Константы неопределенности и системы целочисленных сдвигов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат наук Ушаков Сергей Николаевич

• Ушаков Сергей Николаевич
• кандидат наук
• 2016

Оглавление диссертации кандидат наук Ушаков Сергей Николаевич

1.2 функции Эрмита

1.3 Когерентные состояния и фреймы

1.4 Тети функция Якоби

1.5 Интерполяция и дискретное преобразование Фурье

2 О константах неопределённости для линейных комбинаций функций Эрмита

2.1 Вспомогательные интегралы

2.2 Случай двух функций Эрмита

2.3 Ортогональное преобразование для двух функций Эрмита

2.4 Унитарное преобразование

2.5 Случай трёх и более функций Эрмита

3 Свойства коэффициентов узловых функций, построенных из равномерных сдвигов функций Лоренца и функций Гаусса

3.1 Введение

3.2 Знакочередование и монотонность

3.3 Свойства

3.4 Сравнение функций Лоренца и Гаусса

62

4 Интерполяция с помощью конечной суммы из сдвигов

функции Гаусса

4.1 Постановка конечномерной задачи

4.2 Уравнений и неизвестных равное число

4.3 Уравнений больше неизвестных

5 О константах неопределённости для линейных комбинаций некоторых подсистем когерентных состояний

5.1 Обозначения, вспомогательные формулы

5.2 Константа неопределённости в общем случае

5.3 Основной результат

5.4 Константа неопределённости для О (а,х)

Заключение

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Константы неопределенности и системы целочисленных сдвигов»

Введение

Актуальность темы диссертации. Константы неопределённости являются важным инструментом в изучении ортогональных и неортогональных систем функций в гильбертовом пространстве. Они характеризуют локализацию используемых функций как во временной (пространственной), так и в частотной областях. Первый ортонормированный базис, последовательность констант неопределённости элементов которого ограничена сверху, был построен в 1986 году И. Мейером, с чего и началась теория всплесков. В 1988 году Ж. Бургейн доказал, что можно построить ортонормированный базис с константой неопределённости для всех элементов, сколь угодно близкой к минимальной. Однако, что очень важно для теории всплесков, доказательство не дало конструктивных примеров в дальнейшем. Базисы Мейеровского типа, с улучшением свойств масштабирующей функции и уменьшением константы неопределённости, изучались в работах Лебедевой Е.А [18]-[21], [49]. Актуальными остаются задачи улучшения свойств локализованности уже известных базисов функций. Одним из подходов к таким задачам является построение базиса всплескового типа, что на примере системы эрмитовых функций реализовали Ю. Престин и Б. Фишер [48].

В последние годы большое распространение в прикладных задачах получили системы целочисленных сдвигов функций. Они, как правило, не ортогональны. Поэтому разложение по этим системам дискретных оцифрованных сигналов связано с решением сложных интерполяцион-

ных задач. Ключевым моментом при решении таких задач часто является построение узловой функции.

Определение. Функция д(х), являющаяся линейной комбинацией ^к (%), д(х) = ^=-00 ^к <£к (%), называется узловой функцией, если для неё выполнена система равенств д(т) = 50т, т € Ъ, где 50т - символ Кронекера.

Наиболее разработанными в этом плане являются базисные сплайны и системы равномерных сдвигов функции Гаусса Оа (£) = ехр .

Случай функции Гаусса подробно рассмотрен в монографии В.Г. Мазьи, Г. Шмидта [52] и последующих работах этих авторов. В цикле работ В.Л. Вендланда, В. Карлина показано, что системы сдвигов функции Гаусса могут быть применены для аппроксимации различных потенциалов, а также для решения линейных и нелинейных граничных задач математической физики. Различные аспекты интерполяции с помощью системы сдвигов функции Гаусса изучались в работах С.Ф. Бойса, К. Калкатер-ры.

Изучение систем равномерных сдвигов для других функций, а также для конечномерных дискретизированных вариантов является актуальной задачей. Кроме того, так как нахождение узловой функции связано с получением её коэффициентов d^, то важными являются вопросы о свойствах этих коэффициентов.

В работах по квантовой оптике, таких авторов как Э. Вольф, Р. Глау-бер, Л. Мандель, A.M. Переломов, используются когерентные состояния, представляющие собой функции вида

с фиксированным параметром а.

Цель работы. Изучение свойств узловых функций, построенных на основе целочисленных сдвигов функций Лоренца и Гаусса. Изучение констант неопределённости для систем когерентных состояний и базиса из

функций Эрмита. Основные задачи работы состояли: в получении явных выражений для констант неопределённости, в исследовании зависимости этих констант от различных параметров.

Методика исследований. В работе используются методы теории функций, линейного функционального анализа, линейной алгебры, теории всплесков и теории специальных функций.

Научная новизна и значимость полученных результатов. Следующие результаты, полученные в работе, являются новыми.

1. Получены формулы для вычисления константы неопределённости линейных комбинаций функций Эрмита. В случае двух функций минимум константы неопределённости найден аналитически, в случае трёх функций — численно.

2. Доказаны знакочередование и монотонность с ростом по модулю индекса коэффициентов узловой функции, построенной с помощью целочисленных сдвигов функции Гаусса, а также нарушение этих свойств для узловой функции, построенной с помощью целочисленных сдвигов функции Лоренца.

3. Для случая узловой функции, построенной с помощью конечных сумм сдвигов функции Гаусса, предложен способ уменьшения амплитуды колебаний за пределами отрезка интерполяции.

4. Получены формулы для констант неопределённости линейных комбинаций когерентных состояний в общем случае и проведено упрощение этих формул при дополнительных предположениях на коэффициенты линейных комбинаций.

