Когерентные состояния для обобщенного осциллятора тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, доктор физико-математических наук Борзов, Вадим Васильевич

• Борзов, Вадим Васильевич
• доктор физико-математических наук
• 2007

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Борзов, Вадим Васильевич

1 Введение

2 Ортогональные полиномы и алгебры обобщенных осцилляторов. Симметричный случай

2.1 Симметричная схема построения систем подобных осциллятору

2.1.1 Каноническая система ортогональных нолииомов

2.1.2 Несимметричная матрица Якоби.

2.1.3 Ядро Пуассона.

2.1.4 Гамильтонов формализм.

2.1.5 Алгебра обобщенного осциллятора.

2.1.6 Обобщенная алгебра 2).

2.1.7 Когда оператор импульса является дифференцированием

2.2 Полиномы Эрмита.

2.3 Ультрасферические полиномы.

2.4 Реализация оператора уничтожения дифференциальным оператором

2.4.1 Постановка задачи.

2.4.2 Условия при которых матрица оператора А имеет ненулевые элементы только на верхней над диагонали

2.4.3 Условия при которых оператор уничтожения А может быть реализован как дифференциальный оператор

2.5 Обобщенные полиномы Эрмита.

2.6 Спектральная мера матрицы Якоби для неопределенной проблемы моментов

2.6.1 Вспомогательные сведения

2.6.2 Преобразование Стильтьеса m(z) спектральной меры

2.6.3 Конструкция спектральной меры ц^

2.7 q-Полиномы Эрмита.

2.7.1 Осциллятор Арика- Куна.

2.7.2 q-осциллятор, связанный с дискретными q-полиномами Эрмита второго рода.

3 Ортогональные полиномы и алгебры обобщенных осцилляторов. Общий случай

3.1 Несимметричная схема построения систем, подобных осциллятору

3.2 Полиномы Лагерра.

3.3 Полиномы Якоби.

3.4 Полиномы Мейкснера и Мейкснера

Поллачека.

3.4.1 Осциллятор Мейкснера.

3.4.2 Алгебра динамической симметрии и связь между гамильтонианами Н и Н

3.4.3 Полиномы Мсйкснсра- Поллачека.

3.4.4 Осциллятор Мейкснера - Поллачека.

3.5 Полиномы Шарлье

3.5.1 Осциллятор Шарлье

3.5.2 Связь с осциллятором Шарлье, предложенным в работах [20, 43].

3.5.3 Унитарная эквивалентность осцилляторов

Шарлье и Эрмита.

3.6 Полиномы Кравчука.

3.6.1 Конечномерный осциллятор.

3.6.2 Осциллятор Кравчука.

3.6.3 Вариант осциллятора Кравчука из [20].

3.6.4 Связь двух вариантов осциллятора Кравчука.

3.7 Связь между симметричной и несимметричной схемами.

4 Когерентные состояния для обобщенного осциллятора

4.1 Различные определения когерентных состояний для обобщенного осциллятора.

4.2 Когерентные состояния для обобщенных осцилляторов, связанных с классическими полиномами.

4.2.1 Когерентные состояния для гармонического осциллятора, связанного с полиномами Эрмита

4.2.2 Когерентные состояния для обобщенного осциллятора, связанного с полиномами Лагерра.

4.2.3 Когерентные состояния для обобщенного осциллятора, связанного с полиномами Лежандра.

4.2.4 Когерентные состояния Б ару та- Жирарделло для обобщенного осциллятора, связанного с полиномами Чебы-шева.

4.2.5 Когерентные состояния Барута- Жирарделло для обобщенного осциллятора, связанного с полиномами Геген-бауера

4.3 Когерентные состояния для обобщенных осцилляторов, связанных с q-пoлинoмaми Эрмита.

4.3.1 Когерентные состояния для q-пoлинoмoв

Эрмита- Роджерса Нп(х;д).

4.3.2 Когерентные состояния для дискретных q-пoлинoмoв Эрмита второго рода.

4.4 Когерентные состояния для обобщенных осцилляторов, связанных с полиномами Мсйкснсра и Мсйкснсра - Поллачска

4.4.1 Когерентные состояния Барута - Жирарделло для осциллятора Мейкснера.

4.4.2 Когерентные состояния типа Псрсломова для осциллятора Мейкснера.

4.4.3 Когерентные состояния Барута - Жирарделло для осциллятора Мейкснера - Поллачека.

4.5 Когерентные состояния для обобщенных осцилляторов, связанных с полиномами Шарлье.

4.5.1 Когерентные состояния типа Барута - Жирарделло для обобщенных осцилляторов, связанных с полиномами

Шарлье.

4.5.2 Когерентные состояния типа Псреломова для осциллятора Шарлье.

4.6 Когерентные состояния для обобщенного осциллятора в конечномерном гильбертовом пространстве.

4.7 Когерентные состояния для обобщенного осциллятора, связанного с полиномами Кравчука.

4.8 Неравенства на коэффициенты рекуррентных соотношений, следующие из соотношения неопределенностей.

4.8.1 Вывод неравенств в общем случае.

4.8.2 Неравенства (4.8.14) для конкретных осцилляторов

4.9 Вычисление параметра Манделя для обобщенного осциллятора.

4.9.1 Получение формулы для вычисления параметра Манделя обобщенного осциллятора

4.9.2 Вычисление параметра Манделя для осциллятора Гегенбауера.

4.9.3 Вычисление параметра Манделя для q-осциллятора

4.9.4 Вычисление параметра Манделя для осциллятора Мейкснера.

4.9.5 Вычисление параметра Манделя для осциллятора Шарлье.

5 Перспективы физических приложений

5.1 Мульти-бозонные системы.

5.2 Квантовые оптические состояния в конечномерном гильбертовом пространстве

5.3 Релятивистская модель осциллятора.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Когерентные состояния для обобщенного осциллятора»

Круг вопросов, затронутых в диссертации, связывает между собой три основные понятия: многочлены, ортогональные на вещественной оси; простейшие системы квантовой механики, такие как обычный гармонический осциллятор; и, наконец, состояния квантовой механики наиболее близкие к классическому случаю, которые называются когерентными состояниями. Множество публикаций, в которых изучаются и используются эти понятия, слишком велико. По этой причине мы ограничимся в этой главе кратким введением в интересующую нас область работ, наиболее близких к нашим исследованиям. При этом мы заранее приносим извинения тем авторам, чьи работы (не преднамеренно) не попали в наше поле зрения.

