Эллиптические гипергеометрические функции тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.03, доктор физико-математических наук Спиридонов, Вячеслав Павлович

• Спиридонов, Вячеслав Павлович
• доктор физико-математических наук
• 2004

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Спиридонов, Вячеслав Павлович

Введение

1 Нелинейные цепочки с дискретным временем и их автомодельные решения

1.1 Метод факторизации для уравнения Шредингера.

1.1.1 Факторизационная цепочка.

1.1.2 Автомодельные потенциалы и квантовые алгебры

1.1.3 Когерентные состояния.

1.1.4 Солитоны и модели статистической механики

1.2 Конечно-разностное уравнение Шредингера.

1.2.1 Дискретная факторизационная цепочка

1.2.2 Автомодельные редукции, дискретные уравнения Пенлеве и ортогональные полиномы

1.2.3 Цепочки Тоды и Вольтерра с дискретным временем и их симметрии

1.3 Обобщенная задача на собственные значения для двух матриц Якоби . 43 ф- 1.3.1 Обобщенная факторизация и ^//-цепочка.

1.3.2 Сопряженные полиномы

1.4 Симметрии ^//-цепочки спектральных преобразований и автомодельные редукции

1.4.1 Дискретные симметрии ^//-цепочки.

1.4.2 Рациональные и тригонометрические решения

1.4.3 Эллиптические решения, простейший случай.

1.4.4 Общее эллиптическое решение.

1.5 Нелинейная цепочка для симметричных ^//-полиномов.

2 Общая теория тета-гипергеометрических рядов

2.1 Тета-гипергеометрические ряды. 2.1.1 Мультипликативная система обозначений.

2.1.2 Односторонние лЕт и двусторонние ряды.

2.2 Эллиптические гипергеометрические ряды одной переменной

2.3 Эллиптическая цепочка Бэйли.

2.4 Многократные ряды

2.4.1 Общее определение

2.4.2 Формулы суммирования для эллиптических гипергеометрических рядов на корневой системе Сп

2.4.3 Аналоги суммы Френкеля-Тураева для Лп и .£?„ рядов.

2.5 Некоторые результаты для тета-функций на Римановых поверхностях

Тета-гипергеометрические интегралы 106 ■

3.1 Общее определение

3.2 Тета и эллиптический аналоги функции; Мейера

3.3 Одномерная эллиптическая бета-функция.

3.4 Цепочки преобразований для эллиптических гипергеометрических интегралов

3.5 Многомерные эллиптические бета-интегралы для Сп корневой системы

3.5.1 Многопараметрический Сп интеграл (тип I)

3.5.2 Эллиптический аналог интеграла Сельберга (тип II)

3.5.3 Сп интеграл, связанный с детерминантом Варнаара (тип III).

3.6 Интегралы для корневой системы.

3.6.1 Многопараметрический Ап интеграл (тип I).

3.6.2 Обобщение смешанных Ап и Сп интегралов Густафсона (тип II)

3.6.3 Обобщение интегралов Густафсона-Ракха (тип II)

3.7 Дополнительный (2гг+3)-параметрический эллиптический Ап бета-интеграл (тип I).

3.8 Вывод формул суммирования для эллиптических гипергеометрических рядов с помощью вычетов

Биортогональные функции

4.1 Эллиптическое гипергеометрическое уравнение

4.2 Обобщенная задача на собственные значения и трехчленное рекуррентное соотношение.

4.3 Доказательство соотношения двухиндексной биортогональности

4.4 Интегральное представление для симметричного произведения двух \2V\1 рядов.

4.5 Обрывающаяся цепная дробь

4.6 Связь с квантовыми моделями типа Калоджеро

5 Эллиптические гипергеометрические функции с =

5.1 Модифицированная эллиптическая гамма-функция.

5.2 Модифицированные эллиптические бета-интегралы с |д| <

5.2.1 Одномерный интеграл

5.2.2 Многомерные интегралы.

5.3 Предел р—> 0 и ^-бета-интегралы с < 1.

5.3.1 Сп интеграл типа II

5.3.2 Интегралы типа I:

5.4 Одномерные биортогональные функции с |g| <

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Эллиптические гипергеометрические функции»

Специальные функции играют важную прикладную роль в теоретической и математической физике. Особенно интенсивно они используются в спектральных задачах для дифференциальных и конечно-разностных операторов в гильбертовом пространстве. С практической точки зрения такие задачи считаются точно решенными если они сводятся к уравнениям, решаемым или в элементарных функциях или в терминах классифицированных специальных функций. При этом существенную роль играют теоретико-групповые методы, позволяющие выделить системы для которых основные физические величины вычисляются в замкнутом виде. Расширение круга таких универсальных моделей является актуальной задачей математической физики.

Существует много справочников и учебников по специальным функциям, например, [2, 9, 46, 67, 91, 255]. Однако, ни один из них не содержит списка формальных свойств, которыми должна обладать функция для того чтобы быть "специальной". Обычно обсуждается какой-либо класс функций специфического вида (гипергеомегрические, авто-морфные, и т.д.). Р. Аски предложил называть специальной любую функция если она настолько полезна, что получает какое-либо собственное имя. Другая существенная, но не столь универсальная как полезность, характеристика таких функций основана на их асимптотическом поведении. Конкретнее, для специальных функций естественно ожидать, что известное локальное поведение функции позволяет вывести асимптотику на бесконечности, то есть проблема пересвязки асимптотик должна быть решаемой. Такой подход к специальным функциям характерен для специалистов, работающих над функциями типа Пенлеве и общими изомонодромными деформациями [122].

По мнению автора, эти два определения опираются на второстепенные характеристики специальных функций. Необходимо уже иметь в руках функции для того, чтобы начать определять их свойства. Если иметь целью поиск новых специальных функций, то тогда необходимо найти определение, предоставляющее более широкий набор технических средств для работы. В этом отношении необходимо подчеркнуть, что даже термин "классические специальные функции" оказывается не таким уж устойчивым. Например, к настоящему времени общепринято, что семейство классических ортогональных полиномов одной переменной включает в себя не только-полиномы Якоб и и их упрощения, но и существенно более сложные полиномы Аски-Вильсона, открытые всего два десятилетия назад [21], и всю иерархию их предельных случаев [124].

Теория групп и связанные с ними алгебры предоставляет достаточно богатый набор средств для построения новых функций, но, к сожалению, теория их представлений зачастую приводит к интерпретации функций, уже определенных каким-либо другим способом. Тем не менее, подход через группы симметрий кажется центральным в теории специальных функций. В частности, все основные "старые" специальные функции появляются из разделения переменных в очень простых (и, таким образом, универсальных и полезных) уравнениях [148]. Исследования автора в этом направлении были привязаны к следующему рабочему определению: спещтльными функциями являются функции, связанные с автомодельными редукциями цепочек спектральных преобразований для линейных задач на собственные значения.

Это определение связывает специальные функции с фиксированными точками различных непрерывных и дискретных преобразований симметрии для зафиксированной спектральной проблемы. Это определение хорошо работает только для специальных функций одной независимой переменной (которые могут зависеть от бесконечного числа параметров) и даже для них оно не претендует на покрытие всех возможных случаев. С одной стороны, это определение происходит из теории полностью интегрируемых систем, для которых поиск автомодельных решений нелинейных эволюционных уравнений является стандартной задачей [1, 117]. С другой стороны, многие примеры функций выводимых таким образом показывают, что центральное место в этом подходе занимают соотношения сопряжения—линейные или нелинейные уравнения связывающие специальные функции при различных значениях их параметров.

Схематически, данный эвристический подход к поиску таких "спектральных" специальных функций состоит из следующих шагов:

1. Необходимо взять линейную спектральную задачу, определяемую дифференциальными, конечно-разностными или интегральными уравнениями.

2. Необходимо построить другое линейно независимое уравнение по переменным, не обязательно входящим в первое уравнение, на пространстве решений первого уравнения.

3. Необходимо разрешить условие совместности взятых линейных уравнений и вывести нелинейные соотношения для функций, входящих как свободные коэффициенты в эти уравнения. Если (условно) второе уравнение дифференциальное, то возникают непрерывные потоки описываемые уравнениями типа Кортвега-де Вриза, Кадомцева-Петвиа-швили, Тоды и т.д. Если же второе уравнение конечно-разностное, то возникают цепочки уравнений с дискретным временем типа Тоды, Вольтерра и прочие, схожие по смыслу с цепочками преобразований Дарбу, меняющими спектральные данные дискретным образом.

4. Необходимо проанализировать дискретные и непрерывные симметрии полученных нелинейных уравнений с помощью Лиевских теоретико-групповых методов, то есть найти непрерывные и дискретные преобразования, отображающие пространство решений нелинейных уравнений на себя.

5. Необходимо построить автомодельные решения полученных нелинейных уравнений, которые инвариантны относительно определенных допустимых преобразований симметрии. В результате автомодельных редукций возникают конечные множества нелинейных дифференциальных, дифференциально-разностных, двумерных разностных и т.д. уравнений, решения которых определяют "нелинейные" специальные функции. Решения самих начальных линейных уравнений с коэффициентами, связанными с указанными автомодельными функциями, определяют "линейные" специальные функции.

Последние два шага носят эвристический характер, поскольку, несмотря на существенный прогресс в общей теории автомодельных редукций (см., например, [134, 142]), полностью регулярные методы построения автомодельных решений еще не построены. Например, редукции, использованные в [227, 228] для построения рекуррентных соотношений ассоциированных полиномов Аски-Вильсона и в [230] при открытии новых биор-тогональных рациональных функций, еще не нашли теоретико-групповой интерпретации. Эти редукции описаны в первой главе настоящей диссертации. Перечисление проявлений понятия автомодельности в различных математических структурах, включая спектральные задачи, дано, например, в сборнике статей [173].

