Задача перечисления неспрямляемых путей на плоских однородных решетках и исследование перколяции однородных бернуллиевских полей тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.03, кандидат наук Комендантенко, Елена Сергеевна

• Комендантенко, Елена Сергеевна
• кандидат наук
• 2016

Оглавление диссертации кандидат наук Комендантенко, Елена Сергеевна

Оглавление

Введение 7

Глава 1. Проблема перечисления неспрямляемых путей на периодических графах и основная задача

дискретной теории перколяции 23

1.1. Прикладные задачи теории перколяции 23

1.2. Математические основы теории перколяции 29

1.3. Решеточные модели теории перколяции 36

1.4. Выводы 42

Глава 2. Задача перечисления неспрямляемых путей 43

2.2. Верхние оценки числа неспрямляемых траекторий

на периодическом графе 43

2.3. Верхние оценки числа неспрямляемых траекторий

на квадратной решетке 55

2.4. Верхние оценка числа неспрямляемых траекторий

на треугольной решетке 63

2.5. Верхние оценка числа неспрямляемых траекторий

на гексагональной решетке 67

2.6. Нижние оценки числа неспрямляемых траекторий

на плоском периодическом графе 71

2.7. Выводы 78

Глава 3. Вычисление вероятности перколяции

и задача перечисления неспрямляемых путей 80

3.1. Вероятность перколяции 80

3.2. Перколяционное разложение 86

3.3. Свойство монотонности вероятности перколяции

бернуллиевских случайных полей на бесконечных графах 92

3.4. Области перколяции дискретных перколяционных моделей 95

3.5. Кластерное разложение вероятности перколяции 98

3.6. Вычисление вероятности перколяции на плоских периодических графов 105

3.7. Вычисление вероятности перколяции на однородных мозаиках 110

3.8. Выводы 124

Глава 4. Теорема о внешних границах конечных кластеров 126

4.1. Плоские графы и мозаики 126

4.2. Дискретный аналог теоремы Жордана 129

4.3. Внешние границы конечных кластеров 133

4.4. Выводы 144

Заключение 145

Список литературы Приложение 1 Приложение 2

148 153 157

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Задача перечисления неспрямляемых путей на плоских однородных решетках и исследование перколяции однородных бернуллиевских полей»

Введение

Актуальность темы. Статистическая механика полимеров относится к самому сложному, с точки зрения построения и анализа математических моделей, разделу статистической физики. Конструкционная сложность математических моделей в этом случае связана с огромным числом атомов, входящих в состав каждой из молекул и, как следствие, наличием у них большого числа различных конформаций, что означает наличие большого числа степеней свободы у каждой отдельной молекулы. Поэтому при решении задач статистической механики, возникает проблема перечисления расположений в фазовом пространстве каждой из молекул полимера, составляющих статистический ансамбль. Эта проблема существенно осложняет исследование систем полимерных молекул, в дополнение к сложному анализу таких систем при их больших плотностях. Необходимость же такого анализа ансамбля молекул полимера именно в физическом состоянии, соответствующем большой плотности молекул, связана с тем, что реальные физические полимеры обычно находятся в жидкой (твердой) фазе, и поэтому распределение Гиббса для системы полимерных молекул должно изучаться в той области изменения ее параметров, где уже произошел фазовый переход в состояние с большой плотностью молекул. Таким образом, в статистической механике полимеров математические проблемы возникают уже при изучении статистики конформаций одиночных молекул. В этом случае, чуть ли не единственным методом математического моделирования и анализа соответствующих моделей является так называемое решеточное приближение, при котором непрерывное пространственное расположение атомов, составляющих молекулу, заменяется на их расположение в узлах «кристаллической» решетки (обычно простой кубической). Но даже при использовании решеточного приближения соответствующие математические модели (см. [1]) оказываются очень сложными для анализа, что связано с разветвленным устройством полимерных молекул. Существенное упрощение возникает в том случае, когда молекула представляет собой гибкую полимерную цепь. Тогда, задача об описании состояний отдельной молекулы в решеточном приближении сводится к описанию различных траекторий заданной длины на решетке, на которые наложены дополнительные ограничения, связанные с представлением о возможном расположении полимерной цепи в пространстве.

Один из простейших способов идеализированного описания гибкой полимерной цепи состоит в представлении ее в виде траектории случайного

блуждания на периодической решетке. Тогда траектория, моделирующая расположение молекулы, имеет вид последовательности из п шагов с фиксированной длиной, с началом в точке х решетки и достигающей некоторой конечной точки у. Каждый следующий шаг может происходить с одинаковой вероятностью в направлении любого из ближайших соседних узлов решетки. Для простоты, длину каждого шага будем полагать равной 1. Впервые это описание ввел, по-видимому, Орр [2]. Такая модель позволяет вычислять, в рамках формализма равновесной статистической механики, физические параметры системы («статистического ансамбля» в терминологии статистической механики) полимерных молекул. При этом базовой величиной, определяющей состояние системы при нулевой температуре, является энтропия S(х,у), связанная со всеми конформациями, которые на-

х

у

са, которые вносит каждая из молекул системы при усреднении по распределению Гиббса для этого ансамбля. Эта величина простым образом выражается через число различных путей Жп(х, у), проходящих от точки х до точки у за п шагов:

5(х, у) = 1п[Жп(х, у)] .

Так как типичное значения числа п очень велико ~ 103, то для вычисления этой базовой величины необходимо научиться находить значение функции Жп(х, у) в главном приближении в области больших значений п. В простейшем представлении полимерной молекулы в виде траектории случайного блуждания, это число равно рп, если число ближайших соседей у каждого узла решетки равно р. Однако, такое приближение является очень грубым. Оно не учитывает, что при расположении полимерной молекулы в пространстве, отдельные ее звенья взаимодействуют друг с другом. Они могут как отталкиваться, так и притягиваться между собой, в зависимости от расстояния между ними. В частности, не учитывается тот очевидный факт, что полимерная молекула не может самопересекаться в пространстве, в то время как на траекторию случайного блуждания не наложено такого ограничения. Наличие таких ограничений существенно изменяет значения числа ^п(х, у). Вычисления энтропии линейных полимерных молекул, связанные с учетом их несамопересекаемости, уже производились ранее. В настоящей работе мы учитываем более тонкий эффект, проявляющийся при расположении линейных полимерных молекул, который связан с отталки-

ваем ее отдельных звеньев друг от друга. В связи с этим вводится понятия о неспрямляемых траекториях на решетке и величина Nn(x, y) понимается как число всех неспрямляемых траекторий длины n, соединяющих точки xy

Оказалось, что представление о неспрямляемых траекториях на решетке и задача их перечисления тесно связаны с исследованием дискретных моделей теории перколяции. В связи с этим, предлагаемый в диссертации метод вычисления числа Nn(x, y), равно как и результаты вычисления его значений для конкретных решеток, применяются для вычисления верхних и нижних оценок порога перколяции и вычисления вероятности перколяции с контролируемой точностью, на основе известного в этой области математической физики «контурного метода».

