Математические модели для описания волн на воде и их свойства тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Сухарев, Михаил Борисович

• Сухарев, Михаил Борисович
• кандидат физико-математических наук
• 2005

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Сухарев, Михаил Борисович

Введение

1 Математические модели, используемые для описания волн на воде

1.1 Модель Кортевега — де Вриза для описания волн на воде.

1.2 Одномерная модель пятого порядка для описания волн на воде

1.3 Двумерная модель для описания волн на поверхности воды

1.4 Уравнения Кадомцева — Петвиашвили с переменными коэффициентами

1.5 Результаты первой главы.

2 Методы Пенлеве для исследования нелинейных уравнений

2.1 Тест Ковалевской — Пенлеве для анализа обыкновенных дифференциальных уравнений с положительными индексами.

2.2 Метод Конта — Форди — Пикеринга для анализа обыкновенных дифференциальных уравнений с отрицательными индексами

2.3 Метод усечённых разложений для анализа нелинейных уравнений

2.4 Инвариантный Пенлеве-анализ.

2.5 Результаты второй главы.

3 Точные решения одномерной модели пятого порядка для описания волн на воде 56 3.1 Методы поиска частных решений для нелинейных дифференциальных уравнений.

3.2 Модифицированный метод усечённых разложений для поиска частных решений нелинейных дифференциальных уравнений.

3.3 Решения одномерной модели пятого порядка в виде уединённых волн

3.4 Решения одномерной модели пятого порядка в виде кноидальных волн.

3.5 Результаты третьей главы.

4 Аналитические свойства уравнений Кадомцева — Петвиашвили с переменными коэффициентами

4.1 Анализ уравнений Кадомцева — Петвиашвили на свойство Пенлеве

4.1.1 Уравнение Кадомцева — Петвиашвили.

4.1.2 Модифицированное уравнение Кадомцева — Петвиашвили

4.2 Вывод иерархии уравнений Кадомцева — Петвиашвили с переменными коэффициентами

4.2.1 Иерархия модифицированных уравнений Кадомцева — Петвиашвили с переменными коэффициентами.

4.2.2 Иерархия уравнений Кадомцева — Петвиашвили с переменными коэффициентами.

4.3 Преобразования Бэклунда и пары Лакса для уравнения Кадомцева Петвиашвили с переменными коэффициентами.

4.3.1 Преобразования Бэклунда.

4.3.2 Пары Лакса

4.4 Редукции уравнений Кадомцева — Петвиашвили с переменными коэффициентами к системам двумерных уравнений

4.5 Связь уравнений Кадомцева — Петвиашвили с переменными коэффициентами и уравнений Пенлеве.

4.6 Результаты четвёртой главы.

5 Аналитические свойства обыкновенных дифференциальных уравнений, связанных с нелинейными моделями для описания волн на воде

5.1 Обыкновенные дифференциальные уравнения, возникающие при описании волн на воде.

5.1.1 Связь одномерной модели пятого порядка для описания волн на воде с точно решаемыми моделями.

5.1.2 Обыкновенные дифференциальные уравнения, связанные с семейством модифицированных уравнений Кортевега — де Вриза.

5.1.3 Обыкновенные дифференциальные уравнения, связанные с семейством модифицированных уравнений Kayna — Купер-шмидта.

5.2 Анализ на свойство Пенлеве обыкновенных дифференциальных уравнений четвёртого порядка, используемых при описании волн на воде

5.2.1 Анализ обыкновенных дифференциальных уравнений, полученных из модифицированного уравнения Кортевега — де Вриза.^.

5.2.2 Анализ обыкновенных дифференциальных уравнений, полученных из модифицированного уравнения Kayna — Ку-першмидта.

5.3 Пары Лакса для обыкновенных дифференциальных уравнений, связанных с модифицированным уравнением Кортевега — де Вриза

5.4 Преобразования Бэклунда для обыкновенных дифференциальных уравнений, встречающихся при описании волн на воде.

5.4.1 Преобразования Бэклунда для семейства обыкновенных дифференциальных уравнений, полученных из иерархии модифицированных уравнений Кортевега — де Вриза.

5.4.2 Преобразования Бэклунда для семейства обыкновенных дифференциальных уравнений, полученных из иерархии модифицированных уравнений Kayna — Купершмидта.

5.5 Частные решения обыкновенных дифференциальных уравнений четвёртого порядка, возникающих при описании волн на воде

5.6 Точные разностные уравнения для обыкновенных дифференциальных уравнений четвёртого порядка, связанных с нелинейными моделями для описания волн на воде

5.6.1 Рекуррентные формулы для решений обыкновенного дифференциального уравнения, полученного из модифицированного уравнения Кортевега — де Вриза.

5.6.2 Рекуррентные формулы для решений обыкновенного дифференциального уравнения, полученного из модифицированного уравнения Kayna — Купершмидта.

5.7 Результаты пятой главы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математические модели для описания волн на воде и их свойства»

Объектом исследования диссертационной работы являются математические модели высокого порядка, используемые для описания нелинейных волн на воде. Основное внимание уделено обобщениям модели Кортевега — де Вриза, позволяющим более точно передавать физическую картину распространения волн на поверхности воды. Рассмотрены два обобщения модели Кортевега — де Вриза, а именно:

• одномерная модель пятого порядка, описывающая длинные волны на воде с учётом сил поверхностного натяжения;

• двумерная модель с переменными коэффициентами, описывающая длинные волны на поверхности жидкости (модель Кадомцева — Петвиашвили с переменными коэффициентами).

Актуальность работы определяется непрерывно возрастающей ролью нелинейных математических моделей, которые используются для описания различных по своей природе физических явлений. На протяжении последних десятилетий нелинейные модели постепенно вытесняют линейные, преобладавшие в естествознании ещё полвека назад. Основным недостатком линейных моделей является то, что они могут давать, как правило, лишь общее представление о физических процессах. Между тем стремительно растёт число задач, для которых такого представления явно недостаточно. Более того, постоянно расширяется перечень физических явлений, которые вообще не могут быть поняты в рамках линейных теорий.

Опыт показал, что многие физические задачи о нелинейных волнах описываются сравнительно небольшим числом универсальных математических моделей. Проблемы взаимодействия волн большой амплитуды, возникающие в физике плазмы, нелинейной оптике, физике ферромагнетиков и в некоторых других разделах физики, имеют с формальной точки зрения много общего как между собой, так и с классической задачей о нелинейных волнах на поверхности тяжёлой жидкости. Наиболее известной математической моделью, описывающей такие нелинейные волны, является модель Кортевега — де Вриза, полученная в 1895 году. Эта модель хорошо согласуется с многочисленными экспериментальными данными, поэтому она широко используется в настоящее время.

Стремление как можно более точно передать физическую природу исследуемого объекта неизбежно приводит к усложнению математической модели и входящих в неё уравнений. Если ещё несколько десятилетий назад при моделировании волновых процессов в основном использовались эволюционные уравнения третьего порядка с одной пространственной переменной, то сейчас внимание исследователей привлекают уравнения пятого и более высоких порядков, уравнения и системы уравнений с несколькими пространственными переменными.

