Компьютерное моделирование концентрационных фазовых переходов в системах анизотропных частиц при наличии упорядочивающих факторов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Черкасова, Валентина Андреевна

• Черкасова, Валентина Андреевна
• кандидат физико-математических наук
• 2010

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Черкасова, Валентина Андреевна

Введение. Общая характеристика работы

1 Анализ работ в области перколяции неточечных объектов

1.1. Основные понятия и характеристики теории перколяции

1.2. Перколяция «иголок».

1.3. Перколяция прямоугольных объектов.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Компьютерное моделирование концентрационных фазовых переходов в системах анизотропных частиц при наличии упорядочивающих факторов»

Актуальность проблемы. Системы, которые состоят или содержат в себе большее количество частиц, с размерами от нескольких нанометров до сотен нанометров, относят к наносистемам. Поскольку размеры макромолекул полимеров, имеющих молекулярную массу 103-107, располагаются в диапазоне от 2-3 нм до 200-250 нм, все растворы, гели, смеси полимеров относят к наносистемам. В настоящее время возрос интерес к наносистемам, в особенности к нанотехнологиям и нано-материалам. Материалы из углеродных нанотрубок (carbon nanotubes, CNT) обладают уникальными электрическими и механическими свойствами. Эти свойства являются перспективными для широкого спектра приложений [1-6]. В частности, интенсивно изучается влияние степени упорядочения нанотрубок, которое может осуществляться с помощью течений [7] или электрическим полем [8,9], на физические свойства различных систем.

Критическая концентрация изменяется в несколько раз в зависимости от способа диспергирования. Такое отличие может быть связано с различной степенью ориентационного упорядочения частиц в полимерной матрице в процессе получения композита. Полученные композиты обладают анизотропией электропроводимости. Электропроводимость композитов вдоль направления ориентации частиц на несколько порядков выше, чем в перпендикулярном направлении (см.,например, [10]). Морфологическое строение частиц наполнителя (волокна, проволоки) и характер межчастичного взаимодействия влияют на порог перколя-ции [11], а также на прочностные свойства композитов и термомеханическую стабильность [12,13].

Полученные данные и факты все еще не имеют строгого теоретического обоснования. Это затрудняет прогнозирование свойств пленочных и объемных композиционных систем, наполненных частицами анизотропной формы вблизи точки фазового перехода. Особенные сложности возникают при наличии скоррелированного распределения частиц, например, сегрегации или кластеризации, что характерно для нанораз-мерных частиц.

Для описания процесса перехода в электропроводящее состояние абсорбирующих на подложку нанотрубок используется теория перколя-ции. Разработка модели, позволяющей описывать свойства систем, содержащих упорядоченные углеродные нанотрубки, является актуальной задачей для создания образцов с заданными свойствами.

Цели и задачи исследования. Целью диссертационного исследования является выявление роли упорядочивающих факторов и межчастичного взаимодействия при концентрационных фазовых переходах в системах, состоящих из анизотропных объектов.

Для достижения этой цели были поставлены и решены следующие основные задачи:

1) Разработан метод моделирования концентрационно-ориентацион-ных фазовых переходов в неупорядоченных системах.

2) Построены и исследованы решеточные модели:

• перколяции частично упорядоченных димеров на плоскости без учета взаимодействия между объектами;

• перколяции частично упорядоченных димеров на плоскости с учетом взаимодействия между объектами;

• перколяции частично упорядоченных димеров в слоистой пространственной структуре;

• перколяции димеров в трехмерном пространстве.

3) Разработана программа, реализующая алгоритм Хошена-Копельмана, для нахождения порога перколяции на квадратной и кубической решетках.

4) Разработана программа, реализующая алгоритм нахождения порога джемминга на квадратной и кубической решетках.

5) Произведен анализ свойств созданных перколяционных моделей:

• определены пороги перколяции и джемминга;

• .найдено распределение кластеров по размерам;

• определен средний размер кластера;

• вычислена мощность перколяционного кластера;

• рассчитаны критические показатели и фрактальная размерность перколяционного кластера.

Объекты и методы исследования. В диссертационной работе изучены концентрационные фазовые переходы на плоскости и в пространстве.

Рассмотрены анизотропные объекты — димеры (два соседних узла и связь между этими узлами) на плоскости и в пространстве.

Построена модель М = п,р, 5, £>), состоящая из элементов Ип С N х N или Ип С N х N х К, который указывает размерность решетки, п — количество испытаний, р — доля заполнения решетки, я — параметр упорядочивания, D = ((d,h), (d,v)) — 2 возможные ориентации димера (горизонтальная, вертикальная).

