Проблема инфракрасных расходимостей, квантово-полевая ренормализационная группа и аномальный скейлинг в статистических моделях развитой турбулентности тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, доктор физико-математических наук Антонов, Николай Викторович

• Антонов, Николай Викторович
• доктор физико-математических наук
• 2000

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Антонов, Николай Викторович

Введение

Глава 1. РЕНОРМГРУППА В ЗАДАЧЕ О РАЗВИТОЙ ИЗОТРОПНОЙ ТУРБУЛЕНТНОСТИ. ОБОСНОВАНИЕ ВТОРОЙ ГИПОТЕЗЫ КОЛМОГОРОВА

1.1. Стохастическое уравнение Навье-Стокса. Феноменология развитой турбулентности.

1.2. Квантово-полевая формулировка

1.3. ИК- и УФ-сингулярности диаграмм теории возмущений

1.4. УФ-ренормировка. Уравнения РГ

1.5. РГ-анализ стохастической гидродинамики. ИК-скейлинг

1.6. Решение уравнений РГ. Инвариантные переменные. РГ-представления корреляционных функций

1.7. ИК-скейлинг при фиксированных до и щ

1.8. ИК-скейлинг при фиксированных W и vq\ независимость от щ и "замораживание" критических показателей при £>

Глава 2. СОСТАВНЫЕ ОПЕРАТОРЫ, ОПЕРАТОРНОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ, ПЕРВАЯ ГИПОТЕЗА КОЛМОГОРОВА

2.1. Ренормировка составных операторов. Использование уравнений Швингера и галилеевой инвариантности

2.2. Перестановочность процедуры ренормировки и преобразования Галилея для составных операторов

2.3. Исследование асимптотики т Ос помощью операторного разложения

2.4. Обоснование Первой гипотезы Колмогорова в интервале 0 < е < 2 с помощью инфракрасной теории возмущений.

2.5. Операторное разложение одновременного парного коррелятора

2.6. Критические размерности старших операторов

2.6.1. Критические размерности операторов канонической размерности

2.6.2. Ренормировка операторов вида dip • dip ■ dip • dip

2.6.3. Критические размерности операторов канонической размерности 8: Использование уравнений Швингера.

2.7. Решение уравнений РГ, замораживание критических размерностей и обоснование Второй гипотезы Колмогорова для составных операторов

2.8. Об отклонениях от колмогоровского скейлинга для составных операторов

Глава 3. РЕНОРМГРУППА В МНОГОЗАРЯДНЫХ МОДЕЛЯХ РАЗВИТОЙ ТУРБУЛЕНТНОСТИ: УЧЕТ АНИЗОТРОПИИ, СЖИМАЕМОСТИ И ПАССИВНОЙ ПРИМЕСИ

3.1. Критический скейлинг в задаче о развитой турбулентности сильно сжимаемой жидкости

3.1.1. Проблема обоснования гипотез Колмогорова для сжимаемой жидкости.

3.1.2. Постановка задачи. Квантово-полевая формулировка

3.1.3. УФ-расходимости и УФ-ренормировка

3.1.4. РГ функции, неподвижная точка и критические размерности

3.1.5. Решение уравнений РГ для парного коррелятора скорости. Эффективная скорость звука и число Маха

3.2. Ренормгруппа в теории двумерной турбулентности: Неустойчивость неподвижной точки относительно слабой анизотропии

3.2.1. Проблема устойчивости Колмогоровского режима для анизотропной турбулентности

3.2.2. Квантово-по левая формулировка и УФ-расходимости

3.2.3. РГ-функции и анализ устойчивости неподвижных точек

3.3. Влияние сжимаемости на спектры сильно анизотропной развитой турбулентности

3.3.1. Стохастическое уравнение для слабо сжимаемой жидкости

3.3.2. Квантово-полевая формулировка и уравнение РГ

3.3.3. Критические размерности составных операторов, определяющих поправки на сжимаемость

3.4. РГ в задаче о случайном росте границы раздела сред

3.4.1. Квантово-полевая формулировка. УФ-расходимости. Уравнения РГ

3.4.2. Расчет РГ-функций в однопетлевом приближении. Неподвижные точки. ИК-скейлинг

3.5. РГ в задаче о турбулентной конвекции пассивной скалярной примеси в случае нелинейной диффузии

3.5.1. Квантово-полевая формулировка. Анализ УФ расходимо-стей

3.5.2. Уравнения РГ. Расчет РГ-функций в однопетлевом приближении

3.5.3. Неподвижные точки. ИК-скейлинг

3.5.4. Решение уравнений РГ для корреляторов. Законы Ричардсона и Колмогорова.

