва Ижевск: Регулярная и хаотическая динамика Институт компьютерных исследований, 2006. - 327 с.

9. Зеленый Л.М., Милованов А.В. Фрактальная топология и странная кинетика: от теории перколяции к проблемам космической электродинамики. // Успехи Физических Наук. 2004. - Т. 174. № 8. - С. 810852.

10. Монин А.С., Яглом A.M. Статистическая гидромеханика: В 2 т. М.: Наука, 1965.-Т. 1 - 897 с.

11. Panofsky Н.А., Dutton I.A. Atmospheric turbulence, models and methods for engineering applications. N.Y.: Interscience Publishers, a Division of John Willey & sons, 1970. - 492 p.

12. Pasquill F., Smith F.B. Atmospheric Diffusion. -N. Y.Ellis Horwood Limited, Halsted Press: a Division of John Willey & Sons. New York Chichester Brisbane Ontario, 1983. - 371 p.

13. Handbook of Turbulence, Walter Frost. /Eds. Trevor H., Moulden K. -N. Y. Plenum press, 1977. 428 p.

14. Herring J.R., McWilliams J.C. Lecture notes on turbulence. -Singapore: World scientific, 1987. 222 p.

15. Pope S.B. Turbulent Flows. Cambridge: Cambridge University Press, 2006. - 637p.

16. Bakunin O.G. Chaotic flows. Correlation effects, transport and coherent structures. Monograph on complexity. - Berlin: Springer, 2011. - 371 p.

17. Barenblatt G.I. Scaling phenomena. Cambridge: Cambridge University Press, 2008.-321p.

18. Будаев В.П., Савин С.П., Зеленый JI.M. Наблюдения перемежаемости и обобщенного самоподобия в турбулентных пограничных слоях. // Успехи Физических Наук. 2011. - Т. 181. № 9. - С. 905-952.

19. Bakunin O.G. Turbulence and Diffusion. Scaling versus Equations. Berlin: Springer-Verlag, 2008. - Monograph on complexity. - 301 p.

20. Tsinober A., An informal Introduction to Turbulence. Kluwer Academic Publishers, 2004. - 47lp.

21. Frisch U. Turbulence: The Legacy of A. N. Kolmogorov. Cambridge; Cambridge Univ. Press, 1995. - 307p.

22. Childress S., Gilbert A.D., Stretch, Twist, Fold: The Fast Dynamo. -Berlin: Springer-Verlag, 1995. 382p.

23. Moffatt H. K. Transport effects associated with turbulence with particular attention to the influence of helicity. // Report on Progress in Physics. 1983. -V.46.-P. 621-664.

24. Бакунин О. Г. Корреляционные и перколяционные свойства турбулентной диффузии. // Успехи Физических Наук. 2003. - Т. 173. - С. 757-765.

25. Bouchaud G.P., Gorges A. Anomalous diffusion in disordered media: statistical mechanisms models and physical applications. // Physics Reports. -1990. -V. 195.-P. 130-294.

26. Haus J.W., Kehr K.W. Diffusion in regular and disordered lattices. // Physics Reports. 1987. - V. 150. - P. 263-406.

27. Montroll E.W., Shlesinger M.F. On the wonderful world of random walks, in Studies in Statistical mechanics 11, 1. Elsevier Science Publishers, 1984. P. 3158.

28. Montroll E.W., West B. J. On an enriches collection of stochastic processes in fluctuation phenomena. Elsevier Science Publishers, 1979. - 196 p.

29. Weiss G.H. Aspects and applications of the random walk. Elsevier Science Publishers, 1994. - 345 p.

30. Sornette D. Critical phenomena in natural sciences. Berlin: SpringerVerlag, 2006.-581 p.

31. Balescu R. Statistical dynamics. Imperial College Press, 1997. - 393 p.

32. Zaslavsky G. M. Chaos, fractional kinetics, and anomalous transport. // Physics Reports. 2002 - V. 371. - P. 461-580.

