Меры и операторы, связанные с производящими функциями экспоненциального типа в одномерном и бесконечномерном случаях тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Родионова, Ирина Викторовна

• Родионова, Ирина Викторовна
• кандидат физико-математических наук
• 2005

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Родионова, Ирина Викторовна

Введение

1 Ортогональные полиномы с производящей функцией экспоненциального типа в одномерном случае

1.1 Объединяющий подход к ортогональным полиномам с производящей функцией экспоненциального тина и их мер ортогональности.

1.2 Операторы рождения и уничтожения в одномерном случае

2 Ортогональные полиномы с производящей функцией экспоненциального типа в бесконечномерном случае

2.1 Взаимодействующее пространство Фока F-n{'H).

2.2 Поля Якоби, связанные с производящими функциями экспоненциального типа.

2.3 Производящая функция.

2.4 Пространство основных функций (Т>).

2.5 Оператор дх.

2.6 Дуальное пространство (Т>)* и оператор д\.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Меры и операторы, связанные с производящими функциями экспоненциального типа в одномерном и бесконечномерном случаях»

Теория ортогональных полиномов находится в тесной связи со многими важными областями анализа, см., например, [14, 15]. Ортогональные полиномы связаны с тригонометрическими, бесселевыми и эллиптическими функциями, с непрерывными дробями, важными проблемами интерполирования, а также встречаются в теории дифференциальных и интегральных уравнений. Ортогональные полиномы играют важную роль в теории вероятностей, математической статистике и квантовой механике.

Некоторые классические системы полиномов, такие как полиномы Эрмита, Шарлье, Лагерра, Эйлера, Бернулли и Кравчука, имеют производящую функцию экспоненциального типа, т.е. вида G(x, z) = exp(xty(z))f(z). В современной литературе такие полиномы называются полиномами Шеффера, а в случае, когда z) = z — полиномами Аппелля.

В 1934 году Й. Мейкснер (J. Meixner) доказал, что существует в точности пять классов ортогональных полиномов с производящей функцией экспоненциального типа. Это полиномы Эрмита, Шарлье, Лагерра, Мейкснера и Мейкснера Поллачека, которые ортогональны относительно, соответственно, гауссовской меры, пуассоновской меры, гамма меры, меры Паскаля и меры Мейкснера. Следует также отметить недавнюю работу И. Кубо (I. Kubo) (2004), в которой, в частности, был предложен новый подход к решению проблемы нахождения полиномов с производящей функцией экпоненциального типа, которые ортогональны относительно некоторой вероятностной меры fi на R.

Все пять систем ортогональных полиномов с производящей функцией экспоненциального типа нашли широкое применение в бесконечномерном анализе. Здесь, в первую очередь, следует упомянуть гаус-совский бесконечномерный анализ, в частности, анализ белого шума.

В основе бесконечномерного гауссовского анализа лежит изоморфизм Винера-Ито-Сигала между симметрическими пространством Фока и пространством функций, суммируемых с квадратом относительно гауссовской меры. Этот изоморфизм получается с помощью разложения произвольной функции из L2 -пространства по бесконечномерным ортогональным полиномам Эрмита.

Как известно, матрицей Якоби называется бесконечная симметрическая матрица, у которой только три центральные диагонали являются ненулевыми. В работах Ю. М. Березанского и В. Д. Кошманенко (1969) классическое понятие матрицы Якоби было обобщено до понятия ноля Якоби, т.е. семейства самосопряженных операторов в пространстве Фока, которые имеют трех-диагональную структуру Примером ноля Якоби является семейство нолевых операторов, т. е. сумма операторов рождения и уничтожения.

Преобразования Фурье по обобщенным совместным собственным векторам коммутирующего поля Якоби дает унитарный изоморфизм между пространством Фока и пространством функций на бесконечномерном пространстве, суммируемых с квадратом относительно спектральной меры поля Якоби. Такой подход был предложен Ю. М. Бе-резанским в 1991 году и активно развивался на протяжении последних лет. С помощью этого подхода удалось получить обобщение гауссов-ского анализа белого шума на случай некоторых негауссовских мер, в частности, пуассоновской меры.

