Суперинтегрируемые системы в пространствах постоянной кривизны тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, доктор физико-математических наук Погосян, Георгий Самвелович

• Погосян, Георгий Самвелович
• доктор физико-математических наук
• 2003

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Погосян, Георгий Самвелович

Введение

Глава 1 Контракции и разделение переменных, на двумерной сфере и гиперболоидах

1 Системы координат и интегралы движения на S

1.1 Системы координат на S2.

1.2 Системы коордииат на двумерном гиперболоиде Н

1.3 Системы коордииат па евклидовой плоскости Е2.2G

1.4 Системы координат в псевдо-евклидовом пространстве Eiti.

2 Контракции алгебр и групп Ли

2.1 Контракции от so(3) к е(2).

2.2 Контракции от группы SO(3) к группе Е(2). 2.3 Контракции от so(2,1) к е(2).

2.4 Контракции от so(2}l) к е(1,1) .■.

3 Контракции систем координат

3.1 Контракции систем координат на £2.:.

3.2 Контракции систем координат от Н2 к Е2.

3.3 Контракции от систем координат на Н2 к Е\,\.

4 Контракции базисных функций на S2 и Н

4.1 Контракции сферического базиса на S2.

4.2 Контракции эллиптического базиса на S

4.3 Контракции псевдо-сферического базиса на Н

4.4 Контракции эквидистантного базиса па Н

Глава 2 Контракции и разделение переменных на трехмерной сфере ф 1 Системы координат па S3 и Ез

1.1 Эллиптические системы координат.

1.2 Эллипсоидальная система коордииат.

1.3 Системы координат в Евклидовом пространстве Е3.

2 Контракция алгебры SO(3), систем координат и интегралов движения

2.1 Контракция алгебры so(3).

2.2 Контракции подгрупповых систем координат и базисов.

2.3 Контракции в межбазиспых разложениях.

2.4 Контракции в эллиптических системах координат.

2.5 Контракции эллипсоидальной системы координат.

3 Эллиптические базисы

3.1 Разложение эллиптического базиса по цилиндрическому.

3.2 Разложение эллиптического базиса по сферическому.

3.3 Переход к гиперсферическому и цилиндрическому.

4 Эллипсоидальный базис

4.1 Решение волнового уравнения Ламэ.

4.2 Эллипсоидальные волновые функции.

Глава 3 Контракции и разделение переменных на N - мерной сфере

1 Разделение переменных в N - мерных однородных пространствах

1.1 Подгрупповые системы координат на Sn и метод деревьев.

1.2 Гиперсферические волновые функции па 5П.

1.3 Подгрупповые координаты на Еп и кластерные диаграммы.

• 2 Контракции алгебры Ли, систем координат и собственных функций 9G

2.1 Контракции подгрупповых систем координат. Графический метод.9G

2.2 Контракции волновых функций.

3 Межбазисные разложения и контракции

3.1 Переходы между гиперсферическими функциями.

3.2 Контракции в межбазисных разложениях.10G

Глава 4 Суперинтегрируемость в комплексном пространстве Е2С

1 Суперинтсгрируемые системы в Еъс

1.1 Невырожденные потенциалы.

1.2 Квадратичная алгебра

2 Суперинтсгрируемые системы в £2 132 2.1 Обобщенный круговой осциллятор. ф 2.2 Потенциал Холта.

2.3 Обобщенный кулоновский потенциал.

2.4 Потенциал Винтернитца-Смородипского.

3 Межбазиспые разложения

3.1 Вычисление матрицы перехода.

3.2 Связь с коэффициентами Клебша-Гордана группы SU( 1,1).

Глава 5 Суперинтегрируемые системы на комплексной сфере Sic

1 Суперинтегрируемость на комплексной сфере S2C

1.1 Суперинтсгрируемые потенциалы па S2C.

1.2 Системы координат на комплексной сфере <52,с.

1.3 Квантовая суиериптгерируемость и квадратичная алгебра.

2 Кулоп-осцилляторпая дуальность

2.1 Преобразование Леви-Чивиты на ^ и //2.

2.2 Решение комплексного уравнения Шредингера.

3 Суиеринтегрируемость на 5г

3.1 Сингулярный осциллятор.

3.2 Сингулярный кулоновский потенциал.

4 Супериитегрируемые системы на Н

Глава 6 Многомерные супериитегрируемые системы

1 Трехмерные супериитегрируемые системы 184 1.1 Сингулярный изотропный осциллятор

1.2 Анизотропный осциллятор.

1.3 Сингулярный кулоновский потенциал.

2 N-мерпые супериитегрируемые системы

2.1 Декартовый и гиперсферический базисы.

2.2 Связь между декартовым и гиперсфериеским базисом

2.3 Дерево перехода и правила соответствия.

3 Кулоновская проблема на S

3.1 Обобщенное преобразование Кустанхеймо-Штифеля.

3.2 Кулон-осцилляторная дуальность.

3.3 Эллиптический базис.

4 Кулоп-осцилляторная аналогия на сфере и гиперболоидах

4.1 Кулон-осцилляторная связь на Sn ■ •

4.2 Кулоп-осциляторпая связь на n-мерном двухполосиом гиперболоиде . 216 Ф 4.3 Кулон-осциляторная связь на п-мерном однополосном гиперболоиде

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Суперинтегрируемые системы в пространствах постоянной кривизны»

Настоящая диссертация, как видно из самого заглавия, посвящена суперинтсгрируемым системам на пространствах постоянной кривизны. Интерес к суперинтсгрируемым системам вот уже полвека не ослабевает, и поток литературы, в которой в том или ином аспекте обсуждаются такие системы, в настоящее время столь же стабилен как и, например, десять лет назад. Идеи и методы, характерные для этой области теоретической физики, первоначально родились при исследовании поведения частиц в кулоновском и ос-цилляторном полях, а затем поучили свое развитие в квантовой теории ноля [1] и теории поля с фундаментальной длиной [2], физике элементарных частиц [3], теории лазеров [4], модели оболочек [5], коллективной модели ядер [6], современной теории (супер)струп [7], различных физических системах с магнитнымы монополями [8, 9], суперсимметричной квантовой механике [10] и квантовой гравитации [11]. Поэтому любое продвижение в теории суперинтегрирусмых систем носит принципиальный характер и является актуальным.

Как известно [12], классическая система с N степенями свободы является полностью интегрируемой в смысле Лиувилля, (или интегрируемой в квадратурах) если известны N функционально независимых интегралов движения (включая Гамильтониан системы) находящихся в инволюции или что тоже самое для которых скобка Пуассона равна пулю. В квантовой механике по аналогии с классической механикой, такие системы называются интегрируемыми если известны N — 1 алгебраически независимых линейных операторов коммутирующих как с гамильтонианом системы так и между собой. Частный класс интегрируемых систем называется суперинтсгрируемым [13], если они являются интегрируемыми, а число известных независимых (так называемых дополнительных) интегралов движения превосходит размерность пространства. Дополнительные интегралы движения по определению коммутируют с гамильтонианом системы, но не обязательно коммутируют между собой. Если число D независимых интегралов движения равно D = 'IN — 1 (как известно число интегралов движения не может превышать 2N — 1 [14]), где N число степеней свободы системы, то такие системы называются максимально су-перинтегрируемые, и называются минимально суперинтегрируемые если число таких интегралов движения [15] равно D = 2N — 2.

В трехмерном Евклидовом пространстве к наиболее известным и хорошо изученным системам такого типа относятся:

1. Движение частицы в кеплеровском поле где наряду с моментом импульса, как показал Лаплас [16], сохраняется еще одна векторная величина, лежащая в плоскости орбиты, направленная по большой оси эллипса и по модулю равная экцентриси-тету. В дальнейшем Лапласовский добавочный интеграл движения был переоткрыт Рунге и Ленцем [17, 18], а его обощение на случай квантовой механики было элегантно использовано Наули [19] для вычисления дискретного спектра атома водорода [20]. Шесть интегралов движения: три компоненты углового момента L,- и три компоненты вектора Лапласа-Рунге-Ленца Л,- связаны двумя соотношениями L] + А] = И, Li ■ Ai = 0 и потому данная система обладает максимальным числом 2x3 — 1=5 независимых интегралов движения.

2. Движение в ноле квадратичного потенциала: изотропный гармонический осциллятор и анизотропный осциллятор с рациональным отношением частот. В случае изотропного осциллятора дополнительный (по отношению к угловому моменту системы Li) интеграл движения соотвествтуст сохранению квадрупольпого момента, так называемого тензора Демкова TJj. = -f ж,-а:к [21]. В случае анизотропного осциллятора угловой момент не сохраняется так как потенциал не является центрально-симметричным. Однако, в случае рационального отношения частот система обладает дополнительным интегралом движения, в общем случае, полиномиальным по импульсам.

Существование дополнительных интегралов движения для перечисленных выше систем приводит ко многим интересным свойствам по отношению к просто интегрируемым системам.

В классической механике для максимально супсринтсгрирусмых потенциалов все конечные траектории периодичны (то есть замкнуты), в то время как, для минимально су-периптегирируемых потенциалов они квазипереодичны (то есть периодичны по каждой из координате по не периодичны в целом) [22, 23, 24]. В случае движения частицы в чисто кулоповском и осцилляторном полях все конечные траектории замкнуты согласно теореме Бертрана [25].

