Конечномерные динамики эволюционных дифференциальных уравнений со многими пространственными переменными тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Тао Сынянь

• Тао Сынянь
• кандидат наук
• 2024

Оглавление диссертации кандидат наук Тао Сынянь

1.1 Актуальность темы исследования

1.2 Степень разработанности

1.3 Цели и задачи

1.4 Научная новизна

1.5 Теоретическая и практическая значимость

1.6 Методы исследования

1.7 Основные результаты

1.8 Положения, выносимые на защиту

1.9 Степень достоверности и апробация результатов

2 Симметрии дифференциальных уравнений конечного типа

2.1 Условие конечности типа для переопределенной системы дифференциальных уравнений

2.2 Симметрии вполне интегрируемых распределений

2.3 Структура тасующих симметрий

2.4 Вычисление тасующих симметрий

3 Конечномерные динамики систем эволюционных уравнений

3.1 Построение конечномерных динамик для эволюционных систем

3.2 Применение конечномерных динамик для построения решений эволюционных систем

4 Применение конечномерных динамик к построению точных решений скалярных уравнений

4.1 Уравнение фильтрации подпочвенных вод

4.1.1 Модель Буссинеска

4.1.2 Конечномерные динамики второго порядка уравнения Буссинеска

4.1.3 Квадратичная функция Н

4.1.4 Сравнение метода конечномерных динамик с методом симметрий

уравнений в частных производных

4.2 Динамики линейных эволюционных уравнений второго порядка

4.2.1 Уравнение с одной пространственной переменной

4.2.2 Уравнение с двумя пространственными переменными

4.3 Уравнение Кана-Хилларда

4.3.1 Конечномерные динамики скалярных эволюционных уравнений с одной пространственной переменной

4.3.2 Конечномерные динамики уравнения Кана-Хилларда

4.3.3 Тестирование построенных решений уравнения Кана-Хилларда на неинвариантность

5 Применение конечномерных динамик к построению точных решений систем

эволюционных уравнений

5.1 Система Буссинеска

5.1.1 Тестирование построенных решений системы Буссинеска на неинвариантность

5.1.2 Размножение построенного решения системы Буссинека с помощью симметрий

5.2 Уравнение Кадомцева-Петвиашвилли

5.2.1 Тестирование построенного решения уравнения Кадомцева-Петвиашвилли

на неинвариантность

5.3 Эволюционные уравнения со второй производной по времени

5.3.1 Нелинейное гиперболическое уравнение

Заключение

Приложение 1: Точные решения уравнения фильтрации Буссинеска

Приложение 2: Вычисление динамик уравнения Кана-Хилларда

Приложение 3: Вычисление симметрий уравнения Кана-Хилларда

Приложение 4: Вычисление динамик и точных решений системы Буссинеска

Приложение 5: Размножение решений системы Буссинеска

Приложение 6: Вычисление симметрий уравнения Кадомцева-Петвиашвилли

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Конечномерные динамики эволюционных дифференциальных уравнений со многими пространственными переменными»

1.1. Актуальность темы исследования

Для исследования уравнений в частных производных обычно используют метод симметрий, предложенный Софусом Ли и развитый в работах Л.В. Овсянникова [1], А.М. Виноградова, И.С. Красильщика, В.В. Лычагина [2] и Н.Х. Ибрагимова [3]. Для этого находят инфинитезимальные симметрии исходных уравнений, т.е. векторные поля, сдвиги вдоль которых не изменяют уравнений, а затем ищут решения, инвариантные относительно этих сдвигов.

Метод конечномерных динамик полностью противоположен. А именно, в этом случае ищут обыкновенные дифференциальные уравнения, симметрии которого порождены эволюционным потоком, определяемым уравнением

щ = f(х,и,их,ихх,...). (1.1.1)

Наличие симметрий иногда позволяют проинтегрировать обыкновенные дифференциальные уравнения в квадратурах [2]. Тогда точные решения уравнения (1.1.1) получаются путем сдвига полученных точных решений обыкновенных дифференциальных уравнений по эволюционному потоку.

Основы метода конечномерных динамик были заложены в работах Б.С. Кругликова, О.В. Лычагиной, В.В. Лычагина [4; 5] и в работах А.Г. Кушнера и его сотрудников [6—9].

Таким образом, метод конечномерных динамик позволяет выделять из всего множества решений эволюционных дифференциальных уравнений подмножества, элементы которых определяются конечным набором параметров.

Опишем основную идею этого метода более подробно.

Пусть / — производящая функция инфинитезимальной симметрии некоторого дифференциального уравнения 8. Эволюционное уравнение (1.1.1) генерирует поток Ф4 на множестве решений обыкновенного дифференциального уравнения 8 с независимой переменной х (см. [10]). Поэтому, зная некоторое решение v(x) уравнения 8, мы можем построить однопараметрическое семейство решений (Ф-1)* (v(x)) уравнения 8.

