Факторизация и преобразования дифференциальных уравнений: Методы и приложения тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, доктор физико-математических наук Беркович, Лев Мейлихович

• Беркович, Лев Мейлихович
• доктор физико-математических наук
• 2003

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Беркович, Лев Мейлихович

Предисловие.

Введение.

Глава 1. Метод факторизации обыкновенных дифференциальных операторов

1. Кольцо дифференциальных операторов Fq (D).

2. Делимость в кольце Fq[D]

3. Факторизация в основном дифференциальном поле Fo . ■

4. Преобразование сопряжения и самосопряженные дифференциальные операторы.

5. Операторное уравнение в кольце F0[T>] и результантные матрицы

6. Аналог теоремы Кронекера-Капелли.

7. Условия коммутативности двух дифференциальных операторов взаимно простых порядков.

8. Теоремы существования и различные формы факторизации операторов гг-го порядка.

9. Факторизация операторов 2-го порядка в квадратичном расширении Fq

10. Факторизация операторов в трансцендентных лиувидлевых расширениях поля Fo.

11. Факторизация и интегрирование уравнения Альфана и системы Ламе-Альфана.

Примечания к гл. 1.

Глава 2. Родственные линейные дифференциальные уравнения второго порядка.

1. Преобразование Куммера-Лиувилля и постановка задачи Куммера

2. Условия приведения к наперед заданному виду.

3. Приведение к уравнениям с постоянными коэффициентами

4. Уравнение Ермакова.

5. Присоединённые нелинейные уравнения.

6. Решение задачи Куммера.

7. Симметрии линейных уравнений второго порядка.

8. Присоединенные линейные уравнения.

9. Специальные виды факторизации.

10. Последовательности «размножаемых» уравнений.

11. Процедура базисного «размножения».

12. Основная последовательность родственных уравнений

13. Задача Эйлера и преобразование Эйлера-Имшенецкого-Дарбу для неполных линейных уравнений.

14. Процедура «размножения» уравнений с помощью преобразования ЭИД.

15. Задача Эйлера и преобразование ЭИД для полных линейных уравнений

16. Интегрирование уравнений с помощью программы SOLDE

Примечания к гл. 2.

Глава 3. Задачи Ал ьфана.

1. Постановка задач, терминология.

2. Задачи Альфана для линейных уравнений 3-го порядка

3. Канонические формы Альфана и Форсайта для уравнений

3-го перядка.

4. Условия эквивалентности и канонические формы линейных уравнений 4-го порядка.

5. Инварианты и канонические формы линейных уравнений

5-го порядка.

6. Инварианты и канонические формы линейных уравнений n-го порядка.

7. К вопросу о нахождении инвариантов для уравнения п-го порядка

8. Приводимые линейные уравнения.

9. Решения приводимых уравнений и присоединенных нелинейных уравнений.

Примечания к гл. 3.

ГЛАВА 4. Метод автономизации.

1. Нелинейные ОДУ с приводимой линейной частью

2. Каноническое обобщенное уравнение Эмдена-Фаулера

3. Специальный случай КОУЭФ для п = 2.

4. Обобщенное уравнение Эмдена-Фаулера.

5. Некоторые обобщенные уравнения Ермакова и метод автономизации

6. Системы Ермакова.

7. Классификация ОДУ га-го порядка со степенной нелинейностью . . . ;.

Примечания к гл. 4.

Глава 5. Новый метод точной линеаризации.

1. Линеаризация уравнений и факторизация.

2. Точная линеаризация автономных уравнений второго порядка

3. Иллюстративные примеры.

4. Линеаризация некоторых классов динамических систем второго порядка.

5. Точная линеаризация одного класса нелинейных интегро-дифференциальных уравнений.

6. Линеаризация лиувиллевых систем.

7. Точная линеаризация автономных уравнений третьего порадка

8. Уравнения Эйлера для гироскопа и простейшие системы гидродинамического типа.

9. О некоторых интегрируемых случаях динамики твердого тела

10. Факторизация нелинейных дифференциальных операторов

11. Об уравнении, рассматривавшемся Мигтаг-Леффлером

12. О некоторых специальных нелинейных уравнениях.

13. Об уравнении из теории автоколебаний, рассматривавшемся Н.Н.Баутиным.

Примечания к гл. 5.

Глава 6. Исследование нестационарных задач небесной механики

Введение

1. Различные постановки нестационарных задач N тел.

2. Различные постановки нестационарной задачи двух тел

3. Групповой анализ и автономизация обыкновенных дифференциальных уравнений

4. Групповой анализ и автономизация обобщенной нестационарной задачи двух тел.

5. Законы изменения массы в задаче Гильдена-Мещерского и редукция к канонической форме.

6. Редукция к задаче Гильдена-Мещерского

7. Уравнение Бернулли как дифференциальный закон изменения массы

Примечания к гл. 6.

6 Оглавление

Глава 7. Прямые методы нахождения инвариантных решений эволюционных уравнений

1. Применение метода преобразований к уравнению КПП и некоторым другим уравнениям.

2. Факторизация как метод нахождения инвариантных решений уравнения КПП и связанных с ним уравнений Семенова и Зельдовича.

3. Автомодельное решение одного квазилинейного параболического уравнения.

4. Новые классы нелинейных эволюционных уравнений

Примечания к гл. 7.

Вместо заключения: Открытый вопрос.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Факторизация и преобразования дифференциальных уравнений: Методы и приложения»

Автор предлагаемой читателю книги — Лев Мейлихович Беркович — является одним из ведущих современных специалистов в области точного интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений и его приложений. Он начал заниматься указанной тематикой в начале 60-х годов XX столетия, за несколько лег до революции, происшедшей в нелинейной физике и связанной с возрастанием числа точно решаемых (интегрируемых) моделей классической теории поля.

В механике никогда не ослабевал интерес к интегрируемым задачам, но связан он был, главным образом, с возможностью редукции к классическим интегрируемым системам. Исключение составляло начавшееся по инициативе Г. Биркгофа, Л. И. Седова и Л. В. Овсянникова применение теории групп Ли и алгебр Ли к гидродинамике и газовой динамике с целью нахождения инвариантных решений.

Что касается математики, то создание в конце XIX века усилиями А. Пуанкаре и А. М. Ляпунова качественной теории дифференциальных уравнений и дальнейшее ее развитие надолго отбило интерес в среде математиков к проблемам интегрируемости. Заниматься ими считалось неблагодарным делом. В России, например, в первой половине XX века едва ли не единственным ученым, серьезно занимавшимся указанными проблемами, был Д. Д. Мордухай-Болтовской.

Проблема точного интегрирования дифференциальных уравнений (ДУ) имеет несколько аспектов. Геометрический аспект связан с качественным исследованием регулярного поведения траекторий интегрируемых систем. Примером служит известная геометрическая теорема Лиувилля о расслоении фазового пространства вполне интегрируемой гамильтоновой системы на инвариантные торы с условно-периодическими движениями. Конструктивный аспект связан с отысканием условий, при которых можно указать алгоритм явного решения ДУ с помощью квадратур. В качестве примеров можно указать теорему Эйлера - Якоби об интегрируемости системы п уравнений, допускающих п—2 независимых первых интегралов и инвариантную меру, и теорему Ли о системах с разрешимой группой симметрии. Эти алгоритмы дают принципиальную возможность отыскания полного решения, однако их реализация, как правило, упирается в проблемы принципиального характера (например, явное решение систем алгебраических уравнений). В связи с этим возникает еще один важный аспект рассматриваемого круга вопросов — явное решение систем ДУ.

Здесь ключевую роль играет отыскание переменных, в которых вид ДУ существенно упрощается. Правда, для нахождения таких подстановок нет никакого общего правила, и поэтому, как заметил еще Якоби, «. мы должны идти обратным путем и, найдя какую-нибудь замечательную подстановку, разыскивать задачи, в которых она может быть с успехом применена».

С другой стороны, для определенных классов ДУ можно использовать специальные методы, опираясь на нх специфическую структуру. Примером служит широкий и важный, с точки зрения приложений, класс линейных ДУ. Ключевой идеей здесь является идея факторизации (разложения соответствующего дифференциального оператора на множители), которая позволяет использовать методы дифференциальной алгебры. Подход Л. М. Берковича основан на удачном синтезе метода факторизации (включая факторизацию нелинейных систем) и замен переменных. Это позволило продвинуться в направлении конструктивного интегрирования ДУ и в решении задачи об их эквивалентности.

Этот круг вопросов тесно связан с известными гипотезами В. И. Арнольда об аналитической и геометрической неразрешимости проблемы интегрируемости дифференциальных уравнений в пространстве размерности > 1. Задача называется аналитически разрешимой, если ее решение •выражается через данные задачи посредством аналитических операций. Задача неразрешима геометрически, если среди задач, которые получаются из нее заменами переменных, нет задач, разрешимых аналитически. Тем большую ценность имеют результаты Л. М. Берковича, указывающие конструктивные условия (в аналитическом и геометрическом смыслах) интегрируемости отдельных классов ДУ. Из сказанного выше становится ясной актуальность и перспективность развиваемой автором теории.

Основным полученным результатам автор предваряет необходимые сведения из дифференциальной алгебры, обсуждается метод факторизации и вводятся важные определения дифференциального алгоритма Евклида и дифференциального результанта.

Соединение методов дифференциальной алгебры и систематическое использование замен переменных (преобразования Куммера-Лиувилля, Эйлера-Имшенецкого-Дарбу и др.) позволило, с одной стороны, дать полное решение ряда классических задач (задача Альфана о нахождении условий эквивалентности линейных уравнений высших порядков, включая эффективное построение их инвариантов, а также канонических форм Альфана и Лагерра-Форсайта; задача Гильдена-Мещерского и другие нестационарные задачи небесной механики), а с другой стороны — указать новые классы интегрируемых уравнений.

Используя свойства симметрии, построен общий класс нелинейных уравнений, допускающих автономизацию. К этому классу принадлежат динамические системы Ермакова и их обобщения.

Предисловие 9

Критерии точной линеаризации выражаются через факторизацию нелинейных дифференциальных операторов первого порядка и найденную в явной форме нелинейную замену переменных. Установлено свойство лине-аризуемости уравнений Эйлера, описывающих вращение волчка, и соответственно простейшей системы гидродинамического типа (триплета). Проведена линеаризация важного класса интегрируемых лиувиллевых систем.

Используя критерии автономизации и точной линеаризации, построены различные обобщения уравнения Эмдена-Фаулера.

Развитыми автором методами найдены точные решения (в том числе и новые) типа бегущей волны для уравнения Колмогорова - Петровского -Пискунова и связанных с ним уравнений Семенова и Зельдовича.

Построен новый класс нелинейных эволюционных уравнений n-го порядка, для которого имеет место нелинейный принцип суперпозиции.

Книга JI. М. Берковича — существенный вклад в нелинейную науку. Эта монография является важным дополнением к имеющейся литературе по интегрируемости и в значительной мере ликвидирует разрыв, существующий между классическими и современными работами в данной области. Изложение весьма подробное и ясное. В комментариях содержится интересная и поучительная информация исторического характера; немало забытых и полузабытых работ вновь окажутся востребованными и войдут в научный оборот.

JI. М. Беркович убедительно показал, что исследования на интегрируемость и, в частности, поиск точных решений, должны осуществляться на надежном методологическом фундаменте. Один из опорных камней в этот фундамент заложил своей книгой автор.

Академик РАН В. В. Козлов

Моей жене Белле за ее терпение, поддержку, ободрение и советы. ивСДСКИС

Факторизация и преобразования — связующие звенья в проблеме интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений

Данная работа посвящена аналитическому и алгебраическому исследованию проблемы интегрируемости обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ). К этой проблеме издавна существовало два подхода, один из которых связан с заменами переменных, а другой — с использованием аналогий с алгебраическими уравнениями. Однако применение подстановок, как правило, носило эвристический характер. Действительно, длительное время считалось, что для преодоления главного препятствия в процессе интегрирования ДУ, а именно для нахождения подходящих замен переменных, не существует никакого регулярного метода. Если же удавалось найти соответствующее преобразование, то это служило стимулом для поиска задач, где найденное преобразование могло быть успешно применено. Революционный прорыв в области интегрирования ДУ удалось совершить Софусу Ли, создавшему науку, называемую теперь теорией групп Ли и алгебр Ли. Связываемые с этим ожидания оказались не напрасными. Концептуальная и униформизующая роль лиевской теории является в настоящее время общепризнанной. Особенно плодотворным оказалось её применение к фундаментальным уравнениям механики и физики, поскольку принципы инвариантности закладывались уже при выводе этих уравнений (см., например, Овсянников Л. В. [194], Ибрагимов Н.Х. [132]). Однако область применения лиевской теории к ДУ не является безграничной. Её возможности не позволяют полностью «закрыть» проблему интегрируемости. Необходимо учитывать и использовать существующие глубокие аналогии между алгебраическим и дифференциальными уравнениями и, превде всего, связанные с возможностями факторизации. Это мощное средство, но оно с трудом распространялось на ОДУ (в силу некоммутативности дифференциальных операторов), да и то лишь на линейные, и притом носило неэффективный характер.