3.6. РГ в задаче о турбулентной конвекции "химически активной" скалярной примеси

3.6.1. Стохастическое уравнение диффузии для самодействующей пассивной скалярной примеси.

3.6.2. УФ-расходимости и ренормировка модели

3.6.3. Уравнения РГ, РГ-функции и неподвижные точки для п = 2 и тг =

3.6.4. Ренормировка, неподвижные точки и линии кроссовера при d~dc

Глава 4. РЕНОРМГРУППА, ОПЕРАТОРНОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ И АНОМАЛЬНЫЙ СКЕЙЛИНГ В МОДЕЛЯХ ТУРБУЛЕНТНОГО ПЕРЕМЕШИВАНИЯ ПАССИВНОЙ СКАЛЯРНОЙ ПРИМЕСИ

4.1. Аномальный скейлинг в модели Обухова-Крейчнана

4.1.1. Описание модели и формулировка результатов.

4.1.2. Квантово-полевая формулировка, ренормировка и уравнения Р Г

4.1.3. Ренормировка и критические размерности составных операторов

4.1.4. Операторное разложение и аномальный скейлинг

4.2. Обобщение модели Обухова-Крейчнана на случай сжимаемой жидкости

4.2.1. Точное решение для парной корреляционной функции

4.2.2. Ренормировка, уравнения РГ и РГ-функции

4.2.3. Операторное разложение и аномальный скейлинг в сжимаемом случае

4.2.4. О турбулентной конвекции пассивного магнитного поля

4.3. Турбулентное перемешивание пассивной скалярной примеси синтетическим полем скорости.

4.3.1. Постановка задачи и квантово-полевая формулировка

4.3.2. УФ-расходимости, ренормировка и уравнения РГ

4.3.3. Неподвижные точки и скейлинговые режимы

4.3.4. Критические размерности составных операторов дв---дв

4.3.5. Операторное разложение и аномальный скейлинг для структурных функций и других корреляторов.

4.3.6. Суммирование опасных вкладов степеней поля скорости

4.3.7. Экзотические скейлинговые режимы

4.3.8. Турбулентное перемешивание синтетическим полем скорости при наличии сжимаемости

4.4. Влияние крупномасштабной анизотропии на статистику поля пассивной примеси в инерционном интервале. Иерархия критических размерностей.

Глава 5. МЕТОД РГ ДЛЯ ТОЧНО-РЕШАЕМОЙ МОДЕЛИ ГЕЙЗЕНБЕРГА

5.1. Метод РГ для точно решаемых моделей и проблема конечных е

5.2. Описание модели. Параметр е. Проблема ИК- и УФ-сингу-лярностей

5.3. Уравнение РГ. РГ-функции. Неподвижная точка.

5.4. Решение уравнений РГ. Инвариантные переменные. ИК-асимптотика.

5.5. РГ-функции в схеме минимальных вычитаний

5.6. Обсуждение результатов.

Глава 6. ПРОБЛЕМА ИК-СУЩЕСТВЕННЫХ ПОПРАВОК К УРАВНЕНИЮ НАВЬЕ-СТОКСА

6.1. Метод РГ и проблема инфракрасно существенных поправок к стохастическому уравнению Навье-Стокса.

6.2. Формально и реально ИК-существенные параметры

6.3. Следствия галилеевой инвариантности. Поправки вида Х7?(рт

6.4. Поправки, связанные с составными операторами канонической размерности

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Проблема инфракрасных расходимостей, квантово-полевая ренормализационная группа и аномальный скейлинг в статистических моделях развитой турбулентности»

Диссертация посвящена исследованию проблемы инфракрасных расходимостей и аномального скейлинга в статистических моделях развитой гидродинамической турбулентности и турбулентной конвекции методами квантовой теории поля (функциональные методы и диаграммная техника, теория ренормировок и ренормализационная группа, операторное разложение, инфракрасная теория возмущений).

Как признается во многих современных работах, теоретическое описание развитой турбулентности пока остается в основном не решенной задачей. Большинство аналитических теорий турбулентности приходится рассматривать скорее как полуфеноменологические модели, чем как приближения в том смысле, что они не являются приближениями конечного порядка в некоторой регулярной теории возмущений по малому параметру для какой-либо последовательной микроскопической модели типа стохастического уравнения Навье-Стокса.