В квантовой механике это феномен случайного вырождения, когда все уровни энергии являются многократно вырожденными. Это свойство прямо связано с наличием группы динамической симметрии или как еще часто называют группы скрытой симметрии, более шнровой чем группа геометрической симметрии, которая непосредственно связана с симметрией физического пространства и времени (например группа трехмерных вращений для уравнения Шредипгера с любым центрально-симметричным потенциалом). Наличие группы динамической симметрии позволяет полностью описать кваптовоме-хапическую систему, то есть определить энергетическое вырождение уровней и спектр энергии. Впервые такая динамическая группа рассматривалась в работах [19, 26, 27] для объяснения случайного вырождения спектра энергии атома водорода по орбитальному квантовому числу. В частности Фок [26, 28] показал, что нерелятивистская кулопова задача в дискретном спектре при переходе к импульсному представлению и стереографическом проецировании сводится к уравнению (интегральному) описывающему свободное движение па трехмерной сфере и инвариантному относительно группы четырехмерных вращений 0(4). В исходном уравнении Шредипгера эта симметрии не видна и поэтому была названа скрытой или динамической симметрией. Связь между подходами Паули и Фока была установлена Баргманом [27], который паказал, что нормированный должным образом вектор Рунге-Ленца Л,- и оператор момента L,- вместе подчиняются коммутационным соотношениям для алгебры о(4). Распространение метода Фока на непрерывный спектр [29, 30, 31] показало что вместо трехмеропй сферы приходится иметь дело с трехмерным гиперболоидом, а вместо конечномерных представлений группы 0(4) - с бесконечномерными унитарными представлениями группы Лоренца 0(3,1). Случай нулевой энергии для атома водорода был рассмотрен отдельно в статье [32], где показано что группой динамической симметрии является группа движений трехмерного протраиства Е{3). Симмстрийиыс аспекты многомерной (п > 2) кулоновской проблемы рассматривались в работе Аллилуева [33], а группа динамической симметрии одномерной задачи впервые была найдена в наших работах [34, 35].

Случайное вырождение уровней энергии п - мерного изотропного осциллятра было впервые объяснено в терминах скрытой симметрии U(n) в работах Яуха [3G] и Яуха и Хилла [37]. Аналогичный результат был получен позднее Демковым и Бейкером [21, 38]. Группа симметрии анизотропного осциллятора были найдены в работах [39, 40, 41, 42, 43]. Скрытой симметрии квантового волчка посвящена работа [44].

Интересно что связь между двумя группами динамической симметрии SO{n + 1) и SU(n) приводит, в свою очередь, в квантовой механике к понятию о кулоп-осцилляторпой или точнее дион-осцилляторпой дуальности. К примеру, (n + 1) - мерное радиальное уравнение Шредипгера с кулоповским потенциалом с точностью до преобразования дуальности [45] идентично 2га-мерному осцилляторпому уравнению. Согласно теореме Гур-вица [4G] полное соответствие (не только для радиальных частей) возможно только для специальных размерностей, а именно (2,2), (3,4) и (5,8). Дуальное преобразование в этих случаях носит названия Леви-Чивиты [47], Кустанхеймо и Штифеля [48] и Гурвица [49].

Еще одно направление, в котором развивались первопочальные идеи Фока и Барг-маиа, составили так называемые группы пеипоариаитпиости [50]. В отличии от динамической группы в которой гамильтониан играет роль оператора Казимира, часть элементов группы пеипвариаптности не коммутирует с гамильтонианом задачи, а действуют как повышающие и понижающие операторы на волновые функции уровней. В качестве группы пеипвариаптности обычно выбирается некомпактная группа содержащая динамическую группу в качестве подгруппы. Знание группы пеиивариаитпости, как установили Гелл-Манн [51] и Дотап [52] с сотрудниками, позволяет по нескольким известным уровням системы предсказать весь спектр се возбужденных состояний. Дальнейшее развитие этого направления нашло отражение в монографии [53]. Для полноты приведем здесь также другие работы, посвященные симметрийиым аспектам кулопов-ского поля [54]-[66].

Отметим наконец самое замечательное свойство суперинтегрируемых систем. Это разделение переменных в уравнении Гамильтоиа-Якоби и Шредипгера в более чем одной ортогональной системе координат, то есть, возможность решения задачи несколькими альтернативными способами. К примеру, изотропный гармонический осциллятор разделяется в трехмерном Евклидовом пространстве в восьми системах координат, а именно: в декартовой сферической, цилиндрической, круговой эллиптической, сферо-коиической, вытянутой и сплюснутой сфероидальной и эллипсоидальной. Задача Кеплера-Кулоиа допускает разделение переменных в четырех системах координат: сферической, сферо-коиической, параболической и вытянутой сфероидальной. С физической точки зрения важность разделения переменных в нескольких системах координат очевидна. В спектроскопии водородоподных систем используется сферическая система координат, при исследовании эффекта Штарка параболическая, а в задаче о движении электрона в поле с двумя фиксированными кулоновскими центрами - вытянутая сфероидальная система координат. Таким образом выбор конкретного базиса диктуется соображениями удобства и часто возникает необходимость в переходе от одного базиса к другому. Наиболее известным примером такого межбазиспого перехода служит лежащее в основе фазовой теории рассеяния разложения плоской волны по сферическим. В теории атома водорода первым межбазисным разложением можно считать результат Стоуна [67], который получил в импульсном представлении разложение параболического базиса по сферическому. Позже Парк [68] в рамках теоретическо-группового метода и Тартер [G9] чисто аналитическим путем воспроизвели результат Стоуна в конфигурационном представлении. Межбазиспые разложения параболического базиса по сферическому в непрерывном спектре рассматривались в работе Маюндара и Безу [70]. Коулсон и Джозеф [71] свели задачу разложения сфероидального базиса по сферическому к решению алгебраической системы однородных уравнений. Межбазиспые переходам в изотропном осцилляторе впервые обсуждались в работах Плюара и Толара [72], и Чакона и Япо [73]. Чуть позднее, в наших работах [74]-[79] на примере квантовых систем с кулоповским взаимодействием и многомерного изотропного осциллятора был разработан эффективный метод вычисления коэффициентов межбазисных разложений, так называемый метод асимптотик. Суть метода асимптотик состоит в наблюдении, что многие базисы упрощаются на больших (дискретный спектр) и малых (непрерывный спектр) расстояниях от центра силового поля, и в тоже время, сохраняют всю информацию необходимую для вычисления матрицы перехода. В результате исходная проблема сводится к более простой задаче нахождения матрицы перехода между асимптотиками базисов. Метод асимптотик используется нами в четвертой и шестой главах диссертации при вычислении матрицы перехода между гипсрсферическим и декартовым базисами многомерного сингулярного осциллятора.

К сожалению пе существует простого критерия который может указать па то в каких конкретных системах координат разделяется уравнение Гамильтона-Якоби и Шре-дипгера для той или иной задачи. Необходимое и достаточное условие для полного или простого разделения переменных для уравнения Гамильтона-Якоби в ортогональной системе координат при определенных обстоятельствах впервые было дано Штекелем [80, 81], а для уравнения Гельмгольца (уравнения Шредипгера с нулевым потенциалом) в n-мерном Римановом пространстве в работе Муиа и Спенсера [82]. Вопрос о разделении переменных в уравнении Шредипгера в трехмерном Евклидовом пространстве был решен Эйзепхартом [83], который показал, что существует ровно одиннадцать различных ортогональных систем координат (в двумерном пространстве возможны только четыре). Для каждой из систем координат Эйзенхарт определил форму потенциала допускающего разделение переменных.

Определение всех ортогональных систем координат для заданного n-мерного Рима-иова многообразия Rn даже в случае нулевого потенциала, представляющего наиболее симметричный случай, является нетривиальной задачей дифференциальной геометрии и ответ известен только для некоторых пространств постоянной кривизны. Задача о разделении переменных в уравнения Гельмгольца для двух- и трехмерных пространств постоянной кривизны полностью решена в известной работе Олевского [84]. Согласно работе Олевского на двухмерной сфере существует только две ортогональные системы координат: сферическая и эллиптическая, на трехмерной сфере и шесть, а па двумерном и трехмерном гиперболоиде их соответственно 9 и 34. Графическая процедура построения произвольных ортогональных систем координат в п-мер ном реальном евклидовом пространстве и па тг-мерной реальной сфере приведена в статье Калнипса и Миллера [85] и хорошо описана в монографии Калнипса [86]. Случай подгрупповых систем координат на сфере и гиперболоиде произвольной размерности подробно разобран в работах Вилепкипа [87] и Вилепкипа, Кузнецова и Смородинского [88].