Практическая и теоретическая значимость. Работа имеет теоретический характер. Результаты диссертации теоретически обосновывают свойства узловых функций, полученных с помощью целочисленных сдвигов функции Гаусса или Лоренца.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на международной конференции "Всплески и приложе-

ния" в г.Санкт-Петербурге в 2012 г., на, VIII международном симпозиуме "Ряды Фурье и их приложения" в г. Новороссийск в 2014г., в Воронежской зимней математической школе в 2011г., а также на семинарах Воронежского государственного университета в 2011 - 2014 гг.

Публикации. Основные результаты опубликованы в работах автора [53]—[59]. Из совместных публикаций [55], [56], [59] в диссертацию вошли результаты, принадлежащие лично автору. Работы [54]—[56], [59] опубликованы в изданиях, соответствующих списку ВАК РФ.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, списка литературы из 59 наименований. Общий объем диссертации 101 стр.

Краткое содержание диссертации.

Во введении обоснована актуальность темы диссертационной работы, сформулированы цели и задачи исследования, определены научная новизна и практическая значимость.

Нумерация приводимых ниже теорем и определений совпадает с их нумерацией в диссертации.

Первая глава является вводной. Здесь приводятся основные определения, необходимые формулы и излагаются результаты, используемые в работе. Важной характеристикой для функции является константа неопределённости.

Пусть f (x) G L2(R) и xf (x) G L2(R), причём ||f||l2 = 0, тогда радиус A(f) функции f (x) определяется равенством:

1 Г 1

1

2 2

А/ := -щ- x2\f (x)|2 dx -fT I I x\f (x)|2 dx

Аналогично определяется радиус А(/) для преобразования Фурье функ-

ции /:

и\\ьг к 1Шк=

1

2 2

где прямое преобразование Фурье, задается следующим образом:

00

Ж) = / /(х) е-гхе

—то

Определение 1.1. Величина

и(/) = Д(/) • Д(/).

называется константой неопределённости функции /.

В том случае, когда интеграл Д(/) расходится, полагают и(/) = то. Константа неопределённости даёт информацию о том насколько хорошо функция / локализована как во временной, так и в частотной областях.

Определим стандартизированный многочлен Эрмита Ип(х) при помощи формулы Родриго:

Ип(х) = (—1)пех=(е-х= )(п), п = 0,1,...,

т.е. п-ый полином Эрмита Ип(х) равен п-ой производной от е х , умно-

2

женной на (—1)пех .

Ортонормнрованные функции Эрмита

1

^п(х) = —, , Ип(х) е 2 Л/2пп\Л/П

образуют базис в Ь2(К). Они являются собственными функциями преобразования Фурье: ) = (—¿)п^п(^), п = 0,1, 2____Константа неопределённости для функции Эрмита имеет вид:

п((рп(х)) = п + 1.

Определение 1.4. Функция д(х), являющаяся линейной комбинацией ук (х),

то

д(х) = ^ Ук(х),

к=—то

называется узловой функцией, если для нее выполнена система равенств д(т) = 50т, т Е Ъ, где 50т - символ Кронекера.

Узловую функцию, построенную из сдвигов функции Гаусса Са(£) =

г2

ехр 2^2 ^ обозначим через Са (г), а из сдвигов функции ЛоренцаЬД^) ^ через Ls(x),

то то

С(г) = ^ <9°С(г — к), Ls(t) = ^ — к),

к= к=

где параметры а > 0 и в > 0.

В дальнейшем потребуются результаты Мазьи В. и Шмидта Г. из выше упомянутой монографии для коэффициентов <кк°. Теорема 1.3. Справедлива формула

<1° = • ехр

1 .....(!2УЁ МГ Ч + °.5)

4 J г=| к| V

С (а) \2а2/ У ^ \ 2а2

1 ' 4 7 г=|к| Х

^^ ^ ,, ^ ( (2г + 0.5)2

С (а) = (4г + 1) • ехр ' 1 у

2а2

г=—то

Коэффициенты 1к ° являются коэффициентами разложения в ряд Фурье функции

11

, в = ехр

М!; в) V 2а2,

2

где (г; д) = ^ТО=-оо вк2е2гкг, - третья тета-функция Якоби. Заметим, что формула для ряда Фурье этой функции была известна ещё в 1903 году из работы Уиттекера Э.Т. и Ватсона Дж.Н.. Известна формула [11] для коэффициентов

г _ (—1)к вЬ(ап) /еов^)

<к' = ап2 У

0

Во второй главе выписана общая формула константы неопределён-

т—1

ности для линейной комбинации ^ а^(ж):

.7 =по

'по+т—1 \ / 1 по+т—1

и I ^ % ^ (ж) ] = ( П0 + 1 + ^ +

^'=по / \ =по

по+т—3 /по+т—2 4 2

+ Z

/no+m-2 \ 2\

aj+2 V+ 1)(j + 2) - 2( X] aj+ 1) I

V j=no / у

j =no

/ 1 no+m—1 no+m—3 \

•( no + 2+ S j - S aj+2 Vj + 1)(j + 2)1 .

V j =no j=no /

Во втором параграфе выводится формула для константы неопределённости линейной комбинации (x) = cosa^n(x) + sina^>k(x), где параметр a £ [0; 2n], n, k = 0,1, 2 .... Результат сформулирован в виде трёх теорем, в зависимости от разности индексов функций.

