Колебания неоднородной пористоупругой полосы тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, кандидат наук Гусаков Дмитрий Владимирович

• Гусаков Дмитрий Владимирович
• кандидат наук
• 2019

Оглавление диссертации кандидат наук Гусаков Дмитрий Владимирович

Введение

Глава 1. Постановка задач о колебаниях пористоупругих тел

1.1 Описание моделей пористоупругости

1.2 Общие уравнения плоской задачи о колебаниях пористоупругой полосы

1.3 Формулировка граничных условий

1.3.1 Задача о колебаниях пористоупругой полосы под действием нагрузки

1.3.2 Колебания пористоупругой полосы под действием

жесткого штампа

Глава 2. Свободные колебания полосы. Исследование

дисперсионных соотношений для неоднородной пористоупругой полосы

2.1 Постановка задачи о построении дисперсионных соотношений

для пористоупругой полосы

2.2 Исследование спектральных характеристик задачи о толщинных колебаниях

2.3 Построение канонической системы, исследование методом пристрелки

2.4 Вариационная постановка задачи для полосы, построение дисперсионных соотношений на основе методов

Бубнова-Галеркина и Ритца

Стр.

Глава 3. Вынужденные колебания полосы. Исследование волновых процессов в пористоупругой полосе, находящейся под действием нормальной нагрузки

3.1 Построение решений в трансформантах Фурье

3.2 Исследование задачи в случае постоянных характеристик

3.3 Результаты построения решений в трансформантах

3.4 Обращение преобразования. Построение оригиналов

3.5 Применение теории вычетов для расчета полей перемещений в пористоупругой полосе под действием нормальной нагрузки

3.6 Построение решения задачи о толщинных колебаниях полосы в

виде разложения по безразмерной частоте

Глава 4. Колебания пористоупругой полосы под действием жесткого

массивного штампа

4.1 Сведение задачи о колебаниях полосы под действием массивного штампа к интегральному уравнению

4.2 Численное решение интегрального уравнения на основе метода коллокаций

Заключение

Список литературы

Приложение А. Материальные характеристики пористоупругих

материалов

Приложение Б. Результаты расчетов дисперсионных множеств для

реальных материалов

Введение

В процессе становления и развития механики, как и многих других естественных наук, исследователи продвигались от максимально простых моделей к более сложным и точным. Так, например, задавшись вопросом об описании полета брошенного камня, с течением времени исследователи добрались до задач о полетах ракет и самолетов. В механике сплошных сред в процессе моделирования более сложных структур произошел переход от модели изотропной среды к модели анизотропной среды и разделению сред на изотропные и анизотропные с разной степенью анизотропии. Еще одним примером развития моделей механики может служить случай многофазных сред, среди которых отдельно стоит выделить деформируемые твердые тела с порами (пустыми или заполненными жидкостью), которые моделируются на современном этапе моделями пористоупругости. Теория пористоупругости была впервые предложена М. А. Био [1], [2], [3], [4], [5]. Изначально эта теория разрабатывалась как расширение теории консолидации грунта [1], однако, впоследствии получила широкое распространение в исследованиях многих других насыщенных жидкостью пори-стоупругих материалов. Непосредственно термин «пористоупругость» впервые встречается в работе [6] при описании исследований Био, где также отмечается сходство уравнения модели Био с уравнениями модели термоупругости. Анализ сходства моделей пористоупругости и термоупругости проведен в работе [7].

Развите моделей, описывающих поведение пористых, насыщенных жидкостью сред, берет свое начало в середине XVIII века. Первые описания насыщенных жидкостью пористых грунтов встречаются в работах Вольтма-на, датированных концом XVIII века. Потребовалось более 100 лет для того, чтобы теория описания водонасыщенных грунтов обрела целостную форму и оформилась в два основных направления: теорию смеси и теорию на основе фильтрационного закона Дарси. Развитием второй концепции активно занимался Карл Терцаги. Концепция теории смеси была развита в работах Филунгера,

однако наличие ряда неточностей затормозили развитие этого направления и привели к оформлению идей Терцаги в качестве основного подхода к изучению пористоупругих насыщенных жидкостью материалов. Впоследствии именно его работы легли в основу современной теории пористоупругости Био. Детальный исторический очерк о становлении и развитии пористоупругости представлен в работах Боэра [8], [9], где также могут быть найдены ссылки на работы Вольт-мана, Терцаги и Филунгера.

Говоря о теории пористоупругости, можно привести простой, но при этом вполне наглядный аналог: помещенная в жидкость губка. Реакция такой губки на внешние механические нагрузки интуитивно понятна и позволяет наглядно наблюдать основные принципы, заложенные в модели пористоупругости. Например, при сжатии жидкость будет вытекать из губки, а при снятии нагрузки пространство внутри нее вновь заполнится жидкостью и губка примет прежнюю форму. Если предположить, что внешние поры запечатаны, то очевидно, что при увеличении давления у находящейся внутри жидкости объем губки также будет увеличиваться. Аналогично при уменьшении давления объем пористой губки будет уменьшаться. Таким образом, основная идея теории пористоупругости заключается в том, что давление поровой жидкости вносит вклад в напряжения, возникающие в образующем пористую структуру материале, или, иными словами, матрице пористого материала. Движение поровой жидкости в свою очередь обусловлено разницей в давлении, возникающей в результате действия нагрузки в одной области и ее отсутствия в другой.

