Физические свойства поверхности квантового кристалла тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат физико-математических наук Коршунов, Сергей Евгеньевич

• Коршунов, Сергей Евгеньевич
• кандидат физико-математических наук
• 1985

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Коршунов, Сергей Евгеньевич

ВВЕДЕНИЕ

Глава I ФЕНОМЕНОЛОГИЧЕСКИ!'! ВЫВОД ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИИ НА ПОВЕРХНОСТИ РАЗДЕЛА СВЕРХТЕКУЧЕЙ ЖИДКОСТИ И

ТВЕРДОГО ТЕЛА

§ I. Введение

§ 2. Законы сохранения на поверхности раздела.

§ 3. Термодинамические соотношения на поверхности раздела

§ 4. Вид поверхностных потоков и диссипативной функции

§ 5. Модернизация граничных условий в случае бездиссипативного роста кристалла

Глава П ПРОСТЕЙШИЕ МОДЕЛИ ПОВЕРХНОСТИ КВАНТОВОГО

КРИСТАЛЛА.

§ I. Введение

§ 2. Классические модели поверхности кристалла.

§ 3. Переход шероховатости и огранка кристалла.

§ 4. Простейшая квантовая модель поверхности кристалла

§ 5. Переход к. газу инстантонов

§ 6. Энергия ступени

§ 7. Температура перехода

§ 8. Альтернативный класс моделей

§ 9. Квантовая модификация -мод еж

Глава Ш КВАНТОВАЯ МОДЕЛЬ ГРАНВД РАЗДЕЛА КРИСТАЛЛА I

СВЕРХТЕКУЧЕЙ ЖИДКОСТИ

§ I. Введение. Формулировка модели

§ 2. Классические уравнения движения

§ 3. Свойства границы раздела кристалл-жидкость

§ 4. Форма кристалла при низких температу

Глава ГУ КВАНТОВАЯ МОДЕЛЬ СВОБОДНОЙ ПОВЕРХНОСТИ

КРИСТАЛЛА

§ I. Введение. Формулировка мод еж

§ 2. Исследование модели при нулевой температуре

§ 3. Фазовая диаграмма

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Физические свойства поверхности квантового кристалла»

Понятие о двух возможных состояниях поверхности кристалла - атомно-гладком и атомно-гаероховатом - было введено в работах Бёртона и Кабреры 11] и Бёртона, Кабреры и Франка [2*] более тридцати лет тому назад. Хотя на поверхности кристалла, находящегося в атомно-гладком состоянии, и могут встречаться поверхностные дефекты упаковки (адатомы, вакансии в поверхностном слое) или кластеры таких дефектов, всегда, тем не менее, можно указать некий реперный уровень поверхности, отклонениями от которого эти дефекты являются. В атомно-шероховатом же состоянии кластеры поверхностных дефектов различного знака смыкаются и пересекаются друг с другом, так что становится невозможным определить, какой уровень поверхности является реперным.

Различию между атомно-гладким и атомно-шероховатым состояниями поверхности кристалла может быть придан не только качественный, но и количественный смысл. Для атомно-гладкого состояния свободная энергия ступени на поверхности кристалла в расчете на единицу длины является конечной, в то время как для атомно-ше-роховатого состояния она обращается в ноль. Кажцая грань кристалла, находящаяся в атомно-гладком состоянии, представлена в термодинамически равновесной огранке кристалла в виде плоского участка [3,4], а грани, находящейся в атомно-шероховатом состоянии, соответствует лишь точка на закруглённом участке поверхности .

Ландау [3] показал, что из-за наличия ван-дер-ваальсова взаимодействия все грани классического кристалла должны находиться при нулевой температуре в гладком состоянии.

Фазовый переход между атомно-гладким и атомно-шероховатым состояниями поверхности кристалла (переход шероховатости, гоис|Ьшпд1>цп&Люп) в равновесной огранке проявляется в уменьшении и дальнейшем исчезновении при некоторой температуре соответствующего плоского участка поверхности. Поэтому иначе его можно назвать переходом огранения.

Теоретическое исследование перехода шероховатости в рамках классической термодинамики производилось в основном с помощью так называемых моделей (см., например, обзоры [5,ф. В этих моделях считается, что состояние поверхности кристалла может быть задано с помощью двумерного массива целочисленных переменных, представляющих собой высоту поверхности над некоторым фиксированным уровнем. Энергия, соответствующая данной конфигурации поверхности, представляет собой некоторую функцию разностей этих переменных. В разумно построенной модели при низких температурах поверхность является атомно-гладкой, а при высоких - атомно-шероховатой. По критическому поведению переход шероховатости принадлежит к тому же классу универсальности, что и фазовый переход в двумерном планарном магнетике [бЗ.