В этом отношении модель Кортевега — де Вриза не является исключением. Одно из обобщений этой модели применительно к описанию волн на воде было получено П. Олвером в 1984 году. Сохранив одномерную структуру модели, он предложил учитывать слагаемые более высокого порядка малости. Это привело к усложнению уравнений, описывающих отклонение свободной поверхности жидкости от положения равновесия и скорость распространения волнового возмущения. При таком подходе появилась возможность учитывать глубину, на которой измерена горизонтальная скорость жидкости, что в рамках модели влечёт за собой появление различных уединённых волн на разных глубинах. Однако сложность модели Олвера привела к тому, что до недавнего времени она оставалась неизученной. Тем не менее в контексте задачи о распространении волн на воде подход, позволяющий учитывать слагаемые более высокого порядка малости по сравнению с традиционными моделями, представляет несомненный интерес.

Другое, намного более известное обобщение модели Кортевега — де Вриза было получено Б.Б. Кадомцевым и В.И. Петвиашвили в 1970 году при изучении вопроса об устойчивости уединённых волн по отношению к слабым поперечным возмущениям. Эта модель в силу наличия двух пространственных переменных более адекватно описывает распространение волн на поверхности воды. В то же время при её выводе используются слагаемые того же порядка малости, что и в случае модели Кортевега — де Вриза, так что усложнение модели происходит лишь за счёт введения дополнительной переменной. По этой причине модель Кадомцева — Петвиашвили часто называют двумерной моделью Кортевега — де Вриза, а область её применения почти так же широка, как и у классической модели Кортевега — де Вриза.

Несмотря на большое число работ, посвящённых модели Кадомцева — Петвиашвили, её обобщению — модели Кадомцева — Петвиашвили с переменными коэффициентами до настоящего времени не уделено достаточного внимания. Однако при моделировании реальной физической картины волн на воде не всегда можно считать постоянными такие характеристики, как глубину жидкости и давление воздуха у поверхности раздела сред. Если же предполагать эти величины изменяющимися по некоторому закону, то учёт соответствующих зависимостей приведёт к уравнениям с переменными коэффициентами. В связи с этим исследование модели Кадомцева — Петвиашвили с переменными коэффициентами представляет собой достаточно важную задачу, имеющую непосредственное физическое приложение.

Общеизвестно, что математические модели необходимы для достоверного предсказания поведения исследуемого объекта и для удешевления физического эксперимента, а иногда — и полной замены физического эксперимента численным. В настоящее время моделирование сколько-нибудь сложных явлений и проведение численных экспериментов немыслимо без использования ЭВМ. Поэтому неудивительно, что прогресс нелинейной науки во многом зависит от развития вычислительной техники и численных алгоритмов. Однако дифференциальные уравнения, входящие в математическую модель, и разностные схемы, применяемые для расчётов на ЭВМ, имеют принципиально разную структуру и обладают различными свойствами. В силу этих различий и отсутствия универсального способа дискретизации дифференциальных уравнений построить корректный численный алгоритм по имеющейся математической модели очень трудно. В этом случае знание свойств исходной модели (например, наличие законов сохранения) может существенно облегчить задачу построения разностной схемы.

Будучи построенной, любая разностная схема нуждается в проверке. В том случае, когда моделируется хорошо изученное явление, результаты расчётов можно сравнить с экспериментальными данными и на этом основании вынести заключение о применимости разностной схемы. Однако при отсутствии экспериментальных данных, что нередко случается при попытке моделирования сложных процессов или совершенно новых явлений, такая проверка невозможна. Единственный выход в этой ситуации заключается в использовании аналитических решений математической модели для тестирования разностной схемы. Таким образом, даже в компьютерную эпоху исследование аналитических свойств дифференциальных уравнений и поиск их точных решений остаются задачей первостепенной важности.

Целью диссертационной работы является исследование аналитических свойств и поиск точных решений дифференциальных уравнений, входящих в одномерную модель пятого порядка для описания волн на воде и в двумерную модель с переменными коэффициентами для описания волн на поверхности воды (модель Кадомцева — Петвиашвили с переменными коэффициентами).

В диссертационной работе решались следующие задачи:

• получить точные решения одномерной модели пятого порядка для описания волн на воде;

• изучить аналитические свойства двумерной модели с переменными коэффициентами для описания волн на поверхности воды;

• найти редукции нелинейных моделей для описания волн на воде к обыкновенным дифференциальным уравнениям и исследовать их свойства.

Научная новизна работы. Впервые получен полный перечень точных решений одномерной модели пятого порядка для описания волн на воде. Предложен новый способ построения иерархии уравнений Кадомцева — Петвиашвили с переменными коэффициентами, сохраняющий сингулярную структуру решений двумерной модели для описания волн на поверхности воды. Для уравнений этой иерархии впервые найдены псевдопотенциалы Уолквиста — Эстабрука, пары Лакса и преобразования Бэклунда. Для двумерной модели с переменными коэффициентами специального вида найдено нелинейное преобразование переменных, приводящее к уравнениям с постоянными коэффициентами. Впервые получены редукции уравнений Кадомцева — Петвиашвили с переменными коэффициентами к уравнениям меньшей размерности, в том числе и к системам линейных уравнений. С помощью методов Пенлеве впервые найдены необходимые условия отсутствия подвижных критических особых точек у решений обыкновенных дифференциальных уравнений, связанных с нелинейными моделями для описания волн на воде. Для этих обыкновенных дифференциальных уравнений впервые получены пары Лакса и преобразования Бэклунда. С помощью преобразований Бэклунда впервые построены точные разностные уравнения для обыкновенных дифференциальных уравнений четвёртого порядка, связанных с нелинейными моделями для описания волн на воде.

Обоснованность и достоверность результатов работы подтверждаются научными публикациями в рецензируемых периодических изданиях и апробацией основных положений работы на научных конференциях. Аналитические результаты, полученные в диссертационной работе, обосновываются строгостью исходных посылок и корректным применением математического аппарата, а также сравнительным анализом с известными результатами других авторов, близкими к тематике настоящего исследования.

Апробация работы. Основные результаты и положения диссертационной работы докладывались и обсуждались на следующих научных конференциях:

• на одиннадцатой международной конференции «Nonlinear evolution equations and dynamical systems», Крит, Греция, 18-28 июня 1997 года;

• на международной конференции по интегрируемым системам «Кгизка1 2000», посвящённой семидесятипятилетию М. Крускала, Аделаида, Австралия, 3-7 января 2000 года;

• на двадцать девятой летней школе «Актуальные проблемы механики», Санкт-Петербург, Россия, 21-30 июня 2001 года;

• на ежегодной научной сессии МИФИ в 1999, 2000, 2001, 2002 и 2004 годах.