Немало достижений в интегрировании нелинейных ОДУ достигается путем использования т. н. теста Пенлеве- Ковалевской. Однако потенциальные возможности этого теста не до конца были выявлены из-за того, что наблюдаемая связь его с интегрируемостью не обоснована в достаточной мере.

Новые перспективы для интегрирования ОДУ открылись с других сторон, а именно с теории нелинейных уравнений в частных производных и теоретической физики (конкретно — теории солитонов). Начиная с середины 60-х годов XX в. наблюдается взрыв научной активности в изучении нелинейных явлений, чему способствует участие в этой деятельности также физиков-теоретиков.

Из попыток исследовать инвариантные решения некоторых замечательных уравнений нелинейной физики, таких, например, как уравнение Корте-вега-де Фриза, возникли метод обратной задачи рассеяния (Захаров В.Е., Манаков С. В., Новиков С. П., Питаевский JI. П. [127]), алгебро-геометриче-ский метод, метод сингулярного многообразия и др.

В последние годы уделяется большое внимание т. н. методу Хироты. Однако можно согласиться со следующей оценкой этого метода: «. .это исключительно мощный инструмент: слово метод в данном случае не совсем подходит, потому что при использовании он очень сильно опирается на опытность и интуицию исследователя» (Додд Р., Эйлбек Дж., Гиббон Дж., Моррис X. [111], с. 54).

Актуальность проблемы интегрируемости ДУ подтверждается, с одной стороны, необходимостью получения точных решений для новых математических моделей. С другой стороны, ширится понимание того, что интегрируемость ДУ является междисциплинарной областью знаний: различные аспекты ее стимулировали за последние десятилетия развитие фундаментальных математических наук: Алгебры, Геометрии и Анализа. Было получено также немало конкретных результатов, касающихся интегрируемых динамических систем. Особенно следует отметить, что при этом вновь оказались востребованными работы классиков. Однако указанные достижения не исключают необходимости вновь и вновь возвращаться к такому неисчерпаемому источнику теоретических и прикладных задач, каковым является проблема интегрируемости.

Данная монография призвана систематизировать полученные автором результаты и изложенные в различных статьях, докладах на семинарах и конференциях, а также в лекциях на спецкурсах.

Автор надеется продемонстрировать в ней, как можно весьма эффективно находить замены переменных и на этой основе интегрировать широкие классы ОДУ. Было бы неверно представлять этот процесс слишком упрощенно. Здесь важно все: и сам вид применяемого преобразования, и тип уравнения, к котором стремимся прийти (целевое уравнение), и смысл, вкладываемый в понятие интегрируемости.

В классической теории под лиувиллевым решением ДУ понимается функция, принадлежащая лиувиплевому расширению основного дифференциального поля Fo (т. е. полученная из Fq присоединением интегралов, экспонент интегралов и алгебраических функций). В данной работе рассматриваются также обобщенные лиувиллевы решения, т. е. такие решения ДУ, которые принадлежат к обобщенному лиувиллевому расширению основного дифференциального поля, содержащему помимо лиувиллевого расширения решения какого-нибудь эталонного линейного уравнения второго порядка или эталонного нелинейного уравнения первого порядка. Такие решения будем называть точными.

Высшей целью любой эффективной теории интегрирования является построение алгоритмов (или доказательство их отсутствия). Явные формулы имеют непреходящий характер и вбирают в себя максимально возможную информацию. Они необходимы для подтверждения математической и физической интуиции, и для сопоставления различных теорий, включая границы их применимости.

Занимаясь проблемой интегрируемости ОДУ, автор пришел к выводу, что ключ к ее пониманию заключен в трех словах: факторизация и преобразования, в осознании необходимости совместного использования факторизации и преобразований, т.к. в этом случае целое больше суммы составляющих его частей.

Уже заложенные основы единой теории факторизации и преобразований ОДУ 71-го порядка (п > 2) позволяют конструктивно решать проблемы эквивалентности уравнений. В результате оказывается возможным не только построить новые классы интегрируемых уравнений, но и объяснить немало «чудес» интегрируемости.

Используя известные методы группового анализа и дифференциальной алгебры, автор большое внимание уделил разработке и развитию методов факторизации, автономизации и точной линеаризации. На их основе построены эффективные алгоритмы, частично реализованные в системе компьютерной алгебры REDUCE.

Впервые метод факторизации дифференциальных операторов применительно к конструктивному решению линейных ОДУ с переменными коэффициентами систематически был представлен автором еще в 1967 г. [22]. В настоящей работе этот метод получил свое дальнейшее логическое развитие, т. к. он реализован не только в основном дифференциальном поле, но и в его алгебраическом и трансцендентном расширениях. Впервые этот метод распространен и на нелинейные уравнения. В результате получила развитие дифференциальная алгебра обыкновенных дифференциальных операторов.

Эффективность совместного использования факторизации и преобразований для линейных ОДУ была реализована в монографии автора [50], опубликованной в 1989 г.

Метод автономизации нелинейных уравнений, позволяющий эффективно находить т.н. преобразование Куммера-Лиувилля (когда это возможно), является в соответствующих случаях альтернативой классической теории С. Ли поиска точечных симметрий. Он был представлен автором еще в 1969-1971 гг. [26].

Метод точной линеаризации (МТЛ) нелинейных ОДУ был анонсирован автором в 1974-1976 гг. [28, 29]. В данной работе ему уделяется большое внимание. Удалось построить не только класс линеаризуемых уравнений n-го порядка, но и найти явный вид через квадратуры линеаризующего преобразования. Этот метод оказался непосредственно связан со следующей концепцией нелинейного принципа суперпозиции (НПС), которая широко используется в книге.

Мы будем говорить, что данное нелинейное уравнение обладает НПС, если его общее решение может быть выражено в виде функции (произвольной или конкретной) от решений преобразованного линейного уравнения.

Иными словами, указать НПС — это значит указать нелинейные преобразования переменных, сводящие данные нелинейные уравнения к линейным.

Совместное использование факторизации и преобразований позволило создать целостную картину, объединяющую линейные и нелинейные уравнения. Слово «нелинейность», которое буквально означает «отсутствие линейности» больше.не является синонимом области, лежащей за пределами доступного пониманию.

Хотя в книге большое внимание уделено именно разработке регулярных методов интегрирования ОДУ, тем не менее не принижается и роль т. н. эвристических подстановок и способов. Но они трактуются не как удачи в результате игры случая, а как следствия предварительного знания, уровень которого повышается по мере создания новых методов.

Учёные глубоко заблуждались бы, игнорируя тот факт, что теоретическая конструкция — не единственный подход к явлениям науки; для нас одинаково открыт и другой путь — понимание изнутри.» (Вейль Г. Избранные труды. М.: Наука, 1984). Но это необходимо не только для процесса открытия в науке, но также для процессов изучения и преподавания. У студентов и аспирантов особенно важно развивать то, что П. С. Александров назвал «интуицией формулы», способностью предвидеть результат сложного преобразования. Так, например, в гл. 4 и гл. 5 представлены тесты автономизации и точной линеаризации, которые основаны не только на полученных теоретических результатах, но и на интуитивном (предварительном) знании вида решения линейного приводимого уравнения, а также знания структуры линеаризуемого нелинейного уравнения соответственно.

В результате развития вышеуказанных методов удалось приступить к систематическому исследованию нестационарных и нелинейных задач естествознания. При этом были получены точные решения для ряда задач, а также установлены явные математические выражения некоторых физических законов. Это особенно важно в связи с происходящей в настоящее время делинеаризацией различных и подчас весьма далеких друг от друга областей Науки наряду с установлением аналогий между ними. Не случайно девизом Третьего Всемирного конгресса нелинейных аналитиков WCNA-2000, состоявшегося в июле 2000 г. в Италии (Катания, Сицилия), ягтгп» nrtrtdq' >/1? ithuptda tfanat поэпипитч soxjaii. vjivljul ^u^iijiiviuv 1v|/v^ |/h>m1h iiui^i

Состояние, симметрии, закон — эти три слова характеризуют связь существующего с возникающим, описываемую ДУ. Информацию о состоянии можно получить из наблюдений над физической системой, но она — неполная, т. к. наблюдатель ограничен «окошком конечной ширины». Поэтому информацию, почерпнутую из наблюдений, необходимо дополнить соображениями, связанными с симметриями системы, как очевидными (например, геометрическими и некоторыми физическими), так и скрытыми. Сам же закон должен представлять явную формулу (алгоритм), вмещающую в сжатом виде результаты наблюдения и прогноза. Поиск физического закона, таким образом, представляет собою решение прямой или обратной задач теории ОДУ.

Под прямой задачей теории ОДУ в работе, как обычно, понимается нахождение их решений, а под обратной задачей — построение функциональных зависимостей коэффициентов уравнений, для которых известны либо решения, либо вид уравнений, в которые они могут быть преобразованы (т. е. приняты гипотезы о допускаемых ими симметриях). Впрочем, одни и те же законы могут являться решениями и прямой, и обратной задач, но только для разных уравнений.

Но сам физический закон также может быть выражен дифференциальным уравнением.

Классическое нелинейное уравнение 1-го порядка Бернулли является тому примером. Специальными случаями его являются и дифференциальный закон Эддинггона-Джинса изменения массы небесных тел и логистическое уравнение, описывающее эволюцию некоторой популяции и др.

Характеризуя содержащиеся в работе конкретные результаты, условно их можно разбить на три части. Некоторые результаты получены впервые. Другие — усиливают известные результаты до такой степени, что они в определенном смысле являются неулучшаемыми. Наконец, приведены известные примеры, для исследования которых применены более эффективные методы.

Некоторые конкретные результаты

В гл. 1 решена (восходящая к Н. Н. Лузину) задача о совместности системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений (ЛОДУ) от одной неизвестной функции. Указанный подход распространен на некоторые системы алгебраических ОДУ.

В гл. 2 предложена новая алгоритмичная процедура построения последовательности линейных уравнений 2-го порядка, интегрируемых в терминах исходного уравнения. Эта процедура используется также для интегрирования заданного уравнения.

Впервые выявлена связь преобразования Куммера-Лиувилля с преобразованием Эйлера - Имшенецкого - Дарбу.

В гл. 3 решены задачи Альфана об эквивалентности и классификации ЛОДУ га-го (п > 2) порядка (ЛОДУ-n). Указаны алгоритмы для нахождения инвариантов и канонических форм Альфана.

Решена также задача Альфана о приводимых ЛОДУ-га.

Построены семейства нелинейных уравнений от 2-го до га-го порядков, порожденные приводимыми линейными уравнениями и решения которых выражаются в терминах ЛОДУ-2 (имеют место принципы нелинейной суперпозиции).

В га. 4 найден самый общий класс нелинейных уравнений га-го порядка, допускающий автономизацию преобразованием Куммера-Лиувилля. Предложен алгоритмичный тест автономизации.

Найдены все законы изменения функционального коэффициента при нелинейном члене обобщенного уравнения Эмдена - Фаулера, когда оно допускает точечные симметрии Ли.

Построены обобщенные уравнения Ермакова и обобщенные динамические системы Ермакова.

В гл. 5. найден общий вид нелинейных неавтономных уравнений га-го порядка (га > 2), допускающий точную линеаризацию с помощью неточечного преобразования зависимой и независимой переменных.

Проведена точная линеаризация лиувиллевых динамических систем, заданных в лагранжевой форме.