Теорема 2.1. Пусть |n — k| > 27 тогда

1

u (^a,n,k) = n cos a + k sin a + ^, min u(^a,n,k) = min(n, k) + 1.

a£[0,2n] 2

Значение u ) в этом случае принадлежит отрезку, концами кото-

рого являются константы неопределённости для исходных функций и ^k-

Теорема 2.2. Справедливы формулы:

и(Фалп+2) = у (n2 + 3n + 6) sin4 a + (n — n2) sin2 a + n2 + n + 1,

, 2n4 + 14n3 + 39n2 + 27n + 6

min u(Wa,n,n+2) = \ -w 2 , 0——TV

a£[0,2n] '' У 4(n2 + 3n + 6)

минимум достигается при sin2 an = 2(nn+—n+6)

Теорема 2.3. Верна формула

= у2(n + 1) sin6 a + (2n2 + n) sin4 a — (2n2 + n) sin2 a + n2 + n + ^,

минимум достигается при sin2 an = ^a2+3a—где a = ^(П+Г) •

Точки минимума в теоремах 2.2 и 2.3 стремятся к одному из следующих углов 4 + Пг,т = 0,1, 2, 3. В этом случае для констант неопределённости верно:

и(Ф 4 ,n,n+2) - f(n + ^ и(ф I ,n,n+i) = f(n + ^

где an — bn — означает, что lim 0a = 1-

Для случая трёх функций Эрмита рассматривается линейная комбинация fi,j(n, a, ß) = an-i^n-i(x) + an^n(x) + а„+3Pn+j (ж), где

an—i = sin a cos ß, an = sin ß, an+j = cos a cos ß,

a,ß e [0, n], i, j, n e N n ^ i.

Возможны пять различных случаев. При i > 1, j > 1 константа неопределённости по тем же причинам, что и в теореме 1, принадлежит отрезку [n — i + 2 ,n + j + i]. Численные значения минимальных значений константы неопределённости для других случаев приведены в таблице 2.1.

В третьей главе рассматриваются системы целочисленных сдвигов функции Гаусса Ga(t) и функции Лоренца Ls(t).

m G

Теорема 3.1 Коэффициенты dka знакочередуются. В отличие от знакочередования, монотонное убывание |dk<T | доказать для всех значений параметра а не удалось. Справедлива Теорема 3.2 Начиная с номера

' п 0

k = max j logq J1 — q — 1 , o|

Таблица 1: Минимальные значения константы неопределённости для функции

тт ЦД,-) а,р п =10 п = 100 п = 1000

тт и (/1,1) 4.46748 42.8727 426.82

т1п и(/2,2) а,в 7.12383 71.0334 707.457

тт и(/1,2) а,р 8.27098 68.0436 674.265

тт и/2,1) а,в 6.68749 67.338 673.559

коэффициенты, монотонно убывают по абсолютной величине.

"к

1к

Следствие 3.1 Для монотонного убывания | с нулевого номера

достаточно выполнения неравенства: д < ^ что соответствует

а <

\

1

= 1.01933

К

Следующая теорема показывает, что для случая функции Лоренца при малых значениях параметра в знакочередуемости нет.

Ч'

Теорема 3.3 Все коэффициенты^' отрицательны, за исключением

при выполнении неравенства в < 1п(3+2^/2) = 0.5611... Численные расчеты показывают, что и при больших значениях в зна-кочередование с некоторого момента прекращается. Введём обозначения для двух функционалов

+<< 2 2 *&(в,А) = / (е-Й — ¿ж

— 00

и

-.2 _ ^ \ 2

— Ае 2

Ж2 + в2

^с(а,А)= / ( 2 в 2 — Ае ^ ) ¿ж.

— 00

Для первого функционала считаем зафиксированным параметр а, для

второго — параметр в. Через Ег£с(ж) обозначим дополнительную функцию ошибок

х

2 [

Ег£с(ж) = 1--= е-"2" (Ц.

'п I

Теорема 3.4 Пусть b = -. Минимум F£L(:s, X) достигается при,

Ь1

A1 = 2e 2 Erfc

b2 / b

и равен

F£L(b,Ai) = - 2п b eb^ Erfc

минимум F[g(a, A) достигается при,

A2 = Vnbe^ Erfc ,

и равен

b2 ^ t 2 I b

FLG(b,A2) = - — \[Пbe Erfc

2 \V2JJ'

b

с помощью программы "Mathematica". Он достигается в обоих случаях при одном и том же значении b = 0.925368...:

min F£L(b, X) = а • 0.0494425 ..., min F-G(b, X) = s • 0.0438173 ....

b, A b,X

В четвертой главе рассматривается конечномерный вариант задачи интерполяции: узловая функция gn(x) ищется в виде конечной суммы

n ' 1

9и(х) = ^ dk • q(x k)2, q = exp ( — -0-i— ^ v

ч 2а2 / '

к=-п

причем число уравнений может быть больше числа неизвестных 9п(з) = ^, 3 = -т,..., 0,...,т, т > п.

При численном решении системы величины дп(3) будут играть роль кон-

т=п

через дП (ж) а при т > п — через дПт(ж). Исходную систему уравнений можно записать в матричной форме:

А • 6 = у, (4.2)

где а. = д(г—.)2, у. = , £ = —п,..., п, ^ = —т,..., т.

Обозначим через Ж(ж1,..., жп) транспонированный определитель Ван-дермопда, например

1 Ж1 Х1

1 ж2 ж2 1 Ж3 ж3

Для минора Ж/, к (ж1,..., жп), получающегося при вычеркивании /-ой строки и к-ого столбца, справедливо равенство [4, стр. 273]:

Ж (Ж1,Ж2,Ж3) =

к (ж1, . . . , жп) ^ ^ ж«2 . . . Х°-п-к • | (жг ) , (4.3)

п>г>.>1, ¿=/.=/

где сумма берется по всем сочетаниям п — к чисел а1,а2,..., ап—к из 1, 2, . . . , п

Система (4.2) в случае равенства числа неизвестных и уравнений имеет единственное решение.

Теорема 4.1 Матрица А при т = п — невырождена, а её определи-

тель

det А = д

2та(та+1)(2та+1)

Ж(д—2п,... 1,...,д2п)

2«л

(4.4)

3

Следствие 4.1 Поскольку изучаемый в теореме 1 определитель при т > п А

(2п + 1) х (2т + 1), то её ранг равен 2п + 1.