Другим важным составляющим элементом теории специальных функций, не указанным в приведенной схеме, является теория трансцендентности. Известно, что функции Пенлеве трансцендентны над дифференциальными полями, построенными с помощью конечного числа расширений Пикара-Вессио поля рациональных функций. При решении дифференциальных (разностных или любых других) уравнений необходимо в конце концов определить какому дифференциальному (конечно-разностному) полю принадлежит полученное решение. Например, эти решения могут принадлежать дифференциальному полю, над которым определено начальное дифференциальное уравнение. До настоящего времени остается открытой проблема интерпретации автомодельных решений цепочек спектральных преобразований с точки зрения дифференциальной (или разностной) теории Галуа.

Спектральные задачи типа Штурма-Лиувилля имеют много приложений в физике. Квантовая механика и теория солитонов во многом основаны на спектральном анализе оператора Шредингера. Метод факторизации был предложен Шредингером как удобиый формализм для нахождения спектров некоторых операторов в квантовой механике [198]. Инфельд переформулировал задачу поиска гамильтонианов, собственные значения которых легко находятся с помощью этого метода, как проблему поиска решений факто-ризационной цепочки [106, 107]. Относительно недавно была обнаружена глубокая связь между этим формализмом и суперсимметрией и ряд исследований автора в этом направлении был посвящен более детальному изучению этой связи [188, 13, 209].

Реализация факторизационных операторов дифференциальными операторами первого порядка соответствует преобразованиям Дарбу для линейного дифференциального уравнения второго порядка, рассматривавшихся еще в XIX веке. В современной теории интегрируемых систем различные версии этого подхода фигурируют под названиями преобразовании Лапласа, Дарбу, Бэклунда, одевания, ц т.д. [1]. В теории ортогональных полиномов истоком этого метода служит теория ядерных полиномов Кристоффеля и т.д. В теории специальных функций такие преобразования соответствуют соотношениям сопряжения. Важные результаты ири исследовании этого метода были получены Бурхналлом и Чонди [42], включая некоторые элементы операторного подхода. Строгий математический анализ некоторых аспектов преобразований Дарбу и метода факторизации .дан: в [50, 51, 216, 129, 197]. Отметим, что в этом формализме специальные функции возникают как функции, связанные с автомодельными редукциями факторизационных цепочек согласно приведенной выше схеме.

Основное содержание настоящей диссертации составляют результаты исследований, проводившихся автором в течение последних пяти лет. В ней содержится описание основных положений теории принципиально нового класса специальных функций математической физики —эллиптических гипергеометрических функций. Впервые такие объекты возникли в рамках квантового метода обратной задачи рассеяния [38, 131, 203, 240] в качестве эллиптических решений уравнения Янга-Бакстера [31, 10, 53, 54, 55], которые, как это было продемонстрировано Френкелем и Тураевым в [78], выражаются через эллиптическое обобщение у-гипергео метрического ряда ю^и- В настоящей диссертации не рассматриваются соответствующие результаты, а описывается независимый подход к этим функциям, зародившийся в рамках указанной выше схемы генерирования специальных функций [230], и его дальнейшее развитие. Обычные и д-гипергеометрические ряды и интегралы нашли очень большое число приложений в различных физических теориях. Поэтому изучение специальных функций, обобщающих их на качественно новый уровень, представляет большой интерес как с чисто математической точки зрения так и в перспективе практических применений. Диссертация является в некотором смысле дополнительной к фундаментальной работе Милна [151], отражающей недавний прогресс в классической теории тета-функций Якоби.

Основными целями диссертации являются: 1) построение общей теории рядов и. интегралов гипергеометрического типа, связанных с эллиптическими функциями и тета-фуикциями Якоби, и классификация эллиптических бета-интегргиюи; 2) изучение семейства непрерывных биортогональных функций одной переменной, выражающихся в виде произведения двух обрывающихся совершенно уравновешенных 12£41 эллиптических гипергеометрических рядов со специальным выбором параметров и обобщающих полиномы Аски-Вильсона [21] и биортогональные рациональные функции Рахмана [174] и Вильсона [258, 259].

В первой главе диссертации дается краткий обзор автомодельных редукций нелинейных цепочек с дискретным временем, связанных с различными спектральных задачами. Она начинается с описания метода факторизации для уравнения Шредингера и автомодельных потенциалов, чьи дискретные спектры состоят из конечного числа геометрических прогрессий. Такие спектры генерируются специфическими полиномиальными квантовыми алгебрами, включающими в себя алгебру ^-гармонического осциллятора и ^-аналог би(1,1) алгебры. Когерентные состояния этих потенциалов описываются дифференциальными уравнениями с запаздывающим аргументом. Эти потенциалы связаны со специальными тинами бесконечно-солитонных систем, цепочками Изинга, случайными матрицами, двумерным Кулоновским газом и т.д. Полученные результаты не связаны напрямую с эллиптическими гипергеометрическими функциями,, но такие приложения специальных функций носят универсальный характер и, поэтому, они приводятся для полноты описания.

Так же в этой главе кратко излагается модификация метода факторизации для конечно-разностного оператора Шредингера или трехчленного рекуррентного соотношения для ортогональных полиномов. Дискретные аналоги преобразований Дарбу определяются преобразованием Кристоффеля от обычных к ядерным полиномам и преобразованием Геронимуса, обратным к нему [87]. Обобщение факторизационного подхода на этот случай рассмотрено впервые в [146]. Та же самая техника была открыта и в работах по численным расчетам собственных значений матриц. Такие численные алгоритмы как ¿Л, алгоритм и т.д. представляют собой различные модификации цепочек дискретных преобразований Дарбу.

Ключевые новые результаты первой главы изложены в параграфах 1.3-1.5. В параграфе 1.3 выводится цепочка спектральных преобразований цепочка) для обобщенной задачи на собственные значения для двух матриц Якоби. В следующем параграфе анализируются симметрии этой цепочки и выводится широкий класс автомодельных решений Дн-цепочки, выражающихся через рациональные, элементарные и эллиптические функции. Эти решения оказываются связанными с совершенно уравновешенным

2-с'баланеированным гипергеометрическими рядом его гу-гииергеометрическим аналогом юу*) и эллиптическим г ипер геометр и чес к им рядом. хгЯ'ц- В' последнем - параграфе выводится нелинейная цепочка спектральных, преобразований для обобщенной спектральной задачи, порождающей симметричные Я//-полиномы.

Вторая глава посвящена общей теории тета-гипергеометрических рядов. Сначала вводятся формальные ряды гипергеометрического типа, для которых отношение последовательных членов ряда есть мероморфная функция номера члена ряда, обладающая ква-зииериодичностью характерной для тета-функций Якоби (т.е. экспоненциальными множителями квазипериодичности). Это определение представляет собой обобщение старых идей Похгаммера и Хорна (см., например, обзор [86]) на случай функций с двумя независимыми квазииериодами. Ряды, ограниченные с одной стороны, обозначаются как 3ЕГ, а двусторонние ряды как 3СГ. В определенном пределе, они сводятся к хорошо известным гу-гипергеометрическим рядам 3(рг и д''г, соответственно.

Эллиптическими (функциями называются мероморфные двояко-периодические функции. Они играют фундаментальную роль в математике и одним из главных результатов диссертации является введение понятия общих эллиптических гипергеометрических рядов п интегралов. Формальные ряды с,, называются эллиптическими гииергеометричес-кими рядами, если отношение к(п) = сп+\/сп равно ограничению некоторой эллиптической «функции Н(у), у € С, на дискретную решетку у 6 2 или Ъ^. Это приводит к ряду ограничений на параметры 3£*г и 3СГ рядов, которые называются условием балансировки. В конечном счете они оказываются связанными со старыми хорошо известными условиями балансировки для обычных и д-гипергеометрических рядов. Эта спецификация тета-рядов носит фундаментальный характер и указывает путь для введения дальнейших структурных элементов. Функция /г(у) обладает конечным набором параметров, фиксирующих ее нули и полюсы, по которым она квазипериодична. Естественно потребовать, чтобы /г(у) была периодична по этим переменным. Это приводит к ограничениям на параметры, известным как условия вполне уравновешенности рядов гипергеометрического типа. Далее вводится условие совершенной уравновешенности для эллиптических гииер-геометрических рядов, также носящее достаточно естественный характер и связанное с удвоением аргумента тета-функций.

Оказывается, что при специальном значении степенного аргумента в обрывающемся совершенно уравновешенном сбалансированном юЕ9 ряде, он сворачивается в замкнутое выражение равное отношению произведений тета-функций Якоби с явно заданными аргументами. Эта сумма была впервые выведена Френкелем и Тураевым в работе [78] и при р —> 0 она сводится к сумме Джексона для обрывающегося совершенно уравновешенного сбалансированного ряда [82]. С помощью этой суммы, в параграфе 2.3 строится эллиптическая цепочка Бэйли, позволяющая найти бесконечные последовательности нетривиальных тождеств для эллиптических гипергеометрических рядов. Она обобщает хорошо известные результаты но цепочкам преобразований Бэйли для у-гипергеометрических рядов [4, 8, 11, 39, 249], ключевая итеративная природа которых была обнаружена Эндрюсом [6] (см. также [169]). Сама оригинальная работа Бэйли [25, 26] была написана с целью прояснения общего универсального механизма в доказательствах знаменитых тождеств Роджерса-Рамануджана.