Практическая значимость работы. Точные решения одномерной модели пятого порядка могут быть использованы в качестве теста при построении разностных схем для расчёта волн на воде. Пары Лакса, построенные для уравнений Кадомцева — Петвиашвили с переменными коэффициентами, могут использоваться для решения задачи Коши методом обратной задачи рассеяния. Преобразования Бэклунда, найденные для уравнений Кадомцева — Петвиашвили с переменными коэффициентами, полезны при поиске точных решений. Редукции уравнений Кадомцева — Петвиашвили с переменными коэффициентами к уравнениям и системам уравнений меньшей размерности дают ещё один способ получения аналитических решений.

Связь, установленная между обыкновенными дифференциальными уравнениями и нелинейными моделями для описания волн на воде, может быть использована для восстановления решений нелинейных моделей по известным решениям обыкновенных дифференциальных уравнений. Программы, применявшиеся для анализа обыкновенных дифференциальных уравнений на свойство Пенле-ве, могут быть использованы для исследования других обыкновенных дифференциальных уравнений полиномиального типа. Пары Лакса и преобразования Бэклунда для обыкновенных дифференциальных уравнений, связанных с нелинейными моделями для описания волн на воде, могут применяться для поиска аналитических решений. Точные разностные уравнения для обыкновенных дифференциальных уравнений четвёртого порядка, связанных с нелинейными моделями для описания волн на воде, позволят избежать ошибок аппроксимации при вычислении решений на ЭВМ.

На защиту выносятся:

• точные решения одномерной модели пятого порядка для описания волн на воде;

• пары Лакса для уравнений Кадомцева — Петвиашвили с переменными коэффициентами, необходимые для решения задачи Коши методом обратной задачи рассеяния;

• преобразования Бэклунда для уравнений Кадомцева — Петвиашвили с переменными коэффициентами, которые могут быть использованы для построения точных решений;

• результаты анализа на свойство Пенлеве обыкновенных дифференциальных уравнений, встречающихся при описании волн на воде;

• пары Лакса и преобразования Бэклунда для обыкновенных дифференциальных уравнений, возникающих при описании волн на воде;

• точные разностные уравнения для обыкновенных дифференциальных уравнений четвёртого порядка, используемых при описании волн на воде.

Краткое содержание работы.

Первая глава посвящена выводу математических моделей, которые будут детально рассмотрены в последующих главах. С привлечением математического аппарата теории возмущений дан вывод классической модели Кортевега — де Вриза для описания волн на воде. Показано, что одномерная модель пятого порядка для описания волн на воде возникает в следующем после модели Кортевега — де Вриза нелинейном приближении. Приводится вывод уравнения Кадомцева — Петвиашвили, обобщающего модель Кортевега — де Вриза на случай двух пространственных измерений. Показано, что решения этого уравнения связаны с решениями модифицированного уравнения Кадомцева — Петвиашвили посредством двумерного аналога нелинейного преобразования Миуры. Также приведён вывод уравнений Кадомцева — Петвиашвили с переменными коэффициентами при условии, что известна сингулярная структура решений соответствующих уравнений с постоянными коэффициентами.

Вторая глава посвящена описанию методов анализа дифференциальных уравнений на свойство Пенлеве, которое заключается в отсутствии подвижных критических особых точек в общем решении дифференциального уравнения. Изложен метод Ковалевской — Пенлеве для анализа обыкновенных дифференциальных уравнений. Этот метод основан на разложении решения уравнения вблизи подвижного некритического полюса в ряд Лорана. Для того, чтобы иметь возможность анализировать решения дифференциальных уравнений с подвижными некритическими существенно особыми точками, излагается метод Конта — Фор-ди — Пикеринга. Этот метод является обобщением метода Ковалевской — Пенлеве и основан на применении техники теории возмущений. Приведены обобщения методов Ковалевской — Пенлеве и Конта — Форди — Пикеринга на случай уравнений в частных производных. Рассмотрен инвариантный формализм тестирования уравнений на свойство Пенлеве, позволяющий в ряде случаев существенно упростить вычисления.

Изложен метод усечённых разложений Вейсса — Табора — Карневейля, основанный на усечении рядов Лорана для решений дифференциальных уравнений до неположительных степеней. На примере уравнения Кортевега — де Вриза показано, что для некоторых точно решаемых уравнений этот метод позволяет построить пары Лакса и преобразования Бэклунда. Метод усечённых разложений также может быть использован для поиска аналитических решений нелинейных дифференциальных уравнений, в том числе и для уравнений, не относящихся к классу точно решаемых.

Третья глава посвящена исследованию одномерной модели пятого порядка для описания волн на воде. В начале главы приведён обзор методов, используемых для поиска аналитических решений дифференциальных уравнений. Особое внимание уделено прямым методам, показано, что часть из них сводится к методу усечённых разложений. Детально рассматривается модификация метода усечённых разложений, предложенная Контом и Мюсетт в 1992 году. Фактически этот метод сводится к поиску частных решений дифференциального уравнения в виде полинома по степеням двух функций, обладающих общими полюсами первого порядка и удовлетворяющих системе двух связанных уравнений Риккати. Формально метод Конта — Мюсетт можно рассматривать, как разложение решения дифференциального уравнения по элементарным уединённым волнам (солитону и кинку).

Остальная часть третьей главы посвящена точным решениям одномерной модели пятого порядка для описания волн на воде. Показано, что рассматриваемое уравнение не обладает свойством Пенлеве, т.е. не является точно решаемым. Тем не менее метод Конта — Мюсетт позволяет найти ряд решений, имеющих вид уединённых волн. Для поиска точных решений одномерной модели пятого порядка для описания волн на воде, выражающихся через эллиптические функции, использован метод Кудряшова, предложенный в 1990 году. С помощью этого метода найдены периодические решения исследуемой модели, имеющие вид кно-идальных волн.

Четвёртая глава посвящена исследованию аналитических свойств уравнений Кадомцева — Петвиашвили с переменными коэффициентами. Представлен анализ на свойство Пенлеве уравнения Кадомцева — Петвиашвили и связанного с ним модифицированного уравнения, необходимый для выявления сингулярной структуры их решений. На основе полученной информации строится иерархия псевдопотенциалов Уолквиста — Эстабрука, условие совместности которых приводит к иерархии уравнений Кадомцева — Петвиашвили с переменными коэффициентами. Уравнения для псевдопотенциалов в силу линейности представляют собой скалярные пары Лакса для исследуемых уравнений. Тем самым уравнения Кадомцева — Петвиашвили с переменными коэффициентами оказываются точно решаемыми (интегрируемыми методом обратной задачи рассеяния), как и уравнения с постоянными коэффициентами. Для переменных коэффициентов специального вида найдено нелинейное преобразование, переводящее решения уравнений с переменными коэффициентами в решения уравнений с постоянными коэффициентами.

Существование двух различных псевдопотенциалов используется для редукции уравнений Кадомцева — Петвиашвили с переменными коэффициентами к системам уравнений меньшей размерности. Показано, что одна из простейших редукций уравнения Кадомцева — Петвиашвили с переменными коэффициентами приводит к первому уравнению Пенлеве, а редукция модифицированного уравнения — к второму уравнению Пенлеве. Также показано, что редукции уравнений Кадомцева — Петвиашвили с переменными коэффициентами высших порядков приводят к высшим аналогам уравнений Пенлеве.