Считается, что теория перколяции берёт своё начало с работы Дж. Хаммерсли [3] (см. также [4, 5]), который предложил вероятностно-геометрический подход для математического описания просачивания газа через пористую среду и ввел сам термин «перколяция» (percolation) 1)1 для обозначения явления возникновения просачивания газа насквозь через толстый слой среды с достаточно большой пористостью. В его работе процесс диффузии молекулы газа был рассмотрен с математически новой точки зрения в том случае, когда диффузия происходит не в результате статистически независимых в различные моменты времени внешних воздействий, а вследствие случайности неизменной во времени среды. Поэтому такой процесс определяется стохастической геометрией самой среды, которая математически описывается в виде случайного множества в пространстве. Как оказалось, при изменении некоторых физических параметров, процесс диффузии может останавливаться, то есть возможные случайные траектории частицы могут запираться в некоторой ограниченной пространственной области, и, наоборот, при определенных значениях этих параметров, возможна диффузия с неограниченным движением частицы. Это, в частности, привело к постановке принципиально новых задач в теории случайных процессов, связанных с вычислением распределения вероятностей случайного времени первого достижения заданного уровня при наличии явления перколяции (first passage time percolation) [6]. Если применять физическую терминологию, явление возникновения перколяции является своеобразным геометрическим «фазовым переходом» в среде, ко-

1Этот термин закрепился в теории, который в буквальном переводе с английского означает «протекание».

торый состоит в том, что траектории движения пробной частицы в ней из ограниченных превращаются в неограниченные. С математической точки зрения это означает, что при изменении параметров, определяющих распределение вероятностей случайного множества, существенным образом, с вероятностью единица, изменяется топология его случайных реализаций. Замечательно, что возникновение такого явления, как привило, возможно для случайных множеств с пространством погружения, имеющим размерность, большую единицы. В указанных выше работах были предложены очень простые, по своей математической формулировке, дискретные математические модели. Однако, как оказалось, уже такие простые модели приводят к очень сложным математических проблемам 2), которые не поддаются математическому изучению на основе каких-то традиционных подходов, используемых в математической физике и теории случайных процессов. В гл. 1 мы дадим точные математические формулировки таких моделей теории перколяции и связанные с ними задачи, которые называются задачами типа «задачи узлов», предложенной Дж. Хаммерсли.

Работы Дж.Хаммерсли, поначалу, не были должным образом оценены, что, по-видимому, связано с тем, что специалистам по статистической физике предложенные им модели показались довольно странными и мало применимыми к реальным физическим объектам, а у специалистов по теории вероятностей эти модели не вызвали творческого интереса, так как, с одной стороны, задачи, к которым они приводят, оказываются очень сложными и неподдающимися математической обработке посредством имеющихся в их арсенале методов, а, с другой стороны, они казались не имеющими широкой области применимости. Это положение усугублялось также и тем, что явление перколяции, обнаруженное Хаммерсли, уже было давно известно в теории вероятностей со времен работы Дж.Ватсона, который построил и проанализировал вероятностную модель, которая теперь называется процессом Гальтона-Ватсона (см., например, [7]), и из которой впоследствии развилась теория ветвящихся марковских процессов. Процессы такого типа обладают переходом из т.н. подкритического режима в надкритический режим, который, собственно, и является переходом перколяционного типа, с той лишь разницей, что он связан со случайными множествами, у которых пространствами погружения служат очень специальные геометрические объекты в виде бесконечных графов типа деревьев Кэйли. При этом ветвящиеся марковские процессы допускают очень глубокое пзуче-

2 См. по этому поводу гл. 1.

ние на основе традиционных методов теории вероятностей, в частности, допускают вычисление характеристик «перколяционного» перехода.

Несмотря на описанное выше положение, сложившееся на начальном этапе развития теории перколяции, тем не менее, отметим работы [8], [9], выполненные последователями Хаммерсли в этот начальный период, которые стали теперь классическими.

Бурное развитие теории перколяции начинается с 70-х годов прошлого столетия, когда специалистами по физике твердого тела была осознана важность идеи о спонтанном возникновении протекания. Как оказалось, многие физические эффекты, проявляющиеся в твердотельных средах в низкотемпературной области имеют «перколяционную составляющую». На некоторые из них мы укажем в данном в первой главе более подробном обзоре темы настоящей работы. Появившийся большой интерес физиков к теории перколяции в 70-е и 80-е годы вызвал к жизни большое число исследований эмпирического характера и компьютерных экспериментов, часто довольно примитивных, без какого-либо обоснования точности применяемых в них вычислительных методов. Такое положение, вообще говоря, характерно на начальном этапе развития нового научного направления, которое представляет интерес для широкого круга исследователей. Обзор всех этих работ не представляется возможным ввиду их необозримости. В связи с этим, исследования по теории перколяции, не связанные с какими-либо физическими и другого рода приложениями, мы подразделяем на два совершенно различных направления. Одно из них имеет своей целью получение результатов строго математического характера, в том числе и численных, но выполненных с контролируемой точностью. В дальнейшем, именно это направление мы называем математической теорией перколяции и с ним мы связываем исследование, выполненное в настоящей работе. Второе направление, которое мы будем называть эвристическим, направлено на поиск различного рода приближенных соотношений между числовыми характеристиками явления перколяции на основе эвристических физических рассуждений и осуществление численных компьютерных экспериментов, выполняемых без контроля точности (как правило, на основе метода Монте-Карло). Следует заметить, что, несмотря на существенную нестрогость методов, применяемых в такого рода исследованиях, они оказали существенное стимулирующее влияние на развитие математической теории перколяции. В частности, на этом пути были синтезированы новые перко-ляционные математические модели, которые уже имели непосредственное

приложение к задачам физики и к другим задачам математического моделирования, в которых может проявляться эффект перколяции.

В результате, наряду с дискретными перколяционными моделями, аналогичными тем, которые ввел в теорию Дж.Хаммерсли, в математической теории перколяции стали изучаться т.н. непрерывные модели, которые, по вполне понятным причинам, оказались более естественными с физической точки зрения и поэтому наиболее востребованными в приложениях (обзор и анализ постановок задач, связанных с такими моделями, см. в [10]-[12]). Непрерывные модели приводят к математическим проблемам, которые оказываются на порядок более сложными, чем те, которые приходится исследовать в рамках дискретных моделей теории перколяции, как на уровне строгого математического изучения, так и на уровне численных экспериментов.

В течение указанного периода бурного развития теории перколяции появилось значительное число работ, содержащих уже строгие математические результаты, в которых были предложены новые вероятностно-геометрические методы, приспособленные для изучения перколяционных моделей. Краткий обзор этих работ мы также даем в первой главе. В частности, было понято, что непрерывные перколяционные модели вряд ли допускают исследование на основе каких-либо традиционных методов математической физики, связанным с дифференциальными и/или интегральными уравнениями. По этой причине, для исследования таких моделей имеется едва ли не единственный путь, состоящий в их приближенной дискретизации (см. [13]) и, тем самым, в сведении их изучения к исследованию приближенных дискретных моделей. В связи с этим, основные усилия математиков, занимающихся теорией перколяции, и их основные достижения, вплоть до настоящего времени, связаны именно с дискретными моделями.

Одним из методов, развитых для изучения дискретных моделей теории перколяции, стал т.н. контурный метод, на основе которого было получено большинство результатов на начальном этапе развития теории. Этот метод возник на основе идеи, впервые использованной Р. Пайерлсом [14] для доказательства существования фазового перехода в классических ферромагнитных решеточных системах статистической механики (см. подробнее, например, в монографии [15]). Он был применен Дж.Хаммерсли для анализа предложенных им двумерных моделей (т.н. задачи «связей» и задачи «узлов»). Контурный метод дал возможность установить наличие перколя-

ционного перехода для случайных множеств, порождаемых этими моделями. Он также допускал такое обобщение, которое позволяет устанавливать наличие перколяции у случайных множеств, порождаемых бернуллневскими полями на произвольных двумерных «плоских» решетках, однако, форма этого метода, использованная Дж.Хаммерсли, не позволяла, хотя бы в принципе, сколь угодно точно вычислять вероятность перколяции и находить оценки т.н. критической точки - порога перколяции.

