Численное исследование неупорядоченных решетчатых систем тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, доктор физико-математических наук Щур, Лев Николаевич

• Щур, Лев Николаевич
• доктор физико-математических наук
• 1998

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Щур, Лев Николаевич

Содержание

I Модель Изинга на случайной решетке

I Введение

II Алгоритмы

А Метод Метрополиса

Б Кластерные алгоритмы и модель коррелированной перколяции

В Алгоритм Вольфа

Г Кластерный специализированный процессор

III Критическая область двумерной модели Изинга

А Намагниченность и восприимчивость

Б Теплоемкость

IV Теплоемкость модели Изинга с немагнитными примесями

А Постановка задачи

Б Модель и детали вычислений

В Два максимума теплоемкости

V Влияние качества псевдослучайных чисел на результаты

А Скейлинг систематических ошибок для 2Б модели Изинга

Б Скейлинг систематических ошибок для ЗБ модели Изинга

В Практические выводы про генераторы

VI Заключение

II Кластеры в критической точке

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Численное исследование неупорядоченных решетчатых систем»

VII Введение. 95

VIII Алгоритмы для перколяционных задач 100

IX Число протекающих кластеров 102

X Модель и алгоритм 103

XI Численные результаты 107

XII Точное решение Карди 117

XIII Обсуждение 119

III Псевдослучайные числа 120

XIV Линейно-конгруэнтные генераторы случайных чисел. 125

XV Сдвиговые регистры. 129

XVI Новый тест - направленное случайное блуждание. 134

А Отображение алгоритма Вольфа на модель случайного блуждания . . 135 Б Два алгоритма модели случайного блуждания..............137

XVII Резонансы в сдвиговых регистрах. 140

А Блуждание с вероятностью /л — 1/2.....................141

Б Блуждание с вероятностью ¡j, = 5/8.....................142

В Случайное блуждание с произвольной вероятностью...........145

Г Сравнение с численным экспериментом..................146

XVIIЖoppeляции в генераторах Фибоначчи 150

XIX Резонансы в генераторах Марсальи-Замана 153

XX Модификации алгоритмов генерирования случайных чисел 157

XXI Случайные числа и динамические системы. 164

XXII Выводы 177 ХХШСписок литературы 179

Список таблиц

I Положение Ттахх максимума восприимчивости и ее значение Хтах, как функции линейного размера решетки Ь при концентрации немагнитных примесей р..................................... 54

II Критическая: температура Тс при различных концентрациях р примесей . 57

III Восприимчивость х при Тс как функция Ь. Концентрация примесей р = 26. 58

IV Отклонение значений энергии Е и теплоемкости С от точных значений для двумерной модели Изинга на решетке Ь = 16. Из работы Ферренбер-

га, Ландау и Вонг................................. 72

V Зависимость знака отклонения энергии <5Е, теплоемкости 5С и отношения 50 от способа сравнения случайных чисел с вероятностью р = 1 — ехр{2«7/квТ) включения однонаправленного спина в кластер. Статистическая ошибка к последней значащей цифре показана в скобках. Использовался сдвиговый регистр длиной р — 89 и линейный размер системы 1 = 12..................................... 83

VI Отклонения энергии 5Е, теплоемкости 8С и отношения Статистическая ошибка к последней значащей цифре показаны в скобках. Использовались сдвиговые регистры длиной р — 36 для Ь — 7 и р = 89 для Ь = 12. Отклонения сильно зависят от числа тс скоррелированных бит согласно способа вычисления случайных чисел..................... 85

VII Максимально возможная ошибка при вычислении энергии 5Е, теплоемкости 8 С и безразмерного отношения 8 С} с помощью кластерного двумерного специализированного процессора СПП-2. Оценка произведена по формулам (45,46,47)............................... 90

VIII Сравнение вычисленных отклонений энергии 5Е, теплоемкости 5С и безразмерного отношения 5Q с помощью кластерного алгоритма Вольфа и генератора (9689, 471) при линейном размере L — 201 и рассчитанных по формулам (45,46,47)................................ 92

IX Вероятности более чем к пересекающих кластеров при критической пер-коляции по связям на квадратной решетке с линейным размером L и свободными граничными условиями. Вероятности Р(к > 1) умножены на коэффициент 103 и Р(к > 2) умножены на коэффициент 106. Для каждого размера L первая строка показывает вероятности протекания по горизонтали и вторая строка - по вертикали......................108

X Некоторые стандартные линейно-конгруэнтные генераторы.........126

XI Примитивные триномы хр + х\ с 1 < q <р/2, где р известные показатели Мерсены......................................131

XII Сравнение вероятности отклонений, полученных численно с использованием теста одномерного блуждания с генератором Фибоначчи (LF) и Марсальи-Замана (SWC) и предсказанного по формулам (80) и (81). . . . 155

Список рисунков

Отношение намагниченности М, вычисленной с помощью кластерного процессора СПП-2 для чистой модели Изинга с линейным размером Ь =

1024, к асимптотическому поведению М0.................... 30

Отношение восприимчивости х> вычисленной с помощью кластерного процессора СПП-2 для чистой модели Изинга с линейным размером Ь =

1024, к асимптотическому поведению Хо(т').................. 31

Отношение намагниченности М, вычисленной с помощью кластерного процессора СПП-2 для модели Изинга со случайными связями, к асимптотическому поведению М0 модели Изинга без примесей. Линейный размер

решетки Ь - 1024................................. 33

Отношение восприимчивости х> вычисленной с помощью кластерного процессора СПП-2 для модели Изинга со случайными связями, к асимптотическому поведению Хо(г') в отсутствие примесей. Линейный размер

решетки Ь — 1024................................. 34

Отношение намагниченности М(т)/М0(т) для двух различных решеток со случайными связями. Кружками обозначены данные для Ь = 512, а

темными ромбами - для Ь = 1024........................ 36

Отношение восприимчивости х(т>)/Хо(т') для двух различных решеток со случайными связями. Кружками обозначены данные для Ь = 512, а

темными ромбами - для Ь — 1024........................ 37

Намагниченность, усредненная по 1000 образцов со случайными связями для Ь = 1024. Отношение построено для М(г)/(Мо(г)гб). Значения е =

0.006, 0.0075 и 0.009 сверху вниз......................... 39

Отношение восприимчивости х(т')/(Хо(т')т'У), усредненное по 1000 образцов решеток со случайными связями для Ь = 1024. Значения е = -0.11, -0.135 и -0.17 сверху вниз........................ 40

2

3

4

5

6

7

9 Удельная теплоемкость С (г) для примесных решеток с линейными размерами L — 1024 (темные треугольники) и L = 512 (светлые квадраты). Пунктирной линией показана удельная теплоемкость чистой иодели Изинга. 44

10 Разница между функциями z(t) и С (г). Темными треугольниками обозначены данные для L = 1014, а светлыми квадратами для L = 512. Пунктирной линией показана разница между отклонением удельной теплоемкости в чистом случае от простого логарифмического закона. ... 46

11 Удельная теплоемкость в критической области примесной решетки размером L = 1024, усредненная по 1000 образцов. Показана разность функций

z(r) и С(т) для значений параметра д — 0.28,0.295 и 0.31 сверху вниз. . . 47

12 Фазовая диаграмма двумерной модели Изинга с немагнитными примесями. 51

13 Восприимчивость двумерной модели Изинга при концентрации немагнитных примесей р — 0.26 для размеров решетки L = 64,128,256 и L = 511 -показаны снизу вверх............................... 54

14 Зависимость отношения Q от температуры и размера решетки для концентрации немагнитных примесей р = 0.26. Пересечение кривых определяет критическую точку Тс(р = 0.26) = 1.250(5)................ 56

15 Зависимость восприимчивости х(^с) при критической температуре от линейного размера решетки. Численные данные обозначены точками. Сплошная кривая задана формулой 0.0177+-L1'867, а штриховая - формулой 0.015 L1-75(1 + 0.23 log L)............................. 59

16 Разность между аппроксимацией по формуле (37) и экспериментально полученными данными (жирная штриховая линия) и аналогичная разность между аппроксимацией по формуле (38) и экспериментально полученными данными (мелкая штриховая линия). Вертикальными линиями обозначены статистические погрешности определения восприимчивости. . . 61

17 Теплоемкость С двумерной модели Изинга с концентрацией немагнитных примесей р = .1 для линейных размеров решетки L — 8, 32 и 128. Вертикальной линией показано положение критической температуры, определенной ранее по поведению восприимчивости х{т) и универсального отношения Ql(t). Усреднено по 100 образцам. Статистические ошибки меньше размеров символов............................ 63

18 Зависимость теплоемкости в критической точке С (Тс) от размера решетки L для размеров L = 8,16,32, 64,128, 256 и 511. Усреднено по 100 образцам. Концентрация примесей р = 0.1. Шкала по горизонтали дважды логарифмическая. Сплошная линия - приближение методом наименьших

19 Теплоемкость С двумерной модели Изинга с концентрацией немагнитных примесей р == .25 для линейных размеров решетки Ь = 32,64 и 128. Вертикальной линией показано положение критической температуры, определенной ранее по поведению восприимчивости х(т) и универсального отношения С]ь(т). Усреднено по 100 образцам. Статистические ошибки меньше размеров символов............................ 65

20 Теплоемкость С двумерной модели Изинга для одного образца с линейным размером Ь = 64 при концентрациях немагнитных примесей

21 Теплоемкость С двумерной модели Изинга с концентрацией немагнитных примесей р = .3 для линейных размеров решетки Ь — 16 (левый треугольник), Ь — 32 (треугольник вниз), Ь = 64 (квадрат), Ь = 128 (ромб) и Ь -= 256 (треугольник вверх), усредненная по числу образцов М = 200,48,15,8 и 4, соответственно. Число шагов Монте-Карло для каждого образца от 106 до 107. Статистические ошибки меньше размеров символов...................................... 67

квадратов C(L) = 0.302(5) + 0.686(5)log(log{L))

64

р = 0.15, 0.26, 0.3, 0.55 и 0.7.

