Колебания крыла в сверхзвуковом потоке газа тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.05, кандидат физико-математических наук Арсентьев, Тимофей Петрович

• Арсентьев, Тимофей Петрович
• кандидат физико-математических наук
• 2008

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Арсентьев, Тимофей Петрович

Введение.

1. Аэродинамика колебаний крыла.

1.1. Постановка аэродинамической задачи.

1.2. Асимптотическое упрощение задачи.

1.3. Аналитическое решение задачи.

1.3.1. Решение нестационарной задачи на профиле крыла.

1.3.2. Решение нестационарной задачи внутри потока.

1.3.3. Второе приближение стационарной части задачи.

1.4. Определение аэродинамического давления и его асимптотика на профиле крыла при малых и больших частотах.

2. Колебания упругого крыла.

2.1. Модель несущей поверхности.

2.2. Постановка связанной аэроупругой задачи.

2.3. Асимптотическое решение.

2.3.1. Решение при малых частотах.

2.3.2. Решение при больших частотах.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Колебания крыла в сверхзвуковом потоке газа»

Настоящая работа посвящена изучению колебаний крыла, обтекаемого сверхзвуковым потоком газа. Колебания инженерных сооружений, элементов летательных аппаратов (крылья, оперения), тонкостенных элементов конструкций, происходящие при их взаимодействии с потоком газа, принято обозначать единым термином «флаттер» (от английского «flutter» - трепетать) [1].

Некоторые типы колебаний крыльев самолета и рулевых поверхностей наблюдались с первых дней полета самолета. Для того чтобы описать физическое явление, рассмотрим свободнонесущее нестреловидное крыло без элерона, смонтированное под малым углом в аэродинамической трубе и жестко закрепленное у корня. Когда поток воздуха в аэродинамической трубе отсутствует и модель возбуждается, например, толчком с помощью тяги, то возникает колебание, которое потом постепенно затухает. При постепенном увеличении скорости потока в трубе скорость затухания колебания возбужденного профиля сначала увеличивается. Однако по мере дальнейшего увеличения скорости достигается такой момент, когда скорость затухания быстро уменьшается. При критической скорости флаттера колебание может продолжаться с постоянной амплитудой. При скоростях потока несколько превышающих критическую, небольшое случайное возмущение профиля может служить толчком к возникновению очень сильного колебания [2]. Такие колебания даже если и не приведут к разрушению крыла и крушению самолета, то могут существенно ухудшить управляемость.

В ранние периоды развития авиации устойчивость конструкции относительно флаттера могла быть достигнута за счет незначительных изменений конструкции и за счет незначительного увеличения веса [2]. Новая тенденция к оптимальной конструкции самолетов с высокими летными качествами создает совершенно иную картину. Обычно желают создать самолет с минимальным весом, должным образом соответствующий заданным проектным требованиям (нагрузка, геометрия и т. п.). Эти и другие проблемы, связанные 3 с развитием авиации, остаются актуальными и по сегодняшний день. И дальнейшее развитие авиации влечет за собой дальнейшие исследования задач, связанных с флаттером.

Самые первые исследования флаттера были, по-видимому, проведены Ланчестером [3], Бэрстоу и Фейджем в 1916 г. в связи с антисимметричным (кручением фюзеляжа и кручением руля высоты) флаттером на бомбардировщике Хэндли-Пейдж. Блазиус [4] в 1918 г. после поломки нижнего крыла биплана Альбатрос ЮЗ произвел некоторые расчеты. Однако настоящее развитие исследования флаттера должно было ожидать развитии нестационарной теории крыла, основание которой было заложено Кутта и Жуковским в период от 1902 до 1906 г. Первый численный расчет аэродинамической силы, действующей на гармонически колеблющуюся тонкую пластинку в двумерном потоке, был дан 20 лет позднее, в 1922 г., Бирнбаумом в его диссертации в Геттингене. Хорошо известно, что создание теории присоединенных вихрей Прандтля было завершено в 1918 г. и Аккерман применил ее к вычислению подъемной силы крыла при установившемся движении. По предложению Прандтля Бирнбаум обобщил метод Аккермана на неустановившееся движение крыльев [5, 6]. Он получил численные результаты вплоть до приведенной частоты к = 0,12 (к = ~, со - частота колебаний, / - характерный размер тела, С/ - скорость набегающего потока).

Приблизительно в то же время Вагнер [7] исследовал аэродинамические силы, действующие на тело, которое внезапно из положения покоя начинает двигаться с постоянной скоростью и. Был исследован также случай внезапного изменения угла атаки.

Следующий заметный шаг был сделан в 1929 г. В этом году Глауэрт опубликовал данные [8, 9] относительно силы и момента, действующих на произвольно движущееся цилиндрическое тело, и аэродинамических коэффициентов колеблющегося крыла вплоть до к = 0,5. Вычисление основывалось на методе Вагнера. В том же году Кюсснер [10] обобщил метод Бирнбаума для того, чтобы вычислить аэродинамические коэффициенты до к — 1,5.

