Смешанные задачи для неоднородного упругого слоя и идентификация характеристик неоднородности тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, кандидат наук Плотников Дмитрий Константинович

• Плотников Дмитрий Константинович
• кандидат наук
• 2020

Оглавление диссертации кандидат наук Плотников Дмитрий Константинович

2.2.1 Модель

2.2.2 Модель

2.2.3 Модель

2.3 Сравнительный анализ передаточных функций для различных

моделей

3 Исследование задач о контактном взаимодействии для полосы и прямоугольника в рамках приближенных моделей

3.1 Построение решения для модели

3.2 Построение решения для моделей 2 и

3.3 Сравнительный анализ решений контактной задачи для полосы

и прямоугольника

3.4 Сравнение результатов приближенных решений с расчетом по

КЭ модели

3.5 Обратная задача об оценке свойств неоднородного основания

4 Исследование задачи об отслоении покрытия на неоднородной полосе

4.1 Модель полосы с преднапряженным покрытием

4.2 Отслоение покрытия, нахождение критических значений

4.3 Моделирование отслоения покрытия с помощью метода граничных интегральных уравнений

4.3.1 Формулировка системы интегральных уравнений для полосы с отслоением

4.3.2 Асимптотический анализ передаточных функций при больших значениях параметра преобразования

4.3.3 Метод граничных элементов и результаты вычислительных экспериментов

Заключение

Список литературы

Приложение 1. Результаты решения контактной задачи на основе приближенных и конечно-элементного подходов

Введение

Важным аспектом при изготовлении различных элементов инженерных конструкций, деталей машин является модификация их поверхностного слоя для повышения твердости, износостойкости и улучшения трибологических свойств. В настоящее время в инженерной практике наиболее эффективным методом реализации этих целей является нанесение специальных покрытий, дающих существенно лучшую защиту поверхности деталей по сравнению с известными ранее технологиями поверхностного упрочения. Применение покрытий служит средством повышения качества выпускаемой продукции и способствует рациональному использованию и экономии производственных ресурсов.

Область применения защитных покрытий невероятно широка и охватывает самые разные отрасли промышленности. Данная технология позволяет получать объекты с желаемыми эксплуатационными характеристиками. Нанесение покрытий применяется при производстве компонентов двигателей авиационной и космической техники, при обработке внутренних поверхностей стволов орудий, что обеспечивает возможность их эксплуатации в экстремальных температурных условиях. Применение покрытий с низким коэффициентом трения позволяет увеличить срок эксплуатации контактирующих элементов конструкций, а детали с самосмазывающимися покрытиями вовсе не нуждаются в лубрикантах и требуют минимального обслуживания. Нанесение покрытий на более дешевые сплавы позволяет экономить материалы и лигатуры. Обработка поверхностей легких металлов позволяет заменить ответственные стальные детали алюминиевыми, магниевыми или титановыми со значительным выигрышем по массе. Технологии нансения покрытий находят применения в медицине, в частности покрытия применяются в ортопедических устройствах, в сердечно-сосудистых и зубоврачебных практиках. В современной микроэлектронике при производстве интегральных схем, микросенсоров и других компонентов широко используются тонкие пленки.

Покрытия применяются при изготовлении режущего инструмента, деталей, для которых требуются специфические оптические свойства и др. [1-4].

За всю историю применения покрытия претерпели немало изменений как в выборе материалов, так и в технологиях нанесения и значительно эволюционировали от однокомпонентных слоев композиционных материалов до гораздо более сложных, так называемых «умных» покрытий, изменяющих свои свойства в зависимости от условий эксплуатации, обладающих свойствами самосмазывания и восстановления [5]. Так, сегодня применяются металлические, полимерные, керамические покрытия, покрытия на основе углерода и др. В настоящее время существует множество разнообразных способов нанесения градиентных покрытий на подложку: вакуумное напыление (физическое осаждение из паровой фазы), химическое осаждение из паровой фазы, импульсное лазерное напыление, электрофоретическое осаждение и др. [6-8]. Причем различные технологии находят применение в разных сферах в зависимости от целей и возможностей применения тех или иных технических процессов.

Одним из наиболее широко применяемых и быстро развивающихся типов покрытий в последний годы являются покрытия из функционально-градиентных материалов [8]. Отличительной особенностью таких покрытий является переменный состав и изменение свойств с глубиной покрытия. Изменение свойств обусловлено неоднородностью микроструктуры, которая достигается композицией материалов с различными свойствами, имеющими некоторый профиль распределения по толщине покрытия. Дизайн неоднородной структуры определяется требованиями к эксплуатационным характеристикам конечного изделия. Равномерный переход между материалами, обладающими разными свойствами, позволяет устранить резкие изменения свойств, существующие в композиционном материале [9].

Эффективность применения функционально-градиентных покрытий зависит от знания свойств получаемой неоднородной структуры, поэтому важным этапом в разработке покрытий является контроль их характеристик, а также диагностика дефектов, характерных для слоистых структур, образу-

ющихся на этапе производства или в процессе эксплуатации.

Для определения приповерхностных свойств различных материалов, в том числе покрытий, широко применяются методы индентирования на различных масштабных уровнях [10-12]. Методы макро- и наноиндентирования с успехом применяются к определению физических характеристик композитов, биологических тканей (например, костной), различных компонент углей, выявлению степени анизотропии и трещиноватости [13,14]. Основными данными в эксперименте на индентирование являются кривые «сила-внедрение», на основе анализа которых, как правило, производится определение твердости и модуля Юнга индентируемого образца [10]. Наноиндентирование позволяет производить оценку свойств наноразмерных структур. Методы инден-тирования могут быть использованы и для оценки свойств функционально-градиентных материалов, в том числе с покрытиями, что требует исследования ряда контактных задач в рамках неоднородной теории упругости либо упрощенных моделей.

Контактные задачи представляют собой один из разделов смешанных задач теории упругости и, как правило, сводятся к исследованию интегрального уравнения или системы интегральных уравнений первого рода со слабой особенностью. Наиболее эффективным способом аналитического решения контактных задач теории упругости являются асимптотические методы, при этом отметим большой вклад Ростовской школы механики в развитие методов решения контактных задач для полосы и слоя — И. И. Воровича, В. М. Александрова, В. А. Бабешко, Ю. А. Устинова, А. В. Белоконя, М. И. Че-бакова, С. М. Айзиковича, их учеников, в частности, так называемые метод «больших лямбда» и метод «малых лямбда».

Основополагающей работой в этом направлении является работа И.И. Во-ровича и Ю.А. Устинова [15], в которой впервые был применен метод «больших лямбда» при исследовании задачи о давлении осесимметричного штампа на упругий слой относительно большой толщины. В дальнейшем этот метод был развит в работах В. М. Александрова и его учеников. Метод «малых лямбда» впервые использован в в работе В. М. Александрова [16], где рас-

смотрена задача о вдавливании произвольного в плане штампа в упругий слой относительно малой толщины. Анализ статических задач для тонких слоев, сведение интегральных уравнений к бесконечным алгебраическим системам был развит в работах В. А. Бабешко.

Эти методы получили дальнейшее развитие в трудах авторов и их учеников. Результаты их исследований подытожены в совместной монографии Воровича И. И., Александрова В. М. и Бабешко В. А. [17]. Символ ядра Фурье интегрального уравнения контактной задачи в этих работах построен в явном виде и представляет собой мероморфную в комплексной плоскости функцию, имеющую счетное множество нулей и полюсов. Для неоднородной же среды такое аналитическое представление в случае произвольных законов неоднородности получить невозможно и ядра интегральных уравнений могут быть построены численно либо на основе приближенных методов.

В монографии [18] рассмотрены задачи о контактном взаимодействии пластин и оболочек с жесткими телами, упругими подкреплениями и при их взаимодействии между собой. Особое внимание в монографии уделено анализу различных приближенных моделей пластин и оболочек при решении контактных задач.

Первой монографией, включившей в себя труды по тематике контактных задач для тел с покрытиями, является монография В. М. Александрова и С. М. Мхитаряна [19]. В этой монографии проведен асимптотический анализ решения задачи о равновесии однородной упругой полосы в предположении о малости толщины полосы. На его основе построен ряд приближенных моделей контактного взаимодействия для тел с тонкими покрытиями и прослойками. Решение контактных задач на основе построенных моделей приводит к исследованию некоторых операторных уравнений.

Отметим также работы М. И. Чебакова и соавторов [20,21], в которых рассмотрены контактные задачи для многослойных структур. В [20] исследована контактная задача для трехслойного сферического шарнира. Слои имеют различные упругие постоянные и жестко соединены между собой. Трансформанта ядра соответствующего интегрального уравнения контактной задачи

построена в явном аналитическом виде. Решение интегрального уравнения построено разными методами: на основе асимптотического анализа, с помощью метода коллокаций, а также методом конечных элементов.

