Кинематическая модель роста регенерационных поверхностей кристаллов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 25.00.05, кандидат геолого-минералогических наук Гаврюшкин, Павел Николаевич

• Гаврюшкин, Павел Николаевич
• кандидат геолого-минералогических наук
• 2009

Оглавление диссертации кандидат геолого-минералогических наук Гаврюшкин, Павел Николаевич

Введение.

Глава 1. Исторический анализ литературных данных по регенерации кристаллов.

§1.1. Огранка регенерационной поверхности и огранка кристалла.

§1.2. Изменение морфологии регенерационной поверхности.

§1.3. Начальный этап регенерации.

§1.4. Отношение скоростей роста грань/регенерационная поверхность.

§1.5. Регенерация отрицательных кристаллов.

§1.6. Количественные модели процесса регенерации.

Глава 2. Материалы и методы проведения исследований.

§2.1. Характеристика использованного материала.

§2.2. Методика ростовых экспериментов по регенерации алюмокалиевых квасцов.

§2.3. Методика проведения гониометрии и микроскопии на алюмокалиевых квасцах.

§2.4. Методика определения количества субиндивидов на регенерационной поверхности берилла.

Глава 3. Экспериментальные результаты по регенераци алюмокалиевых квасцов и берилла

§3.1. Шарообразные затравки алюмокалиевых квасцов.

§3.2. Плоские затравки алюмокалиевых квасцов и берилла.

§3.3. Цилиндрические отверстия в кристаллах алюмокалиевых квасцов.

Глава 4. Кинематическая модель регенерации кристаллов.

§4.1. Уравнение для скорости продвижения фронта регенерационной поверхности.

§4.2. Сравнение модельных и экспериментальных результатов

§4.3. Некоторые практические следствия.

Глава 5. Модель эволюции морфологии регенерационной поверхности.

§5.1. Методика построения двумерной модели эволюции регенерационной поверхности

§5.2. Сравнение модельных экспериментальных результатов.

§5.3. Сравнение с моделью роста ячеистых поверхностей.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Кинематическая модель роста регенерационных поверхностей кристаллов»

Актуальность темы. Многие промышленные методы выращивания кристаллов основаны на росте направлений, не соответствующих граням кристалла, т.е. в своей основе являются регенерационными (Асхабов, 1979). Даже в тех случаях, когда затравочная поверхность параллельна некоторой грани, частичное растворение кристалла в ходе насыщения раствора обуславливает наличие регенерационной стадии роста. В обоих случаях качество получаемого материала определяется начальной стадией регенерации, т.к. именно на ней формируется характер ростовой поверхности. Понимание природы процессов, определяющих закономерности протекания регенерации затравочной поверхности, и умение ими управлять, позволит значительно оптимизировать как синтез промышленных кристаллов, так и работы по выращиванию новых кристаллов. Построение кинематической модели, на наш взгляд, должно быть первым шагом на пути к этой цели.

Наличие адекватной кинематической модели регенерации представляет интерес и для онтогении минералов, т.к. регенерированные кристаллы имеют весьма широкое распространение в природе: они «необычайно характерны» для осадочных, метаморфических, магматических и гидротермальных пород (Леммлейн, 1930; Григорьев, 1975). По мнению A.M. Асхабова (1979), огранка регенерационной поверхности гораздо более чувствительна к условиям кристаллизации, нежели огранка полиэдрического кристалла, в силу чего может служить ценным источником онтогенетической информации.

На основании сказанного можно составить представление об актуальности построения кинематической модели роста регенерационных поверхностей кристаллов. Однако, несмотря на значительный объем накопленных экспериментальных и теоретических результатов, такой модели, обладающей количественной предсказательной силой к настоящему моменту не построено.