Многократные эллиптические гипергеометрические ряды были рассмотрены впервые Варнааром в работе [250]. В параграфе 2.4 дается общее определение многократных эллиптических гнпергеометрических рядов и приводится несколько типов обобщений суммы Френкеля-Тураева на многократные ряды на корневых системах Ап и Сп.

Последний параграф этой главы посвящен обсуждению возможности обобщения эллиптических результатов на Римановы поверхности произвольного рода. При этом удается получить довольно простую формулу суммирования для однократного многопараметрического телескопирующегося ряда, построенного из многомерных тета-функций Ри-мапа. Этот результат обобщает один из результатов Варнаара, связанный с эллиптическим аналогом многопараметрической суммы Макдональда.

В третьей главе излагаются результаты исследований автора по тета-гипергеометри-ческим интегралам, обобщающим обычные и </-гипергеометрические интегралы на эллиптический уровень. Согласно их общему определению, данному в параграфе 3.1, необходимо взять мероморфную функцию Д(уг,., у„) и сконструировать многократные интегралы 1п ~ fv Д(уь ., уп) dyi ■ ■ • <hjn с некоторой областью 'D € С™. При этом требуется, чтобы ядра Д(уг,., уп) удовлетворяли системе разностных уравнений первого порядка с коэффициентами, обладающими свойствами аналогичными условиям квазипериодичности тета-функций Якоб и. В параграфе 3.1 выводится общий вид таких интегралов в одномерном случае, что приводит к эллиптическому и тета-аналогам функции Мейера. При этом важную роль играют эллиптические гамма-функции.

Стандартная эллиптическая гамма-функция с двумя базисными переменными q и р, удовлетворяющими ограничениям |</|, |р| < 1, как независимый объект теории специальных функций, была рассмотрена Ргойсенаарсом в недавней работе [190] с удовлетворительным с современной точки зрения анализом ее свойств. Впервые функции такого типа появились в работе Джексона 1905 г. [114]. В неявном виде эта функция возникала также во многих исследованиях по решаемым моделям статистической механики, начиная со статьи Вахтера 1972 г. по восьмивершинной модели [31]. Некоторые дополнительные важные свойства этой функции были установлены Фельдером и Варченко в [72]. При этом точных формул интегрирования, связанных с этой обобщенной гамма-функцией, ни в одном из упомянутых исследований не предлагалось. Другой тип эллиптической гамма-функции, у которой один из базисных параметров может лежать на единичной окружности, предложен автором диссертации в [221]. В тригонометрическом-пределе эта функция вырождается в известную обобщенную гамма-функцию, рассмотренную в новое время Шинтани [201] и названную функцией двойного синуса [132]. Все эти гамма-функции выражаются в виде различных комбинаций многократной гамма-функции Барнса [27, 28], играющей таким образом основополагающую роль в теории функций гипергеометрического тина.

В параграфе 3.2 получен один из самых важных результатов диссертации, состоящий в вычислении одномерного эллиптического бета-интеграла, выражающегося через стандартную эллиптическую гамма-функцию Г(г](],р), хорошо определенную при |р|, < 1. С его помощью, в параграфе 3.4 построено два интегральных аналога цепочек Бэйли, которые приводят к двоичному дереву тождеств для эллиптических гипергеометрических интегралов. Этот результат описывает самый первый пример интегрального аналога леммы Бэйли.

В параграфах 3.5, 3.6 и 3.7 выводятся тг-кратные эллиптические бета-интегралы на корневых системах Ап и С„. Всего получено семь различных точных формул интегрирования, разбитых на три тина- Тип I характеризуется наличием 2п + 3 свободных параметров и доказываются с помощью разностных уравнений. Тип II выводится из типа I с помощью составных многомерных интегралов путем разных порядков интегрирования в них и такие интегралы содержат меньше чем 2п + 3 параметра. Интегралы типа III вычисляются как нетривиальные детерминанты от одномерного эллиптического бета-интеграла. Часть из этих интегралов обобщает многократные (¡г-бета интегралы Густафсона [96, 97, 98, 99] и Густафсона-Ракха [101]. Наиболее важный из них представляет собой эллиптический аналог интеграла Сельберга [199].

В четвертой главе диссертации конструируется система биортогональных функций одной переменной, для которых одномерный эллиптический бета-интеграл определяет меру в соотношениях биортогональности. Начинается она с описания соотношений сопряжения для эллиптической гипергеометрической функции, заданной контурным интегралом. Аналогичные соотношения справедливы для обрывающегося совершенно уравновешенного 12 ^и эллиптического гипергеометрического ряда с аргументом :г = —1. Эти соотношения эквивалентны уравнениям пары Лакса для обобщенной спектральной задачи первой главы.

В параграфе 4.2 вводятся функции Яп(г-, п 6 М, выражающиеся через совершенно уравновешенный 12^11 ряд со специальной параметризацией. С помощью соотношений сопряжения, для этих функций выводится трехчленное рекуррентное соотношение по номеру 7i € N и. разностное уравнению второго порядка по с.

Параграф 4.3 содержит еще один ключевой результат диссертации. Для функций Rnk(z) eh Rn(z\q,p)Rk(z-,p,q) и их партнеров из дуального пространства Тпк(с) Г2 Tn(z-,q,p) X-Tk(z\p,q), где Tn(z-,q,p) есть последовательность функций аналогичных R,t(z; q, р), доказано соотношение двухиндексной биортогональности. По всей видимости, такие соотношения, характерные для функций двух независимых переменных, еще не встречались в теории специальных функций одной переменной. Кроме того, функции (г) и T„t(z) не имеют предела р —> 0 при к ф 0, то есть в общем случае они существуют только на эллиптическом уровне.

В параграфе 4.4 выводится интегральное представление для симметричного произведения двух обрывающихся совершенно уравновешенных п Еп рядов. В следующем параграфе выводится обрывающаяся ценная дробь, связанная с трехчленным рекуррентным соотношением для функций i?n(c;q,p) и описываемая аналогичным 12Ец рядом. Эта дробь включает в себя цепную дробь, Рамануджана [180, 34] и ее обобщение, найденное Массоном [145], которые выражаются через обычную гипергеометрическую функцию gi^g. Также она содержит и сопутствующие г/-гииергеометрические аналоги Ватсона [253] и Гуцты-Массона [94], выражающиеся через ю^д ряд. В параграфе 4.6 кратко описывается связь разностного уравнения для Rn{z\q,p) с одночастичным сектором обобщенной конечно-разностной эллиптической модели типа Калоджеро-Сазерленда-Мозера, предложенной в работах [57, 58].

В пятой главе диссертации теория тета и эллиптических гипергеометрических функций обобщена на случай когда один из базисных параметров, например q, лежит на единичной окружности, |g| = 1, но при этом \р\ < 1.

В разделе 5.1 вводится модифицированная эллиптическая гамма-функция G(u;uj), параметризуемая тремя комплексными переменными и^2,3- Она удовлетворяет трем разностным уравнениям первого порядка, одно из которых совпадает с ключевым уравнением для р) при определенной связи между q,p и параметрами о»,. Эта функция хорошо определена при [р| < 1, = 1, в отличие от Г(~;д,р). При тригонометрическом вырождении возникает функция двойного синуса, связанная с концепцией модулярного дубля Фаддеева [68, 69, 70] (в этой серии работ эта функция называемая некомпактным квантовым дилогарифмом).

В параграфе 5.2 выводятся аналоги основных эллиптических бета-интегралов, рассмотренных в третьей главе в режиме \р\ < 1, = 1. В следующем параграфе рассматривается предел Im(a>3/a>2) —> +оо взятым так, что одновременно с р —> 0 параметр г также стремится к нулю, г —> 0. Это приводит к некомпактным q-бета-интегралам по бесконечным контурам, выражающимся через функцию двойного синуса. Эти интегралы доказываются независимым образом, так как взятый предел носит формальный характер. В разделе 5.3.1 представлен интеграл такого типа, связанный с модифицированным эллиптическим бета-интегралом типа II для системы корней Сп. В разделе 5.3.2 рассмотрены соответствующие партнеры для эллиптических бета-интегралов типа I на системах корней Лп и С„. В параграфе 5.4 кратко описываются одномерные биортого-нальные функции с мерой, определяемой одномерным элиитическим бета-интегралом, и их q-гипергеометрическое вырождение.

В заключении перечислены основные результаты, выносимые на защиту.

Результаты диссертации докладывались и обсуждались на семинарах Лаборатории теоретической физики им. Н.Н. Боголюбова ОИЯИ, в отделах дифференциальных уравнений и:математической:.физики Математическом института им. В.А. Стеклова РАН (г. Москва), в университетах в городах Монреаль (Канада), Париж (Франция), Сантьяго и Талька (Чили), Луван-ла-Нев (Бельгия), Институте Математики им. Макса Планка (г. Бонн, Германия). Также результаты диссертации были представлены в докладах на следующих международных конференциях и совещаниях: "Special functions" (Гон Конг, 1999), школе передовых: исследований НАТО "Special functions-2000: Current perspective and future directions" (Аризона, США, 2000), "Fifth International Conference on Difference Equations and Applications" (Темуко, Чили, 2000), "Integrable Structures of Exactly Solvable Two-Dimensional Models of Quantum Field Theory" (Киев, Украина, 2000), "Algebra and Theory of Numbers" (Талька, Чили, 2000), "Asymptotic Combinatorics with Applications to Mathematical Physics" (Санкт Петербург, 2001), "Special Functions in the Digital Age" (Институт Прикладной Математики, Миннеаполис, США, 2002), "Foundations of Computational Mathematics" (Миннесота, США, 2002), "Number Theory and Combinatorics in Physics" (Флорида, США, 2003), "Jack, Hall-Littlewood, and Macdonald Polynomials" (Эдинбург, 2003), "Special functions, orthogonal polynomials, quantum groups and related topics" (Бексбах, Германия, 2003), "Классические и квантовые интегрируемые системы" (Протвино, 2002, 2003; Дубна, 2004), международном семинаре "Quarks-2004" (Псков, 2004). По теме диссертации написана 21 статья, цитированные как [60]- [64], [113], [214]-[224] и [230]- [233].

