Метод подвижного корепера в геометрии дифференциальных уравнений тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, доктор физико-математических наук Морозов, Олег Игоревич

• Морозов, Олег Игоревич
• доктор физико-математических наук
• 2010

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Морозов, Олег Игоревич

Введение

1 Дифференциальные уравнения, метод Картана и псевдогруппы Ли

1.1 Расслоения джетов и дифференциальные уравнения.

1.2 Накрытия дифференциальных уравнений

1.3 Системы Пфаффа в инволюции.

1.4 Локальные группы Ли.

1.5 Метод эквивалентности Картана.

1.5.1 Частная проблема эквивалентности.

1.5.2 Общая проблема эквивалентности.

1.5.3 Различные обобщения проблемы эквивалентности.

1.6 Псевдогруппы Ли

2 Проблема Ли - Лиувилля - Тресса

3 Сравнение различных подходов к применению метода Картана в изучении псевдогрупп симметрий дифференциальных уравнений

3.1 Априорно известные геометрические свойства изучаемого дифференциального уравнения

3.2 Использование разложения инфинитезимальных генераторов транзитивных псевдогрупп Ли в ряды Тейлора.

3.3 Инвариантизованные определяющие уравнения для форм Маурера-Картана.

4 Псевдогруппы контактных преобразований на расслоениях джетов

4.1 Формы Маурера-Картана и структурные уравнения псевдогруппы точечных преобразований на 71(Мп,Ет).

4.2 Формы Маурера-Картана и структурные уравнения псевдогруппы контактных преобразований на 72(ЖП, М)

5 Псевдогруппы симметрий дифференциальных уравнений

5.1 Метод подвижного корепера и псевдогруппы точечных симметрий дифференциальных уравнений

5.2 Метод подвижного корепера и псевдогруппы контактных симметрий дифференциальных уравнений

6 Проблемы эквивалентности для дифференциальных уравнений

6.1 Проблема Лапласа для линейных гиперболических уравнений

6.2 Проблема Лапласа для линейных параболических уравнений

6.3 Линеаризуемость и интегрируемость обобщенного уравнения Калоджеро - Хантера - Сакстона.

6.4 Проблема эквивалентности для уравнения Христиановича-Рыжова

7 Накрытия дифференциальных уравнений и интегрируемые расширения псевдогрупп симметрий

7.1 Накрытия и псевдогруппы симметрий дифференциальных уравнений.

7.2 Контактные интегрируемые расширения псевдогрупп симметрий

7.3 Контактные интегрируемые расширения и накрытия обобщенного модифицированного уравнения Хохлова-Заболотской.

7.4 Контактное интегрируемое расширение и накрытие уравнения Дунайского.

7.5 Накрытия и многозначные решения дифференциальных уравнений.

7.6 Контактные интегрируемые расширения и накрытия обобщенного бездисперсионного (2+1)-мерного уравнения

Дима.

7.7 Контактные интегрируемые расширения и накрытия обобщенного дважды модифицированного бездисперсионного уравнения Кадомцева-Петвиашвили

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Метод подвижного корепера в геометрии дифференциальных уравнений»

Дифференциальные уравнения являются эффективным средством описания и изучения разнообразных процессов в физике, технике, химии, биологии и экономике, а также важнейшей областью исследования, приводящей к развитию большинства отраслей математики. Функциональный анализ, линейная алгебра, численный анализ и многие разделы геометрии обязаны своим возникновением потребностям совершенствования теории дифференциальных уравнений. В частности, теория непрерывных групп, объединившая методы алгебры, анализа и геометрии и ставшая одним из краеугольных камней современной математики, была создана Софусом Ли для унификации методов интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений как обобщение теории Абеля - Галуа решения алгебраических уравнений. Непрерывные группы, названные Пуанкаре группами Ли, оказали глубокое влияние на многие области математики и физики, такие как теория гравитации, гидродинамика, квантовая механика, теория управления и другие.

Основой применения групп Ли для изучении дифференциальных уравнений является конструкция группы симметрий. В настоящее время имеется большое количество книг, детально описывающих этот подход, см. [141, 37, 15, 9, 35, 61, 106, 41, 191]. В рамках классической теории Ли группа симметрий дифференциальных уравнений состоит из тех невырожденных (обратимых) замен его независимых и зависимых переменных и порожденных ими преобразований производных, которые переводят совокупность решений этого уравнения в себя. Это условие дает сложные нелинейные уравнения на функции, задающие эти преобразования (определяющие уравнения или уравнения Ли). Фундаментальное открытие Ли состояло в том, что в случае непрерывных групп преобразований эти нелинейные уравнения можно заменить на более простые условия, перейдя от преобразований, близких к тождественному, к порождающим их векторным полям (инфинитезималъ-ным генераторам), то есть, на современном языке, перейдя от группы Ли к ее алгебре Ли. Коэффициенты инфинитезимальных генераторов удовлетворяют переопределенной системе линейных уравнений в частных производных (инфинитезимальные определяющие уравнения). Анализ этой системы и ее интегрирование позволяет в большинстве случаев найти инфинитезимальные генераторы группы симметрий явно, хотя, например, в случае одного обыкновенного уравнения первого порядка задача явного вычисления инфинитезимальных генераторов равносильна задаче нахождения его общего решения, что не всегда возможно (см., например, [188, Ch. VI]).

Знание группы симметрий дифференциального уравнения позволяет явно находить решения этого уравнения, инвариантные относительно различных подгрупп этой группы, а также строить новые решения из уже известных. В случае обыкновенных дифференциальных уравнений знание однопараметри-ческой группы симметрий позволяет понизить порядок уравнения на единицу. Как показал Ли, этот подход позволяет унифицировать различные частные приемы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. Для уравнений в частных производных функции, задающие решения, инвариантные относительно подгрупп группы симметрий, удовлетворяют редуцированным уравнениям, содержащим, как правило, меньшее число переменных, что упрощает задачу их анализа и решения.

Многие модели математической физики описываются дифференциальными уравнениями, содержащими числовые параметры или произвольные функции, присутствие которых либо отражает неполноту информации о модели, либо вызвано требованием расширить область ее применения. Поэтому возникает задача классификации таких совокупностей дифференциальных уравнений и выбора уравнений с наиболее богатой математической структурой, например, таких уравнений, для которых можно построить большое количество точных решений. Методы теории групп Ли оказываются действенными в решении таких задач. К этому кругу вопросов примыкает проблема эквивалентности дифференциальных уравнений — задача нахождения необходимых и достаточных условий, при которых два данных дифференциальных уравнения связаны некоторой заменой переменных. Изоморфизм групп симметрий дает необходимое условие эквивалентности, в то время как достаточное условие формулируется в терминах дифференциальных инвариантов — функций от переменнных уравнения и их производных, не меняющихся при преобразованиях, входящих в группу симметрий. Инфинитезимальный метод С. Ли позволяет находить дифференциальные инварианты групп симметрий, если явно известны ее инфинитезимальные генераторы. Для этого требуется проинтегрировать еще одну переопределенную систему уравнений в частных производных, [37, §24], [35, §2.5], [172, СИ. 5]. Зачастую эта система оказывается весьма сложной, что вызывает значительные трудности в применении инфинитезимального подхода к нахождению дифференциальных инвариантов и решению проблемы эквивалентности для дифференциальных уравнений.