Теорема 4.3 Для коэффициентов 6к верна формула:

,к -к2Жк,п+1(д—2п,...,д0,...,д2п)

6к = (—1)к д"

Ж(д—2п,..., д0,..., д2п)

Следствие 4.2 Справедлива формула

(-1)кдда1 да2 ... д"2^-*.

4 =

П |дк - дг1

г=к,г=-п

г<?е сумма берется по всем сочетаниям 2п+1-к чисел «1, а2,..., а2п+1-к из набора -п, — п + 1,..., п.

Следствие 4.3 Контрольные суммы можно записать в виде от,ношения определителей:

Ж (д-2п ...д-2,д-2- ,д2,...д2п)

^П (?) = д-

Ж (д-2п ... д0 ... д2п)

Следствие 4.4 |#П (п + 1)| = СПп+1.

При т > п система (1) становится несовместной, коэффициенты 4 вычисляются методом наименьших квадратов. Получаем новую систему Ст ■ х = г, где

^ / ? 2 \

с-(т) = 22 «к-, г- = ехр -— , г,? = -п ..., 0,... п.

ч 2а2

к=—т

Теорема 4.4 При, т ^ то элементы матрицы с- (т) ^ с— гс^е

д 2 ;ехр(-па)) , при нечётном (г + ?), д(0; ехр(-по)) , при чётном (г + ?).

Численное решение искалось методом Гаусса, для проверки вычислялись контрольные суммы дп(?). В силу чётности функции дх верно соотношение 4 = к- Благодаря этому уменьшается как число уравнений, так и разрыв в порядке между элементами матрицы. Вне отрезка интерполяции #п(ж) сильно осциллирует. Кроме того, чем больше п, тем меньше растет контрольная сумма дп (?) за пределами отрезка интерполяции.

Явление осцилляции за пределами отрезка интерполяции в случае т > п может быть значительно уменьшено, хотя при этом возникает эффект регуляризации, при котором значение функции дпт(х) в нулевой точке " растекается" по соседним узлам.

В пятой главе рассматриваются системы когерентных состояний

/к,т(^2,х) = ехр (-(Х -е1тШ2Х и равномерных сдвигов функции Гаусса

, ( ) ( (х - к)2 \ ¡к(а,х) = ехы —),

изучаются их линейные комбинации

^ (^1 ,Ш2,х) = ^ Ск,т/к,т(^1,^2,х), (5.1)

к,т

С (а,х) = ^ Ск¡к (а, х). (5.2)

к

Все индексы в суммах здесь и в дальнейшем меняются от -то до Предполагается абсолютная сходимость рядов (5.3)—(5.4), чтобы можно было произвольным образом менять порядок суммирования и группировать слагаемые при перемножении рядов. Для этого достаточно, например, выполнения условий

Скт =0 ((к2 + т2)-1-е) ,Ск = О (к-1-£) ,£> 0.

Во втором параграфе выписана формула константы неопределённости для системы когерентных состояний в общем случае. Для её упрощения накладываются дополнительные условия на коэффициенты и параметры. Представляет интерес случай неполной системы когерентных состояний:

^2 = N е N. (5.16)

Относительно коэффициентов Скт предположим, что

Ск,т = Ск • Ст , (5.17)

где (¿1, (2 — это верхние индексы, означающие зависимость коэффициентов от этих параметров. Кроме того, будем считать, что линейная комбинация Г (¿1,(2,х) является чётной вещественной функцией. Отсюда

Ск,т

Ск = С к, Ст = С-т.

(5.18)

Данные предположения естественны при построении узловой функции с помощью линейной комбинации когерентных состояний или проведении ортогонализации с сохранением структуры сдвигов.

Теорема 5.1. Пусть выполнены условия (5.16)-(5.18), тогда верна формула

и2 (Г ((1,(2))= о -

1 (2 С(2

¿2 а

2 4 А,

1 а(1 , , ,2 + (¿1 -

¿2

4А

¿1

А

¿1

2

(2 а^1 Т АТ

¿1

(2 а¿2 4 А,

+ (2 Вш2

¿2

А

¿2

где

а„ —

Е I2 ехр (- а¡", Б„ = Е ехр (

Аи> = £ ехр (-, = £

4

22

12и)

4

яи,

и и ли С1+к' Ск', а1

Е

к'2Си Си

к С1+к' Ск'

Теорема 5.2. Пусть выполнены условия Ск е М, Ск = С-к. Тогда,

и (С(а)) =

(

а

^212а1 ехр

4а2 )

52 я ехр

4а2 )

+

V

2 а ехр (-¿2) Еа ехр (-¿2)

1 1

(

Е12а1 ехр

4а2 )

2а2 4а4 Е а1 ехр (-£)

V

где аг = Е С1+тСт, Я = Е т2С+тСт■

/

1

.....I......I с^Т^с"^1 -в-

Основные понятия, обозначения и факты о константе неопределённости и системах целочисленных сдвигов

1.1 Преобразование Фурье и константа неопределённости.

Рассматривается пространство комплекснозначных функций Ь2 (К) со скалярным произведением

00

{¡,9> = /(х) 9(х) Лх (1.1)

и нормой

с» \ 1/2

|2,

/||ь2 = I / !/(х)|2Лх I . (1.2)

к —00

В дальнейшем, для простоты, вместо || • ||^2 будем писать || • ||. Прямое преобразование Фурье, задаваемое следующим образом:

с»

Ж) = ^ / /(х) е~^<1х, (1.3)

является унитарным оператором из Ь2(К)в Ь2(Ж). Формула обратного преобразования Фурье имеет вид

с»

/(х) = ^ I т) ^(1.4)

Для преобразования Фурье верно равенство Парсеваля (теорема Плап-шереля) [25, гл.7].