Существует также и феноменологическая теория перехода огранения, предложенная Андреевым [У]. По своей формулировке она аналогична безфлуктуационной теории фазовых переходов второго рода Ландау (см., например,[в]) и приводит к иному критическому поведению, чем микроскопические теории.

Появление и исчезновение плоских участков на равновесной огранке наблюдалось в экспериментальных исследованиях включений жидкой фазы в кристаллах дифенила [9,10] и нафталина [п*} и включений пара в кристаллах тетрабромметана [т2\, а также кристаллов об -модификации сернистого серебра, находящихся в равновесии с паром [13^.

Все эти исследования проводились при температурах выше комнатной, т.е. в области применимости классической термодинамики. К сожалению, характер экспериментальных данных не позволяет выявить характеристики критического поведения. Исследования равновесной формы закругленных участков поверхности кристалла вблизи плоского участка, проводившиеся на кристаллах свинца, находящихся в равновесии с паром [14], указывают на наличие соответствия с микроскопической теорией.

В последнее время переходы огранения интенсивно исследуются при низких температурах на кристаллах , находящихся в равновесии с жидким сверхтекучим %е [15-21] . Наличие в жидкости бездиссипативных потоков энтропии, обеспечивающих подвод и отвод теплоты плавления, и малость диссипации на границе раздела приводят к возможности исключительно быстрого роста кристалла и установления равновесной формы. К настоящему времени на поверхности кристалла %е обнаружено три различных перехода огранения, происходящих при температурах 1,2К, 0,9К и 0,35К [20]. Быстрый прогресс в этой области позволяет надеяться, что вскоре мы будем иметь надежные экспериментальные данные по характеру особенностей термодинамических величин при переходе шероховатости в гелии.

В случае границы раздела между твердым и жидким %е при низких температурах обе фазы (кристалл и сверхтекучая жидкость) представляют собой существенно квантовые объекты. Это обусловливает необходимость учета квантовых эффектов при изучении перехода шероховатости и возможных состояний поверхности.

Начало теоретическому исследованию поверхности квантового кристалла было положено Андреевым и Паршиным в 1978 г. \22\. В этой работе было показано, что квантовое туннелирование атомов на границе раздела из одной фазы в другую может привести к делокализации ступени на поверхности квантового кристалла и даже понизить её энергию вплоть до отрицательных значений. Авторы предположили, что спонтанное рождение делокализованных ступеней, которое должно иметь место, если энершя одиночной ступени отрицательна, может привести к бездиссипативности процесса роста кристалла и к переходу поверхности кристалла в атомно-шерохова-тое состояние даже при нуле температур (так называемая кванто-во-шероховатая поверхность). При таком подходе, вообще говоря, остается неясной возможность использования исходного приближения, основанного на анализе одиночной изолированной ступени, для описания квантово-шероховатой поверхности, представлящей из себя конгломерат взаимопересекающихся делокализованных ступеней различных ориентации.

Противоположная точка зрения на роль квантовых эффектов была высказана Фишером и Биксом [23]. Исходя из конечности ширины поверхности (квадрата нулевых колебаний) при любом степенном спектре поверхностных возбуждений эти авторы делают вывод о невозможности атомно-шероховатого состояния поверхности при температуре равной нулю. При этом аргументация заключается в том, что поверхность конечной ширины не может не чувствовать периодического потенциала, связанного с периодической структурой твердого тела. Подобное рассуждение, высказанное вне связи с какой-либо конкретной моделью, не кажется вполне убедительным. Помимо того, оно не исключает возможности фазового перехода при Т=0. Для произвольной конечной температуры авторы пользуются ренормгрупповыми уравнениями классической двумерной модели ал -Гордона, не обосновывая правомерность их применения в области температур, где, казалось бы, существенны квантовые эффекты.

Центральное место в настоящей ,диссертации занимает попытка решения вопроса о роли квантовых эффектов в переходе шероховатости на более конкретном уровне. Мы будем заниматься построением и исследованием различных моделей поверхности квантового кристалла, учитывающих возможность квантовых переходов между различными состояниями поверхности. Среди них будет и модель, пригодная для описания границы раздела квантового кристалла и сверхтекучей жидкости.

Содержание работы Андреева и Паршина [22], фактически положившей начало новой отрасли физических исследований - физике поверхности квантового кристалла, не ограничивается гипотезой о возможности пребывания поверхности кристалла в атомно-шерохо-ватом состоянии при нуле температур. В ней также была предсказана возможность распространения по такой поверхности микроскопических волн (названных ими волнами кристаллизации), в которых происходят колебания поверхности кристалла за счет его бездис-сипативного переплавления. По уравнениям движения эти волны аналогичны капиллярным волнам на свободной поверхности жидкости и

З/д при малых волновых векторах также имеют спектр (¿«>к (в отсутствие поля тяжести).