Системы ортогональных многочленов на вещественной оси являются одним из важнейших объектов математического анализа, начиная с середины девятнадцатого века. Свойства этих многочленов хорошо изучены [1] [10]. и они широко используются практически во всех разделах современной математической и теоретической физики. Наиболее часто используются в приложениях многочлены Эрмита, через которые, в частности, выражаются волновые функции простейшей квантовой системы - гармонического осциллятора. Основной тезис диссертации состоит в том, что в этом смысле многочлены Эрмита не являются исключением, так как каждой системе ортогональных многочленов на вещественной оси можно сопоставить систему подобную осциллятору [11]. Имея в виду возможные физические приложения, представляется интересным изучение свойств ортогональных многочленов в связи со свойствами соответствующих подобных осциллятору систем (которые далее мы будем называть обобщенными осцилляторами). В последние годы заметно вырос интерес к построению обобщенных осцилляторов, связанных с различными системами ортогональных многочленов. Имеется несколько подходов к построению таких систем. Один из них, развитый в работах [15]-[20], рассматривает в качестве исходного объекта конкретную модель осцилляционного типа, а многочлены возникают при нахождении волновых функций системы, точно так же как многочлены Эрмита возникают при квантовании стандартного гармонического осциллятора. В другом подходе (см. [37],[23],[24],[40]), связанном с изучением квантовых алгебр, ряд результатов о связи алгебр Ли с алгеброй Гейзенберга (аа+ — а+а — 1) легко переносятся на квантовые алгебры после введения q-деформированных осцилляторов (аа+ — да+а — 1). Полиномы q-Эpмитa появляются в этих моделях при исследовании представлений деформированных алгебр. Помимо этого, отметим работы [68], а также [67], в которых указана связь некоторых систем бозонов с семействами ортогональных многочленов.

В настоящей работе предложен не стандартный подход к изучению связи между ортогональными полиномами и алгебрами некоторых осцилляторов. В отличие от упомянутых выше стандартных подходов мы строим соответствующий осциллятор и его гамильтониан по заданному набору собственных функций гамильтониана (в то время как при стандартном подходе алгебра самого осциллятора и его оператор энергии известны, а следует искать систему собственных функций). Заметим, что понятие "обоб-щенного"осциллятора возникает как естественное обобщение широко используемого в современной литературе понятия "деформированный"осциллятор ([23],[24],[40]). Понятие "деформированного"осциллятора трактуется довольно тпироко в упомянутых выше работах. А именно, под алгеброй "дефор-мированного"осциллятора понимается любая свободная алгебра, генераторы которой удовлетворяют некоторым перестановочным соотношениям с одним или несколькими "дсформационными"парамстрами. Единственное ограничение состоит в том, чтобы при предельном переходе параметров (к 0 или к 1) "деформированная"алгебра переходила в алгебру Гейзенберга (для обычного гармонического осциллятора). Определяемое нами в настоящей работе понятие "обобщенного"осциллятора сохраняет основные черты алгебры деформированного"осциллятора. Однако, в отличие от "деформированных "осцилляторов здесь отсутствует связь с алгеброй обычного гармонического осциллятора при предельных значениях параметров деформации. Остановимся ниже на некоторых основных аналогиях, которые дают нам право использовать термин "обобщенный"осциллятор.

Рассматривается гильбертово пространство, в котором исследуемая система полиномов образует ортонормированньтй базис. Трехчленные рекуррентные соотношения для этих полиномов определяют матрицу Якоби оператора " координаты "X. С помощью ядра Пуассона для данной системы полиномов определяется обобщенное преобразование Фурье, которое позволяет ввести оператор "импульса" Р, причем справедлива обычная связь между операторами "координаты"X и "импульса"Р. Более того, это преобразование оставляет инвариантным оператор энергии (гамильтониан) Н = X2 + Р2. Оператор Н имеет простой дискретный спектр, причем собственными функциями оператора Н являются исходные ортогональные полиномы. Собственные значения оператора // (уровни энергии) вычисляются для всех иссле/^емых систем ортогональных полиномов. За исключением гармонического осциллятора уровни энергии не эквидистантны . Отметим, что известны выражения ядер Пуассона для всех ортогональных полиномов схемы Аски- Вилсона ([5],[10]) через специальные функции математической физики Для классических ортогональных полиномов мы отсылаем читателя к [12]- [14]. Будем рассматривать заданное гильбертово пространство как реализацию пространства Фока. Лестничные операторы (уничтожения) а~ и (рождения) а+ строятся обычным образом из самосопряженных операторов " координаты "X и "импульса"Р. Кроме них, определяется оператор числа N в этом пространстве Фока. Операторы уничтожения а~ и рождения а+, а также оператор числа N удовлетворяют перестановочным соотношениям и служат генераторами некоторой алгебры, которую естественно называть алгеброй "обобщенного "осциллятора. Эта алгебра возникает литпь в том случае, когда матрица Якоби оператора икоординаты"X (в представлении чисел заполнения) имеет нулевую диагональ. Соответствующую систему ортогональных полиномов естественно называть "осцилляционной"системой. В случае ненулевой диагонали матрицы Якоби соответствующую систему ортогональных полиномов разумно называть системой "рождения-гибели". Заметим, что и в этом случае мы можем построить алгебру некоторого "обобщенного"осциллятора, но гамильтониан имеет стандартный вид относительно новых операторов "координаты-импульса которые получаются из первоначальных с помощью "поворота". Если промежуток, на котором рассматривается система ортогональных полиномов, и мера, относительно которой они ортогональны, обладают симметрией относительно начала координат, то мьт будем говорить о симметричной схеме. В противном случае рассматриваемая схема называется несимметричной.

Теперь перейдем к другому понятию, которое наиболее часто используется в настоящей работе, а именно, к когерентным состояниям. После возникновения квантовой механики было естественно ожидать появления состояний, которые обеспечивали бы тесную связь между старым (классическим) и новым (квантовым) формализмами. Такие состояния, как нерасплывающи-еся волновые пакеты с квазиклассическим поведением, ввел в работе ([73]) Э.Шредингер. Позднее они получили название когерентных состояний. Особую популярность когерентные состояния приобрели после появления работ Р.Глаубера ([74],[75]), Дж.Клаудера ([76]) и Э.Сударшана ([77]), которые применили эти состояния к описанию коллективных явлений в квантовой оптике ([69]). В последующие 40 лет появилось огромное число публикаций, посвященных изучению, использованию и многочисленным обобщениям когерентных состояний.