В совместных работах П. Г. Иваночкина и М. И. Чебакова с соавторами [22-24] рассмотрены контактные задачи для двуслойных объектов. В [23] исследованы аспекты контактного взаимодействия для двухслойного цилиндрического основания с учетом сил трения. В [24] предложен асимптотический подход к расчету двухслойного сферического подшипника скольжения.

Монография Ю. А. Устинова [25] посвящена развитию математической теории плит, упругие свойства которых описываются кусочно-непрерывными функциями поперечной координаты. В книге представлены методы построения однородных и неоднородных решений. Разработанная теория проиллюстрирована на примерах конкретных задач для многослойных плит.

В связи с появлением новых материалов сложной неоднородной структуры, развитием технологий, позволяющих создавать объекты с градиентными свойствами и широким применением их в современной промышленности особый интерес вызывают задачи, связанные с исследованием неоднородных структур. Среди работ, посвященных изучению деформирования неоднородных упругих тел, отметим монографии Ломакина В. А. [26], Кол-чина Г. Б. [27], где построены аналитические решения ряда задач, намечены пути развития неоднородной теории упругости.

Среди работ, посвященных контактным задачам для неоднородных сред, особое внимание нужно уделить работам В. М. Александрова, С. М. Айзико-вича, А. В. Белоконя, Л. И. Кренева, И. С. Трубчик и их учеников. Совместная монография [28] посвящена разработке численно-аналитических методов решения статических контактных задач теории упругости для непрерывно-неоднородных сред, в первую очередь неоднородного полупространства. Решение контактной задачи определяется на основе трехступенчатой процедуры. На первом этапе решается краевая задача для матричного дифференциального оператора с параметром (параметром преобразования Фурье); на втором этапе строится аппроксимация полученной численно функциональной

зависимости передаточных функций дробно-рациональными функциями; на третьем этапе строится решение интегрального уравнения. В последующих работах С. М. Айзиковича и его учеников данный подход расширен для многослойных полупространств с неоднородным покрытием [29,30].

Обширный цикл работ А. В. Манжирова посвящен изучению контактных задач для неоднородных слоистых структур [31,32]. Подробно изучены задачи контактного взаимодействия неоднородного основания с шероховатым штампом [33,34]. В работах [34-36] исследованы контактные задачи для поверхностно неоднородных (неоднородных по продольной координате) покрытий и покрытий произвольной неоднородности. В этих работах контактная задача сведена к исследованию одного смешанного интегрального уравнения, которое решается разработанным автором проекционно-спектральным методом.

Отметим большое количество работ И. Г. Горячевой и ее учениц, посвященных различным классам статических контактных задач, например [3740]. Отдельное внимание уделено аспектам износа контактирующих тел. В монографии [37] исследуется напряжённое состояние и разрушение поверхностей при взаимодействии деформируемых тел, изучено влияние механической неоднородности взаимодействующих поверхностей, адгезионного взаимодействия и условий контактирования.

Другим способом исследования деформирования неоднородных оснований является построение приближенных моделей упругого тела, основанных на некоторых предположениях о структуре решения. В монографиях В. З. Власова [41] и В. З. Власова, Н. Н. Леонтьева [42] представлены модели упругих оснований, в том числе слоистых. Приближенный подход основан на представлении искомых функций (например, прогиб в задаче об изгибе пластины) в виде произведения двух функций, из которых одна представляет собой заданную функцию от одной переменной, а другая - искомую функцию от второй переменной. Далее с помощью принципа возможных перемещений формулируется линейная система обыкновенных дифференциальных уравнений. На основе вариационного подхода изучено деформирование пластин и

оболочек, исследованы вопросы устойчивости, построены модели балок, пластин и оболочек на упругом основании.

В монографии П. Л. Пастернака [43] изложены основы расчета фундаментов на упругом основании, которое моделируется с помощью двух коэффициентов постели, введенных автором; такая трактовка стала весьма популярной в последние годы.

Для слоистых структур, в том числе тел с покрытиями, характерно образование дефектов в виде трещин или отслоений, возникающих в процессе эксплуатации, либо на этапе производства, например, ввиду неудовлетворительной подготовки поверхности инструмента перед нанесением покрытия, что является причиной недостаточной адгезионной связи покрытия с подложкой. Возникновение данных дефектов также обусловлено концентрацией напряжений в областях сопряжения материалов, обладающих разными свойствами. В таких зонах возможно ослабление упругих связей между слоями и последующее отслоение. Другим фактором возникновения трещин и отслоений в покрытиях может служить наличие поля предварительных напряжений, образующегося при проведении технологических процессов нанесения защитного покрытия и наличия градиента температур при охлаждении. Одной из основных причин, формирующих поле предварительных напряжений в покрытиях, является изменение температуры при различных коэффициентах теплового расширения покрытия и подложки. Более того, иногда создание сжимающего поля предварительных напряжений в покрытии требуется для улучшения его прочностных характеристик и предотвращения растрескивания. Диагностика дефектов является важным этапом как при изготовлении покрытий, так и при обслуживании техники, включающей элементы с нанесенными упрочняющими покрытими. Это, в свою очередь, требует исследования задач об устойчивости и последующем деформировании систем покрытие-подложка при наличии дефектов, а также развитие теоретических основ методов их диагностики.

Среди работ, посвященных исследованию задач о расслоениях в слоистых конструкциях, изготовленных из композитных материалов, отметим работы

Болотина В. В. [44-46], Качанова Л. М. [47,48].

В ряде работ Гузя А. Н. с соавторами с различных сторон исследованы аспекты разрушения тел при сжатии вдоль трещин [49,50].

Отметим ряд работ, посвященных задачам устойчивости пластин на упругом основании [51-53]. Подобное поведение характерно также для тонких поверхностных пленок, которое достаточно подробно смоделировано с различных позиций и изучено в ряде работ [54-56].

В результате этих исследований выявлено, что в случае достаточно жесткой подложки сжимающие напряжения приводят к упругому изгибу пленки с локальным отслоением от основания, особенно если связь либо относительно слабая, либо ослаблена теми или иными дефектами на границе раздела.

Отметим довольно обширный цикл работ Хатчинсона, Суо, Ю, посвященный исследованию деформирования слоистых структур и тел с покрытиями при наличии дефектов в виде трещин и отслоений, например [55,57,58]. В дальнейшем основные результаты трудов в данном направлении были объединены в книге [59].

Среди работ, посвященных дефектам на границе материалов с разными механическими сойствами, в том числе и для градиентных многослойных структур, отметим [60-62].

В работах [63, 64] исследовано деформирование функционально-градиентных покрытий при наличии в них трещины, параллельной границе контакта покрытия с подложкой.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Смешанные задачи для неоднородного упругого слоя и идентификация характеристик неоднородности»

Актуальность темы исследования.

Изучение деформирования неоднородных слоистых структур при статических и динамических воздействиях важно при моделировании составных конструкций, усиливающих элементов покрытий, пленок, структур, упрочненных в результате технологической обработки, при изучении многослойных неоднородных структур в биомеханике с точки зрения адекватного описания физических явлений и процессов. Отметим также внедрение в практику большого количества конструктивных элементов, изготовленных из композиционных материалов и сочетающих керамики, металлы и полимеры. Важным

аспектом моделирования таких конструктивных элементов является определение законов распределения неоднородных свойств на основе контактного зондирования, при этом необходимо разработать технику получения полуаналитических решений, на основе которых далее решать коэффициентные обратные задачи, исследовать возможность однозначного определения характеристик. Этот класс задач об определении характеристик неоднородных упругих тел является весьма актуальным и находится на уровне мировых разработок.

Основные результаты, входящие в диссертационную работу, получены в рамках проектов РНФ (проект № 18-11-00069), грант Правительства РФ № 07515-2019-1928.

Объект и предмет исследования.

Объектами исследования выступают неоднородная упругая изотропная полоса и прямоугольник с жестко защемленным нижним основанием. Предметом является изучение деформирования неоднородных слоистых структур в условиях контакта с жесткими телами и исследование их деформирования при наличии дефекта в виде отслоения на границе слоев.

Цели и задачи диссертации.

Целью научно-квалификационной работы является исследование деформирования неоднородных слоистых структур, разработка способов определения их характеристик и исследование отслоения покрытия от подложки, для чего были поставлены следующие задачи:

1. Формулировка приближенных подходов к исследованию деформирования неоднородной по толщинной координате упругой полосы, позволяющих рассматривать с единых позиций неоднородности разного характера (непрерывные, имеющие разрывы).

2. Исследование контактной задачи в рамках построенных приближенных моделей.

3. Исследование задачи об оценке упругих свойств неоднородной полосы на основе данных индентирования в рамках приближенных моделей.

4. Исследование дефектов, характерных для системы «покрытие-подложка» (отслоение), формулировка соотношений, связывающих параметры отслоения в рамках разработанных приближенных подходов.