Структура любой модели в механике деформируемого твердого тела подразумевает наличие в качестве основного ее элемента соотношений между напряжениями и деформациями. Такие соотношения, как правило, именуются определяющими соотношениями. Роль определяющих соотношений в модели пористоупругости Био играет модифицированный закон Гука. Исследования деформирования пористоупругих материалов свидетельствуют о необходимости нахождения как минимум четырех независимых материальных констант для описания поведения изотропной пористоупругой среды. Однако на ранних

этапах исследований физический смысл этих констант оставался не до конца понятен. Этот недостаток вместе с весьма скромным объемом лабораторных исследований могли стать значительным препятствием для применения теории пористоупругости в реальных задачах биомеханики и геомеханики. Подробное описание и разбор физических процессов, протекающих в пористоупругих телах, представлены в работах [10], [11], [12]. В них подробно описаны связи между параметрами пористоупругой среды и константами поровой жидкости. Понятие анизотропии в рамках теории пороупругости впервые введено М.А. Био [13] в его работе 1955 г. Для описания анизотропной пористой среды были введены 28 независимых материальных констант. Дальнейшее усложнение модели пористого материала [14], [15] с точки зрения ее микромеханической структуры позволило ввести тензор коэффициентов Био, заменивший ранее использовав-

и и /Л и "1—1

шийся скалярный параметр. Однако применение анизотропной теории Био не получило широкого распространения на сегодняшний день в связи с отсутствием данных о значениях параметров реальных материалов. Лабораторные измерения таких параметров, как правило, затруднительны и затратны. Тем не менее на сегодняшний день растет количество работ, посвященных экспериментальному определению параметров пористоупругих материалов [16], [17], [18], [19], [20], [21].

Теория пористоупругости в настоящее время находит широкое применение при моделировании многих геологических [22], [23] и биологических [24] материалов. Почти все из этих материалов характеризуются наличием жидкости в их порах. В биологических тканях поровая жидкость имеет множество функций, одна из них — это перенос питательных веществ из сосудов в клетки в ткани, а также удаление отходов жизнедеятельности клеток. В некоторых тканях давление поровой жидкости служит для придания жесткости, в других же наличие давления необходимо для межклеточной связи. Деформация пористой среды оказывает существенное влияние на движение поровой жидкости, хотя давление в жидкости и движение жидкости обычно имеют лишь незначительное влияние на деформацию пористой среды. Давление поровой жидкости

остается относительно низким в живых тканях, так как высокое давление может разрушить кровеносные сосуды и привести к необратимым повреждениям. Однако такое давление не должно быть низким в тканях типа суставного хряща, которые по своей природе лишены сосудов.

В биомеханике наиболее широкое применение теория пористоупругости находит в моделировании костной ткани [25], [26], [27], [28], [29], [30], [31]. Учет наличия и движения внутренней жидкости в тканях такого типа крайне важен как для оценки прочностных свойств кости, так и при моделировании процессов заживления и сращивания поврежденных участков. Исследование влияния вязкости поровой жидкости на динамическое поведение губчатой кости проведено в работе [32]. Несмотря на относительно небольшое количество параметров, используемых в теории консолидации Био для описания пористоупругих тел, определение этих параметров из лабораторных экспериментов представляет собой достаточно сложную задачу [33].

В отечественной школе механики исследованию процессов, протекающих в костной ткани, посвящено большое количество работ. Подробный обзор фундаментальных проблем пористоупругости, а так же данные о физических параметрах таких сред приведены в монографии Л.Б. Маслова [34]. В этой монографии рассмотрены многие вопросы, связанные с описанием движения среды и переходом к эффективным модулям материала, а также различные результаты конечноэлементного моделирования задач биомеханики кости. Различные аспекты решения задач, связанных с биомеханикой костной ткани, подробно представлены в работах [35], [36], [37].

Моделирование геологических структур и процессов также требует учета взаимодействия жидкости с окружающими ее упругими структурами. Однако современные теории, описывающие движение воды в грунте и основанные на законе Дарси, не позволяют учесть тот факт, что частицы почвы могут быть подвержены упругому расширению или сжатию, если предположить, что внешние силы и гидростатическое давление действует только на жидкость, заполняющую эти поры. Такие предположения являются недостаточными даже в задачах об

установившемся течении жидкости в грунте под действием заданных внешних сил и являются полностью несостоятельными при описании распространения волн. Теория пористоупругости Био позволяет разрешить большинство из описанных выше трудностей при помощи учета взаимодействия жидкой и упругой фаз, входящих в состав рассматриваемой структуры. Когда рассматривается течение потока жидкости над пористоупругим основанием, то формулируются соответствующие граничные условия на стыке [38], [23], позволяющие связать уравнения пористоупругости и уравнения течения жидкости. Важным вопросом геомеханики является предсказание поведения грунтовых пластов в процессе деформирования [39], [40], [41], [42]. В работе [39] проведен анализ вертикальных колебаний упругой колонны, помещенной в пористоупругое полупространство, характеристики которого считаются переменными по вертикальной координате. Описание неоднородности в данном случае реализовано за счет представления полупространства в виде набора тонких слоев с различными характеристиками. Некоторые задачи геофизики могут быть решены аналитически, если предположить, что грунтовое покрытие обладает однородными характеристиками. В рамках такого предположения в работе [40] получены аналитические решения задачи о впрыскивании потока жидкости в пористоупругий грунт через участок стенок скважины конечной длины.