Отметим также другой подход к построению негауссовского анализа белого шум, предложенный Ю. Л. Далецким в 1991 году и развитый в работах С. Альбеверио (S. Albeverio), Ю. JI. Далецкого, Ю. Г. Кондратьева, j1. Штрайта (L. Streit), Ж. Яна (J. Yan), Г. Ф. Уса и др. В основе этого подхода лежит построение пространства основных функций с помощью системы (вообще говоря, неортогональных) бесконечномерных обобщенных полиномов Аппелля и построение пространства обобщенных функций с помощью дуальной системы (не являющейся, вообще говоря, полиномами). При этом обобщенная система полиномов Аппелля имеет производящую функцию экспоненциального типа.

В работе Л. Аккарди (L. Accardi), Й. Г. Лу (Y. G. Lu) и И. В. Воло-вича (1997) было введено понятие взаимодействующего пространства Фока, т.е. пространства типа пространства Фока, но с нестандартным скалярным произведением. В работе Ю. Г. Кондратьева и др. (1998) было доказано, что с помощью ортогональной системы бесконечиомерных полиномов JIareppa можно получить унитарный изоморфизм между /^-пространством, построенным по гамма мере, и некоторым взаимодействующим пространством Фока. Бесконечномерный анализ, связанный с гаммой мерой, а также с мерой Паскаля и мерой Мейкс-нера, развивался в дальнейшем в работах 3. И. Хуанга (Z.Y. Huang), Й. By (Y. Wu), Ю. Г. Кондратьева, Ю. М. Березанского, Д. А. Миер-жевского, Н. А. Качановского.

Поскольку система полиномов Эрмита на действительной прямой является системой Аппелля, то соответствующий оператор уничтожения является оператором дифференцирования. Кроме того, было известно, что оператор уничтожения, построенный по полиномам Шар-лье является разностным оператором. Однако явная формула действия оператора уничтожения в остальных случаях ортогональных полиномов с производящей функцией экспоненциального типа оставалась неизвестной.

До настоящего времени оставалось также невыясненным существует ли взаимосвязь между системами ортогональных полиномов, описанными Мейкснером. В частности, не было известно, существует ли общая формула для производящей функции экспоненциального типа, приводящей к ортогональным полиномам. Также не было изучено, существует ли общая формула для преобразования Фурье соответствующих мер ортогональности. Наконец, не была известна взаимосвязь между действием операторов уничтожения, соответствующих различным ортогональным полиномам с производящей функцией экспоненциального типа.

До настоящего времени во всех работах, связанных с бесконечномерными ортогональными полиномами с производящей функцией экспоненциального типа строился анализ, связанный исключительно со стационарными процессами с независимыми значениями, в то время как нестационарные процессы оставались неизученными. Однако случай нестационарных процессов является важным как для абстрактного анализа, так и для его приложений (например, в финансовой математике).

Кроме того, отсутствовал единый подход к изучению анализа белого шума, связанного с ортогональными бесконечномерными полиномами с производящей функцией экспоненциального типа.

Основной целью работы является построение с единой точки зрения анализа, связанного с ортогональными полиномами с производящей функцией экспоненциального типа в одномерном и бесконечномерном случаях; в частности, построение производящей функции этих полиномов и преобразования Фурье меры ортогональности; в бесконечномерном случае — построение соответствующего поля Якоби во взаимодействующем пространстве Фока, построение преобразования Фурье но обобщенным совместным собственным векторам этого поля Якоби, построение пространства основных и обобщенных функций, а также описание действия соответствующих операторов рождения и уничтожения в функциональной реализации.

В работе используются методы современного бесконечномерного анализа, в частности, бесконечномерного комплексного анализа, а также спектральной теории семейств коммутирующих самосопряженных операторов.

Все основные результаты диссертации являются новыми. Среди них можно выделить следующие наиболее важные:

I. В одномерном случае:

1. Все производящие функции экспоненциального типа для систем ортогональных полиномов, а также преобразования Фурье соответствующих мер ортогональности приведены к единому виду.

2. Получены и приведены к единому виду явные формулы действия операторов рождения и уничтожения, построенных по системам ортогональных полиномов с производящей функцией экспоненциального типа.

II. В бесконечномерном случае:

1. Построено новое гильбертово пространство, удовлетворяющее аксиомам взаимодействующего пространства Фока, названное ^-пространством Фока, и в нем построено коммутирующее поле Якоби.

