Голографические модели квантовой хромодинамики в области сильной связи тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат физико-математических наук Копнин, Петр Николаевич

• Копнин, Петр Николаевич
• кандидат физико-математических наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Копнин, Петр Николаевич

Оглавление

Список иллюстраций

1 Введение

1.1 Непертурбативные методы квантовой хромодинамики

1.1.1 Правила сумм в квантовой хромодинамике

1.1.2 Численное моделирование КХД

1.1.3 1/Лгс - разложение

1.2 Дуальность между калибровочными полями и струнами

1.2.1 Ас18/СРТ-соответствие для N = 4 суперсимметричной теории Янга-Миллса

1.2.2 £>3/1)7-модель суперсимметричной N = 2 теории Янга-Миллса

1.2.3 Модель Сакаи-Сугимото

1.3 Голографические модели квантовой хромодинамики

1.3.1 Действие пятимерных голографических моделей

1.3.2 Результаты, полученные в рамках пятимерных моделей

2 Низкоэнергетические теоремы КХД и спектральная плотность оператора Дирака

2.1 Двухточечный коррелятор псевдоскалярных и скалярных токов

2.1.1 Псевдоскалярные токи

2.1.2 Скалярные токи

2.2 Эффективный низкоэнергетический киральный лагранжиан четвертого порядка

2.2.1 Низшая калуца-клейновская мода поля ф

2.2.2 Параметры кирального лагранжиана Ьг, Ь2 и

2.2.3 Каноническая нормировка поля ф и параметр ки-

рального лагранжиана

2.3 Спектральная плотность оператора Дирака

2.3.1 Спектральная плотность в модели Ас18/(5СВ с жесткой стенкой

2.4 Выполнение низкоэнергетических теорем

3 Киральный магнитный эффект в модели АсШ/С^СВ с мягкой стенкой

3.1 Действие калибровочных полей в модели Аёв/С^СР

3.1.1 Симметрийные токи модели

3.1.2 Дивергенция векторного тока

3.1.3 Бардиновский контрчлен

3.2 Скалярный и псевдоскалярный секторы модели

3.2.1 Кинетический член и потенциал

3.2.2 Действие Черна-Саймонса со скалярами

3.2.3 Обсуждение роли бардиновского контрчлена и вклада скаляров в литературе

3.3 О динамической нейтрализации ¡л5

3.4 Обсуждение

4 Аномальный вклад КХД в дебаевское экранирование во внешнем магнитном поле в голографической модели

4.1 Фаза деконфайнмента, В = 0

4.2 Фаза деконфайнмента, В ф 0

4.2.1 Действие модели

4.2.2 Диагонализация

4.2.3 Случай низких температур в голографии

4.3 Фаза конфайнмента

4.4 Обсуждение

5 Магнитная восприимчивость кваркового конденсата в модели АсШ/С^СВ с тензорным полем

5.1 Смешанный член в киральном лагранжиане

5.2 Расширенная голографическая модель

5.3 Векторный ток в присутствии тензорного источника

5.4 Уравнения движения и смешивание скалярных и тензорных полей

5.5 Решение и граничные условия на тензорное поле

5.6 Намагниченность, магнитная восприимчивость и их зависимость от внешнего поля

6 Вильсоновские петли и фазовый переход Гросса—Оогури

в присутствии глюонного конденсата

6.1 Нормировка поля дилатона

6.2 Переход Гросса-Оогури в корреляторе двух петель ВильсонаНО

6.3 Уравнения движения и граничные условия на минимальную поверхность

6.3.1 Решение нулевого порядка в различных координатных системах

6.3.2 Классическое действие на уравнениях движения

6.4 Численные результаты: сдвиг точки фазового перехода

7 Заключение 119 Литература

Список иллюстраций

2.1 Графики функций /0(х) (красный), fi(x) (зеленый), /2(х)

(синий) и ехр(—>сх) (черный)

3.1 Символическое изображение кирального магнитного эффекта. Заимствовано из: Arata Yamamoto, Led. Notes Phys. 871 387-397 (2013)

— ill/ 9e t> i

4.1 Функция F = F I — 2 + 2 V 1 — ж4т4 ) (сплошная линия) и

ее асимптотика при сильных магнитных полях (пунктирная линия)

4.2 Поправка к поляризационному оператору фотона во внешнем поле в киральной теории возмущений

5.1 Намагниченность /л(В) в единицах -^р- (непрерывная линия) и ее асимптотика в сильном магнитном поле (пунктирная линия). Магнитное поле дано в единицах z~n2 х 9Хл^

5.2 Магнитная восприимчивость кваркового конденсата х(В)

в единицах z^ х ф-

6.1 Схематическое изображение мировых поверхностей минимальной площади, отвечающих связному (а, с) и несвязному (b, d) решениям. Зеленым выделены поверхности с наименьшей площадью (a, d). Голографическая координата г не отображена

6.2 Обмен гравитационными модами между двумя поверхностями, натянутыми на вильсоновские контуры на границе AdS

Глава

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Голографические модели квантовой хромодинамики в области сильной связи»

Введение

Изучение квантовой хромодинамики (КХД) при низких энергиях традиционно сопряжено с трудностями. Рост эффективной константы связи а8 на масштабах, приближающихся к Аде о ~ 200 МэВ, делает низкоэнергетическую КХД теорией с сильной связью, и ее исследование пер-турбативными методами невозможно. Поэтому до сих пор не существует способа вывести КХД при низких энергиях из ее лагранжиана, записанного в терминах кварков и глюонов:

Сдсо = С^ + £ & {гЬ - т}) qf + Лг С^&Г (1.1)

Здесь = д^Аи — диА^ + гд [А^, Д,] - напряженность поля глюонов

А*' ^^ = рСЛр, д - кварковый биспинор, / - аромат кварка, Г) = £

д2

■у'1 (дц — гдА- ковариантная производная, д - константа связи, а3 = —,

гп} - масса кварка, в - вакуумный угол.

Это приводит к необходимости использования эффективных действий и различных непертурбативных методов. Самосогласованное низкоэнергетическое описание КХД необходимо для изучения свойств кварковой материи, образующейся в экспериментах по столкновениям тяжелых ионов (например, эксперименты на Коллайдере Релятивистских Тяжелых Ионов в Национальной Лаборатории Брукхейвена, Нью-Йорк, США) и для вычисления радиационных поправок к сечениям рождений и ширинам распадов частиц на ускорителях (таких как Большой Адронный Коллайдер в ЦЕРН, Женева, Швейцария). Построение полной фазовой диаграммы

вакуума КХД при различных температурах, химических потенциалах и во внешних магнитных полях позволит пролить свет на свойства экзотических состояний вещества, должно способствовать пониманию различных экзотических космологических объектов, таких как нейтронные звезды, а также восстановлению картины ранних моментов вселенной.

Самым современным непертурбативным методом описания сильносвязанных теорий Янга-Миллса является дуальность калибровочных полей и струн. В рамках этой дуальности конформной теории поля в четырехмерном пространстве ставится в соответствие некая теория суперструн (супергравитации) в многомерном пространстве анти-де Ситтера (Ас18). На основе этого построения были разработаны голографические модели, позволяющие исследовать низкоэнергетическую КХД путем сопоставления ее эффективного действия и квазиклассического действия некой гравитационной теории. Тем не менее окончательный вид этой теории до сих пор не установлен, и уточнение ее геометрии и состава полей имеет первостепенную значимость. На данный момент существует несколько голографических дуальных моделей, доработка которых в перспективе может привести к полной дуальной теории КХД, и поэтому проверка этих моделей на самосогласованность представляется очень важной задачей. Данная диссертация посвящена сравнению результатов, полученных в рамках голографических моделей АсШ/С^СВ, с результатами других непертурбативных методов.

Перечислим основные положения, выносимые на защиту:

1. Получены выражения для коэффициентов и Ь4 кирально-го лагранжиана при членах четвертого порядка по импульсу методами

лаэ/дсБ.

2. Предложен способ вычисления спектральной плотности оператора Дирака, применимый в дуальных моделях. С его помощью получено выражение для спектральной плотности в модели АёБ/С^СБ с жесткой стенкой.

3. Установлено выполнение низкоэнергетических теорем КХД в главном порядке по массе легких кварков в голографических моделях.

4. Вычислена величина тока, возникающего в результате кирального магнитного эффекта в модели ЛсШ/С^СБ с мягкой стенкой. Показано, что при этом нужно учитывать вклад скалярного сектора модели.