Предварительный итог начального периода математических исследований по теории перколяции, связанных именно с дискретными моделями, подведен в монографии Г. Кестена [16], в которой основное внимание уделено моделям, которые, с топологической точки зрения, представляют собой плоские однородные периодические графы.

Контурный метод допускает обобщение для анализа многомерных дискретных моделей теории перколяции (см. поэтому поводу [13]). Такое обобщение было впоследствии построено на основе идей, впервые примененных Р.Л. Добрушиным [17] при анализе трехмерной модели Изинга - решеточной ферромагнитной модели статистической механики.

Метод, в некотором смысле альтернативный к контурному методу, который был назван методом поколений, был предложен М.В. Меньшиковым [18]. Его применимость также ограничена бернуллиевскими случайными полями. Это связано с тем, что в его конструкцию заложено использование марковских ветвящихся процессов, что существенно опирается на статистическую независимость событий, состоящих в возможности перехода из заданного узла кристаллической решетки в различные соседние с ним узлы, находящихся на различных расстояниях. Этот метод уже позволял, в принципе, вычислять порог перколяции в моделях, основанных на бер-нуллиевских случайных полях, со сколь угодно большой контролируемой точностью. Однако, этот метод, уже с самого начала, приводил к громоздким алгебраическим вычислениям так, что его применение без серьезного усовершенствования практически невозможно. В то же время, этот метод можно использовать для доказательства некоторых утверждений качественного характера относительно свойств перколяционных моделей. В настоящей работе, мы используем идеи метода поколений при доказательстве монотонного возрастания вероятности перколяции как функции от вероятности занятости узла (вероятности «успеха» бернуллиевского случайного поля).

Как контурный метод, так и метод поколений, в двумерных задачах

теории иерколяции, тесно связаны с комбинаторной задачей перечисления несамопересекающихся путей наперед заданной длины п € N на решетках различного типа. Простейшие оценки числа N путей такого рода па квадратной решетке уже использовались в работах Дж.Хаммерсли, так как функция Ып оценивает сверху число несамопересекающихся замкнутых циклов, окружающих выделенный узел решетки. Попытки уточнения величины 1п с которой связана верхняя оценка порога перколяции делались в дальнейшем многими авторами. При этом получение верхних и нижних оценок этого показателя роста числа Ып представляют собой совершенно разные по сложности задачи. Следует заметить, что в многомерных задачах теории перколяции число Ып уже играет меньшую роль, так как «границы», окружающие фиксированный узел решетки, в этом случае уже состоят из топологических симплексов соответствующей размерности. Для многомерных моделей величина 1п Ып сохраняет свое значение лишь при оценивании порога перколяции снизу. В то же время, эта величина играет, как уже было указано выше, важную роль в задачах математической физики, связанных со статистической механикой систем полимерных молекул, представляющих длинные цепочки, вообще говоря, случайной длины [19]. На ее основе, производится оценивание интегралов, определяющих фазовый объем упаковок таких молекул посредством их дискретизации.

Подводя итог данному краткому историческому обзору, следует указать, что несмотря на то, что к настоящему времени вышло уже несколько достаточно всеобъемлющих монографий по теории перколяции, которые посвящены не физическим приложениям, а именно разработке математической стороны этой теории (кроме уже процитированной выше монографии см. [20]-[22]), вышли серьёзные обзоры, в которых ставятся, в рамках этой теории, важные пришедшие из физики проблемы (связанные, например, с теорией критических явлений [23]), учебники [24],[64], научно-популярные издания [26] и справочные статьи [27], нет никаких оснований считать, что теория перколяции является достаточно глубоко разработанной математической теорией. Даже в рамках моделей, предложенных Дж.Хаммерсли, нет ответов на многие важные для приложений вопросы. Так, для этих дискретных однопараметрических моделей, порождаемых бернуллневскими случайными полями на периодических графах, нет удовлетворительного метода вычисления вероятности перколяции как функции от вероятности заполнения узлов решетки, то есть не имеется такого метода вычисления параметра порядка, характеризующего перколяционный фазовый пе-

реход, который бы позволял вычислять эту величину со сколь угодно высокой контролируемой точностью, одновременно со все более точным определением критической точки — порога перколяции. Не имеется достаточно полного ответа на этот вопрос даже в случае однородных плоских моделей. В настоящей диссертации делается попытка дать ответы на некоторые из этих вопросов. Используя модификацию контурного метода (она названа в работе методом кластерного разложения), удалось уточнить верхнюю границу порога перколяции и дать метод вычисления с любой точностью, в области сходимости кластерного разложения, вероятность перколяции.

Еще менее изученными являются аналогичные задачи для многопараметрических перколяционных моделей, где случайные множества порождаются бернуллневскими полями, у которых вероятность заполнения вершин является не константой, а, наоборот, периодически зависит от положения вершин на периодическом графе. В этом случае вероятность перколяции является функцией от многих переменных - различных вероятностей заполнения вершин и ее график формирует т.н. фазовую диаграмму в пространстве возможных значений этих вероятностей, то есть образует в этом пространстве некоторую гиперповерхность. В перечисленных моделях вероятность перколяции является хотя и главной, но только лишь простейшей перколяционной характеристикой из числа тех, которые могут представлять интерес для приложений. Мы не будем здесь останавливаться на перечислении актуальных задач, связанных с изучением величин такого рода, так как автору не известны какие-либо интересные связанные с ними математические результаты. Равным образом мы не останавливаемся на анализе проблем теории перколяции на периодических графах, связанных со случайными точечными полями более общими, по сравнению с бернул-лиевскими полями, и проблем, связанных с непрерывными моделями. Тем более, мы здесь не касаемся уже упомянутой выше проблемы описания критического поведения перколяционных характеристик. К математически строгому изучению этой задачи в настоящее время не имеется никакого подхода, так как используемый во многих работах физического характера метод ренорм-группы [21] сам нуждается в серьезном обосновании.

Цель работы. В соответствии с паспортом специальности, целью работы является исследование математическими методами математических проблем, возникающих в термодинамике и статистической физике. В работе разрабатывается метод решения задачи о перечислении неспрямляемых путей на периодических графах с целью вычисления

энтропии системы невзаимодействующих линейных полимерных молекул, а также с целью получения оценок порогов перколяции и вычисления вероятностей перколяции с контролируемой точностью для бернуллиевских случайных полей на плоских периодических графах.

Задачи исследования. Исходя из указанной общей цели исследования, в диссертации решались следующие задачи:

1. Выделить дискретные перколяционные модели из класса тех, которые порождаются однородными бернуллиевскими полями на периодических графах и у которых вероятность перколяции характеризуется только одной критической точкой с* в интервале [0,1] изменения вероятности с заполнения вершин графа. В этом случае зависящая

с

на на основе последовательных приближений с областью сходимости с € [с*, 1], начиная с нулевого приближения при с =1.

2. Выделить оптимальный класс путей на периодических графах, которые реализуют перколяцию из любой фиксированной его вершины и на основе которых допустимо построение марковских аппроксимаций процесса построения таких путей в зависимости от их длины. Эти пути в диссертации названы неспрямляемыми.