5. Исследование деформирования неоднородной полосы при наличии расслоения.

Научную новизну работы составляют следующие научные результаты:

1. Формулировка гипотез о структуре полей перемещений и создание упрощенных моделей деформирования неоднородной упругой полосы, решение контактных задач в рамках моделей.

2. Исследование задач об идентификации свойств неоднородной полосы в рамках созданных моделей.

3. Построение соотношения, устанавливающего связь между параметрами отслоения преднапряженного покрытия от основания с двумя коэффициентами постели.

4. Формулировка системы интегральных уравнений относительно скачков смещений в области отслоения покрытия от подложки.

5. Асимтотический анализ символов Фурье ядер интегральных операторов в исследуемых задачах.

Объем и структура работы.

Диссертация состоит из введения, четырёх глав и заключения. Полный объём диссертации составляет 106 страниц, включая 32 рисунка и 3 таблицы. Список литературы содержит 106 наименований.

В первой главе сформулированы постановки основных краевых задач для неоднородной упругой изотропной полосы, закрепленной вдоль нижней границы, дана постановка контактной задачи для гладкого штампа и полосы без учета сил трения. В параграфе 1.2 построено решение задач о действии

нормальной и касательной нагрузок на верхней границе неоднородной упругой полосы с помощью интегрального преобразования Фурье и метода пристрелки. Построены передаточные функции, связывающие трансформанты смещений верхней границы с трансформантами нагрузок. Проведен асимптотический анализ краевых задач и передаточных функций при малых значениях параметра преобразования. На основе метода Вишика-Люстерника построены главные члены асимптотик передаточных функций для больших значений параметра преобразования Фурье при произвольных законах неоднородности.

Результаты вычислительных экспериментов построения смещений верхней границы полосы для различных законов неоднородности представлены в параграфе 1.2.4. Представлено интегральное уравнение контактной задачи для полосы и гладкого штампа.

Глава 2 посвящена анализу сформулированных задач, построению передаточных функций для неоднородной полосы в рамках приближенных подходов. В параграфе 2.1 краевая задача о действии нормальной нагрузки на верхней границе полосы решена приближенно с помощью метода Галерки-на. Передаточные функции получены в виде дробно-рациональных функций параметра преобразования.

В параграфе 2.2 представлен приближенный подход исследования деформирования неоднородной упругой полосы, основанный на комбинации вариационного принципа Лагранжа и метода Канторовича. На основе гипотез о характере изменения компонент поля смещений по вертикальной координате сформулированы три приближенные модели деформирования неоднородной упругой полосы. В качестве гипотез выбраны линейные по вертикальной координате, а также гипотезы, зависящие от упругих свойств полосы. Построена упрощенная модель, в которой осуществлено пренебрежение продольной компонентой смещения. Для каждой из моделей представлены передаточные функции.

Сравнительный анализ передаточных функций в рамках метода Галер-кина, приближенных моделей и построенных численно приведен в парагра-

фе 2.3. Исследовано поведение приближенных передаточных функций в нуле и на бесконечности.

В третьей главе исследована контактная задача для неоднородной упругой полосы и штампа параболической формы в рамках описанных приближенных подходов. На основе вариационного принципа Лагранжа для каждой из моделей сформулированы стыковые условия на границах области контакта. Приближенные модели модифицированы на случай прямоугольной области, сформулированы граничные условия на боковых гранях прямоугольника. Представлены решения контактной задачи для неоднородной полосы и жесткого параболического штампа. В параграфе 3.3 проведено сравнение решений контактной задачи для полосы и прямоугольника. Представлена оценка отношения геометрических параметров длины и толщины прямоугольника, при которых решения контактой задачи для полосы и прямоугольника близки.

Построено решение контактной задачи на основе конечно-элементной модели. В параграфе 3.4 представлен сравнительный анализ решений контактной задачи в рамках приближенных моделей и на основе метода конечных элементов. Дана оценка области применимости приближенных моделей.

В параграфе 3.5 в рамках построенных приближенных моделей исследована обратная задача об оценке упругих свойств неоднородной полосы по информации о поле перемещений верхней границы полосы вблизи контактной области. Обратная задача параметризована, решение находится в классе дробно-рациональных функций. Рассмотрены постановки обратной задачи для отыскания двух и трех параметров. Решение обратной задачи построено в два этапа. На первом этапе с помощью метода Прони находятся параметры вертикального смещения верхней границы полосы, обусловленного структурой приближенного решения. На втором этапе получены аналитические формулы для нахождения неизвестных параметров. Представлены эксперименты по идентификации различных законов неоднородности полосы.

Четвертая глава посвящена исследованию отслоения неоднородного покрытия от подложки. В параграфе 4.1 на основе подхода, разработанного

в главе 2, построена модель двуслойной полосы, верхний слой которой находится под действием сжимающего поля предварительных напряжений. Полученная модель может быть интерпретирована как модель балки на упругом основании с двумя коффициентами постели, для которых предложены формулы, позволяющие определить коэффициенты постели через законы неоднородности полосы. Представлено решение контактной задачи для полосы с предварительно напряженным покрытием и параболического штампа. Отслоение моделируется снижением до нуля коэффициентов постели основания в области отслоения. Соотношение, связывающее параметры отслоения с предварительными напржениями, из которого может быть установлена величина критической нагрузки, построено в параграфе 4.2, проведен его численный анализ.

В параграфе 4.3 отслоение покрытия смоделировано с помощью метода граничных интегральных уравнений. Представлена постановка смешанной задачи для полосы, состоящей из двух слоев, при наличии отслоения на границе слоев. Сформулирован ряд вспомогательных задач в поле трансформант Фурье, на основе решений которых построена система интегральных уравнений с гиперсингулярными ядрами относительно функций раскрытия берегов отслоения. В параграфе 4.3.2 проведен анализ передаточных функций в задаче об отслоении при больших значениях параметра преобразования Фурье на основе метода Вишика-Люстерника. Представлена схема дискретизации системы интегральных уравнений в рамках метода граничных элементов. Коэффициенты полученной системы линейных уравнений представляют собой расходящиеся интегралы, вычисленные в смысле главного значения по Коши и конечного значения по Адамару с использованием полученных асимптотических представлений передаточных функций. Результаты вычислительных экспериментов для различных законов неоднородности покрытия и подложки при разных нагрузках представлены в параграфе 4.3.3.

Теоретическая и практическая значимость.

Сформулированные приближенные модели могут быть применены при оценке упругих свойств градиентных и слоистых структур, в том числе по-

крытий, а также при оценке критических нагрузок в покрытиях, приводящих к потере устойчивости участка отслоения. Приложением построенной вычислительной схемы моделирования отслоения покрытия от подложки может служить диагностика дефектов в покрытиях на границах изменения упругих свойств. Полученные асимптотические представления могут быть использованы при анализе полей напряжений и деформаций в окрестности вершин отслоения.

Методология и методы исследований.

В работе применены различные методы численного и аналитического исследования задач неоднородной теории упругости. Для решения систем дифференциальных уравнений в частных производных с переменными коэффициентами применена комбинация интегрального преобразования Фурье и метода Галеркина, либо метода пристрелки. Асиптотический анализ передаточных функций для неоднородной полосы проведен на основе метода Вишика-Люстерника. Для построения приближенных моделей деформирования неоднородной упругой полосы использованы метод Канторовича и вариационный принцип Лагранжа. Нахождение оригиналов решений задачи о действии нагрузки на полосу осуществлено с использованием апробированных квадратурных формул Филона и Гаусса. С целью анализа достоверности полученных результатов решение контактной задачи построено с помощью конечно-элементного подхода. Осуществлено сравнение зависимостей сила-внедрение и вертикальных смещений в приконтактной зоне. Для решения системы интегральных уравнений, описывающих отслоение покрытия от подложки, использован метод граничных элементов, осуществлено тестирование метода при увеличении числа элементов.

Основные положения, выносимые на защиту.

1. На основе различных гипотез о структуре полей смещений разработаны приближенные методы исследования деформирования неоднородного упругого слоя с жестко защемленным нижним основанием, проведено сравнение различных подходов.

2. Исследована задача об отслоении покрытия от неоднородной полосы, введены два коэффициента постели, даны формулы для их определения через законы неоднородности, сформулировано и проанализировано соотношение, устанавливающее связь между параметрами отслоения покрытия от упругого основания.

3. Изучена задача о расслоении неоднородной упругой полосы на основе анализа системы гиперсингулярных уравнений.

4. На основе метода Вишика-Люстерника предложен способ асимптотического анализа символов ядер интегральных операторов в смешанных задачах для неоднородной полосы.

5. Рассмотрен ряд обратных задач об оценке свойств неоднородной упругой полосы.

Достоверность представленных в работе результатов основана на строгих постановках задач теории упругости, применении известных эффективных численных методов решения задач Коши для дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами, сравнительном анализе результатов, полученных при использовании приближенных подходов с результатами, полученными на основе конечно-элементной модели, с проведением достаточного числа вычислительных экспериментов по расчетам поведения отслоившегося покрытия в области дефекта, с результатами других авторов.