Решая задачу Коши и(0,х) = v(x) для уравнения (1.1.1), мы получим решение

эволюционного уравнения (1.1.1)

иЦ,х)= (Ф"1)* (ф)).

Однако в случае нескольких пространственных переменных использование обыкновенных дифференциальных уравнений не приводит к результатам. Вместо них нужно рассматривать дифференциальные уравнения в частных производных конечного типа или вполне интегрируемые распределения соответствующей размерности. Именно эта идея реализована в диссертации.

Системы эволюционных уравнений

со многими пространственными переменными встречаются во многих разделах математики и физики. Например, при описании фильтрационных и волновых процессов, в теории массо-и теплообмена, математической биологии. Ряд таких приложений полученных результатов представлен в диссертации. Это указывает на актуальность темы диссертации.

1.2. Степень разработанности

Первая работа [4] по методу конечномерных динамик была посвящена уравнению Колмогорова - Петровского - Пискунова, а в работе [5] этот метод применялся для построения динамик уравнения Кортевега - де Фриза. Затем последовала серия работ, в которых были построены конечномерные динамики и отвечающие им точные решения уравнений Бюргерса -Хаксли, описывающего распространение нервного импульса [7], уравнений реакции-диффузии с конвекционным членом, уравнения Блека-Шоулза математической экономики [9], обобщённого уравнения Кортевега - де Фриза [11]. Этот метод также был использован для построения аттракторов уравнений Рапорта-Лиса, возникающих в теории двухфазной фильтрации [12].

Однако вопрос о применимости метода конечномерных динамик к системам эволюционных уравнений со многими пространственными переменными до сих пор оставался открытым.

1.3. Цели и задачи

Целью диссетрационной работы является

разработка метода конечномерных динамик и построение с его помощью точных решений систем эволюционных дифференциальных уравнений со многими пространственными переменными. Отметим, что до сих пор метод конечномерных динамик относился к эволюционным уравнения с одной пространственной переменной. Он не допускает прямого обобщения на уравнения с несколькими пространственными переменными. В этом случае использования обыкновенных дифференциальных уравнений уже недостаточно и вместо них следует использовать вполне

интегрируемые распределения, а вместо решений обыкновенных дифференциальных уравнений - максимальные интегральные многообразия этих распределений [13].

В основе метода, предлагаемого в диссертации, лежит теория тасующих симметрий вполне интегрируемых распределений на гладких многообразиях. Её основные идеи и результаты изложены в работах [14; 15].

Метод, предложенный в данной диссертации, состоит в том, что для данной системы эволюционных уравнений строится вспомогательная система дифференциальных уравнений, число независимых переменных которой равно числу пространственных переменных исходной системы.

На эту вспомогательную систему накладыватся условие конечности типа. Это условие означает, что каждое её решение однозначно определяются конечным набором постоянных. Примерами таких систем являются системы обыкновенных дифференциальных уравнений или переопределённые системы уравнений в частных производных, удовлетворяющие условию теоремы Фробениуса [16] о вполне интегрируемых распределениях.

Ещё одно условие состоит в том, что поток, определяемый системой эволюционных уравнений, порождает симметрию вспомогательной системы. При выполнении этих двух условий вспомогательная система называется конечномерной динамикой эволюционной системы.

Таким образом, зная решение конечномерных динамик, можно построить решение эволюционных систем [10]. Это наблюдение даёт, в частности, метод построения точных решений эволюционных систем, альтернативный хорошо известному методу симметрий, основы которого восходят к работам Софуса Ли [17; 18].

Цель настоящего исследования - разработать метод конечномерных динамик для систем эволюционных уравнений со многими пространственными переменными и примененить этот метод к задачам построения точных решений конкретных нелинейных уравнений математической физики. Среди них уравнение Буссинеска [19], описывающее движение подпочвенных вод, система Буссинеска [20] и уравнение Кадомцева - Петвиашвилли [21], описывающих распространения поверхностных волн в жидкости, уравнение Кана - Хилларда [22], описывающее процесс самопроизвольного разделения фаз в многокомпонентных средах, уравнений, описывающих нестационарные двумерные течения газа [23].

1.4. Научная новизна

Основные результаты, представленные в диссертации и выносимые на защиту, являются новыми. Предложенное здесь обобщение метода конечномерных динамик на системы со многими пространственными переменными является весьма существенным. Нам не известны работы

других авторов в этом направлении.

В диссертации получены серии новых точных решений классических нелинейных уравнений математической физики, которые можно использовать при изучении соответствующих физических явлений. Например, фильтрации грунтовых вод.