66

22 Теплоемкость С двумерной модели Изинга с концентрацией немагнитных примесей р ~ .3 при критической температуре Тс = 1.084. По горизонтальной оси использован дважды логарифмический масштаб........ 68

23 Теплоемкость С двумерной модели Изинга с концентрацией немагнитных примесей р -= .3 при критической температуре Тс = 1.084. По горизонтальной оси использован логарифмический масштаб............. 69

24 Зависимость от размера решетки отклонения 6С теплоемкости от точного значения С при моделировании двумерной модели Изинга с использованием генератора Киркпатрика-Штоля..................... 74

25 Зависимость от размера решетки отклонения 5Е энергии от точного значения Е при моделировании двумерной модели Изинга с использованием генератора Киркпатрика-Штоля........................ 75

26 Отклонение энергии 5Е для нескольких генераторов БЯ (36,11): о; (89,38): +; (127,64): □; и (250,103): А. Вставка показывает изменение максимума отклонения энергии 5Е как функцию р..................... 76

27 Отмасштабированное отклонение энергии 5Е в зависимости от отмас-штабированного размера системы Ь. Результаты получены для нескольких генераторов ЭИ (36,11): о; (89,38): +; (127,64): □; и (250,103): А. Звездочками обозначены результаты, полученные прореживанием последовательности псевдослучайных чисел....................... 78

28 Отмасштабированное отклонение теплоемкости 5С в зависимости от от-масштабированного размера системы Ь. Результаты получены для нескольких генераторов БЯ (36,11): о; (89,38): +; (127,64): □; и (250,103):

А.......................................... 80

29 Отмасштабированное отклонение безразмерного отношения в зависимости от отмасштабированного размера системы Ь. Результаты получены для нескольких генераторов ЭИ, (36,11): о; (89,38): +; (127,64): □; и (250,103): А.................................... 81

30 Отмасштабированное отклонение теплоемкости для трехмерной модели Изинга в критической точке ¡Зс — 0.2216545. Использовались три генератора случайных чисел типа сдвиговый регистр с длиной р = 36 : О, 89 : х

и 250 : □...................................... 87

31 Отмасштабированное отклонение универсального отношения Q для трехмерной модели Изинга в критической точке ,8С = 0.2216545. Использовались три генератора случайных чисел типа сдвиговый регистр с длиной

р = 36 : О, 89 : х и 250 : □.....'....................... 88

32 Отмасштабированное отклонение намагниченности М для трехмерной модели Изинга в критической точке (Зс = 0.2216545. Использовались три генератора случайных чисел типа сдвиговый регистр с длиной р = 36 : О,

89 : х и 250 : □.................................. 89

33 Пример решетки, используемой при вычислениях, с линейным размером L = 5 (сплошные линии) и дуальной к ней (пунктирные линии). Заметим, что числу узлов и связей в обоих направлениях и для обеих решеток в точности равно L.................................103

34 Вероятность существования более одного пересекающего кластера, умноженная на 1000, для перколяции по связям квадратной решетке в зависимости от 1/L2. Линейные размеры L — 8,12,16,20,30,32,64. Вероятность стремится к значению 0.00658(53) в пределе бесконечной решетки. Неопределенности значений вычислены разбиением на 100 групп по 106 образцов в каждой.................................111

35 Вероятность существования более двух пересекающих кластеров одновременно, умноженная на 106, для перколяции по связям квадратной решетке в зависимости от 1/L2. Линейные размеры L = 8,12,16, 20,30, 32, 64. Вероятность стремится к значению 0.00000148(21) в пределе бесконечной решетки. Неопределенности значений вычислены разбиением на 100 групп

по 106 образцов в каждой.............................113

36 Вероятности к — 1,2 и 3 одновременно протекающих кластеров на решетках со свободными и периодическими граничными условиями. Пунктирной линией обозначено приближение для решетки со свободными граничными условиями, а сплошная линия - приближение для решетки с периодическими граничными условиями в вертикальном направлении. . 116

37 Вероятности к = 1, 2 и 3 одновременно протекающих кластеров на решетках с периодическими и свободными граничными условиями. Координата

X равна Хрдс = к2 — 1/4 и Хрвс = к2 — к/2, соответственно.......119

38 Двумерная сетка, сформированная парой последовательных точек (г(п), г(п+ 1)) при использовании генератора г(п + 1) = (137г(п) + 187) тос1256. . . . 128

39 Графическое представление процесса блуждания. Каждый шаг вправо делается с вероятностью /л. Случайные числа г (к) используются для принятия решения о шаге из узла к в узел к + 1.................137

40 Отклонения <5Р вероятности блуждания длиной п от нескоррелированного значения в зависимости от длины блуждания п. Использовался Алгоритм Р, р = 31/32 и генератор сдвиговый регистр с (р, д) = (89,38). Часть резонансов отмечена линейными комбинациями длин р ид. Отклонение на длине п = 2р равно 5Р(2р) = 0.109(3) и находится за пределами масштаба рисунка.......................................147

41 Отклонения 5Р вероятности блуждания длиной п от нескоррелированного значения в зависимости от длины блуждания п. Использовался Алгоритм А/", [х = 31/32 и генератор сдвиговый регистр с (р, д) = (89,38). Отклонения равны —1 на длинах п = р и п — 2р...............148

42 Отклонения 5Р вероятности блуждания длиной п от нескоррелированного значения в зависимости от длины блуждания п. Использовался Алгоритм

Р, ¡1 = 31/32 и генератор сдвиговый регистр с (р, q) = (89,72, 55,38). . . . 149

43 Отклонения SP вероятности блуждания длиной п от нескоррелированного значения в зависимости от длины блуждания п. Использовался Алгоритм Р, fj, = 31/32 и генератор Фибоначчи с (р, q) = (89,38). Отклонение на длине п = р = 89 равно 8Р(р) — —0.4841(4) и находится за пределами масштаба рисунка.................................151

44 Отклонения 5Р вероятности блуждания длиной п п от нескореллиро-ванного значения. Использовался Алгоритм Р, ц = 31/32 и генератор Марсальи-Замана SWC с длинами (г, s) = (24,10). Показан результат усреднения по 108 блужданиям.........................154

45 Отклонения 8Р вероятности блуждания длиной п от нескореллированного значения. Использовался Алгоритм Р, ц = 31/32 и генератор Фибоначчи с длинами (г, £■) = (24,10). Показан результат усреднения по 108 блужданиям. 155

46 Зависимость от числа отброшенных членов последовательности псевдослучайных чисел. Отклонение ÔE энергии от точного значения Е при моделировании двумерной модели Изинга L = 16 с использованием генератора Киркпатрика-Штоля...........................158

47 Зависимость от числа отброшенных членов последовательности псевдослучайных чисел. Отклонение 5С теплоемкости от точного значения С при моделировании двумерной модели Изинга L — 16 с использованием генератора Киркпатрика-Штоля........................158

48 Отклонения ÔP вероятности блуждания длиной п от нескореллированного значения. Использовался Алгоритм Р, ц — 31/32 и генератор RANLUX с уровнем luxury=l и с длинами (г, 5) = (24,10). Показан результат усреднения по 10й блужданиям............................161

49 Отклонение вероятности 5Р{г) как функция разности уровня luxury р и длины генератора г. Генератор Фибоначчи с длинами (г, s) = (24,10) и вероятность ц, = 15/16..............................162

50 Отклонения 5Р вероятности блуждания длиной п п от нескореллиро-ванного значения. Использовался Алгоритм Р, р — 31/32 и генератор RANLUX с уровнем luxury=2 и с длинами (г, s) — (24,10). Показан результат усреднения по 10й блужданиям....................163

51 Последовательность Фибоначчи на торе: неустойчивая сепаратриса отображения кошки Арнольда............................166

52 Комплексная плоскость А собственных значения матрицы Якоби для генератора RA.NLUX с уровнем luxury 0 (плюсы +). То же для генератора Фибоначчи с (г, s) = (24,10) (ромбы О).....................170

53 Комплексная: плоскость А собственных значения матрицы Якоби для генератора Фибоначчи с (г, s) = (24,10)(36,11), (89, 38), (127,64) и (250,103) обозначены ('□,+, х, *, □) соответственно...................171

54 Комплексная: плоскость А собственных значений матрицы Якоби для генератора Фибоначчи с (г, s) — (250,103) Число р отброшенных псевдослучайных чисел равно 3, 5 и 22 сверху вниз...................173

55 Комплексная: плоскость А собственных значений матрицы Якоби для генератора Фибоначчи с (г, s) = (250,103) Число р отброшенных псевдослучайных чисел равно 49, 50 и 54 сверху вниз..................174

56 Комплексная плоскость А собственных значений матрицы Якоби для генератора Фибоначчи с (г, s) = (250,103) Число р отброшенных псевдослучайных чисел равно 71, 92 и 125 сверху вниз.................175

57 Комплексная: плоскость А собственных значений матрицы Якоби для генератора Фибоначчи с (г, s) = (250,103) Число р отброшенных псевдослучайных чисел равно 152, 184 и 206 сверху вниз................176

Часть I

Модель Изинга на случайной решетке.

I. ВВЕДЕНИЕ.

В последние десятилетия существенный прогресс был достигнут в исследовании критического поведения систем при фазовых переходах. Тем не менее, точные результаты достаточно редки и несомненную важность приобрели численные исследования для получения достаточно надежных данных. Кроме того, несомненно значение численного моделирования для проверки теорий и гипотез.

Один из интересн:ейших вопросов физики фазовых переходов это вопрос о влиянии примесей на критическое поведение.

Харрис [22] сформулировал критерий, который позволяет ответить на этот вопрос в зависимости от знака критического индекса а теплоемкости С ос т~а (где г = (Т — Тс)/Тс - приведенная температура) для чистой модели. Если а > 0, то критические индексы изменяются, а если а < 0, то критические индексы остаются теми же, что для чистой модели. Для пограничного случая а = 0 критерий Харриса не дает ответа. Именно этот случай соответствует двумерной модели Изинга. Исследованию этой модели и посвящена значительная часть настоящей Главы.

В разделе II описываются основные используемые алгоритмы.

В разделе III приведены результаты исследования двумерной модели Изинга со случайными ферромагнитными связями в критической области.