Обширная библиография (вплоть до 2000г.) имеется в обзоре [78]. Только за последнее время появился ряд интересных работ, посвященных обобщению векторных когерентных состояний на случай матричного индекса [79]-[82]. ги-пергсометрических [83] и комбинаторных [84] когерентных состояний, развитию их математических [85. 86] и физических [87, 88] приложений, в том числе к описанию моделей с точно решаемыми потенциалами [89], суперсимметричной конформной теории поля [90] и функциональному интегралу [91]. Введённые для бозонного осциллятора (группа Гейзенберга) [73] (и пере-открытые в [92]-[95] в связи с созданием квантовой оптики), когерентные состояния в настоящее время определены для широкого класса квантовых физических систем (в том числе и квантовополевых), а также для систем, связанных с другими группами (в том числе и с супергруппами). Когерентные состояния могут быть определены для квантовых групп, а также с использованием различных обобщений (деформаций) экспоненты.

В настоящее время известно несколько основных вариантов определения когерентных состояний:

1) как собственных состояний оператора уничтожения: а|г) = 21 г), геС(в этом случае их обычно называют когерентными состояниями типа Варута - Жирарделло. поскольку в работе [96] это определение было перенесено на случай некомпактных групп):

2) как результата действия унитарного оператора сдвига на выделенный вектор пространства состояний (обычно вакуум Фока |0)): \г) = 0[г)|0) [когерентные состояния типа, Переломова, активно изучавшего эти состояния в исследованиях, суммированных в [52] );

3) как состояний, минимизирующих соотношение неопределенности Гей-зеиберга. (или Шредипгера - Робертсона);

4) как состояний, удовлетворяющих естественным условиям - нормируемость, непрерывность по индексу, (сверх)полнота и связанное с ней существование разложения единицы, эволюционная стабильность [когерентны,е состояния типа Клаудера - Газо [51, 62]).

Все эти определения в случае бозонного осциллятора порождают одно и тоже семейство когерентных состояний, однако это не так в общем случае.

Как известно, стандартные когерентные состояния одного бозонного осциллятора определяются соотношением

Связанные с этим определением обобщения когерентных состояний (извест

В[х) = ехр[га+ — га)

1.0.1) где Л/" - нормирующий множитель, - ортонормированный базис в гильбертовом пространстве (рассматриваемом как базис Фока и пространство Фока, соответственно), обобщенный факториал по индексу = Р\ ■ р2 ■ . • рк, при условии ¿Од! — 1- Возможный выбор последовательности о положительных чисел ограничен требованием (сверх)полноты семейства когерентных состояний где I - единичный оператор в а мера является решением проблемы моментов [21], связанной с последовательностью (см- также [25, 63]).

Различные семейства обобщенных когерентных состояний различаются различным выбором этих последовательностей. Известно, что при условии расходимости ряда указанной последовательности (а значит соответствующему семейству обобщенных когерентных состояний) можно сопоставить семейство многочленов, ортонормированных по некоторой однозначно определяемой мере на вемногочлены определяют подобную осциллятору систему, для которой они играют ту же роль, что и полиномы Эрмита в случае стандартного гармонического осциллятора. Спектр гамильтониана этой системы определяется коэффициентами {рк}^о рекуррентных соотношений для указанного семейства многочленов. Отметим, что специфический выбор в качестве базиса Фока семейства ортогональных (на вещественной оси) многочленов, связанных с матрицей Якоби (т.е. удовлетворяющих трехчленным рекуррентным соотношениям), расширяет круг прикладных задач квантовой оптики, где успешно применяются когерентные состояния [97, 98, 69, 78, 67]. Использование производящих функций для известных полиномов позволяет явно выразить когерентные состояния через стандартные специальные функции и. решая соответствующую классическую проблему моментов, доказать полноту системы когерентных состояний. Возможно также, что интерпретация некоторых из возникающих в этом подходе дифференциальных и разностных уравнений,

1.0.3) щественной оси, и образующих базис Фока {е&}о° в = 1/2(М;ё^). Эти как уравнений Шредингера для системы "обобщенных осцилляторов укажет пути решения определенных асимптотических и спектральных задач, хорошо изученных для обычного уравнения Шредингера.

Такая мотивировка лежит в основе нового подхода к построению обобщенных когерентных состояний, развитого в работах автора [99]-[103], [35], [36]. [104]-[111]. Этот новый подход к построению когерентных состояний связан с конструкцией, предложенной в работе [11], алгебр некоторых "обобщенных "осцилляторов. порождаемых произвольными системами ортонормиро-ванных полиномов. В конкретных ситуациях основные осложнения связаны с необходимостью решения соответствующей классической проблемы моментов и выражением когерентных состояний через стандартные специальные функции. Описанная схема построения семейств когерентных состояний реализована в работах автора [99]- [103] для когерентных состояния типа Барута - Жирарделло и Клаудера - Газо, связанных с классическими полиномами непрерывного аргумента, т.е. полипомами Эрмита, Лагерра, Гегеибауера. Лежандра и Чебышева. Развитый подход был распространен в [35. 36] на случай д-полиномов Эрмита и в работах [105]-[111] на случай классических многочленов дискретного аргумента,т.е. полиномов Мейкснера, Шарлье и Кравчука.

Опишем вкратце содержание работы.

Вторая глава посвящена построению алгебр обобщенных осцилляторов для полиномов, ортогональных на вещественной оси относительно положительной борелевской меры, имеющей все конечные моменты и симметричной относительно начала координат.

В первом параграфе главы 2 дана общая схема конструкции алгебры обобщенного осциллятора для симметричной меры. Рассматривается положительная борелевская мера ¡л на вещественной оси Я1, для которой конечны все моменты

00 хпц{(1х), п = 0,1, — (1.0.4) оо причем справедливы соотношения

А = 0,1,. (1.0.5)

Будем называть такую меру ¡л симметричной вероятностной мерой и обозначим через 'Кц — Ь2(Я1\ ¡л((1х)) - гильбертово пространство квадратично суммируемых функций по мере /¿. По заданной последовательности моментов {/Х2п}^=о единственным образом определяется положительная последовательность Ьп> 0, п — 0,1,. . Матрица Якоби

У которой ОТЛИЧНЫ ОТ нуля ТОЛЬКО положительные элементы ¿¿,¿+1 = &г+1,г — Ьг, I — 0,1,., задает некоторую "каноническую"систему вещественных полиномов с помощью следующих рекуррентных соотношений : хфп{х) = Ьпфп+1(х) + Ъп-хфп-^х), п> О, = 0, (1.0.6) ф0(х) = 1. (1.0.7)

Тогда система {фп{%)}™= о ортонормирована относительно меры ¡1 и полна в гильбертовом пространстве !К^ = Ь2(Я1] /х(с£ж)) только в том случае, когда мера ц является N - экстремальным решением проблемы моментов для матрицы J. Вводится ядро Пуассона сю • Фп{х) ■ фп(у). (1.0.8) п=О в тензорном произведении <Е> 'К^ двух копий пространства 3~С Ь2(Я1-,^х)), = ^(Д1;^)). (1.0.9)

Доказывается, что при Щ — 1 интегральный оператор К¿: "К^ I—> IК^

00 х)Я,(х,у;г)^х), (1.0.10) оо

- унитарный оператор. Операторы Р± — К^ называются прямым и обратным обобщенными преобразованиями Фурье.