33. Bakunin O.G. Scaling law and fractality concepts in models of turbulent diffusion. // Plasma Phys. Controlled Nucl. Fusion. 2003. - V. 45. - P. 19091929.

34. Crisanti A., Falcioni M., Paladin G., Vulpiani A. Lagrangian chaos: transport and diffusion in fluids. // Rivista Del Nuovo Cimento. 1991. - V. 14. № 12. - P. 1-80.

35. Isichenko M.B. Percolation, statistical topography, and transport in random media. // Rev. Mod. Phys. 1992. - V. 64. - P. 961.

36. Warhaft Z. Passive scalar in turbulent flow. // Annu. Rev. Fluid Mech. -2000.-V. 32.-P. 203-240.

37. De Gennes P.G. Scaling concepts in polymer physics. Cornell University press, 1979. 315 p.

38. Бакунин О.Г. Диффузионное уравнение и турбулентный перенос. // Физика плазмы,-2003.-V. 29. № 11.-С. 1085-1091.

39. Tabeling P., Cardoso О. Turbulence A Tentative Dictionary. N. Y.: Plenum Press, 1994.-489 p.

40. Davidson P.A. Turbulence, an introduction for scientists and engineers. -Oxford: Oxford University Press, 2004. 497 p.

41. Колмогоров A.H. Локальная структура турбулентности в несжимаемой жидкости при очень больших числах Рейнольдса. // Доклады Академии Наук СССР. 1941. - Т. 30. №4. - С. 299-303.

42. Обухов А. М. О распределении энергии в спектре турбулентного потока. // Доклады Академии Наук СССР. 1941. - Т. 32. № 1. - С. 22-24.

43. Moffatt Н.К., Zaslavsky G.M., Comte P., Tabor M. Topological Aspects of the Dynamics of Fluids and Plasmas. Dordrecht Boston London: Kluwer, Academic Publishers, 1992. 684 p.

44. Horton W., Ichikawa Y-H. Chaos and Structures. Word Scientific, 1994. -349 p.

45. Vortex Structure and Dynamics workshop, / Eds. Maurel A., Petitjeans P. -Berlin: Springer-Verlag. 2000. 257 p.

46. Bohm D. The characteristic of electrical discharge. In: Electrical discharges. /Eds. Guthrie A. N.Y.: Mc Grow-Hill, 1949. - P.376-379.

47. Gorbunov E.P., Mirnov S.V. Strelkov V.S. Energy confinement time of a plasma as a function of the discharge parameters in tokamak-3. // Nucl. Fusion. -1970.-V. 10. № l.-P. 43-51.

48. Арцимович Л.А. Об электронной теплопроводности в тороидальном плазменном витке. Письма в Журнал Экспериментальной и Теоретической Физики-1971.-Т. 13. №2.-с. 101-105.

49. Кадомцев Б.Б. Избранные труды. В 2-х томах. Т. 1.- М.: Физматлит, 2003. - 560 с.

50. Кадомцев Б.Б. Избранные труды. В 2-х томах. Т. 2,- М.: Физматлит, 2003.-584 с.

51. Stauffer D. Percolation and scaling. // Phys. Rep. 1979. -V. 2. -P. 3-156.

52. Stanley H.E. Introduction to phase transitions and critical phenomena. -Oxford: Clarendon Press, 1971. 243 p.

53. Stauffer D. Introduction to Percolation Theory. London: Taylor and Francis, 1985,- 295p.

54. Diamond P.H., Itoh S.I., Itoh K. Modern plasma physics. Cambridge; Cambridge Univ. Press, 2010. - 417p.

55. Krommes J. Fundamental statistical description of plasma turbulence. Phys Reports. 2002. - V. 360. - P. 1-352.

56. Bakunin O.G. Correlation effects and turbulent diffusion scaling. // Report on Progress in Physics. 2004. - V. 67. P. 965-1032.