Пятая глава посвящена исследованию аналитических свойств обыкновенных дифференциальных уравнений, связанных с нелинейными моделями для описания волн на воде. Показано, что при определённом выборе коэффициентов одномерная модель пятого порядка для описания волн на воде сводится к уравнению Кортевега — де Вриза пятого порядка или к уравнению Kayna — Купершмид-та. Решения упомянутых уравнений могут быть получены с помощью преобразования Миуры по известным решениям соответствующих модифицированных уравнений. Наряду с модифицированными уравнениями Кортевега — де Вриза и Kayna — Купершмидта приведены соответствующие им уравнения сингулярных поверхностей, которые возникают при использовании метода усечённых разложений. Показано, что эти семейства эволюционных уравнений после перехода к автомодельным переменным приводят к четырём различным семействам обыкновенных дифференциальных уравнений.

Приведены результаты анализа на свойство Пенлеве рассматриваемых обыкновенных дифференциальных уравнений четвёртого порядка с использованием метода Конта — Форди — Пикеринга. Для двух семейств обыкновенных дифференциальных уравнений, связанных с нелинейными моделями для описания волн на воде, построены пары Лакса (необходимые для решения задачи Коши методом обратной задачи рассеяния). Для двух семейств рассматриваемых обыкновенных дифференциальных уравнений найдены преобразования Бэклунда, позволяющие строить бесконечный набор точных решений; приведены некоторые точные решения, полученные этим способом. На основе найденных преобразований Бэклунда для двух обыкновенных дифференциальных уравнений четвёртого порядка построены их точные разностные аналоги.

В прилоо/сение вынесены результаты, относящиеся к уравнениям Кадомцева — Петвиашвили с переменными коэффициентами высших порядков. Выписаны сами эти уравнения, соответствующие им псевдопотенциалы Уолквиста — Эс-табрука и преобразования Бэклунда. Также представлены редукции уравнений Кадомцева — Петвиашвили с переменными коэффициентами высших порядков к системам двумерных уравнений.

Основные результаты диссертационной работы опубликованы в статьях:

1. Kudryashov N.A., Suharev M.В. Bâcklund transformations for some nonlinear équations // Препринт МИФИ 011-95. 1995.

2. Kudryashov N.A., Soukharev M.B. The variable coefficient Kadomtsev — Petviashvili hiérarchies and constraints to some équations // Препринт МИФИ 017-96. 1996.

3. Kudryashov N.A., Soukharev M.B. Uniformization and transcendence of solutions for the first and second Painlevé hiérarchies // Physics Letters A. 1998. V. 237. P. 206-216.

4. Кудряшов H.A., Сухарев M.Б. Аналитические решения двумерного уравнения Курамото — Сивашинского // Научная сессия МИФИ. Сборник научных трудов. 1999. Т. 1. С. 178-179.

5. Кудряшов Н.А., Сухарев М.Б. Применение теста Пенлеве для одного уравнения четвертого порядка // Научная сессия МИФИ. Сборник научных трудов. 1999. Т. 1. С. 180-181.

6. Кудряшов Н.А., Сухарев М.Б. Точные решения одного неинтегрируемого нелинейного уравнения пятого порядка // Научная сессия МИФИ. Сборник научных трудов. 2000. Т. 7. С. 94-95.

7. Кудряшов Н.А., Сухарев М.Б. Свойство Пенлеве для одного из уравнений четвертого порядка // Научная сессия МИФИ. Сборник научных трудов.

2001. Т. 7. С. 62-63.

8. Кудряшов Н.А., Сухарев М.Б. Точные решения нелинейного уравнения пятого порядка для описания волн на воде // Прикладная математика и механика. 2001. Т. 65. Вып. 5. С. 884-894.

9. Кудряшов Н.А., Сухарев М.Б. Метод полюсных особенностей для поиска точных решений нелинейных уравнений в частных производных // Научная сессия МИФИ. Сборник научных трудов. 2002. Т. 7. С. 105-106.

10. Kudryashov N.A., Soukharev М.В. Discrete equations corresponding to fourth-order differential equations of the P2 and K2 hierarchies // ANZIAM Journal.

2002. V. 44. P. 149-160.

11. Kudryashov N.A., Soukharev M.B., Siroklin S.A. Exact solutions of the fifth-order nonlinear water-wave equation // Актуальные проблемы механики, труды XXIX летней школы / ред. Д.А. Индейцев. Санкт-Петербург. 2002. С. 406-416.

12. Кудряшов Н.А., Сухарев М.Б. Метод эллиптических пробных функций // Научная сессия МИФИ. Сборник научных трудов. 2004. Т. 7. С. 120-121.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Сухарев, Михаил Борисович

Заключение

В диссертационной работе получены следующие результаты:

• найдены точные решения одномерной модели пятого порядка для описания волн на воде;

• построена иерархия уравнений Кадомцева — Петвиашвили с переменными коэффициентами;

• для уравнений Кадомцева — Петвиашвили с переменными коэффициентами высших порядков найдены псевдопотенциалы Уолквиста — Эстабрука, пары Лакса и преобразования Бэклунда;

• для переменных коэффициентов специального вида найдено нелинейное преобразование переменных, связывающее решения уравнений Кадомцева — Петвиашвили с переменными коэффициентами и решения уравнений Кадомцева — Петвиашвили с постоянными коэффициентами;

• построены редукции уравнений Кадомцева — Петвиашвили с переменными коэффициентами к уравнениям и системам уравнений меньшей размерности. В частности, для переменных коэффициентов специального вида найдены редукции к линейным уравнениям и высшим аналогам уравнений Пе-нлеве;

• показано, что решения обыкновенных дифференциальных уравнений, связанных с нелинейными моделями для описания волн на воде, не имеют критических подвижных особых точек;

• найдены пары Лакса и преобразования Бэклунда для обыкновенных дифференциальных уравнений, используемых для описания волн на воде;

• найдены рекуррентные формулы для решений обыкновенных дифференциальных уравнений, возникающих при описании волн на воде.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Сухарев, Михаил Борисович, 2005 год

1. Stokes G.G. On a difficulty in the theory of sound // Philosophical Magazine. Series 3. 1848. V. 33. P. 349-356.

2. Riemann B. Ueber die Fortpflanzung ebener Luftwellen von endlicher Schwingungsweite // Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen. 1860. Bd. 8. S. 43-65.

3. Russell J.S. Report on waves // Report of the fourteenth meeting of the British Association for the Advancement of Science. York. September 1844. London. 1845. Plates XLVII-LVII. P. 311-390.

4. Boussinesq J. Théorie de l'intumescence liquide appeleé onde solitaire ou de translation se propageant dans un canal rectangulaire // Comptes Rendus de l'Académie des Sciences Paris. 1871. V. 72. P. 755-759.