Одной из наиболее характерных открытых проблем теории остается обоснование в рамках микротеории феноменологической теории Колмогорова-Обухова и исследование отклонений от нее, если таковые имеются; подробнее см. в Гл. 1 и 2 и монографиях [34]—[37]. В частности, обсуждается поведение одновременных структурных функций

Sn(r) = (Их) - г>(х')Г, г = |х - x'l (В.1) в инерционном интервале расстояний L >> г » I, где L — характерный внешний (интегральный) масштаб задачи, I — вязкий (кол-могоровский) масштаб и v — некоторая компонента поля скорости. Согласно классической теории Колмогорова-Обухова, величины (В.1) не зависят от обоих масштабов и определяются единственным параметром W, средней скоростью диссипации, что позволяет найти их из соображений размерности с точностью до числовых множителей:

Sn(r) ~ const {Wr)nl?> (В.2) колмогоровские показатели, колмогоровский скейлинг).

Известны экспериментальные и теоретические свидетельства в пользу некоторых отклонений от предсказаний теории Колмогорова-Обухова. Для функций (В.1) они феноменологически записываются в виде

Sn(r) ~ const (Wr)n/* (r/Lfn (В.З)

Сингулярная зависимость структурных функций от L с некоторыми нелинейно зависящими от п показателями qn < 0 обычно называется "аномальным скейлингом" и объясняется явлением "перемежаемости" — сильно развитыми флуктуациями скорости локальной диссипации [34]-[37]. В рамках многочисленных моделей, обзор которых можно найти в [37] (см. также ссылки в разд. 2.8), показатели qn связываются со статистическими свойствами локальной диссипации или с фрактальной размерностью структур, образуемых мелкомасштабными турбулентными вихрями. Как правило, все эти модели носят полуфеноменологический характер, слабо связаны с исходными уравнениями гидродинамики и включают произвольные подгоночные параметры, так что остаются серьезные сомнения в универсальности представлений типа (В.З) и самом существовании отклонений от (В.2).

Надежды на построение последовательной количественной теории турбулентности связываются [38], [39] с использовании кванто-во-полевых методов, в особенности — метода ренормализацион-ной группы (РГ).

Как хорошо известно, метод РГ, развитый первоначально в рамках квантовой теории поля в связи с потребностями физики элементарных частиц, был с успехом применен в начале 70-х годов в работах К. Вильсона и других авторов (см. книгу [40] и ссылки в ней) в теории критических явлений для обоснования критической масштабной инвариантности в инфракрасной области (скейлинга) и вычисления универсальных характеристик критического поведения (критические индексы и нормированные скей-линговые функции) в форме ^-разложений. Впоследствии метод РГ был обобщен и на другие задачи, для которых характерна масштабная инвариантность (скейлинг) в инфракрасной области: критическую динамику, случайные блуждания, физику полимеров и, наконец, теорию развитой гидродинамической турбулентности; см. обзор [41], монографии [42]—[45] и ссылки в них.

Ренормгрупповой подход к теории турбулентности имеет более долгую и, возможно именно по этой причине, менее счастливую историю. Основные положения теории Колмогорова Обухова были сформулированы еще в начале 40-х годов, более чем за 20 лет до гипотезы подобия в теории критического поведения (см. [42]) а первые серьезные попытки применения аппарата РГ к турбулентности [46]—[49] относятся к концу 70-х — началу 80-х годов, когда РГ-теория критического поведения была уже в основном завершена.

Вскоре стало ясно, что, несмотря на сходство терминов, аналогия между явлениями аномального скейлинга в задачах критического поведения и турбулентности является далеко не полной из-за существенно различной физической природы этих явлений. С формальной точки зрения это проявляется, в частности, в том, что дополнительный множитель гЧп в (В.З) обезразмеривается инфракрасным (а не ультрафиолетовым, как для критического скейлинга) масштабом Ь. В РГ-теории турбулентности возник целый ряд новых проблем, с которыми не имели дела в теории критического поведения: "замораживание" критических размерностей, "опасные" составные операторы с отрицательными размерностями и др. Решение этих проблем и обоснование представлений типа (В.З) требует выхода за рамки е-разложений и оказывается возможным при использовании вместе с РГ дополнительных методов — операторного разложения, функциональных уравнений типа Швингера-Дайсона, инфракрасной теории возмущений и др.

В отличие от теории критического поведения, аппарат РГ в теории турбулентности используется в виде различных достаточно далеких друг от друга формализмов (квантово-полевая РГ, ре-курсионные соотношения Вильсона, итерационное усреднение по модам околосеточных масштабов), что крайне затрудняет взаимопонимание работающих в этой области специалистов. Поэтому в настоящей работе систематически используется стандартная квантово-полевая техника РГ, имеющая надежную базу в форме квантово-полевой теории ренормировки и хорошо развитых методов расчета РГ-функций и критических размерностей (аналитическая регуляризация, схема минимальных вычитаний и т.п.) и подробно излагаются не только физические результаты, но и сам аппарат РГ.