Апробация работы. Результаты диссертационной работы были представлены в материалах Всероссийских и международных конференций, среди которых:

1. XVIII Международная конференция «Современные проблемы механики сплошной среды», г. Ростов-на-Дону, 2016 г.

2. XII Всероссийская школа-семинар «Математическое моделирование и биомеханика в современном университете», п. Дивноморское, 2017 г.

3. XXVII Международная научная школа им. академика С. А. Христиа-новича «Деформирование и разрушение материалов с дефектами и динамические явления в горных породах и выработках», Алушта, 2017 г.

4. VIII Международная научная конференция «Современные методы и проблемы теории операторов и гармонического анализа и их приложения» г. Ростов-на-Дону, 2018 г.

5. XIII Всероссийская школа-семинар «Математическое моделирование и биомеханика в современном университете», п. Дивноморское, 2018 г.

6. XIII Всероссийская конференция «БИ0МЕХАНИКА-2018», п. Дивно-морское, 2018 г.

7. XIX Международная конференция «Современные проблемы механики сплошной среды», г. Ростов-на-Дону, 2018 г.

8. IX International Conference «The Problems of Interaction of Deformable Media», Goris, Armenia, 2018.

9. XXI Зимняя школа по механике сплошных сред, г. Пермь, 2019 г.

10. XIV Всероссийская школа «Математическое моделирование и биомеханика в современном университете», п. Дивноморское, 2019 г.

11. XII Всероссийский съезд по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики, г. Уфа, 2019 г.

12. VI международная конференция «Актуальные проблемы механики сплошной среды», Дилижан, Армения, 2019 г.

13. XX Международная конференция «Современные проблемы механики сплошной среды», г. Ростов-на-Дону, 2020 г.

Личный вклад. Работы, лежащие в основе диссертационного исследования, выполнены в соавторстве.

Работы написаны в соавторстве с научным руководителем А. О. Ватулья-ном. А. О. Ватульяну принадлежит общая постановка задач, предложения по выбору методов исследования в части формулировки гипотез для неоднородных структур, обсуждение результатов. Автору диссертации принадлежит исследование деформирования неоднородной полосы, асимптотический анализ символов ядер интегральных операторов на основе техники Вишика-Люстерника, формулировка упрощенных моделей на основании вариационного принципа Лагранжа, создание программ решения краевых задач, сравнение с КЭ-результатами и исследование решений задач для различных законов неоднородности полосы и их анализ. Работа [65] написана в соавторстве с А. О. Ватульяном и Е. Л. Коссович. А. О. Ватульяну принадлежит постановка задач, предложение методов исследования. Е. Л. Коссович принадлежит проведение экспериментов по индентированию образцов углей, обсуждение результатов. Автору диссертации принадлежит построение решений исследуемых задач. Работа [66] написана в соавторстве с А. О. Ватульяном и А. А. Поддубным. А. О. Ватульяну принадлежит общая постановка задач, предложения по выбору методов исследования при формулировке гипотез для неоднородной слоистой структуры, обсуждение результатов. Автору диссертации принадлежит построение решений контактных задач в рамках трех приближенных моделей, реализация численного решения задачи с помощью метода конечных элементов, сравнительный анализ. А. А. Поддубному принадлежит формулировка модели двуслойной неоднородной полосы и построение решения исследуемой задачи для этой модели.

Публикации.

Основные результаты по теме диссертации изложены в 24 печатных изданиях [65-88], 5 из которых [65-69] изданы в журналах, рекомендованных ВАК РФ, 3 в журналах, входящих в международную наукометрическую базу Scopus [65,68,69], 3 в базу Web of Science [65,66,68], 8 — в тезисах докладов [71-78] и 10 работ [79-88] в сборниках трудов и материалах конференций.

Глава 1

Постановка и численное решение краевых задач для неоднородной упругой полосы

1.1 Постановка задач о равновесии неоднородной

упругой полосы

Как правило, при исследовании контактных задач для полосы рассматривают вспомогательную задачу о равновесии полосы под действием заданной нагрузки на ее верхней границе. С помощью преобразования Фурье строятся компоненты смещений верхней границы полосы, представляемые в виде интегральных операторов от действующей нагрузки. В контактной задаче функции, описывающие компоненты нагрузки на верхней границе, играют роль контактного давления и подлежат определению, что требует решения интегрального уравнения или системы уравнений. Поэтому важным этапом при исследовании контактных задач является рассмотрение вспомогательных задач и построение ядер соответствующих интегральных операторов.

1.1.1 Деформирование неоднородной полосы под действием нормальной нагрузки

Рассмотрим в декартовой системе координат (х , х3) равновесие неоднородной упругой изотропной полосы толщины К, жестко сцепленной по нижней границе при х3 = 0 с недеформируемым основанием, под действием нормальной нагрузки д(х\), действующей на верхней границе полосы при х3 = К, в условиях плоской деформации. Будем считать, что параметры Ламе полосы являются произвольными положительными функциями координат (в том числе и разрывными) в Б = {х1 € (-го, го),х3 € [0, К]}:

Уравнения равновесия в плоской задаче теории упругости (плоская деформация) имеют вид

011,1 + 013,3 = 0,

' , (1-2) 031,1 + 033,3 = 0.

Закон Гука для изотропного тела представим в форме

011 = (Л(хЬ Х3) + 2д(хЬ Х3^£П + Л(Ж1, Ж3)£33,

013 = 2д(х1 ,Ж3)£13, (1-3)

033 = Л(Х1, Ж3)£11 + (Л(хЬ Х3) + 2д(хЬ Х3))£33.

Компоненты линейного тензора деформаций определяются выражениями

£11 = U1,1, £13 = 2(u1,3 + U3,1 ), £33 = U3 3. (1.4)

Граничные условия задачи соответствуют жесткому защемлению нижней грани, на верхней грани действеут нормальная нагрузка

U1(x1, 0) = 0, U3(x1,0) = 0, (1.5)

013(21, h) = 0, 033(^1, h) = q(x1 ). (1.6)

Обезразмерим задачу, введя безразмерные параметры следующим образом

£ = xi/h, U = ui/h, 0ij = 0j/д,

/1 = Л/до, /2 = д/д0, 0 = q/дс, где д0 - характерное значение модуля сдвига полосы, в качестве которого

могут быть взяты, например, максимальное или среднее значение модуля

сдвига на отрезке [0, h] в точке x1 = 0

h

д0 = max д(0,х3) или д0 = — д(0,х3)^х3.

0<xs<h h J

о

Запишем постановку задачи в безразмерных параметрах. Уравнения равновесия и определяющие соотношения примут вид

011,1 + 013,3 = 0, . , Л , (1.8) 013,1 + 033,3 = 0.

¿11 = (Л (6, 6) + 2/2(6, 6Ж1 + Л(6,6)из,з,

¿13 = /2(6,6X^1,3 + ¿3,1), ¿33 = /1(6,6)^1,1 + (/1(^1,€з) + 2/2(6, £з))«з,з.

(1.9)

Граничные условия задачи с учетом (1.7) запишем в виде

¿1(6, 0) = 0, ¿з(6,0) = 0, ¿13 (£1,1) = 0, ¿33(6,1) = 4(6).

(1.10) (1.11)

1.1.2 Деформирование неоднородной полосы под действием касательной нагрузки

Сформулируем краевую задачу о действии касательной нагрузки на верхней границе неоднородной полосы. Пусть теперь на верхней границе полосы действует безразмерная касательная нагрузка т(х1), а нормальная равна нулю. В качестве уравнений равновесия и определяющих соотношений в постановке данной краевой задачи выступают уравнения (1.8)-(1.9), а граничные условия в безразмерных параметрах имеют вид

1.1.3 Контактная задача для неоднородной полосы

Рассмотрим задачу о контактном взаимодействии жесткого штампа гладкой формы с неоднородной упругой полосой. Как и в задачах, сформулированных в предыдущих пунктах, по нижней границе полоса жестко сцеплена с недеформируемым основанием. Область контакта полосы и штампа расположена на отрезке |х1| < а. Уравнения равновесия и определяющие соотношения задачи имеют вид (1.8)-(1.9).

Считая, что трение между контактными поверхностями штампа и полосы отсутствует, сформулируем граничные условия контактной задачи:

¿1(6, 0) = 0, ¿з(6,0) = 0,

¿13 (£1,1)= т(6), ¿33 (£1,1) = 0.

(1.12) (1.13)

¿1 (£1, 0)= ¿з(6,0) = 0, ¿1з(6,1) = 0,

(1.14)

033(6,1) = 0, |б|> в, Û3(^1,1) = S - /(£1), |61 <в, (1.15)

где в = a/h характеризует относительный размер площадки контакта, S — безразмерная величина внедрения штампа, функция /(£1) описывает форму основания штампа, например, для штампа параболической формы / (£1) = £2/2r. Здесь r — радиус кривизны параболического штампа, отнесенный к толщине полосы.