2. По обобщенным совместным собственным векторам этого поля Якоби построено преобразование Фурье, являющееся унитарным изоморфизмом / между J]- пространством Фока и пространством функций, определенных на ко-ядерном пространстве и суммируемых с квадратом по вероятностной мере ц.

3. Описано преобразование Фурье меры /i.

4. Доказано, что унитарный изоморфизм I может быть получен с; помощью разложения произвольной функции из /^-пространства по системе ортогональных полиномов с производящей функцией экспоненциального типа.

5. Получены явные формулы действия соответствующих операторов рождения и уничтожения в функциональной реализации.

Работа имеет теоретический характер. Полученные результаты дают основу для дальнейшего развития бесконечномерного анализа, связанного с классом вероятностных мер, изучаемых в диссертации. Они также могут использоваться для моделирования финансовых рынков типа Блэка-Шоулса, в которых вместо экспоненциального броуновского движения используется экспоненциальный (нестационарный) процесс с независимыми приращениями, ведущий себя в каждый момент времени как гауссовский или пуассоновский или гамма процесс или процесс Паскаля или Мейкснера.

Результаты диссертации докладывались на международной научной конференции International Gnedenko Conference (Киев, 2002), на международной научной конференции "Топологические и вариационные методы нелинейного анализа и их приложений" (Воронеж, 2005), на семинаре Академика НАН Украины Ю.М. Березанского Института математики НАН Украины (Киев, 2005), на семинаре физико-математического факультета Белгородского государственного университета (Белгород, 2005).

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [12], [13], [51], [52], [53].

Диссертация состоит из введения, двух глав, разбитых на восемь параграфов и списка литературы.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Родионова, Ирина Викторовна, 2005 год

1. Березанский Ю.М. Разложение по собственным функциям самосопряженных операторов / Ю.М. Березанский. - Киев : Наукова думка, 1965. - 800 с.

2. Березанский Ю.М. Самосопряженные операторы в пространствах функций бесконечного числа переменных / Ю.М. Березанский. Киев : Наукова думка, 1978. - 360 с.

3. Березанский Ю.М. Спектральные методы в бесконечномерном анализе / Ю.М. Березанский, Ю.Г. Кондратьев. Киев : Наукова думка, 1988. - 680 с.

4. Березанский Ю.М. Функцианальный анализ / Ю.М. Березанский, Г.Ф. Ус, З.Г. Шефтель. Киев : Выща школа, 1990. - 600 с.

5. Березанский Ю.М. Асимптотическая теория поля в терминах t операторных якобиевых матриц / Ю.М. Березанский, В.Д. Когаманенко // Доклады Академии Наук СССР. 1969. - Т. 189. - С. 273-276.

6. Березанский Ю.М. Аксиоматическая теория поля в терминах операторных якобиевых матриц / Ю.М. Березанский, В.Д. Кош-маненко // Теоретическая мат. физика. 1971. - вып. 8, № 2. - С. 175-191.

7. Березин Ф.А. Метод вторичного квантования / Ф.А. Березин. -Москва : Наука, 1965. 235 с.

8. Бурбаки Н. Функции действительного переменного. Элементарная теория / Н. Бурбаки. Москва : Наука, 1965. - 424 с.

9. Далецкий Ю.Л. Биортогональный аналог полиномов Эрмита и обратное преобразование Фурье относительно негауссовской меры / Ю.Л. Далецкий // Функциональный анализ и приложения. -1991. вып. 25, № 2. - С. 68-70.

10. Гельфанд И.М. Обобщенные функции, Выпуск 4. Некоторые применения гармонического анализа. Оснащенные гильбертовы пространства / И.М. Гельфанд, Н.Я. Виленкин. Москва : Физмат. литература, 1961. - 472 с.

11. Рид М. Методы современной математической физики. Том 1. Функциональный анализ / М. Рид, Б. Саймон. Москва : Мир, 1977. - 357 с.

12. Родионова И.В. Об операторах рождения и уничтожения для ортогональных полиномов с порождающей функцией экспоненциального типа / И.В. Родионова // Труды математического факультете ВГУ. 2005. - № 9 (новая серия). - С. 93-99.

13. Родионова И. Заметка о виковском упорядочении некоторых классов полевых операторов / И. Родионова // Семинар по глобальному и стохастическому анализу : сб. науч. ст., вып. 1 / Воронеж. гос. ун-т. Воронеж, 2005. - С. 59-65.