В 1934 г. было опубликовано также точное решение Теодорсена [11] для гармонически колеблющегося крыла с закрылком; диапазон к при этом был неограничен. До 1934 г. было зарегистрировано несколько случаев флаттера. В то время флаттер имел место только на крыльях самолета. В большинстве из этих случаев основную роль играли массовая неуравновешенность элерона и малая жесткость крыла на кручение.

В 1929 г. Кюсснер разъяснил в теории флаттера много основных положений: исключение координаты времени, замена конфигурации крыла простой балкой, решение результирующей системы дифференциальных уравнений с помощью метода итераций, представление внутреннего демпфирования в виде запаздывания по фазе в упругой восстанавливающей силе и т. п. С другой стороны. Данкан и Фрейзер [12, 10] (1928 г.) измерили флаттерные производные в аэродинамической трубе и ввели понятие полужесткости и матричные методы. Простые правила предотвращения флаттера были выведены из статистических исследований в Германии (Кюсснер) и в Англии (Роксби, Кокс) [13].

С 1931 по 1937 г. благодаря гонке вооружений великих держав оживилось создание новых типов самолетов. Проблема двумерного флаттера крыла с двумя степенями свободы не представляла больше никакой трудности. Были созданы методы, позволяющие быстро получить решение задачи (например, практический метод Кюсснера и Фингадо [14]). Удовлетворительно исследовались двумерные задачи с тремя степенями свободы (крылья с закрылками). Для трехмерного крыла вместе с аэродинамической теорией «несущей полосы» был использован метод Галеркина. Кроме того, теория была подтверждена испытаниями флаттерных моделей в аэродинамических трубах, по крайней мере, для того диапазона скоростей, в котором воздух можно считать несжимаемым, и для крыльев умеренного удлинения.

В технике обычным делом стали испытания на колебания на земле. Были введены критерии жесткости, которые оказались удовлетворительными с точки зрения безопасности.

До 1938 г. предполагалось, что проблему флаттера можно разрешить с помощью летных испытаний. К сожалению, в феврале 1938 г. в процессе хорошо спланированного летного испытания четырехмоторный самолет Юнкере 1и 90 VI разрушился, и все исследователи, находившиеся на борту, погибли. Со времени этой катастрофы стало очевидным, что присущие летному испытанию трудности и риск довольно велики. Оно является только одним из многих средств исследования и оправдывается, если только характеристики флаттера исследуются перед опытом и приблизительно известны те опасные режимы, которые должны наблюдаться.

Это положение привело к усилению роли теоретического анализа. С развитием многомоторных самолетов, двойных килей, вспомогательных рулевых поверхностей и т. п. двумерный анализ должен был уступить место более сложному трехмерному анализу, а исследование флаттера становится все более и более специальной областью научного исследования. Динамика самолета, которая до сих пор считалась весьма отдаленно связанной с аэроуп-ругостъю, теперь оказалась тесно связанной с флаттером и другими задачами аэроупругости.

Аэроупругость изучает влияние аэродинамических сил на упругие тела. В большинстве важных задач аэроупругости аэродинамические силы очень сильно зависят от положения тела относительно потока. Упругая деформация играет важную роль в определении самой внешней нагрузки. Величина аэродинамической силы неизвестна до тех пор, пока не определена упругая деформация. Поэтому в общем случае внешняя нагрузка неизвестна до тех пор, пока не решена задача. В аэроупругости одновременно применяются методы, разработанные как в гидроаэромеханике, так и в механике деформируемого твердого тела.

Среди задач об аэроупругих колебаниях крыла встречаются такие, где в качестве модели крыла используется балка или пластина. В уравнения механики деформированного твердого тела, характеризующие колебания балок и пластин, обычно входит нагрузка, под воздействием которой происходят колебания. При аэроупругих колебаниях крыла для определения этих нагрузок используются аэродинамические силы, формулы для которых получаются в результате решения аэродинамических задач. В формулы для аэродинамических сил входят параметры, характеризующие колебание. Таким образом, через эти параметры связываются уравнения механики деформированного твердого тела и аэродинамики. И эти же параметры находятся в результате решения связанной аэроупругой задачи.

Исследованиям в области аэродинамики колебаний крыла посвящено много публикаций. Из монографий можно отметить книгу Д. У. Майлса [15], в которой приведен обзор применения методов теории потенциальных течений идеальной жидкости, для определения аэродинамических сил, действующих на тонкие крылья и удлиненные тела, совершающие нестационарное движение в однородном сверхзвуковом потоке. Ряд приводимых в [15] результатов принадлежит автору, однако последний стремился охватить всю литературу, доступную к моменту написания книги.