Хорошо известно, что существует тесная связь между теорией специальных функций и теорией групп Ли, хорошо описанная в книгах: Вилепкипа [89], Тальмапа [90] и Миллера [91]. Фактически все свойства широкого класса специальных функций могут быть получены из теории представлений групп Ли, используя тот факт что специальные функции появляются как базисные функции неприводимых представлений, или как матричные элементы для матрицы преобразований, или как коэффициенты Клебша-Гордана или в каком либо другом виде. Одним из очень полезных применений теории Ли в этом контексте является алгебраический подход к разделению переменных для дифференциальных уравнений в частных производных. В этом подходе системы координат в которых разделяются переменные в уравнениях Гельмгольца, Гамильтона - Якоби и в других инвариантных уравнениях, характеризуются полным набором коммутирующих операторов второго порядка, принадлежащих обертывающей алгебре алгебры Ли группы изометрии соответствующего однородного пространства. Отсюда одно из наиболее эффективных направлений поиска всех ортогональных систем координат допускающих разделение переменных в свободном гамильтониане лежит в исследовании всевозможных неэквивалентных наборов интегралов движения. На этом пути в работе [92] показано, что в двумерном пространстве Минковского существует десять ортогональных систем координат, а в двумерном комплексном евклидовом пространстве, включаещем реальное евклидово пространство и реальное пространство Минковского существует шесть систем коордииат [86, 93]: декартовая, полярная, параболическая, эллиптическая, гиперболическая и иолу-гиперболическая, а на двумерной комплексной сфере включающей реальную сферу и гиперболоид существует пять систем координат.

Процесс разделения переменных в уравнении Шредипегра приводит к обыкновенным дифференциальным уравнениям решением которых выступают многие специальные функции математической физики. Сложность же самих уравнений часто определяется тем насколько "разделяются" также контстапты разделения. Такая ситуация например складывается при исследовании уравнения Шредингера в случае нулевого потенциала, пли для кулоновской и осцилляториой задач в системах коордииат эллиптического типа как например сфероидальной или эллипсоидальной. В результате каждое из дифференциальных уравнений второго порядка содержит сразу несколько констант разделения (зависящих от размерных или безразмерных параметров входящих в определение самой системы координат), одновременное квантование которых выливается в нетривиальную математическую задачу.

Как известно, стандартный способ решения, полученного в результате разделения переменных, обыкновенного дифференциального уравнения, предполагает (после выделения особенностей) разложение вокруг одной из особых точек уравнения, и после чего задача сводится к разрешению (в общем случае многочленных) рекуррентных соотношений на коэффициенты искомого разложения. В случае, когда коэффициенты разложения подчиняются двухчленным рекуррентным соотношениям, то соответсвующее решение уравнения записывается в замкнутом виде, то есть через гипергеометрические функции. Такую задачу принято называть точно решаемой. В частности, практически все известные суперицтегрируемые системы относятся к точно-решаемому тину если речь идет о разделение переменных в одпоцентровых системах координат как сферической, декартовой или цилиидрической. Если же пас интересует решение сфероидального волнового уравнения или уравнения Ламэ, или Гойна (получающегося в процессе разделения переменных в двухцетровой системе координат зависящей от одного параметра), то описанный способ решения приводит обычно к трехчленным рекуррентным соотношениям (сфероидальной анализ уравнения Шредингера для свободного движения и в задаче с двумя неподвижными кулоиовскими центрами подробно описан в монографии [94]), что эквивалентно решению системы однородных алгебраических уравнений. Такой подход был реализован в работа Коулсопа и Робертсона [95] при исследовании уравнения Шредингера для атома водорода в сфероидальной системе координат, затем Кал-гшпеа, Миллера и Винтернитца [96] при решении трехмерного уравнения Гельмгольца в сферо-копической системе координат, а позднее, при решении задач о двумерном атоме водорода и круговом осцилляторе в эллиптической системе координат [97, 98].

Вместо непосредственного решения полученных в процессе разделения переменных дифференциальных уравнений широко используются также два других альтернативных метода. Первый из них существенно опирается на знание интегралов движения характеризующих разделение переменных в той или иной системе координат. При этом искомый базис ищется в виде разложения по более простым базисам (таковой существует практически для всех супсриптегрируемых систем) и соответствующая задача сводится к вычислению интегралов перекрытия, а в итоге, к решению алгебраической системы однородных уравнений. Описанный метод наиболее эффективен когда разложение по простым базисам определяется одним суммированием (то есть два базиса отличаются только одним квантовым числом). Имеется и другое явное преимущество данного метода, а именно, наряду с волновой функцией одновременно вычисляются и коэффициенты межбазисного разложения. Такая схема построения кулоновского сфероидального базиса впервые была реализована в работе Коулсопа и Джозефа [71]. В более сложном варианте когда разложения по простым базисам возможно только в виде многократных сумм по нескольким квантовым числам, а соответствующие коэффициенты пе факторизуются, нам приходиться иметь дело с многомерными рекуррентными соотношениями, которые в свою очередь приводят к характеристическим уравнениям для кубичных (или более высокой размерности) матриц.

На этом фоне, по всей видимости, наиболее эффективным методом решения многопараметрической задачи па собственные значения является метод предложенный Нивеиом [99, 100, 101] при исследовании трехмерного уравнения Лапласа в эллипсоидальной системе координат, согласно которому полиноминальгюе решение строится в терминах пулей самих полиномов и задача сводится к решению системы нелинейных алгебраических уравнений для соответствующих нулей. Недавно в работе [102] этот метод был успешно применен Комаровым и Кузнецовым при построении гармонических полиномов представляющих решение уравнения Лапласа в общей эллипсоидальной системе координат па 3-сфере. В этой же работе было продемонстрировано что собственные значения констант разделения (или что тоже самое квадратичных интегралов движения) могут быть выражены в терминах пулей соотвествующих полипомов и параметров определяющих эллипсоидальную систему координат. Далее, Калниису и Миллеру [103] удалось распространить метод Нивена для решения уравнения Лапласа в общей эллипсоидальной системе координат па ДГ-мерпой сфере и в ./V-мерпом евклидовом пространстве.

Как и в евклидовом пространстве исследование суперинтегрируемых систем в пространствах постоянной кривизны, как положительной так и отрицательной, имеет богатую историю. Впервые такая система была рассмотрена в работах Шредипгера [104], который, используя метод факторизации, нашел спектр энергии для потенциала, являющегося аналогом кулоповского потенциала па трехмерной сфере S3 и показал, что, как и в случае плоского пространства, имеет место полное вырождение по орбитальному и азимутальному квантовым числам. Чуть позже Стивенсон [105] путем прямого решения уравнение Шредипгера повторил этот результат и пашел ненормированные волновые функции атома водорода. В случае пространства отрицательной кривизны аналогичный результат был получен в работах Ипфельда [106] и Ипфельда и Шилда [107]. Далее в работах Хигса [108], Лимона [109], Курочкииа и Отчика [110], и Курочкипа, Отчика и Богуша [111] было показано, что наличие вырождения для энергетического спектра ку-лоновской задачи и гармонического осциллятора на 3-сфере в трехмерном пространстве Лобачевского связано с существованием дополнительных интегралов движения: аналога вектора Рунге - Ленца (для кулоповского потенциала) и тензора Демкова (для осциллятора). Однако, как оказалось, коммутационные соотношения для компонент этих операторов вместе с компопстами углового носят нелинейный характер, и следовательно, не образуют конечномерную алгебру Ли. Это и есть существенное отличие кулонов-ской и осцилляторпой задач на сфере (и гиперболоиде) от плоского случая когда в качестве группы скрытой симметрии выступает группа 0(4) или U(3). Несмотря на указанные особенности, оказывается, что имеющиеся коммутационные соотношения все же достаточны для вывода формулы энергетического спектра и кратности вырождения атома водорода и изотропного осциллятора па сфере S3 [108, 110]. Дальнейшее развитие кулоновская и осцилляториая задачи на сферах и гиперболоидах получили в работах [112, 113, 114, 115, 116, 117, 118, 119, 120, 121, 122] и нашли применение при построении многочастичной волновой функции [123], решении задачи двух центров с кулоповским взаимодействием [124], описании спектра кваркопиев [125] и экситопов в квантовых точках [126].

Долгое время считалось, что только кулоновская проблема и изотропный гармонический осциллятор обладают столь выделенными свойствами. Первый систематический поиск суперинтегрируемых систем в двух- и трехмерном евклидовом пространсве был предпринят в середине шестидесятых годов в работах Винтерпитца и Смородипского с соавторами [127, 128, 129]. Схема классификации новых суперинтегрируемых систем, в этих работах, существенно опирается на известную теорему Бертрана-Дарбу [130, 131], которая гласит, что в двумерном евклидовом пространстве дополнительный к энергии квадратичный по импульсам интеграл движения существует тогда, и только тогда, когда потенциал допускает разделение переменных в эллиптической системе координат или в одной из ее вырожденных форм. Из теоремы Бертрана-Дарбу следует, что разделение переменных (мультипликативное в квантовой механике и аддитивное в классической), в более чем одной системе координат, прямо связано с понятием супсриптегрируемости второго рода (когда все 2N — 1 или 2N — 2 интегралов движения квадратичны по импульсам). Наиболее общие теоремы устанавливающие взаимно-однозначное соответствие между фактом разделения переменных и существованием интегралов движения второго порядка в классическом и квантовом случае можно найти в работах [132, 133, 134]. Таким образом, одним из возможных методов поиска супериптегрируемых систем является построение всех потенциалов допускающих разделение переменных как минимум в двух системах координат (или разного типа, или одинаковых, но сдвинутых или повернутых друг относительно друга). В свою очередь требование одновременного разделения переменных в уравнении Шредингера в более чем одной системе координат приводит к необходимости решения дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка для искомого потенциала. На этом пути было доказано, что в двумерном евклидовом пространстве существует только четыре супериптегрируемых потенциала, обладающих тремя функционально независимыми интегралами движения (включая энергию) [127, 128, 129], в то время, как в трехмерном евклидовом пространстве существует восемь минимально и пять максимально суперинтегрирумых потенциалов, обладающих четырьмя (минимально суперинтегрируемые) и пятью (максимально суперинтегриру-емые) функционально независимыми интегралами движения соответственно [15]. Все найденные суперинтегрируемые потенциалы являются (в основном сингулярными) обобщениями кулоновского или осцилляторпого потенциалов. Некоторые из них, как например, потенциал Хартмапа [135] нашли применение в молекулярной физике.