14. Сегё Г. Ортогональные многочлены / Г. Сегё. Москва : Физ.-мат. литература, 1962. - 500 с.

15. Суетин П. К. Классические ортогональные многочлены / П. К. Суетин. Москва : Наука, 1979. - 415 с.

16. Albeverio S. Non-Gaussian infinite dimensional analysis / S. Albeverio, Yu.L. Daletsky, Yu.G. Kondratiev, L. Streit // J. Funct. Anal. 1996. - V. 138, № 2. - P. 311-350.

17. Accardi L. Meixner classes and the square of white noise / L. Accardi // Finite and infinite dimensional analysis in honor of Leonard Gross, New Orleans, LA, 2001. American Mathematical Society, Providens, Rhode Island, 2003. - V. 317. - P. 1-13.

18. Accardi L. Interacting Fock space and Gaussianization of probability measures / L. Accardi, M. Bozeko // Infin. Dim. Anal. Quantum Prob. Rel. Topics. 1998. - V. 1, № 4. - P. 663-670.

19. Accardi L. Interacting Fock spaces and Hilbert module extensions of the Heisenberg commutation relations / L. Accardi, Y.G. Lu, I. Volovich // Publications of HAS, Kyoto. 1997.

20. Berezansky Yu.M. Spectral approach to white noise analysis, in Dyanamics of Complex and Irregular systems / Yu.M. Berezansky // Bielefeld, 1991. Bielefeld Encount. Math. Phys., VIII, World Sci. Publishing, River Edge, NJ, 1993. - P. 131-140.

21. Berezansky Yu.M. On the theory of commutative Jacobi fields / Yu.M. Berezansky // Methods Funct. Anal. Topology. 1998. - V. 4, № 1. - P. 1-31.

22. Berezansky Yu.M. Poisson measure as the spectral measure of Jacobi field / Yu.M. Berezansky // Infin. Dimens. Anal. Quantum Probab. Relat. Top. 2000. - V. 3, № 1. - P. 121 139.

23. Berezansky Yu.M. Pascal measure on generalized functions and the corresponding generalized Meixner polynomials / Yu.M. Berezansky // Methods Funct. Anal. Topology. 2002. - V. 8, № 1. - P. 1-13.

24. Berezansky Yu.M. The structure of the extended symmetric Fock space / Yu.M. Berezansky, D.A. Mierzejewski // Methods Funct. Anal. Topology. 2000. - V. 6, № 4. - P. 1-13.

25. Berezansky Yu.M. The chaotic; decomposition for the Gamma field / Yu.M. Berezansky, D.A. Mierzejewski // Функциональный анализ и приложения. 2001. - V. 35, № 4. - P. 81-84.

26. Berezansky Yu.M. Spaces of fundamental and generalized functions associated with generalized translation / Yu.M. Berezansky, V.A. Tesko // Ukrainian Math. J. 2003. - V. 55, № 12. - P. 1907-1979.

27. Chihara T.S. An Introduction to Orthogonal Polynomials / T.S. Chihara. New York : Gordon and Breach Sci. Pbl., 1978. - 261 p.

28. Dieudonne J. Treatise on Analysis / J. Dieudonne.- New York : Academic Press., 1972. V. 3. - 400 p.

29. Dineen S. Complex Analysis in Locally Convex Spaces / S. Dineen. Amsterdam : North Holland, Mathematical Studies 57, 1981. - 505P

30. Hida T. White Noise: An Infinite Dimensional Calculus / T. Hida, H.-H. Kuo, J. Potthoff, L. Streit. Dordrecht: Kluwer, 1993. - 530 p.

31. Huang Z.Y. Interacting Fock expansion of Levy white noise functionals / Z.Y. Huang, Y. Wu // Acta Appl. Math. 2004. - V. 82, № 3. - P. 333-352.

32. Ito Y. Calculus on Gaussian and Poisson white noise / Y.Ito, I. Kubo // Nagoya Math. J. 1988. - V. Ill, № 1. - P. 41-84.

33. Kachanovsky N.A. On biorthogonal approach to a construction of non-Gaussian analysis and application to the Poisson analysis on the configuration space / N.A. Kachanovsky // Methods Funct. Anal. Topology. 2000. - V. 6, № 2. - P. 13-21.