Далее вводятся квантовомеханические переменные: операторы "координаты "импульса" и "гамильтониан".

Соотношения (1.0.6) определяют действие оператора "координаты" Хц на базисные векторы {фп{х)}^й в пространстве Оператор импульса" Рд определяется следующим образом: К^КЬ. (1.0.11)

Наконец, на плотном в множестве В(Х11) П определяется оператор энергии или "гамильтониан"

ВД = №)2 + (ВД)2- (1-0-12)

Одним из основных результатов второй главы является следующая (теорема 2.1.12).

Теорема 1.0.1. Пусть каноническая система {<£п(£)}п1о является полной орт,опормирова,нной системой в прост,ра,нет,ее Эт,а система является системой собственных функций самосопряженного оператора Нц(Ь) в определенного как замыкание оператора (4-2.12) в том и только в т,ом случае, когда £ = =рг. При этом собственные значения оператора Нц(-рг) равны:

А0 = 2 Ъ% К = + п> 1. (1.0.13)

Операторы Р= Р^ = Рц{—г) и Н^ — Н^ = ЯД—г) в пространстве 'К^ называются в дальнейшем операторами "импульса" и "гамильтонианом" ортонормированной системы {фп(х)}^. Далее пространство рассматривается как реализация пространства Фока и с помощью построенных ранее операторов Х^ Рц на плотном в "К^ множестве О(Х^) р| П(Р/л) определяются лестничные операторы рождения а^ и уничтожения а~ по формулам: a; = -j=(Xfl + iPtl), а~ — {Х^ — 1Рц). (1.0.14)

Операторы (1.0.14) на векторы базиса пространства действуют по формулам (6 1 = 0) : а+фп(х) = \/2Ьпфп+1(х), а~фп(х) = л/2Ьп-1^»-1(ж), п > 0. (1.0.15) и для них справедливы следующие равенства на £>(#„). аГ = ам> (1.0.16)

Далее вводится оператор "числа частиц" Л^, который действует обычным образом на базисные векторы:

М^фп(х) = пфп(х), п > 0. (1.0.17) и оператор-функция от оператора Л^ в пространстве действие которой на векторы базиса {ф^х)}^0 описывается следующими формулами:

В{Ы1Х)фп{х)^Ь11фп{х), п> 0, Ь—1 — 0. (1.0.18)

Одним из основных результатов второй главы является следующая (теорема 2.1.24).

Теорема 1.0.2. Для операторов определенных (1.0.Ц), (1.0.18) в пространстве Фока О-С^ 'имеют место соотношения: а;, а+] = 2(В№ + /,) - Б№)), [Л^] = ±а% (1.0.19)

Определение 1.0.3. Алгебру, порожденную генераторами а^, Лг/Х! которые удовлетворяют перестановочным соотношениям (1.0.19), мы будем называть в дальнейшем алгеброй обобщенного осциллятора, соответствующего орто-нормированной системе {Фп(х)}^0, и обозначать через ЛИ,

Теорема 1.0.4. Центр алгебры Л^ определяется элементом,

Определенная выше алгебра обобщенного осциллятора имеет нетривиальный центр. Поэтому для нес существует множество неэквивалентных неприводимых представлений, в отличие от алгебры Гейзенберга, где в силу теоремы единственности фон Нейманна имеется (с точностью до унитарной эквивалентности) только представление Фока. Мы будем рассматривать далее под-алгебру алгебры Л^, определяемую дополнительным соотношением С — 0. Поскольку эта под-алгебра имеет (с точностью до унитарной эквивалентности ) только представление Фока, естественно называть ее обобщенной алгеброй Гейзенберга.

В оставшихся параграфах второй главы общая схема применяется к построению обобщенных осцилляторов для наиболее известных систем ортогональных полиномов.

Во втором параграфе рассмотрена система полиномов Эрмита, которые порождают стандартный квантовомеханический осциллятор. Заметим, что рассмотрение именно этого примера привело к созданию общей схемы. В конце первого параграфа доказано, что если потребовать, чтобы оператор импульса бьтл дифференцированием (т.е. выполнялось правило Лейбница для произведения), то соответствующий осциллятор унитарно эквивалентен обычному квантовомеханическому осциллятору.

В третьем параграфе построен обобщенный осциллятор, отвечающий системе ультрасферических полиномов. Получена явная формула для оператора импульса

Р,а = + (^ - (2-1))1,аГ1((М,а + (а + 3(2-1))/,а)-1 + (а + (2-1))1,а)А - + {а + 3(2~1))1,а)-1Х^а ~(а + ( 2-1))ХМа), (1.0.20) где

1(1а - тождественный оператор и А^ - оператор "числа частиц" в пространстве 3~Са. Тогда можно написать явную формулу и для гамильтониана На — соответствующего обобщенного осциллятора

На = (Х,У + (Р,а)2. (1.0.21)

Вычислены собственные значения (уровни энергии) для этого (ограниченного) гамильтониана

2 х п(п + 2а + 1) + (а-2-1)

Ло = о—= 7—,-■ ?/о-т/—I-лГт' 71 > !-0-22

2а+ 3 (п +а + 3(2 1)){п + а — (2 х))

Отметим, что гамильтониан не является дифференциальным оператором конечного порядка. Ситуацию улучшает следующая (теорема 2.3.2. которая является одним из основных результатов третьего параграфа)

Теорема 1.0.5. Уравнение Нафп(х) = \пфп(х), п > 0, где собственные значения Хп оператора, На — (ХМа)2 + {Рца)2 определяются соотношением (1.0.22), эквивалент,но из в ест,ному дифференциальному уравнению для ультрасферических полиномов ([1]): п(п + 2а + 1)(1 - х2)а+1Р^а)(х) = 0, (1.0.23) где (п > 0).

Замечание 1.0.6. Важнейшими частными случаями ультрасферических полиномов являются полиномы Лежандра (ск = 0) и Чебытттева (а = ±2-1). Поэтому все результаты этого параграфа сохраняют силу и для соответствующих обобщенных осцилляторов.

В четвертом параграфе дается ответ на вопрос: когда оператор уничтожения (а, следовательно, также операторы импульса и гамильтониан) можно представить в виде некоторого дифференциального или разностного оператора? Получены достаточные условия на коэффициенты рекуррентных соотношений для полиномов, при которых это так.