Другой метод иоиска супериптегрируемых систем основан на так называемом проективном методе [136, 137]. В рамках этого метода суперинтегрируемые потенциалы получаются путем редукции многомерного свободного гамильтониана. Примером могут служить потенциалы типа Калоджеро-Мозера-Сузерлепда [138] (см. ссылки в обзоре [136] и книге [137]). Бойер, Калнипс и Виптернитц использовали эту идею при поиске супериптегрируемых систем па двумерном гиперболоиде [139].

Определение новых супериптегрируемых систем стимулировали дальнейшее исследование алгебраических структур связанных с интегралами движения. Как было замечено рядом авторов, многие суперинтегрируемые системы (исключая чисто кулоиовский и осциляторпый потенциалы в Евклидовом пространстве) обладающие квадратичными интегралами движения генерируют алгебраическую структуру которую можно рассматривать как нелинейное расширение алгебры Ли (в классической механике алгебры Пуассона), а именно квадратичную алгебру. Впервые такие алгебры были введены в работах Склянииа [140] и нашли применение во многих областях физики как решение классических уравнений Япга-Бакстера [141, 142], в статистике [143], в случае точно решаемых классических задачах [144], для описании некоторых двумерных [145, 146] и трехмерных [147, 148] супериптегрируемых систем, а также при вычислении межбазисных переходов для кулоповской задачи и осциллятора на трехмерной сфере и гиперболоиде [149, 150]. Со многими ссылками можно познакомиться по недавней работе Даскалоянниса [151].

Несмотря на то, что конкретные примеры супериптегрируемых систем па первый взгляд просты, полная их классификация представляет собой довольно трудную задачу.

Действительно как мы можем быть уверены, что для каждого конкретного случая про-# странства постоянной кривизны все такие потенциалы известны (например в классификации приведенной в статьях [152] и [139] пропущены несколько супериптегрирумых систем)? Или если такие системы известны то как мы можем быть уверены, что наиболее общий аддитивный член также вычислен?

Изучение супериптегрируемых систем в однородных пространствах постоянной кривизны (на сферах или гиперболоидах) предполагает также построение контракций, т.е. асимптотических правил соответствия спектра и собственных функций рассматриваемой задачи и соответствующей задачи в плоском евклидовом пространстве, которая возникает в предельном переходе по некоторым переменным и параметрам.

Впервые контракции алгебр Ли были введены в физику Иношо и Вигпером в 1953 году [153] как математическое выражение философской идеи, а именно "принципа соответствия". Согласно этому принципу, если новая теория обобщает старую, то должен существовать хорошо определенный предел который восстанавливает результаты старой теории. Примерами таких предельных переходов или контракций может служить связь ф. между релятивистскими и нерелятивистскими теориями: когда скорость света с —> оо, группа Пуанкаре преобразуется в группу Галилея и также связь между пространством де Ситтера с группой изометрии 50(3,2) или 50(4,1) и пространством Минковского с группой Пуанкаре Р(3,1) как группой изометрии.

Сегодня известны два основных типа контракций алгебры Ли. Первый - это стандартные контракции Ипошо-Вигнера, которые можно интерпретировать как сингулярные преобразования базиса алгебры Ли. Ко второму типу относятся введенные позднее в работе Муди и Патеры [154], так называемые, градуированные контракции . Это более общий тип контракций (включающий в себя как дискретные, так и непрерывные контракции), суть которого состоит во введении неких параметров, модифицирующих структурные константы алгебры Ли относительно определенной градуировки, и затем устремлении этих параметров к пулю. В настоящее время проблема контракций вылилась в отдельное направление теории алгебр и групп Ли, и со многими се аспектами можно познакомиться по прекрасным источникам [90, 155, 156, 157, 158].

Вопрос который до сих пор пе был отражен должным образом в современной литературе это связь между разделением переменных в различных пространствах или в ® однородных пространствах различных групп Ли. В частности представляет интерес исследование поведения разделяющих координат, интегралов движения, соответствующих собственных функций а также межбазиспых разложений при контракциях алгебры Ли.

Обсудим теперь основной вклад настоящей диссертации в теорию супериптегрирумых систем па пространствах постоянной кривизны.

В диссертации представлен новый аспект теории коитракций групп и алгебр Ли, а имепнр: связь между ортогональными системами координат (допускающих разделение переменных в свободном уравнении Шредипгера), определенных на пространствах постоянной кривизны и в плоском евклидовом пространстве, и связанных при помощи контракций их групп изометрии. В рамках метода Ипошо-Вигнера вводится концепсия "аналитических контракции", в которой радиус кривизны рассматриваемого пространства представляется в качестве параметра коитракции. Для проведения коитракций в явном виде параметр контракции встраивается в базис самой алгебры Ли, в оператор Лапласа-Бельтрами, в полный набор коммутирующих операторов, в систему координат и решения. В рамках аналитического подхода удается получить не только переходы между системами коордииат, но также установить различные асимптотические соотношения между специальными функциями, связанными с группами SO(N+1) и SO(N, 1), с одной стороны и евклидовыми и псевдоевклидовыми группами с другой. В свою очередь знание контракций между системами координат позволяет найти связь между супер интегрируемыми системами в пространстве постоянной кривизны и плоском пространстве, и служит хорошой подсказкой при диагонализации дополнительных интегралов движения.

При решении проблемы классификации и поиска новых суперинтегрируемых систем второго рода (Очевидно, что ограничиваясь суперинтегрируемыми системами допускающими только квадратичные по импульсам интегралы движения мы лишаемся части интересных результатов. С другой стороны также попятно, что только симметрии второго порядка могут быть связаны с разделением переменных. Классификация суперин-тегрирумых систем обладающих интегралами движения более высокого порядка нежели квадратичные полностью открыт на сегодняшний день.) используется новый подход в идейном плане перекликающийся с подходом Бертрана-Дарбу. Представленный метод классификации позволяет легко доказать что супериитегрирумые потенциалы допускающие пару интегралов движения второго порядка не могут зависеть более чем от трех произвольных констант. Такие потенциалы носят название "невырожденных" потенциалов. В рамках предложенной схемы па примере двухмерного комплексного пространства I'hc удается проклассифицировать все (как мы надеемся) "невырожденные" суперипте-грируемые потенциалы допускающие наряду с энергией пару независимых интегралов движения. Требование, что система допускает два интеграла движения второго порядка приводит к необходимости разрешения системы двух уравнений в частных производных второго порядка для потенциала, а условия интегрируемости вытекающие из этих двух уравнений позволяет решить вопрос о полной классификации суперинтегрируемых систем. Действительно, если эксплуатировать "прямой метод", то нам бы пришлось искать общее решение для пары многопараметрических дифференциальных уравнений второго порядка в частных производных, что представляет объективно трудную математическую задачу. Вместо этого предлагается сначала найти все решения так называемых условий интегрируемости, которые носят линейный характер и далее пользуясь этой подсказкой уже преступить к разрешению самой системы дифференциальных уравнений в частных производных. Предложенный подход ие требует разделения переменных (тем самым не исключается возможность существования суперинтегрируемых систем без разделения переменных), но содержит его как следствие. Вычисления сильно упрощаются если потенциалы связанные преобразованием из комплексной Евклидовой группы Е2с принять за эквивалентные. При классификации суперинтегрироваиных систем на двумерной комплексной сфере S2c в диссертации приводится немного видоизмененный подход не предполагающий невырожденность суиеринтегрируемого потенциала, но существенно опирающийся на факт разделения перменных в одной из систем координат. Тогда требование наличия дополнительного интеграла движения приводит к некоему функциональному уравнению, решение которого определяет явный вид супериптегрирусмого потенциала. Все иайдеппые супериитегрируемые потенциалы в комплексном евклидовом пространстве Е(2С) и на комплексной сфере S2c допускают разделение переменных как минимум в двух системах координат, а соответствующие интегралы движения генерируют квадратичную алгебру симметрии.

Почти во всех рассмотренных ниже задачах (исключая случай свободного движения), связанных с решением уравнения Шредингера для суиеринтегрируемых систем в различных системах координат на пространствах постоянной кривизны мы используем метод Нивепа.

Диссертация написана па основе двадцати пяти работ [159]-[183], состоит из введения, шести глав, заключения, математического дополнения и списка литературы. Спектр вопросов распределен по главам следующим образом.