В гл. 6. для различных постановок обобщенной нестационарной задачи небесной механики двух тел (точек), допускающих однопараметрические группы Ли, получены зависимости переменных масс тел от сопротивляющейся и гравитирующей среды. Найдены все законы изменения массы для классической задачи Гильдена-Мещерского, включающие в качестве частных случаев законы Мещерского и Эддингтона-Джинса.

В гл. 7 найдены все инвариантные решения типа «бегущей волны» для уравнений Колмогорова-Петровского-Пискунова и Колмогорова-Петровского-Пискунова-Фишера, полулинейные аналоги которых допускают двумерные алгебры Ли, а* также выявлена их связь с уравнениями Семенова и Зельдовича.

Указан новый способ получения автомодельного решения квазилинейного уравнения параболического типа, описывающего т.н. «режим с обострением».

Построен также новый класс нелинейных эволюционных уравнений п-го порядка, допускающий НПО.

Структура работы. В книге семь глав. Каждая глава снабжена примечаниями. Список литературы содержит свыше 400 наименований. Книга снабжена также авторским и предметным указателями.

Во всех параграфах формулы нумеруются последовательно. При ссылке На формулу ВНуТрй Параграфа уКаЗЫВаСТСЯ ЛИШЬ СС НОмср. ЕСЛИ ДаС'ГСЯ ссылка на формулы внутри главы, то указывается также и номер параграфа. А если ссылка на формулу дается в другой главе, то указывается полный адрес формулы. Например, ссылка на формулу (5.10.3) означает, что эта формула содержится в 5-й гл., параграфе 10 и имеет номер 3. Аналогично нумеруются математические предложения и примеры.

То, что многие примечания имеют историко-библиографический характер, может способствовать воссозданию культуры интегрирования дифференциальных уравнений, учитывающей и исторический опыт и современные достижения. Часто кажется, что одни и те же идеи родятся у нескольких людей подобно откровению. Если поискать причину этого, то легко найти её в трудах тех, которые им предшествовали, где представлены эти идеи без ведома их авторов». (Эварист Галуа. Сочинения. M.-JL, 1938, с. 111).

Вот только несколько фактов. Был установлен (совместно q H. X. Розовым) приоритет В. П. Ермакова относительно важного нелинейного уравнения, для которого имеет место принцип нелинейной суперпозиции. Но дело здесь не только в этом факте, айв том, что при этом был открыт важный класс динамических систем, начало которым положил В. П. Ермаков и которые называются сейчас его именем. Известное дифференциальное преобразование для уравнения Штурма-Лиувилля (Шрёдингера) и связываемое с именем Г. Дарбу, на сто лет ранее его рассматривал JI. Эйлер, а одновременно с Г. Дарбу изучал В. Г. Имшенецкий, который приступил к исследованию общего случая для ЛОДУ-n. Работы классиков могут служить стимулом для современных исследователей. К сожалению, даже тогда, когда классиков почитают, их недостаточно читают. Как отмечалось выше, автор нашел решения фактически забытых задач Г. Альфана об эквивалентности и канонических формах ЛОДУ-n. Можно согласиться с мыслью А. А. Андронова и Л. И. Мандельштама, что достижение нового нередко происходит исключительно на основе знания старого. В нашей книге немало примеров, подтверждающих эту мысль. Так, например, показано, что классическая теорема П. Л. Чебышева об интегрировании дифференциальных биномов имеет применения при решении некоторых нелинейных ОДУ 2-го порядка, играющих важную роль как в аналитической теории ОДУ, так и в математической и теоретической физике.

В заключение указывается на открытый вопрос:

Введение 17

Как найти нелинейные принципы суперпозиции для нелинейных и неавтономных уравнений п-го порядка, преобразуемых к линейному автономному виду с помощью достаточно общих преобразований зависимой и независимой переменных, и каков явный вид соответствующих классов уравнений!

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Беркович, Лев Мейлихович, 2003 год

1. Абловиц М., Сигур X. Солитоны и метод обратной задачи. М.: Мир, 1987. Пер. с англ.: Ablowitz Mark J., Segur Harvey. Solitons and the inverse scattering Transform. Siam Philadelphia, 1981.

2. Авдонин C.M., Белов B.B., Маслов В.П. Математические аспекты синтеза вычислительных сред. М.: МИЭМ, 1984.

3. Азбелев Н.В., Цалюк З.Б. К вопросу о распределении нулей решений линейных дифференциальных уравнений 3-го порядка. Мат. сб., 1960, 5,475-486.

4. Айне Э.Л. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Харьков, 1939.

5. Андреев В.К., Капцов О.В., Пухначев В.В., Родионов А.А. Применение теоретико-групповых методов в гидродинамике. Новосибирск: Наука, 1994.

6. Андронов А.А., Леонтович М. А., Мандельштам JIM. К теории адиабатических инвариантов. Андронов А.А., Собр. трудов, М.: Изд-во АН СССР, 1956.

7. Арнольд В.И. Избранное. М.: Фазис, 1997, с. 690-693.

8. Арнольд В.И. "Жесткие"и "мягкие"математическиемодели (доклад на Всероссийской конф. "Математика и общество. Математическое образование на рубеже веков"), Московский центр непрерывного математического образования, М.: 2000.

9. Арнольд В.И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1978.

10. Бабич В.М., Булдырев B.C. Асимптотические методы в задачах дифракции коротких волн. Метод эталонных задач. М.: Наука, 1972, Доп. 3, с. 432-434.

11. Бабич В.М., Лазуткин Б.Ф. О собственных функциях, сосредоточенных вблизи замкнутой геодезической. Проблемы математ. физики, вып. 2, Изд-во ЛГУ, 1967.

12. Баренблатг Г.И., Зельдович Я.Б. Промежуточные асимптотики в математической физике. Успехи Мат. Наук, т. 26, N 2, с. 116-129.

13. Баренблатг Г.И. Комментарии к 152]. А.Н.Колмогоров. Избранные труды, т.1. Математика и механика. М.: Наука, 1985, с. 416-420.

14. Баутин Н.Н. Об одном дифференциальном уравнении, имеющем предельный цикл. Ж.Тех. Физ., 1939, т. 9, N 7, с. 601-611.

15. Бачелис Р.Д., Меламед В.Г. Стационарные решения уравнения диффузии, соединенной с возрастанием количества вещества при общих предположениях относительно коэффициентов и функции источника. Вестник МГУ, Математика, 1966, N I, с. 43-51.

16. Беков А. А. Задача Гильдена-Мещерского. 1. Точные решения. АН Казах. ССР, Астрофиз. ин-т им. В.Г.Фесенкова, Препринт 90-06. Алма-Ата, 1990.

17. Беков А.А. Интегрируемые случаи и траектории движения в задаче Гильдена-Мещерского. Астрон. Ж., 1989, т. 66, N 1, с. 135-151.

18. Беков А.А. Нестационарые задачи небесной механики. Докторская диссертация, Астрофизический ин-к им. В.Г.Фесенкова Нац. АН Казахстана, Алма-Ата, 1994.

19. Белавин В.А., Капица С.П., Курдюмов С.П. Математическая модель глобальных демографических процессов с учетом пространственного распределения. Журнал Выч. Мат. Мат. Физ., 1998, т.38, N 6, с. 885902.

20. Беркович Л.М. О линейных дифференциальных операторах п-го порядка, допускающих разложение на коммутивные операторы 1-го порядка. Уч.зап. Казанск. универ., 1964, т. 124, кн.6, с. 37-42.

21. Беркович Л.М. О факторизации обыкновенных линейных дифференциальных операторов, преобразуемых в операторы с постоянными коэффициентами. Изв. вузов. Матем., 1965, N 4, с. 8-16, ч. 2 там же, 1967, N 12, с. 3-14.

22. Беркович Л.М. Метод факторизации дифференциальных операторов и его применение к решению обыкновенных линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами. Автореферат дис. канд. физ.-мат.н., Урал, ун-т, Свердловск, 1967, 13 с.

23. Беркович Л.М. О самосопряженных дифференциальных уравнениях четного и нечетного порядков и об одном классе уравнений Эйлера. Известия вузов. Матем., 1969, N 8, с. 3-9.

24. Беркович Л.М. Об уравнении у" + ао(х)у = 0, допускающем рациональный интеграл. Куйбышев, политех, ин., физ.-мат. сб., 1969, с. 194-199.

25. Беркович Л.М. Об одном классе неавтономных нелинейных дифференциальных уравнений п-го порядка. Arch. Math. (Brno), 1970, vol. 6, с. 7-13.

26. Беркович Л.М. Преобразования обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений. Диф. Уравн., 1971, т. 7, N 2, с. 353-356.

27. Беркович Л.М. Об уравнении Фаулера-Эмдена и некоторых его обобщениях. Publ. de la fac. d'electrotechn. de l'universite a Belgrade, ser. mat. phys., 1972, N 381-N 409, c. 51-62.

28. Беркович JI.M. Методы факторизации, автономизации и линеаризации обыкновенных дифференциальных уравнений, Всесоюзн. конф. по кач. теории диф. ур., Тезисы докл., Рязань, 1976, с. 90-91.

29. Беркович JI.M. К вопросу о факторизации линейных уравнений в частных производных второго порядка с двумя независимыми переменными. Тр. семинара по диф. уравн., Куйбышев, ун., 1977, вып. 3, с. 12-27.

30. Беркович Л.М. Метод точной линеаризации некоторых классов динамических систем. Изв. АН СССР, Мех. Тверд. Тела, 1977, N 5, с. 178-179 (аннотация докл. на семинаре по анал. мех. МГУ 16 марта 1976 г.).

31. Беркович Л.М. Преобразование обыкновенных линейных дифференциальных уравнений. Куйбышев, ун., Куйбышев, 1978, 92 с.

32. Беркович Л.М. Анализ сложных систем с помощью преобразований их моделей. VII Всесоюзное совещ."Теория и методы математ. моде-лир.", Куйбышев, политех, ин., М.: Наука, 1978, с. 21-23.

33. Беркович Л.М. Метод точной линеаризации нелинейных автономных дифференциальных уравнений второго порядка. Прикл. Мат. Мех., 1979, т. 43, N 4, с. 629-638.

34. Беркович Л.М. Задача Гильдена-Мещерского и законы изменения массы. Докл. АН СССР, 1980, т. 250, N 5, с. 1088-1091.

35. Беркович Л.М. Преобразование задачи Гильдена-Мещерского к стационарному виду и законы изменения массы. Прикл. Мат. Мех., 1980, т. 44, N 2, с. 354-357.

36. Беркович Л.М. Методы преобразований дифференциальных уравнений и интегрируемые задачи механики. V-й Всесоюзный съезд по теор. и прикл. механике, Тезисы докл., Алма-Ата, 1981, с. 59.

37. Беркович Л.М. О преобразовании дифференциальных уравнений типа Штурма-Лиувилля. Функц. Анал. Прил., 1982, т. 16, N 3, с. 42-44.

38. Беркович Л.М. Об интегрируемости задачи Гильдена-Мещерского. Прикл. Мат. Мех., 1982, т. 46, N 1, с. 165-167.

39. Беркович Л.М. Абсолютные инварианты и уравнение Кортевега-де Фриза. Теоретико-групповые методы в физике. Тр. 3-го семинара, Юрмала, 22-24 мая 1985, т. 1, М.: 1986, с. 505-513.

40. Беркович Л.М. Задача Альфана об эквивалентности обыкновенных линейных дифференциальных уравнений. Успехи Мат. Наук, 1986, т. 41, N 1, с. 183-184.

41. Беркович Л.М. Приводимые линейные уравнения (аннотация докл. на семинаре по качеств, теории дифференц. уравнений МГУ). Диффе-ренц. Уравн., 1987, т. 23, N 6, с. 1095-1096.

42. Беркович Л.М. Математические методы исследования нестационарных задач небесной механики. Доклад на Всесоюзном совещании "Динамика гравитирующих систем и методы аналитической небесной механики"(г.Алма-Ата, 22-24 сент. 1987).

43. Беркович Л.М. Приводимые обыкновенные линейные дифференциальные уравнения третьего порядка и связанные с ними нелинейные уравнения. Дифференц. Уравн., 1987, т. 23, N 5, с. 887-890.