РГ-анализ статистической модели турбулентности состоит из двух основных этапов (подробнее см. Гл. 1 и 2). На первом этапе задача переформулируется в виде некоторой квантово-полевой модели, проверяется ее мультипликативная ренормируемость и выводятся уравнения РГ. Асимптотическое поведение различных корреляционных функций в области Ь,г >> I определяется инфракрасно (ИК) устойчивыми неподвижными точками этих уравнений. В частности, для функций (В.1) это позволяет получить представление вида

5„(г) ~ (I(В.4) с некоторыми скейлинговыми функциями Рп(Х/г), вид которых не находится непосредственно из уравнения РГ. Отметим, что каковы бы ни были эти функции, представление (В.4) означает наличие скейлинга (масштабной инвариантности) с определенными (критическими) размерностями всех ИК-существенных величин (именно, А[Ь] = Д[г] = —1, А[5„] = —п/3) при фиксированных несущественных (Д[Г| = Д[ТГ] = 0). Сказанное означает, что функции (В.4) при согласованном растяжении г —АлМ'г, Ь —► Лл^г и фиксированных ЦТ, I ведут себя как —> А^^б^ при любых Еп и Л > 0. Именно это свойство (называемое в дальнейшем ИК-скейлингом) аналогично критическому скейлингу в теории фазовых переходов. Тем самым, показатели дп в (В.З) не имеют отношения к критической размерности самой функции Бп. Отметим, что простой вид критических размерностей Д[- • •] в данном случае является следствием некоторых точных соотношений между РГ функциями модели, а в общем случае такие размерности вычисляются в виде бесконечных рядов по "параметру отклонения от логарифмичности" е. В теории фазовых переходов обычно е = 4 — с!, где <1 — размерность пространства [40], тогда как для турбулентности е не связан с (I и определяется, например, видом коррелятора случайной силы в уравнении Навье-Стокса (подробнее см. разд. 1.1).

Поведение скейлинговых функций Гп(Ь/г) при Ь » г исследуется с помощью операторного разложения, см. Гл. 2, и имеет вид

Ь/г) (В.5) ф где суммирование идет по всевозможным составным операторам

Ф с критическими размерностями Д[Ф] (точнее см. в Гл. 2). В моделях критического поведения всегда Д[Ф] > 0, и функции типа (В.5) конечны при Ь —► со.

Отличительной чертой большинства моделей развитой турбулентности является присутствие составных операторов с отрицательными критическими размерностями Д[Ф] < 0 [4]. Вклады таких операторов (названных в [4] "опасными") в операторные разложения типа (В.5) и порождают сингулярную зависимость от Ь при Ь —► со.

Проблема состоит в том, что опасные операторы для стохастического уравнения Навье-Стокса возникают лишь при некоторых конечных значениях е, поэтому, оставаясь в рамках е-разложения, затруднительно судить о том, является ли данный оператор опасным и, тем более, перечислить все опасные операторы и предъявить их размерности. Кроме того, практический расчет размерностей операторов даже в низших порядках е-разложения — довольно громоздкая задача, в частности, из-за их смешивания при ренормировке.

Поэтому особый интерес приобретают методы (основанные на функциональных уравнениях Швингера и тождествах Уорда, выражающих галилееву симметрию задачи) позволяющие сократить такие вычисления, а в некоторых случаях — найти размерности операторов точно (см. Гл. 2).

Другая сложность состоит в том, что опасные операторы всегда возникают в виде бесконечных семейств с не ограниченным снизу спектром размерностей (нет самого опасного, см. разд. 2.5). Если все они дают вклад в данную корреляционную функцию (В.5), для нахождения асимтотики Ь —»■ со все их вклады необходимо как-то суммировать. В ряде случаев подобное суммирование удается выполнить с помощью т.н. инфракрасной теории возмущений (см. разд. 2.3 и 4.3). Например, суммирование наиболее сингулярных вкладов в разновременных корреляционных функциях для стохастического уравнения Навье-Стокса выявило существенную зависимость их от Ь и быстрое (сверхэкспоненциальное) убывание при увеличении разностей времен, физически связанное с известными "эффектами переноса" (см. разд. 2.3 и работы [4, 9]). В другом случае подобное суммирование для одновременных кох>-реляторов приводит к степенной зависимости от Ь (см. разд. 4.3 и работу [28]).