Следует отметить результаты Е. А Красильщиковой, развившей в 1947 году эффективный метод расчета сверхзвукового обтекания тонкого крыла произвольной формы в плане как при установившемся движении, так и при гармонических колебаниях [16, 17]. В дальнейшем ею было дано обобщение метода на случай более общей зависимости от времени [18].

Также можно отметить несколько работ [19-24], посвященных нестационарным движениям профиля в плоском потоке, в которых решаются, в основном, задачи, когда параметры, характеризующие движение крыла как твердого тела, считаются заданными функциями времени.

В современной работе [25] рассмотрено нестационарное колебательное движение крыла с конечными амплитудами. Предложено несколько моделей законов изменения гибкого крыла для обеспечения гладкого схода следа с задней кромки. Найдены выражения для циркуляции и сил и произведены численные расчеты для одной из моделей профиля крыла.

В работе [26] предложена модифицированная расчетная схема метода дискретных вихрей для решения задач нестационарного обтекания деформируемого крыла. Для реализации предложенной расчетной схемы составлена программа, позволяющая определять как распределенные, так и суммарные нестационарные аэродинамические характеристики несущей поверхности простой формы в плане при различных законах деформации. Численные эксперименты проведены для машущего крыла (когда безразмерная вертикальная координата точек крыла изменяется по гармоническому закону с амплитудой, пропорциональной квадрату их поперечной координаты) и машущего крыла с подкручиванием.

В области аэроупругости можно отметить книгу Фына [2], посвященную линейной теории колебаний различных элементов конструкции самолета, подверженных действию аэродинамических сил, в до и сверхзвуковом потоке. В монографии [27] рассмотрено поведение тонкостенных конструкций типа оболочек и пластинок при воздействии на них потока газа.

Нередко в литературе о связанных аэроупругих задачах встречаются задачи об изгибно-крутильных колебаниях крыла [28-33]. В таких задачах обычно пренебрегают деформацией крыла вдоль хорды. Однако имеется другой тип флаттера, в котором главную роль играет деформация вдоль хорды. Например, в монографии [34], посвященной проблемам, связанным с изучением и построением переходных процессов при движении гибкого профиля в несжимаемом и сжимаемом потоках, крыло моделируется бесконечной по размаху гибкой тонкой пластиной. И основное внимание в [34], таким образом, сосредоточено на исследовании деформации вдоль хорды крыла-пластины.

В 1956 г. появились работы [35] и [36], где для исследования флаттера пластин предлагалась «поршневая теория» — связь давления, действующего на колеблющуюся пластину, и прогиба в виде где р0, а0 и0 — невозмущенные плотность, скорость звука и скорость течения газа, р и "И> — возмущения давления и прогиба. Это выражение сводит уравнение движения пластины к уравнению в частных производных, которое легче для исследования, чем точное интегродифференциальное уравнение. Поршневая теория получена как предел точной связи давления и прогиба при больших числах Маха, однако исследования показывают, что она дает приемлемую точность уже при М> 1,7 [37].

В 50-х годах XX в. задача о флаттере пластины в поршневой постановке была в значительной степени исследована А. А. Мовчаном [38, 39]. Дальнейшее развитие задач о флаттере пластины нашло отражение в работах С. Д. Алгазина и И. А. Кийко [40-46]. Материалы этих работ составили основу одной из частей их совместной книги [1], в которой представлены аналитические и численные методы для исследования задач по панельному флаттеру пластин и пологих оболочек в рамках разработанных на сегодня математических моделей, рассмотрены новые постановки задач и приведены конкретные примеры.

В современной литературе встречается немало работ, в которых используется поршневая теория [47-60]. Среди работ, в которых обсуждается более строгий подход к определению давления аэродинамического взаимодействия следует, прежде всего, отметить статьи [61-65].

Из работ последнего времени по исследованию флаттера пластин в рамках непоршневой теории можно отметить монографию [1], в которой приведены новые постановки задач флаттера с использованием выражения для давления аэродинамического взаимодействия, существенно уточняющего формулу поршневой теории. Некоторые уточнения поршневой теории рассмотрены в работах [66], [67], [68] и [69].

Следует отметить упомянутую выше работу Б. А. Ершова [34] в которой находится потенциал возмущенных скоростей для случая произвольных прогибов профиля. При этом используется метод [70-74], отличающийся от метода Е. А. Красилыциковой. Найденный потенциал через интеграл Лагранжа-Коши определяет давление аэродинамического взаимодействия. И для определения прогиба профиля решается интегродифференциальное уравнение.

В работе [75] для давления аэродинамического взаимодействия используется модель, предложенная в [76] без учета интегральных слагаемых.