В вопросе применения пористоупругости к описанию геологических структур особого внимания заслуживают работы Киевской школы механики (В.М. Сеймов, А.Н. Трофимчук). В работах [43], [44] детально исследован вопрос распространения волн в слоистых и пористоупругих насыщенных жидкостью средах. Работа [45] посвящена оценке прочностных свойств конструкций, расположенных на насыщенном жидкостью пористоупругом грунтовом основании.

Сложность построения решений в рамках моделей пористоупругости заставляет исследователей прибегать к тем или иным допущениям и предположениям относительно структуры исследуемой среды. Одним из таких допущений является изотропность пористоупругой среды. Однако реаль-

ные грунтовые покрытия и биологические ткани обладают анизотропными механическими характеристиками. Наиболее распространенной формой моделирования анизотропии для таких сред является использование модели трансверсально-изотропного тела [46], [47], [48]. Предположение об однородности механических характеристик большинства реальных физических объектов является весьма грубым, а временами и недопустимым предположением. Наиболее распространенным способом преодоления такой трудности является представление исследуемого тела в виде набора слоев с различным характеристиками [49], [50], [51], [52], [53], либо при помощи метода конечного элемента. Однако такие подходы имеют ряд недостатков, так в первом случае увеличение количества слоев приводит к дополнительным вычислительным трудностям.

В исследовании деформирования пористоупругих сред следует отметить работы Нижегородской школы механики во главе с Л.А. Игумновым и его учеников [54], [55], [56], [57], [58]. В них развиты идеи применения граничных интегральных уравнений и метода граничного элемента к решению задач пори-стоупругости для однородных тел. Предложены схемы эффективного численного расчета деформирования и нахождения полей напряжений для трехмерных по-ристоупругих структур при нестационарном воздействии.

Среди исследований, проводимых в Ростовской школе механики, стоит выделить несколько важных направлений исследования пористоупругих структур и материалов, среди которых исследование пьезокерамики и различных композитных материалов, главным отличием которых является отсутствие поровой жидкости по сравнению с классическими пористоупругими материалами. Вопрос определения эффективных модулей пористых анизотропных термоупругих композитных материалов при помощи конечно-элементных технологий решения статических задач термоупругости для неоднородных тел исследован в работах, выполненных под руководством А.В. Наседкина [59], [60].

Вторым важным направлением в исследовании пористоупругих структур в Ростовской школе является вопрос распространения волн в пористоупругих средах. Во главе с Т.В. Суворовой проведены многочисленные исследования

колебательных процессов в слоистых полуограниченных пористоупругих телах [61], [62], [63], [64]. Исследованию динамических задач пористоупругости для неоднородных материалов, а также вопросам восстановления параметров таких материалов посвящен ряд работ А.О. Ватульяна и его учеников [65], [66], [67], [68]. Различные аспекты контактного взаимодействия пористоупругого основания с жестким штампом рассмотрены в работах [69], [70].

Влияние пористой микроструктуры на вид дисперсионных кривых и на амплитудные характеристики возбуждаемых бегущих волн в пористоупругом флюидонасыщенном многослойном полупространстве исследовано числено в работе [71].

Среди широкого спектра вопросов теории пористоупругости отдельного внимания заслуживают динамические задачи [72], [73], [74], [75], [76], [77]. Объектом изучения в таких задачах является движение жидкости на короткие расстояния за короткие промежутки времени в отличие от статических задач, где объект исследования — это плавные движения поровой жидкости на большие расстояния в течение длительного времени. В пороупругости существуют три типа распространяющихся волн: поперечные волны в упругом скелете и два типа компрессионных волн, именуемых быстрыми и медленными волнами. Быстрая волна — это обычная волна сжатия, возникающая в упругом твердом теле, незначительно измененная за счет наличия поровой жидкости, движущаяся главным образом через упругий скелет. Медленная волна, в свою очередь, относится к пороупругости, и источникам ее возникновения является относительное перемещение поровой жидкости и твердого скелета. Существование таких типов волн подтверждено экспериментально в работе [78]. Основной целью применения модели динамической пороупругости к геологическим материалам является возможность объяснять и интерпретировать последствия распространения волн, возникающих в результате землетрясений, а также оценить потенциал добычи нефти из различных геологических структур при динамическом воздействии. Применение моделей динамической пороупругости к моделированию биологических тканей представляет огромный интерес с точки зрения использования

ее в качестве базовой модели для ультразвукового мониторинга, неинвазив-ного клинического инструмента для оценки состояния внутренних структур тканей, а также для оценки влияния акустического воздействия на физиологические процессы в костной ткани. Стоит отметить, что большинство методов для неинвазивной оценки характеристик костной ткани (в частности рентген) сопровождаются вредным излучением, которое не возникает при зондировании ультразвуком.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Колебания неоднородной пористоупругой полосы»

Актуальность темы исследования.