57. Falgarone E., Passot T. (Eds.), Turbulence and magnetic fields in astrophysics. Berlin: Springer-Verlag, 2003. - 351 p.

58. Balescu R. Aspects of Anomalous Transport in Plasmas. Bristol: IOP Bristol and Philadelphia, 2005. - 376 p.

59. Taylor G.I. Diffusion by continuous movements. // Proc. London Math. Soc. -Ser. 2.- 1921.-V. 20.-P. 196-211.

60. Sutton O.G. Wind structure and evaporation in a turbulent atmosphere. // Proc. Roy. Soc A. 1934. - V. A146. № 858. - P. 701-722.

61. Scott B. Dinklage A., Klinger T. Plasma physics, confinement, transport and collective effects. Berlin: Springer-Verlag, 2005. - 276 p.

62. Учайкин В.В. Автомодельная аномальная диффузия и устойчивые законы. // Успехи Физических Наук. 2003. - Т. 173. № 8. - С. 849-876

63. Pekalski A., Sznajd-Weron К. (Eds.) Anomalous diffusion. From basics to applications. Berlin: Springer-Verlag, 1999. - 268 p.

64. West В .J., Bologna M., Grigolini P. Physics of Fractal Operators. -N. Y.: Springer-Verlag, 2003. 293 p.

65. Rosenbluth M.N., Sagdeev R.Z., Taylor L.B. Destruction of magnetic surface by magnetic field irregularities. // Nuclear Fusion. 1966. - V. 6. - P. 297-301.

66. Jokipii J. R., Parker E.N. Stochastic aspects of magnetic lines of force with application to cosmic-ray propagation. // The astrophysical journal. 1969. - V. 155.-P. 777-798.

67. Основы физики плазмы: в 2 т. / Под ред. Галеева А.А., Судана А.В. -М.: Энергоатомиздат, 1984. - Т. 1. - 640 с.

68. Кадомцев Б.Б. Коллективные явления в физике плазмы. М.: Наука, 1976.-238 с.

69. Гетманцев Г.Г. Астрофизический журнал. 1962. - Т. 6. - С. 477.

70. Rechester А.В., Rosenbluth M.N. Electron heat transport in a tokamak with destroyed magnetic surfaces. // Physical Review Letters. 1978. - V. 40. - P. 3841.

71. Ptuskin V. S. Cosmic rays in large-scale strong turbulent magnetic field. // Astrophysics and Space Science. 1979. - V. 61. - P. 251-258.

72. Kuznetsov L., Zaslavsky G.M. Hidden renormalization group for the near-separatrix Hamiltonian dynamics. // Physics Reports. 1997. - T. 288. - p. 457485.

73. Kadomtsev B.B., Pogutse O. P. Plasma Phys. And Controlled Nuclear Fusion Research. // Proceedings of the 7-thInternational Conference. IAEA Vienna, 1978.-P. 649.

74. Dupree Т. H. Theory of phase space density granulation in plasma. // Phys. Fluids. 1972.-V. 15. - P. 334-344.

75. Dupree Т. H. A perturbation theory for strong plasma turbulence. // Phys. Fluids. 1966.-V. 9. - P. 17731782.

76. Кингсеп A.C., Чукбар K.B., Яньков B.B. Электронная магнитная гидродинамика // Вопросы теории плазмы 1987. Т. 16. - С. 209-249.

77. Corrsin S. Random Geometric Problems Suggested by Turbulence. -Mechanics Department, The Johns Hopkins University. 1971. 84 p.

78. Зельдович Я.Б. Перколяционные свойства двумерного случайного стационарного магнитного поля. // Письма в Журнал Экспериментальной и Теоретической Физики. 1983. - Т. 38. - № 2. - С. 51-54.

79. Galeev А.А., Kuznetsova М.М., Zeleny L.M. Magnetopause stability threshold for patchy reconnection. // Space Science Reviews. 1986. -V. 44. - P. 1-41.