За последние сорок лет важные обобщения методов классической теории Ли групп симметрий дифференциальных уравнений были разработаны в связи с развитием метода обратной задачи рассеяния [59, 12] и связанных с ним концепций высших симметрий [8, 203] (называемых также обобщенными, [35], или преобразованиями Ли-Бэклунда, [15]) и высших законов сохранения. Последовательная геометрическая формулировка метода обратной задачи рассеяния, а также связанных с ней представлений нулевой кривизны, структур продолжений Уолквиста-Эстабрука, преобразований Бэклунда, операторов рекурсии, нелокальных симметрий и нелокальных законов сохранения, основана на концепции дифференциального накрытия бесконечного продолжения дифференциального уравнения [133, 134]. Существование дифференциального накрытия для данного дифференциального уравнения позволяет применять разнообразные методы для его исследования и получать значительную информацию о его решениях [59, 169, 104, 12, 43, 17, 127, 10, 1, 4, 128, 11, 184, 20]. Поэтому проблема нахождения накрытия для данного дифференциального уравнения является весьма важной. В случае уравнений с двумя независимыми переменными имеется хорошо разработанный подход к этой проблеме, предложенный Уолквистом и Эстабруком в [204] и развитый в работах [95, 90, 133, 109, 134, 190, 149, 116]. Для дифференциальных уравнений с тремя и более независимыми переменными проблема нахождения условий существования дифференциальных накрытий является гораздо более сложной, [22, 23, 167, 168, 198, 54, 170, 107, 108, 182, 181]. Как показано в работе [148], для большинства таких уравнений накрытия являются бесконечномерными. Поэтому проблема существования накрытия для дифференциального уравнения оказывается тесно связанной с бесконечномерными группами Ли (или псевдогруппами Ли).

Основы теории бесконечных непрерывных групп преобразований были созданы Ли [141, Bd. 5, 314-360, Bd. 6, 300-364]. Эти работы были продолжены Ф. Энгелем, [142], А. Трессом, [199, 200], П. Медолаги, [151], и Э. Вессио, [202]. Дальнейшее развитие теория псевдогрупп Ли получила в работах Э. Картана, [73] -[76].

В отличие от инфинитезимального метода Ли подход Картана к теории псевдогрупп Ли не использует инфинитезимальные генераторы и основан на описании преобразований из псевдогруппы Ли в терминах инвариантных дифференциальных 1-форм, называемых формами Маурера-Картана этой псевдогруппы. Для любой псевдогруппы Ли ее формы Маурера-Картана могут быть найдены с помощью операций линейной алгебры и дифференцирования и без использования интегрирования, что делает подход Картана особенно удобным для применения в компьютерных системах аналитических вычислений, таких как MAPLE, REDUCE, MATHEMATICA, и т.д. Выражения внешних дифференциалов форм Маурера-Картана в терминах самих этих форм дают структурные уравнения псевдогруппы Ли. Эти уравнения содержат полную информацию о псевдогруппе, в частности, их коэффициенты дают базисные дифференциальные инварианты псевдогруппы. Знание форм Маурера-Картана и дифференциальных инвариантов для псевдогруппы симметрии дифференциальных уравнений позволяет решать проблемы эквивалентности и классификации, а также явно находить отображения между эквивалентными уравнениями. Кроме того, основанный на методе Картана подход оказывается эффективным в приложении к проблеме нахождения накрытий в случае уравнений с тремя или более независимыми переменными,

153, 161, 162, 163, 30, 165, 166].

В то время как методу Ли посвящена обширная литература (см., например, [141, 178, 72, 87, 88, 53, 36, 37, 15, 9, 35, 61, 106, 41, 191]), нам известно сравнительно небольшое количество публикаций, в которых метод Картана применяется к симметриям дифференциальных уравнений.

В работах [125, 110, 55] метод Картана был использован для нахождения симметрий и решения проблем эквивалентности обыкновенных дифференциальных уравнений. Отметим, что непосредственное перенесение этого метода на случай уравнений в частных производных приводит к быстрому росту объема вычислений с ростом количества независимых переменных, что делает невозможным его применение с использованием современных компьютерных систем уже в случае трех переменных.

A.M. Васильев, [5], и К.П. Суровихин, [45] - [47], нашли формы Маурера-Картана и структурные уравнения групп симметрий стационарных уравнений двумерной газодинамики и нестационарных уравнений одномерной газодинамики.

Статьи [102, 103, 126, 195] посвящены использованию метода Картана для нахождения симметрий квазилинейных уравнений в частных производных второго порядка с двумя независимыми переменными. Отметим, что методы работ [5, 45, 46, 47, 102, 103, 126, 195] являются достаточно простыми, но не являются универсальными — они основаны на априорном знании геометрических свойств изучаемых уравнений и не допускают непосредственного переноса на другие классы уравнений.

В работах [22, 23] метод Картана был применен к проблеме нахождения накрытий для уравнений с тремя независимыми переменными. Результаты этих работ были переоткрыты без использования метода Картана через 20 лет, [21, 137].

В работах [69, 70, 68] был предложен основанный на методе Картана подход к изучению законов сохранения гиперболических и параболических уравнений второго порядка с двумя независимыми переменными. Этот подход был обобщен в [82] на случай параболических уравнений второго порядка с тремя независимыми переменными и в работе [100] на случай эволюционных уравнений высших порядков с двумя независимыми переменными.

Как показано в статьях [56, 55], метод Картана является удобным инструментом для изучения интегрируемости по Дарбу гиперболических уравнений второго порядка с двумя независимыми переменными.

Работы [145, 146] посвящены разработке метода нахождения структурных уравнений псевдогрупп симметрий дифференциальных уравнений из их ин-финитезимальных определяющих уравнений. Этот метод применим только в случае транзитивных псевдогрупп и не позволяет находить явно их формы Маурера-Картана.

Новый метод изучения псевдогрупп Ли был предложен в работах П. Олвера, Ю. Похъянпелто и их сотрудников [173, 174, 79, 80, 201]. Он позволяет находить структурные уравнения и формы Маурера-Картана непосредственно из инфинитезимальных определяющих уравнений псевдогрупп симмет-рий, в том числе и в интранзитивном случае. При этом метод дает бесконечные наборы форм Маурера-Картана и бесконечные системы структурных уравнений, так что необходимо совершить дополнительные действия для выделения их конечных подсистем, необходимых для эффективной работы с изучаемыми псевдогруппами.

В работе [96] П. Олвером и М. Фелсом был развит намеченный Э. Кар-таном в [74, §13] подход к нахождению форм Маурера-Картана псевдогрупп симметрий обыкновенных дифференциальных уравнений, названный методом подвижного корепера {the moving coframe method).

Отметим также работы [14, 48, 84, 85, 86], в которых с помощью метода Картана изучались преобразования Бэклунда для уравнений с двумя независимыми переменными.

Данная диссертация посвящена систематическому развитию подхода, основанного на методе эквивалентности Картана и структурной теории псевдогрупп Ли, к геометрическим аспектам дифференциальных уравнений — псевдогруппам симметрий, их дифференциальным инвариантам и проблеме эквивалентности. Особое внимание уделено проблеме нахождения дифференциальных накрытий для уравнений с тремя независимыми переменными.