Исследование деформирования пористоупругих сред берет свое начало в середине XX века с работ М.А. Био, посвященных описанию осадки грунтовых оснований. Сегодня применение моделей пористоупругости набирает все большую популярность среди ученых. Исследования показывают, что применение классических моделей теории упругости не позволяет достоверно описать деформирование сред сложной структуры, таких как слоистые грунтовые основания или биологические ткани. Методы решения задач пористоупругости развиваются с каждым днем, однако до сих пор многие вопросы остаются слабо изученными по причине несовершенства или отсутствия методов их анализа.

Основные модели механики деформируемого твердого тела, как правило, опираются на гипотезу однородности. Для многих структур такое предположение оправдано, однако существует весьма много объектов исследования, для которых нельзя пренебрегать неоднородностью (древесина, грунты, биологические ткани и другие). Исследование деформирования материалов с переменными характеристиками представляет большой интерес с точки зрения адекватного описания физических явлений и процессов. Методы решения задач механики сплошной среды с переменными характеристиками, используемые на сегодняшний день, как правило, применимы для конкретного вида неоднородности (степенные или экспоненциальные законы) и не позволяют исследовать динамические процессы для неоднородности произвольного вида.

Применение модели пороупругости для структур с неоднородными физическими характеристиками произвольного вида представляет собой новую и

актуальную задачу как с точки зрения практического применения в медицинской диагностике и в строительстве, так и с точки зрения разработки эффективных численных и численно-аналитических методов решения новых задач механики сплошной среды.

Основные результаты, входящие в диссертационную работу, получены в рамках госконтракта 9.665.2014 / К.

Целью данной работы является исследование волновых процессов в неоднородной пористоупругой полосе, вызванных различными типами нагрузок.

Для достижения поставленной цели необходимо было решить следующие задачи:

1. Исследовать свободные колебания неоднородной пористоупругой полосы для общих законов неоднородности физических характеристик по толщинной координате.

2. Исследовать волновые процессы в неоднородной пористоупругой полосе под действием системы нагрузок на верхней границе.

3. Исследовать волновые процессы в системе «пористоупругая полоса — массивное твердое тело» под действием нагрузки, приложенной к твердому телу.

4. Исследовать влияние законов неоднородности на динамическое поведение пористоупругой полосы при различных типах нагружения.

Научную новизну работы составляют следующие научные результаты

1. Разработка метода построения волновых полей для произвольного вида неоднородности пористоупругой полосы.

2. Построение дисперсионных кривых для неоднородной по толщине по-ристоупругой полосы.

3. Исследование волновых полей на поверхности неоднородной пористо-упругой полосы.

4. Анализ зависимости распределения контактных напряжений под штампом от вида неоднородности характеристик пористоупругой полосы.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, четырёх глав и заключения. Полный объём диссертации составляет 107 страниц, включая 29 рисунков и 3 таблицы. Список литературы содержит 111 наименований.

В первой главе представлены модели, применяемые для описания колебаний пористоупругой среды, и сформулированы основные краевые задачи, рассмотренные в диссертации. Параграф 1.1 содержит описание двух моделей пористоупругости Био, их краткое сравнение и обоснование выбора модели «пе-ремещения-давление» для проведения расчетов. В параграфе 1.2 рассмотрена общая постановка задач о колебаниях неоднородных пористоупругих структур в рамках плоской деформации. Представлены основные уравнения движения в координатной форме.

Краевые условия для задачи о вынужденных колебаниях полосы под действием нагрузки на верхней грани и задачи о колебаниях системы «неоднородная пористоупругая полоса - массивное твердое тело» сформулированы в параграфе 1.3.

Глава 2 посвящена исследованию свободных колебаний неоднородной по толщине трансверсально-изотропной пористоупругой полосы, закрепленной вдоль нижней грани, и исследованию дисперсионного соотношения в такой задаче. Параграф 2.1 содержит постановку задачи о свободных колебаниях и вывод основных уравнений движения для решения в виде бегущих волн.

В параграфе 2.3 введены безразмерные параметры и функции, получена каноническая система уравнений колебаний, описаны свойства ее матрицы коэффициентов. На основании метода пристрелки изучено дисперсионное уравнение. Также в параграфе 2.3 проведен анализ общей структуры дисперсионного множества для пористоупругого слоя и анализ влияния параметров материала и законов их изменения на картину дисперсионных кривых. Приведен вид законов неоднородности физических характеристик, использованных в работе.

Параграф 2.4 посвящен выводу вариационной постановки задачи о колебаниях неоднородной пористоупругой полосы и применению методов Буб-нова-Галеркина и Ритца для получения дисперсионного уравнения. Сравнение

результатов, полученных с помошью описанных ранее методов, представлено в заключительной части параграфа 2.4.

В третьей главе исследован вопрос о вынужденных колебаниях неоднородной пористоупругой полосы под действием нормальной нагрузки, приложенной к верхней границе. Изучены основные закономерности структуры волновых полей и их зависимость от законов изменения материальных характеристик полосы.