Идея главного метода была предложена в совместной работе автора с А.Г. Кушнером. Некоторые практические применения основных результатов были получены в совместных работах с Е.Н. Кушнер и Э.Р. Файзуллиной.

1.5. Теоретическая и практическая значимость

Исследованию эволюционных дифференциальных уравнений с одной пространственной переменной посвящено множество работ. Однако эволюционные уравнения и системы уравнений изучены не так подробно. Например, в справочниках по точным решениям, например, в [23], эволюционные уравнения с одной пространственной переменной занимают значительно большее место.

В диссертации предлагается универсальный метод исследования эволюционных системы, у которых число пространственных переменных может быть любым. Этот метод в корне отличается от широко известного метода симметий, восходящего к Софусу Ли, и позволяет находить точные решения уравнений, у которых симметрий недостаточно для их интегрирования. Это обуславливает теоретическую значимость работы.

Ее практическая значимость подтверждается большим числом полученных нами точных решений рассматриваемых эволюционных уравнений и систем: уравнений фильтрации Буссинеска, уравнений Кана - Хилларда и Кадомцева - Петвиашвилли и других. Все эти решения, как мы показали, не могут быть получены при использовании теории симметрий дифференциальных уравнений.

Кроме того, в Приложениях 1-6 представлены коды компьютерных программ, которые с небольшими изменениями могут быть использованы для вычисления конечномерных динамик и точных решений других уравнений, которые нами не были рассмотрены.

1.6. Методы исследования

При выполнении диссертационной работы

применялись методы геометрии дифференциальных уравнений и геометрии пространств джетов [2; 10], а также теории симметрий дифференциальных уравнений и вполне интегрируемых распределений [14; 15]. При проведении конкретных вычислений использовалась программа символьных вычислений Maple.

1.7. Основные результаты

Диссертация посвящена разработке метода конечномерных динамик для эволюционных дифференциальных уравнений в частных производных с несколькими пространственными переменными. Такие системы имеют вид

Переменную t мы будем трактовать как время, а x = (х\,... , хп) — как вектор пространственных переменных, u = (и1,... ,ит) и f = (f1,... , fт) — вектор-функции.

Диссертация состоит из шести глав, шести приложений, в которых приведены коды программ на языке системы символьных вычислений Maple, и списка литературы.

Диссертационная работа организована следующим образом.

Первая глава - вводная. В ней описывается постановка задачи, методы её решения и структура диссертации. Последняя глава - заключительная.

В главе 2 "Симметрии дифференциальных уравнений конечного типа" даётся геометрическое описание переопределённых систем дифференциальных уравнений в частных производных на языке дифференциальных 1-форм. Предполагается, что эти системы имеют конечный тип, т.е. их решения однозначно определяются конечным набором постоянных. Предполагается, что системы разрешены относительно всех старших производных, однако это ограничение не является существенным.

Для каждой такой системы строится распределение V на пространстве джетов. Если это распределение вполне интегрируемо, т.е. для него выполняются условия теоремы Фробениуса, то его максимальные многообразия являются поднятыми в пространство джетов графиками решений этой системы.

Даётся понятие характеристических и тасующих симметрий систем конечного типа. А именно, векторное поле, поток которого сохраняет распределение V, называется инфинитезимальнои симметрией.

Множество всех инфинитезимальных симметрий образуют алгебру Ли Sym"P относительно операции коммутирования. Инфинитезимальная симметрия называется характеристической, если её поток переводит каждое максимальное интегральное многообразие распределения в себя.

Множество всех характеристических симметрий CharP образуют идеал в алгебре Ли Sym"P. Фактор-алгебра Ли по этому идеалу образует алгебру Ли тасующих симметрий

(1.7.1)

ShufV := SymP/CharP.

Элементы этой фактор-алгебры Ли представляются векторными полями, потоки которых "тасуют" максимальные интегральные многообразия распределения V.

Основной результат главы 1 сформулирован в теоремах 2.3.1 и 2.4.1. Теорема 2.3.1 утверждает, что каждая тасующая симметрия определяется набором, состоящим из г функций на пространстве д-джетов отображений из пространства Кга в пространство . Здесь д + 1 -порядок старших производных в переопределённой системе, п - число независимых переменных, г - число уравнений в системе.

В главе 3 "Конечномерные динамики систем эволюционных уравнений" устанавливается связь между системами эволюционных уравнений и тасующими симметриями систем конечного типа. Указывается метод построения переопределённых систем конечного типа по заданной системе эволюционных уравнений

д Ъ

и_ ( 5Ии\ Н _ 1 Vх' дх° )

:1.7.2)

В разделе 3.1 приводятся условия, при которых эволюционная система порождает поток на конечномерном пространстве решений переопределённой системы, т.е. определяет динамику на максимальных интегральных многообразиях соответствующего распределения V. Эти условия формулируются в терминах правых частей эволюционной системы.