Заключение диссертации по теме «Математическая физика», Спиридонов, Вячеслав Павлович

Заключение

В диссертации получены следующие основные результаты:

1. Построена одномерная эллиптическая бета-функция, зависящая от пяти независимых параметров и двух базисных переменных. Она определяет принципиально новый класс точно вычисляемых интегралов, обобщающих бета-интеграл Эйлера, д-бета-интегралы Аски-Вильсона, Рахмана и их различные предельные случаи.

2. Предложено и полностью доказано несколько многомерных эллиптических бета-интегралов различных типов, связанных с системами корней: Дп и Сп. Один из этих интегралов представляет собой эллиптическое обобщение интеграла Сельберга, имеющего фундаментальное значение из-за большого числа приложений.

3. Построена общая теория рядов и интегралов гипергеометрического типа связанных с тета-функциями Якоби, названных тета-гипергеометрическими функциями. Прояснено происхождение условий балансировки, вполне уравновешенности и совершенной уравновешенности для функций гипергеометрического типа с точки зрения условий эллиптичности, содержащихся в эллиптических гипергеометрических функциях.

4. Построена система непрерывных биортогональных функций одной переменной, для которых одномерный эллиптический бета-интеграл определяет меру. Построены трехчленное рекуррентное соотношение и разностное уравнение для этих функций. Открыт новый тип соотношений ортогональности, названный двухиндексной биортогональностью. На настоящее время — это самая общая система специальных : функций одной переменной, обобщающая классические ортогональные полиномы Аски-Вильсона и биортогональные рациональные функции Рахмана.

5. Найдено эллиптическое обобщение цепочки Бэйли для рядов гипергеометрического типа и с его помощью выведен ряд тождеств для эллиптических гипергеометрических рядов. Впервые показано, что формализм цепочек Бэйли имеет интегральный аналог. С помощью одномерного эллиптического бета-интеграла построено двоичное дерево тождеств для многократных эллиптических гипергеометрических интегралов.

6. Вычислена самая общая известная на настоящий момент обрывающаяся цепная дробь, связанная с функциями гипергеометрического типа. Она выражается через обрывающийся совершенно уравновешенный 12Ец эллиптический гипергеометрический ряд.

7. Исходя из сумм вычетов в многомерных эллиптических бета-интегралах выведены формулы суммирования многократных эллиптических гипергеометрических рядов на корневых системах Л„ и Сп.

8. Предложена модифицированная эллиптическая гамма-функция, которая хорошо определена в случае когда один из базисных параметров лежит на единичной окружности, |</| — 1. Найдены модифицированные эллиптические бета-интегралы, для которых подынтегральная функция и результат точного вычисления выражаются через эту обобщенную гамма-функцию.

9. Получен ряд новых результатов для q-гипергеометрических функций: С помощью модулярно преобразованной гамма-функции, введен новый класс /7-функций Мей-ера, который был пропущен в предыдущих исследованиях. Строго доказаны многомерные д-бета-интегралы, выражающиеся через функцию двойного синуса и появляющиеся в формальном пределе р —> 0 из модифицированных эллиптических бета-интегралов на корневых системах Ап и С„.

10. Построена (1+1)-мерная интегрируемая цепочка с дискретным временем (Rij-цепочка), которая обобщает обычную и релятивистскую цепочку Тоды с дискретным временем. Она получается из условия совместности двух разностных уравнений с рациональной зависимостью от спектрального параметра. Найдена автомодельная редукция й//-цепочки, порождающая широкий класс эллиптических решений и приводящая к биортогопальным функциям выражающимся через совершенно уравновешенные эллиптические гипергеометрические ряды.

В заключении я хотел бы выразить признательность моим соавторам С.О. Варнаару, JI. Вине, Я.Ф. ван Диехену, A.C. Жеданову, И.М. Луценко и С.К. Скорику за плодотворное сотрудничество. Стимулирующие обсуждения с Р. Аски, А. Берковичем, A.A. Бо-либрухом, Дж. Гаспером, Д. Загиром, М. Исмаилом, К. Кратенталером, Ю.И. Маниным, А. Окуньковым, М. Рахманом, Э. Рэйнсом, X. Розенгреном, С.К. Сусловым, В. Тарасовым, С.М. Харчевым и Дж. Эндрюсом были важны для изучения различных проблем изложенных в настоящей диссертации. Я глубоко благодарен руководству и сотрудникам Лаборатории теоретической физики им. H.H. Боголюбова, а также В.А. Матвееву и В.А. Рубакову за интерес к моей работе и поддержку. Некоторые важные результаты, представленные в диссертации, были получены при визитах в Институт математики им. Макса Планка (г. Бонн, Германия) — я выражаю искреннюю благодарность дирекции этого института за создание благоприятных условий для работы, творческую атмосферу и гостеприимство. Я также благодарен Российскому Фонду Фундаментальных Исследований за финансовую поддержку исследований, отраженных в настоящей диссертации, на протяжении ряда лет в рамках грантов 97-01-00281, 97-01-01041, 00-01-00299, 03-01-00780, 03-01-00781.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Спиридонов, Вячеслав Павлович, 2004 год

1. M.J. Ablowitz and Н. Segur, Solitons and the Inverse Scattering Transform (SIAM, Philadelphia, 1981).

2. M. Abramowitz and I.A. Stegun (Eds.), Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables,National Bureau of Standards Applied Mathematics Series, Vol. 55, US Government Printing Office, Washington, DC, 1964.

3. B.E. Адлер, Перекройка многоугольников, Функц. Анализ Прил. 27(2) (1993), 79-82.

4. А.К. Agarwal, G.E. Andrews, and D.M. Bressoud, The Bailey lattice, J. IndiansMath^. Soc. (N.S.) 51 (1987), 57-73.

5. G. Anderson, A short proof of Selberg's generalized beta formula, Forum Math.3(1991), 415-417.

6. G.E. Andrews, Multiple series Rogers-Ramanujan type identities, Pacific J; Math. 114 (1984), 267-283.

7. G.E. Andrews, The well-poised thread: an organized chronicle of some amasing summations and their implications, Ramanujan J. 1 (1997), 7-23.

8. G.E. Andrews, Bailey's transform, lemma, chains and tree, Proc. NATO ASI Special functions-2000 (Tempe, USA, May 29-June 9, 2000), Kluwer, Dordrecht, 2001, pp. 1-22.

9. G.E. Andrews, R. Askey, and R. Roy, Special Functions, Encyclopedia of Math. Appl. 71, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1999.

10. G.E. Andrews, R.J. Baxter, and P.J. Forrester, Eight-vertex SOS model and generalized Rogers-Ramanujan-type identities, J. Stat. Phys. 35 (1984), 412-485.

11. G.E. Andrews and A. Berkovich, The WP-Bailey tree and its implications, J. London Math. Soc (2) 66 (2002), 529-549.

12. G.E. Andrews and A. Berkovich, A trinomial analogue of Bailey's lemma and N = 2 superconformal invariance, Commun. Math. Phys. 192 (1998), 245-260.

13. A.A. Andrianov, M.V. Ioffe, and V.P. Spiridonov, Higher-derivative supersymmetry and the Witten index, Phys. Lett. A174 (1993), 273-279.

14. K. Aomoto, Jacobi polynomials associated with, Selberg's integral, SIAM J. Math. Anal. 18 (1987), 545-549.

15. K. Aomoto, On elliptic product formulas for Jackson integrals associated with reduced root systems, J. Alg. Comb. 8 (1998), 115-126.

16. M; Arik and' D.D. Coon, Hilbert spaces of analytic functions and generalized coherent states, J. Math. Phys. 17 (1976), 524-527.

17. R. Askey, An elementary evaluation of a beta type integral, Ind. J. Pure Appl. Math. 14 (1983), 892-895.

18. R. Askey, Beta integrals in Ramanujan's papers, his unpublished work and further examples, Ramanujan Revisited, Academic Press, Boston, 1988, pp. 561-590.

19. R. Askey and M.E.H. Ismail, Recurrence relations, continued fractions and orthogonal-polynomials, Mem. Am. Math. Soc. 49 (1984), 1-107.

20. R. Askey and S.K. Suslov, The q-harmonic oscillator and the Al-Salam and Carlitz polynomials, Lett. Math. Phys. 29 (1993), 123-132.

21. R. Askey and J. Wilson, Some basic hypergeometric orthogonal polynomials that generalize Jacobi polynomials, Mem. Amer. Math. Soc. 54 (1985), no. 319.

22. H.M. Атакишиев, С.К. Суслов, Об одной реализации q-гармонического осциллятора, Теор. Мат. Физ. 87 (1991), 442-444.

23. W.N. Bailey, Series of hypergeometric type which are infinite in both directions, Quart. J. Math. Oxford 7 (1936), 105-115.