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Погосян, Георгий Самвелович

Заключение

Подводя итоги выделим следующие результаты, полученные в диссертации:

1. В рамках метода контракций Ииошо-Вигнера разработана коицспсия аналитических контракций. Установлена связь между различными ортогональными системами координат определенными па двухмерных пространствах постоянной кривизны (сфере S2 ~ 0(3)/0(2) и гиперболоиде Н2 ~ 0(2,1)/0(2)) и в евклидовой и псевдоевклидовой плоскостях, и связанных при помощи контракций их групп изометрии. Получены различные асимптотические формулы для (псевдо)сферических функций и полиномов Ламе.

2. Вычислена матрица перехода между эллиптическими базисами и более простыми - гиперсферическим и цилиндрическим для уравнения Гельмгольца на S3. Получено полиномиальные решение обобщенного уравнения Ламэ и найдено условие квантования эллипсоидальных копстапт разделения.

3. Проанализированы всевозможные переходы для подгрупповых типов координат и базисов на в подгрупповые типы координат в En при контракции группы S0(N + 1) к группе E(N). Развит графический метод иллюстрирующий эти переходы. Найдены асимптотические формулы для .D-фупкций Вигнера от аргумента 7г/2, коэффициентов Клебша-Гордана и Рака, реализующих взаимные разложения подгрупповых базисов. Прослежены предельные переходы в самих межбазиспых разложениях.

4. Проклассифицированы все невырожденные суперинтегрирусмыс системы второго рода па комплексной плоскости Е2с, включающей в себя как реальное евклидово пространство так и пространство Минковского. Построена алгебра симметрии и показано, что супериптегрируемость второго рода приводит к мульти-разделяемости, то есть разделению переменных в более чем одной системе координат.

5. Построены полиномиальные базисы как для всех суперинтегрируемых систем на двухмерных сфере и гиперболоиде, так и в трехмерном евклидовом пространстве. Вычислена матрица перехода между декартовым и гиперсферическим базисами для многомерного сингулярного осциллятора и сформулирована диаграмная техника вычисления этих матриц.

6. На двумерной комплексной сфере S2c найдены все супсриптегрируемые системы, допускающие три функционально независимых интеграла движения второго порядка и генерирующих квадратичную алгебру симметрии.

7. Построена серия комплексных преобразований S2c —>-S2, S^c обобщающая в случае сферической геометрии хорошо известные в евклидовом пространстве преобразования Леви-Чивиты и Кустаихеймо-Штифеля.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Погосян, Георгий Самвелович, 2003 год

1. В.Г.Кадышевский, P.M.Мир-Касимов и II.Б.Скачков. Трехмерная формулировка релятивистской проблемы двух тел ЭЧАЯ, 2, 635-690, 1972.

2. Физика высоких энергий и теория элементарных частиц. Наукова Думка, Киев, 1967

3. R.Dicke. Coherence in spontaneous radiation processes. Phys. Rev., 93, 99-110, 1954.

4. Дж.Эллиот и А.Лейп. Строение атомного ядра. ИЛ, Москва, 1958.

5. J.P.Elliot. Collective motion in the nuclear shell model. Part 1,11. A245, 128-145, 562-581, 1958.

6. E.Wittcn. Anti-de-Sitter space and holography. Adv. Theor. Math. Phys., 2, 253, 1998; hep-th/9802150.

7. G.W.Gibbons and N.S.Manton. Nucl. Phys., B274, 183, 1986. D.Zwanziger. Phys. Rev., 176, 1480, 1968.

8. F.Cooper, A.Khare and U.Sukhatme. Supersymmetry and quantum mechanics. Phys. Report, 251, 267, 1995.

9. K.Fujikawa. Path integral of the hydrogen atom, Jacobi's principle of least action and one-dimensional quantum gravity. Nucl. Phys., B484, 495-520, 1997.

10. B.И.Арнольд. Математические методы классической механики.

11. S.Wojciechowski. Supcrintegrability of the Calogcro-Moser System. Phys.Lett., A 95, 279, 1983.

12. Л.Д.Ландау и Е.М.Лифшиц. Механика, Наука, Москва, 1965.

13. N.W.Evans. Superintegrability in Classical Mechanics. Phys.Rev., A 41, 5666, 1990; Super-Integrability of the Wintcrnitz System. Phys.Lett. A 147,483, 1990; Group Theory of the Smorodinsky-Winternitz System J.Math.Phys., 32, 3369, 1991.

14. M.Laplace. Traite de macanique celeste. V.I. Ch. 3, Paris, Bachelier, 1989.

15. C.Runge. Vektoranalysis, 1. Hirtel, Leipzig, 1919.

16. W.Lenz. Uber den Bewcgungsverlauf und die Quantenzustande der gestorten Keplerbe-wegung. Zeitschr.Phys., 24, 197-207, 1924.

17. VV. Pauli. Uber das Wasserstoffspektrum vom Standpunkt der neuen Quantenmechanik. Zs. Phys., 36, 336-363, 1926.

18. Л.Д.Ландау и Е.М.Лифшиц, Квантовая Механика, Москва, Наука, 1973

19. Ю.Н.Демков. Группа симметрии изотропного осциллятора. ЖЭТФ, 26, 757, 1954; 36, 88-92, 1959

20. M.Kibler and P.Wintcrnitz. Periodicity and Quasi-Periodicity for Super-Integrable Ilamiltonian Systems. Phys.Lett. 147, 338-342, 1990.

21. M.Kibler, G.-II.Lamot and P.Winternitz. Classical Trajectories for Two Ring-Shaped Potentials. Int.J.Quantum Chem. 43, 625-645, 1992.

22. M.Kibler and C.Campigotto. Classical and Quantum Study of a Generalized Kepler-Coulomb System. Int.J.Quantum Chem. 45, 209-224, 1993.

23. J.Bcrtrand. Theorime relatif au mouvement dun point atlire vers un centre fixe. Comptes Rendus, 77, 849-853, 1873.

24. V.A.Fock. Zur Theorie des Wasserstoffatoms. Zs. Phys., 98, 145-154, 1935.

25. V.Bargman. Zur Theorie des Wasserstoffatoms. Zs. Phys., B39, 576-582, 1936.

26. В.Л.Фок. Начала квантовой механики. Наука, Москва, 1976

27. A.M.Переломов и В.С.Попов. Группа Лоренца как группа динамической симметрии атома водорода. ЖЭТФ, 50, 179-1986 1966.

28. В.С.Попов. О скрытой симметрии симметрии атома водорода. Статья в сборнике Физика высоких энергий и элементарных частиц. Наукова Думка, Киев, 1967.

29. М.Bander and C.Itzykson. Group Theory and the Hydrogen Atom. 1,11. Ilev. Mod.Phys. 38, 330-345; 346-358, 1968.

30. A.C.Chen. The zero-energy Coulomb problem. J.Math.Phys., 19, 1037-1040, 1978.

31. С.П.Аллилуев. К вопросу о связи "случайного" вырождения со "скрытой" симметрией системы. ЖЭТФ, 33, 200-203, 1957.

32. L.S.Davtyan, G.S.Pogosyan, A.N.Sissakian and V.M.Ter-Antonyan. On the Hidden Symmetry of a One-Dimensional Hydrogen Atom. J.Phys. A20, 2765-2772, 1987.

33. I.V.Lutscnko, L.G.Mardoyan, G.S.Pogosyan, A.N.Sissakian and V.M.Ter-Antonyan. Non-Relativistic Coulomb Problem in a One-Dimensional Quantum Mechanics. J.Phys. A22, 2739-2749, 1989.

34. J.M.Jauch. Groups of quantum-mechanical contact transformations and the degeneracy of energy-levels. Phys. Rev., 55, 1132, 1939.

35. J.M.Jauch and E.L.IIill. On the problem of degeneracy in quantum mechanics. Phys. Rev., 57, 641-645, 1940.

36. G.A.Baker. Degeneracy of the n-dimensional isotropic harmonic oscillator. Phys. Rev., 103, 1119-1120, 1956.

37. Ю.Н.Демков. Об определение группы симметрии квантовой системы. Анизотропный осциллятор. ЖЭТФ, 44, 2007-2010, 1963.

38. Л.А.Илькаева. Группа симметрии анизотропного осциллятора. Вести. ЛГУ, 22, 56-62, 1963.

39. V.A.Dulock and H.V.Mcintosh. On the degeneracy of the two-dimensional harmonic oscillator. Amer. J. Phys., 33, 109-118, 1969.

40. I.Vendramin. On the dynamical symmetry of the nonisotropic oscillators. Nuovo Cimento, 54A, 190-192, 1968.

41. G.Maiella, G.Vilasi. Reducible representations of the symmetry group of the anisotropic harmonic oscillator. Lett. Nuovo Cimento, 1, 57-64, 1969

42. K.B.Wolf. Dynamical groups for the point rotor and the hydrogen atom. Nuovo Cimento, 5, 1041-1050, 1967.

43. V.M.Ter-Antonyan. Dyon-Oscillator Duality, quant-ph/0003106.

44. A.Hurwitz. Mathematische Werke, Band II, 641, (Birkhauser), Basel, 1933.

45. T.Levi-Civita. Surla Resolution Qualitative di Probleme Restreint des Trois Corps. Орете Mathematiche, 2, 411-417, 1956.

46. P.Kustaanheimo and E.Stiefel. Perturbation Theory of Kepler Motion Based on Spinor Regularization. J.Rein.Angew.Math., 218, 204, 1965.