Целью работы является разработка непротиворечивой кинематической модели регенерации кристаллов для случая роста из раствора. Реализация этой цели подразумевает выполнение следующих задач:

1) экспериментальное изучение кинематики роста регенерационных поверхностей (на примере алюмокалиевых квасцов и берилла);

2) разработка непротиворечивой кинематической модели процесса регенерации;

3) численное моделирование на базе предложенной модели;

4) постановка контрольных экспериментов по проверке теоретических результатов.

Основные защищаемые положения

1) Исходя из предположения о равенстве скоростей роста граней кристалла и граней субиндивидов регенерационной поверхности, имеющих одинаковые символы Миллера, можно рассчитать скорость роста регенерационной поверхности.

2) На диаграмме скоростей роста грань кристалла может находиться как в позиции острого минимума, так и в позиции острого максимума. В первом случае площадь грани увеличивается за счёт взаимодействия с регенерационной поверхностью, во втором — уменьшается.

3) Приняв различной первоначальную огранку субиндивидов регенерационной поверхности, можно описать изменение морфологии и скорости роста регенерационной поверхности, которое происходит в результате действия геометрического отбора между гранями субиндивидов.

Научная новизна. Предложена кинематическая модель роста регенерационных поверхностей, имеющая качественное и количественное согласование с экспериментальными данными. На базе предлагаемой модели получены следующие научные результаты.

• Предложен новый способ построения диаграмм скоростей роста кристалла.

• Предложен новый подход к анализу диаграмм скоростей роста, позволяющий определять последовательность выклинивания граней и стационарную форму кристалла.

• Впервые с кинематических позиций рассмотрены причины уменьшения скорости роста и изменения морфологии регенерационной поверхности.

• На основании экспериментального и теоретического рассмотрения впервые показано равенство скоростей роста граней кристалла и граней субиндивидов регенерационной поверхности, имеющих одинаковые символы Миллера.

• Предложен оригинальный метод определения скоростей роста быстрорастущих граней по изменению их протяжённости.

Практическое значение. Полученные результаты позволяют: 1) существенно сократить временные затраты необходимые для поиска наиболее быстро растущего направления; 2) значительно оптимизировать процесс построения диаграмм скоростей роста.

Фактическую основу работы составляют результаты 117 экспериментов: по регенерации шарообразных затравок, по регенерации плоских затравок и по измерению скоростей роста различных направлений кристалла.

Апробация работы и публикации. По результатам исследований опубликовано 3 статьи, в том числе в журналах, рекомендованных ВАК — 1 статья. Материалы работы представлены на 10 конференциях. Результаты работы были апробированы на следующих конференциях: 1) Фёдоровская сессия, С.-Петербург, 2008; 2) «Кристаллогенезис и минералогия», С.-Петербург, 2007; 3) «Студент и научно-технический прогресс», Новосибирск, 2007; 4) XII международная конференция

Ломоносов-2006», Москва; 5) «Студент и научно-технический прогресс», Новосибирск, 2006; 6) Вторая Сибирская международная конференции молодых учёных по наукам о Земле, Новосибирск, 2004; 7) XII Национальной конференции по росту кристаллов, Москва, 2006; 8) Ежегодный семинар по экспериментальной минералогии, петрологии и геохимии, Москва, 2006; 9) "Рост монокристаллов и тепломассоперенос", Обнинск, 2005; 10) XI Национальная конференция по росту кристаллов, Москва, 2004.

Структура и объём работы. Работа состоит из Введения с определением используемых терминов, пяти глав и выводов. Диссертация изложена на 165 страницах и сопровождается 64 иллюстрациями и семью таблицами. Список литературы включает 89 наименования.

Заключение диссертации по теме «Минералогия, кристаллография», Гаврюшкин, Павел Николаевич

Основные результаты и выводы

1. На кристаллах алюмокалиевых квасцов экспериментально прослежено поведение макрограней1 на регенерирующем шаре. Возможно три варианта поведения макрограни: а) непрерывное увеличение площади, зафиксированное для самой медленнорастущей простой формы {111}, б) увеличение площади до определённого размера и последующее сохранение постоянного размера — {001}, в) увеличение площади до определённого размера и дальнейшее уменьшение площади. В последнем случае уменьшение площади может происходить, как за счёт взаимодействия с соседними макрогранями, так и за счёт взаимодействия с регенерационной поверхностью.