24. W.N. Bailey, Well-poised basic hypergeometric series, Quart. J. Math. (Oxford) 18 (1947), 157-166.

25. W.N. Bailey, Some identities in combinatory analysis, Proc. London Math. Soc. (2), 49 (1947), 421-435.

26. W.N. Bailey, Identities of the Rogers-Ramanujan type, Proc. London Math. Soc. (2), 50 (1949), 1-10.

27. E.W. Barnes, The theory of the double gamma function, Phil. Trans. Royal Soc. A196 (1901), 265-387.

28. E.W. Barnes, On the theory of the multiple gamma function, Trans. Cambridge Phil. Soc. 19 (1904), 374-425.

29. E.W. Barnes, The linear difference equation of the first order, Proc. London Math. Soc. (2), 2 (1905), 438-469.

30. F.L. Bauer, The g-algorithm, J. Soc. Ind. Appl. Math. 8 (1960), 1-17.

31. R.J. Baxter, Partition function of the eight-vertex lattice model, Ann. Phys. (NY) 70 (1972), 193-228.

32. R.J. Baxter, Exactly Solved Models in Statistical Mechanics, Academic Press, London, 1982.

33. A. Berkovich, B.M. McCoy, and A. Schilling, N — 2supersymmetry and Bailey pairs, Physica A 228 (1996), 33-62.

34. B.C. Berndt, R.L. Lamphere, and B.M. Wilson, Chapter 12 of Ramanujan's second notebook: Continued fractions, Rocky Mount. J. Math. 15 (1985), 235-310.

35. G. Bhatnagar, D n basic hypergeometric series, Ramanujan J. 3 (1999), 175—203.

36. G. Bhatnagar and S.C. Milne, Generalized bibasic hypergeometric series and their U(n) extensions, Adv. Math. 131 (1997), 188-252.

37. G. Bhatnagar and M. Schlosser, Cn and Dn very-well-poised 10фд transformations, Constr. Approx. 14 (1998), 531-567.

38. H.M. Боголюбов, А.Г. Изергин, B.E. Корепин, Корреляционные функции интегрируемых систем и квантовый метод обратной задачи, М.: Наука, 1992.

39. D.M. Bressoud, Some identities for terminating q-series, Math. Proc. Camb. Phil. Soc. 89 (1981), 211-223.

40. D. Bressoud, M.E.H. Ismail, and D. Stanton, Change of base in Bailey pairs, Ramanujan J. 4 (2000), 435-453.

41. A. Bultheel, Р. González-Vera, E. Hendriksen, and O. Njástad, Orthogonal rational functions, Cambridge Monographs on Applied and Computational Mathematics, Vol. 5, Cambridge University Press, Cambridge, 1999.

42. J.L. Burchnall and T.W. Chaundy, Commutative ordinary differential operators I & II, Proc. Lond. Math. Soc. 21 (1923), 420-440; Proc. Roy. Soc. A118 (1928), 557-583.

43. F.J. Bureau, Differential equations with, fixed critical points, in: Painlevé Transcendents, NATO ASI series. Series В; vol. 278, Plenum Press, New; York, 1990, pp. 103-123:

44. A.H. Варченко, Детерминант матрицы многомерных гипергеометрических интегралов, Доклады АН СССР 308 (1989), 777-780.

45. А.П. Веселов, А.Б. Шабат, Одевающая цепочка и спектральная теория оператора Шредингера, Функц. Анализ Прил. 27 (2) (1993), 1-21.

46. Н.Я. Виленкин, Специальные функции и теория представлений групп, М.: Наука, 1965:

47. T.S. Chihara, AnTntroduction to Orthogonal Polynomials, Gordon and Breach, New York, 1978.

48. W.C. Chu, Inversion techniques and combinatorial identities, Bull. Un. Mat. Ital. 7 (1993), 737-760.

49. D.D. Coon, S. Yu, and S. Baker, Operator formulation of a dual multiparticle theory with nonlinear trajectories, Phys. Rev. D5 (1972), 1429-1433.

50. M.M. Crum, Associated Sturm-Liouville systems, Quart. J. Math. Oxford 6 (1955), 121127.

51. P.A. Deift, Applications of a commutation formula, Duke. Math. J. 45 (1978), 267-310.

52. E. Date, M. Jimbo, M. Kashiwara, and T. Miwa, Transformation groups for soliton equations,Nonlinear Integrable Systems, World Scientific, Singapore, 1983, pp. 41-119.

53. E. Date, M. Jimbo, A. Kuniba, T. Miwa, and M. Okado, Exactly solvable SOS models: local height probabilities and theta function identities, Nucl. Phys. В 290 (1987), 231-273.

54. E. Date, M. Jimbo, A. Kuniba, T. Miwa, and M. Okado, Exactly solvable SOS models, II: Proof of the star-triangle relation and combinatorial identities, Conformal Field Theory and Lattice Models, Advanced Studies in Pure Math. 16 (1988), 17-122.

55. E. Date, М. Jimbo, Т. Miwa, and М. Okado, Fusion of the eight vertex SOS model, Lett. Math. Phys. 12 (1986), 209-215, erratum and addendum 14 (1987), 97.

56. R.Y. Denis and R.A. Gustafson, An SU(n) q-beta integral transformation: and multiple hypergeometric series identities, SIAM J. Math. Anal. 23 (1992), 552-561.

57. J.F. van Diejen, Integrability of difference Calogero-Moser systems, J. Math. Phys. 351994), 2983-3004.

58. J.F. van Diejen, Difference Calogero-Moser systems and finite Toda chains, 3. Math. Phys. 36:(1995), 1299-1323.

59. J.F. van Diejen, On certain multiple Bailey, Rogers, and Dougall type summation formulas, Publ. Res. Inst. Math. Sci. 33 (1997), 483-508;

60. J.F. van Diejen and V.P. Spiridonov, An elliptic Macdonald-Morris conjecture and multiple modular hypergeometric sums, Math. Res. Letters 7 (2000); 729-746.

61. J.F. van Diejen and V.P. Spiridonov, Elliptic Selberg integrals, Internat. Math. Res. Notices, no. 20 (2001), 1083-1110.

62. J.F. van Diejen and V.P. Spiridonov, Modular hypergeometric residue sums of elliptic Selberg integrals, Lett. Math. Phys. 58 (2001), 223-238.

63. J.F. van Diejen and V.P. Spiridonov, Elliptic beta integrals and modular hypergeometric sums: an overview, Rocky Mountain J. Math. 32(2) (2002), 639-656.

64. J.F. van Diejen and V.P. Spiridonov, Unit circle elliptic beta integrals, The Ramanujan J. (2005), в печати (preprint arXiv: math.CA/0309279).

65. J.J. Duistermaat and F.A. Griinbaum, Differential equations in the spectral parameters, Commun. Math. Phys. 103 (1986), 177-240.

66. M. Eichler and D. Zagier, The Theory of Jacobi Forms, Progress in Math. 55, Birkhauser, Boston, 1985.

67. A. Erdelyi, W. Magnus, F. Oberhettinger, and F.G. Tricomi, Higher Transcendental Functions, Vols. I, II, III, McGraw-Hill, New York, 1953.

68. L.D. Faddeev, Discrete Heisenberg-Weyl group and modular group, Lett. Math. Phys. 341995), 249-254.

69. L.D. Faddeev, Modular double of a quantum group, Conf. Moshe Flato 1999, vol. I, Math. Phys. Stud. 21, Kluwer, Dordrecht, 2000, pp. 149-156.

70. L.D. Faddeev, R.M. Kashaev, and A.Yu. Volkov, Strongly coupled quantum discrete Li-ouville Theory. I: Algebraic approach and duality, Commun. Math. Phys. 219 (2001), 199-219.

71. J.F. Fay, Theta functions on Riemann surfaces, Lect. Notes in Math. 353, SpringerVerlag, Berlin, 1973.

72. G. Felder and A. Varchenko, The elliptic gamma function and SL(3, Z) k Z3, Adv. Math. 156 (2000), 44-76.

73. G. Felder and A. Varchenko, Theq-deformed Knizhnik-Zamolodchikov-Bernard heat equation, Comm. Math. Phys. 221 (2001), 549-571.

74. G. Felder and A. Varchenko, Hyper geometric theta functions and elliptic Macdonald polynomials, preprint (2003), arxiv:math.QA/0309452.

75. H. Flaschka, A commutator representation of Painleve equations, J. Math. Phys. 21 (1980), 1016-1018.

76. A.S. Fokas, A.R. Its, and A.V. Kitaev, Discrete Painleve equations and their, appearance in quantum gravity, Comm. Math. Phys. 142 (1991), 313-344.

77. P.J. Forrester, B. Jancovici, and G. Tellez, Universality in some classical Coulomb systems of restricted dimension, J. Stat. Phys. 84 (1996), 359-378.

78. I.B. Frenkel and V.G. Turaev, Elliptic solutions of the Yang-Baxter equation and modular hypergeometric functions, The Arnold-Gelfand Mathematical Seminars, Birkhauser, Boston, 1997, pp. 171-204.

79. U. Frisch and R. Bourret, Parastochastics, J. Math. Phys. 11 (1970), 364-390.

80. K. Garrett, M.E.H. Ismail, and D. Stanton, Variants of the Rogers-Ramanujan identities, Adv. Appl. Math. 23 (1999), 274-299.

81. F. Garvan and G. Gonnet, Macdonald's constant term conjectures for exceptional root systems, Bull. Amer. Math. Soc. 24 (1991), 343-347.

82. G. Gasper and M. Rahman, Basic Hypergeometric Series, Encyclopedia of Math. Appl. 35, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1990.

83. G. Gasper and M. Rahman, Basic Hypergeometric Series, Encyclopedia of Math. Appl. 35, Cambridge Univ. Press, Cambridge (second edition), to appear.