В главе 1 мы приводим основы метода эквивалентности Картана и структурной теории псевдогрупп Ли, следуя работам [7, 172, 193]. При этом в известных нам работах по методу эквивиалентности Картана отсутствует полное изложение его обоснования в случае, если структурная группа зависит от точки основного многообразия, см., например, [101, р. 37], [124, р. 51], [172, р. 294]. Поскольку при применении метода Картана к задаче нахождения накрытий уравнений в частных производных с тремя независимыми переменными мы встречаемся с необходимостью рассматривать именно тот случай, когда структурная группа явно зависит от инвариантов псевдогруппы симметрий накрывающего уравнения, для обоснования применимости метода мы доказываем его ключевой момент — теорему 1.17, основываясь на идеях [74, §7], [7, с. 29-30] и замечании на стр. 39 в [101].

В главе 2 мы применяем метод Картана для решения классической задачи Ли-Л иувилля-Тр с с с а нахождения необходимых и достаточных условий эквивалентности двух обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка. Насколько нам известно, в существующих публикациях отсутствует полное решение этой задачи, хотя очень многие частные случаи разобраны со всеми подробностями, см. замечание на стр. 407 в [172]. С помощью метода Картана мы находим полное решение задачи Ли-Лиувилля-Тресса, [32, 33, 34].

В главе 3 мы проводим сравнение имеющихся в литературе подходов к нахождению форм Маурера-Картана и структурных уравнений псевдогрупп симметрий дифференциальных уравнений, указываем их преимущества и недостатки, а также границы их применимости.

По нашему мнению единственным эффективным и универсальным подходом является метод подвижного корепера, [74, §13], [96]. В статьях [152], [157] мы обобщаем этот метод на случай уравнений с частными производными. Метод подвижного корепера основан на технике нахождения форм Маурера-Картана и структурных уравнений псевдогрупп симметрий вложенных подмногообразий, которую мы обсуждаем в примере 1.11. Для применения этого метода к псевдогруппам симметрий дифференциальных уравнений требуется предварительно найти формы Маурера-Картана псевдогрупп точечных и контактных преобразований на расслоениях джетов. Этому посвящена глава 4, в первом параграфе которой мы рассматриваем точечные преобразования, а во втором — контактные. С помощью метода Картана мы находим инвариантные формы этих псевдогрупп. Затем мы доказываем ин-волютивность их структурных уравнений.

В главе 5 мы излагаем технику применения метода подвижного корепера к псевдогруппам точечных и контактных симметрий дифференциальных уравнений в частных производных. Этот подход является универсальным — он приложим к любому такому уравнению или системе. Мы приводим примеры вычислений с его помощью форм Маурера-Картана и структурных уравнений псевдогрупп симметрий уравнений одномерной газодинамики и уравнения Лиувилля.

В главе 6 мы применяем метод подвижного корепера к решению задач эквивалентности для дифференциальных уравнений в частных производных. Мы находим полные наборы дифференциальных инвариантов и приводим полное решение проблемы эквивалентности для линейных гиперболических уравнений (параграф 6.1) и линейных параболических уравнений (параграф 6.2) с двумя назависимыми переменными (так называемая проблема Лапласа, [115, 16]). На основе ее решения в параграфе 6.3 устанавливается контактная эквивалентность обобщенного уравнения Калоджеро—Хантера-Сакстона и линейного гиперболического уравнения с дополнительной зависимостью между его инвариантами Лапласа, [29]. Это позволяет доказать интегрируемость в квадратурах обобщенного уравнения Калоджеро-Хантера-Сакстона. В частности, мы находим явную формулу для общего решения обобщенного уравнения Хантера-Сакстона, [159]. В параграфе 6.4 мы устанавливаем эквивалентность уравнений коротких волн (уравнений Христиановича-Рыжова) с неисключительными значениями параметра друг другу и уравнению Хохлова-Заболотской в случае исключительных значений параметра.

В главе 7 метод эквивалентости Картана применяется к проблеме нахождения накрытий для дифференциальных уравнений с тремя и более независимыми переменными. Основой подхода является предложенное в [165] обобщение данного в работе [68] определения интегрируемого расширения системы внешних диффренциальных уравнений. Мы находим интегрируемые расширения псевдогрупп симметрии обобщенного модифицированного уравнения Хохлова-Заболотской, [60], интерполяционного уравнения Дунайского, [93], обобщенного бездисперсионного (2+1)-мерного уравнения Дима, [60], и обобщенного дважды модифицированного бездисперсионного уравнения Кадомцева-Петвиашвили. Это позволяет воспроизвести в рамках единого подхода известные накрытия этих уравнений, а также найти их новые накрытия и преобразования Бэклунда. В том числе мы находим новое накрытие для обобщенного бездисперсионного (2+1)-мерного уравнения Дима, содержащее неустранимый параметр, и автопреобразование Бэклунда для обобщенного дважды модифицированного бездисперсионного уравнения Кадомцева-Петвиашвили. В параграфе 7.5 мы приводим примеры применения накрытий для построения точных многозначных решений уравнения Хохлова-Заболотской и интерполяционного уравнения Дунайского, [161, 163].

Все рассмотрения в диссертации предполагаются локальными, все расслоения предполагаются тривиальными, все отображения предполагаются аналитическими.

Заключение диссертации по теме «Дифференциальные уравнения», Морозов, Олег Игоревич

Заключение

В данной диссертации разработан эффективный и универсальный метод нахождения форм Маурера-Картана и структурных уравнений псевдогрупп симметрий дифференциальных уравнений в частных производных с любым числом независимых переменных. С помощью этого метода решен ряд задач эквивалентности для различных классов дифференциальных уравнений, в том числе дано полное решение задачи Лапласа для линейных уравнений второго порядка с двумя независимыми переменными, установлена линеари-зуемость и интегрируемость обобщенного уравнения Калоджеро-Хантера-Сакстона, найдена явная формула для общего решения обобщенного уравнения Хантера-Сакстона и решена проблема эквивалентности для уравнений Христиановича-Рыжова.

В диссертации также предложен подход к применению метода Картана для нахождения накрытий дифференциальных уравнений с тремя и более независимыми переменными с помощью техники интегрируемых расширений псевдогрупп симметрий и структурной теории псевдогрупп Ли. Этот подход позволяет единообразно находить уже известные накрытия, полученные ранее другими авторами с помощью достаточно сильно различающихся методов, а также строить новые накрытия. С помощью указанного метода в диссертации найдены интегрируемые расширения и новые накрытия обобщенного модифицированного уравнения Хохлова-Заболотской, обобщенного бездисперсионного (2+1)-мерного уравнения Дима и обобщенного дважды модифицированного бездисперсионного уравнения Кадомцева-Петвиашвили, а также соответствующие им преобразования Бэклунда. Отметим, что этот метод позволяет получать информацию о наличии в накрытии неустранимого параметра уже на уровне интегрируемого расширения. В диссертации найдено новое накрытие с неустранимым параметром для обобщенного бездисперсионного (2+1)-мерного уравнения Дима.