2. Впервые на регенерирующей поверхности шаров обнаружены линейные структуры, напоминающие ребра. Существование «ребер» на регенерационной поверхности противоречит традиционной точке зрения, согласно которой скорость роста участка регенерационной поверхности, находящегося между двумя ближайшими к нему сингулярными гранями, является гладкой функцией полярного угла. Подобные рёбра обнаружены на регенерирующих шарах двух веществ: алюмокалиевых квасцов и корунда, существенно отличающихся по симметрии, энергии связи и условиям роста (первые растут из низкотемпературных водных растворов; вторые - из гидротермальных). Это позволяет ожидать появления «ребер» и на регенерационных поверхностях кристаллов других веществ.

3. Численным двумерным моделированием показано, что эволюцию регенерационных поверхностей кристаллов алюмокалиевых квасцов можно качественно объяснить, предположив, что исходно регенерирующая

1 Определение терминов макро- и микрогрань приведено на стр. 8-9. поверхность покрыта большим количеством субиндивидов, ограненных микрогранями, случайным образом выбранными из набора возможных простых форм. В результате различной огранки субиндивидов, нормальные к затравке скорости их роста оказываются различными, что делает возможным геометрический отбор между соседними субиндивидами (первый вид геометрического отбора). Одновременно в пределах каждого субиндивида происходит геометрический отбор между образующими его микрогранями (второй вид геометрического отбора). Первый вид геометрического отбора приводит к уменьшению количества и увеличению размеров субиндивидов, I второй — к исчезновению из огранки субиндивидов быстрорастущих микрограней. Именно влияние обоих видов геометрического отбора приводит к постепенному снижению скорости роста регенерационной поверхности, описанному в литературе.

4. На основании кинематического рассмотрения, в основу которого положено утверждение о равенстве скоростей роста соответствующих (параллельных) граней кристалла и граней регенерационной поверхности, впервые построена кинематическая модель регенерации кристаллов, имеющая предсказательную силу. Построенные с помощью этой модели расчетные диаграммы скоростей роста диагональной зоны алюмокалиевых квасцов имеют количественное соответствие с экспериментальными данными.

5. Анализом кинематической модели регенерации кристаллов показано, что на диаграмме скоростей роста граням могут соответствовать, как острые минимумы, так и острые максимумы. Макрограни, которым соответствуют острые максимумы, выклиниваются окружающей их регенерационной поверхностью; которым соответствуют острые минимумы — разрастаются. Снижение скорости роста регенерационной поверхности в процессе регенерации обуславливает изменение вида диаграммы скоростей роста, ранее не рассматривавшееся. В случае алюмокалиевых квасцов, это изменение заключается в трансформации острых минимумов, соответствующих граням, в острые максимумы: если на начальном этапе всем граням соответствуют острые минимумы диаграммы, то через некоторый промежуток времени минимумы переходят в максимумы и разрастание грани сменяется её выклиниванием. Исключение составляют грани стационарной формы и наиболее быстрорастущие грани, первым на протяжении всего процесса регенерации соответствуют острые минимумы, вторым — острые максимумы. Именно последним отвечают зафиксированные на регенерационной поверхности «ребра».

6. Впервые рассмотрено соотношение между полным набором возможных граней кристалла (макрограней) и полным набором граней регенерационной поверхности (микрограней) алюмокалиевых квасцов: все грани проявляющиеся в виде плоских участков на шаре способны проявляться и в виде граней субиндивидов регенерационной поверхности. Количественное соответствие кинематической модели и эксперимента позволяет заключить, что скорости роста соответствующих (параллельных) микро- и макрограней равны.