84. M. Gaudin, Une famille à une paramètre d'ensembles unitaires, Nucl. Phys. 85 (1966), 545-575.

85. M. Gaudin, Gaz coulombien discret à une dimension, J. Phys. (France) 34 (1973), 511522.

86. И.М. Гельфанд, М.И. Граев, B.C. Ретах, Общие гипергеометрические системы уравнении и ряды гипергеометрического типа, Успехи Мат.; Наук 47 (4) (1992), 3-82.

87. Я.Л. Геронимус,О полиномах, ортогональных относительно данной числовой последовательности, Записки НИИ Математики и Механики; ХГУ и Харьковского Мат. Общества 17 (1940), 3-18.

88. Я.Л. Геронимус, О полиномах ортогональных относительно данной числовой последовательности и теорема В. Хана, Изв. Акад. Наук СССР 4 (1940), 215-228.

89. А.А. Гончар, О скорости рациональной аппроксимации некоторых аналитических функций, Мат. Сборник 105 (1978), 147-163.

90. А.А. Гончар, Гиермо Лопес Л., О теореме Маркова для многоточечных Паде аппроксимаций, Мат. Сборник 105 (1978), 512-525.

91. И.С. Градштейн, И.М. Рыжик, Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений, 5-е Изд., М.: Наука, 1971.

92. В. Grammaticos, V. Papageorgiou, and A. Ramani, Discrete dressing transformations and Painlevé equations, Phys. Lett. A235 (1997), 475-479.

93. D.P. Gupta and D.R. Masson, Watson's basic analogue of Ramanujan's entry and its generalization, SIAM J. Math. Anal. 25 (1994), 429-440.

94. D.P. Gupta and D.R. Masson, Contiguous relations, continued fractions and orthogonality, Trans. Amer. Math. Soc. 350 (1998), 769-808.

95. R.A. Gustafson, The Macdonald identities for affine root systems of classical type and hypergeometric series very-well-poised on semisimple Lie algebras, Ramanujan International Symposium on Analysis, Macmillan of India, New Dehli, 1989, pp. 185-224.

96. R.A. Gustafson, A generalization of Selberg's beta integral, Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) 22 (1990), 97-105.

97. R.A. Gustafson, Some q-beta and Mellin-Barnes integrals with many parameters associated to the classical groups, SIAM J. Math. Anal. 23 (1992), 525-551.

98. R.A. Gustafson, Some q-beta integrals on SU(n) and Sp(n) that generalize the Askey-Wilson and Nassrallah-Rahman integrals, SIAM J. Math. Anal. 25 (1994), 441-449.

99. R^A. Gustafson, Some q-beta and Mellin-Bames integrals on compact Lie groups and Lie algebras, Trans. Amer. Math. Soc. 341 (1994), 69-119.

100. R.A. Gustafson and C. Krattenthaler, Determinant evaluations and U(n) extensions of Heine's i-transformations, Special Functions, g-Series and Related Topics, Fields Inst. Commun. 14, Amer. Math. Soc., RI, 1997, pp. 83-89.

101. W 101. R-A. Gustafson and M.A. Rakha, q-Beta integrals and multivariate basic hypergeometricseries associated to root systems of type Am, Ann. Comb. 4 (2000), 347-373.

102. L. Habsieger, La q-conjecture de Macdonald-Morris pour G2, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I, Math. 303 (1986), 211-213.

103. G.J. Heckman and E.M. Opdam, Yang's system of particles and Hecke algebras, Ann. Math: 145 (1997), 139-173; erratum 146 (1997), 749-750.

104. R. Hirota, Exact solution of the Korteweg-de Vries equation fot multiple collisions of solitons, Phys. Rev. Lett. 27 (1971), 1192-1194.

105. W.J. Holman III, L.C. Biedenharn, and J.D. Louck, On hypergeometric series well-poised in SU(n), SIAM J. Math. Anal. 7 (1976), 529-541.

106. L. Infeld, On a new treatment of some eigenvalue problems, Phys. Rev. 59 (1941), 737747.

107. L. Infeld and T.E. Hull, The factorization method, Rev. Mod. Phys. 23 (1951), 21-68 =108.: V.I. Inozemtsev, Lax representation with spectral parameter on a torus for integrable particle systems, Lett. Math. Phys. 17 (1989), 11-17.

108. A. Iserles, On the generalized pantograph functional-differential equation, Europ. J. Appl. Math. 4 (1993), 1-38.

109. M.E.H. Ismail and D.R. Masson, Generalized orthogonality and continued fractions, J. Approx. Theory 83 (1995), 1-40.tф-, HI. М.Е.Н. Ismail and М. Rahman, The associated Askey-Wilson polynomials, Trans. Axner.

110. Math. Soc. 328 (1991), 201-237.

111. M. Ito, On a theta product formula for Jackson integrals associated with root systems of rank two, J. Math. Anal. Appl. 216 (1997), 122-163.

112. A.C. Жеданов, В.П. Спиридонов, Гипергеометрические биортогоналъные рациональные функции, Успехи Мат. Наук, 54 (2) (1999); 173-174.

113. F.H. Jackson, The basic gamma-function and the elliptic functions, Proc. Roy. Soc. London A76( 1905), 127-144.

114. M. Jiinbo and T. Miwa, Quantum KZ equation with \q\ = 1 and correlation functions of * the XXZ model in the gapless regime, J. Phys. A: Math. Gen. 29 (1996), 2923-2958.

115. W.B. Jones and W.J. Thron, Continued Fractions: Analytic Theory and Applications, Addison-Wesley, 1980.

116. B.E. Захаров, C.B. Манаков, С.П. Новиков, JI.П. Питаевский, Теория солитонов: Метод обратной задачи, М.: Наука, 1980.

117. K.W.J. Kadell, A proof of the q-Macdonald-Morris conjecture for BCn, Mem; Axner. Math. Soc. 108 (1994), no. 516.

118. Y. Kajihara and M. Noumi, Multiple elliptic hypergeometric series. An approach from the Cauchy determinant, Indag. Math. 14 (2003), 395-421.

119. K. Kajiwara, T. Masuda, M. Noumi, Y. Ohta, and Y. Yamada, wEg solution to theelliptic Painleve equation, J. Phys. A: Math. Gen. 36 (2003), L263-L272.

120. T. Kato and J.B. McLeod, The functional-differential equation y'(x) = ay(Xx) + by(x), Bull: Am. Math. Soc. 77 (1971), 891-937.

121. A.V. Kitaev, Special functions of the isomonodromy type, Acta Appl. Math. 64 (2000), 1-32.

122. S. Kharchev, D. Lebedev, and M. Semenov-Tian-Shansky, Unitary representations of Uq(sl(2,H)), the modular double and the multiparticle q-deformed Toda chains, Commun. Math. Phys. 225 (2002), 573-609.

123. R. Koekoek and R.F. Swarttouw, The Askey scheme of hypergeometric orthogonal polynomials and its q-analogue, Report 98-17, Faculty of Technical Mathematics and Informatics, Delft Univ. of Technology, 1998.

124. Y. Komori, Ruijsenaars' commuting difference operators and invariant subspace spanned by theta functions, J. Math. Phys. 42 (2001), 4503-4522.

125. Y. Komori and K. Hikami, Quantum integrability of the generalized elliptic Ruijsenaars models, J. Phys. A: Math. Gen. 30 (1997), 4341-4364.

126. Т.Н. Koornwinder, Askey- Wilson polynomials for root systems of type ВС, Contemp. Math. 138 (1992), 189-204.

127. C. Krattenthaler, The major counting of nonintersecting lattice paths and; generating functions for tableaux, Mem. Amer. Math. Soc. 115 (1995), no. 552.

128. M.G. Krein, On a continuous analogue of a Christoffel formula in the theory of orthogonal polynomials, Doklady Akad. Nauk SSSR 19 (1957), 1095-1097.

129. П.П. Кулиш, Контракция квантовых алгебр и q-осцилляторы, Теор. Мат. Физ. 86 (1991), 157-160.

130. P.P. Kulish and Е.К. Sklyanin, Quantum spectral transform method. Recent developments, Lect. Notes. Phys. 151 (Springer, 1982), pp. 61-119.

131. N. Kurokawa, Multiple sine functions and Selberg zeta functions, Proc. Japan Acad. 67. A (1991), 61-64.

132. D.A. Leonard, Orthogonal polynomials, duality and association schemes, SIAM J. Math. Anal. 13 (1982), 656-663.

133. D. Levi and P. Winternitz, Continuous symmetries of discrete equations, Phys. Lett. A152 (1991), 335-338.

134. A.M. Levin and M.A. Olshanetsky, Painleve-Calogero correspondence, preprint alg-geom/9706012.

135. Yu. Liu, On functional differential equations with proportional delays, Ph.D. thesis, Cambridge University, 1996.

136. I.M. Loutsenko and V.P. Spiridonov, Self-similar potentials and Ising models, Письма в ЖЭТФ 66 (1997), 747-753.

137. I.M. Loutsenko and V.P. Spiridonov, Spectral self-similarity, one-dimensional Ising chains and random matrices, Nucl. Phys. B538 (1999), 731-758.

138. I.M. Loutsenko and V.P. Spiridonov, Soliton solutions of integrable hierarchies and Coulomb plasmas, J. Stat. Phys. 99 (2000), 751-767.

139. I.G. Macdonald, Constant term identities, orthogonal polynomials, and affine Hecke algebras, Doc. Math. (1998), DMV Extra Volume ICM I, pp. 303-317.

140. A.J. Macfarlane, On g-analogues of the quantum harmonic oscillator and guantum group* SU{2)„ J. Phys. A: Math. Gen. 22 (1989), 4581-4588.

141. S. Maeda, The similarity method for difference eguations, IMA J. Appl. Math. 38 (1987), 129-134.

142. A. Magnus, Special non uniform lattice (SNUL) orthogonal polynomials on discrete dense fr sets of points, J; Comp. Appl. Math. 65 (1995), 253-265.