Кроме того, в диссертации продемонстрирована возможность использовать накрытия дифференциальных уравнений с тремя независимыми переменными для построения точных многозначных решений этих уравнений, найдены новые многозначные решения уравнения Хохлова-Заболотской и интерполяционного уравнения Дунайского.

Разработанные в диссертации методы приложимы к исследованию обширных классов дифференциальных уравнений. На наш взгляд, весьма актуальной темой дальнейших исследований является применение предложенного в диссертации подхода к нахождению накрытий на основе техники интегрируемых расширений к различным обобщениям уравнений Кадомцева

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Морозов, Олег Игоревич, 2010 год

1. Абловиц М., Сигур X. Солитоны и метод обратной задачи. М.: Мир, 1989

2. Ахатов И.Ш., Газизов Р.К., Ибрагимов Н.Х. Нелокальные симметрии. Эвристический подход. // Современные проблемы математики. Новейшие достижения. Т. 34, М.: ВИНТИ, 1989.

3. Бахвалов Н.С., Жилейкин Я.М., Заболотская Е.А. Нелинейная теория звуковых пучков. М.: Наука, 1982

4. Богоявленский О.И. Опрокидывающиеся солитоны. Нелинейные интегрируемые уравнения. М.: Наука, 1991

5. Васильев A.M. Системы трех дифференциальных уравнений с частными производными первого порядка при трех неизвестных функциях и двух независимых переменных (локальная теория) // Матем. сборник, 1996, Т. 70 (112), С. 457 480

6. Васильева М.В. Структура бесконечных групп Ли преобразований. М.: МГПИ, 1972

7. Васильева М.В. Бесконечные группы Ли и их геометрические приложения. М.: МГПИ, 1975

8. Виноградов A.M. Теория высших инфинитезимальных симметрий нелинейных дифференциальных уравнений с частными производными // ДАН СССР, 1979, Т. 248, №2, С. 274-278

9. Виноградов A.M., Красильщик И.С., Лычагин В.В. Введение в геометрию нелинейных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1986

10. Додд Р., Эйлбек Дж., Гиббон Дж., Моррис X. Солитоны и нелинейные волновые уравнения. М.: Мир, 1988

11. Дубровский В.Г. Применение метода обратной задачи к построению точных решений (2+1)-мерных интегрируемых нелинейных эволюционных уравнений. Дисс. . д.ф.-м.н., Новосибирск, 1999

12. Захаров В.Е., Манаков С.В., Новиков С.П., Питаевский Л.П. Теория солитонов. Метод обратной задачи. М.: Наука, 1980

13. Захаров В.Е., Шабат А.Б. Схема интегрирования нелинейных эволюционных уравнений математической физики методом обратной задачи рассеяния. I // Функц. анализ и его прил., 1974, Т. 6, №3, С. 43 53

14. Звягин М.Ю. Преобразования Бэклунда уравнений Монжа-Ампера. Дисс. . к.ф.-м.н., Москва, МГУ, 1985

15. Ибрагимов Н.Х. Группы преобразований в математической физике. М.: Наука, 1983

16. Ибрагимов Н.Х. Инварианты гиперболических уравнений: решение проблемы Лапласа // Прикл. мат. техн. физ., 2004, Т. 45, № 2, С. 11-21

17. Калоджеро Ф., Дегасперис А. Спектральные преобразования и солито-ны. Методы решения и исследования нелинейных эволюционных уравнений. М.: Мир, 1985

18. Картан Э. Внешние дифференциальные системы и их геометрические приложения. М.: МГУ, 1962

19. Картан Э. Избранные труцы. М.: МЦНМО, 1998

20. Киселев О.М. Асимптотики решений многомерных интегрируемых уравнений и их возмущений // Современная математика. Фундаментальные направления. 2004, Т. 11, С. 3-149

21. Кричевер И.М. Метод усреднения для двумерных "интегрируемых" уравнений // Функц. анализ и прил., 1988, Т. 22, № 3, С. 37-52

22. Кузьмина Г.М. О геометрии системы двух дифференциальных уравнений в частных производных // Ученые записки МГПИ, 1965, № 243, С. 99 108

23. Кузьмина Г.М. О возможности сведения системы двух уравнений с частными производными первого порядка к одному уравнению второго порядка // Ученые записки МГПИ, 1967, № 271, С. 67 76

24. Ленг С. Алгебра. М.: Мир, 1968

25. Лычагин В.В. Контактная геометрия и нелинейные дифференциальные уравнения второго порядка // УМН, 1979, Т. 34, № 1, С. 137 165

26. Морозов О.И. Проблема эквивалентности для класса обобщенных уравнений Абеля // Дифференциальные уравнения^ 2003, Т. 39, № 3, С. 423-424

27. Морозов О.И. Проблема эквивалентности для класса рациональных обобщенных уравнений Абеля // Дифференциальные уравнения, 2005, Т. 41, № 6, С. 855-856

28. Морозов 0:И. Геометрия класса уравнений Абеля и метод эквивалентности Картана// Научный вестник МГТУ ГА, сер. Матем., физ., 2005,. № 91 (9), С. 28-35

29. Морозов О.И. Линеаризуемость и интегрируемость обобщенного уравнения^ Калоджеро-Хантера-Сакстона // Научный вестник МГТУ ГА, сер. Матем., физ., 2007, № 114 (4), С. 34-41

30. Морозов О.И. Формы Маурера-Картана псевдогруппы симметрий и накрытие второго небесного уравнения Плебанского // Научный вестник МГТУ ГА, 2009, № 140, С. 14-21

31. Морозов 0;И. Проблема точечной эквивалентности для обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка. I // Научный вестник МГТУ ГА, 2010, № 157, С. 92-99

32. Морозов О.И. Проблема точечной эквивалентности для обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка. II // Научный вестник МГТУ ГА, 2010, № 157, С. 100-106

33. Морозов О.И. Проблема точечной эквивалентности обобщенных уравнений Эмдена-Фаулера // Дифференциальные уравнения, 2010, Т. 46, № 6, С. 902-903

34. Олвер П.Дж. Приложения групп Ли к дифференциальным уравнениям. М.: Мир, 1989

35. Овсянников Л.В. Групповые свойства дифференциальных уравнений. Новосибирск: СО АН СССР, 1962

36. Овсянников Л.В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1978

37. Павлов M.B. Уравнение Калоджеро и уравнения типа Лиувилля // Теор. мат. физ., 2001, Т. 128, С. 927-932

38. Цоммаре Ж. Системы уравнений с частными производными и псевдогруппы Ли. М;: Наука, 1983

39. Рождественнский Б.Л. Яненко H.H. Системы квазилинейных уравнений и их приложения в газодинамике. М. : Наука, 1968.