5. Strutt J. W. (Lord Rayleigh) On waves // Philosophical Magazine. Series 5.1876. V. 1. P. 257-279.

6. Korteweg D.J., de Vries G. On the change of form of long waves advancing in a rectangular canal, and on a new type of long stationary waves // Philosophical Magazine. Series 5. 1895. V. 39. P. 422-443.

7. Zabusky N.J., Kruskal M.D. Interaction of solitons in a collisionless plasma and the recurrence of initial states // Physical Review Letters. 1965. V. 15. P. 240-243.

8. Whitham G.B. Linear and Nonlinear Waves. Wiley-Interscience, New York, 1974. = Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны. Москва, Мир. 1977. 622 с.

9. Lamb G.L., Jr. Elements of soliton theory. John Wiley & Sons, New York, 1980. = Лэм Дж.Л. Введение в теорию солитонов. Могилев, Бибфизмат. 1997. 294 с.

10. Benjamin Т.В. The solitary wave with surface tension // Quarterly of Applied Mathematics. 1982. V. 40. P. 231-234.

11. Bona J.L., Smith R. A model for the two-way propagation of water waves in a channel // Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. 1976. V. 79. P. 167-182.

12. Olver P.L. Hamilton and non-Hamilton models for water waves // Lecture Notes in Physics. 1984. Springer-Verlag, New York. No. 195. P. 273-290.

13. Березин Ю.А., Карпман В.И. О нелинейной эволюции возмущений в плазме и других диспергирующих средах // Журнал экспериментальной и теоретической физики. 1966. Т. 51. С. 1557.

14. Карпман В.И. О структуре течения при двумерном обтекании тонкого тела в диспергирующей среде // Журнал экспериментальной и теоретической физики. 1967. Т. 52. С. 1657.

15. Кадомцев Б.Б., Петвиашвили В.И. Об устойчивости уединенных волн в слабо диспергирующих средах // Доклады Академии наук СССР. 1970. Т. 192. Вып. 4. С. 753-756.

16. Dorfman I. Ya., Nijhoff F. W. On a (2+l)-dimensional version of the Krichever-Novikov equation // Physics Letters A. 1991. V. 157. P. 107-112.

17. Konopelchenko B.G. On the gauge-invariant description of the evolution equations integrable by Gelfand-Dikij spectral problems // Physics Letters A. 1982. V. 92. P. 323-327.

18. Kudryashov N.A., Soukharev M.В. The variable coefficient Kadomtsev — Petviashvili hiérarchies and constraints to some équations // Препринт МИФИ 017-96. 1996.

19. Переломов A.M. Интегрируемые системы классической механики и алгебры Ли. Москва, Наука. 1990. 240 с.

20. Голубев В. В. Лекции по аналитической теории дифференциальных уравнений. Москва, Гостехиздат. 1941. 398 с.

21. Голубев В. В. Лекции по интегрированию уравнений движения тяжелого твердого тела около неподвижной точки. Москва, Гостехиздат. 1953. 287 с.

22. Kowalevski S. Sur le problème de la rotation d'un corps solide autour d'un point fixe // Acta Mathematica. 1889. V. 12. P. 177-232.

23. Kowalevski S. Sur une propriété du système d'équations différentielles qui définit la rotation d'un corps solide autour d'un point fixe // Acta Mathematica. 1890. V. 14. P. 81-93.

24. Painlevé P. Mémoire sur les équations différentielles dont l'intégrale générale est uniforme // Bulletin de la Société Mathématique de France. 1900. V. 28. P. 201-261.

25. Painlevé P. Sur les équations différentielles du second ordre et d'ordre supérieur dont l'intégrale générale est uniforme // Acta Mathematica. 1902. V. 25. P. 1-85.

26. Painlevé P. Sur les équations différentielles du second ordre à points critiques fixes // Comptes Rendus de l'Académie des Sciences Paris. 1906. V. 143. P. 1111-1117.

27. Gambier B. Sur les équations différentielles du second ordre et du premier degré dont l'intégrale générale est à points critiques fixes // Acta Mathematica. 1910. V. 33. P. 1-55.

28. Ince E.L. Ordinary Differential Equations. London, New York. Longmans, Green and Co. 1926. = Айне Э.Л. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Харьков, ОНТИ НКТП Украины. 1939. 717 с.

29. Conte R. The Painleve Approach to Nonlinear Ordinary Differential Equations // The Painleve Property. One Century Later / Ed. R.Conte. CRM Series in Mathematical Physics. Springer, New York. 1999.

30. Громак В.И., Лукашевич Я.А. Аналитические свойства решений уравнений Пенлеве. Минск, Университетское. 1990. 160 с.

31. Ablowitz M.J., Ramani A., Segur Н. A connection between nonlinear evolution equations and ordinary differential equations of P-type. I // Journal of Mathematical Physics. 1980. V. 21. P. 715-721.

32. Ablowitz M.J., Ramani A., Segur H. A connection between nonlinear evolution equations and ordinary differential equations of P-type. II // Journal of Mathematical Physics. 1980. V. 21. P. 1006-1015.

33. Weiss J., Tabor M., Carnevale G. The Painleve property for partial differential equations // Journal of Mathematical Physics. 1983. V. 24. P. 522-526.

34. Fordy A.P., Pickering A. Analysing negative resonances in the Painleve test // Physics Letters A. 1991. V. 160. P. 347-354.

35. Conte R., Fordy A.P., Pickering A. A perturbative Painlev<5 approach to nonlinear differential equations // Physica D. 1993. V. 69. P. 33-58.

36. Weiss J. The Painleve property for partial differential equations. II. Backlund transformation, Lax pairs, and the Schwarzian derivative // Journal of Mathematical Physics. 1983. V. 24. P. 1405-1413.

37. Estevez P.G., Gordoa P.R., Martinez Alonso L., Medina Reus E. Modified singular manifold expansion: application to the Boussinesq and Mikhailov — Shabat systems // Journal of Physics A: Mathematical and General. 1993. V. 26. P. 1915-1925.

38. Gordoa P.R., Estévez P. G. Double singular manifold method for MKdV equation // Теоретическая и математическая физика. 1994. T. 99. Вып. 3. С. 370-376.

39. Musette M., Conte R. The two singular manifold method: I. Modified Korteveg-de Vries and the sine-Gordon equations // Journal of Physics A: Mathematical and General. 1994. V. 27. P. 3895-3913.

40. Conte R., Musette M., Pickering A. The two-singular manifold method: II. Classical Boussinesq system // Journal of Physics A: Mathematical and General. 1995. V. 28. P. 179-187.

41. Pickering A. The singular manifold method revisited // Journal of Mathematical Physics. 1996. V. 37. P. 1894-1927.

42. Conte R. Invariant Painlevé analysis of partial differential equations // Physics Letters A. 1989. V. 140. P. 383-390.

43. Conte R. Unification of PDE and ODE versions of Painlevé analysis into a single invariant version // Painlevé Transcendents / Eds. D. Levi and P. Winternitz. Plenum Press, New York. 1992. P. 125-144.

44. Conte R. Singularities of differential equations and integrability // An introduction to methods of complex analysis and geometry for classical mechanics and nonlinear waves / Eds. D. Benest and C. Froeschlé. Editions Frontières, Gif-sur-Yvette. 1994.