Экспериментальные исследования Кешишева, Паршина и Бабкина [17,24) подтвердили, что при низких температурах по находящимся в атомно-шероховатом состоянии граням кристалла %е действительно возможно распространение волн кристаллизации со спектром, предсказываемым теорией [22]. Наблюдаемая на эксперименте зависимость величины затухания волн кристаллизации от длины волны и от температуры [17,24] в общих чертах согласуется с предсказаниями теории [22,25,2б], объясняющей диссипацию энергии при переплавлении кристалла отсутствием полного равновесия между движущейся поверхностью и газами возбуждений в сверхтекучей жидкости и кристалле.

Другим интересным проявлением возможности переплавления кристалла является аномальное отражение звука [27] . Как показали Марченко и Паршин [28], при выполнение условий бездис-сипативного роста кристалла приводит к тому, что прохождение звука через границу раздела оказывается связанным с чисто поверхностными эффектами в уравнениях динамики (например, капиллярным), а коэффициент прохождения низкочастотных звуковых волн становится пропорциональным квадрату частоты. Это приводит к увеличению теплового сопротивления границы раздела и изменению пТ3 закона его температурной зависимости с 1 для случая непере:

- -у плавляющейся грани [29] на Т (аномальный скачок Капицы ¡28, зо]). При рассмотрении падения на границу раздела фаз макроскопической звуковой волны при Т*0 коэффициент прохождения содержит также вклад, связанный с диссипативными процессами на границе раздела [27].

Эти предсказания также были подтверждены экспериментально как при изучении температурной зависимости величины скачка Капицы [31-34], так и при непосредственном исследовании отражения и конверсии звуковых волн ¡35,Зб].

Экспериментальное наблюдение волн кристаллизации [17,24} и аномального скачка Капицы [31-34^ не могут служить безоговорочным подтверждением того, что поверхность находится в особом квантово-шероховатом состоянии.

Результаты, полученные в диссертации, согласуются в тем, что по граням, находящимся в атомно-шероховатом состоянии лишь при температуре выше некоторой, при благоприятном соотношении параметров также возможно распространение макроскопических колебаний поверхности (волн кристаллизации), несмотря на то, что при более низких температурах эти грани переходят в атомно-глад-кое состояние.

Несомненный интерес представляет вопрос о характере диссипации при росте квантового кристалла, находящегося в атомно-шероховатом состоянии. Большинство авторов [22,25,2б] полагает, что возможен чисто бездиссипативный равновесный рост кристалла даже при конечной температуре, а наблюдаемая в экспериментах диссипация связана с неполным равновесием, возникающим из-за конечности частот и длин волн. Имеются, однако, и предположения о существовании процессов, препятствующих такому без-диссипативному росту [37] . Окончательный ответ на этот вопрос может быть дан лишь с помощью дальнейшего исследования квантовых моделей поверхности кристалла типа рассматриваемых в настоящей диссертации.

В первой главе исследование границы раздела кристалла и сверхтекучей бозе-жидкости проводится на феноменологическом уровне. Несмотря на активное теоретическое и экспериментальное исследование границы раздела фаз в %е (часть работ упомянута выше), в литературе пока отсутствует последовательный и полный вывод граничных условий для такой системы. Рассматривались лишь отдельные частные случаи. Шмидт [зв] осуществил вывод граничных условий для сверхтекучей жидкости, соприкасающейся с жесткой непереплавляющейся стенкой, учтя при этом диссипативные потоки в жидкости. Кастэн и Нозьер ¡27] получили вид граничных условий при наличии диссипативных потоков массы и тепла через плоскую границу раздела, пренебрегая всеми другими поверхностными эффектами и диссипативными потоками в обеих средах. Пюэш и Кастэн [39] нашли каким образом входат в граничные условия специфический инерционный член, связанный с возможностью без-диссипативного потока массы через границу раздела (опять-таки при тех же многочисленных пренебрежениях). Попытка ввести такой член, основываясь на микроскопических соображениях, была сделана ранее Косевичем и Косевичем [40] .

Исхода из законов сохранения и второго начала термодина-мини в первой главе получены граничные условия в наиболее общем виде. Подобный подход использовался ранее Ландау и Халат-никовым при выводе уравнений гидродинамики сверхтекучей жидкости (см., например, [41]), а также Андреевым и Компанейцем при выводе граничных условий на свободной поверхности сверхтекучей жидкости [423. Отдельно рассмотрены случаи наличия и отсутствия процессов переброса и случаи диссипативного и бездис-сипативного роста кристалла.