3. Разработать метод получения верхних и нижних оценок числа N неспрямляемых путей, исходящих из фиксированной вершины, в зависимости от их длины.

4. На основе разработанного метода получения оценок числа Ып найти его верхние и нижние оценки для плоских однородных решеток.

5. На основе полученных оценок найти нижние оценки критической точки с* для однородных бернуллиевских полей па плоских однородных решетках.

6. Доказать теорему о монотонности вероятности перколяции как функ-

с

7. Разработать общий аналитический подход для вычисления вероятности перколяции дискретных перколяционных моделей, порождаемых бернуллиевскими полями на периодических графах, на основе перечисления всех конечных кластеров, содержащих фиксированную вершину.

8. Для моделей, основанных на плоских периодических графах, доказать теорему о связи задачи перечисления всех конечных кластеров, содержащих фиксированную вершину, и неспрямляемых циклов на графах, сопряженных к графам указанного типа.

9. На основе приближенных решений задачи о перечислении всех неспрямляемых циклов, окружающих фиксированную вершину, найти оценки точности приближений вероятности перколяции для плоских однородных периодических графов, а также верхние оценки для критической точки с* каждого из этих графов.

10. На основе развитого общего аналитического метода решения перколя-ционной задачи для плоских однородных графов произвести расчеты первых приближений вероятности перколяции и дать оценки их точности.

Научная новизна. В результате проведенного исследования дискретных перколяционных моделей создан общий метод решения задач о вычислении, в рамках решеточного приближения, комбинаторной энтропии систем статистической механики, состоящих из линейных полимерных молекул, и развито приложение этого метода к решению задач теории перколяции, связанных с однородными бернуллиевскими полями на плоских решетках.

В рамках развитой в диссертации теории научную новизну составляют:

1. Введение понятия неспрямляемых путях на периодических графах и, в частности, понятия о неспрямляемых циклах на плоских периодических графах.

2. Метод марковских аппроксимаций для получения верхних и нижних оценок числа N неспрямляемых путей на периодических графах с началом в фиксированной вершине в зависимости от их длины.

3. Получение более точных верхних и нижних оценок числа Ып на основе разработанного метода для плоских однородных решеток.

4. Получение нижних оценок порога перколяции с* для однородных бер-нуллиевских полей на плоских однородных решетках на основе верхних оценок числа Ып.

5. Теорема о монотонном возрастании вероятности перколяции берпул-лиевских случайных полей на бесконечных графах как функции от вероятностей заполнения каждой из вершин и, как следствие, теорема о возрастании вероятности перколяции каждого неоднородного бернул-лиевского поля на произвольном бесконечном графе, определяемого набором вероятностей (с1,...,сто) заполнения его различных вершин по каждой из переменных с^ г = 1 ^ т.

6. Теорема об взаимно-однозначной связи между внешними границами конечных кластеров, содержащих фиксированную вершину, в дискретных перколяционных моделях, которые порождаются бернуллневскими полями на плоских периодических графах, и множеством неспрям-ляемых циклов, окружающих эту вершину.

7. Усовершенствование контурного метода для вычисления с контролируемой точностью вероятности перколяции на плоских периодических графах, используя верхние оценки числа неспрямляемых циклов, окружающих фиксированную вершину.

Теоретическая и практическая значимость.

Разработанные в диссертации методы представляют теоретическую ценность, так как на их основе возможно приближенное вычисление комбинаторной энтропии систем линейных полимерных молекул и вероятности перколяции для различных дискретных перколяционных моделей.

Полученные в работе результаты могут иметь также практическое приложение при обработке экспериментальной информации в физики конденсированных сред при изучении в них структурных фазовых переходов.

Методология и методы исследования. В процессе решения поставленных в диссертации задач используются методы теории графов, методы линейной алгебры и теории матриц, а также методы теории бернулл невских случайных полей на периодических графах.

Положения, выносимые на защиту:

1. Верхние и нижние оценки числа N неспрямляемых путей на плоских однородных периодических графах.

с*

лиевских полей на плоских однородных периодических графах.

3. Теорема о монотонном возрастании вероятности перколяции бернул-лиевских случайных полей на бесконечных графах как функции от вероятностей заполнения вершин.

4. Теорема о взаимно-однозначном соответствии между внешними границами конечных кластеров, содержащих фиксированную вершину, в дискретных перколяционных моделях, которые порождаются бернул-лиевскими полями на плоских периодических графах, и множеством неспрямляемых циклов, окружающих эту вершину, на сопряженных графах.

Апробация работы.

Материалы, включенные в диссертацию, опубликованы в 18 работах автора, как самостоятельных, так и выполненных совместно с научным руководителем, а также в материалах 15 международных и всероссийских научно-технических конференций. Получено авторское свидетельство на разработанную диссертантом компьютерную программу численного определения числа неспрямляемых путей на двумерных и трехмерных решетках. Опубликованные работы, материал которых включен в диссертацию, вышли из печати на протяжении 2007-2015гг. и представлены в общем списке литературных источников, на которые имеются ссылки в диссертации.

Материалы работы докладывались и обсуждались на:

1. Воронежской зимней школы С.Г.Крейна - 2008. Воронеж 2008.

2. International Conference «Stochastic Analysis and Random Dynamics», June 14-20, 2009, Lviv, Ukraine.

3. Второй Международной научной конференции «Математическое моделирование и дифференциальные уравнения». Минск, 24-28 августа 2009.

4. Воронежская зимняя математическая школа С.Г.Крейна 2010.

5. Тринадцята м1жнародна наукова конференция ím. акад. М.Кравчука, 13-15 мая 2010. Кшв: ¡нститут математики HAH Украши, 2010.

6. International Conference Modern Stochastics: Theory and Applications II September 7-11, 2010, Kyiv, Ukraine.

7. VIII School of Young Scientists "Non-local boundary problems and problems of modern analysis and informatics". Нальчик-Хабез, 25-30 июня 2010.

8. 3d International Conference on Quantum Electrodynamics and Statistical Physics QEDSP2011 August 29- September 2, 2001, Kharkov, Ukraine.

9. Воронежская зимняя математическая школа С.Г.Крейна 2012.

10. Чотирнадцята м1жнародна наукова конференция iM. акад. М.Кравчука. Кшв: ¡нститут математики НАН Украши, 2012.

11. Третья Международная научная конференция «Математическое моделирование и дифференциальные уравнения», Национальная Академия наук Беларуссии. Брест. 17-22 сентября.

12. International Conference Modern Stochastics: Theory and Applications III, 2012, Kyiv, Ukraine. Abstracts.

13. Международная конференция «Дифференциальные уравнения и их приложения» 26-31 мая 2013, Белгород.

Структура и содержание работы. Диссертация состоит из настоящего введения, четырех глав, заключения, списка литературы, который содержит 67 наименований и приложения. Каждая глава делится на разделы. В каждой главе и в каждом разделе принята своя нумерация формул. Таким образом нумерация их является тройной: первая цифра указывает на номер главы, вторая - на номер раздела, третья - на номер формулы в пределах главы и раздела, указанных первыми двумя цифрами. Однако, при ссылках на формулы в пределах текущей главы, первая цифра опускается, точно также как при ссылках в пределах текущего раздела опускаются две первых цифры.

Ссылки на литературу даны заключенными в квадратные скобки номерами соответствующих литературных источников из приложенного в конце диссертации списка. В этом списке указаны только те источники, на которые даются ссылки в тексте. Нумерация литературных ссылок построена в порядке их появления в тексте диссертации.