5. Исследован вклад квантовой хромодинамики в дебаевскую и магнит-

ную массы экранирования фотона при температуре выше температуры деконфайнмента в сильных магнитных полях.

6. Вычислены намагниченность и магнитная восприимчивость кварково-го конденсата в магнитных полях любой величины в модели Аёв/С^СБ, дополненной тензорным полем.

7. Аналитически исследованы свойства фазового перехода Гросса-Оогури в присутствии глюонного конденсата.

Текст диссертации организован следующим образом:

Во введении дан обзор некоторых существующих непертурбативных методов квантовой хромодинамики (КХД), дано краткое описание АсШ/ ОРТ-соответствия, его адаптации для описания теорий с меньшей или отсутствующей суперсимметрией, на основе которого формулируются голографические модели КХД, а также дан краткий обзор таких моделей.

В главе 2 исследована совместность голографических моделей Ас1Э / С^СБ с низкоэнергетическими теоремами КХД. Кроме того, предложен голографический метод вычисления спектральной плотности оператора Дирака, который затем применяется в модели Аёв/С^СБ с жесткой стенкой.

В главе 3 вычислен киральный магнитный эффект в модели Аёв/ С^СБ с мягкой стенкой, и с учетом члена Черна-Саймонса получено выражение для векторного тока. При учете скалярного сектора выражение для тока совпадает с полученным в режиме слабой связи.

В главе 4 изучается вклад КХД в электрическую (дебаевскую) и магнитную массы экранирования фотона в кварк-глюонной плазме во внешнем магнитном поле при конечной температуре, и устанавливается зави- * симость от температуры и поля дебаевской массы в модели Ас18/(^СВ.

В главе 5 обсуждаются магнитная восприимчивость и намагниченность кваркового конденсата в модели Ас^/С^СБ, дополненной тензорным полем. В этой модели исследуется поведение намагниченности и магнитной восприимчивости в сильных магнитных полях.

В главе 6 вычислены эффекты глюонного конденсата в фазовом переходе Гросса-Оогури в корреляторе петель Вильсона при достаточно малом размере петель.

В заключении обсуждаются полученные результаты.

1.1 Непертурбативные методы квантовой хро-модинамики

1.1.1 Правила сумм в квантовой хромодинамике

Одним из наиболее полезных для теоретического описания свойств ад-ронов непертурбативных методов КХД стали так называемые правила сумм. Они позволяют записать корреляционную функцию в терминах конденсатов КХД, то есть вакуумных средних некоторых операторов, с одной стороны, и параметров (масс и констант связи) адронов с другой (см. например [1]).

В 1969 г. Кеннетом Вильсоном было предложено операторное разложение для двухточечного оператора [2]

Ъав{х) = 1Т{э\х)^в{Ъ)} = ^СпВ{*)Оп{Ъ), х^О, х2 < О,

п

(1.2)

где Оп - набор локальных операторов, а САВ(х) - коэффициентные функции, вычисляемые по теории возмущений. Они имеют каноническую размерность, дающую в сумме с размерностью оператора Оп сумму размерностей токов ]А и ]в. Таким образом, вклады больших и малых расстояний в корреляционную функцию факторизуются: малые расстояния дают коэффициентные функции, в то время как большие - в операторы (или их матричные элементы). Доказательство справедливости операторного разложения дано Циммерманом в [3].

Приведенное выше операторное разложение следует дополнить процедурой перенормировки. Включение точки перенормировки /л означало бы, что интегрирование по степеням свободы с импульсами, большими ц, вносит вклад в коэффициентные функции САВ, а с импульсами, меньшими /л, - в операторы Оп. Если коррелятор токов ]А. ув является физической наблюдаемой, то зависимость от ц в сумме сокращается, хотя это

будет лишь приближенным свойством в том случае, если мы рассматриваем конечное число слагаемых.

Вакуумные матричные элементы операторов в правой части (1.2) -вакуумные конденсаты - являются параметрами порядка определенного фазового перехода (или нескольких переходов), происходящего при температуре Тс. При температурах выше Тс конденсаты исчезают, что сопровождается восстановлением симметрий. К таким симметриям относится киральная симметрия, при которой отдельно преобразуется лево-и правокиральные кварки, являющаяся симметрией лагранжиана КХД (1.1) при пренебрежении массами кварков (что соответствует процентной точности). Спонтанное нарушение киральной симметрии имеет своим параметром порядка кварковый (киральный) конденсат {(¡адь), где а, Ь - кварковые ароматы, диагональный по этим индексам и обладающий наименьшей размерностью из всех конденсатов КХД. Конденсаты и- и ¿¿-кварков равны (если не учитывать различие их масс и эффект электромагнитных взаимодействий):

(ии

= (М) = - (255 МеУ)3 . (1.3)

Конденсат (ее) отличается от них на 20%. Часто рассматриваются и другие конденсаты, нарушающие киральность и имеющие большую размерность.

Среди конденсатов, сохраняющих киральность, наиболее важным является глюонный - ^—- Ьг С. Его существование было впервые указано в [4],

2 гу \

-^ггС^") = 0.012 СеУ4. (1.4)

Этот конденсат, кроме того, определяет вакуумную плотность энергии КХД, а также является параметром порядка спонтанного нарушения масштабной инвариантности.

Можно также рассматривать конденсаты во внешних полях. В частности, в постоянном электромагнитном поле в линейном приближении

(я^сг^я/)\р = . (1.5)

Этот конденсат относится к нарушающим киральную инвариантность.

Правила сумм КХД были предложены Шифманом, Вайнштейном и Захаровым [4] для вычисления масс и констант связи легких мезонов, а

позже расширены на массы барионов и адронные формфакторы. В случае двухточечной корреляционной функции (1.2) мы можем рассмотреть ИЛВ(д2) при больших О1 = — д2 и использовать для нее операторное разложение. С другой стороны ее же можно выразить через вклады физических состояний посредством дисперсионного соотношения

Корректный подход требует вычитаний в дисперсионном соотношении, соответствующих ультрафиолетовой регуляризации в вычислениях пер-турбативных вкладов в операторное разложение. Кроме того, ряд операторного разложения по <5 2 должен быстро сходиться. Наконец, если мы хотим выделить вклад только низшего адронного состояния в мнимую часть поляризационного оператора, он обязан быть доминирующим по сравнению с вкладами возбужденных. Предложенное в [4] использование преобразования Бореля обеспечивает выполнение этих условий в некотором диапазоне по <52, в котором улучшается сходимость операторного разложения и одновременно подавляются вклады тяжелых состояний.

1.1.2 Численное моделирование КХД

До недавних пор одним из немногих способов изучения низкоэнергетической КХД было численное моделирование на решетках - см. например изложение в [5]. При большой константе связи массы элементарных частиц или их связанных состояний становятся сравнимыми с параметром и для восстановления локальной непрерывности Вильсоном было предложено следующее решение [6]. Пространство-время заменяется на решетку дискретно расположенных точек. Легче всего это сделать в евклидовом пространстве-времени. При этом для приближенного вычисления евклидовых корреляционных функций можно использовать функциональный интеграл по полям на решетке. У такой теории может быть хорошо определенный предел сильной связи.

В качестве переменных дискретной теории было предложено использовать вильсоновские линии

оо

О

Произведение линий по замкнутому контуру дает калибровочно - инвариантную величину. Для них справедливо следующее поведение

где Агеас - площадь поверхности, натянутой на замкнутый вильсонов-ский контур.

Этот результат можно переосмыслить в случае пары кварк-антикварк, разделенной в пространстве расстоянием Ь на протяжении евклидова времени Т, в режиме сильной связи. Статистическая сумма для такой пары равна среднему от вильсоновской петли, образованной ее траекториями в евклидовом пространстве:

Оказывается, что потенциальная энергия двух удаленных друг от друга калибровочных зарядов растет пропорционально расстоянию между ними, то есть в пределе сильной связи они обладают свойством невылетания, или конфайнмента. Его можно интерпретировать как результат наличия протяженных линий потока цветового заряда, называемых струнами.