В параграфе 3.1 к исходной краевой задаче применено преобразование Фурье, а также, согласно методу пристрелки, сформулированы и решены вспомогательные задачи Коши. Важным результатом, представленным в параграфе 3.1, является введение и способ вычисления нормирующего множителя в начальных условиях вспомогательных задач Коши; введение этого множителя позволяет получить устойчивые численные результаты при больших значениях параметров преобразования Фурье.

Для верификации численных схем построения волновых полей в параграфе 3.2 построены решения в трансформантах для частного случая однородной пористоупругой полосы.

Анализ влияния законов неоднородности на вид трансформант решений и сравнение с частным случаем постоянных характеристик приведены в параграфе 3.3.

Параграфы 3.4 и 3.5 посвящены вопросам построения оригиналов решений и анализу полученных результатов. Так в параграфе 3.4 описана схема численного обращения преобразования Фурье при помощи квадратурных формул Филона. Описаны важные особенности структуры подынтегральной функции и дана оценка погрешности приближенного вычисления таких интегралов.

Второй подход к построению оригиналов решений заключается и применении методов контурного интегрирования и теории вычетов. Подробное описание основных этапов такого подхода и метода вычисления производной от функции, заданной численно, даны в параграфе 3.5. Анализ структуры вол-

новых полей для пористоупругой полосы в зависимости от вида неоднородности ее характеристик и сравнение волновых полей для упругого и пористоупругого случаев также представлены в параграфе 3.5.

Отдельное внимание уделено изучению толщинных колебаний полосы. Представлено решение в виде рядов по безразмерному параметру, пропорциональному частоте колебаний. Рекуррентные выражения для коэффициентов разложения решений по параметру малой частоты получены в параграфе 3.5.

Заключительная четвертая глава посвящена исследованию динамического контактного взаимодействия неоднородной пористоупругой полосы с массивным твердым телом, расположенным на ней. Тело находится под действием вертикальной осциллирующей нагрузки, приложенной к нему. В параграфе 4.1 получено интегральное уравнение для отыскания контактного напряжения по информации об амплитуде смещения твердого тела и сформулировано дополнительное соотношения между смещениями твердого тела и амплитудой приложенной к нему нагрузки.

Решение интегрального уравнения с разностным ядром строится численно на основе метода граничных элементов. Представлен простейший вариант аппроксимации неизвестных контактных напряжений. На основе метода коллока-ций сформулирована линейная алгебраическая система, причем коэффициенты алгебраической системы, получающейся в результате дискретизации интегрального уравнения, вычисляются при помощи теории вычетов. Применение указанных методов и анализ результатов построения контактных напряжений приведены в параграфе 4.1.

Практическая значимость проведенных исследований заключается в широкой применимости использованных моделей пористоупругости при описании поведения грунтовых оснований, в том числе при их взаимодействии с массивными фундаментами зданий и конструкций; важным приложением теории пористоупругости является моделирование динамического воздействия на костную ткань.

Mетодология и методы исследования. В данной работе применены различные методы численного и аналитического исследования задач поро-упругости. Для решения систем дифференциальных уравнений в частных производных с переменными по одной координате коэффициентами применяется комбинация интегрального преобразования Фурье и метода пристрелки. Для вычисления интегралов, возникающих при нахождении оригиналов, использованы квадратурные формулы Филона. Также для отыскания оригиналов решений применена теория вычетов. При расчете точек дисперсионного множества применяется метод пристрелки и полуаналитические методы Бубнова-Галеркина и Ритца. Для решения интегрального уравнения, описывающего контактное взаимодействие полосы с массивным телом, использован метод коллокаций.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Разработаны методы численного и аналитического исследования дисперсионного соотношения для неоднородной пористоупругой полосы.

2. Исследованы волны на поверхности трансверсально-изотропной пори-стоупругой неоднородной полосы, находящейся под действием различных типов нагрузок.

3. Сформулировано граничное интегральное уравнение с разностным ядром в задаче о колебаниях массивного твердого тела, расположенного на границе неоднородной пористоупругой полосы.

4. Разработан метод решения интегрального уравнения контактной задачи на основе метода коллокаций, исследовано влияние параметров задачи на контактные напряжения и волновые процессы.

Достоверность представленных в работе результатов основана на строгих постановках задач пороупругости, на применении известных эффективных численных методов решения задач Коши для дифференциальных уравнений, сравнении результатов, полученных при помощи численных расчетов со строгими аналитическими решениями, а также проведении достаточного числа вычислительных экспериментов по расчетам динамического поведения пори-стоупругих тел на основе различных методов.

Апробация работы. Результаты диссертационной работы были представлены в материалах Всероссийских и международных конференций, среди которых:

1. X всероссийская школа-семинар «Математическое моделирование и биомеханика в современном университете», п. Дивноморское, 2015 г.

2. Fourth China-Russian conference «Numerical algebra with applications», г. Ростов-на-Дону, 2015 г.

3. XI всероссийская школа-семинар «Математическое моделирование и биомеханика в современном университете», п. Дивноморское, 2016 г.

4. XVIII международная конференция «Современные проблемы механики сплошной среды», г. Ростов-на-Дону, 2016 г.

5. XII всероссийская школа-семинар «Математическое моделирование и биомеханика в современном университете», п. Дивноморское, 2017 г.