143. Yu.I. Manin, Sixth Painleve equation, universal elliptic curve, and mirror of V2, AMS Transl. (2) 186 (1998), 131-151.

144. D.R. Masson, A generalization of Ramanujan's best theorem on continued fractions, C.R. Math. Rep. Acad. Sci. Canada 13 (1991), 167-172.

145. W. Miller, Jr., Lie theory and difference eguations I, J. Math. Anal. Appl. 28 (1969), 383-399.

146. W. Miller, Jr., Lie theory and g-difference eguations, SI AM J. Math. Anal. 1 (1970), 171-188.

147. W. Miller, Jr., Symmetry and Separation of Variables, Addison-Wesley, Reading, 1977.

148. S.C. Milne, Multiple g-series and U(n) generalizations of Ramanujan's sum, Ramanu-jan Revisited, Academic Press, Boston, 1988, pp. 473-524.

149. S.C. Milne, The multidimensional sum and Macdonald identities for A\l\ Theta. Functions Bowdoin 1987, Proc. Symp. Pure Math. 49 (part 2), Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1989, pp. 323-359.

150. S.C. Milne, Infinite families of exact sums of sguares formulas, Jacobi elliptic functions, continued fractions, and Schur functions, Ramanujan J. 6 (2002), 7-149.

151. S.C. Milne and G.M. Lilly, The Ai and Ci Bailey transform and lemma, Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) 26 (1992), 258-263.

152. S.C. Milne and G.M. Lilly, Consequences of the At and Ci Bailey transform and Bailey lemma, Discr. Math. 139 (1995), 319-346.

153. W.G. Morris, Constant term identities for finite and affine root systems: Conjectures and theorems, Ph.D. dissertation, Univ. of Wisconsin, 1982.

154. D. Mumford, Tata Lectures on Theta I, II, Progress in Math. 28, 43, Birkhauser, Boston, 1983, 1984.

155. B. Nassrallah and M. Rahman, On the q-analogues of some transformations of nearly-poised hypergeometric series, Trans. Amer. Math. Soc. 268 (1981), 211-229.

156. B. Nassrallah and M. Rahman, Projection formulas, a reproducing kernel and a generating

157. P function for q-Wilson polynomials, SIAM J. Math. Anal; 16 (1985), 186-197.

158. Ю.А. Неретин, Матричные аналоги В-функции и формула Планшереля для керн-представлений Березина, Мат. Сборник 191 (5) (2000), 67-100.

159. Ю.А. Неретин, Бета-интегралы и конечные ортогональные системы многочленов, Мат. Сборник 193 (7) (2002), 131-148.

160. Yu.A. Neretin, Rayleigh triangles and non-matrix interpolation of matrix beta-integrals, preprint (2003), math.CA/0301070.

161. M. Nishizawa and K. Ueno, Integral solutions of hypergeometric q-difference systems with \q\ = 1, Physics and Combinatorics (Nagoya, 1999), World Scientific, River Edge, 2001, pp. 273-286.P

162. С.П. Новиков, И.А. Дынников, Дискретные спектральные симметрии маломерных дифференциальных операторов и разностных операторов на правильных решетках и двумерных многообразиях, Успехи Мат. Наук 52 (5) (1997), 175-234:

163. V.Yu. Novokshenov, Reflectionless potentials and soliton series of the KdV equation, Теор. Мат. Физ. 93 (1992) 286-301.

164. A. Okounkov, ВС-type interpolation Macdonald polynomials and binomial formula for Koomwinder polynomials, Transform. Groups 3 (1998), 181-207.

165. A. Okounkov and G. Olshanski, Shifted Jack polynomials, binomial formula, and applications, Math. Res. Lett. 4 (1997), 69-78.

166. U 166. M.A. Olshanetsky and A.M. Perelomov, Quantum integrable systems related to Lie algebras, Phys. Reps. 94 (1983), 313-404.

167. М.А. Олыианецкий, В.-Б.К. Рогов, Унитарные представления квантовой группы Лоренца и квантовая релятивисткая цепочка Тоды, Теор. Мат. Физ. 130 (3) (2002), 355-382.

168. Г.И. Ольшанский; Вероятностные меры на дуальных объектах к компактным симметрическим пространствам и гипергеометрические тождества, Функ. Ан. и Прил. 37 (4) (2003), 49-73.

169. P. Paule, On identities of the Rogers-Ramanujan type, J. Math; Anal. Appl. 107 (1985), 255-284.

170. V.G. Papageorgiou, F.W. Nijhoff, B; Grammaticos, and A. Ramani, Isomonodromic deformation problems for discrete analogues of Painleve equations,Phys. Lett. A164 (1992), 57-64.

171. A.M. Perelomov, Generalized Coherent States and Their Applications, Springer-Verlag, Berlin, 1986.

172. B. Ponsot and J. Teschner, Clebsch-Gordan and Racah-Wigner coefficients for a continuous series of representations ofUq(sl(2,Il)), Commun. Math; Phys. 224 (2001), 613-655.

173. V.B. Priezzhev and V.P. Spiridonov (Eds.), Self-Similar Systems, Proc. of the Internat. Workshop (JINR, E5-99-38, Dubna, 1999).

174. M. Rahman, An integral representation of а юфд and continuous bi-orthogonal юфд rational functions, Can. J. Math. 38 (1986), 605-618.

175. M. Rahman, Biorthogonality of a system of rational functions with respect to a positive measure on -1,1], SIAM J. Math. Anal. 22 (1991), 1430-1441.

176. M. Rahman and S.K. Suslov, Classical biorthogonal rational functions, Lecture Notes in Math. 1550, Springer-Verlag, Berlin, 1993, pp. 131-146.

177. E.M. Rains, BCn-symmetric polynomials, preprint (2001), arxiv:math.QA/0112035.

178. E.M. Rains, Transformations of elliptic hypergeometric integrals, preprint (2003), arxiv:math.QA/0309252.

179. E.M. Rains, В Сn-symmetric abelian functions, preprint (2004), arxiv:math. CO/0402113.

180. S. Ramanujan, Notebooks, Tata Institute of Fundamental Research, Bombay, 1957.

181. H. Rosengren, A proof of a multivariable elliptic summation formula conjectured by Warnaar, Contemp. Math. 291 (2001), 193-202;

182. H. Rosengren, Elliptic hypergeometric series on root systems, Adv. Math; 181 (2004), 417-447.

183. H. Rosengren, New transformations for elliptic hypergeometric series on the root system An, preprint (2003), arXiv: math.CA/0305379.

184. H. Rosengren, An elementary approach to 6j-symbols (classical, quantum, rational,, trigonometric, and elliptic), preprint (2003), arXiv: math.CA/0312310.

185. H. Rosengren, Sklyanin invariant integration, preprint (2004), arXiv: math.QA/0405072.

186. H. Rosengren and M. Schlosser, Summations and' transformations for multiple: basic and elliptic hypergeometric series by determinant evaluations, preprint: (2003), arXiv: math.CA/0304249.

187. H. Rosengren and: M. Schlosser, On Warnaar's elliptic matrix inversion and Karlsson-Minton-type elliptic hypergeometric series, preprint (2003), arXiv: math.CA/0309358.

188. V.A. Rubakov and V.P. Spiridonov, Parasupersymmetric quantum mechanics, Mod. Phys. Lett. A3 (1988), 1337-1347.

189. S.N.M. Ruijsenaars, Complete integrability of relativistic Calogero-Moser systems and elliptic function identities, Comm. Math. Phys. 110 (1987), 191-213.

190. S.N.M. Ruijsenaars, First order analytic difference equations and integrable quantum systems, J. Math. Phys. 38 (1997), 1069-1146.

191. S.N.M. Ruijsenaars, Generalized hypergeometric function satisfying four analytic difference equations of Askey-Wilson type, Comraun. Math. Phys. 206 (1999), 639-690.

192. S.N.M. Ruijsenaars, A generalized hypergeometric function III. Associated Hilbert space transform, Commun. Math. Phys. 243 (2003), 413-448.

193. H. Sakai, Rational surfaces associated with affine root systems and geometry of the Painleve equations, Comm. Math. Phys. 220 (2001), 165-229.

194. M. Schlosser, Multidimensional matrix inversions and AT and Dr basic hypergeometric series, Ramanujan J. 1 (1997), 243-274.195 196 [197 [198199200201202203204205206 207

195. M. Schlosser, Summation theorems for multidimensional basic hypergeometric series by determinant evaluations, Discrete Math. 210 (2000), 151—169.

196. M. Schlosser, A nonterminating summation for the root system CT, J. Comput. Appl. Math., to appear.

197. U.-W. Schminke, On Schrodinger's factorization method for Sturm-Liouville operators, Proc. Roy. Soc. Edinburgh 80A (1978), 67-84.

198. E. Schrodinger, A method of determining quantum-mechanical eigenvalues and eigen-functions, Proc. Roy. Irish Acad. A46 (1940), 9-16; Further studies on solving eigenvalue problems by factorization, Proc. Roy. Irish Acad. A46 ( 1940), 183-206.

199. A. Selberg, Bemerkninger от et multipelt integral, Norsk Mat. Tiddskr. 26 (1948), 71-78; Collected Papers, vol. 1, Springer Verlag, Berlin, 1989, pp. 204-213.

200. A.B. Shabat, The infinite dimensional dressing dynamical system, Inverse Prob. 8 (1992), 303-308.

201. T. Shintani, On a Kronecker limit formula for real quadratic field, J. Fac. Sci. Univ. Tokyo 24 (1977), 167-199.

202. E.K. Склянин, О некоторых алгебраических структурах, связанных с уравнением Янга-Бакстера,Функц. Анализ Прил. 16 (1982), 27-34.