В пятом параграфе рассматриваются обобщенные полиномы Эрмита (полипомы Эрмита - Чихара [4]) в качестве примера применения результатов предыдущего параграфа (см. для сравнения [68]).

В шестом параграфе получены существенные уточнения общих результатов ([21]) относительно спектральной меры ц симметричной матрицы Якоби 7 в случае неопределенной проблемы моментов.

В оставшихся двух параграфах второй главы рассматриваются обобщенные осцилляторы для так называемых деформированных полиномов Эрмита (или q-пoлинoмoв Эрмита).

В седьмом параграфе с точки зрения предлагаемого подхода исследуются непрерывные (^-полиномы Эрмита; что в результате дает известный осциллятор Арика- Куна. Отметим, что полученные результаты согласуются с известными ранее (см.[37]). Кроме того, впервые рассмотрен обобщенный осциллятор для дискретных q-пoлинoмoв Эрмита. В частности, используя формулы (2.6.85) и (2.6.89) шестого параграфа, получены новые результаты относительно меры ортогональности для таких полиномов.

Третья глава посвящена построению алгебр обобщенных осцилляторов для полиномов, ортогональных на вещественной оси относительно борелев-ской положительной меры /л. имеющей все конечные моменты (условие симметричности (1.0.5) при этом не выполняется).

По заданной последовательности моментов {/.¿п}^10 единственным образом определяются две вещественные последовательности {ап)о° как решения некоторой алгебраической системы уравнений. Далее определяется каноническая система полиномов с помощью рекуррентных соотношений хфп(х) = Ьпфп+1(х) + апфп(х) + Ьп-1'фп-1{х), п > 0, 6-1=0, (1.0.24) где фо{х) = 1. (1.0.25)

Система ортонормирована относительно меры ¡л и полна в гильбертовом пространстве IК^ — 1/2(Рх; р1(с1х)) только в том случае, когда мера /х является N - экстремальным решением проблемы моментов для матрицы J, связанной с рекуррентными соотношениями (1.0.24).

Как и прежде, можно определить оператор импульса Рм, который двойственен оператору координаты Хц относительно базиса в 0-С^, и симметричный гамильтониан, Н^), который не будет самосопряженным оператором. Более того, система {?/;п(.х)}^0 не является системой собственных функций оператора ни при каком значении t. Тем не менее, можно исправить ситуацию, используя новые операторы координаты и импульса. Введем новые операторы координаты Хм и импульса Р;, следующим образом: - РД (1.0.26)

Рм = {-г)1т{Х, - Рм). (1.0.27)

Теперь мы определим оператор энергии: = + Р". (1.0.28)

Одним из основных результатов третьей главы является следующая (теорема 3.1.5).

Теорема 1.0.7. Оператор Нопределенный с помощью (1.0.28), есть самосопряженный оператор в пространстве с ортонормальным базисом

Более того, система {^п(ж)КИо является системой собственных функций оператора Нц и собственные значения эт,ого оператора равны,:

А0 = 2 Ь1 Лп = 2Й1 + Й), «>1- (^О-29)

Определим лестничные операторы:

Ц = ^ + Щ> ^ = 71 - '

Если мы заменим а^ I—> атогда формулы (1.0.15) справедливы. Более того, теорема 1.0.2 также верна.

Замечание 1.0.8. Следует подчеркнуть, что в общем случае нам тоже удалось построить некоторую подобную осциллятору систему. Однако теперь оператор "координаты" не является оператором умножения на независимую переменную.

Основная цель остальных параграфов третьей главы - применение общей схемы к построению обобщенных осцилляторов для наиболее хорошо известных систем ортогональных полиномов.

В следующих двух параграфах рассмотрены классические полипомы иепре-рывного аргумента, а именно, полиномы Лагерра и Якоби.

Во втором параграфе с точки зрения нашего подхода построен обобщенный осциллятор для полиномов Лагерра. Эти результаты согласуются с полученными другими методами в ([53]).

В третьем параграфе впервые рассмотрен обобщенный осциллятор для общих полиномов Якоби Рпа,^\х), аф (3. Полученные новые результаты являются обобщением соответствующих результатов параграфа три из второй главы диссертации.

Оставшиеся три параграфа третьей главы посвящены рассмотрению классических полиномов дискретной переменной: полиномы Мейкснера. Шарлье и Кравчука. В четвертом параграфе построен обобщенный осциллятор для полиномов Мейкснера. По формулам (1.0.26),(1.0.27), (1.0.28) определяются обобщенная координата X, обобщенный импульс Р и квадратичный гамильтониан

ЯМ = Х2 + Р2. (1.0.31)

Вычислен спектр этого гамильтониана

Л0 = 26о2 = 2/?

А,. = 2 (/е, + 6,:) = (п2 + п/5 + |/3), » > 1. (1.0.32)

Получена формула нм = ((Нм)2 - (Км)2), (1.0.33) связывающая наш гамильтониан IIм с гамильтонианом IIм для модели обобщенного осциллятора Мейкснера, в другом подходе (см. работу [20]). Для операторов Нм и Км даны явные формулы.

В пятом параграфе построен обобщенный осциллятор для полиномов Шарльс. Согласно формулам(1.0.26), (1.0.27), (1.0.28) определяются обобщенная координата X, обобщенный импульс Р и квадратичный гамильтониан

Я, ^ (* + Р2) , (1.0.34)

Вычислен спектр этого гамильтониана

НрСп(х;») = ХпС^х; ц), = п + п = 0,1,--- . (1.0.35)

Получена явная формула для гамильтониана + \ + (1.0.36)

Установлена связь между обобщенным осциллятором Шарлье и другим вариантом осциллятора Шарлье, обсуждаемом в работе ([20]). Доказана унитарная эквивалентность осцилляторов Шарлье и Эрмита.

Наконец, в последнем шестом параграфе построен обобщенный осциллятор для полиномов Кравчука, пространство состояний для которого ЛГ-1-1-мерно.

Согласно формулам (1.0.26), (1.0.27), (1.0.28) определяются обобщенная координата X, обобщенный импульс Р и квадратичный гамильтониан Нк

Хк : = Ке{Х - Р), Рк := -йт(Х - Р), (1.0.37)

1 (. 4р{1 - р)

Нк : = , ч + Щ . (1.0.38)

Операторы рождения и уничтожения := Щ^Т) &+1рк)':= ^щщ - ^' {1ЛЩ удовлетворяют перестановочным соотношениям a-K,a+K} = (N-l-2Af), (1.0.40) где J\f - оператор, нумерующий базисные элементы. Вычислен спектр гамильтониана Нк

Лn = N(n + h-n2, (0 < n < N), (1.0.41) л так что o = \n = \n. (1.0.42)

Получена формула, связывающая наш гамильтониан Нк с гамильтонианом HAS,

Нк = -(НАЗ ~ \lf + NHAS, (1.0.43) для модели обобщенного осциллятора Кравчука в другом подходе (см.работу [20]). Для операторов Нк и Has приведены явные формулы.