Отметим, что в классических работах, посвященных исследованию контактных задач для полосы, как правило, вводится безразмерный параметр Л = h/a, характеризующий относительную толщину полосы [17]. Согласно принятым обозначениям в = Л-1. Малые значения в соответствуют случаю толстой полосы, большие в — тонкой полосы.

Постановку контактной задачи дополняет условие равновесия штампа:

в

P = j 033(6,1)d£1, рР = P/M0h, (1.16)

-в

где P — сила, действующая на штамп. Это соотношение обычно позволяет связать P и S — важнейшую характеристику контактного взаимодействия, которая измеряется в экспериментах.

1.2 Решение задачи о равновесии неоднородной упругой полосы с помощью метода пристрелки

Будем считать далее в рамках этой главы, что параметры Ламе зависят только от вертикальной координаты, т. е. /1 = /1(£3), /2 = /2(£3). Решение вспомогательных задач о действии нормальной и касательной нагрузки, сформулированных в п. 1.1, может быть построено в рамках применения интегрального преобразования Фурье [89], с помощью которого краевая задача для системы уравнений в частных производных может быть сведена к краевой задаче для системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Отметим, что ряд авторов (Глушков Е. В., Глушкова Н. В., Айзикович С. М. и

их ученики) формулируют системы обыкновенных дифференциальных уравнений относительно трансформант смещений и их производных. В этом случае коэффициенты системы дифференциальных уравнений содержат производные от законов неоднородности [28,90]. Такая форма канонической системы дифференциальных уравнений не позволяет анализировать кусочно-разрывные законы неоднородности. Ниже предлагается иной подход к формулировке этой системы дифференциальных уравнений, который свободен от этого недостатка. Эта система формулируется относительно трансформант смещений и трансформант компонент напряжений и не содержит производных от законов неоднородности, что позволяет в дальнейшем производить анализ решений вспомогательных задач с единых позиций.

Применим преобразование Фурье по координате £1. Представим безразмерные компоненты смещений и напряжений в виде интегралов Фурье

1

00

и (£1,£з) = 2П и (а, £з)е ^ ¿а,

¿¡к(£1,£з) = 2П / ¿¡к(а,£з)е-гаС1 ¿а, ;, к = 1,3

— 00

(1.17)

и подставим их в уравнения (1.8),(1.9). Исключив напряжение ¿11 из системы, получим относительно трансформант компонент смещений и напряжений каноническую систему обыкновенных дифференциальных уравнений с параметром, которая в векторной форме может быть представлена в виде

X' = АХ,

где введены обозначения

X = ¿¿1, X = ¿3, Хз = ¿¿13, Х4 = азз, а матрица коэффициентов имеет вид

(1.18)

(1.19)

А =

/

0

а/1

/1+2/2

-а /2 00

0

1

\

4а2/2(/1+/2) 0 0 /1+2/2 0 0

/1+2/2 а/1 /1+2/2

V

0

0

а

0

/

(1.20)

Заметим, что элементы матрицы А не содержат производных от функций /1, /2.

Граничные условия в задачах о действии нормальной и касательной нагрузок с учетом (1.19) примут вид соответственно

Х1 (а, 0) = 0, Х2(а, 0) = 0, Хз(а, 1) = 0, Х^а, 1) = ф(а), (1.21)

для задачи I (нормальная нагрузка),

Х1(а, 0) = 0, Х2(а, 0) = 0, Хз(а, 1) = гТ(а), Х4(а, 1) = 0, (1.22)

для задачи II (касательная нагрузка), где

00 00

3(а) = , Т (а) = т(6)егаа . (1.23)

1.2.1 Задача I. Действие нормальной нагрузки

Решим краевую задачу (1.20), (1.21) численно, используем метод пристрелки [91]. Для этого сформулируем следующие вспомогательные задачи Коши

Х1(1)(а, 0) = 0, Х21}(а, 0) = 0, х31}(а, 0) = 1, х41}(а, 0) = 0, (1.24)

Х{2)(а, 0) = 0, Х22)(а, 0) = 0, х32)(а, 0) = 0, х42) (а, 0) = 1. (1.25)

В силу линейной независимости решений вспомогательных задач, решение краевой задачи I запишем в виде их линейной комбинации

X1 = С1Х(1) + С2Х(2). (1.26)

Коэффициенты с1, с2 найдем, удовлетворяя граничным условиям (1.21) при 6 = 1, из системы

С1Х(1)(а, 1) + С2Х32)(а, 1) = 0, С1Х41)(а, 1) + С2Х42)(а, 1) = ф(а). .

Решая (1.27), получим

с1 = -Х32)(а, 1)А-1 (а)^(а), с2 = х(1)(а, 1)Д-1(а)^(а), (1 28) Д(а) = Х31)(а, 1)х42)(а, 1) - Х(2)(а, 1)х41)(а, 1). .

Таким образом, компоненты вектора X1 определяются формулами

х/(а,£з) = (х32)(а, 1)Х^(а,^з) - х^(а, 1)х/2)(а,6)) А-1(а)д(а).

(1.29)

Найдем компоненты поля смещений, для этого построим обращение Фурье по формулам (1.17) с учетом (1.19)

с»

(б,Ы = ^/ Х1 (а, £з К^1 ¿а, (1.30)

-с с»

¿3(6,6) = ^/ Х2(а,£з¿а. (1.31)

-с

Для смещений верхней границы полосы получим

с»

(б, 1) = 2Л*/ ^31 (аМа)в-^1 ¿а, (1.32)

-с с»

¿3(б,1) = 2л/ Кзз(аМа)в-^1 ¿а, (1.33)

-с

где К31(а) и Кзз(а) — функции влияния (передаточные функции), связывающие трансформанты компонент вектора X1 на границе <^з = 1 с нагрузкой следующим образом

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Плотников Дмитрий Константинович, 2020 год

Список литературы

1. Grainger, S. Engineering Coatings: Design and Application / S. Grainger, J. Blunt. — Abingdon, Cambridge: Woodhead Publishing Ltd, UK, 2nd ed., 1998.-336 p.

2. Современные упрочняющие покрытия критических деталей механизмов и инструмента / Г. В. Москвитин, Е. М. Биргер, А. Н. Поляков, Г. Н. Полякова // Металлообработка.- 2015. — № 2.-С. 22-27.

3. Technical characteristics and wear-resistant mechanism of nano coatings: A review / Y. Gu, K. Xia, D. Wu et al. // Coatings. - 2020. - Vol. 10, no. 3. —P. 233.

4. Sousa, V. F. C. Recent advances on coated milling tool technology—a comprehensive review / V. F. C. Sousa, F. J. G. Silva // Coatings. — 2020.-Vol. 10, no. 3.-P. 235.

5. Керамические функционально-градиентные материалы / А. А. Качаев, М. Л. Ваганова, Д. В. Гращенков, Ю. Е. Лебедева // Перспективные материалы. — 2016. — № 9. — С. 51-58.

6. Головин, Ю. И. Наноиндентирование и механические свойства твердых тел в субмикрообъемах, тонких поверхностных слоях и пленках / Ю. И. Головин // Физика твердого тела. — 2008. — Т. 50, № 12. — С. 2113-2142.

7. Наукоемкие технологии нанесения упрочняющих покрытий / Г. В. Москвитин, Е. М. Биргер, А. Н. Поляков, Г. Н. Полякова // Металлообработка. — 2015. — № 1. — С. 44-49.

8. Naebe, M. Functionally graded materials: A review of fabrication and properties / Minoo Naebe, Kamyar Shirvanimoghaddam // Applied Materials Today.-2016.-dec.-Vol. 5.-P. 223-245.

9. Mahamood, R. M. Functionally Graded Materials / R. M. Mahamood, E. T. Akinlabi. — Springer International Publishing, 2017.— 103 p.

10. Oliver, W. Measurement of hardness and elastic modulus by instrumented indentation: Advances in understanding and refinements to methodology / W.C. Oliver, G.M. Pharr // Journal of Materials Research. — 2004.-jan.-Vol. 19, no. 1.-P. 3-20.

11. Определение механических микрокомпонентов углей методом непрерывного индентирования / Е. Л. Коссович, Н. Н. Добрякова, С. А. Эп-штейн, Д. С. Белов // Физико-технические проблемы разработки полезных ископаемых. — 2016. — № 5. — С. 84-91.

12. Применение техники непрерывного нано- и микроиндентирования для определения механических свойств микрокомпонентов углей / Е. Л. Коссович, Н. Н. Добрякова, М. Г. Минин и др. // Современные проблемы механики сплошной среды: труды XVIII международной конференции: в 2 т. — Т. 2. — Ростов-на-Дону; Издательство Южного федерального университета, 2016. —С. 30-33.