(/,£> = (/,3), ||/|к = И/к. (1-5)

В дальнейшем изложении важную роль играет формула суммирования Пуассона [44, теорема 2.25]

сс

£ /(х + 2пк) = -= £ /(к) е*кх, (1.6)

к=-» к=-с

которая имеет место, если функция /(х) € Ь2(Ж) и удовлетворяет следующим условиям:

а) ряд в левой части равенства (1.6) сходится всюду к некоторой непрерывной функции;

б) ряд Фурье в правой части этого же равенства сходится при всех х € [0, 2п].

Пусть /(х) € Ь2(Ж) и х/(х) € Ь2(Ж) (такие функции называются оконными), причём ||/1| = 0, тогда цен тр х* и ради ус Д(/) функции /(х)

00

/ х|/(х)|2¿х ' ' ~\/1

х* := ---(1-7)

1

+ » ^ 2 Д(/):=/ \ ( (х - х})2|/(х)|2 ¿х) . (1.8)

В данной работе для вычисления используется другая формула:

1 ' 1 \ |2

Д(/):=_<^ I ж2|/(ж)|2Охх|/(ж)|2Ох . (1.9)

/ни II/1

1

2 2

1,-00

Аналогично определяются центр и ради ус Д(/) для преобразования

/

00 ^

2

I £|/(£)12

С? := -0 |/у2-, (1-Ю)

1

2 2

д(л := / \! £2/£)|2- / 1' £|д£)|21 ^ ■ (1Л1)

-0 -0

Центр представляет собой математическое ожидание случайной величины с плотностью вероятности, равной |/(х)|2/||/1|2, радиус же является средним квадратическим отклонением этой случайной величины.

/

рошо локализована.

Определение 1.1 [30, стр. 49], ]44> стр. 103]. Величина

и(/) = Д(/) • Д(/). (1.12)

/

В том случае, когда Д(/) расходится, полагают и(/) = о.

Если функцию / € Ь2(Ж) рассматривать как аналоговый сигнал с конечной энергией, определяемой его нормой ||/1|, то её преобразование Фурье /(£) представляет собой спектр этого сигнала. В анализе сигналов аналоговые сигналы определяются во временной области, а спектральная информация об этих сигналах дается в частотной области. Таким

образом, константа неопределённости даёт информацию о том насколь-

/

областях.

Никакая функция, отличная от тождественного нуля, не может иметь компактного носителя одновременно во временной и в частотной областях:

Теорема 1.1 ([22]) Если / = 0 имеет, компактный носитель, то /(£) не может иметь компактного носителя. Аналогично, если/(£) имеет компактный носитель, то /(х) не может иметь компактного носителя.

В следующей теореме устанавливается точная нижняя граница для константы неопределённости и(/).

Теорема 1.2 ([30]) Для любой функции, / € Ь2 (К) с ненулевой нормой выполняется неравенство

Более того, равенство достигается тогда и только тогда, когда

где С = 0; а,Ъ,а € К о = 0.

В физике эта теорема называется принципом неопределённости Гей-зенберга. Этот принцип имеет особенно важную интерпретацию в квантовой механике как неопределённость положения свободной частицы и значения её импульса. Положение одномерной частицы описывается волновой функцией / (х), а её импульс — преобразованы ем Фурье /(£). Среднее положение этой частицы есть центр х*, а средний импульс — центр его преобразования Фурье Таким образом, чем больше Д(/), тем более неопределенно положение свободной частицы; чем больше Д(/), тем более неопределённым является её импульс.

Д(/) • Д(/) > о.

1 2

(1.13)

/(х) = С • ехр

1.2 Функции Эрмита

Определим стандартизированный многочлен Эрмита Нп(х) при помощи формулы Родрига [41], [17]:

Нп(х) = (-1)пех (е-х )(п), п = 0,1,..., (1.14)

т.е. п-ый полипом Эрмита Нп (х) равен п-ой производной от е-х , умноженной на (-1)пех. Перечислим важные свойства полиномов Эрмита согласно [41].

Функция Нп(х) является нечётной или чётной, в зависимости от топ

2

е-х

п

— 00

, ч / ч „2 , 2п п! л/л, п = к , ч

Нп(х) Нк(х) е-х Ох ={ У ' . 1.15

1 0, п = к

Функция Нп(х) является решением дифференциального уравнения:

у" - 2ху' + 2пу = 0.

Для полиномов Эрмита верно рекуррентное соотношение [17, стр. 84]:

2хНп(х) = Нп+1(х) + 2пНп-х(х). (1.16)

Ортонормировапные функции Эрмита ^п(х) задаются соотношением

1

^п(х) = . - Нп(х) е 2 . (1.17)

у/2п п!^Л

Они образуют ортонормированный базис в Ь2(К). Для Нп(х) верна формула:

л/2Пе-х2 (г)пНп(х) = I ехр^ гхг - Нп(г)(г, п = 0,1, 2,...

Отсюда следует, что функции ^п(ж) являются собственными функциями преобразования Фурье:

) = ), n = 0,1, 2 .... (1.18)

Отметим, что эти функции играют важную роль в квантовой механике. Рассмотрим одномерное уравнение Шрёдингера:

ф"+ ^ (E - U) ф(ж) = 0, (1.19)

а2

где функция ф(ж), называемая волновой функцией, определяет движение элементарной частицы в некотором силовом поле, д — масса этой частицы, E — её полная энергия, U — потенциальная энергия, & О постоянная Планка. Потенциальная энергия определяется формулой:

2

U (ж) = ^ ж2,

т.е. на частицу действует упругая сила по закону F(ж) = — где ш

есть собственная частота колебаний частицы. В уравнении (1.19) требу-

E

при которых существуют ограниченные на всей оси решения — собственные функции, принадлежащие пространству L2 (R). Решением (1.19) при En = Ош (n + D являются функции

= e—*Х2H (V?) , n = °,1,2,...