В разделе IV рассматривается поведение теплоемкости двумерной модели Изинга с выбитыми узлами.

В разделе V анализируются проблемы точности расчетов, обусловленные качеством

генераторов случайных чисел.

II. АЛГОРИТМЫ

В модели Изинга в узлах решетки с координатами г помещаются N спинов Б г = ±1. Взаимодействие в исследуемых нами случаях ограничено ближайшими соседями. Все константы связи 5ц между спинами в узлах г и 3 положительны, что соответствует ферромагнетику.

Гамильтониан запишем, как

n

я = (1)

(У) <=1

где к - внешнее магнитное поле. Первое суммирование производится по всем ближайшим соседям.

В принципе, зная Гамильтониан, можно вычислить статистическое среднее любой наблюдаемой 5г> •••> 5лг)

(Л(5Ь 53>..., 5^)} - | £ е-н/квт А[3ъ ; (2)

51,52,...,5ЛГ=±1

где статистическая сумма Z

г = ]Г е-я/*вт (3)

Таким образом, каждая конфигурация имеет статистический вес

= (4)

или, что то же самое, вероятность наблюдения конфигурации (¿¡х, <$2, •••? 5з) в термодинамическом равновесии.

Оценим теперь затраты на прямое суммирование при вычислении средних (2), например, для сравнительно небольшой двумерной решетки с линейным размером Ь = 16. Число узлов решетки N = Ь2 и число членов суммирования (в каждом узле суммируем по двум значениям спина) = 2256 « 1077. Таким образом, прямое суммирование осуществимо на современных компьютерах, способных выполнять за разумное время

порядка 1015 операций, для решеток с не более чем 15 /о^Ю ~ 49 узлов (меньше числа клеток на шахматной доске!)

Казалось бы, можно попытаться ограничить число членов суммы некоторой выбор-

где мы обозначили вектором г в фазовом пространстве нашей системы точку с координатой (51,52,..., ¿V).

При таком усредении, однако, проблематично получение хорошей точности, если мы будем выбирать точки в пространстве случайным образом. При этом одинаково вероятно присутствуют в суммировании точки фазового пространства, имеющие существенно отличные статистические веса (4).

Поэтому тривиальная аппроксимация (5), называемая простой выборкой, обычно заменяется на аппроксимацию с выборкой по важности. А именно, конструируется процесс, при котором точки фазового пространства гп выбираются с некоторой вероятностью Р(гп). При этом оценка (5) заменяется на:

Тот или иной выбор вероятности P(fn) определяет динамику процесса релаксации системы. Процесс должен обладать свойствами эргодичности и детального баланса. В последующих подсекциях мы опишем алгоритмы, обладающие такими свойствами.

кой М состояний из полного числа 2Ы (что соответствует в непрерывном случае замене интеграла суммой):

(5)

(6)

А. Метод Метрополиса

Наиболее простой и естественный выбор вероятности пропорционально статистическому весу состояния:

Р(гп) ос е~н^квТ. В этом случае среднее (6) упростится до простого арифметического

— 1 М п=1

Теперь остается решить вопрос практической реализации такого процесса выборки. Первый метод предложил Метрополис с соавторами в начале 50-х годов. Идея состоит в построении марковского процесса, при котором каждое последующее состояние fn+1 есть изменение предыдущего гп с подходящей переходной вероятностью W(fn —гта+1). Оказалось, что возможно выбрать такую переходную вероятность W, что в пределе бесконечной выборки M -» оо функция распределения Р(гп) состояний, генерируемых таким процессом, сошлась бы к равновесному распределению

Peg(rn) = le-*™k*T. (8)

Для этого достаточно выполнения принципа детального баланса

Peg(rn)W(fn fn,) = Peq{fnl)W{fn, f„). (9)

Из этого уравнения следует, что отношение переходных вероятностей зависит только от разности энергий начального и конечного состояний

W{rn --> ту) Peq{rn>) -(H(fn,)-H(fn))/kBT _ p-SH/kBT

W(fn,-+rn) Peq(fn) ■ [W)

Один из удовлетворяющих условию (10) способов таков

( ± e-5H/kBT Ш > q

w(fn fnо = {т° , (il)

U ^<0-

где т3 константа, которую в нашем случае можно положить равной единице.

Чтобы убедиться в том, что такой процесс на самом деле приводит к термодинамическому равновесию, достаточно рассмотреть ансамбль систем. Пусть в некотором состоянии А находится Ид систем, а в достижимом из него за один шаг процесса (11) другом состоянии В находится N3 систем. Легко убедиться, что разница ДАга^в числа переходов из состояния А в состояние В и числа обратных переходов Мв~+а, будет равна

/е-Н{тв)/квТ дг \

ЛЛ^-в = МА^В - = ^н{ТА)/квТ - ■ (12)

Мы получили, что в термодинамическом равновесии число систем в состояниях Аж В пропорционально их статистическому весу, что нам и требовалось.

Недостатком метода Метрополиса является рост времени релаксации системы тге1 при увеличении размера системы в точке перехода тге1 ос Ьг, где г - индекс критического замедления. Для метода Метрополиса г & 2.14 для модели Изинга на двумерной решет-Кв Ш % 2.03 на трехмерной решетке [82]. Поэтому исследование методом Метрополиса критического поведения больших систем затруднительно.

Б. Кластерные алгоритмы и модель коррелированной перколяции.

Существенно меньшее значение индекса г « 0.3 удалось достичь с использованием предложенного около 10 лет назад кластерного алгоритма [23-28]. В этом алгоритме используется обнаруженное ранее Фортуином и Кастеляйном отображение модели Изинга на модель коррелированной перколяции [31-34].

Суть метода состоит в следующем.

Произведем процесс активации связей между спинами для конкретной конфигурации спинов, введя новую переменную т^, которую припишем связи спинов 5, и Sj. Если соседние спины 5г- и разнонаправлены, то считаем связь тг] пассивной и полагаем Тц = 0. Если спины 5» и Sj направлены в одну сторону, то считаем связь активной Ту = 1 с вероятностью

р = 1 _ е-2Фвт (13)

и пассивной Тц = 0 с вероятностью д = 1 — р.

После этого возможно определить кластеры спинов, соединенных активными связями Ту = 1. Легко убедиться, что средняя энергия границы таких кластеров равна нулю в термодинамическом пределе системы бесконечного размера. Поэтому мы можем независимо от предыдущего состояния присвоить всем спинам кластера любое новое значение спина.

Предложенный Свендсеном и Вангом алгоритм состоит из двух шагов: 1) построения по имеющейся конфигурации спинов (51, 52,..., ¿V) конфигурации переменных {т^} и 2) построения по {т^} случайной конфигурации спинов {5г}, скоррелированных в пределах каждого кластера.

Эдварде и Сокал [35] написали обобщенную статистическую сумму, отражающую наличие в динамике модели Изинга на самом деле двух переменных т^ и 5г

ф({5},{г}) = Ц [(1 -р^д^о+р^.,^] х сММ), (14)

где рц = 1 — ехр(и мера.

Произведя суммирование или по переменным {¿¿} или по переменным {т^} можно проверить равенство статистических сумм модели Поттса, модели коррелированной перколяции и обобщенной модели.

В. Алгоритм Вольфа

В Институте теоретической физики в 1992 году было завершено строительство специализированного процессора ЗРР-2, в котором был реализован алгоритм Вольфа.

Вольф [25]- [30] модифицировал алгоритм Свендсена-Ванга, отказавшись от разбиения на кластеры всех спинов решетки. Его основная идея такова. Пусть имеется разбиение конфигурации спинов на кластеры. Выберем некоторый узел решетки. Этот узел принадлежит одному из кластеров. Всем спинам кластера мы изменим значение на противоположное. Это и будет одним шагом алгоритма Вольфа.

Такой процесс, однако, не выгоден в описанной форме и его можно значительно упростить, избежав трудоемкое разбиение на кластеры. Переставив последовательность наших рассуждений, мы можем вначале выбрать координату спина на решетке, а затем поставить вопрос об определении всех спинов кластера, в который входит первый выбранный спин. В каком-то смысле этот процесс аналогичен методу Лиза [128] для перколяции. Алгоритм Вольфа намного проще и быстрее алгоритма Свендсена-Ванга. Кроме того, индекс критического замедления несколько меньше, чем для алгоритма Свендсена-Ванга [25,36].

Обозначим через число кластеров Свендсена-Ванга размера в. Факт, что ка-

ждый из N узлов решетки входит в один из зтах кластеров, приводит к соотношению

Введем функцию распределения кластеров Свендсена-Ванга по размерам .з

Из последнего выражения следует, что я /И есть вероятность того, что выбранный узел принадлежит кластеру размера 5. Вспомнив правило построения к ласте-

(15)

Тогда условие (15) перепишется

(16)

Я=1

ра Вольфа заключим, что это и есть удельное число кластеров Вольфа размера я и, функция распределев:ия РШо1Н (в) кластеров Вольфа по размерам 5

Р*<*Н{3) = = в р™(з). (17)

Соотношение между средним размером кластеров Вольфа (5) и средним размером кластеров Свендсена-Ванга (5) таково

зтах этах втах

= 5 р™"(3) = ¿у > Е5 = <5>5И/- (18)

3=1 8=1 3=1

Средний размер кластера Вольфа больше.

Возможно, что более быстрая релаксация алгоритма Вольфа связана именно с этим фактом. В алгоритме Вольфа мы более вероятно выбираем максимальный кластер с характерным размером порядка корреляционной длины.

Г. Кластерный специализированный процессор.

Именно алгоритм Вольфа и реализован в кластерном специализированном процессоре, сконструированном А.Л. Талаповым и построенном нами вместе в Институте теоретической физики им. Л.Д. Ландау [5,6] . *

Процессор имеет память, способную содержать спины квадратной решетки с линейными размерами L — 64,128, 256, 512 и 1024. Связи между спинами могут быть выбраны двух типов J и J' и распределены по решетке произвольным образом. Каждому типу связи J и J' соответствует вероятность (13) р или р' быть активированной

р = 1 - е-23'квТ for J

(19)

р' = 1 - e-2J'/kBT for j'

Значения этих вероятностей, а, точнее, их дополнений q = 1—р и q' — 1— р', записываются в 24-битовые регистры специализированного процессора перед началом вычислений.