С другой стороны, дискретную теорию с ненулевой постоянной решетки и конечным четырехмерным объемом можно исследовать численными методами. Если считать такую теорию приближением КХД, определение функциональных интегралов будет сводиться к многомерным интегралам по конечному числу переменных, вычисляемых по методу Монте-Карло. Такой интеграл можно интерпретировать как континуальный, в котором учтены только крупномасштабные степени свободы, соответствующие размеру ячейки. Вклад от мелкомасштабных степеней свободы можно впоследствии учесть пертурбативно, затем сшив две области с помощью операторного разложения.

В настоящее время численное моделирование позволяет вычислять матричные элементы и массы адронов, имеющих массу меньшую, чем обратный размер решетки, с точностью, близкой к 10-20%. Эта точность определяется определяется мощностью компьютеров и в будущем будет только возрастать.

1.1.3 \/Ис- разложение

Присутствие в КХД струнных объектов, таких как трубки потока цветового заряда или вильсоновские линии, является указанием на то, что теория допускает дуальное описание в терминах теории струн. Наиболее прямые указания на это происходят из предела большого числа цветов 'т Хоофта [7]. Вблизи точки Адсп не существует разложения по теории возмущений, способного дать нам ответ о поведении теории. Тем не менее, есть надежда, что в теории с калибровочной группой 577(АГС) при

больших Ис возможно пертурбативное разложение по величине —. Пре-

■^с

дел N оо берется таким образом, что константа 'т Хоофта Л = 1^сд2 остается постоянной. Возможно рассмотрение и иных пределов по Л, например Л —¥ оо.

Ф

Предел 'т Хоофта дополняется перескалированием полей Ф —» —, ко-

9

1 А^с

торое приводит к появлению множителя — = — перед лагранжианом.

9 А

Этот эффект сопровождается ростом числа степеней свободы теории ос Д^?, из-за чего она не переходит в квазиклассический предел. В такой теории фейнмановские диаграммы можно изображать в виде ленточных графов, где поля в присоединенном представлении можно заменить на прямое произведение полей в фундаментальном и антифундаментальном представлениях, что соответствует двойным линиям, направление которых задается фундаментальными индексами. Такие графи можно интерпретировать как разбиение поверхности, грани которой образуются петлями одной фундаментальной линии, направление которой задает ориентацию поверхности.

Подсчет степеней А^ и А, приписываемых каждой диаграмме, дает разложение по родам поверхности, соответствующей диаграмме

оо оо

Едг2-2§егш8 у^ \г

genus=0 г=0

Оно демонстрирует, что в пределе большого числа цветов наибольший вклад (ос А^?) дают диаграммы с наименьшим родом поверхности, а именно планарные графы. Такое разложение характерно для теории замкнутых струн с константой связи 1/Ас, и непертурбативное рассмотрение в теории поля должно дать нам полноценные замкнутые поверхно-

сти.

Эти соображения применимы и в более общем случае. Вставка в корреляционную функцию калибровочно-инвариантных операторов уменьшает степень Мс на число этих операторов. Материя в фундаментальном представлении учитывается в виде однолинейных пропагаторов, образующих границы поверхности.

Хотя эти соображения указывают на то, что у калибровочной теории с группой 5,[/(Л^с) есть дуальное описание в виде теории струн с константой связи 1/ЛГс, явный вид теории оставался неопределенным. Конкретное построение для теории Янга-Миллса в четырех измерениях было предложено с формулировкой А(18/СГТ-соответствия.

1.2 Дуальность между калибровочными полями и струнами

Теорию струн, являющуюся основным подходом к квантованием гравитации и объединению всех фундаментальных взаимодействий, можно рассматривать и как общее описание струноподобных состояний, таких как хромоэлектрические трубки потока заряда в неабелевых калибровочных теориях. Возникнув как попытка изучения сильных взаимодействий, она позволяла объяснить реджевскую траекторию мезонов и барионов. Найденное Венециано [8] выражение для дуальных амплитуд тгТУ рассеяния получило струнную интерпретацию в работах [9, 10, 11], что породило в 1970-х годах огромный интерес к теории струн как теории сильных взаимодействий. В конце десятилетия многочисленные трудности, возникшие в такой интерпретации, привели к фактическому перерыву в поисках точной формы соответствия между калибровочными полями и струнами, однако уже в 1981 году Поляков предположил, что у дуальной четырехмерной теории поля теории струн должно быть пятое измерение, делающее все пространство искривленным и интерпретируемое как масштаб ренорм-группы [12, 13].

1.2.1 AdS/CFT-соответствие для Л/" = 4 суперсимметричной теории Янга—Миллса

Идея AdS/CFT соответствия, была предложена в пионерских работах [14], [15], [16] и связывает теорию замкнутых струн в искривленных пространствах с суперсимметричными калибровочными теориями. В этом разделе мы будем следовать изложению в обзоре [17]. AdS/CFT соответствие связывает теорию суперструн типа IIB, компактифицированную на пространстве AdS$ х S5, с Н = 4 суперсимметричной теорией Янга-Миллса. Начнем рассмотрение с теории струн в плоском (1+9)-мерном пространстве Минковского, в которое помещена стопка Nc БЗ-бран, протяженных в (Ц-З)-мерной гиперплоскости. В спектре теории струн будут содержаться возбуждения в виде открытых и замкнутых струн, причем концы первых должны кончаться на D-бране [18] и являются возбуждениями бран, а вторые - возбуждениями самого пространства. При энергиях, много меньших струнного масштаба Ij1 = а'-1/2, достаточно рассматривать только безмассовые струнные моды, которые в секторе замкнутых струн дают гравитационный IIB супермультиплет в десяти измерениях, а в секторе открытых - Л/" = 4 векторный супермультиплет в четырехмерном пространстве Минковского - N = 4 суперсимметричную теорию Янга-Миллса с калибровочной группой U(NC) [19].

Действие безмассовых мод дается суммой

+ ^brane &interaction ■ (1.6)

Член Sinteractionj отвечающий за взаимодействие степеней свободы на бране и гравитационных мод, пропорционален положительной степени гравитационной константы км ос gs<y'2, где gs - струнная константа связи. Члены (1.6), содержащие высшие производные и являющиеся результатом отинтегрированных массивных состояний, также содержат положительные степени kn-

Обратимся к пределу низких энергий, соответствующему ls 0. В нем из действия (1.6) выпадает член Sinteraction, все слагаемые с высшими производными, а гравитационная теория становится свободной. Таким образом, у нас остается свободная супергравитация в (плоском) объемлющем пространстве и калибровочная J\f = 4 U(NC) теория с константой связи gYM, 4тгд\м = gs [18].

С другой стороны, супергравитационное решение, соответствующее

стопке БЗ-бран, имеет вид [20]

йз2 = ¡{г)-1/2{-(И2 + (1х1 + (1х1 + (1х23) + /{г)1/2((1г2 + г2<т1)

.Р5 = (1 + *)с1ьс1х1с1х2с1хзс1/(г) \

р4 р4 Дг) = 1 + — = А-кд3Ис.

(1.7)

В этой геометрии низкоэнергетические возбуждения расщепляются на две независимые части: свободная супергравитация в плоском объемлющем пространстве и гравитация в области, близкой к горизонту, где г £, /(г) ~ и метрика равна

Она описывает геометрию АйБ^ х Б5.

Таким образом, и с точки зрения открытых струн на бране, и с точки зрения замкнутых струн (супергравитации), теория в низкоэнергетическом пределе расщепляется на две невзаимодействующие: супергравитация в плоском пространстве и 1) либо Л/" = 4 [/(Ыс) суперсимметричная теория Янга-Миллса в (Ц-З)-мерном пространстве; 2) либо теория струн ИВ в пространстве АйБ-^ х 55 с потоком напряженности рамон-рамоновской 5-формы = с1С\, равному числу цветов АГС. Естественным представляется отождествить эти две теории как дуальные друг другу [14].

В [15, 16] было предложено взаимно-однозначное соответствие между калибровочно-инвариантными операторами Ог в конформной ]\[ = 4 и(Мс) теории и полями в А6Б5 х 55. Так, оператору с канонической размерностью Д и спином я соответствует поле с массой гп2Р2 = (Д — з)(Д +

Пусть число цветов Мс устремляется к бесконечности, так что петлевые струнные поправки подавлены, и достаточно рассматривать классический предел теории суперструн в Ас££>5 х 55, а константа 'т Хоофта Л = дуММс зафиксирована и велика, что оправдывает гравитационный подход. Соответствие формулируется следующим образом: производящий функционал четырехмерной калибровочной теории равен экспоненте действия теории струн, в котором многомерные поля ФДз^, ум) находятся на классической траектории, определяемой уравнениями Эйлера-Лагранжа для гравитационного действия, а их граничные значения являются источниками «7$ дуальных операторов теории Янга-Миллса Ог:

¿в2 = + + Ах\ + оЩ) + г2 + Р2д£12. (1.8)

в-4).