1.3 Когерентные состояния и фреймы

Важными характеристиками неортогональных систем функций являются константы Рисса.

Определение 1.2 ([30, 44[) Функции фк(х)7 к € образуют, систему Рисса с положительными константами А и В, если для любого с € 12

выполнена двусторонняя оценка

АМН <

Ck фк (x)

к=—оо

< В ||c||i

(1.20)

L2

где норма в 12 задаётся обычным образом:

<х

||с|Ц2 = £ |Ск |2.

к=-то

Наибольшая из величии А в первом неравенстве (1.20) называется

В

стве - верхней константой Рисса. Если система функций ортопормиро-

вана, то А и В равны 1. В монографии К.Чуй [44, глава 1] неравенство

(1.20) называется условием устойчивости.

В случае конечной системы функций

2

Ск Ф(Х)

к=1

У^ Ск Ci (фк ,фг),

L2

к, i=i

т.е. квадрат нормы линейной комбинации функций представляет собой квадратичную форму от набора коэффициентов ск с матрицей Грама, элементами которой являются скалярные произведения (фк, ф1). Для линейно независимой системы функций матрица Грама является самосопряженной и положительно определенной [3, гл.4], [15].

Выпишем конечномерный аналог неравенства (1.20):

Allel

<

^2скф(х)

к=1

< Biel

L2

Наилучшее значение А равно минимальному собственному числу матрицы Грама, а наилучшее значение В - максимальному собственному числу матрицы Грама.

ВА

рицы Грама. В вычислительной математике число обусловленности является одним из ключевых параметров матрицы [3, гл.4], [15]. Если оно

2

2

n

n

велико, то матрица называется плохо обусловленной, и при работе с ней требуется применять специальные приемы с целью обеспечения устойчивости вычислений.

Определение систем Рисса впервые было введено в 1951 году в статье Н.К. Бари [1]. Для систем Рисса важным условием является линейная независимость, но при этом не требуется полнота во всём пространстве. Под полнотой понимается отсутствие ненулевой функции, ортогональной всем функциям системы. В случае линейно зависимых функций в качестве аналога системы Рисса выступают фреймы [7, с.96], [30, с.74], [44,

Определение 1.3 ([7]) Семейство функций фк (х) из гильбертова пространства Н называется фреймом, если существ уют, такие А > 0 и В < ж, что для всех / € Н верны, оценки,

АВ

Система функций может быть фреймом только в том случае, если она полна (или переполнена). Действительно, если она неполна, то существует ненулевая / такая, что (/, фк) = 0 для всех к € Ъ. В этом случае А = 0, что невозможно. Системы функций вида

нашли свое применение в квантовой механике с первых же лет возникновения этой дисциплины (см. доказательство квантовой эргодической теоремы в монографии И. Неймана [27]). Интерес к данным функциям, получившим после работ Р. Глаубера [5] название когерентные состояния, обусловлен тем, что для них константа неопределённости минимальна.

с.121].

00

(1.21)

Основным параметром системы когерентных состояний является величина ¡х>1 • ш2. При условии • < 2п данная система оказывается полной в Ь2(Ж) [7, гл. 3], [33, гл. 1]. В случае строгого неравенства получаются фреймы, а система оказывается переполненной (она остается переполненной даже после выбрасывания конечного числа функций) [7, гл. 3], [30, гл. 1]. При равенстве ш1 • и2 = 2п система остается полной (с одной лишней функцией), но не является фреймом. Если• и2 > 2п, то когерентные состояния являются неполной системой. Однако, в работе [13] доказано, что когерентные состояния при ш1 • и2 = 4пп, п € N являются системой Рисса. Данное обстоятельство позволяет использовать эти функции в задачах интерполяции и ортогонализации.

1.4 Тета-функция Якоби

Сведения о тети функциях Якоби в этом разделе приведены в соотвест-вии с [43, гл.21]. Тети функции определяются при помощи быстро сходящихся тригонометрических рядов:

то

&1 (г, д) = 2 ^(-1)кд(к+2)2 вт((2к + 1)г), к=0

то

&2(г, д) = 2 ^ д(к+2)2 ео8((2к + 1)г), к=0

то

&з(г,д) = 1 + 2 ^ дк еоъ(2кх), к=1

то

&4(г, д) = 1 + 2 ^(-1)кдк еоъ(2кх), к=1

где |д| < 1,д € С, г € С. Эти функции являются целыми по переменной г и связаны между собой следующими соотношениями:

п п

01(г, д) = —02 (г + ^,д), 01 (г + ^,д) = -^(г,?) (1-22)

п пт пт

01 (г, д) = —¿М0з(г + ^ + у, ?) = —*М04(г + "2", д), (1.23)

пп

0з(г, д) = 04 (г + ^, д), 04(г, д) = 0з(г + ^, д). (1-24)

где

— + 1 .

В этих формулах аргументы всех четырех тета-функций г и д предполагаются комплексными. Функция 01(г, д) — нечётная функция от г, а остальные тети функии — чётные.

Основным инструментом при изучении тети функции является произведение Якоби. Приведём его для третьей тети функции

ж

0з(£, д) = П(1 — д2к )(1 + 2д2к—1 ш«(2£) + д4к—2). (1-25) к=1

Данная функция положительна при всех значениях £ € Ми д € (—1; 1), так как

1 + 2д2к—1 сов(2£) + д4к—2 > (1 — д2к—1)2 > 0.

Кроме того, данная функция периодична по£ с периодом п. Она убывает на интервале (0, |) и возрастает на интервале (|,п), так как подобным образом ведут себя все сомножители в (1.25). В дальнейшем нам потребуется соотношение

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Ушаков Сергей Николаевич, 2016 год

Литература

[1] Бари Н.К. Биортогоиальиые системы и базисы в гильбертовом пространстве / Н.К. Бари. // Уч. зап. МГУ. — 1951. — Т. 4, № 148. - С. 69-107.