У В. В. Веденеева в [77] рассмотрен флаттер пластины, имеющей форму широкой полосы в сверхзвуковом потоке газа. Собственные формы колебаний пластины строились в виде суперпозиции бегущих по безграничной пластине волн вида удовлетворяющей граничным условиям на кромках, а давление газа считалось суперпозицией давлений действующих на эти волны. Здесь к - волновое число, со - частота возмущетериала пластины. В работе [78] для оценки ширины пластин, к которым применимы результаты [77] используется интегро-дифференциальное уравнение движения пластины, обтекаемой потоком газа. Также следует отметить работу [79] в которую вошли результаты [77] и [78].

Целью настоящей работы является постановка и решение задач, связанных с процессом колебания крыла в сверхзвуковом потоке идеального сжимаемого газа. А именно, исследование аэродинамической задачи и применение полученных в аэродинамике результатов для нахождения асимпто ния, М - число Маха, р, = р/ рт, где р - плотность газа, рт - плотность матического решения связанной аэроупругой задачи на малых и больших частотах.

Методы исследования. В работе применяются асимптотические методы, основанные на использовании малости относительной толщины профиля крыла и малости амплитуды его колебаний, а также основанные на рассмотрении задачи при малых и больших частотах. Для решения задач используются метод Римана, общее решение для телеграфного уравнения, общее решение для однородного волнового уравнения и формула для решения неоднородного волнового уравнения при нулевых граничных условиях. Также используются методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений.

Новизна работы. Найдено аналитическое решение аэродинамической задачи о колебании крыла в сверхзвуковом потоке газа с помощью метода Римана и общего решения телеграфного уравнения. Также найдено второе приближение стационарной части задачи. Получено асимптотическое решение аэроупругой задачи о колебании крыла в сверхзвуковом потоке газа при малых и больших частотах на основе результатов, найденных при решении аэродинамической задачи.

Достоверность полученных результатов обеспечивается корректным применением асимптотических методов, методов математической физики и теории дифференциальных уравнений.

Практическая и теоретическая ценность. Результаты исследования могут представлять интерес для специалистов, занимающихся проектированием летательных аппаратов, движущихся со сверхзвуковой скоростью. Полученные аналитические решения могут быть использованы для расчета скорости и давления на профиле крыла, совершающего произвольной формы колебания. Найденные формулы также позволяют рассчитать скорость и давление в области между профилем крыла и характеристикой. Еще могут представлять интерес найденные частоты, при которых возникают колебания определенной формы.

Апробация работы. Основные результаты, полученные в данной работе, были доложены на международных конференциях «Пятые Окуневские Чтения» (Санкт-Петербург, 2006) и «Шестые Окуневские Чтения» (Санкт-Петербург, 2008), на XXI Всероссийской конференции по аналитическим методам в газовой динамике «САМГАД-2006» (Санкт-Петербург, 2006), на Всероссийском семинаре по аэрогидродинамике, посвященном 90-летию со дня рождения Сергея Васильевича Валландера (Санкт- Петербург, 2008) и на 6-ой Европейской конференции по нелинейной динамике «ЕЖ)С 2008» (Санкт-Петербург, 2008).

Публикации. Основные результаты опубликованы в работах [81-88]. Работа [85] опубликована в рецензируемом научном журнале «Вестник Санкт-Петербургского Университета», входящем в перечень ВАК.

В работах [83, 84] соавтору принадлежит постановка аэродинамической задачи о колебании крыла в сверхзвуковом потоке газа. Также соавтором предложен метод Римана для решения задачи на профиле крыла. Диссертантом решена задача на профиле крыла методом, предложенным соавтором и произведен расчет амплитуды колебаний давления на профиле крыла при переходе через критическую частоту. Асимптотика, найденного решения и асимптотика колебаний давления на профиле крыла принадлежит обоим авторам.

В работе [88] соавтором показана возможность расщепления стационарной и нестационарной частей задачи на одном уровне точности, получено уравнение и граничные условия во втором приближении стационарной задачи. Диссертантом получено аналитическое решение стационарной задачи во втором приближении.

Вклад соавторов в подготовку докладов и материалов для конференций (см. [81, 82, 86]) такой же, как и в [83, 84, 88].

Структура работы. Работа состоит из двух частей, содержит введение, заключение и список литературы, состоящий из 94 наименований. В первой части исследуется аэродинамика процесса колебаний крыла. Известное уравнение для потенциала упрощается на основе порядков возмущенных величин, найденных по методу порядковых уравнений. Найден потенциал скоростей на профиле крыла методом Римана. Для решения задачи внутри потока, между характеристикой и профилем крыла используется общее решение. Рассмотрено второе приближение стационарной задачи. Найдено аэродинамическое давление и его асимптотика при малых и больших частотах.

Во второй части рассмотрена связанная аэроупругая задача. Модель крыла, так же как и в [34], представлена гибкой пластиной бесконечной по размаху и постоянной толщины. При постановке связанной задачи для определения давления аэродинамического взаимодействия используются результаты, полученные в первой части диссертации. Асимптотическое упрощение интегродифференциального уравнения происходит за счет рассмотрения задачи на разных интервалах частот.