40. Симметрии и законы сохранения уравнений математической физики / Под ред. A.M. Виноградова и И.С. Красильщика, М.: Факториал, 1997

41. Синцов Д.М. Заметки об уравнениях, аналогичных уравнению Рикка-ти. // К вопросу о рациональных интегралах линейных дифференциальных уравнений. Казань, 1897

42. Солитоны / под ред. Р. Буллафа и Ф. Кодри. М.: Мир, 1983

43. Стернберг С. Лекции по дифференциальной геометрии. М.: Мир- 1970

44. Суровихин К.П. Внепшие формы Картана и отыскание основной группы, допускаемой данной системой уравнений // Вестник МГУ, Сер. Мат. Мех., 1965, № 6, С. 70 81

45. Суровихин К.П. О грзчшовой классификации методом Картана уравнений одномерного течения газа // ДАН СССР, 1966, Т. 171, № 1, С. 55 -58

46. Суровихин К.П. Структурные уравнения при наличии интранзитивной группы в случае общих одномерных течений газа // Вестник МГУ, Сер. Мат. Мех., 1967, № 1, С. 56 64

47. Ферапонтов Е.А. Преобразования Бэклунда квазилинейных систем дифференциальных уравнений с частными производными первого порядка при двух независимых переменных. Дисс. . к.ф.-м.н., Москва, МГУ, 1987

48. Фиников С.П. Метод внешних форм Картана в дифференциальной геометрии. Теория совместности систем дифференциальных уравнений в полных дифференциалах и частных производных. М.: ГИТТЛ, 1948

49. Хамитова P.C. Структура группы и базис законов сохранения // Теор. мат. физ., 1982, Т. 52, № 2, С. 244-251

50. Христианович С.А., Рыжов О.С. О нелинейном отражении слабых ударных волн // Прикл. мат. техн. физ., 1958, Т. 58, № 5, С. 586-595

51. Чеботарев Н.Г. Теория групп Ли. М.: Гостехиздат, 1949

52. Эйзенхарт Л.П. Непрерывные группы преобразований. М.: ИЛ, 1954

53. Alfinito Е., Profilo G., Soliani G. Properties of equations of the continuous Toda type // J. Phys. A, 1997, Vol. 30, P. 1527-1547

54. Anderson I.M., Fels M.E. Transformations of Darboux integrable systems // Differential Equations: Geometry, Symmetries, and Integrability: The Abel Symposium 2008, Abel Symposia 5, Berlin: Springer-Verlag, 2009. P. 21 -48

55. Anderson I.M., Juras M. Generalized Laplace invariants and the method of Darboux // Duke J. Math., 1997, Vol. 89, P. 351-375

56. Babich M.V., Bordag L.A. Projective differential geometrical structure of the Painleve equations // J. Diff. Eq., 1999, Vol. 157, P. 452 485

57. Backlund A.V. Ueber Flachentransformationen // Math. Ann., 1876, Vol. 9, P. 297-320

58. Backlund Transformations, the Inverse Scattering Method, Solitons, and Their Applications. Lect. Notes Math., 515 / Miura R.M., Ed. N.Y.: Springer-Verlag, 1976

59. B-laszak M. Classical R-matrices on Poisson algebras and related dispersi-onless systems // Phys. Lett. A, 2002, Vol. 297, P. 191-195

60. Bluman G.W., Kumei S. Similarity Methods for Differential Equations. Appl. Math. Sci., No 13, N.Y.: Springer-Verlag, 1989

61. Bluman G.W., Anco S.C. Symmetry and Integration Methods for Differential Equations. N.Y.: Springer-Verlag, 2002

62. Bluman G.W., Cheviakov A.F., Anco S.C. Applications of Symmetry Methods to Partial Differential Equations. Appl. Math. Sci., No 168. N.Y.: Springer-Verlag, 2010

63. Bogdanov, L.V., Konopelchenko, B.G.: On the 8 -dressing method applicable to heavenly equation // Phys. Lett. A, 2005, Vol. 345, P. 137-143

64. Bordag L.A., Dryuma V.S. Investigation of dynamical systems using tools of the theory of invariants and projective geometry // Z. Angew. Math. Phys., 1997, Vol. 48, P. 725 743

65. Brunelli J.C., Das A., Popowicz Z. Deformed Harry Dym and Hunter-Zheng equations // J. Math. Phys., 2004, Vol. 45, P. 2646-2655

66. Bryant R.L., Chern S.S., Gardner R.B., Goldschmidt H.L., Griffiths P.A. Exterior Differential Systems. N.Y.: Springer-Verlag, 1991

67. Bryant R.L., Griffiths Ph.A.: Characteristic cohomology of differential systems (II): conservation laws for a class of parabolic equations // Duke Math. J., 1995, Vol. 78, P. 531-676

68. Bryant R.L., Griffiths Ph.a., Hsu L. Hyperbolic exterior differential systems and their conservation laws. I // Selecta Math. New Ser., 1995, Vol. 1, No 1, P. 21-112

69. Bryant R.L., Griffiths Ph.A., Hsu L. Hyperbolic exterior differential systems and their conservation laws. II // Selecta Math. New Ser., 1995, Vol. 2, No1, P. 265-323

70. Calogero F. A solvable nonlinear wave equation // Stud. Appl. Math., 1984, Vol. 70, P. 189-199

71. Campbell J.e. Introductory Treatise on Lie Theory of Finite Continuous Transformation Groups. Oxford, 1903

72. Cartan É. Sur la structure des groupes infinis de transformations // Œuvres Complètes, Part II, Vol. 2, P. 571-715. Paris: Gauthier Villars, 1953, русский перевод в 19]г

73. Cartan Е. Les sous-groupes des groupes continus de transformations // Œuvres Complètes, Part II, Vol. 2, P. 719-856. Paris: Gauthier Villars, 1953, русский перевод в 19]

74. Cartan É. Les problèmes d'équivalence // Œuvres Complètes, Part II, Vol.2, P. 1311-1334. Paris: Gauthier Villars, 1953

75. Cartan É. La structure des groupes infinis // Œuvres Complètes, Part II, Vol. 2, P. 1335-1384. Paris: Gauthier Villars, 1953, русский перевод в 19]

76. Cartan É. Sur les variétés à connexion projective // Bull. Soc. Math. France, 1924, Vol. 52, P. 205 241

77. Chang J.-H., Tu M.-H.: On the Miura map between the dispersionless KP and dispersionless modified KP hierarchies // J. Math. Phys., 2000, Vol. 41, P. 5391 5406

78. Cheh J., Olver P.J., Pohjanpelto J. Maurer-Cartan equations for Lie symmetry pseudo-groups of differential equations // J. Math. Phys., 2005, Vol. 46, 023504

79. Cheh J., Olver P.J., Pohjanpelto J. Algorithms for differential invariants of symmetry groups of differential equations // Foundations of Computational Mathematics, 2008, Vol. 8, R 501-532

80. Clairin J. Sur les transformations de Baecklund // Ann. Sci École Norm. Sup. 1902, Vol. 3, Supplement, P. 1-63

81. Clëlland J.N. Geometry of conservation laws for a class of parabolic partial differential equations I // Selecta Mathematical New Series, 1997, Vol; 3, P; 1-77

82. Clelland JiN. Geometry of conservation laws for a class of parabolic PDEs E: Normal forms for equations with conservation laws // Selecta Mathematica, New Series, 1997, Vol. 3, P. 497-515

83. Clelland J.N. Homogeneous Bâcklund transformations of hyperbolic Mon-ge-Ampère systems // Asian J. Math., 2002, Vol. 6 , P. 433 480