Все поставленные задачи решены с помощью компьютерного моделирования в рамках теории перколяции. Для генерации случайных чисел применялись алгоритмы Л'Экюера и «Вихрь Мерсенна».

После заполнения решетки димерами (Rn —> Rn) решетка содержит в себе следующие элементы: г = ^0, (d, h), (d, v)), элементы (d, h) и (d, v) с вероятностью p и 0 с вероятностью 1 — p.

Исследование перколяционных моделей проводилось методом Монте-Карло с использованием алгоритма Хошена-Копельмана. В результате его применения определены пороги перколяции рс и джем-минга Pjam, мощность перколяционного кластера Роо, средний размер кластера 5, фрактальная размерность перколяционного кластера df, критические показатели (3 и 7 (т. е. i?n —»■ (pc,pjam,Р^, 5,d/,/3,7)).

Научная новизна. Все выводы и результаты, приведенные в диссертации, являются оригинальными. Предложена модель, отличающаяся от известных тем, что:

• учитывает ориентацию димеров на плоскости без учета взаимодействия между объектами;

• учитывает ориентацию димеров на плоскости с учетом взаимодействия между объектами;

• позволяет изучить перколяцию димеров в трехмерном пространстве (на кубической решетке);

• учитывает ориентацию димеров в слоистой пространственной структуре (на кубической решетке).

Практическая значимость работы. Разработан программный комплекс, позволяющий исследовать новый класс перколяционных задач — перколяцию ориентированных и частично ориентированных димеров на квадратной и кубической решетках.

Эти задачи применимы к следующим направлениям исследования:

1) изучение процесса перехода в электроводящее состояние при осаждении на подложку углеродных нанотрубок при наличие упорядочивающих факторов;

2) исследование процесса фазового перехода золь-гель.

На основе разработанной соискателем модели Выгорницкий Н. В. и Лебовка Н. И. рассчитали электрические свойства системы нанотрубок при наличии упорядочивающих факторов. Полученные результаты были опубликованы в совместной статье [А2].

На одну из работ соискателя уже имеются ссылки в ведущих журналах [14-16], среди авторов статей ведущий специалист в теории пер-коляции Роберт Зифф.

Апробация работы. Результаты работы докладывались и обсуждались на различного уровня конференциях и иных научных мероприятиях. Основные из них:

• V Школа-семинар «Математическое моделирование, вычислительная механика и геофизика» для студентов, аспирантов и молодых ученых Юга России 18-21 декабря 2006 года, г. Ростов-на-Дону;

• Четырнадцатая международная конференция «Математика. Компьютер. Образование», г. Пущино, 22-27 января 2007 г;

• Пятнадцатая международная конференция «Математика. Компьютер. Образование», г. Дубна, 28 января - 2 февраля 2008 г;

• Шестнадцатая международная конференция «Математика. Компьютер. Образование», г. Пущино, 19-24 января 2009 г;

• II сессия научной Школы-практикума «Технологии высокопроизводительных вычислений и компьютерного моделирования» в рамках VI Межвузовской конференции молодых ученых и специалистов, г. Санкт -Петербург, 14-17 апреля 2009 г;

• Семнадцатая международная конференция «Математика. Компьютер. Образование», г. Дубна, 25-30 января 2010 г;

• Неделя науки Астраханского государственного университета 2007 г, 2008 г, 2009 г, 2010 г.

Публикации по теме диссертации. По теме диссертации опубликованы в соавторстве и самостоятельно 9 работ, в том числе:

• статей в журналах, рекомендованных ВАК для публикации материалов кандидатских диссертаций — 3;

• тезисов докладов — 5;

• статей в прочих изданиях — 1.

Личный вклад автора и роль соавторов. Основные результаты работы, основные расчеты, положения и выводы, выносимые на защиту, принадлежат лично соискателю.

Роль соавторов в совместных публикациях заключается в следующем. Тарасевичу Ю. Ю. принадлежит постановка задач. Выгорницкий Н. В. и Лебовка Н. И. проводили расчет электрических свойств системы нанотрубок при наличии упорядочивающих факторов. Полученные ими результаты, опубликованные в совместной статье [А2], в текст диссертации не вошли. Все соавторы принимали участие в обсуждении и интерпретации результатов.