Мы придерживаемся в работе единой для всего текста системы обозначений. Принципы ее построения приводятся в отдельном списке.

Для удобства чтения работы, формулировки всех основных результатов, а также даваемые по ходу изложения точные определения понятий выделены наклонным шрифтом. Согласно своему значению в тексте, их формулировки, соответственно, предваряются словами Теорема, Лемма, Определение, Следствие, Замечание. Нумерация этих структурных единиц текста сплошная на протяжении каждой главы

диссертации. Таким образом, она является двойной. Первая цифра указывает на номер главы, вторая нумерует утверждение в пределах главы. При этом ссылки на утверждения, в процессе изложения, даются полностью, вне зависимости от того, в какой главе они находится.

Начало каждого доказательства отмечается знаком □, а конец - ■.

Первая глава посвящена описанию научного направления, к которому относится диссертация и постановке возникающих в рамках этого направления задач. Описана общая математическая постановка задачи теории перколяции случайных множеств с пространством погружения в виде бесконечного графа и, в частности, перколяции бернуллиевских случайных полей на периодических графах.

Во второй главе вводится понятие о неспрямляемых путях на графах и решается комбинаторная задача о перечислении путей такого типа заданной длины n и с фиксированной начальной вершиной на бесконечных периодических графах. Именно на основе путей такого типа описывается случайное событие, состоящее в наличии перколяции из фиксированной вершины. Особое внимание при этом уделено плоским однородным периодическим графам. Для них разрабатывается метод получения все более уточняющихся как верхних так и нижних оценок функции Nn - числа

n

основе разработанного метода, для плоских однородных графов явными

Nn

В третьей главе изучаются общие свойства ограниченных связных множеств (конечных кластеров) на двумерных периодических графах. На основе перечисления всех таких множеств, содержащих фиксированную вершину, строится т.н. кластерное разложение вероятности перколяции, которое позволяет принципиально, для случая бернуллневского случайного поля, вычислить эту вероятность как функцию от вероятности c заполнения вершин графа. В этой главе найдены приближенные выражения вероятности перколяции с контролируемой точностью для плоских однородных решеток. Для оценки точности полученных формул, используются: во-первых, результаты, полученные во второй главе, относительно функции

Nn

т.н. внешних границах кластеров, а именно, доказывается, что множество вершин на плоском графе в том и только в том случае является внешней границей конечного кластера, если оно является неспрямляемым циклом. На этом пути найдены гарантированные оценки, как сверху так и снизу,

числа N неспрямляемых циклов задаииой длины п, окружающих фиксированную вершину на каждом графе, сопряженным для данной плоской однородной решетки. Это позволяет, кроме оценок точности приближенных формул для вероятности перколяции, получить верхние оценки порогов перколяции с*. На основе же верхних оценок числа N п неспрямляемых

путей на каждом из плоских однородных периодических графов, опреде-

с*

бернуллневских случайных полей.

В этой же главе дано строгое доказательство теоремы о монотонном возрастании вероятности перколяции бернуллиевских случайных полей на бесконечных графах, как функции от вероятностей заполнения каждой из вершин. Эта теорема позволяет очертить тот класс дискретных перколя-ционных моделей, порождаемых однородными бернуллиевскими полями на периодических графах, у которых вероятность перколяции характеризуется только одной критической точкой 0 < с* < 1 на отрезке [0,1] изменения

с

В четвертой главе дано доказательство указанного выше уточнения теоремы Г.Кестена. Так как рассуждения Г.Кестена, посредством которых он доказал более слабое утверждение, связывающее множество несамопере-секающихся путей на графе и множество внешних границ конечных кластеров, существенно используют теорему Жордана о замкнутых контурах на плоскости, то представленное нами уточнение потребовало доказательства дискретного аналога теоремы Жордана применительно к неспрямляемым циклам на плоских графах. Необходимость доказательства такого утверждения связана с тем, что понятие неспрямляемости цикла, в отличие от понятия его несамопересекаемости, является метрическим, а не топологическим.

В заключении перечислены результаты проведенного в диссертации исследования.

Заключение диссертации по теме «Математическая физика», Комендантенко, Елена Сергеевна

Заключение

Сформулируем основные результаты проведенного исследования. Нами была изучена задача перечисления неспрямляемых путей на плоских периодических графах с целью приложения ее результатов для вычисления комбинаторной энтропии линейных полимерных молекул, а также для применения их к решению основной задачи теории на плоских однородных периодических графах для стохастически однородных бернуллиевских случайных полей. Важность решения этих задач связана с их прикладной значимостью. Одним из самых важных приложений является физика твердого тела и физика полимеров.

В результате проведенного исследования, в диссертации решены следующие задачи:

1. Был определен класс путей, посредством которых возможно моделирование пространственных расположений линейных полимерных молекул в решеточном приближении, и на основе которых возможно построение последовательных приближений вероятности перколяции на плоских периодических графах для перколяционных моделей, порождаемых бернул-лиевскими случайными полями. Пути этого класса названы в диссертации неспрямляемыми путями.

2. Для выделенного класса путей поставлена задача о перечислении их числа Nn с заданной фиксированной длиной n, которые имеют общую начальную вершину на графе.

3. Разработан метод марковских аппроксимаций получения гарантированных верхних и нижних оценок A±(k m)(k,m) числа Nn на основе понятия показателя роста A* = lim ln Nn/n, где k £ N - порядок марковской аппроксимации и число m может принимать значения 0,1, ...k — 1 так, что A—/(k—m)(k,m) < A, < A+/(k—m)(k,m).

4. На основе разработанного метода аппроксимаций найдены гарантированные верхние и нижние оценки числа Nn для случая плоских однородных решеток при k = 2,3,4и m<k. Проведенные вычисления показали, что имеется общая тенденция улучшения оценок (верхние оценки убыва-

k

m m k

оценки получаются при m = k — 1 и при максимально выбранном значе-k

следуюгцие:

a. Квадратная решетка

А_(3, 2) <А* < А+/3(6,3),

где А+(6,3) является наибольшим корнем уравнения А3 _ 14А2 + 8 = 0, А1/3(6,3) « 2.408, а А_(3, 2) - наибольшим корнем уравнения А3 _ 2А2 _ 1 = 0, А_(3, 2) « 2.205;

b. Треугольная решетка

А_(3,2) < А, < 3 ,

где А_(3, 2) = 1 + 2,414.

c. Гексагональная решетка

л/2 = А_(3, 2) < А, < 2.

5. На основе полученных оценок найдены нижние гарантированные оценки критической точки с* для однородных бернуллиевских полей на плоских однородных решетках: квадратная решетка - с* > 0.415; треугольная решетка - с* > 1/3 гексагональная решетка - с* > 1/2.

6. Доказана теорема о монотонном возрастании вероятности перколя-ции 0[х|е] бернуллиевского случайного поля {с(х); х е V} общего вида на бесконечных графах 3 = (V, Ф) в зависимости от параметров поля -вероятностей с(х) = Рг{с(х) = 1} заполнения вершин графа.