2дгт[Мх„)} = ехр {гБдга^у Ыаэзгса^Ум)}}1фг(х^м=0)=Л(хм) • (1'9)

Здесь (х)л. ум = 0) - граница AdS5, также параметризуемая как г = 0), где г = £2/г - обратная радиальная голографическая координата. Более точно, решение уравнений движения для поля Фг(х^,г) при приближении к границе г —>• 0 имеет две моды, ведущие себя как и 24-д-з Поэтому, вообще говоря, граничное условие в (1.9) модифицируется:

Фг{х^ г) = г4~А'3, г 0.

Из (1.9) следует, что корреляционные функции квантовой теории поля можно вычислять вариациями по источникам (т.е. ненормируе-мым модам полей). При этом возникают структуры, называемые Ьи1к-1ю-Ьош1с1агу и Ьи1к-1о-Ьи1к пропагаторами соответственно:

= Кг] (х„ ——-Г = Яг3 г2).

5Ф3(У11,г = 0) " " 6Ф3(у„г2)

После этого корреляционные функции вычисляются по фейнмановским диаграммам в пространстве с границей. В пределе супергравитации в коррелятор вносят вклад только древесные диаграммы.

Поскольку динамика в калибровочной теории происходит на четырехмерной границе пространства Ас18, соответствие является гологра-фическим [21]. Четырехмерная теория включает калибровочное поле А четыре майорановских фермиона Аг и шесть скалярных полей Ф/ в присоединенном представлении [/ (Л^с). На уравнениях движения их действие имеет вид:

зум = ИТ" í Тг V + О^Ф^Ф1 + Ьфг, Ф7][Ф7, Ф-7] 9ум ^ 1

+ \гГ)\г + Лга^[Ф/, А-7] ^ , (1.10)

где а1 - набор матриц.

Глобальными симметриями этой теории являются группа Пуанкаре, включающая группу Лоренца 50(1,3), конформная симметрия и Н,-симметрия. Первые две объединяются в конформную группу <50(2,4),

последняя - Би(4) = вО(6). Эти глобальные симметрии являются изо-метриями десятимерного пространства теории струн АйБ^ и в5 соответственно, и операторы суперсимметричной теории Янга-Миллса сопоставляются с полями гравитационной теории по их трансформационным свойствам под действием вышеуказанных групп.

1.2.2 ИЗ ¡В 7—модель суперсимметричной N = 2 теории Янга-Миллса

В дальнейшем были описаны соответствующие теории в случае меньшего количества суперсимметрий, и были найдены дуальные фоновые конфигурации пространства [22], [23], [24]. Однако с уменьшением числа суперсимметрий и исчезновением исходной конформной симметрии пространства, возникающие в теории струн, становятся все более сложными. В частности, если в N = 4 теорию добавить материю, образующую N = 2 гипермультиплет в фундаментальном представлении калибровочной группы, с гравитационной стороны к уже имеющимся БЗ-бранам приходится добавлять стопку из Nf Б7-бран [25]. Б7-браны, будучи ВРБ-состояниями, нарушают половину исходной М = 4 суперсимметрии до

М = 2.

Введение фундаментальной материи приводит к появлению границ в разложении 'т Хоофта по ленточным графам, что эквивалентно добавлению сектора открытых струн. Концы этих струн должны находиться на Б-бранах в объемлющем пространстве. В пределе N $ <С ЛГС, где И] - число фундаментальных ароматов, обратная реакция Nf Б бран на геометрию объемлющего пространства, являющуюся результатом присутствия БЗ-бран, пренебрежима.

Чтобы заряд Б7-бран был скомпенсирован, их следует намотать на цикл £3 С 55. Кроме того, они натянуты на четырехмерное пространство Минковского М.А = К1+3, и их геометрия задается X8'9 = /(X1,..., X7).

М4 = дАёБ5 г = е*1г

Координата Xм, М = 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Вложение бран БЗ X X X X

Вложение бран Б7 X X X X X X X X

Результатом будут браны, дуальные фундаментальным N — 2 гипер-мультиплетам. Скалярная координата, определяющая вложение 53 С 55, в свою очередь дуальна бикварковому оператору ФФ. Уравнение движение на нее дает асимптотику вблизи границы г —оо, содержащую две моды - пропорциональные 1/г и 1 /г3, первая из которых является ненормируемой и определяет источник ФФ, т.е. массу, а вторая - среднее (ФФ). Калибровочные поля, имеющиеся в спектре открытых струн, дуальны кварковым токам Ф^Ф.

1.2.3 Модель Сакаи—Сугимото

При работе с реальной КХД, в которой конформная симметрия является хорошим приближением лишь при высоких энергиях, мы сталкиваемся с еще более сложными теориями, например [26, 27], в которой рассматривается система Ис Б4- ш Nf Б8-бран в теории суперструн НА. В ней одно пространственное измерение т = X4 компактифицируется в цикл радиуса Мйк, граничные условия на концах которого различны для бозонов и фермионов: периодические для первых и антипериодические для вторых, что приводит к полному нарушению суперсимметрии. На масштабах энергий, меньших Мкк, это приводит к появлению четырехмерной и(.ЛГС) калибровочной теории. Калибровочные поля возникают в спектре 4-4 струн, т.е. открытых струн, оба конца которых лежат на Б4-бране.

Браны Б4 натянуты на четырехмерное пространство Минковского МА и циклическую координату т. Б8 и Б8-браны содержат АЛА. пробегают координату и и намотаны на сферу 54.

М4 теЗ1 и 54

Координата Xм, М = 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Вложение бран Б4 X X X X X

Вложение бран Б8-Б8 X X X X X X X X X

Струны 4-8 и 4-8 дают Nf ароматов безмассовых фермионов в фундаментальном представлении калибровочной группы, интерпретируемых как кварки КХД. Массовый член для них реализуется рассмотрением тахиона, появляющегося в спектре 8-8 струн. Его можно сделать массивным, разведя Б8 и Б8-браны на достаточно большое расстояние.

Киральная симметрия х и(Му)я КХД реализуется как калиб-

ровочная симметрия Nf Б8-08-бран. Существование замкнутого измерения т 6 51 важно для получения нарушения киральной симметрии. Радиальная координата II поперечна Б4-бранам и ограничена снизу горизонтом: и > 11кк• При приближении к горизонту II —> 11кк радиус цикла 51 стремится к нулю. При этом действие системы Б8-Б8-бран экстремально, когда они сливаются при некотором С/ = С/о, что отвечает нарушению киральной симметрии С/(Л^/)ь х С/(Дг/)д —и

В пределе Nf <С Nc Б8-Б8-браны пренебрежимо мало влияют на геометрию объемлющего пространства, задаваемую стопкой Б4-бран:

= (т)3/2 + + (^)3/2 (ж)+ '

= = т = (1.П)

где г>4 - форма объема на 54 с единичным радиусом, У4 = / ь4 - объем, (К1\ - элемент длины. Радиус £ связан со струнной константой связи £3 = тгд3МгД. Отсутствие сингулярности при С/ = 11кк накладывает тре-

з и1/2

бование на радиус компактификации т МК1К = 2р/2 ' Действие Дирака-Борна- Инфельда для безмассовых мод 4-4 струн определяет константу связи теории Янга-Миллса:

9гм = 2тгд313Мкк.

Действие Дирака-Борна-Инфельда уже для D8-D8- бран определяет их вложение в пространство с геометрией (1.11) U = U(t). Дуальное описание КХД возникает в случае, когда С/(0) = Uq = Ukk, и соответствует т.н. сигарообразной геометрии пространства в координатах (U, т).

Калибровочные поля, являющиеся безмассовой модой открытых 8-8 и 8-8 струн, дуальны кварковым левым и правым токам. Кроме того, их низшие калуца-клейновские моды содержат волновые функции мезонов.