Четвертая глава посвящена исследованию различных определений когерентных состояний для обобщенного осциллятора, а также построению когерентных состояний для всех рассмотренных в первых главах обобщенных осцилляторов. Основную трудность при этом представляет доказательство соотношения (нере)полноты соответствующих когерентных состояний, т.е. построение конкретной меры, присутствующей в разложении единицы.

В первом параграфе четвертой главы даны определения когерентных состояний, обобщающие соответствующие определения для гармонического осциллятора (которые в общем случае уже не являются эквивалентными). Основная цель первого параграфа - выяснить все возможные связи между различными определениями.

Определение 1.0.9. Когерентными состояниями типа Барута - Жи-рарделло называют собственные состояния оператора уничтожения. Для определенного выше обобщенного осциллятора имеем

00 п a~\z) = z\z), \z) := N~l'\\z\2) ]Г Z In). (1.0.44) п=0 W2bn-i)]

Нормирующий множитель М{\г\2) равен лг(И2) = <ф) =

00 1 ^ 12п

1.0.45)

Определение 1.0.10. Когерентные состояния минимизируют соотношение неопределенности, если неравенство Шредингера- Робертсона а(Х\Ла(Р\Л> для них переходит в равенство. При этом а'

Х;/)Н/|Х2|/>"</|*|/>5 и

Ар-,л = {1\р2\л-(тл2

1.0.46)

1.0.47)

1.0.48)

Одним из основных результатов первого параграфа четвертой главы является следующая (теорема 4.1.3).

Теорема 1.0.11. Для любого обобщенного осциллят,ора когерентные состояния типа Барута - Жирарделло минимизируют соотношение неопределенности. Это означает

1.0.49)

Во втором параграфе четвертой главы построены с точки зрения нашего подхода когерентные состояния для классических полиномов непрерывной переменной. Полученные результаты для осциллятора Лагерра согласуются с аналогичными результатами полученными другими методами в ([53]).

Получен явный вид когерентных состояний типа Барута-Жирарделло для осциллятора Гегенбауера И 1 а 1 3 а | 5 2г2(ж2—1) \

З^1 V («+1)

1 - Ж2Л/2)('

2Г1 V 2а+1

Следующая задача состоит в построении меры

1.0.50)

2Ы

1.0.51) в разложении единицы

1.0.52) л где &2г = (1(Ке2;)<1(1т^).

Получено решение этой задачи, т.е. мера фл в разложении единицы (1.0.52) равна

Х9Р1

2И2 х X

0гГ(а +1) 2Г1 V 2а+1 { [(I - (4|г|2 - 1) - 2(| + а)\г\^2Р^1) (ф|2 - 1)" ч и 2 2

2^(2|^|2-1)}а2^. (1.0.53)

Вычислено перекрытие когерентных состояний

21Ы =

2" 1 а+|, сН-§ 2а+1

22:^2

2 г 1

2а+1

2Ы2 Ь^ а+5, а+§ 2а+1

1.0.54)

2Ы

В третьем параграфе построены когерентные состояния для деформированных полиномов q-Эpмитa.

Когерентные состояния для осциллятора Арика- Куна имеют вид

1*> =

Разложение единицы имеет вид

Ч((1 - ф2)

1.0.55) I 2)=/, = И^(|^|2)с1(Ке^)с1(1т^), (1.0.56) где оо к / / я.

1.0.57)

Свойство полноты этих когерентных состояний было получено ранее с другой точки зрения (в терминах интеграла Джексона), например, см. ([59]).

Получены новые когерентные состояния Барута- Жирарделло для q-осциллятора. ассоциированного с дискретными q-пoлинoмaми Эрмита 1гп(х\ д)

1*> =

1у/д(1-д) г; д)ж «к I

9; -гл/^1 - Я)2

0Ф1

1.0.58) щ\{1 - ч)\А

Для меры в разложении единицы (соотношении (сверх)полноты) получена следующая формула жд'1 д-, {1-д)\г\2^ х

ОО /

Ен2* Г к=0 ^ Ч пЗ

Тем самым доказана полнота построенной системы когерентных состояний.

В четвертом параграфе построены когерентные состояния типа Барута- Жирарделло и Переломова для осцилляторов Мейкснера и Мейкснера-Поллачска.

Замечание 1.0.12. 1. Аргумент С когерентных состояний типа Переломова принадлежит единичному кругу на комплексной плоскости < 1, в то время как для когерентных состояний типа Барута- Жирарделло 2 € С.

2. Полученные в диссертации формулы для когерентных состояний осциллятора Мейкснера согласуются с соответствующими выражениями из работы ([20]). если учесть, что в работе ([20]) рассматривались не нормированные когерентные состояния.

Получены также когерентные состояния Барута - Жирарделло для осциллятора Мейкснера - Поллачека

Ы" 2

2 = е ~{г 1^1 [

2г/

- Иг и их перекрытие

2) = 7^-1(2^^) [/2,-1(21^1) /з^ЫГ1 •

1.0.59)

1.0.60)

В пятом параграфе построены когерентные состояния для осциллятора Шар лье

1, ,9 г- / \ + ^ . (1.0.61) и мера в соотношении полноты

1^(Ы2) =Д(122, (1.0.62)

7Г совпадает с мерой для когерентных состояний обычного квантовомехани-ческого осциллятора.

Доказано, что (как и в случае обычного квантовомеханического осциллятора) для осциллятора Шарлье все четыре определения порождают одно и то же семейство когерентных состояний, т.е. они эквивалентны.

Наконец, в шестом параграфе определены когерентные состояния для осциллятора Кравчука. Этот осциллятор является типичным примером обобщенного осциллятора в конечномерном гильбертовом пространстве.

В диссертационной работе, в рамках нашего подхода, обсуждается построение обобщенного осциллятора в конечномерном пространстве Фока и его когерентных состояний так чтобы в пределе, когда размерность пространства стремится к бесконечности, воспроизводились бы когерентные состояния соответствующего (обобщенного) осциллятора с бесконечномерным пространством состояний. Поскольку в случае конечномерного пространства оператор уничтожения имеет только один собственный вектор с нулевым собственным значением (вакуум), то стандартное определение когерентных состояний типа Бару та - Жирар делло, как собственных состояний оператора уничтожения, в данном случае неприменимо. Существует несколько вариантов определения когерентных состояний для конечномерного аналога обычного бозонного осциллятора (спиновые, фазовые и т.д. [45]).