47. L.S.Davtyan, L.G.Mardoyan, G.S.Pogosyan, A.N.Sissakian, V.M.Ter-Antonyan; Generalized KS transformation: from five-dimensional hydrogen atom to eight-dimensional oscillator. J.Phys., A20, 6121-6125, 1987.

48. N.Mukunda, L.O'Raifeartaigh, E.C.G.Sudarshan. Characteristic noninvariance groups of dynamical systems. Phys. Rev. Lett., 15, 1041-1044, 1965.

49. M.Gell-Mann. The symmetry group of vector and axial vector currents. Physics, 1, 63-75, 1964.

50. Y.Dothan, M.Gell-Mann and Y.Ne'eman. Series of hadron energy levels as representations of non-compact groups. Phys. Lett., 17, 148-151, 1965.

51. И.А.Маиько и В.И.Малкип. Динамические симметрии и когерентные состояния квантовых систем. Паука, Москва, 1979.

52. И.Т.Тодоров. Некомпактные группы и динамические симметрии. Ст. в сборнике "Физика высоких энергий и элементарных частиц". Накова Думка, Киев, 19G7.

53. H.Bacry. The de Sitter group L4<i and the bound states of hydrogen atom. Nuovo Cimento, A41, 222-234, 1966.

54. R.II.Pratt and T.F.Jordan. Generators of the de Sitter group for the hydrogen atom. Phys. Rev., 148, 1276-1279, 1966.

55. R.II.Pratt and T.F.Jordan. Coulomb group theory for any spin. Phys. Rev., 188, 25342535, 1969.

56. И.Л.Мапько и В.И.Малкин. Симметрия атома водорода. ЯФ, 3, 372-382, 1966.

57. E.C.G.Sudarshan, N.Mukunda and L.O'Raifeartaigh. Group theore of the Kepler problem. Phys. Lett., 19, 322-326, 1965.

58. M.J.Englefield. Group theory and the Coulomb problem. Wiley-Interscience, New York, London, Sydney, Toronto, 1972.

59. C.Fronsdal. Infinite multiplets and the hydrogen atom. Phys. Rev., 156, 1665-1667, 1967.

60. A.O.Barut and H.Kleinert. Transition probabilities of the hydrogen atom from noncom-pact dynamical groups. Phys. Rev., 156, 1541-1545, 1967.

61. K.Marivvalla. Dynamical symmetries in mechanics. Phys. Report, C20, 289-362, 1975.

62. G.Gyorgyi. Kepler's equation, Fock variables, Bacry's generators and Dirac brackets. Nuovo Cimento, A53, 717-736, 1968.65. iM.Y.IIan. Quantum-mechanical generators of the group for hydrogen atom bound states. Nuovo Cimento, B42, 367-370',1966.

63. R.Musto. Generators of 0(4,1) for the quantum-mechanical hydrogen atom. Phys. Rev., 148, 1274-1275, 1966.

64. A.P.Stone Some Properties of Wigner Coefficients and Hyperspherical Harmonics, Proc. Camb.Phil.Soc., 52, 424-430, 1956.

65. D.Park. Relation Between the Parabolic and Spherical Eigenfunctions of Hydrogen. Zs. Phys., 159, 155-157, 1960.

66. C.B.Tartcr. Coefficients Connecting the Stark and Field-Free Wavefunctions of Hydrogen. J.Math.Phys., 11, 3192-3195, 1970.

67. S.D.Majundar and D.Basu. 0(3,1) Symmetry of the Hydrogen Atom. J.Phys., A7, 787793, 1974.

68. C.A.Coulson and A.Joseph. Spheroidal Wave Functions for the Hydrogen Atom. Proc. Phys. Soc. London, 90, 887-893, 1967.

69. Z.Pluhar and J.Tolar. Transformation Matrix for the Isotropic Harmonic Oscillator SU(3) and Representations. Czech. J.Phys., B14, 287-293, 1964.

70. E.Chacon and M. de Llano. Transformation Brakets Between Cartesian and Angular Momentum Ilarmonig Oscillator Basis Functions with and without Spin-Orbit Coupling. Tables for the 2s-ld Nuclear Shell. Rev. Мех. de Fisica, 12, 57-68, 1963.

71. G.Mardoyan, G.S.Pogosyan, A.N.Sissakian, V.M.Ter-Antonyan. Spheroidal analysis of hydrogen atom. J.Phys., A16, 711-728, 1983.

72. G.Mardoyan, G.S.Pogosyan, A.N.Sissakyan and V.M.Ter-Antonyan. Interbasis Expansions in a Circular Oscillator. Nuovo Cimento, A86, 324-336, 1985.

73. Л.Г.Мардоян, Г.С.Погосян, А.П.Сисакян и В.М.Тер-Антонян. Межбазисиые разложения в двумерном атоме водорода. ТМФ, 63(3), 406-416, 1985.

74. G.Mardoyan, G.S.Pogosyan, A.N.Sissakian and V.M.Ter-Antonyan. Hidden symmetry, Separation of Variables and Interbasis Expansions in the Two-Dimensional Hydrogen Atom. J.Phys., A18, 455-466, 1985.

75. Л.С.Давтян, Г.С.Погосян, А.Н.Сисакян и В.М.Тер-Антонян. Двухмерный атом водорода. Разложение полярного базиса по параболическому в непрерывном спектре. ТМФ, 66, 222-233, 1986.

76. Л.С.Давтян, Г.С.Погосян, А.Н.Сисакян и В.М.Тер-Антонян. Преобразование между параболическими базисами для двумерного атома водорода в непрерывном спектре. ТМФ, 74(2), 240-246, 1988.

77. P.Stackel. Uber die Integration der Hamilton-Jacobischen Differential Gleichung mittelst Separation der Variabel. (Habilitationsschrift, Ilalle, 1891).

78. Ф.М.Морс и Г.Ф.Фешбах. Методы теоретической физики. Москва. ИЛ, 1958.

79. F.Moon, D.Spencer. Theorems on Separability in Riemannian n-Space. Proc. Amer. Math. Soc. 3, 635-642, 1952.

80. P.Eisenhart. Enumeration of potentials for which one-particle Shrodinger equations are separable. Phys. Rev., 74, 87-89, 1948.

81. М.П.Олевский. Триортогональные системы координат в пространствах постоянной кривизны в которых уравнение А2и + Хи = 0 допускает полное разделение переменных, Мат. Сбор., 27, 379, 1950.

82. E.G. Kalnins and W. Miller, Jr. Separation of variables on n-dimensional Riemannian manifolds 1. The n-sphere Sn and Euclidean n-space Rn. J. Math. Phys., 27, 1721, 1986.

83. E.G. Kalnins. Separation of Variables for Riemannian spaces of constant curvature. Pitman, Monographs and Surveys in Pure and Applied Mathematics 28, Longman, Essex, England, 1986.

84. Н.Я.Вилепкип. Полисферические и орисферические функции, Мат. Сбориик, 68, 432443, 1965.

85. Н.Я.Вилепкип, Г.И.Кузнецов и Я.А.Смородинский. Собственные функции оператора Лапласа, реализующие представления групп U(2), SU(2), SO(3), U(3) SU(3) и символический метод. ЯФ, 2, 906-917, 1965.

86. Н.Я.Вилепкип. Специальные функции и теория представлений групп. Наука, Москва, 1965.

87. J.D.Talman. Special Functions: A Group Theoretic Approach (Benjamin, New York), 1968.

88. W.Miller Jr. Lie Theory and Special Functions. (Academic Press, New York), 1968.

89. E.G.Kalnins. On the separation of variables for the Laplace equation ДФ + I\2Ф in two-and three-dimensional Minkowsky space. SIAM J. Math. Anal. 6(2), 340-374, 1975.

90. У.Миллер мл. Симметрия и разделение переменных Мир, Москва, 1981.

91. И.В.Комаров, Л.И.Пономарев и С.Ю.Славянов. Сфероидальные и кулоиовскис сфероидальные функции. Паука, Москва, 1971.

92. C.A.Coulson and P.D.Robertson. Wave Functions for the Hydrogen Atom in Spheroidal Coordinates. I. The Derivation and Properties of the Functions. Proc. Phys. Soc. London, 71, 815-827, 1958.

93. E.G.Kalnins and W.Miller, Jr. and P.Winternitz. The Group 0(4), Separation of Variables and the Hydrogen Atom. SIAM J.Appl.Math., 30, 630, 1976.

94. Л.Г.Мардоян, Г.С.Погосян, А.Н.Сисакян и В.М.Тер-Антонян. Двухмерный атом водорода. I.Эллиптический базис. ТМФ, 61(1), 99-117, 1984.

95. G.Mardoyari, G.S.Pogosyan, A.N.Sissakyan and V.M.Ter-Antonyan. Elliptic Basis of Circular Oscillator. Nuovo Cimento B88, 43-56, 1985.

96. W.D.Niven. On ellipsoidal harmonics. Phil. Trans. CLXXXII, 231, 1891.

97. Э.Т.Уиттекер и Дж.Н.Ватсон. I\ypc современного анализа, том 2, Москва, 1963.

98. Е.Гобсон. Теория сферических и эллипсоидальных гармоник. Москва, 1965.