80. Исиченко М.Б., Калда Я.Л., Татаринова Е.Б. и др. Диффузия в среде с вихревым движением. // Журнал Экспериментальной и Теоретической Физики. 1989.- Т. 96. № 3. - С. 913.

81. Грузинов А.В., Исиченко М.Б., Калда Я.Л. Двумерная турбулентная диффузия. // Журнал Экспериментальной и Теоретической Физики. -. 1990. -Т. 97. № 2. С.476.

82. Bakunin O.G. Percolation models of turbulent transport. // Chaos Solitons and Fractals. 2005. - V. 23. - P. 1703-1731.

83. Feder J. Fractals. -N.Y.: Department of Physics University of Oslo, Norway. Plenum Press, 1988. 296 p.

84. Kadanoff L.P. Statistical physics: statistics, dynamics and renormalization. -World Scientific Publishing, 2011. 624. p.

85. Соколов И.М. Размерности и другие геометрические критические экспоненты в перколяционной теории. // Успехи Физических Наук. 1986. -Т. 150. С. 221-225.

86. Левинштейн М.Е. Журнал Экспериментальной и Теоретической Физики. 1976. V. 42. - Р. 112.

87. Осипенко М.В., Погуце О.П., Чудин Н.В. Диффузия плазмы на решетке вихрей. // Физика плазмы. 1987. - Т. 13. № 8. - С. 953-960.

88. Horton W. Drift waves and transport. // Reviews of Modern Physics. 1999. -V. 71.-P. 735-759.

89. Terry P. W. Suppression of turbulence and transport by sheared flow. // Reviews of Modern Physics. 2000. - V. 72. - P. 109-165.

90. Bohr Т., Jensen M.H., Giovanni P., Vulpiani A. Dynamical systems approach to turbulence. Cambridge: Cambridge University Press, 2003. - 423 p.

91. Berge P., Pomeau Y., Vidal C. L'ordre dans le chaos. Hermann, Editeurs des sciences et des arts, 1988. - 352 p.

92. Ott E. Chaos in Dynamical Systems. Cambridge: Cambridge University Press, 1993. - 276 p.

93. Wiggins S. Introduction to applied nonlinear dynamical systems and chaos. -N. Y.: Springer Verlag, 1999. 435 p.

94. Beck C., Schlogl F. Thermodynamics of chaotic systems. Cambridge: Cambridge University Press, 1993. - 241 p.

95. Фундаментальные и прикладные проблемы теории вихрей. / Под ред. А.В Борисова, И.С. Мамаева, М.А Соколовского/ Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003. 489 с.

96. Заславский Г.М. Физика хаоса в гамильтоновых средах. Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004. - 256 с.

97. Aref H., El Naschie M.S. Chaos applied to fluid mixing. Pergamon, 1994. 241 p.

98. Trugman S A Localization, percolation, and the quantum Hall effect. // Phys. Rev. В. 1983.-V. 27.-P. 7539.

99. Chorin A.J. Vorticity and turbulence. N.Y.: Springer-Verlag, 1994. -303 p.

100. Gouyet J-F. Physics and Fractal Structure. Berlin: Springer-Verlag, 1996.-297 p

101. Guyon E., Nadal J-P., Pomeau Y. (Eds) Disorder and mixing. // Kluwer Academic Publishers, 1988. 268 p.

102. Isichenko M.B., Kalda J. J. Statistical geometry of multiscale isolines. // Nonlinear Sci. 1991. - V. 1. P. 255.

103. Isichenko M.B., Kalda J.J. Fractal orbits and passive transport in scaling turbulence. // Nonlinear Sci. 1991. - V. 1. P. 375.

104. Bakunin O. G. Long-range correlation and percolation regimes in the system with drift flows. // J. Plasma Physics. 2004. - V. 71. - P. 435-448.

105. Bakunin O.G. Percolation transport in random flows with drift and time-dependence effects. // Physica A. 2005. - V. 347. - P. 289-300.