45. Pickering A. A new truncation in the Painlevé analysis // Journal of Physics A: Mathematical and General. 1993. V. 26. P. 4395-4405.

46. Gardner C.S., Greene J.M., Kruskal M.D., Miura R.M. Method for solving the Korteveg — de Vries equation // Physical Review Letters. 1967. V 19. P 10951097.

47. Lax P.D. Integrals of nonlinear equations of evolution and solitary waves // Communications on Pure and Applied Mathematics. 1968. V. 21. P. 467-490.

48. Захаров В.Е., Шабат А.Б. Точная теория двумерной самофокусировки и одномерной автомодуляции волн в нелинейных средах // Журнал экспериментальной и теоретической физики. 1971. Т. 61. С. 118-134

49. Захаров В.Е., Шабат А.Б. О взаимодействии солитонов в устойчивой среде // Журнал экспериментальной и теоретической физики. 1973. Т. 64. С. 1627-1639.

50. Ablowitz M.J., Каир D.J., Newell А.С., Segur Н. The inverse scattering transform — Fourier analysis for nonlinear problems // Studies in Applied Mathematics. 1974. V. 53. P. 249-315.

51. Захаров B.E., Шабат А.Б. Схема интегрирования нелинейных уравнений математической физики методом обратной задачи рассеяния. I // Функциональный анализ и его приложения. 1974. Т. 8. Вып. 3. С. 43-53.

52. Flaschka Н., Newell А.С. Integrable Systems of Nonlinear Evolution Equations 11 Dynamical Systems, Theory and Application / Ed. J. Moser. Lecture Notes in Physics, Springer, Berlin, 1975. V. 38. P. 355-440.

53. Ablowitz M.J., Segur H. Solitons and the inverse scattering transform. SIAM, Philadelphia. 1981. = Абловиц М.Д., Сигур X. Солитоны и метод обратной задачи. Москва, Мир. 1988. 480 с.

54. Гельфанд И.М., Левитан Б.М. Об определении дифференциального уравнения по его спектральной функции // Известия академии наук СССР. Серия математическая. 1951. Т. 15. №4. С. 309-360.

55. Марченко В.А. Восстановление потенциальной энергии по фазе рассеянных волн // Доклады академии наук СССР. 1955. Т. 104. С. 695-698.

56. Hirota R. Exact solution of the Korteveg — de Vries equation for multiple collisions of solitons // Physal Review Letters. 1971. V. 27. P. 1192-1194.

57. Hirota R. Direct Methods of Finding Exact Solutions of Nonlinear Evolution Equations // Bäcklund Transformations / Ed. R.M. Miura. Lecture Notes in Mathematics, Springer, Berlin. 1976. V. 515. P. 40-68.

58. Bäcklund A.V. Einiges über Curven und Flächentrasformationen // Lund Universitets Arsskrift (Acta Universitatis Lundensis). Avdel 2. Medicin samt matematiska och naturvetenskapliga ämnen. 1875. V. 10.

59. Bäcklund A. V. Om Ytor med konstant negativ Krökning // Lund Universitetes Arsskrift (Acta Universitatis Lundensis). Avdel 2. Medicin samt matematiska och naturvetenskapliga ämnen. 1883. V. 19.

60. Wahlquist H.D., Estabrook F.B. Bäcklund transformation for solutions of the Korteweg — de Vries equation // Physical Review Letters. 1973. V. 31. P. 1386-1390.

61. Wadati M., Sanuki H., Konno K. Relationships among inverse method, Bäcklund transformation and an infinite number of conservation laws // Progress of Theoretical Physics. 1975. V. 53. P. 419-436.

62. Lamb G.L., Jr. Bäcklund transformations for certain nonlinear evolution equations // Journal of Mathematical Physics. 1974. V. 15. P. 2157-2165.

63. Airault H., Mckean H.P., Moser J. Rational and elliptic solutions of the Korteweg — de Vries equation and a related many-body problem // Communications on Pure and Applied Mathematics. 1977. V. 30. P. 94-148.

64. Adler M., Moser J. On a class of polynomials connected with the Korteweg — de Vries equation // Communications in Mathematical Physics. 1978. V. 61. P. 1-30.

65. Kudryashov N.A. Method for deriving rational solutions of some nonlinear evolution equations // Journal of Physics A: Mathematical and General. 1997. V. 30. P. 5445-5453.

66. Kudryashov N.A., Pickering A. Rational solutions for Schwarzian integrable hierarchies // Journal of Physics A: Mathematical and General. 1998. V. 31. P. 9505-9518.

67. Bluman G. W., Cole J.D. Similarity methods for differential equations. Springer, Berlin. 1974.

68. Olver P.J., Rosenau P. The construction of special solutions to partial differential equations // Physics Letters A. 1986. V. 114. P. 107-112.

69. Clarkson P.A., Kruskal M.D. New similarity reductions of the Boussinesq equation // Journal of Mathematical Physics. 1989. V. 30. P. 2201-2213.

70. Clarkson P.A. New similarity reductions and Painleve analysis for the symmetric regularised long wave and modified Benjamin — Bona — Mahoney equations // Journal of Physics A: Mathematical and General. 1989. V. 22. P. 3821-3848.

71. Ablowitz M.J., Zeppetella A. Explicit solutions of Fisher's equation for a special wave speed // Bulletin of Mathematical Biology. 1979. V. 41. P. 835-840.

72. Lambert F., Musette M. Solitary waves, padeons and solitons // Pade approximation and its applications / Ed. H. Werner and H.J. Biinger. Lecture Notes in Mathematics. Berlin, Springer. 1984. V. 1071. P. 198-212.

73. Hereman W., Korpel A., Banerjee P.P. A general physical approach to solitary wave construction from linear solutions // Wave Motion. 1985. V. 7. P.283-290.

74. Hereman W., Takaoka M. Solitary wave solutions of nonlinear evolution and wave equations using a direct method and MACSYMA // Journal of Physics A: Mathematical and General. 1990. V. 23. P. 4805-4822.

75. Lan H., Wang К. Exact soliton solutions in ice-like structures // Physics Letters A. 1989. V. 139. P. 61-64.

76. Conte R., Musette M. A simple method to obtain first integrals of dynamical systems // Solitons and chaos (Research reports in physics — nonlinear dynamics) / Ed. I.A. Antoniou, F.J. Lambert. Berlin, Springer. 1991. P. 125-128.

77. Wang X. Y. Exact and explicit solitary wave solutions for the generalised Fisher equation // Physics Letters A. 1988. V. 131. P. 277-279.

78. Conte R., Musette M. Link between solitary waves and projective Riccati equation // Journal of Physics A: Mathematical and General. 1992. V. 25. P. 5609-5623.

79. Землянухин A.M. Точное солитоноподобное решение нелинейного эволюционного уравнения пятого порядка // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика. 1999. Т. 7. Вып. 2-3. С. 29-32.