Общий объем работы составляет 59 страниц текста и 10 иллюстраций. Основные результаты, выносимые на защиту.

• Аналитическое решение на профиле крыла аэродинамической задачи о колебании крыла в сверхзвуковом потоке газа, полученное методом Римана.

• Аналитическое решение в области между профилем крыла и характеристикой аэродинамической задачи о колебании крыла в сверхзвуковом потоке газа, найденное с помощью общего решения телеграфного уравнения.

• Второе приближение стационарной задачи.

• Выражение для аэродинамического давления, возникающего при колебании крыла в сверхзвуковом потоке и его асимптотика на профиле крыла при малых и больших частотах.

• Асимптотическое решение связанной аэроупругой задачи на малых и больших частотах.

Заключение диссертации по теме «Механика жидкости, газа и плазмы», Арсентьев, Тимофей Петрович

Заключение

В работе рассмотрена задача о колебании крыла в сверхзвуковом потоке газа. В первой части исследуется аэродинамика колебаний крыла. Показано как методом Римана, не прибегая к общему решению, может быть найдено решение на профиле крыла, поскольку для решения связанной аэроупругой задачи будет достаточно этого решения. Внутри потока, между характеристикой и профилем решение найдено, используя общее решение телеграфного уравнения. Показана также возможность расщепления стационарной и нестационарной частей задачи на одном уровне точности. Для стационарной задачи во втором приближении было получено неоднородное волновое уравнение с ненулевыми граничными условиями и найдено его аналитическое решение. С помощью интеграла Лагранжа найдено аэродинамическое давление и его асимптотика на профиле крыла при малых и больших частотах.

Во второй части работы рассмотрена связанная аэроупругая задача о колебании крыла в сверхзвуковом потоке газа. Для постановки задачи вводится модель несущей поверхности такая же как в [34] и используется модель потока, принятая в первой части. Опираясь на результаты первой части работы, из системы уравнений связанной аэроупругой задачи получено интегродиф-ференциальное уравнение и его асимптотическое решение на малых и больших частотах. Оказалось, что на малых частотах функция, характеризующая форму колебаний, не зависит от упругих свойств крыла. При больших частотах появились частотные уравнения, определяющие частоты, при которых существует ненулевое решение задачи.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Арсентьев, Тимофей Петрович, 2008 год

1. Алгазин С. Д., Кийко И. А. Флаттер пластин и оболочек. - М.: Наука, 2006. - 348 е.: ил.

2. Фын Я. Ц. Введение в теорию аэроупругости. М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1959. 523 с.

3. Lanchester F. W., Torsional Vibration of the Tail of an Aeroplane, Aeronaut. Research Com. R. & M. 276, part i (July 1916).

4. Blasius H., Über Schwingungserscheinungen an Einholmigen Unterflügeln. Z. Flugtech. u. Motorluftschif 16, 39—42 (1925).

5. Birnbaum W., Die tragende Wirbelfläche als Hilfsmittel zur Behandlung des ebenen Problems der Tragflügeltheorie, Z. angew Math. u. Mech. 3, 290— 297 (1923).

6. Birnbaum W., Das ebene Problem des schlagenden Flügels, Z. angew. Math, u. Mech. 4, 277—292 (1924).

7. Wagner H., Über die Entstehung des dynamischen Auftriebes von Traglügeln, Z. angew. Math, u Mech. 5,17—35 (1925).

8. Glauert H., The Accelerated Motion of a Cylindrical Body through a Fluid, Aeronaut. Research Com. R. & M. 1215 (1929).

9. Glauert H., The Force and Moment of an Oscillating Aerofoil, Aeronaut. Research Com. R. & M. 1242 (1929).

10. Küssner H. F., Scmingungen von Flugzeugflügeln, Luflfahrt-Forsch. 4, 2, 41-62 (1929).

11. Theodorsen, Th., General Theory of Aerodynamic Instability and the Mechanism of Flutter, NACA Rept. 496 (1934).

12. Frazer R. A., Duncan W. J., A Brief Survey of Wing Flutter with an Abstract of Design Recommendations, Aeronaut. Research Com. R. & M. 1155 (1928).

13. Cox, Roxbee H., A Statistical Method of Investigating the Relations between the Elastic Stiffness of Aeroplane Wings and Wing-Aileron Flutter, Aeronaut. Research Com. R. &M. 1505 (1932).

14. Kassner R., Fingado H., The Two-Dimensional Problem of Wing Vibration J. Roy. Aeronaut. Soc. 41, 921—944 (1937). Перевод из Luftfahrt-Forsch. 13, 374—387 (1936).

15. Майлс Дж. У. Потенциальная теория неустановившихся сверхзвуковых течений. М.: Физматгиз, 1963, 272 с.