84. Clelland JiN., Ivey T.A. Parametric Bâcklund transformations I: phenomenology // Trans. Amer. Math. Soc. 2005, Vol. 357, P. 1061 1093

85. Clelland J.N., Ivey T.A. Backhand transformations and Darboux integrabi-lity for nonlinear wave equations // Asian J. Math., 2009, Vol. 13, P. 15 -64

86. Cohen A. An Introduction to the Eie Theory of One-Parameter Groups, with Applications to the Solution of Differential Equations. N.Y.: D.C. Heath & Co, 1911

87. Dickson L.E. Differential equations from the group standpoint // Ann. Math., 1924, Vol. 25, P. 287-378

88. Dodd R.K., Morris H.C. Bâcklund transformations // 104], P. 63 94

89. Dodd R., Fordy A. The prolongation structures of quasi-polynomial flows // Proc. Roy. Soc. London, A, Vol. 385, P. 389^29

90. Dryuma V. On the Riemann and Einstein-Weil geometry in theory of the second order ordinary differential equations. Preprint, www. arXiv. org : math.DG/0104278 (2001)

91. Dunajski M. A class of Einstein-Weil spaces associated to an integrable system of hydrodynamic type // J, Geom. Phys., 2004, Vol. 51, P. 126 137

92. Dunajski M. Interpolating dispersionless integrable system // J. Phys. A, 2008, Vol. 41, 315202

93. Ermakov S. Short wave / long wave interaction and amplification of decimeter-scale wind waves in film slicks // Geophysics Research Abstracts, 2006, Vol. 8, 00469

94. Estabrook F.B.: Moving frames and prolongation algebras // J. Math. Phys., 1982, Vol. 23, P. 2071-2076

95. Fels M., Olver P.J.: Moving coframes. I. A practical algorithm // Acta. Appl. Math., 1998, Vol. 51, P. 161-213

96. Ferapontov E.V., Khusnutdinova K.R.: The characterization of two-component (2+l)-dimensional integrable systems of hydrodynamic type // J. Phys. A.: Math. Gen., 2004, Vol. 37, P. 2949 2963

97. Ferapontov E.V., Khusnutdinova K.R., Tsarev S.P.: On a class of three-dimensional integrable Lagrangians // Comm. Math. Phys., 2006, Vol. 261, P. 225 243

98. Ferapontov E.V., Moro A., Sokolov V.V.: Hamiltonian systems of hydrodynamic type in 2+1 dimensions. Preprint www. arXiv :0710.2012 (2007)

99. Foltinek K. Third-order scalar evolution equations with conservation laws // Selecta Math., New Ser., 2002, Vol. 8, P. 201-235

100. Gardner R.B. The Method of Equivalence and Its Applications. CBMS-NSF regional conference series in applied math., Philadelphia: SLAM, 1989

101. Gardner R.B., Kamran N. Characteristics and the geometry of hyperbolic equations in the plane // J. Diff. Eq., 1993, Vol. 104, P. 60-116

102. Gardner R.B., Kamran N. Normal forms and focal systems for determined systems of two first-order partial differantial equations in the plane // Indiana Math. J., 1995, Vol. 44, P. 1127-1161

103. Geometrical Approaches to Differential Equations. Lect. Notes Math., 810. / Martini R., Ed. N.Y.: Springer-Verlag, 1980

104. Golovin S.V. Group foliation of Euler equations in nonstationary rotatio-nally symmetrical case // Proc. Inst. Math. NAS of Ukraine, 2004, Vol. 50, Part 1, P. 110-117

105. Handbook of Lie Group Analysis of Differential Equations / Ibragimov N.H., Ed. Vol. 1 -3, Boca Raton (Fl): CRC Press, 1994 1996

106. Harrison B.K. On methods of finding Bácklund transformations in systems with more than two independent variables // J. Nonlinear Math. Phys., 1995, Vol. 2, P. 201-215

107. Harrison B.K. Matrix methods of searching for Lax pairs and a paper by Estévez I I Proc. Inst. Math. NAS Ukraine, 2000; Vol. 30, Part 1, P. 17-24

108. Hoenselaers C. More Prolongation Structures // Prog. Theor. Phys., 1986, Vol. 75, P. 1014-1029

109. Hsu L., Kamran N. Classification of second-order ordinary differentialequ-ations admitting Lie groups of fiber-preserving symmetries // Proc. London Math. Soc., 1989, Vol-. 58, P. 387 416

110. Hunter J.K., Saxton R*. Dynamics of director fields // SIAM J. Apph Math., 1991, Vol. 51, P. 1498- 1521

111. Husain V. Self-dual gravity and the chiral model // Phys. Rev. Lett., 1994, Vol. 72, P. 800 803

112. Ibragimov N.H-. Infinitesimal method in the theory of invariants of algebraic and differential equations // Notices of the South' African Mathematical Society, 1997, Vol. 29, P. 61 70

113. Ibragimov N.H. Elementary Lie Group* Analysis and Ordinary Differential Equations. New York: John Wiley and Sons, 1999

114. Ibragimov N.H. Laplace type invariants for parabolic equations // Nonlinear Dynamics, 2002, Vol. 28, P. 125 -133

115. Igonin, S. Coverings and the fundamental group for partial differential equations // J. Geom. Phys., 2006, Vol. 56, P. 939-998

116. Igonin, S., Krasil'shchik, J. On one-parametric families of Bácklund transformations. Preprint arXiv: nlin/0010040 (2000)

117. Igonin, S., Kersten, P., Krasil'shchik, I. On symmetries and cohomological invariants of equations possessing flat representations. Preprint DIPS-07, The Diffiety Institute, Pereslavl-Zalessky (2002)

118. Ivey T. A., Landsberg J.M. Cartan for Beginners: Differential Geometry via Moving Frames and-Exterior Differential Systems. Grad. Stud. Math. 61. Providence (RI): AMS, 2003

119. Jakobsen P., Lychagin V., Romanovsky Y. Symmetries and non-linear phenomena, I. Preprint, Troms0 University, 1997

120. Jakobsen P., Lychagin V., Romanovsky Y. Symmetries and non-linear phenomena, II. Applications to non-linear acoustics. Preprint, Troms0 University, 1998

121. Johnpillai I.K., Mahomed F.M. Singular invariant equation for the (1+1) Fokker Planck equation // J. Phys. A Math. Gen., 2001, Vol. 34, P. 1103311051

122. Johnpillai I.K., Mahomed F.M., Wafo Soh C. Basis of joint invariants for (1+1) linear hyperbolic equations // J. Nonliear Math. Phys., 2002, Vol. 9, Supplement 2, P. 49 59

123. Kamran N. Contributions to the Study of the Equivalence Problem of Élie Cartan and its Applications to Partial and Ordinary Differential Equations. Mem. CI. Sci. Acad. Roy. Belg., 1989, Vol. 45, Fasc. 7

124. Kamran N., Lamb K.G., Shadwick W.F. The local equivalence problem for y" = F(x, y, y') and the Painlevé transcendents // J. Diff. Geom., 1985, Vol. 22, P. 139- 150w

125. Kamran N., Shadwick W.F. Equivalence locale des équations aux dériées partielles quasi lineares du deuxième ordre et pseudo-groupes infinis // Comptes Rendus Acad. Se. (Paris), Série I, 1986, Vol. 303, P. 555-558