7. На основе использования оценок для числа неспрямляемых циклов, окружающих фиксированную вершину на плоском графе и так называемого кластерного разложения разработано усовершенствование контурного метода для приближенного вычисления с контролируемой точностью вероятности перколяции случайных бернуллиевских полей из фиксированной

вершины на бесконечность для плоских периодических графов, а также

с*

8. На основе развитого общего аналитического метода решения перко-ляционной задачи для плоских периодических графов произведены расчеты первых приближений вероятности перколяции для плоских однородных кристаллических решеток и найдены оценки их точности:

1). Квадратная решетка -

д(с) « c _ с(1 _ с)4 _ 4с2(1 _ с)6 _ 12с3(1 _ c)7 _ 6c3(1 _ c)8

с оценкой точности

3

(1 _ с)3А*

й X

п-2

1 х) (1_с)

где А* < (71)1/3 « 4.141 п = 9.

2). Треугольная решетка -

д(с) « с _ с(1 _ с)6 _ 6с2(1 _ с)8 _ 8с3(1 _ с)9 _ 23с3(1 _ с)10 с оценкой точности

3(1 с)2[( 1 с)Л»]3 ( ^ 4 ^

2 1 _ х) ж=(1_с)лф

где А* < 1/3 п = 11.

3). Гексагональная решетка -

д(с) « с _ с(1 _ с)3 _ 3с2(1 _ с)4 _ 9с3(1 _ с)5

с оценкой точности

2 1 _ х) ж=(1_с)лф

где Л, < 3 + 2\/3 « б, 46, п = 6.

9. Для плоских однородных решеток, на основе кластерного разложения и перечисления неспрямляемых циклов, окружающих фиксированную вершину, с той же точностью, найдены верхние оценки порога перколяции: квадратная решетка - с* < 1 _ (71)1/3 ~ 0, 739; треугольная решетка -с* < 2/3; гексагональная решетка с* < 2(1 — л/З/З) ~ 0.846.

10. С целью оценки точности вычисленных приближений, для вероятности перколяции доказана теорема о связи задачи перечисления всех кластеров на плоских бесконечных графах, содержащих фиксированную вершину, и неспрямляемых циклов на этих графах. Эта теорема представляет собой уточнение известной топологической теоремы Г.Кестена об описании класса всех циклов без самопересечений на плоских графах, которые являются внешними границами, конечных кластеров. А именно, в диссертации доказано, что свойство неспрямляемости циклов на плоских графах является необходимым и достаточным условием для того, чтобы они являлись внешними границами конечных кластеров.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Комендантенко, Елена Сергеевна, 2016 год

Список публикаций по теме диссертации

Л1. Антонова Е.С. Оценка порога перколяции на квадратной решетке // Научные ведомости. сер.физ.- мат.науки. - 2007. - N6(37). - вып.13. - С.60-64.

Л2. Антонова Е.С. Оценка числа траекторий без самопересечений на квадратной решетке. // Труды Воронежской зимней школы С.Г.Крейна - 2008. Воронеж 2008. - С.15-30.

ЛЗ. Антонова Е.С, Вирченко Ю.П. Оценка числа ограниченных заполненных кластеров с фиксированной вершиной на кубической решетке // Научные ведомости, сер. Физика. БелГУ. - 2008 - 9(49);14. - С.52-57.

. I I. Antonova E.S., Virchenko Yu.P. The Upper Bound of the Percolation Threshold of the Bernoulli Field on the Hexagonal Lattice // International Conference «Stochastic Analysis and Random Dynamics», June 14-20, 2009, Lviv, Ukraine. Abstracts. - P.8-9.

Л5. Антонова E.C., Вирченко Ю.П. Верхний порог бернуллиевского поля на гексагональной решетке // Материалы Второй Международной научной конференции «Математическое моделирование и дифференциальные уравнения». Минск, 24-28 августа 2009. часть I. - С.20-22.

Л6. Антонова Е.С., Вирченко Ю.П. Кластерное разложение вероятности перколяции на гексагональной решетке // Вестник Херсонского национального технического университета. -

2009. - 2(35). - С.25-30.

Л7. Антонова Е.С., Вирченко Ю.П. Кластерное разложение вероятности перколяции на гексагональной решетке // Научные ведомости БелГУ. Сер. Физика, Математика. - 2009.-5(60);16. - С.5-28.

Л8. Antonova E.S., Virchenko Yu.P. Cluster decomposition of percolation probability on the hexagonal lattice // arXiv.0909.1312. - 23 p.

Л9. Antonova E.S., Virchenko Yu.P. The upper bound of the percolation threshold of the Bernoulli field on the cubic lattice // Воронежская зимняя математическая школа С.Г.Крейна

2010. Тезисы докладов. - Воронеж: ВГУ, 2010. - Р.161-162.

Л10. Антонова Е.С., Вирченко Ю.П. Просачивание бернуллиевского случайного поля на конечное расстояние // Тринадцята м1жнародна наукова конференщя ¿меш академжа М.Кравчука, 13-15 мая 2010. Матер1али конференци, III. - Кшв: 1нститут математики НАН Украши, 2010. - С.15.

Л11. Антонова Е.С., Вирченко Ю.П. Просачивание бернуллиевского случайного поля на конечное расстояние // Вестник Херсонского национального технического университета. -2010. - 3(39). - С.30-34.

Л12. Антонова Е.С., Вирченко Ю.П. Просачивание бернуллиевского случайного поля на конечное расстояние на древесных графах // Труды Воронежской зимней математической школы С.Г.Крейна 2010. - Воронеж: Воронежский государственный университет, 2010. - С.3-7.

Л13. Антонова Е.С., Вирченко Ю.П. Верхний порог перколяции бернуллиевского поля на гексогональной решетке // VIII School of Young Scientists "Non-local boundary problems and problems of modern analysis and informatics". Proceedings. Нальчик-Хабез, 25-30 июня 2010. Материалы. - С.10-11.

Л14. Antonova E.S., Virchenko Yu.P. Finite range percolation of the Bernoulli random field on the finite graph // Mixed type equations and related problems of analysis and informatics. Нальчик-Хабез. 25-30 июня 2010. Материалы. - С.28-29.

Л15. Antonova E.S., Virchenko Yu.P. Qualitative properties of the finite range percolation probability of the Bernoulli random field on graphs // International Conference Modern Stochastics: Theory and Applications II September 7-11, 2010, Kviv, Ukraine. Abstracts. - P.121.

Л16. Антонова E.C., Вирченко Ю.П. Свойство монотонности вероятности перколяции бернуллиевских случайных полей на бесконечных графах // Научные ведомости БелГУ. Сер. Физика. Математика. - 2010. - 11(82);20. - С.28-61.

Л17. Антонова Е.С., Вирченко Ю.П. Непрерывная зависимость вероятности перколя-ции для однородных марковских ветвящихся процессов с дискретным временем // Научные ведомости БелГУ. Сер. Физика. Математика. - 2010. - 23(44);21. - С.11-22.

Л18. Antonova E.S., Virchenko Yu.P. Monotonicity of the probability of percolation for Bernoulli random fields on periodic graphs //Journal of Mathematical Sciences. - 2011. - 175;1. -P.86-90.

Л19. Антонова E.C., Вирченко Ю.П. Конечные кластеры на плоских мозаиках. Часть 1. Операции склеивания и разрезания // Belgorod State University Scientific Bulletin. - 2011. -5(100);22. - C. 140-152.

Л20. Антонова E.C., Вирченко Ю.П. Конечные кластеры на плоских мозаиках. Часть 2. Комбинаторное построение плоских графов // Belgorod State University Scientific Bulletin. -

2011. - 11(106);23. - C.179-188.