Процессор имеет генератор псевдослучайных чисел с размером каждого числа 24 бита. Это программируемый генератор типа сдвигового регистра с максимальной длиной регистра р = 256. Реально использовался алгоритм Киркпатрика-Штоля [44] R250 с длинами (р, q) = (250,103). (Подробнее смотри Главу III).

Чтение из памяти спина узла, его четырех соседей и меток типа связи (всего 9 однобитовых переменных) производится параллельно. Запись в память спина и адреса в стек производятся также параллельно. Генератор случайных чисел функционально независим от других блоков процессора и каждые 20 наносекунд записывает новое случайное число в регистр. Это число может быть прочитано и использовано или непрочитано и неиспользовано. В любом случае значение регистра будет заменено через 20 наносекунд.

*На самом деле, вначале был построен процессор с алгоритмом Метрополиса [42]. Но он не использовался для получения результатов, входящих в настоящую работу, поэтому в работе не рассматривается

Заметим, что такое случайное прореживание последовательности псевдослучайных чисел оказалось достаточно удачным. (Обсуждение корреляций в последовательностях псевдослучайных чисел и их влияние на точность результатов смотри в отдельной Главе III). Тем не менее, как показало проведенное исследование по моделированию критической области двумерной модели Изинга со случайными ферромагнитными примесями (смотри работу [8] и раздел III), а также анализ зависимости систематической ошибки от параметров задачи, проделанный нами позднее [12] (смотри раздел V настоящей работы), результаты, полученные специализированным процессором не содержат систематической ошибки только для решеток с линейным размером более 128 узлов при требуемой точности вычислений, *

После одного или нескольких шагов Монте-Карло процессор также производит подсчет энергии, намагниченности и спин-спин корреляционных функций на трех расстояниях. Эти значения записываются в регистры, доступные для чтения управляющей машиной. В качестве управляющей ЭВМ мы использовали персональный компьютер i386-33 MHz под системой DOS. Управляющие программы были написаны, в основном, на языке Ассемблера.

Среднее время, требуемое для переворота критического кластера на максимально возможной решетке, составляет примерно 1/10 секунды, что сравнимо со скоростью одного процессора типа Cray Y-MP.

^Необходимая точность оценивается нами с помощью объема вычислений, который на данной ЭВМ может быть проведен в течении 3 месяцев.

III. КРИТИЧЕСКАЯ ОБЛАСТЬ ДВУМЕРНОЙ МОДЕЛИ ИЗИНГА.

Как уже упоминалось во введении к этой Главе, большой интерес представляет выяснение критического поведения двумерной модели Изинга с примесями. Особо большой интерес был вызван расхождением предсказаний теорий для индекса намагниченности /3 и восприимчивости 7. Что касается индекса поведения теплоемкости при сравнительно небольших концентрациях примесей, то здесь расхождения были достаточно быстро преодолены и установлено согласие с открытым братьями Доценко критическим поведением

С (г) ос - 1п (1 + д 1п -), (20)

9 т

где г = (Тс — Г)/Тс и д = р(3 — ./') параметр теории, связанный с концентрацией р примесных связей 3' и их отличием 3 — 3' от " чистых" связей 3.

Доценко и Доценко [52,53] утверждали, что индекс намагниченности изменяется с чистого ¡3 = 1/8 на 0. Соответственно, индекс восприимчивости со значения 7 = 7/4 на 2. Это противоречило более поздним результатам Шалаева [54], Шанкара [55] и Людвига [56], которые получили такое поведение намагниченности и восприимчивости

-г1/8 1

{1+д1п 1)1/»; хМ а т'7'* (1 + д1п -)7/8, (21)

т.е. неизменность критических индексов по сранению с чистым случаем.

Заметим, что численные исследования, которые проводились до нас, проводились с использованием конечно-размерного скейлинга, т.е. анализировалась зависимость величин теплоемкости С ж восприимчивости х в точке перехода в зависимости от линейного размера системы. Такой анализ неявно предполал бы сохранение функциональных зависимостей чистых систем с введением примесей.

Используя возможность достаточно точного вычисления на СПП-2 интересующих нас величин на очень больших решетках, мы исследовали напрямую зависимость теплоемкости и восприимчивости от температуры, определив критическую область модели Изинга с примесями. Это один их основных результатов работы.

А. Намагниченность и восприимчивость

Переходим теперь к изложению конкретных численных результатов, полученных с помощью СПП-2 и опубликованных в [8]. ^

Было численно исследовано поведение намагниченности и восприимчивости для чистой модели Изинга на квадратной решетке с линейным размером до Ь — 1024.

Основная идея работы следующая.

При анализе численных данных большое значение имеет учет поправок к скейлингу при больших значениях приведенной температуры и поправок, связанных с конечностью размеров системы, которые важны вблизи критической точки, когда корреляционная длина достигает масштаба размера системы. Воспользуемся обнаруженной нами ранее в работе [6] возможностью благодаря очень большим размерам системы исследовать критическое поведение намагниченности и восприимчивости в области температур вблизи критической, где уже нет влияния границ системы, но еще не так важны поправки к скейлингу. Мы называем такой интервал температур критической областью конечной системы [61].

На Рис. 1 показано отношение вычисленной намагниченности чистой модели Изинга Мриге(т) к теоретически определенной функции [57,61]

М0(т) = 1.22241 (г)1/8, (22)

а на Рис. 2 приведено отношение вычисленной восприимчивости Хриге к точному значе-

*К сожалению, оригинальные файлы в формате системы Origin, с использованием которой готовились рисунки для статьи [8] оказались утрачены в результате поломки дисков на ЭВМ cpd.landau.ac.ru и dutncp8.tu.tudelft.nl. Поэтому я использовал в этом разделе готовые файлы в формате PostScript, приготовленные мною в апреле 1994 года при посылке в журнал и Талаповым в июле 1994 года при корректуре. Эти рисунки содержат соответствующие даты и нумерацию оригинальной статьи. Приносим читателю извинения за неудобства.

нию сингулярной части [57]

xo(r0 = 0.025537- 0.001989^^ (23)

где г' = (Тс - Г) /Т.

Та1ароу алс! вЬсЬиг Арг. 19, 1994 8:46:51 РМ

Р1д.З

1.06 1.04 1.02 ТЗ 1.00

а>

3.0.98 5

0.96

0.94

0.92

V

Ю-4 2 3 10"3 2 3 Ю-2 2 3 1 0"1 2 3

X

Рис. 1. Отношение намагниченности М, вычисленной с помощью кластерного процессора СПП-2 для чистой модели Изинга с линейным размером Ь = 1024, к асимптотическому поведению Мо-

Та!ароу апй ЭЬсЬиг Арг. 19. 1994 8:26:50 РМ

Р'|д.4

1.1 1.0 0.9 0.8 .5 0.7 <0 1.0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 - ... ! ! - Хх ' ' 1 | X -Г. . . 1 И ( ! ! ! 1 ; . ■ | 1 . 1 :

- ^ I I Л Ж Ж

-

■ '

5 *

- -

■ а -

-

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Щур, Лев Николаевич

XXII. ВЫВОДЫ

Резюмируем результаты последней Главы.

Удалось разработать тест для выявления корреляций в генераторах случайных чисел, ответственных за большие систематические ошибки при применении кластерных алгоритмов и задач случайного блуждания.

Тест позволяет получить аналитические оценки для класса генераторов типа сдвигового регистра. На основе таких оценок, а также численного применения теста, можно сделать вывод об одинаково плохих свойствах генераторов сдвигового регистра, Фибоначчи и вычитание-е-переносом Более того, учитывая результат Экьюера об эквивалентности генератора 8\¥С линейно-конгруэнтным методам, можно сказать, что именно генератор обладает наиболее плохими свойствами. Этот результат противоречит распространенному убеждению о том, что Б\¥С лучший генератор в упомянутой серии.

Проинтерпретируем теперь попытку Кнута построить лучший генератор случайных чисел, окончившийся неудачей [135] - его генератор производил циклические подпоследовательности различной длины в зависимости от начального условия.

Этот результат совсем неудивителен с точки зрения теории динамических систем. Известно (смотри, например [145]), что грубые системы нигде неплотны. Иными словами, если мы случайно выберем динамическую систему из функционального пространства всех систем (чаю и сделал Д. Кнут), то с вероятностью 1 мы выберем динамическую систему общего положения. То есть систему, фазовое пространство которой содержит устойчивые и неустойчивые многообразия - предельные циклы, стоки, источники и тому подобное. Д. Кнут заключает обсуждение словами: "нельзя генерировать случайные числа случайно выбранным алгоритмом. Нужна какая-то теория".

Я надеюсь, что в этой Главе мне удалось сделать некоторый шаг в этом направлении.

VI. ЗАКЛЮЧЕНИЕ.

Применение современной вычислительной техники в комбинации с эффективными методами расчетов и приемами обработки численных данных позволяет достаточно детально исследовать критическое поведение модельных систем.

Заметим, что сложности при вычислениях носят, как правило, принципальный характер (как, например, критическое замедление). Их преодоление возможно лишь с применением соответствующих методов (как, например, кластерный метод Свендсена-Ванга), основанных на физических идеях (коррелированная перколяция).

Возможность численного исследования систем в случайном внешнем поле, как и систем с фрустрациями, сильно ограничена отсутствием эффективных чсленных методов. Более того, при моделировании таких систем следует ожидать также отсутствие самоусреднения некоторых величин.

В настоящее время, для выяснения картины критического поведения теплоемкости вблизи точки перколяции мы разрабатываем численный метод прямого учета фрактальной, многосвязной сруктуры протекающего кластера.

В следующей Главе II приведены результаты вычисления вероятности одновременного существования нескольких протекающих кластеров в точке перколяции двумерной решетки. Эта задача имеет непосредственное отношение к пониманию устройства критической точки.

Часть II

Кластеры в критической точке.