6. «Деформирование и разрушение материалов с дефектами и динамические явления в горных породах и выработках»: XXVII международная научная школа им. С.А. Христиановича. - Крым, Алушта, 2017 г.

7. XIII всероссийская школа-семинар «Математическое моделирование и биомеханика в современном университете»,, п. Дивноморское, 2018 г.

8. XIII всероссийская конференция «БИ0МЕХАНИКА-2018», п. Дивноморское, Май, 2018 г.

9. XIX международная конференция «Современные проблемы механики сплошной среды», г. Ростов-на-Дону, 2018 г.

Личный вклад. Ряд работ выполнен в соавторстве. В работах [79], [80] Ватульяну А.О. принадлежит заслуга постановки задачи и основные идеи по ее решению, а Гусакову Д.В. — построение решения, связанного с применением метода пристрелки к преобразованной по Фурье канонической системе уравнений, выбор метода численного интегрирования и анализ полученных результатов. В работе [81] Ватульяном А.О. сформулирована постановка задачи и предложены идеи по построению решения, Гусакову Д.В. принадлежит реализация построения решения с помощью преобразования Фурье и теории вычетов,

проведение численных экспериментов и верификация предложенного метода на примере сравнения с упругим случаем. Ватульяну А.О. принадлежит предложенный в работе [82] подход к построению дисперсионного уравнения на основе численного метода пристрелки. Реализация методов Бубнова-Галеркина и Рит-ца, вывод интегральной постановки динамической задачи для пористоупругой полосы принадлежат Гусакову Д.В. В работе [83] Угличу П.С. принадлежит проведение некоторых расчетов для пористоупругой полосы с покрытием и оптимизация численного расчета вычетов, Гусакову Д.В. принадлежит проведение основной части вычислительных экспериментов. Во всех приведенных выше работах Гусакову Д.В. принадлежит реализация численных методов решения соответствующих уравнений, программная реализация математических методов в различных компьютерных средах и проведение численных экспериментов.

Публикации. Основные результаты по теме диссертации изложены в 12 печатных изданиях, 2 из которых [79], [81] изданы в журналах, рекомендованных ВАК РФ, 1 работа в журнале, входящем в международную наукометрическую базу Web of Science [82], 6-в тезисах докладов [80], [84], [83], [85], [86], [87] и 3 работы [88], [89], [90] в сборниках трудов и материалах конференций.

Глава 1. Постановка задач о колебаниях пористоупругих тел

1.1 Описание моделей пористоупругости

В оригинальной формулировке, изложенной в [3], уравнения динамической теории пористоупругости в качестве неизвестных функций включают в себя перемещения жидкой и твердой фаз пористого материала, иными словами, отдельно перемещения поровой жидкости и упругого скелета.

V • ств = р11ив + р12й^ + Ь(ив — и?),

У 7 (1.1.1)

V • и? = р12йв + р22й^ — Ь(ив — и?),

где

а5 = С • •е5 + QEef,

= + Ле/, ев = V • ив, е* = V • и/,

с т ^ ^ V./ -|

где а и а-' — тензоры напряжений в твердой и жидкой фазах соотвественно, и и? — векторы перемещений твердой и жидкой фаз соотвественно, Е — единичный тензор, р^- — массовые коэффициенты, связанные с плотностями твердой и жидкой фаз, Ь — коэффициент, определяемый законом Дарси и связанный с проницаемостью среды, и характеризующий межфазное трение, С — тензор упругих модулей, Я — гидростатическая константа, Q — коэффициент, характеризующий межфазное взаимодействие.

Однако такая формулировка связана с несколькими трудностями. Во-первых, проведение вычислений в рамках такой модели требует значительных вычислительных затрат. Во-вторых, жидкую фазу обычно характеризуют не компонентами вектора перемещений, а давлением и скоростями. Для описания низкоскоростных режимов в большинстве моделей, используемых при исследовании деформирования пористоупругой среды, фигурируют в качестве базовых

смещения скелета и поровое давление в жидкости. Таким образом, альтернативной моделью пористоупругости Био является модель, использующая в качестве неизвестных функций перемещения упругого скелета и распределение давления поровой жидкости. Эквивалентность этих моделей, а также эффективность второй с точки зрения сопоставления вычислительных затрат, показана в работе [91].

Уравнения динамической пористоупругости в терминах перемещения скелета - давление в порах [34] имеют вид:

V • а = рй

ф2 (М-2)

V • (К • Vp) — — р — (А • ■£) + V • (р/Кй) = 0,

К

где

а = С • • е — А • р

1

е = -(V« + ^и)т).

Здесь а — тензор напряжений в упругом скелете, е — тензор малых деформаций упругого скелета, и — вектор смещений упругого скелета, р — давление поровой жидкости, К — тензор модулей проницаемости, С — тензор упругих модулей, А — тензор модулей Био, р — плотность материала упругого скелета, рf — плотность поровой жидкости, ф — пористость, Я — гидростатическая константа.

Основным допущением в уравнениях (1.1.2) является предположение о малости скоростей движения поровой жидкости.