А именно, по этим правым частям строится вектор-функция

ф _ f (х, ^)

на пространстве джетов порядка д с каноническими координатами х1, |а| < о). Затем эта функция ограничивается на систему конечного типа

дя+1

V

д хст+1;

V,

ст+1

( X' V'

' V

дv дя V

дх} ' дхч

)

V™ (0 <

:1.7.з)

Это ограничение имеет вид

V _ ф(х' vм' V^+li). Здесь а _ (а1,... , ап) — мульти-индекс, а^ € {0,1,... , д},

|а| _ а1 +-----+ ап,

а + 1 _ (а1,... + 1, а^+1,... , ап).

Систему (1.7.3) назовём конечномерной динамикой порядка д + 1 эволюционной системы

1

. , Хn' ип

а

(1.7.2), если вектор-функция ip является производящей функцией некоторой тасующей симметрии распределения V, ассоциированного с системой (1.7.2).

В разделе 3.2 указывается метод построения решений эволюционной системы (1.7.2) если известно решение её конечномерной динамики.

А именно, пусть Г - максимальное интегральное многообразие распределения V, dim Г = п и пусть Ф4 - поток тасующей симметрии системы (2.1.1). Тогда (п + 1)-мерное многообразие

L = U Ф (Г£ )

tel

является fc-графиком решения u = U(i,x) эволюционной системы (1.7.2). Здесь I = (-£, +е) С R - открытый интервал, на котором определён поток Ф4.

В главе 4 "Применение конечномерных динамик к построению точных решений скалярных уравнений" описанная выше методика применяется для построения конечномерных динамик и точных решений некоторых нелинейных уравнений математической физики с одной неизвестной функцией, зависящей от времени t и нескольких пространственных переменных.

Раздел 4.1 "Уравнение фильтрации подпочвенных вод" посвящен модели Буссинеска [19], описывающей эволюцию свободной поверхности при фильтрации подпочвенных вод в тонком слое водопроницаемого материала (например, песка или глины), вызванную гравитационными силами.

Предполагается, что это слой лежит на гладкой водонепроницаемой поверхности (например, на граните) - так называемой подстилающей поверхности (см. Рис. 4.1 на стр. 29). Процесс фильтрации грунтовых вод описывается эволюционным уравнением Буссинеска

ди д I ди\ д I du\

â = ^ ((я(x-v) +и)&J + % [(н(x-v) +и)W,) ■

Здесь к - постоянная, зависящая от физических свойств пористой среды и воды. Форма свободной поверхности задаётся функцией z = u(t,x,y), а форма подстилающей поверхности -функцией z = H(х,у).

Показано, что для квадратичной функции H уравнение Буссинеска имеет динамику второго порядка. Эта динамика позволяет построить семейства точных решений уравнения Буссинеска, которые невозможно получить с помощь теории симметрий уравнений в частных производных.

Подробно рассмотрены случаи когда подстилающая поверхность имеет форму гиперболоида и параболоида. Показано, что полученные точные решения не могут быть получены с помощью метода симметрий уравнений в частных производных.

Раздел 4.2 "Динамики линейных эволюционных уравнений второго порядка" посвящён конечномерным динамикам линейных уравнений, описывающим многие физические процессы:

теплопроводность, диффузию, фильтрацию. Для уравнения

= к(х) ^

дЬ дх \ дх)

с одной пространственной переменной х для любой не обращающейся в нуль функции к(х) построена конечномерная динамика второго порядка

. Г ^х

( к(х)у') + аь + р —— + 7 = 0 и к(х)

и отвечающее ей точное решение

к( х к( х

и(Ь, х) = {р ! кщ +7^+ [ —-к(х,„\ '-^ + V.

Здесь Р, 5,7,'ц - произвольные постоянные. Для уравнений

ди д / д^ \ д ^ . .ди\ дЬ дх1 \ 1 дх1) дх2 \ 2 дх2)

с двумя пространственными переменными х1,х2 для квадратичных функций к1 и к2 построены конечномерные динамики второго порядка и отвечающее им семейство точных решений

Раздел 4.3 посвящен конечномерным динамикам обобщенного уравнения Кана - Хилларда [22]. Это уравнение описывает процесс самопроизвольного разделения компонентов бинарной жидкости и имеет вид

иг + (Оихх + ¡(и) )хх = 0,

где - кубическая функция, т.е.

3

¡■(и) = £ Iи.