В работе предложено новое определение когерентных состояний для конечномерного аналога обычного бозонного осциллятора, которое переносит на общий случай конструкцию, используемую в [46], [47] для стандартного конечномерного осциллятора. Полученные в результате когерентные состояния можно рассматривать как когерентные состояния Клаудера - Газо [51].

Когерентные состояния в конечномерном пространстве ТС^ определяются соотношением

N Л^1 N I 1 / N

Ф1(у/2х) = (л/^)!^0^), (1.0.64) а Хк - корни уравнения

Йт(я*) = 0, к = 0,1,., Ж (1.0.65)

Кроме того, рекуррентные соотношения для полиномов фп\х) отличаются от соотношений (1.0.24) для многочленов -0п(ж) отсутствием диагональных членов, т.е. ап = 0.

Доказана полнота определенных когерентных состояний. Получены когерентные состояния для осциллятора Кравчука из общей формулы (1.0.63) при выборе в качестве фп(х) полиномов Кравчука с рекуррентными соотношениями хфп{х) = фп+1(х) + 2р(1 - р)п{Ы -п+ 1)фп^(х), ф0{х) = 1. (1.0.66)

Замечание 1.0.13. Отметим, что получающиеся в результате когерентные состояния отличаются от "спиновых" когерентных состояний для осциллятора Кравчука из [17], а также от "фазовых" когерентных состояний из работы [64], [65].

В седьмом параграфе получено алгебраическое неравенство, эквивалентное соотношению неопределенности Гейзенберга (1.0.46). Получены реализации этого неравенства для всех рассмотренных в работе систем ортогональных многочленов.

Наконец, в восьмом параграфе получены значения параметра Манделя

- (ДОИ)2

Ям{х) - Й№> ' ( ' характеризующего отклонение распределения числа возбуждений от пуассоновской статистики, для всех рассмотренных в работе систем ортогональных многочленов. Для когерентных состояний Барута- Жирарделло (1.0.44) получена формула г|2=1)' (Ш68) которая позволяет вычислить знак параметра Манделя С^м (что определяет характер отклонения статистики возбуждений от пуассоновской). Вычисленный в когерентных состояниях обычного бозонного осциллятора этот параметр принимает нулевое значение, что соответствует пуассоновскому распределению. В случае, когда этот параметр принимает положительные значения говорят о супер - пуассоновской статистике возбуждений, а при отрицательных - о суб - пуассоновской. Показано, что для осцилляторов, порождаемых полиномами Шарлье. также как и для обычного осциллятора (многочлены Эрмита) параметр Манделя принимает нулевое значение (<5м = 0; - статистика пуассоновская). Для многочленов Лагерра и Мейкснера С}м < 0 (суб-пуассоновская статистика). В случае полиномов Гегенбауера и Кравчука знак параметра Манделя зависит от значения собственного числа оператора уничтожения, соответствующего когерентного состояния. В случае деформированных д - полиномов Эрмита знак (^м определяется величиной параметра деформации д. Именно, < 0 ПРИ 0 < д < 1, а при д > 1 значение параметра Манделя положительно > 0).

В заключительной пятой главе дан краткий обзор некоторых возможных физических приложений результатов предыдущих глав.

В первом параграфе пятой главы для широкого класса гамильтонианов, описывающих взаимодействие конечного числа мод электромагнитного поля с нелинейной средой приведена схема ([116]) сведения интегрирования мультибозонной системы к интегрированию соответствующего обобщенного осциллятора, связанного с системой ортогональных полиномов. Очевидно, что предложенная в диссертационной работе схема построения обобщенного осциллятора для произвольной системы ортогональных полиномов дает возможность расширить класс задач нелинейной квантовой оптики, для которых возможна описанная в ([116]) редукция.

Во втором параграфе указаны некоторые задачи квантовой физики, в которых используются квантово-оптические состояния, определенные в конечномерном гильбертовом пространстве. А именно, дано обобщение схемы Пега- Барнета ([129])построения оператора фазы в конечномерном пространстве на случай произвольного (конечномерного) обобщенного осциллятора. Описаны две схемы обрезания для построения когерентных состояний в конечномерном пространстве (см. [144]) и показано, что результаты четвертой главы приводят к аналогичным определениям когерентных состояний для произвольного (конечномерного) обобщенного осциллятора.

Наконец,в третьем параграфе описывается модель релятивистского линейного осциллятора (см., например, [147] ). В тех случаях, которые были рассмотрены выше в настоящей работе, удалось связать релятивистские осцилляторы с соответствующими обобщенными осцилляторами для той же системы ортогональных полиномов. Такого рода связи, видимо, могут оказаться полезными и в дальнейших поисках релятивистского осциллятора, для которого собственные функции гамильтониана выражаются через заданную систему ортогональных полипомов, с помощью обобщенного осциллятора, построен ного но этой системе полиномов.

Теперь перейдем к общей характеристике работы.

Актуальность темы. Понятие когерентных состояний занимает одно из центральных мест в современной квантовой физике. Они играют важную роль в квантовой оптике ([69]) и в квантовой теории поля (при исследовании инфракрасных расходимостей в квантовой электродинамике ([70])). Когерентные состояния существенно используются при определении и вычислении функциональных интегралов ([71].[72]), а также в математической физике, теории представлений и других разделах математики. В диссертации предлагается новый метод построения когерентных состояний, связанный с конструкцией алгебр осцилляторно-подобных систем, порождаемых произвольными ортогональными многочленами таким же образом, как обычный квантовомеханический осциллятор порождается полиномами Эрмита. Именно. по заданной системе ортогональных полиномов определяются операторы "координаты "импульса" и "квадратичный гамильтониан а также лестничные операторы "рождения" и "уничтожения удовлетворяющие перестановочным соотношениям, обобщающим известные перестановочные соотношения Гейзенберга. Тем самым определяется система, которая подобна осциллятору (так называемый "обобщенный осциллятор"). Это позволяет осуществить построение когерентных состояний любым из указанных выше способов. Подобные осциллятору системы, связанные с различными системами ортогональных полиномов, существенно используются при изучении некоторых моделей квантовой оптики, описывающих взаимодействие электромагнитного поля со средой, имеющей нелинейные оптические характеристики (так называемая среда Ксрра [118]). Кроме того квантово-оптические состояния, определенные в конечномерном пространстве используются, например, в квантовой электродинамике, в томографии и квантовой теории информации с оптическими кубитами([144]).

Цель работы. Построение "обобщенных осцилляторов" для основных полиномов схемы Аски - Вилсона ([5]): а) для классических полиномов непрерывного аргумента: полиномов Ла-герра, Чебытттева ( первого и второго рода), Лежандра, Гегенбауера и Якоби; б) для классических полиномов дискретного аргумента: полипомов Мейкс-нера, Шарлье и Кравчука; в) для деформированных полиномов: дискретных q-пoлинoмoв Эрмита ( первого и второго рода), непрерывных q-пoлинoмoв Эрмита.