16. Красилыцикова Е. А. ДАН СССР, т. VI, № 6,1947

17. Красилыцикова Е. А. ДАН СССР, т. VIII, № 4, 5, 6, 1947

18. Красилыцикова Е. А. ДАН СССР, т. XXII, № 1, 1950

19. Голубев В. В. Лекции по теории крыла. М., 1949. 480 с.

20. Келдыш М. В. Избранные труды. Механика. М., 1985. 567 с.

21. Красилыцикова Е. А. Тонкое крыло в сжимаемом потоке. М., 1986. 286 с.

22. Некрасов А. И. Теория крыла в нестационарном потоке. М., 1947. 258 с.

23. Поляхов Н. Н. Избранные труды. Аэрогидродинамика. СПб. 1997. 379 с.

24. Седов JI. И. Плоские задачи гидродинамики и аэродинамики. М. 1980. 448 с.

25. Кабальнов Ю. С., Уразаева JI. Ю. Математическое моделирование колебательных движений крыла с гибким профилем // Вестник Уфимского государственного авиационного технического университета, 7 (2006), 2, 36-43

26. Ляскин А. С. Шахов В. Г. Метод расчета аэродинамических характеристик деформируемого крыла // Известия высших учебных заведений. Авиационная техника, (2000), 4 (зима), 15-17

27. Вольмир А. С. Оболочки в потоке жидкости и газа (задачи аэроупругости), монография. М.: Главная редакция физико-математической литературы изд-ва «Наука», 1976.

28. Байрамов Ф. Д., Сафронов М. Ю. Устойчивость изгибно-крутильных колебаний упругого крыла с подвешенным к нему двигателем // Известия высших учебных заведений. Авиационная техника, (2001), 4 (зима), 2933

29. Байрамов Ф. Д., Сафронов М. Ю. Стабилизация изгибно-крутильных колебаний упругого крыла // Известия высших учебных заведений. Авиационная техника, (2002), 1 (весна), 20-23

30. Liu L., Dowell Е. Н. The secondary bifurcation of an aeroelastic airfoil motion: effect of high harmonics //Nonlinear Dyn. — 2004. 37, № 1. 31-49.

31. Thompson D. E., Strganac T. W. // Nonlinear Dyn. 2005. - 39, № 1-2. 159178.

32. Kwon O. J., Oh W. S., Jo K. W. Numerical simulation of fluid-structure interaction under two-dimensional BVI // J. Amer. Helicopt. Soc. 2004. 49, № 2. 212-217

33. Ершов Б. А. Переходные процессы в связанных задачах гидроаэроупру-гости. СПб.: Издательство С.-Петербургского университета, 2000. 164 с.

34. Ильюшин А. А., Закон плоских сечений в аэродинамике больших сверхзвуковых скоростей // Известия АН СССР. ПММ. 1956. Т. 20. Вып. 6. С. 733-755.

35. Ashley Н., Zartarian G. Piston theory — new aerodynamic tool for the aeroe-lastician // Journal of the Aeronautical Sciences. 1956. V. 23. №. 12. P. 11091118.

36. Болотин В. В. Неконсервативные задачи теории упругой устойчивости. М.; Физматгиз. 1961. 339 с.

37. Мовчан А. А. Устойчивость лопатки движущейся в газе // ПММ 1957. Т. 21, вып. 5. С. 700-706.

38. Мовчан А. А. Об устойчивости панели движущейся в газе // ПММ 1957. Т. 21, вып. 2. С. 231-243.

39. Алгазин С. Д., Кийко И. А. Численно-аналитическое исследование флаттера пластины произвольной формы в плане // прикл. математика и механика 1997. Т. 60, вып. 1. С. 171-174.

40. Алгазин С. Д., Кийко И. А. Исследование собственных значений оператора в задачах панельного флаттера // Изв. РАН МТТ 1999. № 1. С. 170176.

41. Алгазин С. Д., Кийко И. А. Вычислительный эксперимент в задаче о флаттере пластины произвольной формы в плане // Вест. МГУ. Сер. 1, Математика, механика. 1999. № 6. С. 62-64.

42. Алгазин С. Д., Кийко И. А. Численные алгоритмы классической матфи-зики. П1. Флаттер пластины произвольной формы в плане М., 2001. 27 с. (Препр. ИПмех РАН, № 684).

43. Алгазин С. Д., Кийко И. А. Новые постановки задач панельного флаттера // УП1 Всерос. Съезд по теорет. и прикл. механике, Пермь, 23-25 авг., 2001: Аннот. Докл Екатеринбург: Изд-во УрО РАН; Пермь: Ин-т механики сплош. сред УрО РАН 2001. С. 31.

44. Алгазин С. Д., Кийко И. А. О флаттере пластины // Докл. РАН. 2002. Т. 383, № 3. С. 343-345.