34. Kachanovsky N.A. On the extended stochastic integral connected with the gamma-measure on an infinite-dimensional space / N.A. Kachanovsky // Methods Funct. Anal. Topology. 2002. - V. 8, № 2. - P. 10-32.

35. Kachanovsky N.A. A generalized Malliavin derivative connected with the Poisson- and gamma-measures / N.A. Kachanovsky // Methods Funct. Anal. Topology. 2003. - V. 9, № 3. - P. 213-240.

36. Kachanovsky N.A. Minimality of Appell-like systems and embeddings of test function spaces in a, generalization of white noise analysis / N.A. Kachanovsky, S.V. Koshkin // Methods Funct. Anal. Topology. 1999. - V. 5, № 3. - P. 13- 25.

37. Kondratiev Y. Operators of gamma white noise calculus / Y. Kondrtatiev, E. Lytvynov // Infin. Dimen. Anal. Quant. Prob. Rel. Top. 2000. - V. 3, № 3. - P. 303-335.

38. Kondratiev Y. On the relations between Poissonian white noise analysis and harmonic analysis on configuration spaces / Yu. Kondratiev, T. Kuna, M.J. Oliveira // J. Funct. Anal. 2004. - V. 213, № 1. - P. 1-30.

39. Kondratiev Y. Generelized Appell systems / Y. Kondratiev, J.L. Silva, L. Streit // Methods Funct. Anal. Topology. 1997. - V. 3, № 3. - P. 28-61.

40. Kondratiev Yu.G. Analysis on Poisson and Gamma spaces / Yu.G. Kondratiev, J.L. Silva, L. Streit, G.F. Us /•/ Infin. Dimen. Anal. Quant. Probab. Rel. Top. 1998. - V. 1, № 1. - P. 91-117.

41. Kondratiev Y. Generalized functions in infinite dimensional analysis / Y. Kondratiev, L. Streit, W. Westerkamp, J. Yan // Hiroshima Math. J. 1998. - V. 28, № 2. - P. 213-260.

42. Kubo I. Generating functions of exponential type for orthogonal polynomials / I. Kubo // Infin. Dimens. Anal. Quantum Probab. Relat. Top. 2004. - V. 7, № 1. - P. 155-159.

43. Kubo I. Calculus on Gaussian white noise II / I. Kubo, S. Takenaka // Proc. Japan Acad. 1980. - № 56A. - P. 411-416.

44. Kuo H.-H. White noise distribution theory / H.-H. Kuo.- Probability and Stochastics Series: CRC Press, Boca Raton, FL, 1996. 390 p.

45. Lytvynov E. Polynomials of Meixner's type in infinite dimensions— Jacobi fields and orthogonality measures / E. Lytvynov // J. Funct. Anal. 2003. - V. 200, № 1. - P. 118-149.

46. Meixner J. Orthogonale Polynomsysteme mit einem besonderen Gestalt der erzeugenden Funktion / J. Meixner // J. London Math. Soc. 1934. - V. 9, № 1. - C. 6-13.

47. Mierzejewski D.A. Generalized Jacobi fields / D.A. Mierzejewski // Methods Funct. Anal. Topology. 2003. - V. 9, № 1. - P. 80 100.

48. Nualart D. A duality formula on the Poisson space and some applications / D. Nualart, J. Vives // Seminar on Stochastic Analysis, Random Fields and Applications, Ascona, 1993. Progr. Probab. V. 36, Birkhauser, Basel, 1995. - P. 205-213.

49. Obata N. White noise calculus and Fock space / N. Obata. Lecture Notes in Maths, Vol. 1577, Springer-Verlag, Berlin, 1994. - 193 p.

50. Schoutens W. Stochastic Processes and Orthogonal Polynomials / W. Schoutens. Lecture Notes in Statist., Vol. 146, Springer-Verlag, Berlin, 2000. - 177 p.

51. Rodionova I. Analysis connected with generating functions of exponential type in one and infinite dimensions / I. Rodionova // Methods Funct. Anal. Topology. 2005. - V. 11, № 3. - P. 275-297.

52. Rodionova I.V. The Meixner class of orthogonal polynomials revisited / I.V. Rodionova // "Современные методы теории функций и смежные проблемы". Материалы Воронежской зимней математической школы. Воронеж: ВГУ, 2005. - С. 8- 9.