г=0

Для него построены динамики второго порядка и отвечающее им семейство точных двухпараметрических решений

3 /з( С1х + С2) + /2 /2

и(ъ, х)

3 ¡зу/йСЩГ! 3 /з'

Здесь С1 ,С2 - произвольные постоянные. Показывается, что это решение не может быть получено с помощью классического метода симметрий.

Глава 5

"Применение конечномерных динамик к построению точных решений систем эволюционных уравнений" посвящена применению описанной методики к системам эволюционных уравнений.

В разделе 5.1 построены конечномерные динамики системы уравнений Буссинеска [20], описвающей распространение волн в сплошной среде. Эта система имеет вид

VI = —ухх + 2иих — 2и

у-

Для неё построены конечномерные динамики второго порядка и семейство точных решений

4 8

иЦ, х, у) =Н(у) + з+ 8^3С6 + 2С6¥

+ 2(Сэ + 5у + щ)г + С5 + СбХ + С4 у;

8

ж, у) = — 2Н' (у)* + 2£(Сб + (у) + £ (у) + 9 г]Ч6

+з ^+^

1

+ (— (48^ + (48Сз + 48#у)^ + 24С63)) I3 18

+ (А((36С5 + 36С4у + 72С6Ф 18

+ (3б^у + збСз)Сб — збб))г2

+ (-1(—18^ + 36С62 ж + (З6С5 + 36^4У)Сб — 36С4))* 18

+ 1Vх2 + ¿(18^ + 18Сз))ж + С2 + Сгу, 2 18

зависящее от двух произвольных функций Н(у), Z(у) и 8 произвольных параметров Сг,... , С6, 8,г/. Показано, что это решение не может быть получено с помощью классического метода симметрий.

В разделе 5.2 построены конечномерные динамики уравнения Кадомцева - Петвиашвилли

[21]

(щ + иих + е2иххх )х + \и.

УУ

0.

П.7.4)

Это уравнение является обобщением на две пространственных переменных уравнения Кортевега - де Фриза. Оно используется для моделирования волн большой длины со слабыми нелинейными восстанавливающими силами и дисперсией, а также для моделирования волн в ферромагнитных средах [24]. Здесь е и Л - произвольные постоянные, причём Л = 0.

Заметим, что это уравнение не принадлежит классу уравнений (1.7.1). Однако, поменяв местами независимые переменные £ и у, мы приведём его к виду

иХу + их + иихх + 6 ихххх + Хиы = 0,

которое может быть записано в форме нужной нам системы:

Щ _ v.

1 Л

_ 1 ( +2 + 2 + 2 )

Vf — \UXy + Ux + UUXX + б Uxxxx).

Применив к этой системе описанную методику и снова поменяв местами переменные и , мы получим точное решение уравнения

и(Ь, х, у) =а(Ь) + С6ху + С^Ъу + С5у + С3х + С\Ъ + С2 1 "СУ - ¿СзС6у3 - ^Сз2у2,

12Х 6* 3Х 3 6* 2X

которое зависит от шести произвольных постоянных С1, . . . , С6 и одной произвольной функции а(Ь). Показано, что это решение не может быть получено с помощью классического метода симметрий.

В разделе 5.3 метод распространён на дифференциальные уравнения вида

д2и „ ( ди д|ст|и д 1а1+1и

( ди д|ст|и д|ст|+1и\

у'U' д' ,~atdXF) .

дг2 -1 \ ' ' дг' дха тех*

Такие уравнения не относятся к классу (1.1.1), однако их также как и уравнение Кадомцева -Петвиашвилли можно представить в виде системы эволюционных уравнений (см. [25]):

Щ = V,

д 1а1и д 1а1У4

/ дИи д|ст|гЛ

X' U' V'—-' ——

V д X? д ха )

В качестве примера рассмотрено нелинейное гиперболическое уравнение

utt _ (иих)х + (ииу)у + аи + к(Х' у)'

для которого построен класс точных решений. Это уравнение описывает двумерный нестационарный поток газа [23].

При нахождении динамик используются вычисления в пространстве джетов. Это приводит к громоздким выражениям. Чтобы облегчить расчеты и избежать ошибок, мы используем пакеты DifferentialGeometry и JetCalculus для системы символьных вычислений Maple. Описание основ работы с этими пакетами можно найти в [26].

В Приложениях 1-6 приведены тексты программ на языке Maple для проведения символьных вычислений конечномерных динамик эволюционных уравнений.

В Заключении приводятся некоторые выводы по полученным результатам и описываются возможные направления дальнейших исследований.

1.8. Положения, выносимые на защиту

На защиту выносятся следующие результаты.

• Описание структуры тасующих симметрий переопределённых систем дифференциальных уравнений в частных производных с произвольным числом независимых переменных (теорема 2.3.1).

• Метод построения производящих функций тасующих симметрий и конечномерных динамик эволюционных систем дифференциальных уравнений со многими пространственными переменными (теорема 2.4.1; раздел 3.2).