Эта глава основана на совместных работах с моим аспирантом С.С. Косяковым [14,15] по перколяции и на совместных работах с С.С. Косяковым и С.А. Крашаковым по программному обеспечению широкомасштабных вычислений [21,20,19].

Как было отмечено в Главе IV, область фазовой диаграммы модели Изинга с немагнитными примесями вблизи точки перколяции изучена недостаточно хорошо.

В частности, мало известно о критическом поведении в этой области. Со стороны меньшей концентрации примесей всегда имеется протекающий кластер и, формально, фазовый переход возможен. Со стороны больших концентраций бесконечного кластера нет, поэтому фазовый переход не может осуществится. В самой точке перколяции существует конечная вероятность, зависящая от геометрии границ (смотри ниже), существования бесконечного кластера. Однако примерно « 30% двумерных решеток не имеют бесконечного кластера. Если даже фазовый переход спиновой системы и возможен в этой точке, то в не более, чем в 70%-ах образцов.

В этой Главе мы излагаем наши численные исследования протекающих кластеров в точке перколяции двумерных решеток.

VII. ВВЕДЕНИЕ.

Теория иерколяции была построена в период примерно с середины 50-х годов по середину 80-х годов. Обзор состояния на начало 90-х годов можно найти в книгах Аарони и Штауфера [116] и Бунде и Хавлина [118].

Перколяция представляет, пожалуй, простейшую модель статистической физики, имеющую нетривиальное критическое поведение [58]. Она, в частности, может быть получена из модели Поттса [59] предельным переходом при стремлении числа состояний q к единице q 1 [32].

В последние несколько лет произошло серьезное продвижение в понимании того, как устроена критическая точка перколяции двумерных систем. Мини-обзор недавно полученных результатов опубликовал Штауфер [117].

Основные точные результаты доказаны в теории перколяции для модели двумерной перколяции по связям. В этой модели каждая связь двумерной квадратной решетки размером L*L имеет вероятность q = 1 —р присутствовать и вероятность р отсутствовать. Ставится вопрос о существовании замкнутого пути, состоящего из присутствующих связей, соединяющего левую грань с правой. Вероятность такого пути равна вероятности 7Th(p) существования кластера, соединяющего противоположные грани двумерной решетки (spanning cluster).

Известна следующая теорема [47]

Теорема. Существует единственная критическая вероятность 0 < рс < 1 такая, что:

1) р > рс lim тгLh{p) = 0; (52)

L—>оо

2) р

L—>оо

3) р-= Рс 0 < lim inj 7Гд(р) < lim sup тх%(р) < 1. (54)

L—>оо L—>оо

Численные данные свидетельствуют в пользу существования этих пределов. Например, для задачи протекания по связям Зифф достаточно надежно установил в 1992 году

122], что 7Г= 0.5. Для сформулированной выше задачи протекания по связям простые симметрийные соображения также сводятся к такому результату.

Ряд новых фактов установил Лангланд с сотрудниками [125]. Они исследовали решетки с различными линейными размерами по горизонтали Ь^ и по вертикали Ьу. Численно было выяснено, что существует конечный предел (при одновременном стремлении Ьь, Ьу —у оо) вероятности 7г£°(г, рс) протекания кластера с грани на грань двумерной решетки при фиксированном отношении г = Ь^/Ьу.

Вслед за этим Карди вычислил этот предел [129] с помощью конформной теории поля [97]. Известно, что перколяцию можно получить, как д 1 предел модели Поттса с д состояниями спина [44]. В этой модели спины я(г), расположенные в узлах г решетки могут находиться в одном из д состояний (а, /3,.). Статистическая сумма записывается в виде произведений по связям г,г')

Члены разложения степеней Z по степеням х находятся во взаимнооднозначном соот-вествии с конфигурациями, возникающими в задаче перколяции по связям [31,32]. В пределе —» 1 конфигурации связей будут иметь правильные веса при выборе х = р/(1 — р). Два узла одного кластера по определению находятся в одном и том же состоянии в модели Поттса. Представим теперь, что у нас есть два несвязанных сегмента и ¿2 кусочно дифференцируемой границы связной компактной области. Пусть Zap статсум-ма модели Поттса с условием, что все спины сегмента ¿1 зафиксированы в состоянии а и все спины сегмента З? зафиксированы в состоянии /5. Состояние остальных спинов решетки произвольное. Тогда вероятность соединенности сегментов ¿х и 52 выражается так тг(5ъ Бг) = Ит(^вв - ^а/з), (55) где во втором члене а ф ¡5. На самом деле, в пределе д 1 первый член в (55) равен единице.

Внутренняя часть компактной области может быть конформно отображена на верхнюю полуплоскость, так что граница отображается на действительную ось. Если область имеет углы, то отображение будет сингулярным, но непрерывным в этих точках. Конформная теория поля связывает статистические суммы в этих двух геометриях определенным образом. Так, если сегменты и отображаются на интервалы (а^, гсг) и (хз,х4) соответственно, то проблема сводится к нахождению соответствующих статистических сумм 2ыа и в этой геометрии.

Карди показал также в [130], что для некоторых теорий есть некоторый заданный набор граничных условий, согласующийся с конформной теорией поля. Вообще говоря, они соответствуют фиксированным точкам ренорм-группы в полубесконечных системах. Таким образом, начальные граничные условия в непрерывном пределе становятся эквивалентны граничным условиям, допустимым конформной симметрией. Кроме того, точки на границах, в которых граничные условия изменяются, могут быть соотнесены с точками включения граничных операторов и, таким образом, масштабные операторы теории соответствуют высшим весам алгебры Вирасоро. Ситуация, в которой происходит более одного изменения граничных условий, тогда соответствует корреляционным функциям этих граничных операторов. В нашем случае обозначим граничные условия со свободными спинами через (/) и с фиксированными спинами через (а). Обозначим граничный оператор, соответствующий переключению в точке х с граничного условия (г) на граничное условие (?') посредством ф(^)(х). Тогда статсумма может быть выражена через корреляторы где - статсумма со свободными граничными условиями вдоль всей действительной оси.

Для того чтобы вычислить корреляционные функции с использованием методов конформной теории, нам необходимо выяснить к какому представлению алгебры Вирасоро а.а = 2/(Фи\а)(Х1)Ф(а\/)(Х2)Ф(/\а)(хз)Ф(а\л(Х4:)) = ^/(ф(Да}{х1)ф{а11)(х2)ф^)(х3)фт)(х4)},

56)

57) принадлежат граничные операторы. В непрерывном пределе критическая модель Потт-са соответствует конформной теории с конформной аномалией с = 1-----, тут + 1) где т > 1 определяется из соотношения

2/ ^ \

Таким образом перколяции соответствует с = 0. Известно, что масштабные размерности даются формулой Каца г(т + 1) — эт)2 — 1 Г'5 4т(га + 1) где г и 5 - положительные целые числа и операторам 0(/|а) соответствует пара (г, я) = (1,2). Тогда в пределе —> 1 из формулы Каца получаем, что их масштабная размерность равна Н = /11,2(0) = 0. Это, в свою очередь, означает, что корреляционные функции подчиняются дифференциальным уравнениям второго порядка. Четырехточечные корреляционные функции в силу конформной инвариантности зависят только от универсального отношения (д4 ~а?з)(ж2 - ал) (х3 -Х1)(х4-х2) и вероятность тг((х1, х2), (х3, х4)) пересечения от отрезка (хг,х2) к отрезку (хз,х4) выразится через гипергеометрическую функцию

ЗГ(-) 1 12 4 тг((х1,х2),(х3,х4)) = 2^1(3, з'з^)- (58)

Рассмотрим теперь случай протекания через прямоугольную область с левой грани на правую при отношении сторон = г. Если выбрать точки (хг, х2, х3) х4) как

-1/к,-1,1Л/к), то

К( 1 - к2) г = —-

2К(к2) ' где К (к2) - полный эллиптический интеграл первого рода [133]. Таким образом, результат Карди для вероятности протекания прямоугольника с отношением сторон г дается фомулой (58) с

1-Р2

1 + к/

Эта формула оказалась в замечательном соответствии с численными расчетами Лангландса и соавторов [125,126].

VIII. АЛГОРИТМЫ ДЛЯ ПЕРКОЛЯЦИОННЫХ ЗАДАЧ

Основные алгоритмы для численного определения свойств кластеров были разработаны в середине 70-х годов. Практически одновременно были предложены однокластер-ный алгоритм Лизом [128] и алгоритм разложения на кластеры Хошеном и Копельманом [127].

Первый алгоритм весьма хорош для вычисления среднего размера кластера и очень прост в реализации. Сначала подготавливается образец, т.е. с некоторой вероятностью распределяются на решетке (в узлах или на связях) метки двух типов. Затем случайным образом выбирается занятый узел решетки - его координаты задаются с помощью генератора случайных чисел Далее проверяем все соседние узлы (или связи, в зависимости от задачи). Если соседний узел занят, то его координаты записываем в массив адресов. Массив адресов может быть организован по принципу очереди или стэка. После проверки всех соседей (или всех направлений для задачи перколяции по связям) выбираем из массива адрес следующего узла. Процесс продолжается до тех пор пока массив адресов не будет исчерпан. На этом построение кластера заканчивается.

Алгоритм Хошена-Копельмана более изощренный. Он эффективно позволяет производить разбиение конфигурации узлов на кластеры. При этом разбиение точное.

Основная идея состоит в использовании массива меток узлов. Алгоритм работает послойно и мы можем для простоты рассмотреть алгоритм для двумерной области. Задачи более высокой размерности сводятся поэтапным понижением размерности к двумерному случаю.

Не рекомендуется использовать для этого линейно-конгруэнтные методы генерации псевдослучайной последовательности.

Алгоритм Вольфа использует подобную схему для построения кластера коррелированных спинов.