Л21. Antonova E.S., Virchenko Yu.P. Upper estimates of percolation thresholds in the site problem on uniform three-dimensional lattices //3d International Conference on Quantum Electrodynamics and Statistical Physics QEDSP2011 August 29- September 2, 2011, Kharkov, Ukraine / Book of Abstracts. - Kharkov: National Science Center «Kharkov Institute of Physics and Technology». - P.201.

Л22. Антонова E.C., Вирченко Ю.П. Монотонность вероятности перколяции бернуллиев-ских случайных полей на периодических графах / Современная математика и ее приложения. т.68, Дифференциальные уравнения с частными производными / М.:ВИНИТИ, 2011. - С.84-88.

Л23. Антонова Е.С., Вирченко Ю.П. Конечные кластеры на плоских мозаиках. Часть 3. // Belgorod State University Scientific Bulletin. - 2011. - 23(118);25. - C.112-126.

Л24. Антонова E.C., Вирченко Ю.П. Элементарная оценка величины рода конечного графа / Воронежская зимняя математическая школа С.Г.Крейна 2012 / Материалы международной конференции. - Воронеж: Изд.ВГУ, 2012. - С.21-22.

Л25. Antonova E.S., Virchenko Yu.P. Cluster expansion in site percolation problem on cubic lattice // Problems of Atomic Science and Technology. Series Nuclear Physics Investigations. -

2012. - 1. - P.321-323.

Л26. Антонова E.C., Вирченко Ю.П. Аппроксимации порога перколяции для бернулли-евских полей на мозаиках // Чотирнадцята м1жнародна наукова конференщя ¿меш академжа М.Кравчука. - Maiepiann конференцп III.- Кшв: Ihcthtvt математики НАН Укра'ши, 2012. -С.18.

Л27. Антонова Е.С., Вирченко Ю.П. Верхняя оценка порога перколяции на квадратной решетке / Третья Международная научная конференция «Математическое моделирование и дифференциальные уравнения», Национальная Академия наук Беларуссии. Брест. 17-22 сентября / Тезисы докладов. - Брест: Брестский государственный университет, 2012. - С.13.

Л28. Антонова Е.С., Вирченко Ю.П. Верхняя оценка порога перколяции на квадратной решетке / Математическое моделирование и дифференциальные уравнения, Труды Третьей Международной научной конференции «Математическое моделирование и дифференциальные уравнения» / Минск: Белорусский государственный университет, 2012. - С.26-37.

Л29. Antonova E.S., Virchenko Yu.P. Upper estimates of percolation thresholds of Bernoulli's random fields on plane periodic graphs // International Conference Modern Stochastics: Theory and Applications III, September 10-14, 2012, Kviv, Ukraine. Abstracts. - P.20.

ЛЗО. Антонова E.C., Вирченко Ю.П. Новый метод вычисления верхней оценки порога перколяции в задаче узлов на квадратной решетке // Belgorod State University Scientific Bulletin. - 2012. - 5(124);26 - C.26-32.

Л31. Антонова E.C., Вирченко Ю.П. Неспрямляемые пути на периодических графах // Материалы международной конференции «Дифференциальные уравнения и их приложения» 26-31 мая 2013, Белгород / Белгород: Политерра, 2013. - С.16-17.

Л32. Антонова Е.С., Вирченко Ю.П. Абстрактные структуры связности на конечных множествах // Belgorod State University Scientific Bulletin. Mathematics к Physics. - 2015. -№11(208); 39. - C.77-83.

ЛЗЗ. Антонова E.C., Вирченко Ю.П. Абстрактные структуры связности на конечных множествах // Belgorod State University Scientific Bulletin. Mathematics к Physics. - 2015. -№11(208); 39. - C.77-83.

Список литературы

1. Жен П.-Ж. де Идеи скейлинга в физике полимеров / М.: Мир, 1982. - 368 с.

2. Orr W.J. // Trans. Faraday Soc. - 1947. - 13:12.

3. Hammerslev I.M. Percolation processes: lower bounds for the critical probability // Ann. Math. Statistics. - 1957. - 28, e 3. - P.790-795 (РЖМат, 1959, 5066)

4. Broadbent S.R., Hammerslev J.M. Percolation processes I. Crystals and mazes // Proceedings of the Cambridge Philosiphical Society. - 1957. - 53. - P.629-641.

5. Frisch C.M., Hammerslev J.M. Percolation processes and related topics // Journal of the Society for Industrial and Applied Mathematics. - 1963. - 11. - P.894-918.

6. Hammerslev J.M., Welsh D.J.A. First-passage percolation, subadditive processes, stochastic networks, and generalized renewal theory // Bernoulli-Baves-Laplace Anniversary Volume. (Eds. J. Nevman and L. M. LeCam) / New York: Springer-Verlag, 1965. - P.61-110.

7. Barucha-Reid A.T. Elements of the Theory of Markov Processes and Their Applications / Mc Grow-Hill Company, Inc., 1960. (Баруча-Рид A.T. Элементы теории марковских процессов и их приложения / М.: Наука, 1969.- 512 с.)

8. Harris Т. Е. A lower bound for the critical probability in a certain percolation process // Proc. Cambridge Philos. Soc. - 1960. - 56, №1. - P. 13-20 (РЖМат, 1961, 1B211)

9. Svkes M.F., Essam J.W. Exact critical percolation probabilities for site and bond problems in two dimensions // J. Math. Phvs. - 1964. - 5. - P.1117-1127.

10. Молчанов С.А., Степанов А.К. Просачивание случайных полей. I // Теор. мат. физ. -1983. - 55, №2. - С.246-256.

11. Молчанов С.А., Степанов А.К. Просачивание случайных полей II // Теор. мат. физ. -1983. - 55, №3. - С.419-430.

12. Молчанов С.А., Степанов А.К. Просачивание случайных полей III // Теор. мат. физ. -1985. - 65, №3. - С.371-379.

13. Меньшиков М.В., Молчанов С.А., Сидоренко А.Ф. Теория перколяции и некоторые приложения / Итоги науки и техники. Сер. теор. вер., мат. стат. и теор. кибер. - т.24 / М.: ВИНИТИ, 1986. - С.53-110.

14. Peierls R. On Ising's model of ferromagnetism // Proc. Camb.Phil.Soc. - 1936. - 32. - P.477-481.

15. Ruelle D. Statistical Mechanics. Rigorous Results / Nev York-Amsterdam: W.A. Benjamin, Inc., 1969.

(Рюэль Д. Статистическая механика. Строгие результаты / М.: Мир, 1971.)

16. Kesten Н. Percolation Theory for Mathematicians / Boston: Birkhauser, 1982. - 424 p. (РЖМат, 19B5, 6B298K)

17. Добрушин Р.Л. Существование фазового перехода в двумерной и трехмерной моделях Изинга // Теория вероятностей и ец применения. - 1965. - 10. - С.209-230.

18. Меньшиков М.В. Оценки перколяционных порогов для решеток в Rn // Докл. АН СССР. - 1985. - 284, № 1. - С.36-39.

19. Florv P.J., Jackson J.G., Wood S.J. Statistical mechanics of chain molecules / New York: John WTilev к Sons, 1969. - 440 p.

20. Grimmett G. Percolation. 2nd Ed. / New York: Springer-Verlag, 1999.

21. Stauffer D., Aharonv A. Introduction to Percolation Theory. 2nd Ed. / London: Taylor and Francis, 1991.

22. Durret R. Lecture Notes on Particle Systems and Percolation / Pacific Grove, California: Wadsworth k, Brooks/Cole Advanced Books k, Software, 1988. - 180 p.