44. Беркович Л.М. Аналог критерия Эйзенштейна для обыкновенных линейных дифференциальных операторов. Сб. Арифметика и геометрия многообразий, Куйбышев, унив, Куйбышев, 1988, с. 20-27.

45. Беркович Л.М. Факторизация обыкновенных линейных дифференциальных операторов в расширениях основного дифференциального поля. Арифметика и геометрия многообразий, Куйбышев.унив., 1989, с. 3-25.

46. Беркович Л.М. Метод автономизации. Современный групповой анализ., Баку, 1989, Элм, с. 47-53.

47. Беркович Л.М. Родственные линейные дифференциальные уравнения второго порядка. Дифференц. Уравн., 1989, т. 25, N 2, с. 192-201.

48. Беркович Л.М. Факторизация и преобразования обыкновенных дифференциальных уравнений Изд-во Саратовск. ун., Саратов, 1989, 192 с.

49. Беркович Л.М. Обобщенная нестационарная задача двух тел и законы изменения массы. Вопросы неб. мех. и звездной динамики, Алма-Ата, Астрофиз. ин. АН Казах. ССР, Наука, 1990, с. 18-23.

50. Беркович Л.М. Приводимые нелинейные уравнения, (аннотация докл. на семинаре МГУ по кач. теории диф. ур), Дифференц. Уравн., 1990, т. 26, N 12, с. 2184.

51. Беркович Л.М. Преобразования переменных как метод нахождения точных инвариантных решений уравнения Колмогорова-Петровского-Пискунова и связанных с ним нелинейных уравнений теплопроводности. Докл. Рос. АН, 1992, т. 322, N 4, с. 635-640.

52. Беркович Л.М. Факторизация как метод нахождения точных инвариантных решений уравнения Колмогорова-Петровского— Пискунова и связанных с ним уравнений Семенова и Зельдовича. Докл. Рос. АН, 1992, т. 322, N 5, с. 823-827.

53. Беркович Л.М. Инвариант Лагерра и классификация обыкновенных линейных дифференциальных уравнений третьего порядка. Сб. "Арифметика и геометрия многообразий", Самарский университет, 1992, с. 15-47.

54. Беркович Л.М. Новые классы интегрируемых дифференциальных уравнений. (Лекция, прочитанная для слушателей школы "Секреты физической и математической интуиции"), г. Дубна, ОИЯИ, ЛТФ, 13 июля, 1993.

55. Беркович Л.М. Уравнение Эмдена-Фаулера и его обобщения: групповой анализ и точные решения. Материалы междунар. конф. и Чебы-шевских чтений, М., МГУ, 1996, с. 57-62.

56. Беркович Л.М. Об элементарных инвариантных решениях типа бегущей волны для уравнения Колмогорова-Петровского-Писку-нова. Докл. Рос. АН, 1998, т. 359, N 6, с. 731-734.

57. Беркович Л.М. Факторизация нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений и линеаризация. Докл. Рос. АН, т. 368, N 5,1999, с. 604-608.

58. Беркович Л.М. Метод точной линеаризации и его применение к некоторым системам гидродинамического типа. II междунар. симпозиум "Актуальные проблемы механики сплошных сред", Тезисы, М.:1999, с. 48.

59. Беркович Л.М. Точная линеаризация нелинейных обыкновенных автономных дифференциальных уравнений. Программирование, N 1,2000, с. 3&-40.

60. Беркович Л.М. Точные решения нелинейных дифференциальных уравнений: методы и приложения. VIII Всерос. съезд по теор. и прикл. мех., Пермь, 23-29 августа 2001 г., Аннотации докл., с. 98-99.

61. Беркович Л.М., Гельфгат Б.Е. Исследование некоторых нестационарных задач небесной механики методом преобразований. Проблемы аналит. мех., теорий устойчивости и управл. М.: Наука, 1975, с. 54-61.

62. Беркович Л.М., Нечаевский М.Л. Метод преобразований в нелинейных и нестационарных задачах механики. Сб."Теория устойчивости и ее приложения", Новосибирск, СО АН СССР, 1979, с. 163-172.

63. Беркович Л.М., Нечаевский М.Л. О групповых свойствах и интегрируемости уравнений типа Фаулера-Эмдена. "Теоретико-групповые методы в физике", Труды международного семинара. Звенигород, 1982, т. 2, М.: Наука, 1983, с. 463-471.

64. Беркович Л.М., Нечаевский М.Л. Свойства симметрии и законы нелинейной суперпозиции для динамических систем. VI-й Всесоюзный съезд по теор. и прикл. механике, Ташкент, 24-30 сент., 1986, Аннотации докл., с. 102.

65. Беркович Л.М., Нечаевский М.Л., Сеницкий Ю.З. Метод факторизации дифференциальных дператоров и его приложения. Тр. 2-й Болгар, конф. "Дифференц. уравн. и их применение", Руссе-81,1982, с. 63-70.

66. Беркович JI.M., Орлова И.С. Точная линеаризация некоторых классов автономных обыкновенных дифференциальных уравнений. Вестник Самарского унив., 1998,4 (10), с. 5-14.

67. Беркович JI.M., Поляхова Е.Н. Прикладной фотогравитационный случай нестационарной задачи Гильдена-Мещерского. Тр. XI11 научных чтений по космонавтике, М.: Наука, 1989, секция. "Прикл. неб. мех. и упр. движением", с. 5-6.

68. Беркович JI.M., Попов С.Ю. Групповой анализ обыкновенных дифференциальных уравнений порядка п > 2. Вестник Самарского унив., N 2, с. 8-22.

69. Беркович JI.M., Розов Н.Х. Некоторые замечания о дифференциальных уравнениях вида у" + а(х)у = f(x)ya. Дифференц. Уравн., 1972, т. 8, N 11, с. 2076-2079.

70. Беркович Л.М., Розов Н.Х. Приведение к автономному виду некоторых нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка. Arch. Math., 1972, vol. 8, N 4, с. 219-226.

71. Беркович Л.М., Розов Н.Х. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений, приводимые к автономному виду. Тр. семинара по дифференц. уравнениям, Куйбышевский универ., 1975, вып. 1, с. 130-145.

72. Беркович Л.М., Розов Н.Х. Уравнение Ермакова: история и современность. Успехи Мат. Наук, 1994, т. 49, N 4, с. 95.

73. Беркович Л.М., Фролов И.С. Представление решений линейных дифференциальных уравнений 2-го порядка с использованием языка REDUCE и графического шкета GNUPLOT., Вестник Самарского гос. ун-та, 1997, N 2(4), с. 109-114.

74. Беркович Л.М., Цирулик В.Г. О некоторых свойствах коммутативных дифференциальных операторов над функциональным полем характеристики нуль. Тр. семинара по диф. уравн. Куйбышевский унив., Куйбышев, 1977, вып. 3,- с. 119-135.

75. Беркович Л.М., Цирулик В.Г. Дифференциальный результант и некоторые его применения. Дифференц. Уравн., 1986, т. 22, с. 750-757.

76. Бицадзе А.В. Некоторые классы уравнений в частных производных. М., Наука, 1981.

77. Бицадзе А.В. Основы теории аналитических функций комплексного переменного. М.: Наука, 1984 - 320 с.

78. Боль П. Представление и применение инвариантов линейных дифференциальных уравнений. 1886 (студенческая работа, впервые опубликована в 1973), Собр. трудов, Рига, Зинатне, 1974, с. 8-35.

79. Боль П. О некоторых дифференциальных уравнениях общего характера, применимых в механике, (впервые опубликовано в 1900). Собрание трудов, Рига, Зинатне, 1974, с. 73.

80. Боль П. Об одном дифференциальном уравнении из теории возмущений (впервые опубликовано в 1906). Собрание трудов, Рига, Зинатне, 1974, с. 327-377.

81. Бондарь Н.Г. Некоторые автономные задачи нелинейной механики. Киев, Наукова думка, 1969 302 с.

82. Борисов А.В., Мамаев И.С. Динамика твёрдого тела. РХД, Москва-Ижевск, 2001.

83. Борувка Q. Теория глобальных свойств обыкновенных линейных дифференциальных уравнений второго порядка. Дифференц. Уравн. 1976, т. 12, N8, с. 1347-1383.

84. Брюно А.Д. Локальный метод нелинейного анализа дифференциальных уравнений. Ин. Прикл. Мат., АН СССР, 1979.

85. Брюно А.Д. Степенная геометрия в алгебраических и дифференциальных уравнениях. М.: Наука, Физматлит., 1998.

86. Брюно А.Д. Автомодельныерешения и степенная геометрия. Успехи Мат. Наук, 2000, т. 55, вып. 6, с. 3-44.

87. Васильев В.А., Романовский Ю.М., Яхно В.Г. Автоволновые процессы в распределенных кинетических системах. Успехи Физ. Наук, 1979, т. 128, N 4, с. 625-666.

88. Волосов К.А., Данилов В.Г., Маслов В.П. Математическое моделирование технологических процессов изготовления больших интегральных схем. М.:, МИЭМ, 1984.

89. Виноградов A.M., Красильщик И.С., Лычагин В.В. Введение в геометрию нелинейных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1986. (гл. 8, п. 3. Инвариантные решения и факторизация дифференциальных уравнений, с. 318).

90. Виноградов А.М1., Красильщик И.С. (ред.) Симметрии и законы сохранения уравнений математической физики. М.: Факториал, 1997.

91. Владимиров B.C. Приближенное решение одной краевой задачи для дифференциального уравнения второго порядка. Прикл. Мат. Мех., 1955, т. 19, вып. 3, с. 315-324.

92. Вольперт А.И. Комментарии к работе 152]. И.Г.Петровский. Избранные труды. Дифференциальные уравнения. Теория вероятностей. М.: Наука, 1987, с. 333-358.

93. Вольтерра В. Математическая теория борьбы за существование. М.: Наука, 1976.

94. Галактионов В.А. Доказательство локализации неограниченных решений нелинейного параболического уравнения ut = {и°их)х + + vP. Дифференц. Уравн., 1985, т. 21, N 1, с. 15-23.

95. Гельфанд И.М., Дикий Л.А. Асимптотика резольвенты штурмлиу-витевских уравнений и алгебра уравнений Кортевега-де Фриза. Успехи Мат. Наук, 1975, т. 30, N 5, с. 67-100.

96. Гельфанд И.М., Фомин С.В. Вариационное исчисление. ГИФМЛ, М.: 1961.

97. Гельфгат Б.Е. Два случая интегрируемости задачи двух тел переменной массы и их применения к изучению движения в сопротивляющейся среде. Бюлл. Инст.Теор. Астрон. АН СССР, Ленинград, 1959, т. 7, N 5, с. 354-362.

98. Гельфгат Б.Е. Обобщение задачи двух тел переменной массы и ее строгие решения. Тр. Третьих чтений К.Э.Циолковского, секция "Механика космического полета", 1968, с. 86-101.

99. Гледзер Е.Б., Должанский Ф.В., Обухов A.M. Системы гидродинамического типа и их применение. М.: Наука, 1981.

100. Голубев В.В. Лекции по аналитической теории дифференциальных уравнений. М.: 1941.

101. Данилов В.Г., Субочев П.Ю. Точные однофазные и двухфазные волновые решения полулинейных параболических уравнений. Препринт, М.: МИАН, 1987.

102. Должанский Ф.В. Комментарии к работам А.М.Обухова по теории и применению систем гидродинамического типа., см. 193], с. 399-403.

103. Дрюма B.C. Геометрическая теория нелинейных динамических систем. Препринт, ИМ с ВЦ АН МССР, Кишинев, 1986.

104. Дубошин Г.Н. Небесная механика. Основные задачи и методы. М.: Наука, 1975, (с. 761-762).

105. Дубошин Г.Н. Небесная механика. Аналитические и качественные методы. М.:, Наука, 1978 (с. 199).

106. Дубошин Т.Н. Небесная механика. Методы теории движения искусственных небесных тел. М.: Наука, 1983.

107. Дубровин Б. А. Тэта-функции и нелинейные уравнения. Успехи Мат. Наук, 1981, т. 36, N 2, с. 11-80.

108. Дубровин Б.А. Матричные конечнозонные операторы. Современные проблемы математики. ВИНИТИ, 1983, т. 23, с. 33-72.

109. Дубровин Б.А., Кричевер И.М., Новиков С.П. Интегрируемые системы. 1. ВИНИТИ, Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления, т. 4. Динамические системы. 1985, с. 179-285.