Связь с научными проектами. В основу диссертационного исследования положены работы, выполненные в Астраханском государственном университете в рамках проектов РФФИ № 06-02-16027-а «Исследование механизмов дегидратационной самоорганизации биологических жидкостей», № 09-01-97007-рповолжьеа «Математическое моделирование фазовых переходов в системе наночастиц в перколяционном подходе», № 09-02-90440-Укрфа «Скорелированная перколяция в системах с частицами анизотропной формы», № 09-08-00822-а «Изучение влияния размеров и форм частиц на свойства неупорядоченных систем вблизи и за порогом перколяции».

Объем и структура работы. Работа состоит из введения, 4 глав, заключения, списка литературы из 88 наименований. Объем диссертации — 148 с.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Черкасова, Валентина Андреевна

Заключение

Изложенный в диссертации материал, позволяет сформулировать следующие основные результаты. В ходе моделирования систем анизотропных частиц при наличии упорядочивающих факторов было получено следующее.

1) Определены пороги перколяции димеров на квадратной решетке для различных значений параметра упорядочивания е. Кроме того, найдены пороги перколяции при учете взаимодействия между димерами для двух моделей. Полученные результаты позволяют оценить концентрацию осажденных на подложку нанотрубок, при которой возникает электропроводящее состояние при наличии упорядочивающих факторов и отсутствии или учете взаимодействия между нанотрубками.

2) Были найдены пороги джемминга на квадратной решетке для задачи ориентированных димеров. Полученные результаты позволяют оценить наибольшую возможную долю ориентированных нанотрубок на подложке.

3) Определены пороги перколяции для задачи узлов на кубической решетке, и для задачи ориентированных димеров в слоистой структуре кубической решетки (5жу = ±1 и = 0). Полученные результаты позволяют оценить концентрацию молекул, при которой начинает формироваться гелевая матрица в коллоидном растворе, при наличии гидродинамических течений.

4) Найдены пороги джемминга для задачи ориентированных димеров на кубической решетке (sxy = ±1 и sxy = 0). Полученные результаты позволяют оценить наибольшую возможную долю твердого вещества в геле.

5) Для всех перечисленных случаев найдены распределение кластеров по размеру, мощность перколяционного кластера, средний размер кластера, критические показатели и фрактальная размерность перколяционного кластера.

Положения, выносимые на защиту

1) Зависимости порогов перколяции и джемминга для задачи ориентированных димеров на квадратной решетке от степени упорядочивания s хорошо аппроксимируются квадратичными функциями: pc(s) = 0,02443s2+0,56165 и pjam(s) = -0,0124s2-0,0291|s|+0,9065 с доверительной вероятностью 95%.

2) Для задачи узлов и связей ориентированных димеров на квадратной решетке для модели 1 аппроксимирующая функция, описывающая зависимость порога перколяции от степени упорядочивания s, имеет вид: pc(s) = 0,2512s2 + 0,6997|s| + 1,1542, а для модели 2 — pc(s) = 0,2511 s2 + 0,6833|s| +1,0205 с доверительной вероятностью 95%.

3) Для частично ориентированных димеров на кубической решетке:

• порог перколяции равен рс = 0,27961 ± 0,00004, порог джемминга равен Pjam = 0,827 ± 0,002 при sxy = ±1;

• порог перколяции равен рс = 0,26192 ± 0,00004, порог джемминга равен pjam — 0,839 ± 0,001 при sxy = 0.

Для равновероятно ориентированных димеров на кубической решетке: порог перколяции рс — 0,2555 ± 0,0001 и порог джемминга Рзат = 0,799 ± 0,002.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Черкасова, Валентина Андреевна, 2010 год

1. Carroll D. L., Czerw R., Webster S. Polymer-nanotube Composites for Transparent, Conducting Thin Films // Synthetic Metals. 2005. Vol. 155. P. 694-697.

2. Sreekumar Т. V., Liu Т., Kumar S., Ericson L. M., Hauge R. H., Smalley R. E. Wall Carbon Nanotube Films // Chem. Mater. 2003. Vol. 15. P. 175-178.

3. Zhou Y., Gaur A., Hur S-H., Kocabas C., Meitl M. A., Shim M., Rogers J. A. Solution Casting and Transfer Printing Single-Walled Carbon Nanotube Films // Nano Letters. 2004. Vol. 4. P. 1643-1647.

4. Довженко А. Ю., Бунин В. А. Влияние формы и размера частиц электропроводящей фазы на образование перколяционного кластера в керамической композиции // Журнал технической физики. 2003. Т. 73. С. 123-125.