[2] Бари Н.К. Тригонометрические ряды / Н.К. Бари. — М. : Физматлит, 1961. - 937 с.

[3] Бахвалов Н.С. Численные методы / Н.С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.М. Кобельков. // Учеб. пособие. — М. : Наука, Физматлит, 1987. _ боо с.

[4] Боголюбов Н. Н. Введение в квантовую статистическую механику / Н. Н. Боголюбов, Н. Н. Боголюбов (мл.). — М.: Наука, 1984.

_ 384 с.

[5] Глаубер Р. Оптическая когерентность и статистика фотонов / Р. Глау-бер. — Курс лекций М. : МИР, 1966. 178 с.

[6] Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей / Б.В. Гнеденко. — М. : УРСС, 2005. 448 с.

[7] Добеши И. Десять лекций по вейвлетам / И. Добеши. — Ижевск : НИЦ Регулярная и хаотическая динамики . 2001. 464 с.

[8] Деммель Дж. Вычислительная линейная алгебра. Теория и приложения / Дж. Деммель. — М. : Мир, 2001. — 430 с.

[9] Журавлев M.В. О вычислительных особенностях интерполяции с помощью целочисленных сдвигов гауссовых функций / М.В. Журавлев, Л.А. Минин, С.М. Ситник // Научные ведомости Белгородского государственного университета. 2009. №13 (68). вып. 17/2. С. 89-99.

[10] Карлин С. Чебышевские системы и их применение в анализе и статистике / С. Карлин, В. Стадден — М.: Наука. — 1976. — 568 с.

[11] Киселев Е.А. О константах Рисса для некоторых систем целочисленных сдвигов / Е.А. Киселев, Л.А. Минин, И.Я. Новиков, С.М. Ситник // Математические заметки. 2014. Т. 96 вып. 2. С. 239-250.

[12] Киселев Е.А. О построении биортогональных систем подпространств, порожденных целочисленными сдвигами одной функции / Е.А. Киселев, Л.А. Минин, И.Я. Новиков // Математические заметки. 2014. Т. 96 вып. 3. С. 468-470.

[13] Киселев Е.А., Минин Л.А. Об устойчивости разложения по дискретным системам когерентных состояний / Киселев Е.А., Минин Л.А. // Вестник ВГУ. Серия: Физика. Математика, 2014, № 3. — С. 21-28.

[14] Колмогоров А.Н. Элементы теории функций и функционального анализа (изд. пятое) / А.Н. Колмогоров, C.B. Фомин. — М.: Наука. _ 1981. _ 544 с.

[15] Кострикин А.Н. Линейная алгебра и геометрия / А.Н. Кострикин, К).И. Манин. - М. : Наука, 1986. - 304 с.

[16] Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика / Кремер Н.Ш. - М.:ЮНИТИ-ДАНА, 2004. - 573 с.

[17] Курант Р. Методы математической физики, т. 1. / Р.Курант, Д. Гильберт — М.: Гостехиздат, 1951. — 538 с.

[18] Лебедева Е.А. Минимизация константы неопределенности семейства всплесков Мейера / Е.А. Лебедева // Матем. заметки. 2007. Т. 81 вып. 4 — С. 553-560

[19] Лебедева Е.А. Всплески Мейера с наименьшей константой неопределенности / Е. А. Лебедева, В. Ю. Протасов // Матем. заметки. 2008. Т. 84 вып. 5. — С. 732-740

[20] Лебедева Е.А. Экспоненциально убывающие всплески, имеющие равномерно убывающие константы неопределенности по параметру, определяющему гладкость / Е.А. Лебедева // Сибирский мат. жур. _ 2008. - Т. 49, № 3. С. 574-591

[21] Лебедева Е.А. О принципе неопределенности для всплеск-функций Мейера / Е.А. Лебедева // Исследования по линейным операторам и теории функций. 39, Зап. научн. сем. ПОМИ, 389, ПОМИ, СПб., 2011. - С. 131-142

[22] Малла С. Вэйвлеты в обработке сигналов / С.Малла — М.: Мир, 2005. - 671 с.

[23] Мамфорд Д. Лекции о тета-функциях / Д. Мамфорд. — М. : Мир, 1988. - 448 с.

[24] Мандель Л. Оптическая когерентность и квантовая оптика / Л. Ман-дель, Э. Вольф. — М.: Физматлит, 2000. — 896 С.

[25] Наттерер Ф. Математические аспекты компьютерной томографии / Ф. Наттерер. - М. : Мир, 1990. - 288 с.

[26] Нуссбаумер Г. Быстрое преобразование Фурье и алгоритмы вычисления сверток / Г. Нуссбаумер — М.: Радио и связь, 1985. — 248 с.

[27] Нейман И. Математические основы квантовой механики / И. Нейман - М.: Наука, 1964. - 367 с.

[28] Новиков И.Я. Основные конструкции всплесков / И.Я. Новиков, С.Б. Стечкин // Фундаментальная и прикладная математика. — 1997. - Т. 3, № 4. - С. 999-1028.

[29] Новиков И.Я. Основы теории всплесков / И.Я. Новиков, С.Б. Стечкин // Успехи матем. наук. — 1998. — Т. 53, № 6. — С. 53-128.

[30] Новиков И.Я. Теория всплесков / И.Я. Новиков, В.Ю. Протасов, М.А. Скопина // М.: Физматлит, 2005. — 616 с.

[31] Переломов A.M. Замечание о полноте системы когерентных состояний / A.M. Переломов // ТМФ. - 1971. - Т. 6, № 2. - С. 213-224.

[32] Переломов A.M. Когерентные состояния и тэта-функции / A.M. Переломов // Функ. анал. и его приложения. — 1972. — Т. 6, вып. 4. - С. 47-57.