Список литературы диссертационного исследования кандидат геолого-минералогических наук Гаврюшкин, Павел Николаевич, 2009 год

1. Аншелес О.М. Некоторые вопросы связи формы кристаллов с их строением.-Рост кристаллов, Изд-во АН ССР, 1957, с. 67-73.

2. Артемьев Д.Н. Метод кристаллизации шаров.- Петроград, 1914. 309с.

3. АсхабовА.М. Регенерация кристаллов. М.: Наука, 1979. 174 с.

4. БаклиГ. Рост кристаллов.-М., Наука, 1954. 407с.

5. Балашёва М.Н., Шафрановский И.И. Опыты по регенерации пришлифованных плоскостей на кристаллах.- Записки ВМО, вып.1, ч.ЬХХ, 1948, с.97-102.

6. Борисов А.Г. Влияние кристаллографической ориентации на морфологию межфазной границы при направленном затвердевании бензофенона и салола.-Кристаллография, вып.6, 1993, с.217-237.

7. Буллах А.Г. Графика кристаллов (измерение, вычисление и вычерчивание).- М.: «Недра», 1971, 101 с.

8. Войтеховский Ю.Т., Степенщиков Д.Г. Реальные кристаллографические простые формы. Записки ВМО, 2004, 4.133, вып.2, с.112-120.

9. Войтеховский Ю.Т., Степенщиков Д.Г. Реальные ромбододекаэдры: теория и приложения к гранатам г. Макзапахк (Западные Кейвы, Кольский полуостров). -Записки ВМО, 2005, 4.134, вып.1, с.97-103.

10. Войтеховский Ю.Т., Степенщиков Д.Г., Макаров М.С. Теорема Минковского и описание формы кристалла. Записки ВМО, 2006, 4.135, вып.5, с.101-102

11. Войцеховский В.Н., Мокиевский В.А. Некоторые вопросы взаимосвязи роста и растворения кристаллов. Записки ВМО, 1955, вып.1, ч. ХС1У, с.71-82.

12. Вульф Г.В. К вопросу о скоростях роста и растворения кристаллических граней.- Варш. Унив. Изв., кн.1 и 2,1896, с.1-120.

13. Вулъф Г. В. О капиллярной теории формы кристаллов,- Журнал русского физико-химического общества, физ. отд., 48, 1916, с. 337-349.

14. Вулъф Г.В. Кристаллы, их образоваше, видъ и строеше.- М., 1917, 126 с.

15. Гаврюшкин П.Н. Новые данные о регенерации шаров алюмокалиевых квасцов в водных растворах. Материалы XLIII международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс», Новосибирск, 2005, с.72-73.

16. Гаврюшкин П.Н., Томас В.Г. О корректности метода регенерации шаров (на примере роста кристаллов алюмокалиевых квасцов). В сб. "Рост монокристаллов и тепломассоперенос" (ред. Гинкин В.П.), т.1, Обнинск, ГНЦ ФЭИ, 2005, с.140- 149.

17. Гаврющкин П.Н. Кинематика перехода неравновесной формы кристалла в равновесную. Вестник молодых ученых "Ломоносов". Выпуск III. М.: МАКС Пресс, 2006. 436 С. С. 112-122.

18. Гаврюшкин П.Н., Томас В.Г. Эволюция морфологии шарообразной затравки в процессе регенерации (теоретический и экспериментальный аспекты). Тезисы докладов ежегодного семинара по экспериментальной минералогии, петрологии и геохимии, Москва 2006, с. 15-16.

19. Гаврюшкин П.Н., Томас В.Г., Фурсенко Д.А. Модель роста регенерационных поверхностей кристаллов. Тезисы докладов XII Национальной конференции по росту кристаллов, Москва, ИК РАН, 2006, с. 126.

20. Гаврющкин П.Н. Явления геометрического отбора при регенерации кристаллов. Материалы XLV международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс», Новосибирск, 2007, с. 55-56.