126. Konopelchenko B.G. Nonlinear Integrable Equations. Recursion Operators, Group-Theoretical and Hamiltonian Structures of Soliton Equations. Lect. Notes Phys., 270, N.Y.: Springer-Verlag, 1987

127. Konopelchenko B.G. Introduction to Multidimensional Integrable Equations. The Inverse Spectral Transform in 2+1 Dimensions. N.Y.: Plenum Press, 1992r

128. Konopelchenko B., Martinez Alonso L.: Dispersionless scalar hierarchies, Whitham hierarchy and the quasi-classical d-method // J. Math. Phys., 2003, Vol. 43, P. 3807 3823

129. Konopelchenko B.G., Moro A.: Integrable equations in nonlinear geometrical optics // Stud. Appl. Math., 2004, Vol. 113, P. 325 352

130. Kraenkel R., Manna M., Merle V. Nonlinear short-wave propagation in ferrites // Phys. Rev. E, 2000, Vol. 61, P. 976-979

131. Krasil'shchik, I.S.: On one-parametric families of Backhand transformations. Preprint DIPS-1/2000, The DifFiety Institute, Pereslavl-Zalessky (2000)

132. Krasil'shchik, I.S., Vinogradov, A.M. Nonlocal symmetries and the theory of coverings // Acta Appl. Math., 1984, Vol. 2, P. 79-86

133. Krasil'shchik, I.S., Vinogradov, A.M. Nonlocal trends in the geometry of differential equations: symmetries, conservation laws, and Bácklund transformations // Acta Appl. Math., 1989, Vol. 15, P. 161-209

134. Kruglikov В. Point classification of second order ODEs: Tresse classification revisited and beyound // Differential Equations: Geometry, Symmetries, and Integrability: The Abel Symposium 2008, Abel Symposia 5, Berlin: Springer-Verlag, 2009. P. 199 221

135. Kucharczyk P. Group properties of the "short waves"equation // Bull. Acad. Pol. Sei. Ser. Sei. Technol. 1965, Vol. XIII, No 4, P. 469-475

136. Kupershmidt, B.A.: The quasiclassical limit of the modified KP hierarchy // J. Phys. A Math. Gen. 1990, Vol. 23, P. 871 886

137. Kuranishi M. On E. Cartan's prolongation theorem of exterior differential systems // Amer. J. Math., 1957, Vol. 9, P. 1-47

138. Kushner A.G., Lychagin V.V., Rubtsov V.N. Contact Geometry and NonLinear Differential Equations. 2007 (Cambridge: Cambridge University Press)

139. Laplace P.S. Recherches sur le calcul intégral aux différences partielles // Mémoires de l'Academie Royale de Sciences de Paris, 1773 1777, 341 - 401, переиздано: Œuvres Complètes, Vol. IX, Paris: Gauthier - Villars, 1893

140. Lie S. Gesammelte Abhandlungen. Bd. 1 6, Leipzig: Teubner, 1919-1927

141. Lie S., Engel F. Theorie der Transformationsgruppen. Bd. 1-3, Leipzig, 1888 1893

142. Liouville R. Sur les invariants de certaines équations différentielles et sur leurs applications. // J. de l'École Polytechnique, 1889, Vol. 59, P. 7 76

143. Lisle I.G. Equivalence Transformations for Classes of Differential Equations. Ph.D. Thesis, University of British Columbia, 1992

144. Lisle I.G., Reid G.J., Boulton A. Algorithmic determination of structure of infinite Lie pseudogroups of symmetries of PDEs // Proceedinds of ISS AC'95 New York: ACM Press, 1995

145. Lisle I.G., Reid G.J. Geometry and structure of Lie pseudogroups from infinitesimal defining equations // Journal of Symbolic Computation, 1998, Vol. 26, P. 355-379

146. Lychagin V.V. Singularities of multivalued solutions of nonlinear differen-• tial equations, and nonlinear phenomena // Acta Appl. Math., 1985, Vol. 3,1. P. 135 173

147. Marvan M. On zero-curvature representations of partial differential equations // Proc. Conf. on Diff. Geom. and Its Appl., Opava (Czech Republic), 1992, P. 103-122

148. Marvan M. A direct procedure to compute zero-curvature representations. The case sl2 // Proc. Int. Conf. on Secondary Calculus andCohomological Physics, Moscow, Russia, August 24-31, 1997

149. Marvan M. On the horizontal gauge cohomology and nonremovability of the spectral parameter // Acta Appl. Math., 2002, Vol. 72, P. 51-65

150. Medolaghi P. Classificazione delle equazioni alle derivate parziali del se-condo ordine, che ammettono un grupo infinito di transformazioni puntuali. // Ann. Mat. Pura Appl., 1898, Vol. 1 (3), P. 229-263

151. Morozov O.I. Moving coframes and symmetries of differential equations // J. Phys. A, Math. Gen., 2002, Vol. 35, No 12, P. 2965-2977

152. Morozov O.I. Contact equivalence problem for linear parabolic equations. Preprint www. arXiv. org/maph-ph/ 0 3 0 4 0 4 5 (2003)

153. Morozov O.I. Contact equivalence problem for nonlinear wave equations. Preprint www. arXiv. org/math-ph/ 0306007 (2003)

154. Morozov O.I. Symmetries of differential equations and Cartan's equivalence method. // Proc. of the Fifth Conference "Symmetry in Nonlinear Mathematical Physics Kyiv, Ukraine, 23 29 June 2003, Part 1, P. 196203

155. Morozov O.I. Contact-equivalence problem for linear hyperbolic equations // Journal of Mathematical Sciences, 2006, Vol. 135, No 1, P. 2680-2694

156. Morozov O.I. Contact equivalence of the generalized Hunter Saxton equation and the Euler - Poisson equation. Preprintwww. arXiv. org/math-ph/ 0406016 (2004)

157. Morozov O.I. Structure of symmetry groups via Cartan's method: comparison of four approaches // Symmetry, Integrability and Geometry: Methods and Applications, 2005, Vol. 1, Paper 006

158. Morozov O.I. Applications of Cartan's structure theory of Lie pseudo-groups in geometry of differential equations // Abstracts of International Conference "Geometry in Odessa 2006", Odessa, 22 - 27 May, 2006, P. 127

159. Morozov O.I. Coverings of differential equations and Cartan's structure theory of Lie pseudo-groups // Acta Appl. Math., 2007, Vol. 99, No 3, P. 309 319

160. Morozov O.I. Cartan's structure theory of symmetry pseudo-groups coverings and multi-valued solutions for the Khokhlov-Zabolotskaya equation // Acta Appl. Math., 2008, Vol. 101, No 1-3, P. 231 241

161. Morozov O.I. Coverings of differential equations and Lie pseudo-groups // Workshop on Integrable Systems and Related Topics. Abstracts of talks. Institute of Mathematics, Academia Sinica, Taipei, Taiwan, 15-16 March 2009. P. 6

162. Morozov O.I. Contact integrable extensions of symmetry pseudo-groups and coverings of (2+1) dispersionless integrable equations // Journal of Geometry and Physics, 2009, Vol. 59, No 11, P. 1461 1475