В этой модели действие Дирака-Борна-Инфельда для безмассовых мод на D8-6panax преобразуется в пятимерное, а затем в четырехмерное действие векторных мезонов, для которых генерируется массовый спектр, который для низших мод соответствует экспериментальному. Для векторных мезонов также воспроизводится соотношение Каварабаяши-Сузуки-Риазуддина-Файязуддина [28]. Рассмотрение действия Черна-Саймонса наряду с действием Дирака-Борна-Инфельда позволяет воспроизвести член Весса-Зумино-Виттена и ввести в модель барионы, составленные из безмассовых кварков, которые возникают как 04-браны, намотанные на цикл SA. Эти браны интерпретируются как скирмионы на Б8-бранах. В данной модели также исследована U(1)a аномалия, и показано, что вакуумный угол преобразуется так же, как и в теории поля, получена формула Виттена-Венециано для массы 7/-мезона [29].

1.3 Голографические модели квантовой хро-модинамики

Хотя в модели Сакаи-Сугимото отражены такие важные свойства КХД, как конфайнмент и нарушение киральной симметрии, в ней нет асимптотической свободы в ультрафиолетовой области. В противоположность так называемым моделям "сверху вниз", к классу которых относится модель Сакаи-Сугимото, было предложен подход, который называют подходом "снизу вверх". Вместо того, чтобы деформировать суперсимметричную теорию Янга-Миллса таким образом, чтобы получить КХД, как это делается в моделях "сверху вниз", в моделях "снизу вверх" строится минимальная голографическая модель, которая обладает необходимыми симметриями, отражает динамику КХД и включает поля, дуальные исследуемым операторам КХД. При этом сфера S5, присутствовавшая в исходной формулировке соответствия [14] и отвечавшая за Д-симметрию,

уже не нужна, поэтому модель становится пятимерной. К этому классу относятся модели [30], [31], [32] и [33]. Одним из их преимуществ является то, что они позволяют изучать основные свойства КХД без сложностей, неизбежных в моделях "сверху вниз".

1.3.1 Действие пятимерных голографических моделей

Мы будем работать с пятимерным действием, возникающим в моделях АсШ/С^СБ [30], [31], [33], следующего вида:

S5D = Jd^ge'hr (W|2 + - - + F2)} .

(1.12)

£2 £2

с метрикой ds2 = —(—dz2 + dx„dxм) = gMNdxMdxN = —riMNdxMdxN. z1 z1

Здесь g = det(^MTv); Ф ~ дилатон, чей профиль зависит от выбора конкретной модели. В так называемой "модели с жесткой стенкой" ("hard-wall") [30] ф(г) = 0, и пятимерное пространство AdS имеет границу z = zm, где накладывается однородное граничное условие Неймана. В "моделях с мягкой стенкой" ("soft-wall") [31], [33] пространство AdS имеет пределы 0 ^ г < оо, и профиль дилатона асимптотически параболический:

4>{z) ~ \'z2}z оо; (1.13)

таким образом воспроизводится линейная реджевская траектория.

Вводятся два калибровочных поля и й^ в присоединенном представлении калибровочных групп SU{Nj)l и SU(N/)r соответственно, имеющие напряженность Fl = dL — iL A L, FR = dR — iR A R, а также скалярное поле Ха/3 с массой —3/£2 в бифундаментальном представлении SU(Nf)i х SU(Nf)n, которое взаимодействует с калибровочными полями: DX = dX — iLX + iXR.

В соответствии с предписанием AdS/CFT (1.9) поля на границе AdS представляют собой источники токов КХД:

z-Ю z

Laß(x, г = 0) = источник qb{x)jßtaqL(x), Ra(x. z = 0) = источник qR{x)^ßtaqR(x)

lim x,z) = источник q^j{x)q^R{x).

(1.14)

В рассматриваемом действии g5 - пятимерная константа связи, фиксируемая сопоставлением векторного двухточечного коррелятора с правилами сумм КХД [4], [30]; Л - нормировочный фактор для скалярного поля, который определяется [34] сравнением псевдоскалярных двухточечных корреляторов при больших энергиях с правилами сумм [4, 35]:

дгс

д%£3 = В "hard-wall" моделях обычно не вводится эффективный

Аъ

потенциал скалярного поля V(X) = — \Х\4, в то время как в моделях

11

"soft-wall" он необходим [33].

1.3.2 Результаты, полученные в рамках пятимерных моделей

В одной из первых работ в рамках данного подхода [30] исследованы массы, вероятности распадов и константы взаимодействия легких мезонов, для которых предсказания модели совпадают с экспериментальными данными с точностью 10%. В ней также установлено соотношение между параметрами пятимерной голографической теории и КХД и показано, что аналог известного соотношения Гелл-Манна-Окса-Реннера имеется и в дуальных моделях. Соотношения между параметрами были уточнены в [34], где также исследовано нарушение киральной симметрии (см. также [32]), мерой которого является двухточечный коррелятор левого и правого векторного тока. Отметим, что это нарушение удобно исследовать именно в такой модели, так как оно определяется присутствующим в ней скалярным полем, однако изучение векторного сектора в ней дает не столь хорошие результаты, поскольку в ней не воспроизводится реджевская траектория. Векторные мезоны оказывается удобно исследовать, если немного модифицировать рассматриваемую модель. В то время как в [30] пятимерное пространство AdS обрезается на некотором масштабе z = zm, определяемом массой р-мезона (нарушение геометрии пространства AdS отвечает нарушению масштабной инвариант-

ности КХД при энергиях порядка АдС1)), в работе [31] пятая координата ничем не ограничена, однако для получения линейной реджевской траектории в теорию вводится квадратичный по этой координате дилатон. В такой модели исследованы волновые функции векторных мезонов и их форм-факторы, и показано, что они подчиняются векторной доминантности [36]. В работе [37] исследуется модель [30], дополненная членом Черна-Саймонса, чтобы воспроизвести киральную аномалию КХД, и демонстрируется, что вершина взаимодействия пиона с двумя (вообще говоря виртуальными) фотонами в Ас18/(ЗСВ близка к экспериментальным данным и результатам пертурбативной КХД. Введение члена Черна-Саймонса также позволяет исследовать магнитную восприимчивость кваркового конденсата, которая совпадает с выражением в КХД с хорошей точностью [38].

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Копнин, Петр Николаевич

Заключение

В заключение обсудим результаты, полученные в диссертации.

В главе 2 исследована совместность голографических моделей Аг1Э/ С^СБ с низкоэнергетическими теоремами КХД. Для этого получено выражение для двухточечных корреляционных функций скалярных и псевдоскалярных токов в моделях Ас^/С^СБ. Затем использована интерпретация голографических моделей как расширения кирального лагранжиана для установления соотношений между коэффициентами Ь\, ¿2, ¿з и 1/4 при его членах, имеющих четвертый порядок по импульсу. Наконец, предложен голографический метод вычисления спектральной плотности оператора Дирака, которых затем применяется в модели Ас18/(^СВ с жесткой стенкой. После этого установлено выполнение низкоэнергетических теорем КХД в главном порядке по массе легких кварков в голографических моделях.

В главе 3 вычислен киральный магнитный эффект в модели АёБ/ С^СБ с мягкой стенкой, и с учетом члена Черна-Саймонса получено выражение для векторного тока. Помимо того, установлена необходимость учета скалярного сектора модели, компенсирующего калибровочную неинвариантность черн-саймонсовского действия. Результатом этого учета становится выражение для тока, совпадающее с полученным в режиме слабой связи.

В главе 4 изучен вклад КХД в электрическую (дебаевскую) и магнитную массы экранирования фотона в кварк-глюонной плазме во внешнем магнитном поле при конечной температуре. В модели Ас18/(^СВ в сильных магнитных полях установлено зануление магнитной массы экранирования, а для дебаевской массы получена явная зависимость от температуры и поля. В сильных внешних полях дебаевская масса оказывается линейной по магнитному полю в хорошем соответствии с результатом, полученным в КЭД в режиме слабой связи.

В главе 5 обсуждаются магнитная восприимчивость и намагниченность кваркового конденсата в модели Ас18/(5СВ, дополненной тензорным полем. В такой модели впервые возможно прямое вычисление этих величин. Оказывается, что намагниченность при слабых внешних магнитных полях отрицательна и растет линейно по полю, а в сильных полях выходит на постоянное значение. При этом магнитная восприимчивость отрицательна и в сильных полях обращается в нуль.

В главе 6 вычислены эффекты глюонного конденсата в фазовом переходе Гросса-Оогури в корреляторе петель Вильсона. Показано, что при достаточно малом размере петель критическое расстояние между петлями увеличивается и найдено явное выражение для этого расстояния.