Поясним схему на простом примере. Пусть два нижних слоя имеют конфигурацию

00011111000

01110011011 и мы начинаем разбиение на кластеры с нижнего левого угла. Мы присваиваем второму узлу кластерную метку 1. Третий узел, очевидно, также принадлежит кластеру номер

1, как и четвертый. На этом шаге первому узлу, как родоначальнику кластера, соответствует в массиве меток число 3 - текущий размер кластера. Узлам 2 и 3 в массиве меток сопоставляется отрицательное число - адрес корневого узла, в нашем случае узла

2. При достижении узла 7 в массив меток мы помещаем число 1 - число узлов в новом кластере под номером 2. Узел 8 будет содержать ссылку на кластер номер 7. Аналогичным образом, узлы 10 и 11 будут принадлежать кластеру с номером 3. Теперь перейдем ко второму слою. Узел 4 второго слоя будет ссылаться на узел номер 2 первого слоя и размер первого кластера станет равным 4. По достижении 6-ого узла второго слоя первый кластер будет содержать 6 узлов. Наконец, когда мы достигнем 7-ой узел второго слоя, то столкнемся с проблемой сливания кластеров. Алгоритм Хошена-Копельмана очень изящно справляется с этой проблемой. На самом деле, 7-ой узел второго слоя одновременно принадлежит кластеру 1 с корнем во 2-ом узле первого слоя и кластеру номер 2 с корнем в 7-ом узле первого слоя. Процедура такова: корневому узлу меньшего по номеру кластера (узел 2 первого слоя) приписывается суммарный размер кластеров 1 и 2, а корневой узел второго кластера - 7-ой узел первого слоя теперь будет ссылаться на корневой узел первого кластера - на 2-ой узел первого слоя. Таким образом, мы по мере прохода решетки вычисляем размер кластера и проносим метки номеров кластеров. При этом за конечное число шагов и без итераций можно установить корневой узел кластера по любому взятому узлу.

В нашей работе мы использовали, в основном, метод Хошена-Копельмана.

IX. ЧИСЛО ПРОТЕКАЮЩИХ КЛАСТЕРОВ

На конференции но Статистической физике в Сямене [50] в 1995 году М. Айзенман высказал предположение о возможности одновременного сосуществования двух и более критических кластеров, соединяющих противоположные грани двумерной решетки. Годом позднее им было сформулировано следующее утвеждение [51].

В случае прямоугольной решетки [0, пЬ] х [0, Ь] он доказал, что вероятность Рь(к, п) того, что решетку пересекают (в направлении длины пЬ) к независимых кластеров, ограничена соотношениями

Ае-акЧ < р^ < е-а'*2П) (59) где а и а' различные константы. Заметим, что на основе инвариантности критической точки, изложенной выше, ожидается, что Рь(к,п) имеет конечный предел при Ь —> оо.

Мы предприняли вычисление [14] соответствующих вероятностей и их сравнение с результатом Айзенмана.

Вначале мы ограничились квадратной решеткой, т.е. п = 1, и поставили задачу определить численно предел вероятностей

Р(к) = Ит Рь{к) (60)

->• оо для к — 1, 2 и 3.

X. МОДЕЛЬ И АЛГОРИТМ

Мы использовали в вычислениях квадратную прямоугольную решетку линейного размера Ь. Граничные условия использовались двух видов: 1) свободные и 2) периодические в одном направлении (например, по вертикали).

Обычно рассматриваются решетки, имеющие по Ь узлов в каждом ряду и столбце, не принимая во внимание важность определения связей на границах решетки. Мы использовали при моделировании решетки с количеством горизонтальных и вертикальных связей в точности равном Ь. На Рис. 33 приведен пример решетки с Ь = 5. 1 » ■ • • "О. 1 — с к р — .С к ? р 1 —о — Р ■••■с 1 ■ 1 > • а » —с 1 ч Э. 4 р •••■с к 1 ь— 1 .С 1 Ь р 1 1 й 9 ■■■■с к . 4 . -С 1 Э. 1 1 .с 1 )

1 9 ' 9 . к 1 4 I I < 4 | Э---- 4 к а —с

9 ■ ■ • • С 9 . • • ■ •<• .■С 5. •••■с )

1 р 1 9 9 9 1 9

Рис. 33. Пример решетки, используемой при вычислениях, с линейным размером Ь = 5 (сплошные линии) и дуальной к ней (пунктирные линии). Заметим, что числу узлов и связей в обоих направлениях и для обеих решеток в точности равно Ь.

Во-первых, такой выбор решетки приводит к полной эквивалентности вертикального и горизонтального направлений.

Во-вторых, дуальная решетка полностью совпадает с прямой при любых размерах решетки, а не только в бесконечном пределе.

В третьих, для любого конечного размера решетки координационное число в точности равно четырем - число связей в точности равно удвоенному числу узлов.

Таким образом, мы сохранили некоторые свойства бесконечной решетки и при конечных размерах. Это позволяет надеятся, что зависимость вероятностей на конечных решетках будет содержать конечномерные члены, пропорциональные только площади системы, т.е. сх 1/Ь2. На самом деле, численные данные подтвердили наши ожидания.

Количество присутствующих и отсутствующих связей было фиксировано перколя-ционным значением рс = 1/2, а присутствующие связи распределялись по решетке случайным образом. Существует и другой способ задания критического значения связей, при котором концентрация не фиксируется, как в нашем случае. При этом каждая связь считается присутствующей или отсутствующей с вероятностью рс = 1/2. Известно, что в термодинамическом пределе эти способы эквивалентны [118]. Однако, вопрос о влиянии такого выбора решетки на конечно-размерное поведение остается, по нашему мнению, невыясненным.

Каждая реализация 2 • Ь2 связей задает образец. Мы разбивали этот образец на кластеры с использованием алгоритма Хошена-Копельмана [127]. Этот алгоритм позволяет произвести точное разбиение на кластеры.

После разбиения на кластеры надо проанализировать количество одновременно протекших кластеров. Например, событие /г, при котором кластер протекает горизонтально, это событие, при котором по крайней мере один из левых узлов прямой решетки (смотри Рис. 33) и по крайней мере одна из правых связей принадлежат одному кластеру. Вероятность такого события это и есть вероятность горизонтального пересечения исследованная Лаягландсом с соавторами [125].

Нам необходимо рассмотреть более детальные события. Мы обозначим через событие при котором существует в точности один кластер, соединяющий левые узлы с правыми занятыми связями. Аналогично, через hk мы обозначим событие, при котором существует ровно к различных кластеров, соединяющих левую и правую границы решетки. Тогда вероятность горизонтального пересечения есть сумма вероятностей 7г^к всех событий hk оо 1=1

Полностью аналогично, мы обозначим через irVk вероятность того, что существует в точности к кластеров, соединяющих границы решетки вертикально. Очевидно, что в нашем случае

TTfti = Кщ для всех i = 1,2,. и для всех размеров решеток, заданных аналогично показанному на рисунке примеру. Эти равенства мы используем ниже для контроля вычисленных статистических ошибок.

Фактически мы связываем с каждым событием hk индикаторную функцию h(hk) h{hk) =- 1, if for sample i the case hk is realized (61) h{hk) ='- 0, if for sample i the case hk is NOT realized (62)

Оценка вероятности иопределяется усреднением соответствующей индикаторной функции по образцам

1 М ¿=i где М - число образцов. Очевидно, что статистические ошибки вероятности горизонтального пересечения не зависят от размеров образца. Поэтому в наших вычислениях число образцов составляло М — 108 для каждого размера образца. Статистическая погрешность определялась разбиением М на 100 групп по 106 образцов в каждом.

Вероятности Айзенмана Рь(к) связаны с вероятностями элементарных событий очевидным образом ад >») = ;£>*• к>г

Вычисления проводились с использованием системы Топос [21,20,19] на нескольких рабочих станциях компьютерных сетей ИТФ им. Л.Д. Ландау и Научного Центра в Черноголовке. Мы не будем приводить здесь детальное описание построенной системы, хотя это является определенным методологическим достижением коллектива и автора настоящей работы. Кратко поясним, что система Топос позволяет проводить вычисления одновременно на большом количестве рабочих станций без непосредственного обращения к ним. Диспетчер задач построен с использованием системы ILU - одной из реализаций архитектуры CORBA (Common Object Request Broker Architecture). Это позволяет использовать гетерогенную компьютерную сеть, обеспечивает независимость от операционных систем и архитектур компьютеров. Кроме того, использование базы данных и системы типа Netscape значительно облегчает обработку информации и избавляет от непосредственного наблюдения за прохождением задач.

XI. ЧИСЛЕННЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

Мы вычислили описанным выше способом вероятности ят^ и -кУк для квадратных решеток с периодическими граничными условиями и размерами Ь = 8,12,16, 20, 20, 32, 64 при критической концентрации связей рс = 1/2. Анализировались события с А; от 1 до 8. Данные для вероятностей Рь(к > г) представлены в Таблице IX. Для каждого размера решетки Ь в первой строке приведены вероятности событий горизонтального протекания, а во второй строке - вероятности вертикального протекания. Они совпадают в пределах статистической ошибки, что и должно быть.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Щур, Лев Николаевич, 1998 год

XXIII. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

[1] Е.С. Николаевский и Л.Н. Щур, Неинтегрируемость классических полей Янга-Миллса, Письма в ЖЭТФ, 36 (1982) 176-179.

[2] Е.С. Николаевский и Л.Н. Щур, Гомоклинические и гетероклинические траектории уравнений Янга-Миллса, Материалы 2-ой Всесоюзной конференции по избранным проблемам статистической физики, Москва (1982)

[3] Е.С. Николаевский и Л.Н. Щур, Неинтегрируемость классических уравнений Янга-Миллса, ЖЭТФ, 85 (1983) 3-13

[4] E.S. Nikolaevsky, L.N. Shchur, Intersection of Séparatrices of Periodical Trajectories and Non-Integrability of the Classical Yang-Mills Equations, Препринт ИТЭФ, (ITEP-3, Moscow) (1983)

[5] A.L. Talapov, L.N. Shchur, V.B. Andreichenko and V.S. Dotsenko, Cluster Algorithm Special Purpose Processor, Mod. Phys. Lett. B6 (1992) 1111-1119

[6] A.L. Talapov, V.B. Andreichenko, V.S. Dotsenko and L.N. Shchur, First Cluster Algorithm Special Purpose Processor, Int. J. Mod. Phys. C4 (1993) 787-804

[7] W. Selke, A.L. Talapov and L.N. Shchur, Cluster-flipping Monte-Carlo algorithm and correlations in "good" random number generators, Письма в ЖЭТФ, 58 (1993) 684-686.