203. Е.К. Склянин, Л.А. Тахтаджян, Л.Д. Фаддеев, Квантовый метод обратной задачи, Теор. Мат. Физ. 40 (1979), 194-220.

204. S. Skorik and V. Spiridonov, Self-similar potentials and the q-oscillator algebra at roots of unity, Lett. Math. Phys. 28 (1993), 59-74.

205. S. Skorik and V. Spiridonov, On the spectra of hyperelliptic potentials, Phys. Lett. A190 (1994), 90-95.

206. J. Slater, Generalized Hypergeometric Functions, Cambridge Univ. Press, 1966.

207. S.P. Smith, A class of algebras similar to the enveloping algebra of si(2), Trans. Amer. Math. Soc. 322 (1990), 285-314.

208. V. Spiridonov, Deformed conformal and supersymmetric quantum mechanics, Mod. Phys. Lett. A7 (1992), 1241-1251.

209. V. Spiridonov, Symmetries of the self-similar potentials, Comm. Theor. Phys. (Allahabad) 2 (1993), 149—163.

210. V. Spiridonov, Coherent states of the q-Weyl algebra, Lett. Math. Phys. 35 (1995), 179185.

211. V. Spiridonov, Universal superpositions ; of coherent states and , self-similar potentials, Phys. Rev. A52 (1995), 1909-1935; (E) A53, 2903; quant-ph/9601030;

212. V. Spiridonov, Symmefnes of factorization chains for the discrete Schrodinger equation, J. Phys. A: Math. Gen. 30 (1997), L15-L21.

213. V.P. Spiridonov, Solitons and Coulomb plasmas, similarity ¡reductions and special functions, Proc. International Workshop Special Functions (Hong Kong, China, June 21-25, 1999), World Scientific, 2000,! pp. 324-338:

214. V.P. Spiridonov, An elliptic beta integral, Proc. Fifth International Conference on Difference Equations and Applications (Temuco, Chile, January 3-7, 2000), Taylor and Francis, London, 2001, pp.273-282.

215. В.П. Спиридонов, Об эллиптической бета-функции, Успехи Мат. Наук 56 (1) (2001), 185-186.

216. V.P. Spiridonov, Theta hypergeometric series, Proc. NATO ASI Asymptotic Combinatorics with Applications to Mathematical Physics (St. Petersburg, Russia, July 9-23, 2001), Kluwer, Dordrecht, 2002, pp. 307-327.

217. V.P. Spiridonov, An elliptic incarnation of the Bailey chain, Internat. Math. Res. Notices, no. 37 (2002), 1945-1977.

218. В.П. Спиридонов, Модулярность и полная эллиптичность некоторых многократных рядов гипергеометрического типа, Теор. Мат. Физ. 135 (2003), 462-477.

219. V.P. Spiridonov, Theta hypergeometric integrals, Алгебра и Анализ 15 (6) (2003), 161— 215.

220. В.П: Спиридонов, Дерево Бэйли для интегралов, Теор. Мат. Физ. 139 (2004), 104111.

221. V.P. Spiridonov, Short proofs of the elliptic beta integrals, preprint (2004), arXiv: math.CA/0408369.

222. V. Spiridonov, L. Vinet, and?A. Zhedanov, Difference Schrodinger operators with linear and exponential discrete spectra, Lett. Math. Phys. 29 (1993), 63-73.

223. V.P. Spiridonov and S.O. Warnaar, Inversions of integral operators and elliptic beta integrals on root systems, направлено в печать.

224. V. Spiridonov and A. Zhedanov, Discrete Darboux transformations, discrete time Toda lattice and the Askey-Wilson polynomials, Methods and Appl. Anal. 2 (1995), 369-398.

225. V. Spiridonov and A. Zhedanov, Discrete-time Volterra chain and classical orthogonal polynomials, J. Phys. A: Math. & Gen. 30 (1997), 8727-8737.

226. V. Spiridonov and A. Zhedanov, Zeros and orthogonality of the Askey-Wilson polynomials for q a root of unity, Duke Math. J. 89 (1997), 283-305.

227. V.P. Spiridonov and A.S. Zhedanov, Spectral transformation chains and some new biorthogonal rational functions, Commun. Math. Phys. 210 (2000), 49-83.

228. V.P. Spiridonov and A.S. Zhedanov, Classical biorthogonal rational functions on elliptic grids, C. R. Math. Rep. Acad; Sci. Canada 22 (2) (2000), 70-76.

229. V.P. Spiridonov and A.S. Zhedanov, Generalized eigenvalue problem and a new family of rational functions biorthogonal on elliptic grids, Proc. NATO AS I Special Functions-2000 (Tempe, USA, May 29-June 9, 2000), Kluwer, Dordrecht, 2001, pp. 365-388.

230. V.P. Spiridonov and A.S. Zhedanov, To the theory of biorthogonal rational functions, RIMS Kokyuroku 1302 (2003), 172-192.

231. V.P. Spiridonov and A.S. Zhedanov, Elliptic grids, rational functions, and the Pade interpolation, направлено в печать.

232. V.P. Spiridonov and A.S. Zhedanov, Poissson algebras for some generalized eigebvalue problems, J. Phys. A: Math. Gen. (2004), в печати.

233. D. Stanton, Some q-Krawtchouk polynomials on Chevalley groups, American J. Math. 102 (1980), 625-662.

234. J.V. Stokman,, On ВС type basic hypergeometric orthogonal polynomials, Trans. Amer. Math. Soc. 352 (2000), 1527-1579.

235. J.V. Stokman, Hyperbolic beta integrals, preprint (2003), arXiv: math.QA/0303178; Adv. Math., to appear.

236. G. Szego, Orthogonal Polynomials, Am. Math. Soc., 1959 (second edition).

237. JI.А. Тахтаджян, JI.Д. Фаддеев, Квантовый метод обратной задачи и XYZ модель Гейзенберга, Успехи Мат. Наук 34 (5) (1979), 13-63:

238. Y. Takeyama, The q-twisted cohomology and the q-hypergeometric function at |<?| = 1, Publ. Res. Inst. Math. Sci. 37 (2001), no. 1, 71-89.

239. V.Tarasov and A. Varchenko, Geometry of q-hypergeometric functions, quantum affine algebras and elliptic quantum groups, Astérisque 246 (1997), 1-135.

240. V. Tarasov and A. Varchenko, Selberg type integrals associated with sl3, preprint (2003), arxiv:math.QA/0302148.

241. V. Tarasov and A. Varchenko, Identities between q-hypergeometric and hypergeometric integrals of different dimensions, preprint (2003), arxiv:math.QA/0309372.

242. A. Tovbis, Meromorphic solutions to a differential-difference equation describing certain self-similar potebtials, Nonlinearity 14 (2001), 933-842.

243. Л.Д. Фаддеев, Обратная задача для квантовой теории рассеяния, Успехи Мат. Наук 14 (4)(1959), 57-119.

244. A.Yu. Volkov, Noncommutative hypergeometry, preprint (2003), arXiv: math.QA/0312084;

245. S.O. Warnaar, A note on the trinomial analogue of Bailey's lemma, J. Comb. Th. A 81 (1998), 114-118.

246. S.O. Warnaar, 50 years of Bailey's lemma, Algebraic Combinatorics and Applications (Springer, Berlin, 2001), pp. 333-347.

247. S.O. Warnaar, Summation and transformation formulas for elliptic hypergeometric series, Constr. Approx. 18 (2002), 479-502.

248. S.O. Warnaar, Extensions of the well-poised and elliptic well-poised Bailey lemma Indag. Math. (N.S.) 14 (2003), 571-588.

249. S.O. Warnaar, Summation formulae for elliptic hypergeometric series preprint (2003), arXiv: math.CA/0309242.

250. G.N. Watson, Ramanujan's continued fraction, Proc. Camb. Phili Soc. 31 (1935), 7-17.

251. J. Weiss, Periodic fixed points of Backlund transformations, J. Math. Phys. 31 (1987), 2025-2039.

252. E.T. Whittaker and G.N; Watson, A Course of Modern Analysis,Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1986.

253. H.S. Wilf and D. Zeilberger, An.algorithmic proof theory for hypergeometric (ordinary and "q" ) multisum/integral identities, Invent. Math. 108 (1992), 575-633.

254. J.H. Wilkinson, The Algebraic Eigenvalue;Problem, Clarendon Press, Oxford, 1965.

255. J.A. Wilson, Hypergeometric Series, Recurrence Relations and,Some New Orthogonal Functions, Ph. D. thesis, Univ. of Wisconsin, Madison, WI, 1978.

256. J.A. Wilson, Orthogonal functions from Gram determinants, SIAM J. Math. Anal. 22 (1991), 1147-1155.

257. L. Wuytack, On the osculatory rational interpolation problem, Math. Comp. 29 (1975), 837-843.

258. D. Zeilberger and D. Bressoud, A proof of Andrews' q-Dyson conjecture, Discrete Math. 54 (1985), 201-224.

259. A.S. Zhedanov, On the realization of the Weyl commutation relation HR = qRH, Phys. Lett. A176 (1993), 300-302.

260. A.S. Zhedanov, Biorthogonal rational functions and the generalized eigenvalue problem, J. Approx. Theory 101 (1999), 303-329.

261. E.I. Zolotarev, Sur l'application des fonctions elliptiques aux questions de maxima et minima, Bull, de l'Acad. des Sciences de St.-Pétersbourg, 3 série, 24 (1878), 305-310.