99. I.V.Komarov and V.B.Kuznetsov. Quantum Euler-Monakov top on the 3-sphere J.Phys. 24, L737-L742, 1991.

100. E.G.Kalnins and W.Miller Jr. Separable coordinates, integrability and the Niven equation. J.Phys. 25, 5663-5675, 1992.

101. A.F.Steveson. Note on the "Kepler Problem" in a Spherical Space, and the Factorization Method of Solving Eigenvalue Problems. Phys.Rev., 59, 842, 1941.

102. L.Infcld. On a New Treatment of Some Eigenvalue Problems. Phys.Rev., 59, 737, 1941.

103. L.Infeld and A.Schild. A Note on the Kepler Problem in a Space of Constant Negative Curvature. Phys.Rev., 67, 121, 1945.

104. P.W.IIiggs. Dynamical Symmetries in a Spherical Geometry. J.Phys., A12, 309, 1979.

105. II.I.Lecmon. Dynamical Symmetries in a Spherical Geometry. J.Phys., A12, 489, 1979.

106. Ю.Л.Курочкип, В.С.Отчик. Аналог вектора Руте Лепца и спектр энергий в задаче Керлера на трехмерной сфере. ДАН БССР, XXIII, 987-990, 1979.

107. Л.Л.Богуш, Ю.Л.Курочкип, В.С.Отчик. О квантовомеханической задаче Кеплера в трехмерном пространстве Лобачевского. ДАН БССР, XXIV, 19-22, 1980.

108. Y.Nishino. On quadratic first integrals in the 'central potential' problem for the configuration space of constant curvature. Math. Japon., 17, 59-67, 1972.

109. M.Ikeda and N.Katayama. On Generalization of Bertrand's theorem to spaces of constant curvature. Tensor, N.S., 38, 37-40, 1982.

110. Л.Л.Богуш, В.С.Отчик, В.М.Редьков. Разделение переменных в уравнении Шредингера и нормированные функции состояний для задачи Кеплера в трехмерных пространствах постоянной кривизны. Вестник АН БССР, 3, 56-62, 1983.

111. В.С.Отчик, В.М.Редьков. Квантовомеханическая задача Кеплера в пространствах постоянной кривизны, Препринт 298, ИН АН БССР, 1983.

112. A.O.Barut, A.Inornata and G.Junker. Path Integral Treatment of the Hydrogen Atom in a Curved Space of Constant Curvature. J.Phys., A20, 6271, 1987.

113. A.O.Barut, A.Inornata and G.Junker. Path Integral Treatment of the Hydrogen Atom in a Curved Space of Constant Curvature II. J.Phys., A23, 1179, 1990.

114. C.Grosche. The Path Integral for the Kepler Problem on the Pseudosphere. Ann. Phys., 204, 208, 1990.

115. C.Groschc. On the Path Integral in Imaginary Lobachevsky Space. J. Phys., A27, 3475, 1994.

116. N.Katayama. A Note on a Quantum-Mechanical Harmonic Oscillator in a Space of Constant Curvature. Nuovo Cimento, B107, 763, 1992.

117. С.И.Випитски, Л.Г.Мардоян, Г.С.Погосяи, А.Н.Сисакян и Т.А.Стриж. Атом водорода в искривленном пространстве. Разложение по свободным решениям на трехмерной сфере. ЯФ, 56, 321, 1993

118. Е.М.Акопяи, С.И.Вииитский, Г.С.Погосяи и А.Н.Сисакян. Изотропный осциллятор о пространстве постоянной положительной кривизны. Межбазисиые разложения. ЯФ, 62, 623-637, 1999.

119. N.Bessis and G.Bcssis. Electronic wavefunctions in a space of constant curvature. J.Phys., A12, 1991-1997, 1979.

120. A.A.Bogush and V.S.Otchik. Problem of two Coulomb centres at large intercentre separation: asymptotic expansions from analytical solutions of the ffeun eqution. J.Phys., A30, 559-571, 1997.

121. А.А.Изместьев. Точно решаемая потенциальная модель для кварконисв, глюопный пропагатор. ЯФ, 53, 1402-1409, 1991.

122. V.V.Gritsev and Yu.A.Kurochkin. Model of excitations in quantum dots based on quantum mechanics in spaces of quantum curvature. I'rys. Rev. B64, 035308, 2001.

123. J.Fris, V.Mandrosov, Ya.A.Smorodinsky, M.Uhlir and P.Winternitz. On Higher Symmetries in Quantum Mechanics. Phys.Lett., 16 354, 1965.

124. П.Винтерпитд, Я.А.Смородинский, М.Углирж и И.Фриш. Группы симметрии а квантовой механике. ЯФ, 4, 625-635, 1967.

125. A.A.Makarov, Ya.A.Smorodinsky, Kh.Valiev and P.Winternitz: A Systematic Search for Nonrelativistic Systems with Dynamical Symmetries. Nuovo Ciinento, A52, 1061, 1967.

126. G. Darboux. Ach. Neerl. (ii), VI, 371, 1901.

127. E.T. Whittaker. Analytical Dynamics of Particles and Rigid Bodies, pp. 331-336, 4th edition, Dover, New York, 1944.

128. E.G.Kalnins and W.Miller Jr. The theory of orthogonal R-separation for Helmholtz equation, Adv. Math. 51, 91-106, 1984.

129. W.Miller Jr. Mechanisms for variable separation in partial differential equations and their relationship to group theory, Symmetries and Non-Linear Phenomena (D.Levi and P.Winternitz, eds), World Scientific, 1988, pp. 188-221.

130. W.Miller Jr. Multiscparability and superintegrability, Integrable Systems: From Classical to Quantum, (J.Hamad, G.Sabidussi and P.Winternitz, cds), CRM Proceedings and Lecture Notes, Vol. 26, 2000.

131. H.Hartmann. Bewegung eines Korpers in einem ringformigen Potentialficld. Theor. Chim. Acta 24, 201-206, 1972.

132. M.A.Olshanetsky and A.M.Perelomov. Classical integrable finite-dimensional systems related to Lie algebras. Physics Report, 71, 313-400, 1981.

133. A.M.Переломов. Интегрируемые системы классической механики и алгебры Ли. Наука, Москва, 1990.

134. F.Calogero. Solution of the One-Dimensional N- Bode Problems with Quadratic and/or Inversely Quadratic Pair Potentials. J.Math. Phys., 12, 419, 1971.

135. C.P.Boyer, E.G.Kalnins and P.Winternitz. Completely integrable relativistic Ilamil-tonian systems and separation of variables Hermitean hyperbolic space, J.Math. Phys., 24, 2022-2034, 1983

136. Е.К.Склянин. Функциональный анализ и его приложения, 12, 1979.

137. Е.К.Склянин. Некотырые алгебраические структуры связанные с уравнением Янга-Бакстпера. Функциональный анализ и его приложения, 16, 263, 1983.

138. Е.К.Склянин. Некотырые алгебраические структуры связанные с уравнением Янга-Бакстпера. Представления квантовых алгебр. Функциональный анализ и его приложения, 17, 273, 1984.

139. F.ILL.EssIcr and V.Rittcnberg. Representations of the quadratic algebra and partially asymmetric diffusion with open boundaries. J.Phys., A29, 3375, 1996.

140. Yu.A.Granovskii, I.M.Lutscnko and A.S.Zhedanov. Mutual integrability, quadratic algebras and dynamical symmetry. Ann. Phys., 217, 1, 1992.

141. D.Bonatos, C.Daskaloyannis and K.Kokkotas. Deformed Oscillator Algebras for Two-Dimcnsional Quantum Superintegrable Systems. Phys. Rev., A50, 3700, 1994.

142. P.Letourneau and L.Vinet. Superintegrable systems: Polynomial Algebras and quasi-exactly-solvable Hamiltonians. Ann. Phys., 243, 144, 1995.

143. Yu.A.Granovskii, A.S.Zhedanov and I.M.Lutscnko. Quadratic algebra as a hidden symmetry of a Ilartmann potential. J.Phys., A24, 3887, 1991.

144. O.F.Gal'bert, Yu.A.Granovskii and A.S.Zhedanov Dynamical symmetry of anisotropic singular oscillator. Phys. Lett., A153, 177, 1991.

145. IO.А.Грановский, А.С.Жсданов и И.М.Луценко. Квадратичные алгебры и динамика в искревленном пространстве. 1 Осциллятор. ТМФ, 91, 207, 1992.

146. Ю.А.Грановский, А.С.Жеданов и И.М.Луцепко. Квадратичные алгебры и динамика в искревлепиом пространстве. 2. Проблема Кеплера. ТМФ 91, 396, 1992.

147. C.Daskaloyannis. Quadratic Poisson algebras of two-dimensional classical supcrinte-grable systems and quadratic associative algebras of quantum superintegrable systems. J.Math. Phys., 42, 1100-1119, 2001.

148. M.F. Raiiada. Superintegrable n=2 systems, quadratic constants of motion, and potentials of Drach. J.Math.Phys. 38, 4165, 1997.

149. E.Inonii and E.P.Wigncr. On the contractions of groups and their representations. Proc. Nat. Acad. Sci. (US), 39 510-524, 1953.

150. R.V.Moody and J.Patera. Discreteand continuous graded contractions of representation of Lie algebra. J. Phys., A24, 2227-2258, 1991.