[33] Переломов A.M. Обобщенные когерентные состояния и их применения / A.M. Переломов — М. : Наука, 1987. — 272 с.

[34] Прудников А.П. Интегралы и ряды. В 3 т. Т.1. Элементарные функции. 2-е изд., исправ. / А.П. Прудников, Ю.А. Брычков, О.И. Маричев // М. : ФИЗМАТЛИТ, 2002. - 800 с.

[35] Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре / Проскуряков и.В. - М.: Наука, 1966. - 384 С.

[36] Рябенький B.C. Введение в вычислительную математику / B.C. Рябенький - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2000. - 296 с.

[37] Самарский A.A. Методы решения сеточных уравнений / A.A. Самарский, Е.С. Николаев. — М. : Наука, 1978. — 592 с.

[38] Ситник С .М. Расчёт конечномерной математической модели в задаче квадратичной экспоненциальной интерполяции / С.М. Ситник,

А.С. Тимашов // Научные ведомости БелГУ. Серия: Математика, Физика. - 2013 . 32 . С . 184-186.

[39] Ситник С.М. Приложения экспоненциальной аппроксимации по целочисленным сдвигам функций Гаусс / С.М. Ситник, А.С. Тимашов // Вестник Воронежского государственного университета инженерных технологий. — 2013 . — 2:56 . — С .90-94.

[40] Ситник С.М. Метод конечномерных приближений в задачах квадратичной экспоненциальной интерполяции сигналов / С.М. Ситник, А.С. Тимашов // // Вестник Воронежского института МВД России. _ 2014. - 2. - С . 163-171 .

[41] Суетин П.К. Классические ортогональные многочлены / П.К. Суе-тин. - М.: Наука, 1979. — 415 с.

[42] Треногин В.А. Функциональный анализ: Учебник / В.А. Треногим. — 3-е изд., испр. — М. : Физматлит, 2002. — 488 с.

[43] Уиттекер Э.Т., Ватсон Дж.Н. Курс современного Анализа. Часть вторая. Трансцендентные функции. / Э.Т. Уиттекер, Дж.Н. Ватсон

- М., ГИФМЛ, 1963. - 516 с.

[44] Чуй Ч. Введение в вей влеты / Ч. Чуй — М.: Мир, 2001. — 412 с.

[45] Balian R. Un principe d'incertitude fort en theorie du signal ou en mecanique quantique / R. Balian // C. R. Acad. Sci. Paris, 1981, 292, Serie 2. - P. 1357-1361

[46] Bargmann V. On the completeness of coherent states / V. Bargmann, P. Butera, L. Girardello, J. R. Klauder. // Rep. Math. Phys., 1971, 2.

- P. 221-228.

[47] Bourgain J. A Remark on the Uncertainty Principle for Hilbertian Basis / J. Bourgain. // Journal of Functional Analysis, 1988, 79. — P. 136-143.

[48] Fischer В., Prestin J. Wavelets based on orthogonal polynomials / B. Fisher, J. Prestin // Mathematics of computation. — 1997. — V. 66, №220

- P. 1593-1618.

[49] Lebedeva E. A. Quasispline wavelets and uncertainty constants / E.A. Lebedeva // Applied and Computational Harmonic Analysis. — 2011. — V. 30, №2, P. 214-230

[50] Low F. Complete sets of wave packets / F. Low // in A Passion for Physics - Essays in Honor of Geoffrey Chew, World Scientific, Singapore, 1985. - P. 17-22.

[51] Maz'ya V. On approximate approximations using Gaussian kernels / V. Maz'ya, G. Schmidt // IMA J. Num. Anal. 1996. V. 16. - P. 13-29.

[52] Maz'ya V. Approximate approximations / V. Maz'ya, G. Schmidt — AMS Mathematical Surveys and Monographs. — 2007. V. 141. — 350 p.

[53] Ушаков C.H. О константах неопределённости для линейных комбинаций функций Эрмита / С.Н. Ушаков // Современные методы теории функций и смежные проблемы. Материалы ВЗМШ (доп. выпуск) _ 2011. - С. 38-39.

[54] Ушаков С.Н. О константах неопределенности для линейных комбинаций функций Эрмита /С.Н. Ушаков // Вестник ВГУ. Серия: Физика. Математика, 2012, № 1. — С. 207-212.

[55] Минин Л.А. Поведение коэффициентов узловых функций, построенных из равномерных сдвигов функций Лоренца и функций Гаусса / Л.А. Минин, С.М., Ситник, С.Н. Ушаков // Научные ведомости БелГУ. Серия: Физика. Математика, 2014, № 12 (183), вып. 35.

- С. 214-217.

[56] Журавлев М.А. О константах неопределённости для линейных комбинаций некоторых подсистем когерентных состояний / М.А. Жу-

равлев, И.Я. Новиков, С.Н. Ушаков // Вестник СамГУ. Естественнонаучная серия. 2014, № 7(118) — С. 17-31.

[57] Ушаков С.Н. О константах неопределённости для линейных комбинаций некоторых подсистем когерентных состояний / С.Н. Ушаков // VIII Международный симпозиум "Ряды Фурье и их приложения": Тезисы докладов. — 2014. — С. 36.

[58] Ушаков С.Н. Интерполяция с помощью конечной суммы из сдвигов функции Гаусса. / С.Н. Ушаков //Международная конференция: "Математическое и компьютерное моделирование": Материалы Первой Международной научно-практической конференции. — 2014. _ с. 12-13.

[59] Ситник С.М. Метод конечномерных приближений в задачах квадратичной экспоненциальной интерполяции / С.М. Ситник, A.C. Тимашов, С.Н. Ушаков // Научные ведомости БелГУ. Серия: Физика. Математика. Физика, 2015, № 17 (214), вып. 40. - С. 130-142.