45. Алгазин С. Д., Кийко И. А. Численное исследование флаттера прямоугольной пластины // ЖПМТФ. 2003. Т. 44, № 4. С. 35-42.

46. Cheng G., Mei С., Chen R. R. Methodology for supersonic panel flutter analysis of thermal protection system seals // J. Aircraft. 2001. - 38, № 6. -P. 1025-1031

47. Moon S. H., Kim S. J. Active and passive suppressions of nonlinear panel flutter using finite element method // AIAA Journal : American Institute of Aeronautics and Astronautics. 2001. - 39, № 11. - P. 2042-2050.

48. Shiau Le-Chung, Wu Teng-Yuan Nonlinear flutter of laminated plates with in-plane force and transverse shear effects // Mech. Struct, and Mach. : An International Journal. 2001. - 29, № 1. - P. 121-142.

49. Udrescu R., Surace G. Enhanced aeroelastic analysis of panels under transitory hypersonic flow conditions I I AIAA Journal : American Institute of Aeronautics and Astronautics. 2000. - 38, № 5. - P. 755-761.

50. Koo Kyo-Nam, Hwang Woo-Seok Effects of hysteretic and aerodynamic damping on supersonic panel flutter of composite plates // J. Sound and Vibr.- 2004. 273, № 3. - P. 569-583.

51. Худаяров Б. А. Расчет на флаттер вязкоупругих трехслойных пластин // Вычисл. технол. 2004. - 9, № 3. - С. 104-107.

52. Pourtakdoust S. Н., Fazelzadeh S. A. Chaotic analysis of nonlinear viscoelas-tic panel flutter in supersonic flow // Nonlinear Dyn. 2003. - 32, № 4. - P. 387-404.

53. Potapov V. D. Stability of elastic and viscoelastic plates in a gas flow taking into account shear strains // J. Sound and Vibr. 2004. - 276, № 3-5. - P. 615626.

54. Худаяров Б. А. Численное исследование нелинейного флаттера вязкоупругих пластин // Прикл. мех. : Международный научный журнал. 2005.- 41, № 5. С. 91-96.

55. Худаяров Б. А. Алгоритмизация задачи о флаттере вязкоупругих трехслойных оболочек, обтекаемых сверхзвуковым потоком газа // Вычисл. технол. 2005. - 10, № 4. - С. 111-117.

56. Epureanu В. I., Tang L. S., Pai'doussis М. P. Coherent structures and their influence on the dynamics of aeroelastic panels // Int. J. Non-Linear Mech. -2004. 39, № 6. - P. 977-991.

57. Tadi M. Compensator design for a supersonic panel flutter // Comput. and Struct. : An International Journal. 2002. - 80, № 11. - P. 989-999.

58. Mortara S. A., Slater X, Beran P. Analysis of nonlinear aeroelastic panel response using proper orthogonal decomposition // Trans. ASME. J. Vibr. and Acoust. 2004. - 126, № 3. - P. 416-421.

59. Hirano Y., Todoroki A. Stacking-sequence optimization of composite delta wing to improve flutter limit using fractal branch and bound method // JSME Int. J. A. 2005. - 48, № 2. - P. 65-72.

60. Garric I.E., Rubinow S.E. Flutter and oscillating air-force calculations for an airfoil in a two-dimensional supersonic flow. NACA. 1946. Report № 846. 251. P

61. Nelson H.C., Cunningham HJ. Theoretical investigation of flutter of two-dimensional flat panels with one surface exposed to supersonic potential flow. NACA. 1956. Report № 1280. 24p.

62. Дун Мин-Дэ. Об устойчивости упругой пластинки при сверхзвуковом обтекании//Доклады АН СССР. 1958. Т. 120. № 4. С. 726-729.

63. Новичков Ю.Н. Флаттер пластин и оболочек //Механика деформируемого твердого тела. Итоги науки и техники. ВИНИТИ. Т. 11. М. 1978. С. 67-122.

64. Кудрявцев Б. Ю. Флаттер упругой пластины, находящейся в потоке газа, при умеренных сверхзвуковых скоростях // Изв. Тульск. гос. ун-та. Сер. Мат. Мех. Информат. 2005. - 11, № 3. - С. 99-102.

65. Белубекян В. М., Минасян М. М. О нелинейном флаттере пластин в сверхзвуковом потоке газа // Изв. Нац. АН Армении. Мех. 1999. - 52, № 4. - С. 38-45.

66. Cheng Guangfeng, Mei Chuh Finite element modal formulation for hypersonic panel flutter analysis with thermal effects // AIAA Journal. 2004. - 42, № 4. - C. 687-695.

67. Epureanu Bogdan I., Yin Shih-Hsun, Derriso Mark M. Attractor-based damage detection in a plate subjected to supersonic flows // (3 Conference on

68. Health Monitoring and Smart Nondestructive Evaluation of Structural and Biological Systems, San Diego, Calif., 15-17 March, 2004) Proc. SPIE. -2004. 5394. - C. 340-350.