106. Yushmanov P.N. Neoclassical diffusion in a turbulent plasma. // Comment Plasma Phys. Controlled Fusion. 1992. - V. 14. - P. 313.

107. Dandy R. Physics of plasma. Cambridge: Cambridge University Press, 2001.-423 p.

108. Biskamp D. Magnetohydrodynamic turbulence. Cambridge: Cambridge University Press, 2004. - 356 p.

109. Bakunin O. G. Percolation transport in random flow with weak dissipation effects. // Physica A. 2005. - V. 345. - P. 1-8.

110. Bakunin O. G. Dissipation effects and percolation transport. In book: "Coherent Structures and Turbulence". Moscow: URSS-Press, 2010. P. 370-375

111. Kraichnan RH. J. Fluid Mech. 1971. - V 47 N.3. - P. 525-535.

112. Batchelor G.K. Computation of the energy spectrum in homogeneous two-dimensional turbulence. // The Physics of Fluids Supplement II. 1969. - V. 12. N. 12.-P. 11-233-239.

113. Zaslavsky G. Hamiltonian chaos and fractional dynamics. Oxford: Oxford University Press, 2005. - 221 p.

114. Монин A.C. Уравнение турбулентной диффузии. // Доклады Академии Наук СССР.-1955. Т. 105. № 2. - Р. 256-259.

115. Batchelor G.K. The effect of homogeneous turbulence on material lines and surfaces. // Proc.Roy. Soc. 1952. - V. 213 - P. 349-366.

116. Голицын Г.С. Исследование конвекции с геофизическими приложениями и аналогиями. -Ленинград: Гидрометеоиздат, 1980. 76 с.

117. Бакунин О.Г. Эффекты нестационарности и дрейфа в перколяционном пределе. В кн.: Пути ученого Е.П.Велихов. / Под ред. В.П. Смирнова. РНЦ «Курчатовский институт», 2007. - С. 57-63

118. Bakunin О. G. Percolation transport and structures in random drift flows. -in book: "Coherent Structures and Turbulence". Moscow: URSS-Press, 2005. -P. 483-494.

119. Nieuwstadt F.T.M., Van Dop H. (Eds) Atmospheric turbulence and air pollution modeling. D. Reidel Publishing Company, 1981. 356 p.

120. Крылов H.C. Работы по обоснованию статистической физики. M.: Академия наук, 1950. - 196с.

121. Smolyakov A.I. Diffusion in a plasma. // Nuclear Fusion. 1993. V. 33. N. 3.-P. 383-398.

122. Dorfman J.R. An Introduction to Chaos in Nonequilibrium Statistical Mechanics. Cambridge: Cambridge University Press, 1999. - 238 p.

123. Bakunin O. G. Correlation and anomalous transport effects related to stochastic instability. // Plasma Physics and Control. Nucl. Fusion. 2005. - V. 47.-P. 1857-1876.

124. Дрейзин Ю.А., Дыхне A.M.Аномальная проводимость неоднородных сред в сильном магнитном поле. // Журнал Экспериментальной и Теоретической Физики. -1972. Т. 63. № 1. -С. 241-260.

125. Resibois P., Leener M.D. Classical Kinetic Theory. -N.Y.: Wiley, 1977. 342 p.

126. Redner S. Physica D. 1989. V. 38. - P. 287.

127. Чукбар K.B. Квазидиффузия пассивного скаляра. // Журнал Экспериментальной и Теоретической Физики. 1996. - Т. 109. № 4. - С. 1335-1347.

128. Bakunin O.G., Quasi-diffusion and correlations in models of anisotropic transport // Physica A. 2004. - V. 337. - P. 27-35.

129. Bakunin O. G. The Corrsin conjecture and anomalous transport. // J. Plasma Physics. 2005. - V. 72. P. 647-670.

130. Taylor G.I. Dispersion of soluble matter in solvent flowing slowly through a tube. // Proc. Roy. Soc. London, Ser. A. 1953. - V. A219. № 1137. - P. 186203.