Инерциальное слагаемое V • (р/Ки) во втором уравнении (1.1.2), как показала серия расчетов для модельных задач, не вносит значительных поправок в динамические характеристики пористоупругого материала в области низких и средних частот. В дальнейшем в работе будем пренебрегать этим слагаемым. Соответственно будем описывать движение пористоупругой среды следующими уравнениями:

V • а = рй,

ф2 (1.1.3)

V • (К ^р) — — р — (А •• £) = 0.

К

В литературе отмечается, что описание движения пористоупругого материала относительно неизвестных смещений упругого скелета и давления внутрипоровой жидкости согласно (1.1.2) позволяет понизить размерность задачи и значительно повысить скорость численных расчетов [91]. Вторым важным преимуществом такой модели является структурное сходство ее уравнений с уравнениями модели термоупругости [7]. Этот факт позволяет распространять большинство результатов и методов, использованных при исследовании термоупругих тел, на случай пористоупругости.

1.2 Общие уравнения плоской задачи о колебаниях пористоупругой полосы

Рассмотрим деформирование бесконечной пористоупругой полосы толщины Н, закрепленной и непроницаемой вдоль нижней грани, и отнесем ее к декартовой прямоугольной системе координат Ох\х3, считая, что линия х3 = 0 совпадает с нижней границей полосы.

Исследуемый пористоупругий материал будем считать трансвер-сально-изотропным с физическими характеристиками, зависящими от координаты х3.

С = С(х3), А = А(х3), К = К(хз),...

Данное предположение позволяет учесть особенности структуры реальных пористоупругих материалов и тел, которые обладают неоднородной структурой в силу различных факторов, таких как особенности структуры во-донасыщенных грунтов, процесс формирования биологической ткани и многих других. Описание неоднородности пористоупругого материала произвольными функциями поперечной координаты значительно усложняет процесс построения

физических полей и характеристик. Однако такой подход позволяет единообразно исследовать задачи для произвольных законов распределения материальных характеристик полосы.

Поскольку основным объектом исследования в работе является пористо-упругая полоса, будем исследовать задачу в рамках плоской деформации, считая:

щ = щ(х1, х3,1),и2 = 0, и3 = и3(х1,х3,1),р = р(х1, х3,1).

Учитывая введенные предположения о неоднородности пористоупругого материала и состояние плоской деформации, мы можем записать уравнения модели Био (1.1.3) в виде системы из 6 уравнений в частных производных в компонентной форме:

^11,1 + 0"13,3 = р^1, 0*13,1 + 033,3 = риз,

(1.2.1)

011 = Спи1Л + С13^3,3 — Апр,

033 = ^13^1,1 + С33П3,3 — А33Р, (1.2.2)

013 = Сб5 (П1,3 + ^3,1) ,

ф2

Кцр,ц + (К33Р3) 3 — (Ацй 1,1 + А33113,3) — —р = 0, (1.2.3)

' К

где введены обозначения:

д/ . д/

/* • = — Г = — J 'г Эх-'' дГ

В случае установившихся колебаний по закону е—гшг уравнения (1.2.1)-(1.2.3) относительно амплитудных функций имеют следующий вид:

011,1 + 013 , 3 + рш2щ = 0, 013 ,1 + 033 , 3 + рш2М3 = 0,

011 = СцЩ, 1 + С13М3 , 3 — А11Р,

(1.2.4)

033 = ^13^1, 1 + С33М3 , 3 — А33Р,

013 = С55 (щ,3 + Щ,1) ,

ф2

1.3 Формулировка граничных условий

В настоящем параграфе сформулированы типы граничных условий для задач, исследуемых в работе.

1.3.1 Задача о колебаниях пористоупругой полосы под действием нагрузки

Для исследования вынужденных установившихся колебаний полосы по закону е-гшг после отделения временного множителя сформулируем следующие общие граничные условия:

Жз = н : Озз = ^1(^1), 013 = ^2(^1), р = ^з(жх), (131)

I)

х3 = 0 : и1 =0, и3 = 0, рз = 0.

Механические граничные условия соответствуют защемлению слоя по нижней границе х3 = 0 и заданию нормальной и касательной нагрузок при

Хз = Н .

Граничные условия на давление соответствуют условию непроницаемости при хз = 0 и заданию давления в порах при хз = Н.

требуется отыскать нетривиальное решение краевой задачи. Вторая задача — задача о действии нормальной сосредоточенной нагрузки на верхней грани полосы, для которой в (1.3.1) следует принять

^0п) = 6(т), ^Оп) = 0, ^з = 0, (1.3.2)

где 6(ж1) — дельта-функция, описывающая действие сосредоточенной нагрузки, приложенной в точке (0,Н).

1.3.2 Колебания пористоупругой полосы под действием жесткого штампа

Говоря о практическом применении теории пористоупругости, стоит отметить различные задачи геофизики и механики грунтов. Одной из таких задач является изучение поведения массивного фундамента на грунтовом основании под действием различных стационарных и нестационарных нагрузок.