110. Дэвенпорт Дж., Сирэ И., Турнье Э. Компьютерная алгебра, Системы и алгоритмы алгебраических вычислений. М.: Мир, 1991, Перевод с франц. Davenport J., Siret I, Tournier E. Calcul formel, Paris, 1987.

111. Ельшин М.И. К проблеме колебаний линейного дифференциального уравнения 2-го порядка. Докл. АН СССР, 1938, т. 18, N 3, с. 144-145.

112. Ермаков В.П. Дифференциальные уравнения второго порядка. Условия интегрируемости в конечном виде. Киев, Университетские известия, 1880, N9, с. 1-25.

113. Еругин Н.П. Приводимые системы. Тр. Матем. инст. АН., N 13, М.: 1946.

114. Заездный A.M. Основы расчетов нелинейных и параметрических радиотехнических цепей. Приложение N1: Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. Изд-во "Связь", М., 1973.

115. Зайцев В.Ф. О группах Ли-Беклунда, допускаемых обыкновенными дифференциальными уравнениями. Современный групповой анализ и зад. матем. моделир., XI Рос. кол., Самара 7-11 июня 1993, Тез. докл., Изд-во Самарского ун-та, Самара, 1993, с. 52.

116. Зайцев В.Ф., Полянин А.Д. Справочник по нелинейным дифференциальным уравнениям. Приложения в механике. М.: Изд. фирма "Наука", 1993.

117. Захаров В.Е., Манаков С.В., Новиков С.П., Питаевский Л.П. Теория солитонов. Метод обратной задачи (под редакцией С.П. Новикова), М.: Наука, 1980.

118. Захарьев Б.Н., Костов Н.А., Плеханов Е.Б. Точно решаемые одно-и многоканальные модели (уроки квантовой интуиции). Физика элементарных частиц и атомного ядра, 1990, т. 21, вып. 4, с. 914-962.

119. Зельдович Я.Б. К теории распространения пламени. Журнал Физ. Химии, -1948, т. 22, N 1.- с. 27-48.

120. Зельдович Я.Б., Баренблатг Г.И., Либрович В.Б., Махвиладзе Г.М. Математическая теория горения и взрыва. М.: Наука, 1980.

121. Зельдович Я.Б., Компанеец А.С. К теории распространения тепла при теплопроводности, зависящей от температуры. Сб., посвященный семидесятилетию акад. А.Ф.Иоффе, Изд. АН СССР, М.: 1950, с. 61-71.

122. Ибрагимов Н.Х. Группы преобразований в математической физике. М.: Наука, 1983.

123. Ибрагимов Н.Х. Опыт группового анализа обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Знание, 1991.

124. Ибрагимов ТИХ. Групповой анализ обыкновенных дифференциальных уравнений и принцип инвариантности в математической физике (к 150-летию со дня рождения Софуса Ли). Успехи Матем. Наук, 1992, 47, N 4, с. 83-144.

125. Имшенецкий В.Г. Распространение на линейные уравнения вообще способа Эйлера для исследования всех случаев интегрируемости одного частного вида линейных уравнений второго порядка. Записки императорской академии наук, С.-Петербург, 1882, т.42,с. 1-21.

126. Инфельд Л., Халл Т.Е. Метод факторизации. Математика, период, сб. переводов иностр. статей, 1966, N3, с. 39-125. Перевод с англ. Infeld I., Hull Т.Е. The factorization method. Reviews of Modern Physics, 23 (1951), N 1,21-68.

127. Калашников A.C. О характере распространения возмущений в задачах нелинейной теплопроводности с поглощением. Журнал Выч. Мат. Мат. Физ., 1974, т. 14, N 4, с. 891-905.

128. Камке E. Справочник no обыкновенным дифференциальным уравнениям.- M.: Наука, 1967.

129. Канель Я.И. О стабилизации решений уравнений теории горения при финитных начальных функциях. Мат. сб., 1964, т. 65, N 3, с. 398-413.

130. Капица С.П., Курдюмов С.П., Малинецкий Г.Г. Синергетика и прогнозы будущего. М.: Наука, 1997.

131. Капланский И. Введение в дифференциальную алгебру М.: ИИЛ, 1959. Перевод с англ. Kaplansky I., An introduction to differential algebra, Paris, Hermann, 1957.

132. Картан Э. Пространства аффинной, проективной и конформной связности. Казанский ун., Казань, 1962.

133. Кащеев В.Н. Эвристические методы получения решений нелинейных уравнений солитоники. Латв. АН, Ин-т физики, Рига, "Зинатне", 1990.

134. Кигурадзе И.Т., Чантурия Г.А. Асимптотические свойства решений неавтономных обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1990.

135. Ковалевская С.В. Научные работы. Изд-во АН СССР, 1948.

136. Ковалевская С.В. Переписка С.В. Ковалевской с Миттаг-Леффлером. М.: Наука, 1984. - 312 с.

137. Козлов В.В. Методы качественного анализа в динамике твердого тела, Ижевск, Изд-во РХД, 2000, 256 с.

138. Козлов В.В. Интегрируемость и неинтегрируемость в гамильтоно-вой механике. Успехи Мат. Наук, 1983, Т. 38, N 1, с. 3-67.

139. Козлов В.В. О группах симметрий динамических систем. Прикл. Мат. Мех., 1988, Е. 52, N 4, с. 531-541.

140. Козлов В.В. Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике. Изд-во Удмуртского унив., Ижевск, 1995.

141. Колмогоров А.Н., Петровский И.Г. и Пискунов Н.С. Исследование уравнения диффузии, соединенной с возрастанием количества вещества, и его применение к одной биологической проблеме. Бюлл. МГУ, сер. Мат. Мех.-т. 1, N 6, 1937(1938), с. 1-26 (франц.).

142. Кондратьев В.А. О колеблемости решений уравнения +р(х)у = = 0. Труды Московского мат. общ., 1961, т. 10, с. 419^436.

143. Королев Г.М. Об одном классе линейных однородных дифференциальных уравнений. Диффер. и интегр. уравнения, Горьковский ун., 1979, вып. 3, с. 73-77.

144. Королев Г.М. Об одном признаке самосопряженности. Диффер. и интегр. уравнения, Горьковский ун., 1982, с. 49-53.

145. Кричевер И.М. Методы алгебраической геометрии в теории нелинейных уравнений. Успехи Матем. Наук, 1977, т. 32, N 6, с. 183-208.

146. Крылов А.Н. Вибрация судов. Собр. соч. т. 10, M.-JI., М.: Изд.АН СССР, 1948, с. 340-344.

147. Крылов А.Н. Баллистика. Собр. соч., т. IV, Изд. АН СССР, 1937, с. 314-317.

148. Крылов А.Н. О некоторых дифференциальных уравнениях математической физики, имеющих приложение в технических вопросах. МЛ., ГИТТЛ, 1950, с. 250-251.

149. Ландау Л.Д., Лифшиц EM. Квантовая механика. Нерелятивистская теория. М.: Наука, 1974.

150. Лапин А.С. Задача двух тел с переменными массами. Уч. зап. Ле-нингр. ун-та, сер. мат. н., вып. 13, 1944, с. 3-55.

151. Латышева К.Я. Нормальные решения линейных дифференциальных уравнений с полиномиальными коэффициентами (Докторская дне., Киев, 1952, автореферат доктор, дис., Успехи Мат. Наук, 1953, N 5, с. 205-212).

152. Лопатинский Я.Б. Линейные дифференциальные операторы. Докторская диссертация. Азербайджанский университет, Баку, 1946, (см. также Мат. сб., 1945, 17(59), с. 12-27).

153. Лузин Н.Н. Исследование уравнений изгибания поверхностей на главном основании, (цикл работ), Собр. соч. т. 3, Изд-во АН СССР, М.: 1959, с. 11-120.

154. Лузин Н.Н. К изучению матричной теории дифференциальных уравнений. Автом. и телемех., 1940, 5, 3-66.

155. Лукьянов Л.Г. Об уравнениях движения задачи двух тел с переменными массамми. Вестник МГУ. Физ. Астрон., 1983, т. 24, N 1,62-66.

156. Лукьянов Л.Г. Об уравнениях движения задачи многих тел с переменными массами. Астрон. Ж., 1983, т. 60, N 1, с. 181-184.

157. Лэм Г.Л. Введение в теорию солитонов. М.: Мир, 1983. (перевод с английского: Lamb G.L.,Jr. Elements of soliton theory. University of Arizona, 1980, John Willej & Sons, N.Y.- Chichester-Brisbane-Toronto).

158. Ляпунов A.M. Об одном вопросе, касающемся линейных дифференциальных уравнений второго порядка с периодическими коэффициентами. Ляпунов А.М. Собр. соч., т. 2, АН СССР, М.-Л., 1956, с. 332-386.

159. Макейчев В.А. О получении критериальных функций для линейных и некоторых нелинейных систем 2-го порядка. Тр. МЭИ, 1974, вып. 182, 8-10.

160. Манжаловский В.ГГ. К интегрированию некоторых однородных дифференциальных уравнений второго порядка с переменным коэффициентом в специальных функциях. Харьков, 1959.

161. Марков И. Теореми за преобразуване на някои класи обикновени нели-нейни диферещиалниуравнения от II и III ред. Научни труды, Плов-дивски университет, 1974, т. 12, кн. 1, Математика, с. 71-76.

162. Марри Дж. Нелинейные дифференциальные уравнения в биологии. Лекции о моделях. М.: Мир, 1983. - 397 с. Перевод с англ. Murray J.D. Lectures on nonlinear differential equation. Models in biology, Oxford, 1977.

163. Марченко В.А. Периодическая задача Кортевега-де Фриза. Математический сборник, 1975, т. 95, N 3, с. 331-356.

164. Маслов В.П. Операторные методы. М.: Наука, 1973.

165. Маслов В.П., Данилов В.Г., Волосов К.А. Математическое моделирование процессов тепло- и массопереноса. М.: Наука, 1987.

166. Маслов В.П., Данилов В.Г., Волосов К.А. Прямые методы построения точных решений полулинейных параболических уравнений. (Приложение к работе 177], с. 177-209).

167. Маслов В.П., Колокольцов В.Н. Идемпотентный анализ и его применение в оптимальном управлении. М.: ФИМЛ, 1994.

168. Мещерский И.В. Работы по механике тел переменной массы. М.-Л., 1949, с. 31-182.

169. Минглибаев М.Д., Омаров Т.Е. К нестационарным модельным задачам небесной механики. Динамическая эволюция звездных систем, 1984, Труды АФИ АН Казах. ССР, т. 43, с. 3-11.

170. Митринович Д.С. Поступок за формираще критерщума интеграби-литета линеарных дифференцщалных едначина. Годшшш зб. Филоз. фак. Ун. Скощ'е. Прир. Мат. Отдел. 1949, Кн. 2, N 2, с. 209-246.

171. Михайлов Г.К. Становление динамики систем с переменными массами. Исследования по истории физики и механики., 1985, М.: Наука, (с. 240).

172. Мордухай-Болтовской Д. Об интегрировании в конечном виде линейных дифференциальных уравнений. Варшава, 1910.

173. Навалихин П. Аналогии линейных дифференциальных уравнений с. обыкновенными алгебраическими, 22 февраля 1869 г. (Рукопись; хранится в фондах Самарской областной научной библиотеки).

174. Нейман Ф. Инварианты линейных дифференциальных уравнений третьего порядка и метод подвижного репера Э. Картона. Дифферент уравнения, 1979, т. 15, N 3, с. 398-404.

175. Новиков С.П. Периодическая задача для уравнения Кортевега-де Фриза. 1. Функц. Анализ и Прил., 1974, т. 8, N 3, с. 54-66.

176. Обухов A.M. Структура и вопросы моделирования квадратично-нелинейных систем. Вестник МГУ, сер. физ. и астрон., 1978, т. 19, N4, с. 109-116.

177. Обухов A.M. Течение Колмогорова и его лабораторное моделирование. Успехи Мат-Наук, 1983, 38, N 4, с. 101-111.

178. Обухов A.M. Турбулентность и динамика атмосферы. Ленинград.: Гидрометеоиздат, 1988.

179. Овсянников Л.В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1978.