5. Kondrat G., P§kalski A. Percolation and jamming in random sequential adsorption of linear segments on a square lattice // Phys. Rev. E. 2001. Vol. 63. P. 051108.

6. Выгорницкий H. В., Лисецкий JI. H., Лебовка Н. И. Перколяция в модели случайной последовательной адгезии анизотропных частиц // Коллоидный журнал. 2007. Т. 69. С. 597-602.

7. Du F., Fischer J. E., Winey K. I. Effect of nanotube alignment on percolation conductivity in carbon nanotube/polymer composites // Phys. Rew. B. 2005. Vol 72. P. 121404.

8. Liu J. L., Spencer J. L., Kaiser A. B., Arnold W. M. Electric-field oriented carbon nanotubes in different dielectric solvents // Current Applied Phys. 2004. Vol 4. P. 125-128.

9. Jimenez G. A., Jana S. C. Electrically conductive polymer nanocom-posites of polymethylmethacrylate and carbon nanofibers prepared by chaotic mixing // Composites: A. 2007. Vol. 38. P. 983-993.

10. Jia Q. M., Li J. B., Wang L. F., Zhu J. W., Zheng M. Electrically conductive epoxy resin composites containing polyaniline with different morphologies // Materials Science and Engineering. A. 2007. Vol. 448. P. 356-360.

11. Berlyand L., Mityushev V. Increase and Decrease of the Effective Conductivity of Two Phase Composites Due to Polydispersity // J. of Stat. Phys. 2005. Vol. 118. P. 481-509.

12. Adamczyk P., Polanowski P., Sikorski A. Percolation in polymersolvent systems: A Monte Carlo study // The Journal of Chemical Physics. 2009. Vol. 131. P. 234901.

13. Ziff R. M., Gu H. Universal condition for critical percolation thresholds of kagome-like lattices // Phys. Rev. E. 2009. Vol. 79. P. 020102.

14. Haji-Akbari A., Ziff R. M. Percolation in networks with voids and bottlenecks // Phys. Rev. E. 2008. Vol. 79. P. 021118.

15. Stauffer D., Aharony A. Introduction to Percolation Theory. London: Taylor к Francis, 1992. 181 p.

16. Тарасевич Ю. Ю. Перколяция: теория, приложения, алгоритмы. М.: Едиториал УРСС, 2002. 112 с.

17. Займан Дж. Модели беспорядка. Теоретическая физика однородно неупорядоченных систем. М.: Мир, 1982. 592 с.

18. Akagawa S., Takashi Odagaki. Geometrical percolation of hard-core ellipsoids of revolution in the continuum // Phys. Rev. E. 2007. Vol. 76. P. 051402.

19. Garboczi E. J., Snyder K. A., Douglas J. F. Geometrical percolation threshold of overlapping ellipsoids // Phys. Rev. E. 1995. Vol. 52. P. 819-828.

20. Dolz M., Nieto F., Ramirez-Pastor A. J. Site-bond percolation of polyatomic species // Phys. Rev. E. 2005. Vol. 72. P. 066129.

21. Эфрос A. JI. Физика и геометрия беспорядка. М.: «Наука», 1982. 176 с.

22. Seullard C. R., Ziff R. M. Critical Surfaces for General Bond Percolation Problems // Phys. Rev. Lett. 2008. Vol. 100. P. 185701.

23. Chin-Kun Hu, Chi-Ning Chen. Percolation, finite-size scaling, and the thermal scaling power for the Potts model // Phys. Rev. B. 1989. Vol. 40. P. 854-857.

24. Makoto S. Watanabe. Percolation with a periodic boundary condition: The effect of system size for crystallization in molecular dynamics // Phys. Rev. E. 1995. Vol. 51. P. 3945-3951.

25. Chang S.-C., Shrock R. Exact results for average cluster numbers in bond percolation on lattice strips // Phys. Rev. E. 2004. Vol. 70. P. 056130.

26. Wierman J. C., Naor D. P., Smalletz J. Incorporating variability into an approximation formula for bond percolation thresholds of planar periodic lattices // Phys. Rev. E. 2007. Vol. 75. P. 011114.

27. Yi Y. B. Void percolation and conduction of overlapping ellipsoids // Phys. Rev. E. 2006. Vol. 74. P. 031112.

28. Pike G. E., Seager C. H. Percolation and conductivity: A computer study // Phys. Rev. E. 1974. Vol. 10. P. 1421-1434.

29. Skvor J., Nezbeda I., Brovchenko I., Oleinikova A. Percolation Transition in Fluids: Scaling Behavior of the Spanning Probability Functions // Phys. Rev. Lett. 2007. Vol. 99. P. 127801.