• Описание конечномерных динамик второго порядка для уравнения фильтрации подпочвенных вод в модели Буссинеска с двумя пространственными переменными и построение семейств его точных решений (разделы 4.1.2 - 4.1.4).

• Описание конечномерных динамик второго порядка для обобщенного уравнения Кана-Хилларда и построение трёхпараметрического семейства его точных решений (теорема 4.3.1).

• Описание конечномерных динамик второго порядка для уравнения Кадомцева-Петвиащвилли и построение семейств его точных решений.

• Методика построения конечномерных динамик эволюционных уравнений со второй производной по времени и семейств их точных решений (раздел 5.2).

1.9. Степень достоверности и апробация результатов

Достоверность результатов, полученных в диссертации, подтверждается публикациями в высокорейтинговых журналах и выступлениями на научных конференциях и семинарах.

Эти результаты были опубликованы в 8 работах в журналах и сборниках. Три из них [1-3] опубликованы в журналах, входящих в систему цитирования Scopus и Web of Sciens.

Результаты также представлены на следующих международных и российских научных конференциях и семинарах:

1. Международная научная конференция "Воронежская зимняя математическая школа С.Г. Крейна ВЗМШ- 2024", посвященная памяти В.П. Маслова. Воронеж, Россия, 26-30 января 2024 г.

2. Научная конференция "Ломоносовские чтения". Секция физики, Москва, МГУ имени М.В. Ломоносова, 3 апреля 2024 г.

3. Международная научная конференция студентов, аспирантов и молодых учёных "Ломоносов - 2024", Москва, МГУ имени М.В. Ломоносова, 16 апреля 2024 г.

4. International Conference "Advances in Applications of Analytical Methods for Solving Differential Equations" (Symmetry 2024), 22 - 26 January 2024, Suranaree, Suranaree University of Technology.

5. Russian-Chinese Conference "Differential and Difference Equations". Novosibirsk, Russia, November 2-6, 2023, Novosibirsk State University and the Sobolev Institute of Mathematics of the Siberian Branch of the Russian Academy of Sciences.

6. Вторая Всероссийская конференция "Дифференциальные уравнения и их приложения". Рязань, РГУ имени С.А. Есенина, 18-20 мая 2022.

7. Международная научная конференция студентов, аспирантов и молодых учёных "Ломоносов - 2024", Москва, МГУ, апрель 2022 г.

8. Научный семинар "Инварианты, уравнения, управление" под руководством А.Г. Кушнера и В.В. Лычагина. Иститут проблем управления имени В.А. Трапезникова РАН, май 2024 г.

Глава 2. Симметрии дифференциальных уравнений конечного типа

Основные результаты этой главы опубликованы в работах [27; 28].

2.1. Условие конечности типа для переопределенной системы дифференциальных

уравнений

Рассмотрим

переопределенную систему дифференциальных уравнений в частных производных, в которой все высшие частные производные выражаются через независимые переменные х = (хг,... ,хп), а также неизвестную вектор-функцию V = (у1,... ,ут) и её частные производные более низких порядков:

Л/ ( дv д* у\

= Х,^,...,8Х) . (2ЛЛ)

Здесь I = 1,...,п, д — неотрицательное целое число, а = (а1,...,ап) — мульти-индекс, € {0,1,... , д}, = аг + • • • + ап — вес мультииндекса.

Символ а+1 означает мульти-индекс, полученный из а прибавлением единицы к компоненте с номером г:

а + 1 = (аг,... ,аг-1,аг + 1, а^+г,... , ап). Мы предполагаем, что вектор-функция

= )

принадлежит классу СЧисло уравнений в системе (2.1.1) равно

т(п + д)! (д + 1)!(га — 1)!.

Пусть — пространство д-джетов гладких отображений Кп ^ Кт (см. [2]) с каноническими координатами хг,... ,хп,ь„,... ,ь'т (0 < |ст| < д).

Определим дифференциальные 1-формы

= <

dvj — ^^ vÎ+ii dxi, если 0 < |<г| < q,

г=п (2.1.2)

dvj — ^^ Vj+1.(x, v*) dxi, если |<г| = q.

i=1

Здесь j = 1,... ,m. Эти 1-формы порождают n-мерное распределение V на пространстве Jq:

V :Jq Эв—^V(в)= Q kerujle cTeJq.

0<\a\<q j=1,...,m

Здесь TqJq — касательное пространство к Jq в точке в.