Благодарности

Я благодарен А. С. Горскому за предложенные им задачи, вдохновляющие дискуссии и общее руководство; моим соавторам А. А. Крикуну, А. В. Заякину, А. И. Вайнштейну и И. Эрдменгер за плодотворное сотрудничество; И. В. Полюбину и официальным оппонентам А. Ю. Морозову и О. В. Теряеву за ценные замечания. Я также очень признателен сотрудникам и преподавателям ИТЭФ А. А. Абрикосову, Э. Т. Ахмедо-ву, М. И. Высоцкому, М. В. Данилову, В. И. Захарову, В. С. Имшеннику, Б. Л. Иоффе, А. Д. Миронову, В. А. Новикову, Л. Б. Окуню, М. И. Поликарпову, М. А. Трусову, В. И. Шевченко.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Копнин, Петр Николаевич, 2013 год

Литература

[1] В. L. Ioffe, V. S. Fadin, and L. N. Lipatov, "Quantum Chromodynamics: Perturbative and Nonperturbative Aspects," Cambridge University Press, 2010.

[2] K. G. Wilson, Phys. Rev. 179, 1499 (1969).

[3] W. Zimmerman, "Lectures on elementary particles and quantum field theories at high energies", MIT Press, 1971.

[4] M. A. Shifman, A. I. Vainshtein, V. I. Zakharov, "QCD and resonance physics. Theoretical foundations", Nucl. Phys. В 147, 385-447 (1979).

[5] M. E. Peskin, D. V. Schroeder, "An Introduction to quantum field theory", Reading, USA: Addison-Wesley, 1995.

[6] K. G. Wilson, Phys. Rev. D 10, 2445 (1974).

[7] G. 't Hooft, "A Planar Diagram Theory for Strong Interactions," Nucl. Phys. В 72, 461 (1974).

[8] G. Veneziano, Nuovo Cim. A 57, 190 (1968).

[9] Y. Nambu, в Symmetries and Quark Models под ред. Chand, Gordon, Breach (1970).

[10] H. B. Nielsen, подано на 15-ю Международную конференцию по физике высоких энергий, Киев (1970).

[11] L. Susskind, Nuovo Cim. 69 А,457 (1970).

[12] А. М. Polyakov, Phys. Lett. В 103, 207 (1981).

[13] A. M. Polyakov, Nucl. Phys. Proc. Suppl. 68, 1 (1998), e-Print arXiv: hep-th/9711002.

[14] J. M. Maldacena, Adv. Theor. Math. Phys. 2, 231-252 (1998), e-Print arXiv: hep-th/9711200.

[15] S. S. Gubser, I. R. Klebanov and A. M. Polyakov, Phys. Lett. B 428, 105 (1998), e-Print arXiv: hep-th/9802109.

[16] E. Witten, Adv. Theor. Math. Phys. 2, 253 (1998), e-Print arXiv: hep-th/9802150.

[17] O. Aharony, S. S. Gubser, J. M. Maldacena, H. Ooguri, Y. Oz, "Large N field theories, string theory and gravity", Phys. Rept. 323 183-386 (2000).

[18] J. Polchinski, Phys. Rev. Lett. 75, 4724 (1995), e-Print arXiv: hep-th/9510017.

[19] E. Witten, Nucl. Phys. B 460, 335 (1996), e-Print arXiv: hep-th/9510135.

[20] G. T. Horowitz and A. Strominger, "Black strings and P-branes," Nucl. Phys. B 360, 197-209 (1991).

[21] G. 't Hooft, e-Print arXiv: gr-qc/9310026.

L. Susskind, Teitelboim, C. (ed.): "The black hole", 118-131 RU-93-44, e-Print arXiv: hep-th/9309145.

[22] J. M. Maldacena and C. Nunez, Phys. Rev. Lett. 86, 588 (2001), e-Print arXiv: hep-th/0008001.

[23] I. R. Klebanov and M. J. Strassler, JHEP 0008, 052 (2000), e-Print arXiv: hep-th/0007191.

[24] J. Polchinski, Int. J. Mod. Phys. A 16, 707 (2001), e-Print arXiv: hep-th/0011193.

[25] A. Karch, E. Katz, "Adding flavor to AdS / CFT," JHEP 0206, 043 (2002), e-Print arXiv: hep-th/0205236.

T. Sakai and S. Sugimoto, "Low energy hadron physics in holographic QCD", Prog. Theor. Phys. 113, 843-882 (2005); e-Print arXiv: hep-th/0412141.

T. Sakai and S. Sugimoto, "More on a holographic dual of QCD", Prog. Theor. Phys. 114, 1083-1118 (2005); e-Print arXiv: hep-th/0507073.

K. Kawarabayashi, M. Suzuki, Phys. Rev. Lett. 16, 255 (1966); Riazuddin, Fayyazuddin, Phys. Rev. 147, 1071 (1966).

E. Witten, Nucl. Phys. B 156, 269 (1979);

G. Veneziano, Nucl. Phys. B 159, 213 (1979).

Joshua Erlich, Emanuel Katz, Dam T. Son, Mikhail A. Stephanov, "QCD and a holographic model of hadrons", SLAC-PUB-10965, WM-05-101, INT-PUB-05-02, Phys. Rev. Lett. 95, 261602, 2005; e-Print arXiv: hep-ph/0501128.

A. Karch, E. Katz, D. T. Son, M. A. Stephanov, Phys. Rev. D 74 015005 (2006), e-Print arXiv: hep-ph/0602229.

L. Da Rold, A. Pomarol, Nucl. Phys. B 721, 79-97 (2005), e-Print arXiv: hep-ph/0501218,

L. Da Rold, A. Pomarol, JEEP 0601, 157 (2006), e-Print arXiv: hep-ph/0510268.

T. Gherghetta, J. I. Kapusta, T. M. Kelley, Phys. Rev. D 79, 076003 (2009), e-Print arXiv: 0902.1998 [hep-ph],

A. Krikun, Phys. Rev. D 77, 126014 (2008), e-Print arXiv: 0801.4215 [hep-th],

V. A. Novikov, M. A. Shifman, A. I. Vainshtein, V. I. Zakharov, Nucl. Phys. B 191, 301 (1981).

H. R. Grigoryan, A. V. Radyushkin, Phys. Rev. D 76, 095007 (2007), e-Print arXiv: 0706.1543[hep-ph].

H. R. Grigoryan, A. V. Radyushkin, "Anomalous Form Factor of the Neutral Pion in Extended AdS/QCD Model with Chern-Simons Term",

JLAB-THY-08-802, Phys. Rev. D 77, 115024, 2008; e-Print arXiv: 0803.1143 [hep-ph].

[38] A. S. Gorsky, A. A. Krikun, "Magnetic susceptibility of the quark condensate via holography", ITEP-TH-04-09, Phys. Rev. D 79, 086015, 2009; e-Print arXiv: 0902.1832 [hep-ph],

[39] J. Gasser and H. Leutwyler, "Chiral Perturbation Theory To One Loop," Annals Phys. 158, 142 (1984).

[40] A. S. Gorsky, JETP Lett. 71 N. 6, 239 (2000), e-Print arXiv: hep-ph/9812519.

[41] A. V. Smilga, contributed to the International Workshop on Nuclear and Particle Physics: Chiral Dynamics in Hadrons and Nuclei, 1995, Seoul, Korea, e-Print arXiv: hep-th/9503049.

[42] A Handbook of QCD, Chapter 4: Chiral Dynamics, H. Leutwyler, p. 297.

[43] Y. Kim, P. Ko, X.-H. Wu, JHEP 0806, 094 (2008), e-Print arXiv: 0804.2710[hep-ph].

[44] K. B. Efetov, Adv. Phys. 32, 53 (1983).

[45] S. F. Edwards and P. W. Anderson, J. Phys. F 5, 965 (1975);

J. J. M. Verbaarschot and M. R. Zirnbauer, Ann. Phys. 158, 78 (1984).

[46] T. Banks and A. Casher, Nucl. Phys. B 169, 103 (1980).

[47] A. Smilga and J. Stern, Phys. Lett. B 318, 531 (1993).