131. Matheron G., De Marsily G. Is transport in porous media always diffusive? A counterexample. // Water Resources Research. 1980. - V. 16. № 5. - P. 901917.

132. Bakunin O. G., Schep T.J. Multi-scale percolation and scaling laws for anisotropic turbulent diffusion. // Phys Lett A. 2004. V. 322. - P. 105-110.

133. Kramers H. Physica. 1940. -V. 7. P. 284.

134. Einstein A. Brownian motion theory. // Ann. Physik. 1905. - V. 17. - P. 549.

135. Давыдов Б. И. О распределении скоростей электронов, движущихся в электрическом поле. Журнал Экспериментальной и Теоретической Физики. 1936. - Т. 6. № 5. - Р. 463-480.

136. Зельдович Ю. Б. Журнал Экспериментальной и Теоретической Физики. -1942.-Т. 12.-С. 525.

137. Давыдов Б. И. Уравнение Фоккера-Планка и время релаксации максвелловского распределения. // Доклады Академии Наук СССР. 1934. -Т. 2.-Р. 216.

138. Бакунин О.Г. Парадоксы диффузии и лабиринты судьбы. // Успехи физических наук.-2003.-Т. 173.-С. 317-321.

139. Бакай А.С.Умеренная турбулентность. / В кн. Новое в синегетике. -М.: Наука, 1996.- 158 с.

140. Бакунин О.Г. Крашенинников С.И. Аномальная диффузия и функция распределения электронов в токамаке. // Физика плазмы. 1990. - Т. 16. - С. 529-532.

141. Галицкий В. М. Якимец В.В. Релаксация частицы в максвелловском газе. В Избранные труды, исследования по теоретической физике. М.: Наука, 1983.-с. 247.

142. Александров H.JI. Старостин А.Н. Неэкспоненциальная температурная зависимость скорости пороговых неупругих процессов в плотных средах. // Журнал Экспериментальной и Теоретической Физики. 1998. - Т. 113С.1661-1674.

143. Кукушкин А.Б., Лисица B.C., Савельев Ю.А. Нелокальный перенос тепловых возмущений в плазме. // Письма в Журнал Экспериментальной и Теоретической Физики. 1987. - Т. 46 - С. 356-358.

144. Абрамов В.А. Коган В.И. Лисица B.C. Перенос излучения в плазме. // Вопросы Теории Плазмы, 1982. т. 12. 114-155.

145. Zaslavsky G.M., Edelman M. Chaos. 2000. - V. 10. - P. 135.

146. Luo A.C.J Afraimovich V. Hamiltonian chaos beyond the KAM theory. -Berlin: Springer, 2011. 309 p.

147. Krapivsky P.L. Redner S. Ben-Naim E. A kinetic view of statistical physics Cambridge: Cambridge University Press, 2011. 485 p.

148. Bakunin O. G. Nonlocal velocity distribution function and one-flight approximation. // Phys Lett A. 2004. V. 330. - P. 22-27.

149. Bakunin O.G. Correlation effects and nonlocal velocity distribution functions. // Physica A. 2005. V. 346. P. 284-294.

150. Гуревич A.B. Зыбин К.П., Истомин Я.Н. Динамика неравновесной замагниченой плазмы в слабо стохастических слоях. // Журнал Экспериментальной и Теоретической Физики. 1983. - Т. 84. № 1. - С. 86102.

151. Александров Н.Л., Волчек A.M., Дятко Н.А., Кочетов И.В., Напартович А.П. Точные решения электоронного кинетического уравнения в неоднородном электрическом поле. // Физика плазмы. 1988. Т. 14. № 3. -С. 334-339.

152. Гуревич А.В. К вопросу о количестве ускоряющихся частиц в ионизованном газе при различных механизмах ускорения. // Журнал Экспериментальной и Теоретической Физики. 1960. - Т. 38. № 5. - С.1597-1607.