Лемма 2.1.1. Распределение V порождено набором векторных полей

А = + Y vi+1 — + Y vi+1 X v* )— (i= 1,...n). (2.1.3)

i dxi ^ j+1dvj ^ а+1г dvj

i 0<\i\<g d Uj \i\=q d Uj

j=1,...,m j=1,...,m

Доказательство. Достаточно проверить, что каждая из дифференциальных 1-форм (2.3.3) обращается в нуль на векторном поле (2.1.3). Для 0 < |<г| < q получаем

uj (Vi) = vi+u — vjr+1i = 0,

а для |<г| = q:

uj (Vi) = Vj+1. — Vj+1. = 0.

□

Лемма 2.1.2. Если распределение V вполне интегрируемо, то векторные поля (2.1.3) попарно коммутируют, т.е.

[Vi, Vj ] = 0, i,j = 1,...,n.

Доказательство. Предположим, что распределение V является вполне интегрируемым. По теореме Фробениуса это означает, что попарные коммутаторы векторных полей (2.1.3) являются линейными комбинациями с функциональными коэффициентами этих векторных полей:

[Vi, Vj]= £ À* vk

k=1,...,n

д

где ^ € Сж'(3(1). Однако ни один из коммутаторов [Vг, ] не содержит членов вида ——.

дхг

Поэтому все функции Х^ = 0. □

Далее мы будем считать, что распределение V вполне интегрируемо. В этом случае через каждую точку 9 Е проходит максимальное интегральное многообразие этого распределения. Эти максимальные многообразия имеют размерность п.

Определение 2.1.1. Пусть Ь = (^(х),..., кт((х)) — вектор-функция, у которой К1,... ,кт - функции на Ега класса С™. Подмногообразие

г, = {

д |ст|Ь дха

и = 0,...,Л с 3*

размерности п будем называть д-графиком вектор-функции Ь. Здесь

$ М 1+—

дха дхI1 ... дх°п

Лемма 2.1.3. Вектор-функция Ь является решением системы (2.1.1) тогда и только тогда, когда её д-график является максимальным интегральным многообразием вполне интегрируемого распределения V.

Доказательство. Найдем ограничения дифференциальных 1-форм на д-график функции Ь. Для 0 < |ст| < д имеем:

к =

II.

(п

<¡4 - £

г=1

V дх- ) ^

4 7 г=1

)

Гь

д |<7+и|К

д х°"+1;

^ I д (днк\\ , ^ д1(7+141 К ,

г=1

г=1

д

™ /д к+^к д к+^КЛ _

¿Д^х^1 г = 0.

г=1 У 7

д хст+1

Для |ст| = д имеем:

<4 к

(п

¿V, - £

г=1

Уа+11 (x, ^) ^

)

гоv^

у 7 г=1

п ,

г=1 У

д х°

'д |<7+и|К

V, I ^Ь

д х<7+1®

0+1г

х,

д НЬ

д ха

г

ь

Заметив, что |<г + = д + 1, видим, что последняя сумма обращается в нуль тогда и только тогда, когда функция Ь является решением системы (2.1.1). □

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Тао Сынянь, 2024 год

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Овсянников Л. Групповой анализ дифференциальных уравнений. — М.: Наука, 1978.

2. Krasilshchik I., Lychagin V., Vinogradov A. Geometry of jet spaces and nonlinear partial differential equations. — Springer, 1986.

3. Ибрагимов Н. Группы преобразований в математической физике. — М.: Наука, 1983.

4. Kruglikov B., Lychagina O. Finite dimensional dynamics for Kolmogorov-Petrovsky-Piskunov equation // Lobachevskii J. Math. — 2005. — Т. 19, № 7. — С. 13—28.

5. Lychagin V., Lychagina O. Finite dimensional dynamics for evolutionary equations // Nonlinear dynamics. — 2007. — Т. 48. — С. 29—48.

6. Gorinov A. A., Kushner A. G. Dynamics of evolutionary PDE systems // Lobachevskii J. Math. — 2020. — Дек. — Т. 41, № 12. — С. 2448—2457.

7. Kushner A. G., Matviichuk R. I. Exact solutions of the Burgers-Huxley equation via dynamics // J. Geom. Phys. — 2020. — Май. — Т. 151, № 103615. — С. 103615.

8. Kushner A. G., Kushner E. N. Dynamics of media with stationary parameters and telegraph equations // J. Phys. Conf. Ser. — 2021. — Нояб. — Т. 2091, № 1. — С. 012069.

9. Kushner A. G., Matviichuk R. I. Dynamics and exact solutions of non-evolutionary partial differential equations // Differ. Geom. Appl. — 2021. — Июнь. — Т. 76, № 101761. — С. 101761.

10. Vinogradov A. Local symmetries and conservation laws // Acta Appl. Math. — 1984. — Т. 2. — С. 21—78.

11. Kushner A. G., Kushner E. N. Dynamics and exact solutions of third-order nonlinear evolutionary differential equations // 2020 13th International Conference "Management of large-scale system development" (MLSD). — Moscow, Russia : IEEE, 2020.