13. Borodich, F. M. Nanoindentation in studying mechanical properties of heterogeneous materials / F. M. Borodich, S. J. Bull, S. A. Epshtein // Journal of Mining Science. — 2015. — may. — Vol. 51, no. 3. — P. 470-476.

14. Epshtein, S. A. Evaluation of elastic modulus and hardness of highly inhomogeneous materials by nanoindentation / Svetlana A. Epshtein, Feodor M. Borodich, Steve J. Bull // Applied Physics A. — 2015. — feb. — Vol. 119, no. 1.-P. 325-335.

15. Ворович, И. И. О давлении штампа на слой конечной толщины / И. И. Ворович, Ю. А. Устинов // Прикл. математика и механика. — 1959. — Т. 23, № 3. — С. 445-455.

16. Александров, В. М. О действии штампа на упругий слой конечной толщины / В. М. Александров, И. И. Ворович // ПММ. - 1960. - Т. 24, № 2.-С. 323-333.

17. Ворович, И. И. Неклассические смешанные задачи теории упругости / И. И. Ворович, В. М. Александров, В. А. Бабешко.-М.: Наука, 1974. — 456 с.

18. Григолюк, Э. И. Контактные задачи теории пластин и оболочек / Э. И. Григолюк, В. М. Толкачев. — М.: Машиностроение, 1980. —411 с.

19. Александров, В. М. Контактные задачи для тел с тонкими покрытиями и прослойками / В. М. Александров, С. М. Мхитарян. - М.: Наука, 1983.-488 с.

20. Чебаков, М. И. Контактная задача для трехслойного сферического шарнира / М. И. Чебаков, М. В. Абрамович, Е. М. Колосова // Изв. высших учебных заведений. Северо-кавказский регион. Серия: естественные науки. - 2015. - Т. 187, № 3. - С. 60-64.

21. Контактная задача для двухслойного цилиндра / Д. А. Пожарский, Н. Б. Золотов, И. Е. Семенов и др. // Вестник ДГТУ. - 2018. - Т. 18, № 3.-С. 265-270.

22. Контактное взаимодействие в двухслойном цилиндрическом самосмазывающемся подшипнике скольжения / В. И. Колесников, А. В. Наседкин, М. И. Чебаков, П. Г. Иваночкин // Вестник РГУПС. - 2007. -№ 4.-С. 5-10.

23. Чебаков, М. И. Контактная задача для двухслойного цилиндрического основания с учетом сил трения / М. И. Чебаков, П. Г. Иваночкин // Трение и износ. - 2008. - Т. 29, № 6. - С. 647-653.

24. Чебаков, М. И. Асимптотический метод расчета двухслойного сферического подшипника скольжения / М. И. Чебаков, П. Г. Иваночкин,

П. Г. Кармазин // Известия ВУЗов. Сев.-Кавказ. регион. Естественные науки. - 2008. - № 4. - С. 29-31.

25. Устинов, Ю. А. Математическая теория поперечно-неоднородных плит / Ю. А. Устинов. - Ростов н/Д: изд-во ООО «ЦВВР», 2006. -257 с.

26. Ломакин, В. А. Теория упругости неоднородных тел / В. А. Ломакин. -М.: Изд-во МГУ, 1976.-376 с.

27. Колчин, Г. Б. Расчёт элементов конструкций из упругих неоднород-ныхматериалов / Г. Б. Колчин. - М.: Изд-во «Картя Молдовеняскэ», 1971.-170 с.

28. Контактные задачи теории упругости для неоднородных сред / С. М. Айзикович, В. М. Александров, А. В. Белоконь и др.-М.: ФИЗ-МАТЛИТ, 2006.-240 с.

29. Напряженно-деформированное состояние упругого мягкого функционально-градиентного покрытия при внедрении сферического индентора / С. С. Волков, А. С. Васильев, С. М. Айзикович и др. // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. - 2016. - № 4. - С. 20-34.

30. Vasiliev, A. S. Approximated analytical solution of contact problem on indentation of elastic half-space with coating reinforced with inhomoge-neous interlayer / A. S. Vasiliev, S. S. Volkov, S. M. Aizikovich // Materials Physics & Mechanics.-2018.-Vol. 35, no. 1.-P. 175-180.

31. Манжиров, А. В. Осесимметричные контактные задачи для неоднородно-стареющих вязкоупругих слоистых оснований / А. В. Манжиров // Прикладная математика и механика. - 1983. - Т. 47, № 4. -С. 684-693.

32. Казаков, К. Е. О конформном контакте слоистых оснований и штампов / К. Е. Казаков, А. В. Манжиров // Изв. РАН. МТТ. - 2008. -№ 3.-С. 227-240.

33. Манжиров, А. В. Моделирование контактного взаимодействия неоднородного основания с шероховатым штампом / А. В. Манжиров, К. Е. Казаков // Математическое моделирование. - 2017. - Т. 29, № 10.-С. 95-104.

34. Казаков, К. Е. Осесимметричный контакт кольцевого шероховатого штампа и поверхностно неоднородного основания / К. Е. Казаков, А. В. Манжиров // Механика твердого тела. - 2017. - № 4. - С. 112120.

35. Манжиров, А. В. Контактные задачи для оснований с произвольно неоднородными покрытиями / А. В. Манжиров // Вестник ЧГПУ им. И. Я. Яковлева. Серия: Механика предельного состояния. - 2014. -№ 3.-С. 3-13.

36. Манжиров, А. В. Контактная задача с износом для основания с поверхностно неоднородным покрытием / А. В. Манжиров, К. Е. Казаков // Доклады академии наук. - 2017. - Т. 475, № 1. - С. 39-44.

37. Горячева, И. Г. Механика фрикционного взаимодействия / И. Г. Горя-чева.-М.: Наука, 2001.-478 с.

38. Горячева, И. Г. Упругий контакт номинально плоских поверхностей при наличии шероховатости и адгезии / И. Г. Горячева, Ю. Ю. Маховская // Известия РАН. Механика твердого тела. -2017. - № 4.-С. 101-111.

39. Горячева, И. Г. Моделирование накопления контактно-усталостных повреждений в условиях трения качения при наличии остаточных напряжений / И. Г. Горячева, Е. В. Торская // Трение и износ. - 2019. -Т. 40, № 1.-С. 44-51.

40. Горячева, И. Г. Моделирование внедрения цилиндра в вязкоупругий слой / И. Г. Горячева, А. А. Яковенко // Известия Академии наук СССР. Механика твердого тела. - 2020. - № 5. - С. 64-75.

41. Власов, В. З. Избранные труды. Том 3. Тонкостенные пространственные системы / В. З. Власов. — М.: Наука, 1964.-488 с.

42. Власов, В. З. Балки, плиты и оболочки на упругом основании / В. З. Власов, Н. Н. Леонтьев. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 1960.—491 с.

43. Пастернак, П. Л. Основы нового метода расчета фундаментов на упругом основании при помощи двух коэффициентов постели / П. Л. Пастернак. — М.: Стройиздат, 1954.— 56 с.

44. Болотин, В. В. Дефекты типа расслоений в конструкциях из композитных материалов / В. В. Болотин // Мех. комп. материалов. — 1984. — № 2. —С. 239-255.

45. Устойчивость многослойных отслоений вкомпозитах при сжатии /

B. В. Болотин, С. В. Нефедов, В. А. Пудов, О. В. Трифонов // Мех. комп. материалов. — 1997. — № 3. — С. 312-320.

46. Болотин, В. В. Механика расслоений в конструкциях из слоистых композитов / В. В. Болотин // Мех. комп. материалов. — 2001. — № 5/6.—

C. 585-602.

47. Качанов, Л. М. Разрушение композитных материалов путем расслоения / Л. М. Качанов // Механика полимеров. — 1976. — № 5. —С. 918922.

48. Качанов, Л. М. К вопросу о расслоении композитных материалов / Л. М. Качанов // Вестник Ленингр. ун-та. Математика, механика, астрономия. — 1976. — № 13. — С. 77-81.

49. Гузь, А. Н. Об одном критерии разрушения твердых тел при сжатии вдоль трещин. Плоская задача / А. Н. Гузь // ДАН СССР.— 1981.— № 6. —С. 1315-1318.

50. Гузь, А. Н. К теории приповерхностного отслаивания композитных ма-териаловпри сжатии вдоль макротрещин / А. Н. Гузь, В. М. Назарен-ко // Мех. комп. материалов. — 1985. — № 5. — С. 826-833.

51. Александров, В. М. Устойчивость системы покрытие-подложка при продольном сжатии покрытия / В. М. Александров // Изв. РАН МТТ. — 2001. — № 4. — С. 76-79.

52. Гольдштейн, Р. В. Оценка влияния податливости подложки на напряжения потери устойчивости отслоившегося покрытия / Р. В. Гольдштейн, К. Б. Устинов, А. В. Ченцов // Вычислительная механика сплошных сред. —2011. —Т. 4, № 3. —С. 48-57.