[8] A.L. Talapov and L.N. Shchur, The critical region of the random-bond Ising model, J. Phys.: Cond. Matt., 6 (1994) 8295-8308

[9] L.N. Shchur and H. Blote, Finite-Size Scaling of Systematic Deviations in Cluster Monte-Carlo with Shift-Register Random Number Generators, Proceedings of The 19th IUPAP International Conference on Statistical Physics, (1995), Xiamen, China

[10] W. Selke, L.N. Shchur and A.L. Talapov, Monte Carlo simulations of dilute Ising model: in Annual Reviews of Computational Physics 1, 17-54 (World Scientific Singapore, 1994)

[11] L.N. Shchur, H.W.J. В löte and J.R. Heringa, Simulation of a directed random-walk model: The effect of pseudo-random-number correlations, Physica A, 241 (1997) 579-592

[12] L.N. Shchur and H. Blöte, Cluster Monte Carlo: Scaling of Systematic Errors in 2D Ising Model, Phys. Rev. E 55 (1997) R4905-4908

[13] L.N. Shchur, S.S. Kosyakov, S.A. Krashakov and E.V. Nifontov, Origin of systematic errors in Swendsen- Wang algorithm (to be published)

[14] L.N. Shchur and S.S. Kosyakov, Probability of Incipient Spanning Clusters in Critical Square Bond Percolation, Int. J. Mod. Phys. C8, (1997) 473-481

[15] L.N. Shchur and S.S. Kosyakov, Probability of Incipient Spanning Cluster in Critical Two-Dimensional Percolation, Nuclear Physics В (Proc. Suppl.) 63A-C (1998) 664-666

[16] L.N. Shchur and H. Blöte, Scaling of Systematic Errors in 3D Ising Model, in preparation

[17] L.N. Shchur and P. Butera, The RANLUX generator: resonances in a random walk test, preprint IFUM-620, April, 1998 (принята к печати в Int. J. Mod. Phys. C)

[18] W. Selke, L.N. Shchur and O.A. Vasilyev, Specific heat of two-dimensional diluted magnets, preprint cond-mat/9804183, (принята к печати в Physica А).

[19] S.S. Kosyakov, S.A. Krashakov, L.N. Shchur,

Topos - Manager for Distributed Computing Media. Proc. Int Conf. ADBIS-97, St. Petersburg, 1997, http://www.ipi.ac.ru/sigmod/adbis/index.html

[20] S.S. Kosyakov, S.A. Krashakov, L.N. Shchur,

Distributed Tasks Management System Topos, Proc. Int. Conf. PDPTA'97, Las Vegas, Nevada, USA, June 30 - July 3, 1997, Vol.2, 1170-1173 (Ed. H. R. Arabnia, 1997)

[21] C.C.Косяков, С.А. Крашаков, JI.H. Щур, Распределенная объектная среда ТОПОСЫ&-

териалы Конф. "Информационные системы в науке - 95", с.58 (Под ред. Ю.И. Журавлева, JI.A. Калиниченко, Ю.Е. Хохлова, Фазис, Москва, 1995)

[22] А.В. Harris, Effect of random defects on the critical behaviour of Ising models. J.Phys. G: Solid State Phys., 7, 1671-1692 (1974)

[23] R.H. Swendsen, J.-S. Wang, Nonuniversal critical dynamics in Monte Carlo simulations. Phys. Rev. Lett., 58, 86-88 (1987).

[24] J.-S. Wang, R.H. Swendsen, Cluster Monte Carlo algorithms in statistical mechanics. Int. J. Mod. Phys. C, 3, 209-12 (1992).

[25] U. Wolff, Lattice field theory as a percolation process. Physical Review Letters, 60, 1461-3

(1988)

[26] U. Wolff, Monte Carlo simulation of a lattice field theory as correlated percolation. Nuclear Physics В, B300, 501-16 (1988)

[27] U. Wolff, Collective Monte Carlo updating for spin systems. Phys. Rev. Lett., 62, 361-364

(1989)

[28] U. Wolff, Comparison between cluster Monte Carlo algorithms in the Ising model. Physics Letters B, 228, 379-82 (1989).

[29] U. Wolff, Critical slowing down., Nucl. Phys. B, Proc. Suppl., 17, 93-102 (1990)

[30] U. Wolff, Cluster algorithms for nonlinear sigma models. Int. J. Mod. Phys. C, 3, 213-19 (1992).

[31] P.W. Kasteleyn,C.M. Fortuin, Phase transitions in lattice systems with the random local properties J. Phys. Soc. Japan Suppl., 26 11 (1969).

[32] C.M. Fortuin, P.W. Kasteleyn, On the random-cluster model . I. Introduction and relation to other models Physica, 57, 536-564 (1972)

Comput. Phys., 40, 517-526 (1981).

[45] A.M. Ferrenberg, D.P. Landau, Y. Joanna Wong, Monte Carlo sumulations: Hidden errors from "good" random number generators. Phys.Rev.Lett., 69 3382-3384 (1993).

[46] B.D. Ripley, Thoughts on pseudorandom numbers, J. Comput. Appl. Math., 31, 153-163 (1990).

[47] M. Aizenman and David J. Barsky, Sharpness of the phase transition in precolation models, Comm. Math. Phys. 108, 489-526 (1987)

[48] R.P. Brent, Math, of Comp., 63, 389 (1994)

[49] S.W. Golomb, Shift Register Sequences, second edition (Aegean Park Press, Laguna Hills, 1982)

[50] M. Aizenman, The geometry of critical percolation and conformal invariance, in STATPHYS 19, editor Hao Bailin (World Scientific, Singapore, 1996).

[51] M. Aizenman, On the number of incipient spanning clusters, Nucl. Phys. B [FS], 485 551-582 (1997).

[52] Vik. S. Dotsenko, VI. S. Dotsenko, Critical behaviour of the 2D Ising model with impurity bonds. J. Phys. C, 15, 495-507 (1982).

[53] Vik. S. Dotsenko, VI. S. Dotsenko, Critical behaviour of the phase transition in the 2D Ising Model with impurities. Advances in Physics, 32, 129-172 (1983).

[54] B.N. Shalaev, Critical behaviour of the two-dimensional Ising model with random bonds, Phys. Rep., 237, 129-188 (1994).

[55] R. Shankar, Exact Critical Behavior of a Random-Bond Two-Dimensional Ising Model. Physical Review Letters, 58, 2466-2469 (1987).

[56] A.W.W. Ludwig, Infinite Hierarchies of Exponents in a Diluted Ferromagnet and Their

Interpretation. Nuclear Physics В, 330 , 639-680 (1990).

[57] B.M. McCoy, Т.Т. Wu Random impurities as the cause smooth specific heats near the critical tenperature. Physical Review Letters, 21, 549-551 (1968).

[58] M.E. Fisher, J.W. Essam, Some cluster size and percolation problems, J. Math. Phys., 2, 609-619 (1961)

[59] P. Бэкстер, Точно решаемые модели в статистической механике, (Мир, Москва, 1985).

[60] M.E. Fisher, А.Е. Ferdinand, Interfacial, boundary and size effects at critical points. Physical Review Letters, 19, 169-172 (1967)

[61] A.E. Ferdinand, M.E. Fisher, Bounded and Inhomogeneous Ising Models. I. Specific-Heat Anomaly of a Finite Lattice, Phys. Rev., 185, 832-846 (1969)

[62] M.E.Fisher, R.J. Burford, Theory of Critical-Point Scattering and Correlations. I. The Ising Model. Physical Review Letters, 156, 583-622 (1967).

[63] H. Heuer, Crossover phenomena in disordered two-dimensional Ising systems: A Monte Carlo study, Phys. Rev. B, 45, 5691-5694 (1991)

[64] H. Heuer, Monte Carlo Simulation of Disordered 2-Dimensional Ising Systems, Europhys. Lett., 16, 503-508 (1991)

[65] E. Stoll, T. Schneider, Ising ferromagnet with quenched impurities, J. Phys. A, 9, L67-L70 (1976)

[66] J.-E. Kim, A. Pe.trascioiu, Critical Behavior of the Specific Heat in the Two Dimensional Site Diluted Ising System. Physical Review Letters, 72, 2785-2788 (1994).

[67] J.-E. Kim, A. Patrascioiu, Critical behavior of the two dimensional site-diluted Ising system, Phys. Rev. B, 49, 15764-15770 (1994)

[68] P.D. Coddington, Int. J. Mod. Phys С 5, 547 (1994)

[69] P.D. Coddington, Int. J. Mod. Phys. C, 7, 295 (1996)

[70] I. Vattulainen, T. Ala-Nissila, K. Kankaala, Phys. Rev. Lett. 73, 2513 (1994)

[71] I. Vattulainen, T. Alia-Nissila, K. Kankaala, Phys. Rev. E 52, 3205 (1995)

[72] J.M. Yeomans, R.B. Stinchcombe, Critical properties of site- and bond-diluted Ising ferromagnets. J. Phys. C: Solid State Phys., 12, 347-360 (1979).

[73] D. Stauffer, Crossover Scaling, Correlation Function and Connectivity in Dilute Low Temperature Ferromagnets, Z. Physik B, 22, 161-171 (1975).

[74] H.G. Ballesteros, L.A. Fernandez, V. Martin-Mayor, A. M. Sudupe, G. Parisi, J.J. Ruiz-Lorenzo, Measures of critical exponents in the four dimensional site percolation. Phys.Lett. B, 400, 346-351 (1997)

[75] H.G. Ballesteros, L.A. Fernandez, V. Martin-Mayor, A. M. Sudupe, G. Parisi, J.J. Ruiz-Lorenzo, Ising exponents in the two-dimensional site-diluted Ising model» J. Phys. A, 30, 8379-8383 (1997).

[76] H.G. Ballesteros, L.A. Fernandez, V. Martin-Mayor, A. M. Sudupe, G. Parisi, J.J. Ruiz-Lorenzo, The four dimensional site-diluted Ising model: a finite-size scaling study. Nucl.Phys. B, 512, 681-701 (1998).