21. Гаврюшкин П.Н., Томас В.Г. К вопросу о методологии определения полного набора граней кристалла. Тезисы докладов международной научной конференции Фёдоровская сессия 2008, С.- Петербурге, 2008, с. 158-160.

22. Гаврюшкин П.Н., Томас В.Г. Кинематика роста регенерационных поверхностей кристаллов. Кристаллография, 2008, т.54, №2, с.359-367.

23. Глики Н.В., Елисеев A.A., Марченко Н.М. Рост шаровидных кристаллов льда.-Кристаллография, М.: «Наука», т.7., 1962, с.609-612.

24. Григорьев Д.П., Жабин А.Г. Онтогения минералов.- М. «Наука», 1975, 339 с.

25. До/шво-Добровольский В.В. Курс кристаллографии,- ОНТИ, 1937, 346 с.

26. Дукова Е.Д. Ненов Д.С. О скачкообразном изменении скоростей роста грани.-Кристаллография, вып. 4, 1978, с.816-820.

27. Клегцёв Г.В., Скобелев Л.В., Брызгалов А.Н. Строение и дефекты кристаллов кварца.- Минералогич. Сб. Львовского Гос. Ун-та, 28, 1974, с.28-36.

28. Козлова О.Г. Рост кристаллов. Изд-во Моск. Ун-та, 1967, 237 с.

29. Кузнецов В.Д. Кристаллы и кристаллизация. М., 1954, 411 с.

30. Кузнецов В.А., Штернберг A.A. Кристаллизация рубина в гидротермальных условиях. Кристаллография, т.12, вып.2, 1967, с.336-342.

31. Лаврентьева Л.Г. Анизотропия скорости роста и механизм роста арсенида галлия в газотранспортных системах.- Кристаллография, вып.6, 1980, с.1273-1279.

32. Лаврентьева Л.Г., Захаров КС., Румянцев Ю.М. Зависимость скорости роста и уровня легирования германия от ориентации подложки.- Кристаллография, вып.4,1969, с.854-857.

33. Лебедев A.C., Асхабов A.M. Регенерация кристаллов берилла.- Записки ВМО, вып.5, Ч.СХНЦ984, с.618-628.

34. Леммлейн Г.Г. Коррозия и регенерация кварцевых вкрапленников в кварц-порфирах,- Доклады АН СССР, №5,1930, с.341-344.

35. Леммлейн Г.Г. Шрамовые вицинали на кристаллах аметиста.- Труды Ломоносовского Института АН СССР, 6, 1933, с.13-16.

36. Леммлейн Г.Г. Эксприментальное получение вициналей на растущем кристалле.-Доклады АН СССР, 2, №9, 1934, с. 554-555.

37. Леммлейн Г.Г. Об ориентировке кристаллов кварца в альпийского типа жилах на Приполярном Урале.- ДАН ССР, т.22, №1, 1939, с.42-44.

38. Леммлейн Г.Г. Процесс геометрического отбора в растущем агрегате кристаллов.- Доклады АН СССР, 48, 1945, с. 177-180.

39. Лодиз Р., Паркер Р. Рост монокристаллов.- М.: «Мир», 1974.

40. Мамаев H.A., Кузнецов А.Ф., Зацепин А.Ф., Шульгин Б.В. О реконструкции несингулярных граней кристаллов кварца в гидротермальных условиях.-Кристаллография, т.32, вып.1, 1987, 196-202с.

41. Мокиевский В.А., Шафрановский И.И. Новые опыты растворения кристаллов алюмокалиевых квасцов. Сб. «Кристаллография». Ленингр. Горный ин-т, 1952.

42. Овруцкий A.M., Чуприна JI.M. Об устойчивости плоскогранных форм роста кристаллов.- Кристаллография, вып.6, 1974, с.1268-1271.