80. Jeffrey А., Хи S. Travelling wave solutions to certain non-linear evolution equations // International Journal of Nonlinear Mechanics. 1989. V. 24. P. 425-429.

81. Kudryashov N.A. On types of nonlinear nonintegrable equation with exact solutions // Physics Letters A. 1991. V. 155. P. 269-275.

82. Porubov A. V. Exact travelling wave solutions of nonlinear evolution equation of surface waves in a convecting fluid // Journal of Physics A: Mathematical and General. 1993. V. 26. P. L797-L800.

83. Кудряшов H.A. Точные решения нелинейных волновых уравнений, встречающихся в механике // Прикладная математика и механика. 1990. Т. 54. С. 450-453.

84. Conte R., Musette M. Painlevd analysis and Backlund transformation in the Kuramoto-Sivashinsky equation // Journal of Physics A: Mathematical and General. 1989. V. 22. P. 169-177.

85. Nozaki K. Hirota's method and the singular manifold expansion // Journal of the Physical Society of Japan. 1987. V. 56. No. 9. P. 3052-3054.

86. Cariello F., Tabor M. Painleve expansions for nonintegrable evolution equations // Physica D. 1989. V. 39. P. 77-94.

87. Choudhury S.R. Painleve analysis and special solutions of two families of reaction-diffusion equations // Physics Letters A. 1991. V. 159. P. 311-317.

88. Кудряшов Н.А. Преобразования Бэклунда для уравнения в частных производных четвёртого порядка с нелинейностью Бюргерса-КдФ // Доклады академии наук СССР. 1988. Т. 300. С. 342-345.

89. Кудряшов Н.А. Точные солитонные решения обобщенного эволюционного уравнения волновой динамики // Прикладная математика и механика. 1988. Т. 52. С. 465-470.

90. Кудряшов Н.А. Точные решения уравнения N-ro порядка с нелинейностью Бюргерса-Кортевега-де Фриза // Математическое моделирование. 1989. Т. 1. Вып. 6. С. 57-65.

91. Кудряшов Н.А. Точные решения обобщенного уравнения Гинзбурга-Ландау // Математическое моделирование. 1989. Т. 1. Вып. 9. С. 151-158.

92. Кудряшов Н.А. Метод разложений Пенлеве для неинтегрируемых нелинейных уравнений // Математическое моделирование. 1990. Т. 2. С. 102-116.

93. Кудряшов Н.А. О точных решениях уравнений семейства Фишера // Теоретическая и математическая физика. 1993. Т. 94. Вып. 2. С. 296-306.

94. Гордеев Ю.Н., Кудряшов Н.А. Уединенные волны в диссипативно-дисперсионных системах с неустойчивостью // Механика жидкости и газа. 1989. Вып. 2. С. 99-104.

95. Бопдаренко А.Г., Кудряшов Н.А. Нелинейные волны в жидкости с пузырьками газа при учете фазового перехода // Механика жидкости и газа. 1989. Вып. 3. С. 114-119.

96. Kudryashov N.A. Exact solutions of the generalized Kuramoto-Sivashinsky equation // Physics Letters A. 1990. V. 147. P. 287-291.

97. Kudryashov N.A., Zargaryan E.D. Solitary waves in active-dissipative dispersive media // Journal of Physics A: Mathematical and General. 1996. V. 29. P. 8067-8077.

98. Otwinowski M., Paul. R., Laidlaw W.G. Exact travelling wave solutions of a class of nonlinear diffusion equations by reduction to a quadrature // Physics Letters A. 1988. V. 128. P. 483-487.

99. Гудков В.В. Решения типа бегущей волны для двухкомпонентных систем реакции-диффузии // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1995. Т. 35. Вып. 4. С. 615-623.

100. Lu Н., Wang М. Exact soliton solutions of some nonlinear physical models // Physics Letters A. 1999. V. 255. P. 249-252.

101. Dai X., Dai J. Some solitary wave solutions for families of generalized higher order KdV equations 11 Physics Letters A. 1989. V. 142. P. 367-370.

102. Huang G., Luo S., Dai X. Exact and explicit solitary wave solutions to a model equation for water waves // Physics Letters A. 1989. V. 139. P. 373-374.

103. Lan H., Wang K. Exact solutions for some nonlinear equations // Physics Letters A. 1989. V. 137. P. 369-372.

104. Кудряшов H.А., Сухарев M.Б. Точные решения нелинейного уравнения пятого порядка для описания волн на воде // Прикладная математика и механика. 2001. Т. 65. Вып. 5. С. 884-894.

105. Кричевер И.М., Новиков С. П. Голоморфные расслоения над алгебраическими кривыми и нелинейные уравнения // Успехи математических наук. 1980. Т. 35. Вып. 6. С. 47-68.

106. Miura R.M. Korteweg — de Vries equation and generalizations, I. A remarkable explicit nonlinear transformation // Journal of Mathematical Physics. 1968. V. 9. P. 1202-1204.

107. Kudryashov N.A. Singular manifold equations and exact solutions for some nonlinear partial differential equations // Physics Letters A. 1993. V. 182. P. 356-362.

108. Wahlquist H.D., Estabrook F.B. Prolongation structures of nonlinear evolution equations. I // Journal of Mathematical Physics. 1975. V. 16. P. 1-7.

109. Estabrook F.B., Wahlquist H.D. Prolongation structures of nonlinear evolution equations. II // Journal of Mathematical Physics. 1976. V. 17. P. 1293-1297.

110. Konopelchenko B.G., Dubrovsky V.G. Inverse spectral transform for the modified Kadomtsev — Petviashvili equation // Studies in Applied Mathematics. 1992. V. 86. P. 219-268.

111. Darboux G. Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques due calcul infinitésimal. Paris, Gauthier-Villars. 1894.

112. Matveev V.B., Salle M.A. Darboux transformations and solitons // Springer series in nonlinear dynamics. Berlin, Springer. 1991.

113. Lamb G.L., Jr. Propagation of ultrashort optical pulses // Physics Letters A. 1967. V. 25. P. 181-182.

114. Hirota R. Direct methods in soliton theory // Solitons: topics in current physics / Eds. Bullough, R.K., Caudrey, P.J. Berlin, Springer-Verlag. 1980. V. 17. P. 157-176.

115. Matsuno Y. Bilinear transformation method. New York, Academic Press. 1984.

116. Kudryashov N.A., Suharev M.B. Bâcklund transformations for some nonlinear equations // Препринт МИФИ 011-95. 1995.

117. Cheng Y., Li Y.-S. The constraints of the Kadomtsev — Petviashvili equation and its special solutions // Physics Letters A. 1991. V. 157. P. 22-26.

118. Cheng Y, Li Y.-S. Constraints of the 2 + 1 dimensional integrable soliton systems // Journal of Physics A: Mathematical and General. 1992. V. 25. P. 419-431.

119. Chen H.H., Lee Y.C., Liu C.S. Integrability of nonlinear Hamiltonian systems by inverse scattering method // Physica Scripta. 1979. V. 20. P. 490-492.