В связи с перечисленными выше и некоторыми другими проблемами (возможность подмены ¿-образной функции накачки степенной функцией, существование конечного предела при е->2и корректный переход к такому пределу) возникающими в РГ-теории турбулентности, особый интерес представляют упрощенные модели, допускающие, с одной стороны, точное решение, а с другой — доступные РГ-анализу, как например модель Гейзенберга (см. Гл. 5) и целый ряд моделей турбулентного переноса пассивной скалярной примеси полем скорости с заданными статистическими свойствами, демонстрирующих явление аномального скейлинга в смысле (В.З), см. Гл. 4.

Перейдем теперь к обсуждению диссертации по главам. Диссертация состоит из Введения, шести глав, Заключения и Приложения; все главы разбиты на разделы; для большего удобства некоторые из них разбиты на подразделы. Ссылка на раздел без указания главы означает раздел данной главы.

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Антонов, Николай Викторович

Заключение

В заключение еще раз перечислим основные результаты, полученные в диссертации:

1. Систематически изучены следствия Галилеевой инвариантности для ренормировки составных операторов и операторных разложений в статистических моделях развитой турбулентности. Получено общее соотношение, выражающее перестановочность преобразования Галилея и процедуры ренормировки для произвольного составного оператора. С его помощью точно найдены критические размерности ряда составных операторов, в частности, всех операторов, построенных из поля скорости и его производных по времени любого порядка.

Показано, что инфракрасная асимптотика одновременного парного коррелятора скорости (спектра энергии) определяется вкладами строго инвариантных скалярных операторов в соответствующем операторном разложении. Точно либо в первом порядке е-разложения найдены поправки к спектру энергии, связанные с операторами канонической размерности б и 8.

2. Получено явное выражение для критической размерности составного оператора общего вида в статистической модели развитой турбулентности. Для произвольного ультрафиолетово-конечного оператора (например, скорости локальной диссипации или степеней поля скорости) доказана Вторая гипотеза Колмогорова (независимость корреляционных функций в инерционном интервале от вязкости). Для оператора общего вида явно найдена зависимость корреляционных функций от внутреннего (вязкого) масштаба.

Показано, что в задаче имеется бесконечное число галилеево-инвариантных скалярных операторов с отрицательными критическими размерностями (т.н. "опасные операторы'1).

3. Исследована модель развитой турбулентности сильно сжимаемой жидкости (не малые числа Маха). Доказана ренормиру-емость модели в переменных скорость-логарифм плотности и обнаружен скейлинговый режим с неколмогоровскими размерностями скорости звука и плотности жидкости. Изучена зависимость эффективных числа Маха и скорости звука от интегрального масштаба турбулентности.

4. Исследована модель сильно анизотропной развитой турбулентности сжимаемой жидкости. Изучение инфракрасных асимптотик корреляционных функций в первом нетривиальном порядке разложения по числу Маха сведено к расчету критических размерностей некоторого семейства составных операторов (в том числе нелокальных), который удалось выполнить с помощью уравнений Швингера и галилеевых тождеств Уорда. На основе полученных результатов дано обоснование гипотезы Колмогорова о независимости корреляционных функций в инерционном интервале от коэффициента вязкости в первом порядке разложения по числу Маха.

5. Статистическая модель двумерной турбулентности рассмотрена в приближении слабой анизотропии. Показано, что для обеспечения ренормируемости модель должна быть расширена введением нескольких дополнительных констант связи. В таком расширенном пространстве зарядов неподвижная точка ренор-мгруппы, отвечающая колмогоровскому скейлингу, оказывается неустойчивой. Это позволяет сделать вывод о неприменимости приближения слабой анизотропии для описания двумерной турбулентности.

6. Изучена стохастическая модель, предложенная ранее для описания случайного роста границы раздела сред. Показано, что корректный анализ ее ренормировки требует введения бесконечного числа констант связи. Однопетлевой расчет ренормгруп-повых функций удается выполнить в замкнутом виде. Он показывает, что в бесконечномерном пространстве зарядов имеется двумерная поверхность неподвижных точек уравнений РГ. При наличии на ней области ИК-устойчивости в задаче будет наблюдаться масштабная инвариантность (скейлинг) с неуниверсальными (зависящими от выбора конкретной точки на поверхности) критическими размерностями А^ и А/ высоты границы раздела и времени, удовлетворяющими точному соотношению 2Ад = At-\-d.