180. Оден Мишель. Вращающиеся волчки: курс интегрируемых систем. Редакция журнала "Регулярная и хаотическая динамика", Изд. Дом Удмуртский Университет, 1999.

181. Олвер П. Приложение групп Ли к дифференциальным уравнениям. М.: Мир, 1989. Перевод с англ.: Olver Peter J. Applications of Lie groups to differential equations. Springer-Verlag, N.Y., Berlin, Heidelberg, Tokyo, 1986.

182. Олвер Ф. Асимптотика и специальные функции. М.: Наука, 1990. Перевод с англ.: Olver F.WJ. Asyrtiptotics and special functions.- N.Y., London, Academic Press, 1974.

183. Олейник О.А., Вентцель Т.Д. Задача Коши и первая краевая задача для квазилинейных уравнений параболического типа. Докл. АН СССР, 1954, т. 97, N 4, с. 605-608.

184. Олейник О.А., Калашников А.С., Чжоу-Юй-Линь. Задача Коши и краевые задачи для уравнений типа нестационарной фильтрации. Изв. АН СССР, сер., мат., 1958, т. 22, N 5, с. 667.

185. Омаров Т.Б. Динамика гравитирующих систем метагалактики. Алма-Ата.: Наука, 1975.

186. Орлова И.С. Об одном методе точной линеаризации нелинейных дифференциальных уравнений пятого и шестого порядков. Вестник Самарского универ., 2000, N 4(18), с. 35-48.

187. Пановко Я.Г., Губанова И.И. Устойчивость и колебания упругих систем. М.: Наука, 1967 (2-е изд., с. 318-319); 1979 (3-е изд., с. 311312); 1987 (4-е изд., с. 280-281).

188. Пе]овиЬ Тадиуа. Диференцщалне]едначине, Београд, 1967.

189. Попов Б.С. Формиранье критериуме за редуктибилност на некой классе линеарни дифферещщални равенки. Годишен зб. филоз. фак. Ун. CKonje, прир. мат. отдел, 1952, кн. 5, N 2, с. 3-68.

190. Радзиевский В.В. Проблемы фотогравитационной небесной механики. Небесная механика излучающих тел. Доктор, дис. Гос. Астрон. Обсерв., Ленинград, 1954.

191. Радзиевский В.В., Гельфгат Б.Е. Об ограниченной задаче двух тел переменной массы. Астрон. Ж., 1957, т. 34, вып. 4, с. 581-587.

192. Разбитная Е.П. Задача двух тел с переменными массами. Классификация различных случаев. Астрон. Ж., 1985, т. 62, N 6, с. 1175-1181.

193. Режимы с обострением. Эволюция идеи.- М.: Наука, 1999.

194. Савченко Р.Г., Варламов Р.Г. Анализ подобия. М.: Сов. Радио, 1971.

195. Самарский А.А., Галактионов В.А., Курдюмов СЛ., Михайлов А.П. Режимы с обострением в задачах для квазилинейных параболических уравнений. М.: Наука, 1987.

196. Самарский А.А., Змитренко Н.В., Курдюмов С.П., Михайлов А.П. Тепловые структуры и фундаментальная длина в среде с нелинейной теплопроводностью и объемными источниками тепла. Докл. АН СССР, 1976, т. 227, N 2, с. 321-324.

197. Сансоне Дж. Обыкновенные дифференциальные уравнения, т. 1, -М.: ИИ Л, 1953. Перевод с итал.: Sansone G. Equazioni dijferenziali nel campo reale, Parte Prima, Secomda Edizione, Bologna, 1948.

198. Сансоне Дж. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Т. 2, М.: ИИЛ, 1954. Перевод с итал.: Sansone G. Equazioni dijferenziali nel campo reale, Parte Prima, Secomda Edizione, Bologna, 1949.

199. Свирежев Ю.М. Нелинейные волны, диссипативные структуры и катастрофы в экологии. М.: Наука, 1987.

200. Свирежев Ю.М., Гагаури А.А., Разжевайкин В.Н. Волны в экологии. Нелинейные волны. Самоорганизация. М.: Наука, 1983. с. 3246.

201. Семенов Н.Н. Цепные реакции. М.: Наука, 1987.

202. Сибирский К.С. Алгебраические инварианты дифференциальных уравнений и матриц. Кишинев.: Штиинца, 1976.

203. Сибирский К.С. Введение в алгебраическую теорию инвариантов дифференциальных уравнений. Кишинев.:Штиинца, 1982.

204. Склянский А.Л. Зведения язагальпеног задач! п ты гз змшними маса-ми до eidnoeidnoi задачг гз зг сталними масами. Доповиди АН УРСР, 1969, А., N7.

205. Скоробогатьио В .Я. Исследование по качественной теории уравнений с частными производными. Львов, 1961, Гл.4.

206. Скотт Э. Волны в активных и нелинейных средах в приложении к электронике. М.: Сов. Радио, 1977. Перевод с англ.: Scott Alwin. Active and nonlinear wave propagation in electronic, New York, 1970.

207. Сохов Т.З. Решение некоторых типов нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений. Уч. зап. Кабардино-Балкарского гос. ун., 1963, вып.1, с. 381-382.

208. Уиттекер У.Т. .Аналитическая динамика. М.-Л., ГИТТЛ, 1937. Перевод с англ.: Whittaker Е.Т. A treatise on the analytical dynamics of particles and rigid bodies with an introduction to the problem of 3 bodies. 3 ed. Cambridge University press, 1927.

209. Улитин B.B. Итерационные алгоритмы решения краевых задач механики на ЭВМ. Изд-во С.-Петербург, ун., 1991.

210. Фрёман Н. Фрёман П.У. ВКБ-приближение. М.: Мир, 1967. Перевод с англ.: Froman N., Froman P.O. JWKB approximation. Contribution to the theory. North-Holland Publishing Company, Amsterdam, 1965.

211. Фущич В.Й., Жданов Р.З. Нелинейные спинорные уравнения: симметрии и точные решения.- Киев: Наукова Думка, 1992.

212. Хирота Р. Прямые методы в теории солитонов. Сб. "Солитоны", Ред. Р.Буллаф, Ф.Кодри (перевод с английского под ред. С.П.Новикова, Москва: Мир, 1983, с. 175-192).

213. Цирулик В.Г. О факторизуемости и интегрируемости некоторых классов линейных функционально-дифференциальных уравненийканд. дис.). Таганрогский радиотехнический институт, Таганрог, 1983.

214. Чаплыгин С.А. К теории движения неголомных систем. Теорема о приводящем множителе.- Избран, труды. М.: Наука, 1976, с. 367384.

215. Чебышев П.Л. Об интегрировании иррациональных дифференциалов. (см. Полное собрание соч., 1947, т. 2, п. 7, с. 66).

216. Шрёдингер Э. Избранные труды по квантовой механике. М.: Наука, 1976.

217. Штаерман И.Я. Применение одного элементарного метода интегрирования в теории устойчивости и в теории колебаний. Вкти Кшвского политех, инст., Кшв, 1929, кн. 2-3, с. 142-146.

218. Штифель Е., Шейфеле Г. Линейная и регулярная небесная механика. М.: Наука, 1975 - 303 с. Перевод с агнгл.: Stiefel E.L., Scheifele G. Linear and regular celestial mechanics. Berlin, 1971.

219. Эрдейи А. Асимптотические разложения. M.: Физматгиз. 1962 -127 с. Перевод с англ.: Erdelyi A. Asymptotic expansions.

220. Яковенко Г.Н. Принцип суперпозиций для нелинейных систем: Софус Ли и другие. Московск. физ.-техн. ин-т, Москва, 1997.

221. Якубович В. А. Вопросы устойчивости решений системы двух линейных уравнений канонического вида с периодическими коэффициентами. Матем. сб., 1955, т. 37, N 1.

222. Ярский А.С. О разрешимости в обобщенных квадратурах линейных дифференциальных уравнений второго порядка. Исслед. по теории диф. уравн. Сб. науч. тр. автодорожного ин-та, М., 1986, с. 80-96.

223. Яхно В.Г. Автоволновые процессы в одномерных релаксационных системах. Автоволновые процессы в системах с диффузией, ИПФ АН СССР, 1981, с. 46-77.

224. Abdelkader М. Exact solutions of the system of Lotka-Volterra. Math. Biosci., 1974, 20, N 3-4, p. 293-297.

225. Ablowitz M.J., and Zeppetella A. Explicit solutions of Fisher's equation for a special wave speed. Bull. Math. Biol., 1979, 41, p. 835-840.

226. Abraham-Shrauner В., Guo Ann. Hidden symmetries associated with the projective group ofnonlinear first order ordinary differential equations j- J. Phys. A: Math. Gen., 1992, 25, p. 5597-5608.

227. Arnold V. Ann. Inst Fourier de l'Univ. Grenoble, 1966, 14, fasc. 1.

228. Aronson D.G., Weinberger H.F. Multidimensional nonlinear diffusion arising in population genetics. Adv. in Math., 1978,30, p.*33-76.

229. Athorne С. Geometry of Ermakov systems. Nonlinear Evolution Equations and Dynamical Systems (NEEDS'90), Proceedings of the 6th International Workshop, 16-26 July 1990, Dubna, USSR, p. 100-103.

230. Athorne C. Stability and periodicity in coupled Pinney equations. Dep. of Math. Gardens. Glasgow Univ. Preprint, 1989, 89/70.

231. Athorne C. On a subclasse of Ince equations J. Phys. A: Math. Gen., 1990, N 23, L137-L139.

232. Athorne C. Polyedral Ermakov Systems. Dep. of Math. Gardens. Glasgow Univ. Preprint, 1990, 90/37.

233. Athorne C. Rational Ermakov systems of Fuchsian type. Dep. of Math. Gardens. Glasgow Univ. Preprint, 1991, N91/41.

234. Atkinson C., Reuter G.E.H., Ridler-Rowe C.J. Travelling wave solutions for some nonlinear diffusion equations. SI AM J. Math. Anal., 1981,12, p. 880-892.

235. Berkovich L.M. Gylden-Meshcherskii problem. Celestial Mechanics, 1981,24, p. 407-429.

236. Berkovich L.M. Canonical forms of ordinary linear differential equations. Arch.Math. (Brno), 1988, vol. 24, N 1, p. 25-42.

237. Berkovich L.M. Direct methods of finding exact invariant solutions of Kolmogorov-Petrovsky-Piskunov equation.and some other nonlinear heat and diffusion equations. Lie groups and their applications, 1994, vol. 1, N 1, p. 27-37.

238. Berkovich L.M. The generalized Emden-Fowler Equation. Symmetry in Nonlinear Mathematical Physics, 1997, v. 1, p. 155-163.

239. Berkovich L.M. Factorization of nonlinear ordinary differential equations and linearization. Intern. Congress Mathematicians, Berlin, Aug. 18-27, 1998, Abstracts of Plenary and Invited Lectures, Berlin, 1998,48-49.

240. Berkovich L.M. The method of factorization and the differential resultants for linear and nonlinear differential operators. Intern. Conf. Differ, and Funct. equations, 1999, August 16-21, Moscow, p. 14-16.

241. Berkovich L.M. Canonical forms of ordinary differential equations of order N with power nonlinearity. Proceedings of Intern, scientific conf. on mathematics, Oct. 21-23,1999, Herlany, Slovac Rep., Tehn. University in Kosice, 2000, p. 31-34.

242. Berkovich L.M. Transformations of ordinary differential equations: local and nonlocal symmetries. Proceedings of Institute of Mathematics ofNAS Ukraine, Kyiv, 2000, Vol. 30, Part. 1, 25-34.

243. Berkovich L.M. Integrable dynamical systems: new classes. 6th IMACS international conference on applications of computer algebra, IMACS АСА 2000, June, 25-28, 2000, Abstracts, St. Petersburg, Russia, p. 41.

244. Berkovich L.M. Classification of n-th order ordinary differential equations with power nonlinearity. Сб. "Актуальные проблемы математики. Математические методы в естествознании.", Уфа, 2001 (в печати).

245. Berkovich L.M. On a method of exact linearization ordinary differential equations and on a new class of higher order nonlinear evolutionary equations. Arbeiistagung 200 i, preprint MPI 01-50, Bonn, 9p.