151. R.Gilmore, Lie Groups, Lie Algebras and Some of their Applications (Wiley, New York), 1974.

152. Н.Л.Громов. Контракции и аналитические продолжения классических групп. Единый подход. Сыктывкар, 1990.

153. Я.Х.Лыхмус. Предельные группы Ли, Труды IIлетней школы по проблемам Теории элементарных частиц, Отепя, 1967.

154. J.Lohmus and R.Tammelo. Contractions and deformations of space-time algebras. I. General Theory and kinematical Algebras Iladronic Journal, 20, 361-416, 1997.

155. A.A.Izmest'ev, G.S.Pogosyan, A.N.Sissakian and P.Winternitz. Contraction of Lie Algebras and Separation of Variables. J.Phys., A29, 5940-5962, 1996.

156. A.A.Izmest'ev, G.S.Pogosyan, A.N.Sissakian and P.Winternitz. Contraction of Lie Algebras and Separation of Variables. Two-Dimensional Hyperboloid. International Journal of Modern Physics. A12(l), 53-61, 1997.

157. A.A.Izmest'ev and G.S.Pogosyan. Contraction of Lie Algebras and Separation of Variables. From Two-Dimensional Hyperboloid to Pseudo-Euclidean Plane. Препринт ОИЯИ, E2-98-83, Дубна, 1998.

158. П.Винтерпитц, К.Б.Вольф, Г.С.Погосян и А.Н.Сисакян., Вывод теоремы сложения Графа путем контракций группы 6"0(3). ТМФ, 129(2), 227-229, 2001.

159. E.G.Kalnins, W.Miller Jr. and G.S.Pogosyan. Completeness of multiseparablc superin-tegrability in two dimensions. ЯФ, 65(6), 1066-1068, 2002.

160. C.Grosche, Kh.G.Karayan, G.S.Pogosyan and A.N.Sissakian. Free Motion on the Three-Dimensional Sphere: The Ellipso-Cylindrical Bases. J.Phys., A30, 1629-1657, 1997.

161. R.G.Airapetyan, Kh.G.Karayan, G.S.Pogosyan, A.N.Sissakian, D.I.Zaslavsky. Quantum Motion on the Three-Dimensional Sphere. Ellipsoidal Bases, Preprint JINR, E2-96-117, Dubna, 1996.

162. A.A.Izmest'ev, G.S.Pogosyan, A.N.Sissakian and P.Wintcrnitz. Contraction of Lie Algebras and Separation of Variables. N-dimensional sphere, J.Math.Phys., 40, 1549-1573, 1999.

163. A.A.Izmest'ev, G.S.Pogosyan, A.N.Sissakian and P.Wintcrnitz. Contractions of Lie algebras and the separation of variables. Interbases expansions. J.Phys. A34, 521-554, 2001.

164. E.G.Kalnins, W.Miller Jr. and G.S.Pogosyan. Completeness of multiseparablc superin-tegrability in E2,c- J.Phys.A: Math Gen. 33, 4105-4120, 2000.

165. C.Grosche, G.S.Pogosyan and A.N.Sissakian. Path Integral discussion for Smorodinsky XVinternitz Potentials: I. Two - and three Dimensional Euclidean Space. Fortschritte der Physik, 43(6), 453-521, 1995.

166. E.G.Kalnins, W.Miller Jr. and G.S.Pogosyan. Superintegrability and associated polynomial solutions. Euclidean space and sphere in two-dimensions. J.Math.Phys. 37, 64396467, 1996

167. Ye.M.Hakobyan, M.Kibler, G.Pogosyan and A.N.Sissakian. On a Generalized Oscillator: Invariance Algebra and Interbasis Expansions. ЯФ, 61, 1782-1788, 1998.

168. E.G.Kalnins, W.Miller Jr. and G.S.Pogosyan. Completeness of multiseparable superintegrability on the complex 2-sphere, J.Phys.A: Math Gen. 33, 6791-6806, 2000.

169. E.G.Kalnins, J.M.Kress, W.Miller Jr. and G.S.Pogosyan. Completeness of superintegrability in two dimensional constant curvature spaces. J.Phys. A34, 4705-4720, 2001.

170. E.G.Kalnins, W.Miller Jr. and G.S.Pogosyan. Coulomb-oscillator duality in spaces of constant curvature, J.Math.Phys. 41, 2629-2657, 2000.

171. C.Grosche, G.S.Pogosyan and A.N.Sissakian. Path Integral discussion for Smorodinsky -Winternitz Potentials: II. Two and Three Dimensional Sphere. Fortschritte der Physik, 43(6), 523-563, 1995.

172. J.Drach. Compt. Rend. Acad. Sci. Paris, 200, 22, 1935.1861 П.Виитерпитц, И.Лукач и Я.А.Смородинский. Квантовые числа в малых группах группы Пуанкаре. ЯФ, 7, 192, 1968.

173. Т.Бейтмен, А.Эрдейи. Высшие трансцендентные функции, том 2, "Наука", М.,1974.

174. F.M.Arscott. Periodic Differential Equations. (Macmillan, New York). 1964.1911 И.Лукач, Я.А.Смородинский. Волновые функции асимметричного волчка. ЖЭТФ, 48, 1342, 1969.

175. E.G.Kalnins and W.Miller Jr. Lie Theory and Separation of Variables. 4■ The Groups 50(2,1) andS0(3). J. Math. Phys., 15, 1263-1274, 1974.

176. И.Лукач. О полных наборах наблюдаемых на сфере в четырехмерном евклидовом пространстве. ТМФ 31, 275, 1977.

177. Г.Сеге. Ортогональные многочлены, Физматгиз, Москва, 1962.

178. M.Kibler and G.Grenet On the SU2 Unit Tensor, J.Math.Phys., 21, 422-439, 1980.

179. E.L.Ince, Ordinary Differential Equations, Chap. 20, London: Longmans, Green & Co., 1927.

180. R.Bellman, Introduction to Matrix Analysis, McGraw Hill Book Company, INC New York, Toronto, London, 1960.

181. D.R.Herrick. Symmetry of the Quadratic Zeemann Effect for Hydrogen Phys.Rev., A 26 323-329, 1982.

182. Е.А.Соловьев. Атом водорода в слабом магнитном поле, ЖЭТФ 82, 167, 1982.

183. П.А.Враун и Е.Л.Соловьев. Эффект Штарка для атома водороода в магнитим поле ЖЭТФ 86, 68, 1984.

184. L.P. Eisenhart, Separable systems of Stdckel, Ann.Math. 35, 284-305, (1934).

185. W.Miller, Jr., J.Patera, and P.Winternitz, Subgroups of Lie groups and separation of variables, J. Math. Phys. 22, 251-260, (1991).

186. Г.И.Кузнецов, С.С.Москалюк, Ю.Ф.Смирнов и В.П.Шелест, Графическая теория представлений ортогональных и унитарных групп. Киев, Наукова Думка, 1992.

187. Г.И.Кузнецов и Я.А.Смородинский. Гиперсферические деревья и 3jn коэффицепты. ЖЭТФ, 22, 378-380, 1975.

188. В.А.Кныр, П.П.Пепирайте и Ю.Ф.Смирнов. Канонические преобразования "деревья" и моменты кратные 1ЯФ, 22, 1063, 1975.

189. С.К.Суслов, Т коэффицепты метода "деревьев" как ортогоналльные полиномы дискретной переменной. ЯФ, 38, 1367, 1983.

190. W.N.Bailey. Generalized Hypergeometric Series. Cambridge Tracts No.32 (Cambridge University Press), Cambridge, 1935.

191. B. Dorrizzi and B. Grammaticos. A new class of integrable systems. J. Math. Phys., 24, 2282-2288, 1983.

192. A. Ankiewicz and C. Pask. The complete Whittakcr theorem for two-dimensional integrable systems and its application. J.Phys., A16, 4203-4208, 1983.

193. C.R.IIolt. Construction of New Integrable Ilamiltonians in Two Degrees of Freedom. J.Math.Phys., 23, 1037, 1982.

194. D.Lambert and M.Kibler: An Algebraic and geometric approach to non-bijective quadratic transformation. J.Phys., A21, 307, 1988.

195. З.Флюгге. Задачи no квантовой механике, Мир, Москва, 1974.21G. A.Erdelyi, W.Magnus, F.Oberhettinger and F.Tricomi: Tables of Integral Transforms, (McGraw-Hill, New York, 1954), Vol II.

196. A.Frank and K.B.Wolf. Lie Algebras for Systems with Mixed Spectra. I. The Scattering Poschl-Teller Potential, J.Math.Phys., 25, 973, 1985.

197. A.O.Barut, A.Inomata and R.Wilson. Algebraic treatment of the second Poschl-Teller, Morse-Rosen and Eckart equations. J.Phys., A20, 4075, 1987.

198. M.F.Manning, N.Rosen. A Potential Function for the Vibrations of Diatomic Molecules. Phys. Rev., 44, 953, 1933.

199. E.G.Kalnins, W.Miller Jr., G.S.Pogosyan and G.C.Williams. On superintcgrable syrn-metry-breaking potentials in N-dimensional Euclidean space. J.Phys. A35, 4755-4773, 2002.