7. Изучена задача о турбулентном перемешивании пассивной скалярной примеси в случае, когда коэффициент диффузии произвольно зависит от концентрации примеси 9{х). Такая задача также включает бесконечное число зарядов. Как и в предыдущем случае, однопетлевой расчет показывает, что в бесконечномерном пространстве зарядов имеется двумерная поверхность неподвижных точек уравнений РГ. При наличии на ней области ИК-устойчивости в задаче будет наблюдаться скейлинг с универсальными критическими размерностями, отвечающими феноменологическим законам Колмогорова и Ричардсона, но с неуниверсальными (зависящими от значения числа Прандтля и явного вида нелинейности в уравнении диффузии) скейлинговыми функциями, амплитудными множителями в степенных законах и значением "эффективного турбулентного числа Прандтля."

8. Изучена задача о турбулентном перемешивании "химически активной" скалярной примеси, когда в уравнение диффузии добавляется нелинейный вклад вида 0п(х) (примесь рода п). Показано, что модель является ренормируемой лишь при ё > ёс, где ёс — критическая размерность пространства, зависящая от рода примеси (например ёс = 4 для п = 2 и ёс = 4 для п = 3). При ё < ёс возникают дополнительные расходимости, что приводит к возникновению дополнительных неподвижных точек и линий кроссовера (т.е. границ областей устойчивости, в том числе и для старых точек) в плоскости е-ё. Корректный анализ этих вопросов требует построения двойного ^-разложения (второй малый параметр — разность ё — ёс), причем обязательно с выходом за рамки первого порядка.

Конкретные вычисления выполнены для частных случаев п — 2 и 3 в двухпетлевом приближении. Они показали, что при п = 2 устойчивый скейлинговый ИК невозможен, а при п = 3 он существует в некоторой области в плоскости е-ё. При этом расплы-вание облака частиц примеси описывается степенным законом с показателем, отличным от известного закона Ричардсона.

9. В модели Обухова Крейчнана для перемешивания пассивной скалярной примеси случайным гауссовым полем скорости с заданным коррелятором вида х)у(£', х)} — х')} ос £')|х — х'|£, явление аномального скейлинга обосновано как результат наличия в задаче бесконечного числа "опасных операторов" (степеней скорости диссипации), чьи отрицательные критические размерности определяют значения аномальных показателей. Сами показатели вычислены явно во втором порядке е-разложения для структурных функций произвольного порядка и корреляционных функций степеней скорости диссипации.

Эти результаты обобщены на случай присутствия анизотропии, сжимаемости, конечного времени корреляции и негауссовости поля скорости.

10. Для пассивного скалярного поля, переносимого синтетическим полем скорости с конечным временем корреляции и при наличии крупномасштабной анизотропии, дано аналитическое исследование проблемы изотропизации развитой тзфбулентности в инерционном интервале. Показано, что корреляционные функции скалярного поля являются суперпозициями степенных вкладов с универсальными показателями. Эти показатели определяются критическими размерностями тензорных составных операторов и демонстрируют своего рода иерархию: чем выше ранг оператора (степень анизотропии вклада), тем больше размерность и тем быстрее вклад убывает в глубине инерционного интервала. Ведущий член инфракрасной асимптотики для четных корреляционных функций определяется изотропным вкладом, что подтверждает феноменологическую гипотезу о локально изотропной турбулентности. В то же время, анизотропия сохраняется в инерционном интервале и проявляется в нечетных корреляционных функциях.

11. Аппарат ренормгруппы применен к известной модели Гей-зенберга для спектрального баланса турбулентной энергии. Показано, что модель обладает ренормгрупповой симметрией с •>'-функцией и аномальной размерностью 7, которые найдены точно в двух различных ренормировочных схемах. Решение уравнений ренормгруппы воспроизводит известное точное решение модели Гейзенберга; оно сравнивается с результатами, полученными в рамках е-разложения, которое только и доступно для более сложных моделей развитой турбулентности. Показана возможность экстраполяции результатов, полученных для асимптотически малых £, к реальному значению е = 2, причем уже первые члены ^-разложения дают хорошую численную оценку для константы Колмогорова в спектре турбулентной энергии.