246. Berkovich L.M. On methods of factorization and exact linearization for ordinary differential equations. Progress in nonlinear science, Intern, conference dedicated to 100-th Anniversary of A.A. Andronov. Nizhny Novgorod, Russia, My 2-6,2001, p. 30-31.

247. Berkovich L.M. The integration of ordinary differential equations: factorization and transformations. Mathematics and Computers in Simulations, vol. 57/3-5, p. 175-195,2001.

248. Berkovich L.M., Berkovich EL. Transformation and factorization of second order linear ordinary differential equations and its implementationin REDUCE. Univ. Beograd, Publ. Elektrotehn. Fak. Ser. Mat. 6 (1995), 11-24.

249. Berkovich L.M., Nechaevsky M.L. Dynamical systems: transformations, invariants, symmetries. Proc. of XI IntConf. on Nonlinear Oscil., Janos Bolyai Math. Soc., Budapest, 1987, p. 259-262.

250. Berkovich L.M., Orlova I.S. Linearization of second and third orders nonlinear ordinary differential equations. Proceedings of Intern, scientific conf. on mathematics, Oct. 21-23, 1999, Herlany, Slovac Rep., Tehn. University in Kosice, 2000, p. 35-38.

251. Berkovich L.M., Orlova I.S. The exact linearization of some classes of ordinary differential equations. Proceedings of Institute of Mathematics of NAS Ukraine, Kyiv, 2000, vol. 30, Part. 1, p. 90-98.

252. Berkovich L.M., Orlova I.S. Point and nonpoint transformations of nonlinear ordinary differential equations. MOGRAN 2000, Modern Group Analysis for the new millenium, Proc. of the Int. conf., p. 32-36, Ufa, 2001.

253. Berkovich L.M., Popov S. Yu. Group analysis of ordinary differential equations of the order n > 2. Symmetry in Nonlinear Math. Physics, 1997, v.l, p. 164-171.

254. Berkovich L.M., Rozov N.H. Transformations of linear differential . equations of second order and adjointed nonlinear equations. Archivummath., t. 33, 1997/1-2, p. 75-98.

255. Bluman G.W., Kumei S. Symmetries and differential equations. N.-Y., Springer-Verlag, 1989.

256. Boruvka O. Lineare Differentialtransformationen 2-Ordnung. Berlin, 1967.

257. Bramson M. Convergence of solutions of the Kolmogorov equation to travelling waves. Mem. AMS, 1983, N 285, 190 p.

258. Brassinne E.-J. Analogic des equations differentielles lineaires a coefficients variables avec les equations algebriques. Ch. F. Sturm. Cours d'Analyse, 9-ed. Paris, 1888, t. 2, Note 3, p. 345-361.

259. Breuer Sh., Gottlieb D. The reduction of linear ordinary differential equations to equations with constants coefficients. J. Math. Anal. Appl., 1970,32, N 1, 62-76.

260. Brioshi F. Les invariants des equations differentielles lineaires. Acta Math. 1890-91, t. 14, p. 233-248.

261. Brioshi F. Sur les equations differentielles lineaires. Bulletin de la Soc. math; de France, 1879, t. 7, p. 105-108.

262. Bruno A.D. Power geometry in algebraic and differential equations. 2000, Elsevier, Amsterdam.

263. Boole G. A treatise on differential equations. 5 ed. N.-Y., 1959.

264. Boussinesq" . Corns d'Analyse. t. 1, fasc.II, p. 85, fails 18&?.

265. Boussinesq -j. Applications des potentiels, p. 562., ?CVbii/

266. Burchnall J.L.,Chaundy T.W. Commutative ordinary differential operators Proceedings of the London Mathematical Society, 1923, v. 21, p. 42Q-44Q.

267. Canosa J. Diffusion in Nonlinear Multiplicative Media. J. Math. Phys., 1969,10, N 10, p. 1862-1868.

268. Carra'-Ferro G. The Differential Resultant of Linear Algebraic Partial Differential Equations. Lie Groups and their Applications 1, 1994, p. 47-55.

269. Cayley A. On linear differential equations (The theory of decomposition). Quarterly J. of Math., 1886, p. 331-335.

270. Chazy J. Sur les equations differentielles du troisieme ordre et d'ordre superieur dont I 'integrate a ses points critiques fixes. Acta Math., 1911, vol. 34, p. 317-385.

271. Darboux G. Sur une proposition relative aux equations lineaires. C.R. Acad. Sci., 1882, Paris, t. 94, p. 1456-1459.

272. Dasarathy B.V., Srinivasan P. Class of nonlinear third-order systems reducible to equivalent linear systems. AIAA J., 1968, 6, N 7, p. 14001402.

273. Dasarathy B.V., Srinivasan P. Study of a class of nonlinear systems. AIAA Journal, 1968, vol. 6, N 4, p. 736-737.

274. Dirac P.A.M. The cosmological constants. Nature, 1937, vol. 139, N 3512, p. 323.

275. Dommanget J. Recherches sur devolution des etoiles, par voie statistique et par application de la mecanique des masses variables. Ann. Observ. roy. Belg., 1963,9, N 5, p. 213-304 (ser. 3, These).

276. Douboshino G.N. Some remarks on the generalized many body problem. Gelestial Mechanics, 1972, 5, p. 67-79.

277. Douboshii?" G.N. Sur les solutions Lagrangiennes du probleme des trois corps solides avec la loi de Weber. Celestial Mechanics, 1974, 9, p. 451-463.

278. Eddington A.S. On the relation between the masses and luminosities of the stars. Month. Not Roy. Astron. Soc., 1923, vol. 84, N 5, p. 308-332.

279. Englar Hans. Relations between travelling wave solutions of quasilinear parabolic equations. Proc., of the AMS, 1985, 93, N 2, p. 297-302.

280. Euleri Leonhardi. Methodus nova investigandi omnes casus quibus hans aequationem differentio-dijferentialen дду( 1 — axx) — Ьхдхду—судх2 ~ = 0. M.S.Academiae exhibit aie 13 Ianuarii 1780 Institutiones calculi integralis 4, 1794, P. 533-543.

281. Euler N. Transformation properties of x + fi(t}x + -f- /3 (t)xn — = 0, Lulea University of Technology, Department of Mathematics, Reseacn Report I, January 1997.

282. Euler N., Steeb W.-H., Curus K. On exact solution for damped anharmonic oscillators. J. Phys. A: Math. Gen., 1989,22, L195-L199.

283. Fayet J. Invariants de quelques equations dijferentielles et reduction du celle-ci a des equations a coefficients constants. These, Paris, 1937,81 p.

284. Fayet J. Sur la reduction des equations dijferentielles lineaires et homogenes a des equations a coefficients constants. Comptes Rendus, Paris, 1937, t. 204, N 9, p. 650-692.

285. File P.C. Asymptotic states for equations of reaction and diffusion. Bull. AMS, 1978, 84, N 5, p. 693-726.

286. File P.C. Mathematical aspects of reacting and diffusing systems. Berlin, Springer, 1979.

287. Fisher R.A. The wave of advance of advantageous genes. Annals of Eugenics, 1937, 7, p. 355-369. 1

288. Floquet G. Sur la theorie des equations dijferentielles lineaires. Ann. Sci. de l'Ec. Norm., 1879, t. 8., Supplement. 2 ser. p. 132.

289. Forsyth A.R. Invariants, covariants and quotient-derivatives associated with linear differential equations. Phylosophycal Trans, of the Royal Society of London, 1889, A, t. 179, p. 377-489.

290. Frobenius G. Uber den Begriff der Irreductibilitat der Theorie linearen Differentialgleichungen. J. Reine Angew. Math., 1873, vol. 76, s. 236270.

291. Gambier B. Sur les equations dijferentielles du second ordre et du premier degre dont I 'integrate generate est a points critiques fixes. These, Paris (1909); Acta Math., 33 (1910), p. 1-55.

292. Gardner C.S., Greene J.M., Kruskal M.D., Miura R.M. A method for solving the Korteweg-de Vries equation. Physical Rews Letters, 1967, t. 19, p. 1095-1097.

293. Govinder K.S., Athome C., and Leach P.G.L. The algebraic structure of generalized Ermakov systems in three dimensions. J. Phys. A: Math. Gen., 1993, 26, p. 4035-4046.

294. Grammatikos В., Moulin-Ollagnier J., Ramani A., Strelcyn J.-M., Wojciechowski S. Integrals of quadratic ordinary differential equations in R3: The Lotka-Volterra system. Physica A, 163,1990, p. 683-722.

295. Gregus М. Linearna differencialna rovnica tretieho radu. Veda. Bratislava, 1981.

296. Gylden H. Die bahnbewegungen in einem systeme von zwei korpern in dem fall, das die massen veranderungen unterworfen sind. Astron. Nachr., 1884,109, p. 2593-2594.

297. Hadjidemetriou J. Secular variation of mass of binary systems. Advances in Astronomy and Astrophysics, N.Y.-London, Acad. Press, 1967, p. 131-188.

298. Halphen G.H. Memoire sur la reduction des equations lineaires differentielles aux formes integrables. Memoires presentes par divers savants а Г Acad. des. Sci. de Finst. mat. de France, 1884, T. 23, N 1, 301 p.

299. Halphen G.H. Sur les invariants des equations differentielles lineaires du quatrieme ordre. Acta Math. 3 (1883/1884), p. 325-380.

300. Halphen G.H. Sur une classe des equations differentielles lineaires. Comptes Rendus, Paris, 1881, t. 92, p. 779.

301. Hamel G. Lineare Differentialgleichungen mit periodishen Koeffi-zienten. Math. Ann., 1913, Bd. 73, s. 381.

302. Heading J. Transformations between second order linear differential equations. Proc. Roy. Edinburg, 1977, A 79, N 1-2, p. 87-105.

303. Hille E. A note on quadratic systems. Proc. Roy. Soc. Edinburgh, 1979, A 72, N 1, p. 17-37.

304. Husty Z. Die Iteration homogenen linearer Differentialgleichungen. Publ. Fac. Sci. Univ. J.E. Purkyne (Brno), 1964, vol. 449, p. 23-56.

305. Ibragimov N.H. Introduction to modern group analysis. Tau, Ufa, 2000.

306. Inselberg A. Phase-plane solutions of Langmuir's equation. J. Math. Anal, and Applic. 1969, vol. 26, N 2, p. 438-446.

307. Iwinsky T. The generalized eguations of Riccati and their applications to the theory of linear differential eguations. Rozprawy matematyczne. XIII, 1961. 50 p., Warszawa, 1961.

308. Janet M. Sur les systems d'equations aux derives partielles. J.Math., 1920, vol. 3, p. 65-151.

309. Jeans J.H. Cosmogonic problems associated with a secular decrease of mass. Monthly Notices Roy. Astron. Soc., 1924, vol. 85, N 1, p.2 .

310. Kakeya S. On linear differential Equation which admits a linear Differential Transformation. Proc. Phys. Math. Soc. Japan, 1938, 20, N 4, p. 365.

311. Koenigsberger L. Allgemeine Untersuchungen aus der Theorie der Differentialgleichungen. Leipzig, 1882.

312. Korteweg DJ., de Vries G. On the change of form of long waves advancing in rectangular canal and a new type of long stationary waves. Philos. Magazine and Journal of Science. Series 5, vol. 39, N 241, 1895, p. 422-443.

313. Krall A.M. Self-adjoint differential expressions ofodd order. Amer. Math. Monthly, vol. 73, N 4, 1966, p. 61-62.

314. Krall H.L. Self-adjoint differential expressions. Amer. Math. Monthly, vol. 67, N 9, 1960, p. 876-878.

315. Kolchin E.R. Differehtial algebra ahd algebraic groups. N. Y-, 1973.

316. Kovacic J. A Eisenstein criterion for noncommutative polynomials. Proc. Amer. Math. Soc., 1972, vol. 34, N 1, p. 25-29.

317. Kovacic J.J. An algorithm for solving second order linear homogeneous differential eguations. J. Symb. Сотр. 1986, vol. 2, p. 3-43.

318. Kummer C.C. De generali quadam aequatione differentiali terti ordinus. Abdruck aus dem Program des evangelischen Konigl und Stadt-gymnasiums in Liegnitz von Jahre. 1834; (перепечатка: J. Reine Angew. Math. 1887, vol. 100, p. 1-9).

319. Laguerre E. Sur les equations differentielles lineaires du troisieme ordre. Comptes Rendus, Paris, 1879, t. 88, p. 116-118.