53. Морозов, Н. Ф. О формах потери устойчивости сжатой пластины на упругом основании / Н. Ф. Морозов, П. Е. Товстик // Изв. РАН МТТ. — 2012. —№ 6. —С. 30-36.

54. Cotterell, B. Buckling and cracking of thin films on compliant substrates under compression / B. Cotterell, Z. Chen // International Journal of Fracture. —2000.-Vol. 104, no. 2. —P. 169-179.

55. Yu, H.-H. Influence of substrate compliance on buckling delamination of thin films / Hong-Hui Yu, John W. Hutchinson // International Journal of Fracture.-2002.-Vol. 113, no. 1.-P. 39-55.

56. Кургузов, В. Д. Моделирование отслоения тонких пленок при сжатии / В. Д. Кургузов // Вычислительная механика сплошных сред. — 2014. — Т. 7, № 1. —С. 91-99.

57. Suo, Z. Interface crack between two elastic layers / Z. Suo, J. W. Hutchin-

son // International Journal of Fracture. — 1990. — Vol. 43, no. 1. — P. 118.

58. Hutchinson, J. W. Mixed Mode Cracking in Layered Materials / J. W. Hutchinson, Z. Suo // Advances in Applied Mechanics.— Elsevier, 1991.-P. 63-191.

59. Begley, M. R. The Mechanics and Reliability of Films, Multilayers and Coatings / M. R. Begley, J. W. Hutchinson. — Cambridge University Press, 2017.-278 p.

60. Салганик, Р. Л. Задача о деформировании упруго заделанной пластины, моделирующей частично отслоившееся от подложки покрытие (плоская деформация) / Р. Л. Салганик, К. Б. Устинов // Механика твердого тела. - 2012. - № 4. - С. 50-62.

61. Rizov, V. Delamination of multilayered functionally graded beams with material nonlinearity / V. Rizov // International Journal of Structural Stability and Dynamics. - 2018.-Vol. 18, no. 04.-P. 1850051.

62. Ustinov, K. On semi-infinite interface crack in bi-material elastic layer / K. Ustinov // European Journal of Mechanics - A/Solids. — 2019. — may.-Vol. 75.-P. 56-69.

63. Bao, G. Delamination cracking in functionally graded coating/metal substrate systems / G. Bao, H. Cai // Acta Materialia. — 1997. — Vol. 45, no. 3.-P. 1055-1066.

64. El-Borgi, S. Buckling of a functionally graded coating with an embedded crack bonded to a homogeneous substrate / S. El-Borgi, W. Aloulou, A. Zghal // International Journal of Fracture. — 2006. — Vol. 142, no. 1-2.-P. 137-150.

65. Ватульян, А. О. О некоторых особенностях индентирования трещино-

ватых слоистых структур / А. О. Ватульян, Е. Л. Коссович, Д. К. Плотников // Изв. РАН. МТТ. —2017. —№ 4.-С. 94-100.

66. Ватульян, А. О. О некоторых моделях индентирования функционально-градиентных покрытий / А. О. Ватульян, Д. К. Плотников, А. А. Под-дубный // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия: Математика. Механика. Информатика. — 2018. — Т. 18, № 4.-С. 421432.

67. Ватульян, А. О. Об индентировании неоднородной полосы / А. О. Ватульян, Д. К. Плотников // Экологический вестник научных центров ЧЭС. — 2017. — № 3. — С. 22-29.

68. Ватульян, А. О. Об одной модели индентирования функционально-градиентной полосы / А. О. Ватульян, Д. К. Плотников // Доклады Академии наук. — 2019. — Т. 485, № 5. —С. 564-567.

69. Ватульян, А. О. Обратные коэффициентные задачи в механике / А. О. Ватульян, Д. К. Плотников // Вестник ПНИПУ. Механика. — 2019. —№ 3. —С. 37-47.

70. Ватульян, А. О. Контактная задача для неоднородного прямоугольника с покрытием / А. О. Ватульян, Д. К. Плотников // Изв. НАН Армении. Механика. — 2020. — № 2. — С. 35-43.

71. Ватульян, А. О. Об индентировании неоднородных покрытий / А. О. Ватульян, Д. К. Плотников // Математическое моделирование и биомеханика в современном университете. Тезисы докладов XII Всероссийской школы-семинара (с. Дивноморское, 29 мая - 3 июня 2017 г.). —2017. —С. 19.

72. Vatulyan, A. O. Indentation of functionally graded materials with coatings / A. O. Vatulyan, D. K. Plotnikov // Physics and Mechanics of New Materials and Their Applications (Busan, South Korea, August 9-11, 2018). -2018. -P. 370.

73. Ватульян, А. О. Об индентировании функционально-градиентных материалов с покрытиями / А. О. Ватульян, Д. К. Плотников // Математическое моделирование и биомеханика в современном университете. Тезисы докладов XIII Всероссийской школы-семинара (с. Дивномор-ское, 31 мая - 3 июня 2018 г.). — 2018. — С. 11.

74. Плотников, Д. К. Об индентировании биологических тканей / Д. К. Плотников, А. А. Поддубный // Биомеханика-2018. Тезисы всероссийской конференции (с. Дивноморское, 28 мая - 1 июня 2018 г.).—

2018. —С. 101.

75. Ватульян, А. О. Об идентификации свойств неоднородных структур / А. О. Ватульян, Д. К. Плотников // XXI Зимняя школа по механике сплошных сред. Тезисы докладов (г. Пермь, 18-22 февраля 2019 г.).—

2019. —С. 69.

76. Плотников, Д. К. Об идентификации свойств двухслойной полосы / Д. К. Плотников, А. А. Поддубный // Математическое моделирование и биомеханика в современном университете. Тезисы докладов XIV Всероссийской школы (с. Дивноморское, 27-31 мая 2019г.). — 2019. — С. 113.

77. Ватульян, А. О. К диагностике отслоившихся покрытий / А. О. Вату-льян, Д. К. Плотников // Математическое моделирование и биомеханика в современном университете. Тезисы докладов XIV Всероссийской школы (с. Дивноморское, 27-31 мая 2019г.). — 2019. — С. 24.

78. Плотников, Д. К. Об асимптотическом подходе в задаче об отслоении покрытия / Д. К. Плотников // Современные проблемы механики сплошной среды : тезисы докладов XX Международной конференции (г. Ростов-на-Дону, 18-21 июня 2020 г.). —Южный федеральный университет. Ростов-на-Дону ; Таганрог : Издательство Южного федераль-ногоуниверситета, 2020. —С. 144.

79. Ватульян, А. О. О некоторых контактных задачах для неоднородных упругих тел / А. О. Ватульян, Д. К. Плотников // Современные проблемы механики сплошной среды. труды XVIII Международной конференции (г. Ростов-на-Дону, 7-10 октября 2016 г.). - 2016. - С. 63.

80. Ватульян, А. О. О некоторых задачах индентирования неоднородных структур / А. О. Ватульян, Д. К. Плотников // Деформирование и разрушение материалов с дефектами и динамические явления в горных породах и выработках: Материалы XXVII Международной научной школы им. акад. С. А. Христиановича (г. Алушта, 18-24 сентября 2017 г.).-2017.-С. 58-61.

81. Ватульян, А. О. Об интегральном уравнении в контактной задаче для неоднородной полосы / А. О. Ватульян, Д. К. Плотников // Материалы VIII международной Конференции «Современные методы и проблемы теории операторов и гармонического анализа и их приложения VIII» (г. Ростов-на-Дону, 22-27 апреля 2018 г.) / Под редакцией Гиля А. В. - Электрон. Текстовые дан. - Ростов н/Д: Издательство Ростовского отделения Российской инженерной академии. - 2018. - С. 71.

82. Ватульян, А. О. Индентирование функционально-градиентных покрытий / А. О. Ватульян, Д. К. Плотников // Проблемы динамики взаимодействия деформируемых сред. Труды IX международной конференции (г. Горис, Армения, 1-6 октября 2018 г.). - 2018. - С. 106-109.

83. Ватульян, А. О. Об индентировании градиентных упругих структур с покрытием / А. О. Ватульян, Д. К. Плотников // Современные проблемы механики сплошной среды. труды XIX Международной конференции (г. Ростов-на-Дону, 15-18 октября 2018 г.). - Т. 2. - 2018. - С. 63-67.

84. Плотников, Д. К. О различных моделях индентирования слоислтых структур / Д. К. Плотников, А. А. Поддубный // Современные проблемы механики сплошной среды. труды XIX Международной конферен-

ции (г. Ростов-на-Дону, 15-18 октября 2018 г.).-Т. 2.-2018.-С. 203207.