На сегодняшний день большинство работ, посвященных контактному взаимодействию при наличии пористоупругих тел, связаны с вопросами ин-дентирования. В работе [92] авторы исследуют вопрос индентирования тонких слоев пористоупругого геля сферическим индентором. Исследована зависимость площади контакта и глубины индентирования в зависимости от нагрузки. Вопрос динамического индентирования пористоупругих гелей различными формами инденторов рассмотрен в работе [93], где авторами представлено универсальное решение, позволяющее проводить расчеты для различных форм индентора.

Также пористоупругие модели находят применение в изучении деформирования живых тканей. В работе [94] исследован вопрос контактного взаимодействия жесткого тела с костью в рамках модели пористоупругости. Проанализированы вопросы движения жидкости и распределения напряжения в результате контактного взаимодействия кости и жесткого тела. Обзор

эффективности различных методов конечноэлементного расчета контактного взаимодействия приведен в работе [95].

Одним из актуальных вопросов современной механики является задача о взаимодействии массивного фундамента с грунтовым основанием, на котором он расположен. Такое основание, как правило, представляет собой набор различных слоев почвы, большинство которых являются водонасыщенными. Наиболее удобным инструментом для описания такой структуры является модель по-ристоупругости Био. В работах [96], [97] описываются колебания массивного фундамента, находящегося на пористоупругом грунтовом основании. Исследованы различные аспекты динамики такой системы. Однако, все рассуждения касаются однородного случая, в то время как учет переменности механических характеристик пористоупругого грунта может значительно повысить точность описания деформирования реальных физических объектов.

Исторически теория Био разрабатывалась именно для расчета осадки водонасыщенного грунтового основания под действием массивного фундамента плотины в предположении, что пористоупругое основание считается изотропным и обладающим однородными характеристиками. В настоящем исследовании оба эти допущения будут расширены на случай трансвер-сально-изотропного материала с переменными по толщине характеристиками.

к*3

-¡0)1

&33=0 I I &33=0

-Ь Ь &13=0 р=0

щ = 4

и!=0 и3=0 р 3=0 ( XI

Рассмотрим пористоупругую полосу толщины Н и связанное с ней в области [—Ь,Ь] абсолютно твердое тело массы т:

и3 = 6 при |ж1| ^ Ь,х3 = Н, (1.3.3)

где 6 — смещение твердого тела, на остальной части верхней границы полосы нагрузки отсутствуют. Нижняя граница полосы считается защемленной и непроницаемой, на тело действует вертикальная осциллирующая нагрузка с равнодействующей Р = —Р0е—гшг. Будем считать, что колебательный режим, возникающий в результате действия такой нагрузки, является установившимся с частотой ш:

W(хих3^) = УУ(хл,Х3)е—1Ш\ = (щ,р,щ).

Таким образом, окончательная постановка задачи после отделения временного множителя имеет вид

(1.3.4)

011,1 + 013,3 + рш2т = 0, 013,1 + 033,3 + р ш2щ = 0, 011 = СцП1,1 + 013^3,3 — Апр, 033 = С13Щ,1 + С33Щ,3 — А33Р, 013 = С55 (щ,3 + Щ,1) ,

ф2

К11Р11 + (К3333Р33),3 + гш (Апт,1 + ^33^3,3) + г<ш-^-р = 0.

Ж3 = н : 013 = 0, р = 0,

033 = 0, Ы >Ь, щ = 6а, |т| ^ Ъ (1.3.5)

х3 = 0: щ = 0, и3 = 0, р3 = 0.

Глава 2. Свободные колебания полосы. Исследование дисперсионных соотношений для неоднородной пористоупругой полосы

2.1 Постановка задачи о построении дисперсионных соотношений для

пористоупругой полосы

Рассмотрим задачу о свободных колебаниях неоднородной по толщине трансверсально-изотропной пористоупругой полосы толщины Н, с однородными граничными условиями при хз = 0 и хз = Н.

Решение будем искать в виде бегущих волн:

и (Х1 ,хз,г) = и(к,хз)е1(д™Х1-шг), (2.1.1)

где и(х1,хз,Ь) есть вектор решений (и1,из,и1з,изз,р,р>з), дш обозначает волновое число, ш — частота установившихся колебаний. Для простоты записи знак ~ в дальнейшем опустим.

Учитывая представление (2.1.1), получим, что уравнения (1.2.4) примут следующий вид:

^11 = гдюСцщ + Сии'з - Апр,

&зз = гд-С1зЩ + Сззи'з - Аззр,

^1з = Съ5 К + гд-из),

о. ' п (2.1.2)

ъд- ап + &1з + Р ш2 щ = 0,

гд- 01з + °зз + Рш2 из = 0,

/ Ф2

-д-Кпр + (Кззр') + гш (гд-Апщ + Аззи'з) + = 0.

Будем стоить решения (2.1.2) при следующих однородных граничных условиях:

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Гусаков Дмитрий Владимирович, 2019 год

\ // /

1 1 ■ / \/' 4 У / У У __ / У У /

\/ \\

1

-2

3

Яе £ 3.......

/

/

/

/

/

2

7

/

/

1 / / /

0!

-1

/

/

/

/

/

/

0 5 1. 0 1. 5 2.

*

1т £ 0

1

2

3

0. !--- 51 / _ / _ * 0 1 5 [ 2. %

\ \ * * * * * % ^

......\.................................... \ \

\ \ \ \