43. Петров Т.Г., Трейвус Е.Б., Лунин Ю.О., Касаткин А.П. Выращивание кристаллов из растворов.-JI.: «Недра», 1983, 197с.

44. Рашкович JI.H. Как растут кристаллы в растворе. Соросовский образовательный журнал, №3, 1996, с. 95-103.

45. Сиповский Д.П. Первые стадии регенерации кристаллов в растворе (на примере KA1(S04)2* 12Н20, NaBr03, NaCl).- Кристаллография, вып. 2, 1964, с.242-247.

46. Темкин Д.Е., Поляков В. Б. Устойчивость плоского фронта при фазовом превращении в однокомпонентной системе,- Кристаллография, вып.4, 1976, с.661-669.

47. Томас В.Г., Демин С.П. Регенерация поверхности несингулярного направления берилла как одновременный рост положительного и отрицательного кристаллов. Тез. Конф. «Кристаллогенезис и минералогия». 2001, с. 397-398.

48. Томас В.Г., Фурсенко Д.А., Гаврюгикин П.Н. Механизмы формирования регенерационных поверхностей кристаллов, выращенных из гидротермальных растворов (на примере берилла и корунда). Тез. XI Национальной конференции по росту кристаллов, 2004, с. 17.

49. Трейвус Е.Б. Кинетика роста и растворения кристаллов.- Л.: Изд-во ЛГУ, 1979. 248 с.

50. Устлемов C.B., Папушина Т.Н., Фролов A.A. Ячеистый рост и блочная структура кристаллов FeixCoxGe2(0 < х < 0.05) ).- Неорганические материалы, т.22, №11, 1986, с. 1845-1849.

51. Устелемов C.B., Фролов A.A., Барабошкин Д. А. Влияние ориентации сингулярной поверхности на субструктуру кристаллов.- Кристаллография, вып.2, 1989, с.454-460.

52. Ушаковский В.Т., Кагикуров К.Ф., Симонов A.B. Зарастание отверстий в искусственных кристаллах кварца.- Кристаллография, вып.З, 1968, с.559-560.

53. Флинт Е.Е. Практическое руководство по геометрической кристаллографии. -М.: Госгеолтехлитиздат, 1956, 207с.

54. Хонигман Б. Рост и форма кристаллов,- М.: Наука, 1961. 164 с.

55. Чернов A.A., Гиваргизов Е.И., Багдасаров Х.С., Кузнецов В.А., Демъянец Л.Н., Лобачев А.Н. Современная кристаллография.- т.З, М.:«Наука», 1980, 407 с.I

56. Штернберг A.A. Морфология, кинетика, механизм роста кристаллов.- Сб. «Рост кристаллов», т.9, М.:«Наука», 1972, с.34-40.

57. Шубников A.B., Бруновский Б.К. О природе вицинальных граней октаэдра кристаллов алюмокалиевых квасцов.- Z. Kristallogr., 77, 1931, с. 337-345.

58. Шубников A.B. Исследование вицинальных граней октаэдра квасцов в процессе роста кристаллов. Труды Ломоносовск. ин-та геохим., кристаллогр. и минерал., вып. 6, 1935, с. 5-11.

59. Шубников A.B. Как растут кристаллы.- М.-Л., 1935, 175 с.

60. Шубников A.B. О принципе отбора Гросса-Мёллера.- Труды Лаборатории кристаллографии. АН ССР, Вып. 2, 1940, с. 119-121.

61. Шубников A.B. Образование кристаллов. М.-Л., 1947, 72 с.

62. Шубников A.B. Избранные труды по кристаллографии.- М.: Наука, 1975, 550с.

63. Шубников A.B., Леммлейн Г.Г. Об ортотропизме роста кристаллов,- ДАН СССР, А, №4, 1927, с.61-64.

64. Щиголев Б.М. Математическая обработка наблюдений.- М.: Гос. изд-во физ.-мат. лит., 1962, 344 с.