[77] H.G. Ballesteros, L.A. Fernandez, V. Martin-Mayor, A. M. Sudupe, G. Parisi, J.J. Ruiz-

Lorenzo, Critical exponents of the three dimensional diluted Ising model, cond-mat/9802273

[78] K. Binder, Applications of the Monte Carlo Method in Statistical Physics, (Springer-Verlag, Berlin, 1984)

[79] K. Binder (Ed.) Monte Carlo Methods in Statistical Physics, (Springer-Verlag, Berlin, 1986) 2nd corr. ed. 1995. xx, 419pp

[80] K. Binder, D.W. Heermann. Monte Carlo Simulation in Statistical Physics, (Springer-Verlag, Berlin, 1988) 3nd corr. ed. 1997. viii, 150 pp.

[81] К. Binder, Applications of Monte Carlo methods to statistical physics. Rep. Prog. Phys. 60, 487-559 (1997).

[82] D.P. Landau, S. Tang, S. Wansleben, Monte Carlo studies of dyamic critical exponets, J. de Physique (Paris) Colloque C8 49, 1525-1529 (1988).

[83] D.P. Landau, Computer simulation studies of critical phenomena, Physica A, 205, 41-64 (1994)

[84] B.I. Shklovskii, A.L. Efros, Electronic Properties of Doped Semiconductors. 5. Percolation Theory. Springer-Verlag, Berlin, 95-136 (1984).

[85] Мы использовали программу FIT.FOR, любезно предоставленную нам С.А. Крашако-вым.

[86] J.R. Heringa, H.W.J. Blöte, A. Compagner, New primitive trinomials of mersenne-exponent degrees for random-number generation. International Journal of Modern Physics C, 3, 561564 (1992).

[87] G. Kamieniarz, H.W.J. Blöte, Universal ratio of magnetization moments in two-dimensional Ising models, J. Phys. A 26 201-212 (1993)

[88] A.L. Talapov and H.W.J. Blöte, The magnetization of the 3D Ising model, J. Phys. A 29 5727-5734 (1996)

[89] A. Hoogland, J. Spaa, B. Selman, A. Compagner, A Special-Purpose Processor for the Monte Carlo Simulation of Ising Spin Systems. Journal of Computational Physics, 51, 250-260 (1983).

[90] A. Compagner, A. Hoogland, Maximum-length sequences, cellular automata, and random numbers. Journal of Computational Physics, 71, 391-428 (1987).

[91] A. Compagner, Definitions of randomness. Amer. J. Phys., 59 700-705 (1991).

[92] A. Compagner, The hierarchy of correlations in random binary sequences. Journal of

Statistical Physics, 63, 883-896 (1991).

[93] A. Compagner, Fast and reliable random-number generation. Proc. 1992 Winter Simulation Conf., Washington DC, Dec. 13-16, 1992, J.J.Swain and D.Goldsman (Eds.), 438-442 (1992).

[94] A. Compagner, Fast and reliable random numbers for extensive Monte Carlo calculations. In: Commemoration of the 60th Birtday of M. Veltman. Gauge Theories: Past and Future. Akhoury R., de Witt B., van Nieuwenhuizen P., Veltman H. (Eds.), World Scientific: Singapore, 1992, pp. 75-79.

[95] A. Compagner, Operational conditions for random number generation. Phys. Rev E, 52 5634-5645 (1995).

[96] D. Wang, A. Compagner, On the use of reducible polynomials as random number generators. Math. Comput., 60, 363-374 (1993).

[97] A.A. Belavin, A.M. Polyakov, A.B. Zamolodchikov, Infinite conformal symmetry in two-dimensional quantum field theory, Nucl. Phys. B 241, 333-380 (1984)

[98] J.L. Cardy, Finite-Size Scaling., North-Holland: Amsterdam-Oxford- New York-Tokyo (1988)

[99] N. Goldenfeld, Lectures on phase transitions and the renormalisation group. Addison-Wesley, Reading (1992)

[100] S.W. Golomb, Shift Register Sequences. Holden-Day, San Francisco-Cambridge-Amsterdam, 1967. xiv+224 pp.

[101] P. L'Ecuyer and S. Tezuka, Structural properties for two classes of combined random number generators, Mathematics of Computation, 57 (196), 735-746 (1991).

[102] P. L'Ecuyer, Maximally equidistributed combined Tausworthe generators, Math. Comput. 65, No.213, 203-213 (1996).

[103] P. L'Ecuyer, Combined Multiple Recursive Generators, Operations Research, 44(5), 816-822 (1996).

[104] P. L'Ecuyer, Random Number Generation, In: Handbook on Simulation, Jerry Banks (Ed.), Wiley, 1997, Chapter 4.

[105] S. Tezuka, P. L'Ecuyer, Analysis of add-with-carry and subtract-with-borrow random number generators, Proc. 1992 Winter Simulation Conf. (J.J.Swain et al., Eds.), pp. 443-447, IEEE Press, Piscatway, NJ, 1992.

[106] P.Grassberger, On correlations in "good" random number generators. Phys. Lett. A, 181, 43-46 (1993).

[107] G. Marsaglia, A. Zaman, A new class of random number generators. Ann. Appl. Probab., 1, 462-480 (1991).

[108] M. Lxischer, A portable high-quality random number generator for lattice field theory simulations. Comput. Phys. Commun., 79, 100-110 (1994).

[109] F. James, A review of pseudorandom number generators. Comput. Phys. Commun., 60, 329-344 (1990).

[110] F. James, RANLUX: A Fortran implementation of the high-quality pseudorandom number generator of Liischer's. Comput. Phys. Commun., 79, 111-114 (1994).

[111] S. Tezuka, Uniform Random Numbers. Theory and Practice. (Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 1995. xii, 209 pp.)

[112] M.E. Fisher, Critical Probabilities for Cluster Size and Percolation Problems. Journal of Mathematical Physics, 2, 620-635 (1961).

[113] M.E. Fisher, M.N. Barber, Scaling Theory for Finite-Size Effects in the Critical Region. Physical Review Letters, 28, 1516-1519 (1972).

[114] M.E. Fisher, A.E. Ferdinand, Interfacial, boundary and size effects at critical points. Physical Review Letters, 19, 169-172 (1967).

[115] H. Au-Yang, M.E. Fisher, A.E. Ferdinand, Bounded and inhomogeneous Ising models. III.

Rugularly spaced point defects. Physical Review B, 13, 1238-1271 (1976).

[116] D. Stauffer, A. Aharony. Introduction to Percolation Theory, 2nd ed. (Taylor & Francis, London. 1995).

[117] D. Stauffer, Minireview: New results for old percolation, Physica A, 242, 1-7 (1997).

[118] A. Bunde, S. Havlin, Eds., Fractals and Disordered Systems, (Springer, Berlin, 1996).

[119] R.M. Ziff, P.T. Cummings, G. Stells, Generation of percolation cluster perimeters by a random walk. Journal of Physics A, 17 3009-3017 (1984).

[120] R.M. Ziff, Test of scaling exponents for percolation-cluster perimeters. Phys. Rev. Lett., 56, 545-548 (1986).

[121] R.M. Ziff, B. Sapoval, The efficient determination of the percolation threshold by a frontier-generating walk in a gradient. J. Phys. A: Math. Gen., 19, L1169-L1172 (1986).

[122] R.M. Ziff, Spanning probability in 2D percolation. Phys. Rev. Lett., 69 2670-2673 (1992).

[123] R.M. Ziff, On Cardy's formula for the critical crossing probability in 2D percolation. J. Phys. A 28, 1249-1255 (1995).

[124] R.M. Ziff, Four-tap shift-register-sequence random-number generators, cond-mat/9710104, (будет опубликовано в Computers in Physics).

[125] R. Langlands, P. Pouliot, Y. Saint-Aubin, Conformal invariance in two-dimensional percolation. Bulletin (New Series) of the American Mathematical Society, 30, 1-61 (1994).

[126] R. Langlands, C. Pichet, P. Pouliot, Y. Saint-Aubin, On the universality of crossing probabilities in two-dimensional percolation, J. Stat. Phys., 67, 553-574 (1992).

[127] J. Hoshen, R. Kopelman, Percolation and cluster ditribution. I. Cluster multiple labeling technique and critical concentraion algorithm. Phys. Rev. В 14 3438 (1976).

[128] P.L. Leath, Cluster size and boundary distribution near percolation threshold, Phys. Rev. В

14 5046 (1976)

[129] J.L. Cardy, Critical percolation in finite geometries. J. Phys. A 25, L201-L206 (1992).

[130] J.L. Cardy, Effect of Boundary Conditions on the Operator Content of Two-Dimensional Conformally Invariant Theories. Nuclear Physics В 275, 200-218 (1986).

[131] J.L. Cardy, The number of incipient spanning clusters in two-dimensional percolation. J.Phys. A: Math. Gen. 31, L105-L110 (1998).

[132] J.L. Cardy, Finite-Size Scaling. (North-Holland: Amsterdam-Oxford- New York-Tokyo, 1988).

[133] Справочник по специальным функциям, под редакцией М, Абрамовича и И. Стигана (Наука, Москва, 1979).

[134] J.-P. Hovi, A. Aharony, Scaling and universality in the spanning probability for percolation. Physical Review E 53, 235-253 (1996).

[135] Д. Кнут, Искусство программирования для ЭВМ, том 2: Получисленные алгоритмы, глава 3: Случайные числах, стр. 13-199, (Мир, Москва, 1977).

[136] D. Knuth, The art of computer programming, vol. 2, second edition, (Addison-Wesley, Reading, 1981)

[137] D. Knuth, The art of computer programming,

additions, http://www-cs-faculty.stanford.edu/ knuth/books.html.

[138] E.I. Shakhnovich, Protein Design: A Perspective from simple tractable models, Folding and Design, 3, R45-52 (1998).

[139] D.W. Davies and W.L. Price, Security for Computer Networks (John Wiley & Sons, Chichester, 1989).

[140] R.R. Coveyou and R.D. MacPherson, Fourier analysis of uniform random number generators,