69. Ершов Б. А. Связанная задача о колебании гибкого крыла в сжимаемом потоке // Веста. Ленингр. Ун-та. 1984. № 7 С. 91-93.

70. Ершов Б. А. Движение гибкого крыла со сверхзвуковой скоростью при действии случайного порыва //Вестн. Ленингр. Ун-та. Сер. 1. 1985. № 1. С. 59-63.

71. Ершов Б. А. Неустановившееся движение гибкого крыла бесконечного размаха в сжимаемой жидкости // Дифференц. уравнения. 1986. Т. 22. №9. С. 1646-1648.

72. Ершов Б. А. Неустановившееся движение крыла при действии вертикального порыва // Вестн. Ленингр. Ун-та. Сер. 1. 1986. Вып. 3. С. 100102.

73. Ершов Б. А. Движение механизированного крыла в сверхзвуковом потоке //Вестн. Ленингр. Ун-та. Сер. 1. 1986. Вып. 4. С. 14-16.

74. Показеев В. В. Флаттер упругой или вязкоупругой пластины в непоршневой теории колебаний // Проблемы машиностроения и автоматизации, № 1 2008. С. 77-80.

75. Кийко И. Л., Показеев В. В., Кадыров А. К постановке задач об аэроупругих колебаниях пластины // Известия ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика. Тула: ТулГУ. 2007. Т. 13. Вып. 2. С. 91-97.

76. Веденеев В. В. Флаттер пластины, имеющей форму широкой полосы, в сверхзвуковом потоке газа // Известия РАН. МЖГ. 2005. №5. С. 155-169.

77. Веденеев В.В. О высокочастотном флаттере пластины//Известия РАН. МЖГ. 2006. №2. С. 163-172.

78. Веденеев В.В. Колебания и устойчивость упругих пластин в сверхзвуковом потоке газа: Дис. канд. физ.-мат. наук: 01.02.05. М: РГБ, 2006.

79. Еругин Н. П. Функционально-инвариантные решения уравнений второго порядка с двумя независимыми переменными. // Ученые записки ЛГУ, сер. матем., в. 16,1949.

80. Арсентьев Т.П., Баранцев Р. Г. Колебания крыла в сверхзвуковом потоке газа // Международн. конфер. «Пятые Окуневские чтения». 26-30 июня 2006 г., Санкт-Петербург: Тезисы докладов / БГТУ СПб, 2006. с.36.

81. Арсентьев Т.П., Баранцев Р. Г. Решение задачи о колебании крыла в сверхзвуковом потоке газа // XXI Всероссийская конференции по аналитическим методам в газовой динамике «САМГАД-2006». 5-10 июля 2006 г., Санкт-Петербург, Тезисы докладов с. 12.

82. Арсентьев Т.П., Баранцев Р. Г. Решение задачи о колебании крыла в сверхзвуковом потоке газа. // Дальневосточный Математический Журнал. Том 7. № 1-2. Владивосток Дальнаука 2007. с.30-34.

83. Арсентьев Т.П., Баранцев Р. Г. Колебания крыла в сверхзвуковом потоке газа. // Международн. конфер. «Пятые Окуневские Чтения». 26-30 июня 2006 г., Санкт-Петербург: Материалы докладов Том II СПб.: БГТУ, 2007. с.26-31.

84. Арсентьев Т. П. Колебания крыла в сверхзвуковом потоке газа // Вестник Санкт-Петербургского Университета, Сер 1, вып. 4, 2007. с. 100-107.

85. Арсентьев Т.П., Асимптотика колебаний упругого крыла в сверхзвуковом потоке на малых и больших частотах. // Международн. конфер. «Шестые Окуневские Чтения». 23-27 июня 2008 г., Санкт-Петербург: Материалы докладов Том I СПб.: БГТУ, 2008. с.26-30.

86. Андрианов И. В., Баранцев Р. Г., Маневич J1 И. Асимптотическая математика и синергетика: путь к целостной простоте. М.: Едиториал УРСС, 2004, 304 с.

87. Баранцев Р. Г. Влияние критических частот на постановку задачи о колебании тонкого крыла в потоке газа 11 Дальневосточный математический журнал, 2004, т. 5, № 1, с. 226-230.

88. Кошляков Н. С. Глинер Э. Б. Смирнов М. М. Дифференциальные уравнения математической физики. М.: ГИФМЛ, 1962, с. 45-55.

89. Градштейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: ГИФМЛ, 1962,1100 с.

90. Смирнов В. И. Курс высшей математики. М.: Наука, 1974. Т. 2. Изд. 21, 655 с.

91. Валландер С. В. Лекции по гидроаэромеханике. Л.: Изд. ЛГУ, 1978, 296 с.V