153. Гуревич А.В. К теории убегающих электронов. // Журнал Экспериментальной и Теоретической Физики. 1960. - Т. 39. № 5. - С. 12961306.

154. Бакунин О.Г. Крашенинников С.И. Аномальная диффузия и функция распределения электронов в токамаке. // Физика плазмы. 1990. - Т. 16. - С. 529-532.

155. Бакунин О.Г., Крашенинников С.И. Теплопроводность электронов и надтепловые частицы. // Физика плазмы. 1995. - Т. 21. № 6 - Р. 532-538.

156. Бакунин О.Г. Аномальная диффузия быстрых электронов и кинетическое уравнение с дробной производной. // Физика плазмы. 2004. -Т. 30. № 4. С. 369-374.

157. Кляцкин В.И. Стохастические уравнения глазами физика. М.: Физматлит, 2001.

158. Balescu R., Wang Н., Misguich J. Phys. Plasmas. 1994. -V. 51. P. 3826.

159. Zimbardo G., Veltri P., Pommois P. Anomalous, quasilinear, and percolative regimes for magnetic-field-line transport in axially symmetric turbulence. // Phys. Rev. E. 2000. - V. 61. P. 1940-1948

160. Бакунин О.Г. Нелокальное уравнение для симметричной части функции распределения электронов в неоднородной плазме. // Физика плазмы. 2003. - Т. 29 № 9. - С. 847-851.

161. Carreras В.A., van Milligen В., Perdosa М.А. Long-range time correlation in plasma edge turbulence. // Phys. Rew. Lett. 1998. - V. 80. - № 20. - P.4438-4441.

162. Будаев В.П. Многомасштабная инвариантность турбулентности пристеночной плазмы в токамаке. Автореферат докторской диссертации. М.: РНЦ Курчатовский институт. 2009. - 40 с.

163. Albritton J.R., Williams Е.А., Bernstain I.B., Swartz K.P. Nonlocal kinetics and transport of suprethermel electrons. // Phys. Rev. Lett. 1986. - V. 57. - P. 1887.

164. Jacobson A.R., Moses R.W. Nonlocal dc electrical conductivity of a Lorentz plasma in stochastic magnetic field. // Phys. Rev. A 1984. - V. 29. - P. 33353345.

165. Boyd D., Skiff F., Gulick S. measurements of suprathermat electron distribution function in toroidal plasma. // Rev. Sci. Instrum. 1997. - V. 68. N. 1,- Pt. 2.-P. 496-499.

166. Войцехович И.А. Параил В.В. Аномальная диффузия нижнегибридного тока в токамаке. // Физика плазмы. 1987. - Т. 13. № 10. -С. 1163-1175.

167. Кац А.В., Конторович В.М., Моисеев С.С., Новиков В.Е. Точные степенные решения кинетических уравнений для частиц. // Журнал Экспериментальной и Теоретической Физики. 1976. - Т. 71. № 1(7). - С. 177-192.

168. Mima К., Horton W., Tajima T., Hasegawa A. Power-law energy spectrum and orbital stochasticity. Preprint № 503. - IFSR -1992. - 14 p.

169. Яньков В.В. Последствия ленгмюровского коллапса в лазерной короне. // Физика плазмы. 1982. - Т. 8. - С. 86-94.

170. Rodriguez-Rodrigo L., Castejon F. Characterization of magnetic turbulence in tokamak plasmas through hard X-Ray spectra. // Phys. Rev. Lett. 1995. - V. 74. N. 20.-P. 3987-3990.

171. Esposito B. Runaway electron measurements in the JET tokamak. // Plasma Physics and Control. Nucl. Fusion. 1996. - V. 38. - P. 2035-2049.

172. Brown M.R. Experimental evidence of rapid evolution of large-scale structures in turbulent fluids. // J Plasma Physics. 1997. - V. 57. - P. 203-220.