12. Исследована проблема возможных инфракрасно-существенных поправок к уравнению Навье-Стокса. Сформулирован точный критерий "реальной ИК-существенности", учитывающий наличие в задаче нескольких характерных масштабов (интегральный и вязкий масштабы и межмолекулярное расстояние). В соответствии с ним выполнена проверка ИК-существенности для двух семейств составных операторов: любых поправок, построенных из поля скорости и его производных по времени и поправок, связанных с операторами канонической размерности 5. Все они оказываются "реально ИК-несуществеными", что подтверждает отсутствие кроссовера и возможность экстраполяции результатов ^-разложения в область реальных конечных значений параметра

Благодарности

Мне остается выполнить приятный долг и поблагодарить моих учителей, коллег и соавторов Л. Ц. Аджемяна, А.Н.Васильева, М. Гнатича, М. К). Налимова, М. М. Перекалина, Ю. М. Письмака и Ю. Хонконена, а также всех сотрудников Кафедры физики высоких энергий и элементарных частиц и Кафедры статистической физики.

Я также благодарен бывшим студентам и аспирантам Санкт-Петербургского университета, принимавшим участие в работе, результаты которой отражены в данной диссертации: С. В. Бори-сенку, Д. В. Волченкову, В. И. Гириной, Т. Л. Ким, С- В. Новикову, А. В. Рунову, А. С. Степаненко, М. М. Степановой, А. А. Удалову и другим.

Я также благодарен Российскому фонду фундаментальных исследований, Конкурсному центру фундаментального естествознания Госкомвуза, Международному научному фонду и Международному центру фундаментальной физике в Москве за систематическую поддержку работы.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Антонов, Николай Викторович, 2000 год

1. Аджемян JI.IL, Антонов Н.ВМ Васильев А.Н. // Метод ренор-Мализационной группы в теории развитой турбулентности. Учебно-методическое пособие.—СПб., Изд-во СПб?/, 1993.

2. Аджемян Л.Ш, Антонов Н.В., Васильев А.Н. /'/ ЖЭТФ. 1989.гп лг 1 л т .-л1.у0, ¿.

3. ГсТ А ХТ Т\ ТЛ А X Т А / / ППТ\ Т X -1 АА-1о. Антонов ±1.15.,, Васильев л>и,, ^ генапенко а.и. // ±]\±Ф. ±УУ1,т по -I л г\1.00.

4. Г /-»1 А ХТ ТЛ / / "ГХ Л ,ГТХ -1 ГТЛ -1 лп У—Ч -1о. Антонов п.15. // зап. научн, семин. лими, 1уу1. ±,±8у, С.ю,

5. Антонов Н.В. // Вестник СПбУ. Сер. Физика, химия. 1992, Вып.З. С.З.

6. Антонов Н;В, // Вестник СПбУ. Сер. Физика, химия. 1992,1. ВЫП.4. и.о.

7. Антонов Н.В. Ц ЖЭТФ. 1994. Т.105. С.614.

8. Аджемян Л.Ц., Антонов П,В. // Вестник СПбУ. Сер. Физика, химия. 1994. Вып.2. С.53.

9. Г-» 1 А тх хх 4 тх тл т г т т-х / / тт1 т х -I аа < гхч г\ г\

10. Аджемян Л.д., АНТОНОВ И,В., ГьИМ 1.Л. // ±МФ. 1994. 1.1и0,1. П опл1. Г-t * XX XX Аizj Аджемян л.п.^ Антонов п.и., иасильев A.n., перекалин

11. Л Т Л Г / / гл Т—Г /л л f TT 1 ГП АА < 4 Г»ivi.ivi. // зап. научн, семин. ними. iy9o. i .2z i. C.4ö.

12. Антонов Н.В. // Зап. научн. семин, ПОМИ. 1995, Т,224. С,81.

13. Антонов Н.В., Васильев А.Н. // ЖЭТФ. 1995. Т.108. С.885.

14. Антонов Н.В. // Вестник СПбУ. Сер, Физика^ химия, 1996. Вып.2. С.74.

15. Антонов Н.В;, Борисенок С,ВМ Гирина В,И. // ТМФ. 1996, Т.106. С.92.

16. Антонов Н.В,, Борисенок С,В., Гирина В,И, // ТМФ, 1996, Т.107. С.47.

17. Антонов Н,В,, Васильев А.Н, // ТМФ, 1997, ТЛЮ, С.122,

18. Антонов Н.В,, Налимов М.Ю^ Удалов А,А. // ТМФ. 1997. ТЛЮ. С.385.

19. Антонов Н.В,, Гунов А,В. // ТМФ, 1997. Т.112, С,417.

20. Антонов Н.В, // ЖЭТФ, 1997, ТЛ12, С.1649,

21. Antonov N.V., Naiimov M.Yu., Hnatich M., Horvath D, // In: Proceedings of the Third International Conference ('Renormalizaiion Group 96."—Dubna, JINR, 1997, pp. 31-39.