23. Essam J.W. Percolation Theory 11 Rep. Prog. Phvs. - 1986,- 43,- P.833-912.

24. Тарасевич Ю.Ю. Перколяция: теория, приложения, алгоритмы / Москва: Эдиториал УРСС, 2002.

25. Малышев В.А., Меньшиков М.В., Петрова Е.В. Введение в теорию вероятностей / Москва: МГУ, 1997. - 120 с.

26. Эфрос А.Л. Физика и геометрия беспорядка / М: Наука, 1982. - 176 с.

27. Вирченко Ю.П. Перколяции порог //Энциклопедия. Математическая физика / М.: Российская энциклопедия, 1998.

Перколяция // Энциклопедия. Математическая физика / М.: Российская энциклопедия, 1998.

Просачивание случайных полей // Энциклопедия. Математическая физика / М.: Российская энциклопедия, 1998.

28. Пасынский А.Г. Коллоидная химия / М.: Высшая школа, 1959. - 266 с.

29. Шкловский Б.П., Эфрос А.Л. Электронные свойства легированных полупроводников / М.: Наука, 1979. - 416 с.

30. Shante V.K., Kirkpatric S. An introduction to percolation theory // Adv. Phvs. - 1971. - 20.

31. Займан Дж. Модели беспорядка. Теоретическая физика однородно неупорядоченных систем / М.: Мир, 1982. - 592 с.

32. Маттис Д. Теория магнетизма / М.: Мир, 1967.

33. Virchenko Yu.P. Percolation Mechanism of Material Ageing and Distribution of the Destruction Time // Functional Materials. - 1998. - 5;1. - P.7-13.

34. Брагинский P. П., Гнеденко Б. В., Молчанов С. А., Пешков И. Б., Рыбников К. А., Математические модели старения полимерных изоляционных материалов // Докл. АН СССР. - 1983. - 268, №2. - С.281-284 (РЖМат, 1983, 7В304).

35. Журков С.Н., Куксенко B.C., Петров В.А. и др. К вопросу о прогнозировании разрушения горных пород // Изв. АН СССР, Физика Земли. - 1977. - №6. - С.118.

36. Журков С.Н., Куксенко B.C. Образование субмикроскопических трещин в полимерах под нагрузкой // ФТТ. - 1969. - №11. - С.296.

37. Молчанов С.А., Писаренко В.Ф., Резников А.Я. О перколяционном подходе в теории разрушения //В кн. Вычислительная сейсмология / 1985. - вып. 19.

38. Петров В.А. Основы кинетической теории разрушения и его прогнозирование // В сб. Физические основы прогнозирования разрушения горных пород / М.: Наука, 1974. -С.312.

39. Челидзе Т.Л., Колесников Ю.М. Моделирование и прогноз процесса разрушения в рамках теории протекания // Изв. АН СССР, Физика Земли. - 1983. - №5. - С.24Ч34.

40. Садовский М.А. О моделях геофизической среды и сейсмического процесса //В сб. Прогноз землетрясений / Душанбе - \!.. Дониш. - 198341984. - №4. - С.268.

41. Allegre С.J., Le Mouel J.L., Provost A. Scaling rules in rock fracture and possible implications for earth quake prediction / Nature. - 1982. - 297, №5861. - P.47-49.

42. Chelidze T.L. Percolation and fracture. Fears and Planet // Interiors. - 1982. - 28. - P.93-101.

43. Di Lullo, Gloria A. Mapping the Ligand-binding Sites and Disease-associated Mutations on the Most Abundant Protein in the Human, Type I Collagen //J. Biol. Chem. - 2002. - 277 (6). - P. 12231,1 1231.

44. Boot-Handford R.P., Tuckwell D.S. Fibrillar collagen: the key to vertebrate evolution? A tale of molecular incest // Bioessavs. - 2003. - 25(2). - P.142-51.

45. Звягин И.П. Кинетические явления в неупорядоченных полупроводниках / М.: Наука, 1984.

46. Mvdosh J.A., Nieuwenhuvs G.J. Dilute transition metall alloys; spin glasses / Ferromagnetic materials /

47. Струков Б.А., Леванюк А.П. Физические основы сегнетоэлектрических явлений в кристаллах / М.: Наука, 1995.

48. Мотт Н. Электроны в неупорядоченных структурах /М.: Мир, 1969. - 172 с.

49. Брагинский Р.П., Гнеденко Б.В., Малунов В.В., Моисеев Ю.В., Молчанов С.А. Особенности перколяционной модели старения полимеров // Доклады АН СССР. - 1988. - 303, №3. - Р.535-537.

50. Virchenko Yu.P., Sheremet О.I., The Formation of Destruction Time Distribution of Material Aging by Statistically Independent Perturbations // Functional Materials. - 1999. - 6, №1. -P.5-12.

51. Virchenko Yu.P., Sheremet O.I. Distribution of destruction time in percolation picture of material ageing // Укра'шський ф1зичний журнал. - 2000. - 45, №6. - С.731-737.

52. Virchenko Yu.P., Brodskii R.E. The Kolmogorov equation in the stochastic fragmentation theory and branching processes with infinite collection of particle types // Abstract and Applied Analysis. - 2006. - Art.ID 36215. - P.l-10.

53. Virchenko Yu.P., Brodskii R.E. Investigation of the material fragmentation model with the energy uniform distribution on refinement scales // Functional Materials. - 2006. - 13;1. -P.2-13.

54. Матерон Ж. Случайные множества и интегральная геометрия / Пер с англ. / М.: Мир, 1978. - 318 с. (РЖМат, 1979, 2В71 К).

55. Колмогоров А.Н. Основные понятия теории вероятностей / Теория вероятностей и математическая статистика /М.: Наука, 1974. - 120 с.

56. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа / М.: Наука, 1972,- 496 с.

57. Харари Ф. Теория графов / М.: КомКнига, 2006. - 296 с.

58. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц / М.: Наука, 1966.

59. Курош А.Г., Общая алгебра. М.: Наука, 1974.

60. Yu.P.Virchenko, Tolmacheva Yu.A. On the upper limit of percolation threshold in square lattice // Functional Materials. - 2001. - 8;4. - P.600-603.

61. Yu.P.Virchenko, Tolmacheva Yu.A. Revision of the upper estimate of percolation threshold in square lattice // Matematicheskava fizika, analiz, geometriva. - 2003. - 10;1. - P.29-39.

62. Yu.P.Virchenko, Yu.A.Tolmacheva, Method of Sequential Approximative Estimates in Discrete Percolation Theory // Studies in Mathematical Physics Research, ed. Charles V. Benton. - New York: Nova Science Publishers, Inc., 2004. P.155-175.

63. Вирченко Ю.П., Толмачева Ю.А. Мажорантные оценки порога перколяции бернуллиев-ского поля на квадратной решцтке // Украинский математический журнал. - 2005. -57;10. - С.1315-1326.

64. Lamperti J., Probability / New York - Amsterdam: Dartmuoth college, 1966. - 192 p. Ламперти Дж. Вероятность / Москва: Наука, 1973. - 184 с.

65. Александров П.С. Введение в гомологическую теорию размерности и общую комбинаторную топологию / М.: Наука, 1875. - 368 с.

66. Whitney Н. Non-separable and planar graphs // Trans. Amer. Math. Soc. - 1932. - 34. -P.339-364.

67. Whitney H. Planar graphs // Fund. Math. - 1933. - 21. - P.73-84.