30. Seullard C. R. Exact site percolation thresholds using a site-to-bond transformation and the star-triangle transformation // Phys. Rev. E. 2006. Vol. 73. P. 016107.

31. Galam S., Malarz K. Restoring site percolation on damaged square lattices // Phys. Rev. E. 2005. Vol. 72. P. 027103.

32. Титов A. H., Ярмошенко Ю. M., Neumann M., Плещев В. Г., Титова С. Г. Иерархия порогов протекания и механизм подавления магнитных моментов переходных металлов, интеркалированных в TiSe2 // Физика твердого тела. 2004. Т. 46. С. 1628-1632.

33. Lois G., Blawzdziewicz J., O'Hern C. S. Jamming Transition and New Percolation Universality Classes in Particulate Systems with Attraction // Phys. Rev. Lett. 2008. Vol. 100. P. 028001.

34. Biroli G., Toninelli C. Spiral model, jamming percolation and glass-jamming transitions // Eur. Phys. J. B. 2008. Vol. 64. P. 567—572.

35. Dolz M., Nieto F., Ramirez-Pastor A. J. Dimer site-bond percolation on a square lattice // Eur. Phys. J. B. 2005. Vol. 43. P. 363-368.

36. Cornette V., Ramirez-Pastor A. J., Nieto F. Percolation of polyatomic species on a square lattice // Eur. Phys. J. B. 2003. Vol. 36. P. 391399.

37. Vandewalle N., Galam S., Kramer M. A new universality for random sequential deposition of needles // Eur. Phys. J. B. 2000. Vol. 14. P. 407-410.

38. Федер E. Фракталы. M.: Мир, 1991. 254 с.

39. Kondrat, G., P§kalski A. Percolation and jamming in random bond deposition // Phys. Rev. E. 2001. Vol. 64. P. 056118.

40. Brosilow B. J., Ziff R. M., Vigil R. D. Random sequential absorbtion of parallel squares // Phys. Rev. A. 1991. Vol. 43. P. 631-638.

41. Talbot J., Tarjus G., Schaaf P. Unexpected asymptotic behavior in random sequential absorbtion of nonspherical particles // Phys. Rev. A. 1989. Vol. 40. P. 4808-4811.

42. Loncarevic I., Budinski-Petkovio L. Reversible random sequential adsorption of mixtures on a triangular lattice // Phys. Rev. E. 2007. Vol. 76. P. 031104.

43. Loncarevic I., Budinski-Petkovio L., Vrhovac S. B. Simulation study of random sequential adsorption of mixtures on a triangular lattice // Eur. Phys. J. E. 2007. Vol. 24. P. 19—26.

44. Rampf F., Albano E. V. Interplay between jamming and percolation upon random sequential adsorption of competing dimers and monomers // Phys. Rev. E. 2002. Vol. 66. P. 061106.

45. Nakamura M. Percolational and fractal property of random sequential packing patterns in square cellular structures // Phys. Rev. A. 1987. Vol. 36. P. 2384-2388.

46. Grimmet G. Percolation. Berlin: Springer-Verlag, 1999. 444 p.

47. Кестен X. Теория просачивания для математиков. М.: Мир, 1986. 392 с.

48. Ziman J. М. Models of disorder. The Theoretical Physics of Homogeneously Disordered Systems. Cambridge University Press, 1979. 538 p.

49. Шкловский Б. И., Эфрос A.JI. Электронные свойств легированных полупроводников. М.: Наука, 1979. 416 с.

50. Sahimi М. Application of Percolation Theory. London: Taylor Sz Francis, 1994. 258 p.

51. Evans J. V. Random and cooperative sequential adsorption // Rev. Mod. Phys. 2003. Vol 65. P. 1281-1330.

52. Adamczyk Z. Particles at Interfaces: Interactions, Deposition, Structure. Academic Press, 2006. 743 p.

53. Holloway H. A site-percolation threshold for the diamond lattice with diatomic substitution // Phys. Rev. B. 1988. Vol 37. P. 874-877.

54. Evans J. W., Sanders D. E. Percolative c(2x2) adlayer structure in nonequilibrium adsorption models // Phys. Rev. B. 1989. Vol 39. P. 1587-1594.

55. Leroyer Y., Pommiers E. Monte Carlo analysis of percolation of line segments on a square lattice // Phys. Rev. B. 1994. Vol. 50. P. 27952799.