Построение спектральной меры оператора координаты для деформированных полиномов.

Построение когерентных состояний всех четырех типов для рассматриваемых "обобщенных осцилляторов" и доказательство их полноты, т.е. построение меры, которая входит в разложение единицы.

Получение явных формул для вычисления некоторых существенных параметров для когерентных состояний, на примере так называемого параметра Мандсля.

Научная новизна. Разработанный в диссертации метод и полученные результаты являются принципиально новыми. К наиболее существенным результатам диссертации можно отнести следующие:

1) Дана общая схема конструкции "обобщенного осциллятора"для любой системы многочленов, ортогональных относительно положительной меры на вещественной оси, имеющей все конечные моменты.

2) Дана конструкция спектральной меры "оператора координаты" для обобщенного осциллятора" в случае неопределенной степенной проблемы моментов для соответствующей матрицы Якоби. Эти результаты существенно уточняют общие результаты, приведенные в известной монографии ([21]) А.И.Ахиезера.

3) Получены достаточные условия на коэффициенты рекуррентных соотношений для рассматриваемой системы ортогональных полиномов, при которых можно записать уравнение па собственные значения для гамильтониана соответствующего "обобщенного осциллятора" в виде дифференциального или разностного уравнения. Доказано, что во всех исследуемых случаях это уравнение сводится к известным дифференциальным или разностным уравнениям второго порядка для данных полиномов.

4) В рамках предложенного подхода получены обобщенные осцилляторы для всех классических полиномов непрерывного (полиномы Лагерра, Чебы-шева, Лежандра, Гегенбауера и Якоби) и дискретного (полиномы Мейкснера, Шарлье и Кравчука) аргумента, а также для "деформироваш1ых"полииомов Эрмита (дискретные q-iloлинoмы Эрмита первого и второго рода и непрерывные полиномы Эрмита).

5) Получены явные формулы, выражающие когерентные состояния различных типов через известные специальные функции математической физики, для всех рассмотренных в работе обобщенных осцилляторов. Для этих когерентных состояний построены меры в пространствах Баргманна-Фока, которые дают соотношение полноты.

6) Для когерентных состояний типа Барута - Жирарделло получена вычислительная формула для хорошо известного в оптике параметра Ман-деля, которая является обобщением соответствующей формулы Клаудера-Пенсона- Сиксдснье ([50]). С помощью этой формулы исследован знак параметра Манделя для всех рассмотренных систем ортогональных полиномов. Отметим, что параметр Манделя в задачах квантовой оптики характеризует статистику квази-возбуждений в формализме вторичного квантования Фока. С математической точки зрения знак параметра Манделя позволяет ввести некоторую нестандартную классификацию систем ортогональных полиномов.

7) Для всех рассмотренных в работе систем ортогональных полиномов доказано, что когерентные состояния Барута - Жирарделло минимизируют соотношение неопределенности для операторов "координаты" и "импульса "соответствующего обобщенного осциллятора. Получены алгебраические неравенства для коэффициентов рекуррентных соотношений соответствующих полиномов, эквивалентные соотношениям неопределенности.

Практическая значимость работы. Представленный метод и полученные в работе конкретные результаты могут быть полезны в задачах квантовой физики при вычислении корреляционных функций, при рассмотрении некоторых нелинейных моделей квантовой оптики, (например, модель Джойнса- Камингса [118]) при изучении характера различных статистик квазивозбуждений в формализме вторичного квантования, при построении и исследовании функциональных интегралов в голоморфном представлении.

Апробация работы. Представленные в диссертации результаты докладывались на научных семинарах по математической физике Санкт-Петербургского отделения Математического института им. В.А.Стеклова РАН и Санкт-Петербургского государственного университета в 2003 г.и 2006г., на научных семинарах по диффракции Санкт- Петербурского отделения Математического института им. В.А.Стеклова РАН в 2001г., 2003г. 2004г. и в 2006г., на семинарах Стокгольмского университета ( Стокгольм, Швеция) в 1995г., на семинаре Ренского университета ( Рен, Франция) в 2001г., на международной конференции по дифференциальным уравнениям, посвященной памяти В.Ф.Лазуткина в 2002г. на международных конференциях "День Диффракции "(International Seminar Days on Diffraction) ( Санкт- Петербург) в 2002г. -2006г., на международных конференциях "Математические идеи П.Л.Чебыше-ва и их приложения к современным проблемам естествознания "(г.Обнинск) в 2002г., 2004г. и в 2006г., а также на общегородском оптическом семинаре на кафедре теоретической физики Российского государственного педагогического университета им. А.И.Герцена в 2006г.,на научном семинаре кафедры вычислительной физики Санкт-Петербургского государственного университета в 2007г.

Глава 2

Ортогональные полиномы и алгебры обобщенных осцилляторов. Симметричный случай

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Борзов, Вадим Васильевич, 2007 год

1. Г. Cere, Ортогональные многочлены, М. ,Наука, 1962.

2. Я. JI. Героннмус, Теория ортогональных многочленов: Обзор достижений отечественной математики. -М. Гостехиздат, 1950.

3. П. К. Суетин, Классические ортогональные многочлены, 2-е изд. М. Наука, 1979.

4. Т. S. Chihara , An Introduction to Orthogonal Polynomials, Gordon and Breach, New York, 1978.

5. R. Askey, J. A. Wilson, Some basic hypergeometric orthogonal polynomials that generalize Jacobi polynomials, Mem. Amer. Math. Soc. 54, 1-55 (1985).

6. С. Славянов, В. Лай. Специальные функции: Единая теория основанная на анализе особенностей, СПб Невский диалект (2002).

7. Н. Н. Лебедев, Специальные функции и их приложения, "Наука ФМ, М. 1963;

8. А. Ф. Никифоров, С. К. Суслов, В. Б. Уваров, Классические ортогональные полиномы дискретной переменной, М. Наука, 1985.

9. A. Erdelyi (ed.), Higher Trancedental Functions Vol. 2 Bateman Manuscript Project (McGraw-Hill. New York 1953; reprinted Krieger. Malabar, Florida 1981).

10. R. Koekoek, R. F. Swarttouw, The Askey-scheme of hypergeometric orthogonal polynomials and its q-analogue. Report 94-05, Delft Univ. of Technology, 1994.

11. V. V. Borzov, Orthogonal polynomials and generalized oscillator systems , Integral Transforms and Special Functions., 12:2, 115-138 (2001); math.CA/0002226.12