[48] E. Katz, M. D. Schwartz, JHEP 0708, 077 (2007), e-Print arXiv: 0705.0534[hep-ph],

[49] A. Y. Alekseev, V. V. Cheianov and J. Frohlich, "Universality of transport properties in equilibrium, Goldstone theorem and chiral anomaly," Phys. Rev. Lett. 81, 350373506 (1998); e-Print arXiv: cond-mat/9803346.

[50] D. E. Kharzeev, L. D. McLerran and H. J. Warringa, "The effects of topological charge change in heavy ion collisions: 'Event by event P and CP violation' ", Nucl. Phys. A803, 227-253 (2008); e-Print arXiv: 0711.0950[hep-ph].

[51] K. Fukushima, D. E. Kharzeev, and H. J. Warringa, "The Chiral Magnetic Effect", Phys. Rev. D78, 074033 (2008); e-Print arXiv: 0808.3382[hep-ph]

[52] A. Karch, and A. O'Bannon, "Metallic AdS/CFT", JHEP 09, 024 (2007); e-Print arXiv: 0705.3870[hep-th].

[53] O. Bergman, G. Lifschytz and M. Lippert, "Magnetic properties of dense holographic QCD", Phys. Rev. D79, 105024 (2009); e-Print arXiv: 0806.0366[hep-th].

[54] G. Lifschytz and M. Lippert, "Anomalous conductivity in holographic QCD", Phys. Rev. D80, 066005 (2009); e-Print arXiv: 0904.4772[hep-th],

[55] H.-U. Yee, "Holographic Chiral Magnetic Conductivity", JHEP 0911, 085 (2009); e-Print arXiv: 0908.4189[hep-th].

[56] A. Rebhan, A. Schmitt and S. A. Strieker, "Anomalies and the chiral magnetic effect in the Sakai-Sugimoto model", JHEP 1001, 026 (2010); e-Print arXiv: 0909.4782[hep-th].

[57] M. A. Metlitski and A. R. Zhitnitsky, "Anomalous axion interactions and topological currents in dense matter", Phys. Rev. D 72, 045011 (2005) e-Print arXiv: hep-ph/'0505072.

[58] G. M. Newman and D. T. Son, "Response of strongly-interacting matter to magnetic field: Some exact results," Phys. Rev. D 73, 045006 (2006) e-Print arXiv: hep-ph/0510049.

[59] STAR collaboration and S. A. Voloshin, "Experimental study of local strong parity violation in relativistic nuclear collisions Nucl.Phys. A 830, 377C-384C (2009); e-Print arXiv: 0907.2213[nucl-ex].

[60] P. V. Buividovich, M. N. Chernodub, E. V. Luschevskaya and M. I. Polikarpov, "Numerical evidence of chiral magnetic effect in lattice

gauge theory", Phys.Rev. D 80, 054503 (2009); e-Print arXiv: 0907.0494[hep-lat].

[61] K. Fukushima, M. Ruggieri and R. Gatto, "Chiral magnetic effect in the PNJL model", Phys. Rev. D 81, 114031 (2010), e-Print arXiv: 1003.0047 [hep-ph].

[62] S. i. Nam, "Chiral magnetic effect at low temperature," Phys. Rev. D 80, 114025 (2009) e-Print arXiv: 0911.0509 [hep-ph].

[63] G. E. Volovik, "The Universe in a helium droplet," Int. Ser. Monogr. Phys. 117, 1 (2006).

[64] V. A. Rubakov, "On chiral magnetic effect and holography," e-Print arXiv: 1005.1888 [hep-ph],

[65] A. Gynther, K. Landsteiner, F. Pena-Benitez and A. Rebhan, "Holographic Anomalous Conductivities and the Chiral Magnetic Effect," JHEP 1102, 110 (2011), e-Print arXiv: 1005.2587 [hep-th].

[66] J. Goldstone and F. Wilczek, "Fractional Quantum Numbers On Solitons", Phys. Rev. Lett. 47, 986 (1981).

[67] A. S. Gorsky, V. I. Zakharov and A. R. Zhitnitsky, "On Classification of QCD defects via holography", Phys. Rev. D 79, 106003 (2009) e-Print arXiv: 0902.1842 [hep-ph].

A. Gorsky and V. Zakharov, "Magnetic strings in Lattice QCD as Nonabelian Vortices", Phys. Rev. D 77, 045017 (2008) e-Print arXiv: 0707.1284 [hep-th],

[68] A. S. Gorsky and M. B. Voloshin, "Nonperturbative production of multiboson states and quantum bubbles", Phys. Rev. D 48, 3843 (1993) e-Print arXiv: hep-ph/9305219.

[69] R. Kallosh, A. D. Linde, D. A. Linde and L. Susskind, "Gravity and global symmetries", Phys. Rev. D 52, 912 (1995) e-Print arXiv: hep-th/9502069.

[70] J. I. Kapusta and C. Gale, "Finite-temperature field theory: Principles and applications," Cambridge, UK: Univ. Pr. (2006) 428 p.

[71] M. Le Bellac, "Thermal Field Theortf, Cambridge Monographs on Mathematical Physics (1996) 256 p.

[72] H. A. Weldon, "Covariant Calculations At Finite Temperature: The Relativistic Plasma," Phys. Rev. D 26, 1394 (1982).

[73] J. P. Blaizot, E. Iancu and R. R. Parwani, "On The Screening Of Static Electromagnetic Fields In Hot QED Plasmas," Phys. Rev. D 52, 2543 (1995) ePrint arXiv: hep-ph/9504408.

[74] V. Skokov, A.Yu. Illarionov, V. Toneev, "Estimate of the magnetic field strength in heavy-ion collisions", Int. J. Mod. Phys. A24, 5925-5932, 2009; e-Print arXiv: 0907.1396 [nucl-th],

[75] J. Alexandre, "Vacuum polarization in thermal QED with an external magnetic field," Phys. Rev. D 63, 073010 (2001) e-Print arXiv: hep-th/0009204.

[76] J. S. Schwinger, "On gauge invariance and vacuum polarization," Phys. Rev. 82, 664 (1951).

[77] E. Witten, "Anti-de Sitter space, thermal phase transition, and confinement in gauge theories," Adv. Theor. Math. Phys. 2, 505 (1998) e-Print arXiv: hep-th/9803131.

[78] D. T. Son and A. O. Starinets, "Minkowski-space correlators in AdS/CFT correspondence: Recipe and applications," JHEP 0209, 042 (2002) e-Print arXiv: hep-th/0205051.

[79] S. A. Hartnoll, C. P. Herzog and G. T. Horowitz, "Building a Holographic Superconductor," Phys. Rev. Lett. 101, 031601 (2008) e-Print arXiv: 0803.3295 [hep-th].

[80] A. Gorsky, P. N. Kopnin, A. V. Zayakin, "On the Chiral Magnetic Effect in Soft-Wall AdS/QCD", Phys. Rev. D 83, 014023 (2011), e-Print arXiv: 1003.2293 [hep-ph], Preprint ITEP-TH-07/10.

[81] A. Gorsky, P. N. Kopnin, A. Krikun, "Anomalous QCD Contribution to the Debye Screening in an External Field via Holography", Phys. Rev. D 83, 066012 (2011), e-Print arXiv: 1012.1478 [hep-ph], Preprint ITEP-TH-40/10.

[82] Peter F. Kolb, Ulrich W. Heinz, SUNY-NTG-03-06, Invited review for "Quark Gluon Plasma 3". Editors: R.C. Hwa and X.N. Wang, World Scientific, Singapore, 634-714 (2003).

[83] Jens O. Andersen, Michael Strickland, Nan Su, "Three-loop HTL gluon thermodynamics at intermediate coupling", JHEP 1008, 113, 2010; e-Print arXiv: 1005.1603 [hep-ph].

[84] E. G. Thompson and D. T. Son, "Magnetized baryonic matter in holographic QCD," Phys. Rev. D 78, 066007 (2008) e-Print arXiv: 0806.0367 [hep-th],

[85] D. T. Son and M. A. Stephanov, "Axial anomaly and magnetism of nuclear and quark matter", Phys. Rev. D 77, 014021 (2008) e-Print arXiv: 0710.1084 [hep-ph].

[86] A. Gorsky and M. B. Voloshin, "Remarks on Decay of Defects with Internal Degrees of Freedom," Phys. Rev. D 82, 086008 (2010); e-Print arXiv: 1006.5423 [hep-th].

[87] B. L. Ioffe and A. V. Smilga, "Nucleon Magnetic Moments And Magnetic Properties Of Vacuum In QCD," Nucl. Phys. B 232, 109 (1984).