65. Юшкин Н.П., Асхабов A.M., Кунц А.Ф. Регенерация деформированных кристаллов: онтогенетические и кинетические аспекты.- В кн.: Геохимия, минералогия, петрография. М., 1976, с. 241-251.

66. Юшкин Н.П., Кунг{ А. Ф. Растворение и регенерация кристаллов флюорита.- Зап. Узб. Отд. ВМО, 217, 1974, с.64-67.

67. Artemiew D.N. Die Krystallisation der Kugeln als eine besondere Methode der krystallographischen Forschung.- Leipzig Wilhem Engelmann, 1910, 28 p.

68. Bekker T.B., Barz R.-U. Study of growth faces in hydrothermally obtained beryl single crystals using (556)- orientated seeds.- Crystal growth & design, 7(9), 2007, p. 18981903.

69. Cabrera N., Coleman R. V. Theory of crystal growth from the vapour.- in The Art and Science of Growing Crystals, edited by J. J. Gilman (John Wiley, New York) 1963, pp. 3-28.

70. Demianets L.N., Ivanov-Schitz A.K. The growth mechanism and morphology of hydrothermally grown oxide compounds: fractal approach- J. of Phys.: Condensed Matter. 2004. V. 16. P. 1313.

71. Fuji Т., Nakajima M., Fukuda T. Growth cells of heavily In-doped Lec FaAs crystals.-J. of cr. gr. 87, 1988, p.547-553.

72. Hunt J.D., McCartney D.G. Numerical finite difference model for steady state cellular array growth.- Acta metal. Vol.35, № 1, 1987, p.89-99.

73. Jin IV., Lin J. Experimental studies on growth kinetics of salol crystals from melt.- J. of er. Gr., №99, 1990, 128-133.

74. Laudise R.A., Ballman A.A. Hydrothermal synthesis of sapphire. J. Amer. Chem. Soc., 80, 1958, p.2655-2657.

75. Morris L.R., Winegard W.C. The development of cells during the solidification of a dilute Pb-Sb alloy.- J. of er. Gr., 5, 1969, 361-375.

76. Pfeiffer L., Paine S., Gilmer G.H., Saarlos W., West K. W. Pattern formation resulting from faceted growth in zone-melted thin films.- Physical Review Letters, V.54, №17, 1985.

77. Prywer J. Three-dimensional model of faces disappearance in crystal habit.- J. of Cryst. Growth, 155, 1995, p.254-259.

78. Prywer J. Three-dimensional model of any shape face disappearance in crystal habit. -J. of Cryst. Gr., 158, 1996, p. 568-575.

79. Prywer J. Three-dimensional model of the disappearance of triangular faces in the crystal habit.- J. of. Cryst. Gr., 165, 1996, 335-340.

80. Prywer J. Theoretical analysis of changes in habit of growing crystals in response to variable growth rates.- J. of Cryst. Gr., 197, 1999, p. 271-285.

81. Prywer J. Effect of crystal geometry on disappearance of slow-growing faces.- J. of Cryst. Gr., 224, 2001, p. 134-144.

82. Prywer J. On the crystal geometry influence on the growth of fast-growing surfaces.-J. of Cryst. Gr., 63, 2002, p. 491-499.

83. Shangguan D.K., Hunt J.D. Dynamical study of the pattern formation of faceted cellular array growth.- Journal of Crystal Growth, 96, 1989, 856-870.

84. Szurgot M. On the critical growth velocity for the presence of faces on growing crystals.- Cryst. Res. Technol., 27, 1992, p.919-929.

85. Tomas KG., Mashkovtsev R.I., Smirnov S.Z., Maltsev V.S. Tairus hydrothermal synthetic sapphires doped with nickel and chromium.- Gems&Gemology, 33, 1997, N. 3., p. 188-202.

86. Tung S.K. The effects of substrate orientation on epitaxial growth.- J. Electrochem. Soc., 112, 1968, N. 4, p. 436-438.