22. Antonov N.VM Naiimov M.Yu. Hnatich M., Horvath D. // Int.

23. T Л T 1 T~M 1 АЛО T 7" Г\ -1 c\ "П 1 AO"7

24. JOlirn. iVIOQ. rnys. 1УУ6. \ ,D 1Z. Г.1У.З/.г/% il а тт xx 4 тт тл / / m iv r x -i /~ч m -i -t гч < к

25. Z4j Аджемян ji.u,^ Антонов и.ь, // 1мФ. i9y», i.iid. С.24о,

26. Antonov iN.V. // Pnys. ilev. 1У99. V.HOU; Г;009-Ьглл1 а тт xx a xx x> t~v a xx / / гпл x л1 -tzy. Аджемян ji.u,, Антонов й.тз,, Васильев а,и. // ±мФ, ху9у. Т.120. С. 309.-30. Antonov N.V. // Preprint SPBU IP-99-09, СП6ГУ, 1999 (chao-dyn/9907018).

27. Antonov N.V., Lanotte A., Mazzino A. // Phys. Rev. 2000. V.E61. P.6586.

28. Adzhemyan L.Ts., Antonov N.V., Hnatich M., Novikov S.V. // Preprint SPBU IP-00-08, СП6ГУ, 2000 (nlin.CD/0005067).

29. Antonov N.V. // Preprint SPBU IP-00-09, СП6ГУ, 2000.

30. Монин A.C., Яглом A.M. // Статистическая гидромеханика, Т.2.—СПб, Гидрометеоиздат, 1996.

31. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. // Гидродинамика —Ш., Наука, 1986.

32. Orszag S.A. // In: Fluid Dynamics, Les Houches, 1973. Ed. by R.Balian, J.-L.Peube.—London, Gordon and Breach Publishing, 1977. P.235.

33. Frisch U. // Turbulence: Legacy of A. N. Kolmogorov.—Cambridge, Cambridge University Press, 1995.

34. Sulem P.L., Fournier J.D., Pouquet A. // Lecture Notes in Physics. 1979. V.104. P.321.

35. McComb W.D. // The Physics of Fluid Turbulence.--Oxford, Clarendon, 1990.

36. Вильсон К., Когут Дж. // Ренормализационная группа и е-разложение.—М., Мир, 1975.

37. Brezin Е., Le Guillou J.С., Zinn-Justin J. // In: Phase Transitions and Critical Phenomena, Vol.6. Ed. by Domb C., Green M.S.— N.Y., Academic Press, 1976. P. 125.

38. Паташинский A.3., Покровский В.Л. // Флуктуационная теория фазовых переходов.—М., Наука, 1982.

39. Amit D.J. // Field Theory, the Renormalization Group, and Critical Phenomena.—N.Y., McGraw-Hill, 1978.г 4 41 г7' т т // /л . т т • т 1 гт11 7 • « • 144j ¿inn-.Justin j, // Quantum ti ел a itieory ana critical Phenomena.—Oxford, Clarendon, 1989.

40. Oij ivraicnnan // rnys. riums, xyoö. v.li. г,У4о,

41. Боголюбов H.H,, Ширков Д.В. // Введение в теорию кван-товйнны,х полей.—М. Наука, 1984.

42. Коллинз Дж. // Перенормировка,—М,, Мир, 1988.

43. Попов В.Н. // Континуальные интегралы в квантовой теории пол,Я и статистической физике.—М., Л гомиздаг. 1976.

44. Васильев А.Н, // Функциональные методы в квантовой теории, пол,Я и статистике.—Д., ЛГУ, 1976.

45. Haiperin B.I^ Hohenberg P.C. // Rev, Mod. Phys, 1977. V.49, r.435.гк fr 1 ттт 1 1 tt tt t т II а тл 1 1 ал-l t 7 -t Л тл -» 4 f~\о/j wyia n,vvM Jr. j j Ann, rnys, i9oi, v,i4, P,i4.j,

46. Кадомцев Б,Б. // В сб.: Вопросы теории плазмы, Т,4,—М,,1. Л 1 Г\Г* Л -1 пп1. АТОМИЗДа.Т, 1У04. Ъ-löb.kai т 7" • "i тл tt II тл 1 т11 «1 1 ал j т г 7 т~\ 1 г7л п '1 • 1 -1 /л /-> ттлoyj i\raicnnan ±t,n, // rnys, rruias, iyo4, \ r.irzá- юга,, iyoo. v.ö.

47. К !-? Г ' -7 -1 Г\П п Т Г Г\ 1 Г\ О "Г^ 1 ОО Ji'.oi o; irna,., ауоо. v .у, im i zö, r.jb<vi.61