[88] A. Vainshtein, "Perturbative and nonperturbative renormalization of anomalous quark triangles," Phys. Lett. B 569, 187 (2003) e-Print arXiv: hep-ph/0212231.

[89] O. Cata, "Relations between vacuum condensates and low energy parameters from a rational approach," Phys. Rev. D 81, 054011 (2010) e-Print arXiv: 0911.4736 [hep-ph],

[90] D. T. Son and N. Yamamoto, "Holography and Anomaly Matching for Resonances," e-Print arXiv: 1010.0718 [hep-ph].

[91] M. Knecht, S. Peris and E. de Rafael, "On Anomaly Matching and Holography," JHEP 1110, 048 (2011) e-Print arXiv: arXiv:1101.0706 [hep-ph],

[92] P. Colangelo, F. De Fazio, F. Giannuzzi, S. Nicotri and J. J. Sanz-Cillero, "Anomalous AV*V vertex function in the soft-wall holographic

model of QCD," Phys. Rev. D 85, 035013 (2012), e-Print arXiv: 1108.5945 [hep-ph],

[93] I. Iatrakis and E. Kiritsis, "Vector-axial vector correlators in weak electric field and the holographic dynamics of the chiral condensate," JHEP 1202, 064 (2012), e-Print arXiv: 1109.1282 [hep-ph].

[94] L. Cappiello, O. Cata and G. D'Ambrosio, "Antisymmetric tensors in holographic approaches to QCD," Phys. Rev. D 82, 095008 (2010) e-Print arXiv: 1004.2497 [hep-ph],

[95] S. K. Domokos, J. A. Harvey and A. B. Royston, "Completing the framework of AdS/QCD: h\/b\ mesons and excited omega/rho's," JHEP 1105, 107 (2011) e-Print arXiv: arXiv: 1101.3315 [hep-th].

[96] R. Alvares, C. Hoyos and A. Karch, "An improved model of vector mesons in holographic QCD," Phys. Rev. D 84, 095020 (2011) e-Print arXiv: 1108.1191 [hep-ph],

[97] M. N. Chernodub, "Spontaneous electromagnetic superconductivity of vacuum in strong magnetic field: evidence from the Nambu-Jona-Lasinio model," Phys. Rev. Lett. 106, 142003 (2011) e-Print arXiv: 1101.0117 [hep-ph].

[98] M. Ammon, J. Erdmenger, P. Kerner and M. Strydom, "Black Hole Instability Induced by a Magnetic Field," Phys. Lett. B 706, 94 (2011) e-Print arXiv: 1106.4551 [hep-th].

N. Callebaut, D. Dudal and H. Verschelde, "Holographic study of rho meson mass in an external magnetic field: Paving the road towards a magnetically induced superconducting QCD vacuum?," PoS FACESQCD , 046 (2010) e-Print arXiv: 1102.3103 [hep-ph],

[99] A. Cherman, T. D. Cohen, and E. S. Werbos, Phys. Rev. C 79, 045203 (2009), e-Print arXiv: 0804.1096.

[100] I. I. Balitsky and A. V. Yung, Phys. Lett. B 129, 328 (1983). V. M. Belyaev and Y. I. Kogan, Yad. Fiz. 40, 1035 (1984). I. I. Balitsky, A. V. Kolesnichenko and A. V. Yung, Yad. Fiz. 41, 282 (1985).

P. Ball, V. M. Braun and N. Kivel, "Photon distribution amplitudes in QCD", Nucl. Phys. B 649, 263-296 (2003), e-Print arXiv: hep-ph/0207307.

[101] P. V. Buividovich, M. N. Chernodub, E. V. Luschevskaya and M. I. Polikarpov, "Chiral magnetization of non-Abelian vacuum: a lattice study," Nucl. Phys. B 826, 313 (2010) e-Print arXiv: 0906.0488 [hep-lat].

[102] M. Frasca and M. Ruggieri, "Magnetic Susceptibility of the Quark Condensate and Polarization from Chiral Models," Phys. Rev. D 83, 094024 (2011) e-Print arXiv: 1103.1194 [hep-ph],

[103] E. V. Gorbar, M. Hashimoto and V. A. Miransky, "Nondecoupling phenomena in QED in a magnetic field and noncommutative QED," Phys. Lett. B 611, 207 (2005) e-Print arXiv: hep-th/0501135.

[104] M. A. Shifman, "Wilson Loop in Vacuum Fields," Nucl. Phys. B173, 13 (1980).

[105] T. Banks, R. Horsley, H. R. Rubinstein and U. Wolff, "Estimate Of The Gluon Condensate From Monte Carlo Calculations," Nucl. Phys. B 190, 692 (1981).

[106] A. Di Giacomo and G. C. Rossi, "Extracting The Vacuum Expectation Value Of The Quantity Alpha / Pi G G From Gauge Theories On A Lattice," Phys. Lett. B 100, 481 (1981).

[107] O. Aharony, S. S. Gubser, J. M. Maldacena, H. Ooguri, Y. Oz, "Large N field theories, string theory and gravity," Phys. Rept. 323, 183-386 (2000). e-Print arXiv: hep-th/9905111.

[108] O. Andreev and V. I. Zakharov, "Gluon Condensate, Wilson Loops and Gauge/String Duality," Phys. Rev. D 76, 047705 (2007) e-Print arXiv: hep-ph/0703010.

[109] D. E. Berenstein, R. Corrado, W. Fischler, J. M. Maldacena, "The Operator product expansion for Wilson loops and surfaces in the large N limit," Phys. Rev. D 59, 105023 (1999). e-Print arXiv: hep-th/9809188.

[110] N. Drukker, D. J. Gross, H. Ooguri, "Wilson loops and minimal surfaces," Phys. Rev. D 60, 125006 (1999). e-Print arXiv: hep-th/9904191.

[111] G. W. Semenoff, K. Zarembo, "Wilson loops in SYM theory: From weak to strong coupling," Nucl. Phys. Proc. Suppl. 108, 106-112 (2002). e-Print arXiv: hep-th/0202156.

[112] P. N. Kopnin, A. Krikun, "Wilson loops in holographic models with a gluon condensate", Phys. Rev. D 84, 066002 (2011), e-Print arXiv: 1106.4978 [hep-th], Preprint ITEP-TH-19/11.

[113] Johanna Erdmenger, A. Gorsky, P. N. Kopnin, A. Krikun, A.V. Zayakin, "Low-Energy Theorems from Holography", JEEP 1103, 044 (2011), e-Print arXiv: 1101.1586 [hep-th], Preprint ITEP-TH-32/10, MPP-2010-167.

[114] S. S. Gubser, "Dilaton driven confinement," e-Print arXiv: hep-th/9902155.

[115] J. Polchinski, M. J. Strassler, "The String dual of a confining four-dimensional gauge theory," e-Print arXiv: hep-th/0003136.

[116] N. R. Constable, R. C. Myers, "Exotic scalar states in the AdS / CFT correspondence," JEEP 9911, 020 (1999). e-Print arXiv: hep-th/9905081.

[117] H. Liu and A. A. Tseytlin, "D3-brane D-instanton configuration and N = 4 super YM theory in constant self-dual background," Nucl. Phys. B 553, 231 (1999) e-Print arXiv: hep-th/9903091.

[118] A. L. Kataev, N. V. Krasnikov, A. A. Pivovarov, "Two Loop Calculations For The Propagators Of Gluonic Currents," Nucl. Phys. B 198 (1982) 508-518. e-Print arXiv: hep-ph/9612326].

J. M. Maldacena, "Wilson loops in large N field theories," Phys. Rev. Lett. 80, 4859 (1998) e-Print arXiv: hep-th/9803002.

D. Gross, H. Ooguri, Phys. Rev. D 58, 106002 (1998), e-Print arXiv: hep-th/9805129 .

[119]

[120]

[121] K. Zarembo, Phys. Lett. B 459, 527-534 (1999), e-Print arXiv: hep-th/9904149 .

[122] P. Olesen, K. Zarembo, "Phase transition in Wilson loop correlator from AdS / CFT correspondence,"

e-Print arXiv: hep-th/0009210.

[123] J. Nian and H. J. Pirner, "Wilson Loop-Loop Correlators in AdS/QCD," Nucl. Phys. A 833, 119 (2010) e-Print arXiv: 0908.1330 [hep-ph].