163. Morozov O.I. Cartan's structure of symmetry pseudo-group and coverings for the r-th modified dispersionless Kadomtsev-Petviashvili equation // Acta Appl. Math., 2010, Vol. 109, No 1, P. 257 272

164. Morris H.C. Prolongation structures and nonlinear evolution equations in two spatial dimensions // J. Math. Phys., 1976, Vol. 17, P. 1870-1872

165. Morris H.C. Prolongation structures and nonlinear evolution equations in two spatial dimensions: a general class of equations // J. Phys. A, Math. Gen., 1979, Vol. 12, P. 261-267

166. Nonlinear Evolution Equations and Dynamical Systems. / Boiti M., Pempi-nelli F., Soliani G., Eds. Lect. Not. Phys., 120. N.Y.: Springer-Verlag, 1980

167. Nucci M.C. Pseudopotentials for nonlinear evolution equations in 2+1 orders // Int. J. Non-Lin. Mech., 1988, Vol. 23, P. 361-367

168. Olver PJ. Evolution equations possessing infinitely many symmetries // J. Math. Phys., 1977, Vol. 18, P. 1212-1215

169. Olver P.J. Equivalence, Invariants, and Symmetry. Cambridge: Cambridge University Press, 1995

170. Olver P.J., Pohjanpelto J. Maurer-Cartan forms and the structure of Lie pseudo-groups // Selecta Math., 2005, Vol. 11, P. 99-126

171. Olver P.J., Pohjanpelto J. Moving frames for Lie pseudo-groups // Canadian J. Math., 2008, Vol. 60, P. 1336-1386

172. Olver P.J., Rosenau Ph. Tri-Hamiltonian duality between solitons and solitary wave solutions having compact support // Phys. Rev. E, 1996, Vol 53, P. 1900 1906

173. Ovsienko V., Roger C. Looped cotangent Virasoro algebra and non-linear integrable systems in dimension 2 + 1 // Comm. Math. Phys., 2007, Vol. 273, P. 357 388

174. Ovsienko V. Bi-Hamiltionian nature of the equation utx = uxy uy — uyy ux. Preprint www. arxiv. org/ 0802.1818 (2008)

175. Page J.M. Ordinary Differential Equations. An Elementary Text-Book with an Introduction to Lie's Theory of the Group of One Parameter. L.: Macmillan & Co, 1897

176. Painlevé P. Mémoire sur les équations différentielles dont l'intégrale générale est uniforme // Bull. Soc. Math. France, 1900, Vol. 28, P. 201 261

177. Painlevé P. Sur les équations différentielles du second ordre et d'ordre supérieur, dont l'intégrale générale est uniforme // Acta Math., 1902, Vol. 25, P. 1 86

178. Palese M. Bàcklund loop algebras for compact and non-compact non-linear spin models in (2+1) dimensions // Theor. Math. Phys., 2005, Vol. 144, No 1, P. 1014-1021

179. Palese M., Leo R.A., Soliani G. The prolongation problem for the heavenly equation // Proc. SIGRAV Conference "Recent developments in general relativity" (Bari, 1998). Springer, 2000

180. Pavlov M.V. Integrable hydrodynamic chains // J. Math. Phys., 2003, Vol. 44, P. 4134-4156

181. Pavlov, M.V. The Kupershmidt hydrodynamics chains and lattices // Intern. Math. Research Notes, 2006, Vol. 2006, article ID 46987, P. 1 43

182. Plebanski J.F. Some solutions of complex Einstein equations // J. Math. Phys., 1975, Vol. 16, P. 2395 2402

183. Rabelo M.L. On equations which describe pseudospherical surfaces // Stud. Appl. Math., 1989, Vol. 81, P. 221-248

184. Reyes E.G. The soliton content of the Camassa-Holm and Hunter-Saxton equations // Proc. Inst. Math. NAS of Ukraine, 2002, Vol. 43, Part 1, P. 201 -208

185. Ritt J.F. Integration in Finite Terms. Liouville's Theory of Elementary Methods. N.Y.: Columbia University Press, 1948

186. Roy S., Roy Chowdhury A., De M. Loop algebra of Lie symmetries for a short-wave equation // International Journal of Theoretical Physics, 1988, Vol. 27, No 1, P. 47-55

187. Sakovich S.Yu. On zero-curvature representations of evolution equations // J. Phys. A, Math. Gen., 1995, Vol. 28, P. 2861-2869

188. Schwarz F. Algorithmic Lie Theory for Solving Ordinary Differential Equations. Boca Raton (Fl): Chapman & Hall/CRC, 2008

189. Stohny V. Symmetry properties and exact solutions of the Fokker-Planck equation // Nonlinear Mathematical Physics, 1997, Vol. 4, No 1-2, P. 132 -136

190. Stormark O.: Lie's Structural Approach to PDE Systems. Cambridge: Cambridge University Press, 2000

191. Takasaki, K.: Quasi-classical limit of BKP hierarchy and W-infinity symmetries // Lett. Math. Phys., 1993, Vol. 28, P. 177-185

192. The D. Contact geometry of hyperbolic equations of generic type // Symmetry, Integrability and Geometry: Methods and Applications, 2008, Vol. 4, Paper 058

193. The Painleve Property: One Century Later / Ed. by R. Conte, CRM Series in Math. Phys., Berlin: Springer-Verlag, 1999.

194. Tod K.P. Einstein-Weil spaces and third order differential equations // J. Math. Phys., 2000, Vol. 41, P. 5572 5581

195. Tondo G.S. The eigenvalue problem for the three-wave resonant interaction in (2+1) dimensions via the prolongation structure // Lett. Nuovo Cimento, 1985, Vol. 44, P. 297-302

196. Tresse A. Sur les invariants différentielles des groupes continus de transformations // Acta Math., 1894, Vol. 18, P. 1 88

197. Tresse A. Détermination des invariants ponctuels de l'équation différentielle ordinaire de second ordre y" = w(x, y, y') Il Preisschriften der furstlichen Jablonowski'schen Gesellschaft. 1896, Vol. 32. Leipzig: Hirzel.

198. Valiquette F. Structure equations of Lie pseudo-groups // Journal of Lie theory, 2008, Vol. 18, No 4, P. 869-895

199. Vessiot E. Sur l'intégraton des systèmes différentiels des groupes continues de transformations // Acta Math., 1904, Vol. 28, P. 307-349

200. Vinogradov A.M. Local symmetries and conservation laws // Acta Appl. Math., 1984, Vol. 2, No 1, P. 21-78

201. Wahlquist H.D., Estabrook F.B. Prolongation structures of nonlinear evolution equations // J. Math. Phys., 1975, Vol. 16, P. 1-7

202. Xu Xiaoping. Stable range approach to short wave and Khokhlov-Zabolot-skaya equations // Acta Appl. Math., 2009, Vol. 106, No 3, P. 433-454

203. Yumaguzhin V.A. Differential invariants of second order ODEs, I // Acta Appl. Math., 2010, Vol. 109, P. 283 313

204. Zakharov V.E. Integrable systems in multidimensional spaces // Lect. Notes Phys., 1982, Vol. 153, P. 190-216