120. Kundu A. Landau — Lifshitz and higher-order nonlinear systems gauge generated from nonlinear Schrodinger-type equations / / Journal of Mathematical Physics. 1984. V. 25. P. 3433-3438.

121. Musette M. Nonlinear partial differential equations // An introduction to methods of complex analysis and geometry for classical mechanics and nonlinear waves / Eds. D. Benest and C. Froeschlé. Éditions Frontières, Gif-sur-Yvette. 1994.

122. Kudryashov N.A. The first and second Painlevé equations of higher order and some relations between them // Physics Letters A. 1997. V. 224. P. 353-360.

123. Chazy J. Sur les équations différentielles du troisième ordre et d'ordre supérieur dont l'intégrale générale a ses points critiques fixes // Acta Mathematica. 1911. V. 34. P. 317-385.

124. Bureau F.J. Équations différentielles du second ordre en Y et du second degré en Y dont l'intégrale générale est à points critiques fixes // Annali di Matematica pura ed applicata. 1972. V. 91. P. 163-281.

125. Cosgrove C.M., Scoufis G. Painlevé classification of a class of differential equations of the second order and second degree // Studies in Applied Mathematics. 1993. V. 88. P. 25-87.

126. Bureau F.J. Differential equations with fixed critical points // Annali di Matematica pura ed applicata. 1964. V. 66. P. 1-116.

127. Кудряшов H.А. Аналитическая теория нелинейных дифференциальных уравнений. Москва, МИФИ. 2002. 304 с.

128. Кудряшов Н.А. Аналитическая теория нелинейных дифференциальных уравнений. 2-е издание, исправленное и дополненное. Москва — Ижевск, Институт компьютерных исследований. 2003. 360 с.

129. Kudryashov N.A., Soukharev M.В. Uniformization and transcendence of solutions for the first and second Painlevé hierarchies // Physics Letters A. 1998. V. 237. P. 206-216.

130. Kudryashov N.A. On new transcendents defined by nonlinear ordinary differential equations // Journal of Physics A: Mathematical and General. 1998. V. 31. P. L129-L137.

131. Kudryashov N.A. Transcendents defined by nonlinear fourth-order ordinary differential equations // Journal of Physics A: Mathematical and General. 1999. V. 32. P. 999-1013.

132. Kudryashov N.A. Two hierarchies of ordinary differential equations and their properties // Physics Letters A. 1999. V. 252. P. 173-179.

133. Кудряшов H.A. Нелинейные дифференциальные уравнения четвертого порядка с решениями в виде трансцендент // Теоретическая и математическая физика. 2000. Т. 122. №1. С. 72-87.

134. Kudryashov N.A. Double Bácklund transformations and special integrals for the KII hierarchy // Physics Letters A. 2000. V. 273. P. 194-202.

135. Kudryashov N.A., Soukharev M.B. Discrete equations corresponding to fourth-order differential equations of the P2 and K2 hierarchies // ANZIAM Journal. 2002.V. 44. P. 149-160.

136. Kudryashov N.A. One generalization of the second Painlevé hierarchy // Journal of Physics A: Mathematical and General. 2002. V. 35. P. 93-99.

137. Kudryashov N.A. Fourth-order analogies to the Painlevé equations // Journal of Physics A: Mathematical and General. 2002. V. 35. P. 4617-4632.

138. Кудряшов H.A. О четвертой иерархии Пенлеве // Теоретическая и математическая физика. 2003. Т. 134. №1. С. 101-109.

139. Kudryashov N.A. Amalgamations of the Painlevé equations // Journal of Mathematical Physics. 2003. V. 44. P. 6160-6178.

140. Weiss J. On classes of integrable systems and the Painlevé property // Journal of Mathematical Physics. 1984. V. 25. P. 13-24.

141. Airault H. Rational solutions of Painlevé equations // Studies in Applied Mathematics. 1979. V. 61. P. 31-53.

142. Hone A.N.W. Non-autonomous Hénon — Heiles systems // Physica D. 1998. V. 118. P. 1-16.

143. Grammaticos В., Nijhoff F. W., Ramani A. Discrete Painlevé equations // The Painlevé property. One century later / Ed. R. Conte. CRM Series in Mathematical Physics. Springer, New York. 1999. P. 413-516.

144. Magnus A.P. Painlevé-type differential equations for the recurrence coefficients of semi-classical orthogonal polynomials // Journal of Computational and Applied Mathematics. 1995. V. 57. P. 215-237.

145. Gross D.J., Migdal A.A. Nonperturbative two-dimensional quantum gravity // Physical Review Letters. 1990. V. 64. P. 127-130.

146. Gross D.J., Migdal A.A. A nonperturbative treatment of two-dimensional quantum gravity // Nuclear Physics B. 1990. V. 340. P. 333-365.

147. Nijhoff F. W., Papageorgiou V.G. Similarity reductions of integrable lattices and discrete analogues of the Painlevé II equation // Physics Letters A. 1991. V. 153. P. 337-344.

148. Quispel G.R.W., Roberts J.A.G., Thompson C.J. Integrable mappings and soliton equations // Physics Letters A. 1988. V. 126. P. 419-421.

149. Brézin E., Kazakov V.A. Exactly solvable field theories of closed strings // Physics Letters B. 1990. V. 236. P. 144-150.

150. Periwal V., Shevitz D. Unitary-matrix models as exactly solvable string theories // Physical Review Letters. 1990. V. 64. P. 1326-1329.

151. Никифоров А.Ф., Уваров В.Б. Специальные функции математической физики. Москва, Наука. 1978. 320 с.

152. Fokas A.S., Grammaticos В., Ramani A. From continuous to discrete Painlevé equations // Journal of Mathematical Analysis and Applications. 1993. V. 180. P. 342-360.

153. Grammaticos В., Ramani A. Prom continuous Painlevé IV to the asymmetric discrete Painlevé I // Journal of Physics A: Mathematical and General. 1998. V. 31. P. 5787-5798.

154. Nijhoff F.W., Satsuma J., Kajiwara K., Grammaticos В., Ramani A. A study of the alternate discrete Painleve II equation // Inverse Problems. 1996. V. 12. P. 697-716.

155. Grammaticos В., Ramani A. Discrete Painleve equations: derivation and properties 11 Application of Analytic and Geometric Methods to Nonlinear Differential Equations / Ed. P.A. Clarkson. NATO ASI Series C. Dordrecht, Kluwer. 1993. V. 413. P. 299-313.

156. Громак В.И., Цегелъник В.В. О свойствах преобразований Бэклунда уравнений Пенлеве // Дифференциальные уравнения. 1996. Т. 32. №8. С. 1018-1023.

157. Цегелъник В.В. Аналитические свойства решений одного нелинейного уравнения Р-типа // Дифференциальные уравнения. 1996. Т. 32. №10. С. 1434-1435.

158. Кларксон П.А., Менсфилд Э.Л., Вебстер Х.Н. О соотношении между дискретными и непрерывными уравнениями Пенлеве // Теоретическая и математическая физика. 2000. Т. 122. №1. С. 5-23.