12. Ахметзянов А. В., Кушнер А. Г., Лычагин В. В. Аттракторы в моделях фильтрации // Доклады Академии наук. — 2017. — № 6. — С. 627—630.

13. Kushner A. G. Dynamics of evolutionary differential equations with several spatial variables // Mathematics. — 2023. — Янв. — Т. 11, № 2. — С. 335.

14. Duzhin S., Lychagin V. Symmetries of distributions and quadrature of ordinary differential equations // Acta Applicandae Mathematica. — 1991. — Т. 24. — С. 29—57.

15. Kushner A., Lychagin V., Roubtsov V. Contact geometry and nonlinear differential equations. — Cambridge University Press, 2007.

16. Frobenius G. Uber das Pfaffsche Problem, J. fur Reine und Agnew // Math. — 1877. — Т. 82. — С. 230—315.

17. Lie S. Ueber einige partielle Differential-Gleichungen zweiter Orduung // Mathematische Annalen. — 1872. — Т. 5, № 2. — С. 209—256.

18. Lie S. Begrändung einer Invarianten-Theorie der Beruhrungs-Transformationen // Mathematische Annalen. — 1874. — Т. 8, № 2. — С. 215— 303.

19. Boussinesq J. Recherches theoriques sur l'ecoulement des nappes d'eau infiltrees dans le sol et sur le debit des sources // Journal de mathematiques pures et appliquees. — 1904. — Т. 10. — С. 5—78.

20. Encyclopedia of integrable systems / A. Shabat [и др.] // Landau Institute for Theoretical Physics. — 2010. — Т. 303. — С. 68.

21. Кадомцев Б., Петвиашвили В. Об устойчивости уединенных волн в слабо диспергирующих средах // Доклады АН СССР. — 2017. — Т. 192, № 4. — С. 753—756.

22. Cahn J., Hilliard J. Free energy of a nonuniform system. I. Interfacial free energy // The Journal of chemical physics. — 1958. — Т. 28, № 2. — С. 258—267.

23. Polyanin A., Zaitsev V. Handbook of nonlinear partial differential equations: exact solutions, methods, and problems. — Chapman, Hall/CRC, 2004.

24. Leblond H. KP lumps in ferromagnets: a three-dimensional KdV-Burgers model // Journal of Physics A: Mathematical and General. — 2002. — Т. 35, № 47. — С. 10149.

25. Kushner A., Matviichuk R. Dynamics and exact solutions of non-evolutionary partial differential equations // Differential Geometry and its Applications. — 2021. — Т. 76. — С. 101761.

26. Tychkov S. Introduction to symbolic computations in differential geometry with Maple // Nonlinear PDEs, Their Geometry, and Applications: Proceedings of the Wisla 18 Summer School. — 2019. — С. 157—182.

ПУБЛИКАЦИИ АВТОРА

27. Kushner A. G., Tao S. Evolutionary systems and flows on solutions spaces of finite type equations // Lobachevskii J. Math. — 2023. — Сент. — Т. 44, № 9. — С. 3945—3951.

28. Tao S. Dynamics and exact solutions of evolutionary partial differential systems // Abstracts of Russian-Chinese conference Differential and difference equations. — Novosibirsk : Novosibirsk State University, 11.2023.

29. Tao S. Exact Solutions of the Groundwater Filtration Equation via Dynamics // Advances in Systems Science and Applications. — 2024. — Т. 24, № 1. — С. 163—168.

30. Кушнер А., Кушнер Е., Тао С. Конечномерные динамики уравнения фильтрации // Дифференциальные уравнения и математическое моделирование. — 2022. — Т. 4. — С. 58— 59.

31. Kushner A. G., Kushner E. N., Tao S. Dynamics of evolutionary equations with 1+2 independent variables // Advances in Systems Science and Applications. — 2022. — Т. 22, № 4. — С. 1—10.

32. Кушнер А., Файзуллина Э., Тао С. Конечномерные динамики уравнения Кана-Хилларда // Тезисы Международной конференции Геометрические методы в теории управления и математической физике. — Рязань : РГУ имени С.А. Есенина, апрель 2021.

33. Tao S. Finite-dimensional dynamics of evolutionary systems with several spatial variables // Advances in Applications of Analytical Methods for Solving Differential Equations. Book of Abstracts (Symmetry 2024). — Suranaree, Tailand : Suranaree University of Technology, 2024. — С. 76—77.

34. Tao S. Dynamics and exact solutions of the Boussinesq equation // Материалы международной Воронежской зимней математической школы, посвященной памяти В.П. Маслова. — Воронеж : Издательский дом ВГУ, 01.2024.