56. Cortes J., Valencia E. Random Sequential Adsorption Kinetics of Dimers and Trimers on Geometrically Disordered Substrates //J. Colloid & Interface Sci. 2002. Vol. 252. P. 256-258.

57. Cornette V., Ramirez-Pastor A. J., Nieto F. Dependence of the percolation threshold on the size of the percolating species // Physica A. 2003. Vol. 327. P. 71-75.

58. Cornette V., Ramirez-Pastor A. J., Nieto F. Percolation of polyatomic species on diluted lattices // Phys. Lett. A. 2006. Vol. 353. P. 452458.

59. Dolz M., Nieto F., Ramirez-Pastor A. J. Percolation processes in mixtures of polyatomic species // Physica A. 2007. Vol. 374. P. 239-250.

60. Тейлор Дж. Введение в теорию ошибок. М.: Мир, 1985. 272 с.

61. Герасимович А.И., Матвеева Я.И. Математическая статистика. Минск: Вышэйшая школа, 1978. 200 с.

62. Hsiao-Ping Hsu, Simon С. Lin, Chin-Kun Hu. Universal scaling functions for bond percolation on planar-random and square lattices with multiple percolating clusters // Phys. Rev. E. 2001. Vol. 64. p. 016127.

63. Hovi J.-P., Aharony A. Scaling and universality in the spanning probability for percolation // Phys. Rev. E. 1996. Vol. 53. P. 235-253.

64. Chai-Yu Lin, Chin-Kun Ни. Universal finite-size scaling functions for percolation on three-dimensional lattices // Phys. Rev. E. 1998. Vol. 58. P. 1521-1527.

65. Hsu H.-P., Huang M.-C. Percolation thresholds, critical exponents, and scaling functions on planar random lattices and their duals // Phys. Rev. E. 1999. Vol. 60. P. 6361-6370.

66. Bunde A., Havlin S. Fractals and Disordered Systems. Springer, 1996. 65 p.

67. Pruessner G., Moloney M. Numerical results for crossing, spanning and wrapping in two-dimensional percolation // J. Phys. A. 2003. Vol. 36. P. 11213.

68. Press W. H., Teukolsky S. A., Vetterling W. T., Flannery B. P. Numerical Recipes In C: The Art Of Scientific Computing. Cambridge University Press, 1992. 994 p.

69. Matsumoto M., Nishimura T. Mersenne twister: A 623-dimensionally equidistributed uniform pseudorandom number generator // ACM Trans, on Modeling and Computer Simulations. 1998. Vol. 8. P. 3-30.

70. Hoshen J., Kopelman R. Percolation and cluster distribution. I. Cluster multiple labeling technique and critical concentration algorithm // Phys. Rev. B. 1976. Vol. 14. P. 3438-3445.

71. Benoit J. M., Corraze B., Chauvet O. Localization, Coulomb interactions, and electrical heating in single-wall carbon nanotubes/polymer composites // Phys. Rev. B. 2002. Vol. 65. P. 241405.

72. Foygel M., Morris R. D., Anez D., French S., Sobolev V. L. Theoretical and computational studies of carbon nanotube composites and suspensions: Electrical and thermal conductivity // Phys. Rev. B. 2005. Vol. 71. P. 104201.

73. Hough L. A., Islam M. F., Janmey P. A., Yodh A. G. Viscoelasticity of Single Wall Carbon Nanotube Suspensions // Phys. Rev. Lett. 2004. Vol. 93. P. 168102.

74. Fu Q., Liu J. Integrated Single-Walled Carbon Nanotube/Microfluidic Devices for the Study of the Sensing Mechanism of Nanotube Sensors // Phys. Chem. Lett. B. 2005. Vol. 109. P. 13406-13408.

75. Behnam A., Ural A. Computational study of geometry-dependent resistivity scaling in single-walled carbon nanotube films // Phys. Rev. B. 2007. Vol 75. P. 125432.

76. Al. Черкасова В. А., Тарасевич Ю. Ю. Ориентированная перколяция димеров на простой кубической решетке // Математическое моделирование, 2009. Т. 21. С. 100-107.

77. А2. Cherkasova V. A., Tarasevich Y. Y., Lebovka N. I., Vygornitskii N. V. Percolation of aligned dimers on a square lattice // Eur. Phys. J. B. 2010. Vol. 74. P. 205—209.

78. A3. Tarasevich Y. Y., Cherkasova V. A. Dimer percolation and jamming on simple cubic lattice // Eur. Phys. J. B. 2007. Vol. 60. P. 97-100.