320. Landau E. Ein Satz iiber die Zerlegung homogener linearer Differen-tialausdrucke in irreducible Factoren. J. Reine Angew. Math., 1902, t. 124, s. 115-120.

321. Langmuir J., Blodgett K.B. Current limited by space change between coaxial cylinders. Phys. Review, vol. 22, p. 347-356, 1923.

322. Leach P G L. Solution of the generalized Emden-Fowler equation and related equations. "Современ. групповой анализ и задачи матем. мо-дел.", Труды XI Рос. кол., Самара, 7-11 июня 1993, с. 92-103.

323. Lemmer R.L. and Leach P.G.L. The Painleve test, hidden symmetries and the equation y" + yy' + ky3 = 0. J. Phys. A; Math. Gen., 1993, vol. 26, p. 5017-5024.

324. Levi-Civita T. Sur la resolution qualitative du probleme restreint des trois corps. Acta Math,, 1906, vol. 30, p. 305-327.

325. Levi-Civita T. Sid moto di in corpo di mass a variable. Rend. Accad. naz. Lincei. CI. Sci. fis. mat, 1928, t. 8, fasc. 9, p. 329-333. Opera mat. 1960, t. 4, p. 595-600.

326. Lewis H.R., Jr. Class of exact invariants for classical and quantum time-dependent harmonic oscillators. J. Math. Phys., 1968, vol. 9, N 11, p. 1976-1986.

327. Libri G. Sur des rapports gui existens entre la theorie des equations lineaires aux differentielles et awe differences. J. Math. Pures AppL, 1836, t. l,p. 10-13.

328. Lie S., ShefFers G. Vorlesungen Uber Differentialgleichungen mit bekannlen infinitesirnalen tranfarmationen. Leipzig, 1891.

329. Lie S, Vorlesungen uber continuirliche gruppen mit geometrishen und anderen anwendungen. Bearbeitet and herausgegeben von Dr. G.Schef-fers, Teubner, Leipzig, 1893.

330. Lie S., Engel F, Theorie der Transformationgruppe. Teubner, Leipzig, 1930.

331. Liouville J. Memoire sur I'integration d'une classe d'eguations differentielles du second ordre en guantites finies explicites. J. Math. Pures Appl., 1839, t. 4, p. 423^56.

332. Liouville J. Remargues nouvelles sur I'eguation de Riccati. J. Math. Pures. Appl., 1841, t. 6, p. 1-13.

333. Liouville J. (Besge M.) Sur I 'equation Щ =-—-—.dxz (a + 2bx + car ^J. Math. Pures. Appl., I serie, 1844, N 9, p. 336.

334. Liouville J. Memoire sur I'integration des equations differentielles du mouvement d'un nombre quelconque des points materieles. J. Math, pures et appl., 1849, vol. 14, p. 257-299.

335. Liouville R. Sur les invariants des certaines equations differentielles поп lineaires. Journal de I'ecole Polytechnique, 1887,57me cahier, p. 189-250; 1889,59me cahier, p.7.

336. Litvinov G.L., Maslov V.P. Correspondence principle for idempotent calculus and some computer applications. In J.Gunowardence (editor'). Idempoteney.- Publ. of the Newton Institute, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1998, p. 420-443.

337. Lutzky M. An application of Ray-Reid invariants. J. Math. Phys., 1980, N21(6), p. 1370-1371.

338. Lutzky М. Generalized Ray-Reid systems. Phys. Let. 1980, vol. 78 A, N 4, p. 301-303.

339. Lychagin V.V. Lectures on geometry of differential. Roma, 1992.

340. Magid A.R. Lectures on Differential Galois Theory. AMS, 1994.

341. Magiros D.G. Linearization of non-linear models of the pheno-mens. General electric company. Philadelphia, "Pd. U.S.A., 1976.

342. Mahomed F.M. and Leach P.G.L. Lie algebras associated with scalar second-order ordinary differential equations. J. Math. Phys., 1989,30, N 12, p. 2770-2777.

343. Mammana G. Decomposizione delle expressioni differenziali lineari omogenee improdotti difattori simbolici e applicazione relativa alio studio delle eguazione differenziali lineari. Math. Zeit., 1931, vol. 33, p. 186231.

344. Mc Kean H.R. Application of Brown Motion to the equation of the Kolmogorov-Petrovsky-Piskunov. Commun. Pure appl. Math., 1975, vol. 28, p. 323-331.

345. Meshchersky J. Ein special fall des Gylden 'schen problems. Astron. Nachr., 1893, t. 132, N 3153, s. 129-130.

346. Mitrinovich D.S. Sur un cas de reducibilite d'eguations differentielles lineaires. Comptes Rendus, Paris, 1950, vol. 230, p. 1130-1132.

347. Mittag-Leffler G. Sur I'integration de I'equation differentielle y" = = Ay3 + By2 + Cy + D + (Ey + f)y'. Acta math, 1894, vol. 18, p. 233-246.

348. Miura R.M. Kortweg-de Vries equation and generalizations. A remarcable explicit nonlinear transformations. J. Math. Phys., 1968, vol. 9, N 8, p. 1202-1203.

349. Nechvile V. Sur une nouvelle forme d equations differentielles du probleme restreint elliptique. Comptes Rendus, Paris, 1926, 182.

350. Neuman F. Global properties of linear differential equations. Kluwer Acad. Publ. Academia. Dordrecht-Boston-London-Praha, 1991.

351. Neuman W.L Some exact solutions to a non-linear diffusion problem in population genetics and combustion. J. Theoret. Biol., 1980, 85, N 2, p. 325-334.

352. Ni{a M.M. Teoria zborului spatial. Bucure§ti, Ed. Acad. rep. soc. Romania, 1973.

353. Oh'miya Mayumi. On the Darboux Transformation of Second Order Ordinary Differential Operator. Proc. Japan. Acad., 1988, 64, Ser. A, N 9, p. 327-330.

354. Ore O. Formale Theorie der Linearen Differentialgleichungen. J. Reine Angew. Math., 1932, vol. 167, s. 221-234.

355. Painleve P. Lemons sur la theorie analytique des equations differentielles, professes a Stokholm, Paris, 1897.

356. Painleve P. Sur les equations differentielles du second ordre et d'ordre superieure dont I'integrate generale est uniforme. Acta Math. 1902, vol. 25, p. 1-85.

357. Painleve P. Memoire sur les equations differentielles dont I 'integrate generate est uniforme. Bull. Soc. Math. France, 1900, vol. 28, p. 201 -261.

358. Painleve P. Sur les equations differentielles du second ordre a points critiques fixes, C.R. Acad. Sc. Paris, vol. 143, 1906, 1111-1117.

359. Perelomov A.M. The simple relation between certain dynamical systems. Comm. Math. Phys., 1987, t. 63, p. 9-11.

360. Polya E. On the mean-value theorem corresponding to a given linear homogeneous differential equation. Trans. Amer. Math. Soc., 1922, p. 322-324.

361. Picard E. Analogies entre les eguations differentielles lineaires et les eguations algebriques. Traite d'Analyze, t. 3, 1928, 524—599.

362. Pinney E. The nonlinear differential equation y"-\-p(t)y+cy~3 = 0. Proc. Amer. Math. Soc., 1950, t. 1, p. 581.

363. Rainville E. Adjoints of linear differential operators. Amer.Math. Monthly, 1939, vol. 46, N 10, p. 623-627.

364. Ray J.R. N-dimensional nonlinear systems with invariants. Adv. Nonlinear Waves, vol. 1.

365. Ray J.R. Nonlinear superposition law for generalized Ermakov systems. Phys. Lett. 1980, vol. 78 A, N 1, p. 4-6.

366. Ray J.R., Reid J.L. More exact invariants for the time dependent harmonic oscillator. Phys. Lett. A 71 (1979), p. 317-319.

367. Ray J.R., Reid J.L. Ermakov systems, Noether's theorem and Sarlet-Bahar method. Lett.Math.Phys., 1980,4, N 3, p. 235-340.

368. Reid J.L., Ray J.R. Ermakov systems, Nonlinear superposition and solutions of nonlinear equation of motion. J. Math. Phys., 1980, N 21 (7), July, p. 1583-1587.

369. Rhem H.P. Galois groups and elementary solutions of some linear differential eguations. J. reine und angew. Math., 1979, t. 307-308, p. 1-7.

370. Riquier C.H. Les systems d 'equations aux derives partielles. Gauthier-Villars, Paris, 1910.

371. Saari D.G. On Newtonian cosmology with a varying gravitational constant. Celestial Mechanics, 1977, vol. 16, N 4, p. 391-406.

372. Sarlet W., Bahar L. A direct construction of first integrals for certain non-linear dynamical systems. Int. J. Non-linear Mech., 1980, 15, N 2, p. 133-146.

373. Sarlet W., Mahomed F.M., Leach P.G.L. Symmetries of non-linear differential equations and linearisation. J. Phys. A: Math. Gen., 1987,20, p. 277-292.

374. Sarlet W., Prince G.E., Grampin M. Adjoint symmetries for time-dependent second-order equations. J. Phys. A: Math. Gen., 1990, p. 1335-1347.

375. Schlesinger L. Handbuch der Theorie der Linearen Differentialgleichungen, 1-П1, Teubner, Leipzig, 1895-1898. (перепечатка: Johnson Reprint Corporation in 1968).

376. Schneider S., Winternitz P. Classification of systems of nonlinear ordinary differential equations with superposition principles. J. Math. Phys. 1984, vol. 25, N 11, p. 3155-3165.

377. Schwarz F. A factorization Algorithm for Linear Ordinary Differential Equations. Proceedings of the ACM-SIGSAM 1989. International Symposium on Symbolic and Algebraic Computation ISSAC'89, Portland, Oregon, ACM Press, 1989.

378. Se-Ashi Yutaka. On differential invariants of integrable finite type linear differential equations. Hokkaido Math. J., 1988, vol. 17.N2,p. 151-195.

379. Sherring J., Prince G. Geometric aspects of reduction of order. Transactions of the AMS, 1992, vol. 334, N 1, p. 433-453.

380. Singer M.F. Solving homogeneous linear differential eguations in terms of second order linear differential equations. Amer. J. Math., 1985, t 107, N. 3, p. 663-696.

381. Stackel P. Uber transfarmationen von differentialgleichungen. J. Reine Angew. Math, 1893, t. Ill, p. 290-302.

382. Stephani H. Differential equations. Their solutions using symmetries. (Ed. Malcolm Maccallum), Cambridge University Press, Cambridge, 1989.

383. Sundman K.E. Memoire sur le probleme des trois corps. Acta Math., 1912, vol. 36, p. 105-179.

384. Thomson W. Mechanical integration of the general linear differential eqution ofany order with variable coefficients. Proc. of the Royal Society, 1876,24, p. 271-275.

385. Tisserand F. Traite de la Mechanique Celeste, I-IV, Paris, 1896.

386. Tresse A. Determination des invariants ponctuels de I'equation differentielles ordinaire du second ordre у — u>(x, у, y'), Dissertation, Leipzig, 1896.Литература 453

387. Tresse A. Sur les invariants dijferentielles des groupes continues de transformations. Acta Mathem., 1894, t. 18, p. 1-88.

388. Utz W.R. A second order differential equation ofT. Otsuki. Proc. Amer. Math. Soc., 1977, vol. 64, N 2, p. 238-240.

389. Vessiot E. Sur les systemes d'equations dijferentielles du premier ordre qui ont des systemes fundamental d'integrales. Ann. sc. Ecole Normale sup., vol. 10,53, 1893.

390. Vessiot E. Methodes d'integration elementaires. Encyclopedie des sci. math. ed. France., 1910, t. 11, vol. 3, f. 1, p. 58-170.

391. Vinti J.P. Newtonian cosmology with a varying gravitational constant. Celestial Mechanics, 1977, vol. 16, N 4, p. 391-406.

392. Whiting B.F. The relation of solution of ODE's is a commutation relative. Diff. Equat. Conf., Birmingham, 1983.

393. Wilczynsky E.J. Projective deferential geometry of curves and ruled surfaces. Leipzig, 1906.

394. Winternitz Pavel. Lie groups and solutions of nonlinear differential equations. Lectures Notes in Physics, 1983,189, p. 265-331.