85. Плотников, Д. К. Об одной модели контактного взаимодействия для тела с покрытием / Д. К. Плотников, А. А. Поддубный // Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и механики. Сборник трудов Международной научной конференции (г. Воронеж, 17-19 декабря 2018 г.). - 2018. - С. 1231-1235.

86. Ватульян, А. О. Об индентировании неоднородной полосы с покрытием / А. О. Ватульян, Д. К. Плотников, А. А. Поддубный // XII Всероссийский съезд по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики: сборник трудов в 4 томах. Т. 3: Механика деформируемого твердого тела (г. Уфа, 19-24 августа 2019 г.). - У: РИЦ БашГУ, 2019.-С. 876-877.

87. Ватульян, А. О. Моделирование отслоений в слоистых структурах /

A. О. Ватульян, Д. К. Плотников // Актуальные проблемы механики сплошной среды. Материалы VI международной конференции (г. Ди-лижан, Армения, 1-6 октября 2019 г.). - 2019. - С. 94-98.

88. Плотников, Д. К. Об асимптотическом подходе в задаче об отслоении покрытия / Д. К. Плотников // Современные проблемы механики сплошной среды : труды XX Международной конференции (г. Ростов-на-Дону, 18-21 июня 2020 г.) в 2 т. - Южный федеральный университет. Ростов-на-Дону ; Таганрог : Издательство Южного федеральногоуни-верситета, 2020.-С. 193-197.

89. Уфлянд, Я. С. Интегральные преобразования в задачах теории упругости / Я. С. Уфлянд.-Л.: Наука, 1967.-402 с.

90. Бабешко, В. А. Динамика неоднородных линейно-упругих сред /

B. А. Бабешко, Е. В. Глушков, Зинченко Ж. Ф. - М.: Наука, 1989. -344 с.

91. Бахвалов, Н. С. Численные методы / Н. С. Бахвалов. - М.: Наука, 1973.-632 с.

92. Кеч, В. Введение в теорию обобщенных функций с приложениями в технике / В. Кеч, П. Теодореску. - М.: Мир, 1978.-518 с.

93. Новацкий, В. Теория упругости / В. Новацкий. - М.: Мир, 1975. - 872 с.

94. Вишик, М. И. Регулярное вырождение и пограничный слой для линейных дифференциальныхуравнений с малым параметром / М. И. Вишик, Л. А. Люстерник // УМН. - 1957. - Т. 12, № 5(77).-С. 3-122.

95. Федорюк, М. В. Асимптотические методы для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений / М. В. Федорюк. - М.: Наука, 1977.354 с.

96. Партон, В. . Методы математической теории упругости / В. 3. Партон, П. И. Перлин.-М.: Наука, 1981.-688 с.

97. Михлин, С. Г. Вариационные методы в математической физике / С. Г. Михлин.-М.: Наука, 1970.-512 с.

98. Ватульян, А. О. Коэффициентные обратные задачи механики / А. О. Ватульян.-М.: ФИЗМАТЛИТ, 2019.-272 с.

99. Ватульян, А. О. Предварительные напряжения: моделирование и идентификация / А. О. Ватульян, В. В. Дударев, Р. Д. Недин. - Изд. ЮФУ, Ростов-на-Дону, 2014.-206 с.

100. Ватульян, А. О. Об одном подходе к восстановлению неоднородных свойств упругого основания под распределенной нагрузкой / А. О. Ватульян, Л. С. Гукасян, Р. Д. Недин // Вестник РГУПС. - 2016.-№ 4.-С. 130-136.

101. Ватульян, А. О. Об исследовании отслоения от упругого основания на основе модели с двумя коэффициентами постели / А. О. Ватульян, К. Л. Морозов // Изв. РАН МТТ. — 2020. — № 2. —С. 64-76.

102. Ватульян, А. О. Об отслоении покрытия, лежащего на упругом осн-вании / А. О. Ватульян, К. Л. Морозов // Прикладная механика и техническая физика. — 2020. — Т. 61, № 1. —С. 133-143.

103. Астапов, Н. С. Закритическое поведение идеального стержня на упругом основании / Н. С. Астапов, В. М. Корнев // ПМТФ. — 1994. — Т. 35, № 2. —С. 130-142.

104. Астапов, И. С. Квадратичная аппроксимация больших перемещений гибкого сжатого стержня / И. С. Астапов, Н. С. Астапов, Е. Л. Васильева // Известия Российской академии наук. Механика твердого тела. — 2003. —№ 1. —С. 164-171.

105. Сумбатян, М. А. Основы теории дифракции с приложениями в механике и акустике / М. А. Сумбатян, А. Скалия. — М.: Физматлит, 2013.— 337 с.

106. Белоцерковский, С. М. Численные методы в сингулярных интегральных уравнениях и их приложение в аэродинамике, теории упругости, электродинамике / С. М. Белоцерковский, И. К. Лифанов. — М.: Наука, 1985. —256 с.

Приложение 1. Результаты решения контактной задачи на основе приближенных и конечно-элементного подходов

0.000 -0.002 -0.004 -0.006 -0.008 -0.010

0.000 0.002 0.004 0.006 0.008 0.010

0.030 0.025 0.020 0.015 0.010 0.005 0.000

■ ■ МКЭ

------ модель 1

модель 2 - модель 3

Рис. 19: Сравнение Р*{5) и 10(^1) для приближенных моделей и МКЭ (г = 5, закон неоднородности 2)

*

о.

0.000

-0.002

-0.004

-0.006

-0.008

-0.010

----- модель 1

----- модель 2

- модель 3

0.025

0.020

0.000 0.002 0.004 0.006 0.008 0.010

0.015 0.010 0.005 0.000

Рис. 20: Сравнение Р*(5), 1) для моделей и МКЭ (г = 5, законы, 3)

6

Рис. 21: Сравнение Р*(5), 1) для моделей и МКЭ (г = 5, законы, 4)

б

Рис. 22: Сравнение Р*(5), 1) для моделей и МКЭ (г = 5, законы, 5)

б &

0.020 а 0.015 0.010 0.005 0.000

МКЭ модель 1

■ ■ ■ /

- модель 2 модель 3 ♦

/ ♦ ♦ ♦

/ ♦

у* *

0.000

-0.002

-0.004

-0.006

-0.008

-0.010

■ ■ - -

у ♦ / '--- —

/

■ ■ МКЭ модель 1 ----- модель 2 модель 3

0.000 0.002 0.004 0.006 0.008 0.010 6

0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

Рис. 24: Сравнение Р*(5), 1) для моделей и МКЭ (г = 10, законы, 1)

■ ■ МКЭ

0.025 -I ------ модель 1

0.000

-0.002

-0.004

-0.006

-0.008

-0.010

МКЭ

модель 1 модель 2 модель 3

0.000 0.002 0.004 0.006 0.008 0.010 6

0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

Рис. 25: Сравнение Р*(5), 1) для моделей и МКЭ (г = 10, законы, 3)

0.000 0.002 0.004 0.006 0.008 0.010 б

0.000

-0.002

-0.004

-0.006

-0.008

-0.010

МКЭ

модель 1 модель 2 модель 3

0.5 1.0 1.5 2.0 2.5

3.0

*

о.

0.000 -0.002 -0.004

£

-0.006 -0.008 -0.010

моделей и

0.000 -0.002 -0.004 -0.006 -0.008 -0.010

моделей и

Рис. 27: Сравнение Р*(5), 1) для

1.0

мкэ

1.0

МКЭ

1.5 2.0 2.5

(г = 20, законы,

1.5 2.0 2.5

(г = 20, законы,

3.0

1)

3.0

2)

0.035

МКЭ

модель 1 0.0301 модель 2

модель 3

0.025

0.020

0.015

0.010

0.005

0.000

0.000 0.002 0.004 0.006 6

0.008

0.010

6

Рис. 28: Сравнение Р*(5), 1) для

б &

0.035 0.030 0.025 0.020 0.015 0.010 0.005 0.000

_ ■ ■ ■ - _ МКЭ /

модель 1 модель 2 модель 3 /,

/ / У / ♦

/■> / ♦ ♦

< / / ♦

/ ♦ ♦

•

0.000

-0.002

-0.004

-0.006

-0.008

-0.010

0.000 0.002 0.004 0.006 0.008 0.010 6

Рис. 30: Сравнение Р*(5), 1) для моделей и МКЭ (г = 20, законы, 4)

*

о.

Рис. 31: Сравнение Р*(5), 1) для моделей и МКЭ (г = 20, законы, 5)

0.000

-0.002

-0.004

§

-0.006

-0.008

-0.010

модель 1 модель 2 модель 3

0.035 0.030 0.025 0.020 0.015 0.010 0.005 0.000

0.000 0.002 0.004 0.006 0.008 0.010

0.000 -0.002 -0.004 -0.006 -0.008 -0.010

0.040

0.035

0.030

0.025

* 0.020 о.

0.015 0.010 0.005 0.000

0.000 0.002 0.004 0.006 0.008 0.010 6