Полученные граничные условия включают в своё число ряд соотношений онсагеровского типа, связывающих восстанавливающие термодинамическое равновесие потоки с отклонениями от равновесия, их вызвавшими, а также уравнение, определяющее скорость изменения поверхностного квазиимпульса (в случае отсутствия процессов переброса на поверхности) и уравнение, являющееся обобщением соотношения Херринга 57^ с учетом поверхностной инерции (в случае бездиссипативности роста кристалла). Наличие диссипации в жидкости и газе возбуждений твердого тела приводит к появлению дополнительных членов как в обобщенном соотношении Херринга, так и в условии, определяющем поток тепла через границу раздела.

Во второй главе построена и исследована простейшая модель квантового кристалла, являющаяся обобщением классической дискретной гауссовой модели ¡43^. Эта модель оказывается пригодной для описания границы раздела кристалла и жидкости равных плотностей. Она может также служить для описания доменной стенки в магнетике или планарного дефекта в квантовом кристалле.

Модель исследована в предельном случае большой амплитуды квантового туннелирования с помощью перехода к представлению инстантонного газа. Показано, что при нулевой температуре по** верхность является гладкой при любом соотношении параметров, а температура перехода в атомно-шероховатое состояние Тк хотя и падает с ростом амплитуды квантового туннелирования.но лишь незначительно. Этот вывод верен и для других моделей, рассматриваемых в двух последующих главах. Квантовые эффекты могут, однако, привести к сильному уменьшению размеров плоских участков на равновесной огранке, что затрудняет их экспериментальное наблюдение в случае кристалла конечного размера. Другим следствием большой амплитуды квантового туннелирования является сужение области критического поведения термодинамических величин.

Во второй главе также сформулирована модель поверхности кристалла, принадлежащая к не рассматривавшемуся ранее классу моделей, в которых гладкое состояние грани в отсутствие флук-туаций не является абсолютно устойчивым. Согласно построенному ван Бейереном соответствию [44] эта модель эквивалента одному из вариантов точно решаемой шестивершинной модели [45]. В ней при низких температурах рассматриваемая грань не присутствует в равновесной огранке (на поверхности кристалла имеется ребро). При некоторой температуре на месте ребра появляется закругленный участок, соответствующий атомно-шероховатому состоянию поверхности. Сформулирована и исследована при помощи теории возмущений квантовая версия этой модели, на фазовой диаграмме которой помимо областей значений параметров, соответствующих ребру и атомно-шероховатому состоянию, имеется также и область устойчивости атомно-гладкого состояния данной грани. И в этой модели поверхность может находиться в атомно-шерохо-ватом состоянии лишь при не слишком малых температурах.

В третьей главе сформулирована и исследована модель, построенная для описания границы раздела кристалла и сверхтекучей жидкости. В ней амплитуда межфазного туннелирования является комплексной величиной, фаза которой зависит от фазы конденсата, а суммарный функционал действия системы помимо чисто поверхностного вклада содержит также вклады, связанные с жидкостью и с твердым телом. При пренебрежении дискретностью структуры кристалла классические уравнения движения этой модели согласуются с феноменологическими уравнениями для границы раздела с бездиссипативным плавлением (глава I, § 5).

Исследование различных предельных случаев при помощи перехода к представлению инстантонного газа и при помощи теории возмущений показывает, что при нулевой температуре в этой модели имеет место фазовый переход по параметру между фазой со щелевым спектром поверхностных возбуждений и фазой с бесщелевым спектром. При температуре , зависящей, хотя и слабо, от амплитуды квантового туннелирования, на поверхности происходит переход в атомно-шероховатое состояние. При температуре выше Тц и благоприятном соотношении параметров (соответствующих малой химической активности инстантонов) линеаризованные уравнения движения поверхности совпадают (с точностью до ренормировки некоторых констант) с граничными условиями для случая без-диссипативного роста кристалла и, следовательно, допускают распространение волн кристаллизации, предсказанных Андреевым и Паршиным [22].

В третьей главе также обсуждается вопрос о степени уменьшения за счет квантовых эффектов размеров плоских участков равновесной огранки кристалла и приводится критерий возможности экспериментального наблюдения таких граней.

В четвертой главе исследуется модель свободной поверхности квантового кристалла, впервые предложенная Фрадкиным [4б]. В ней возможны перескоки атомов вдоль поверхности кристалла. Из-за наличия дополнительной симметрии гамильтониана (происхождение которой связано с сохранением числа атомов в кристалле) в этой модели помимо перехода шероховатости происходит также еще один фазовый переход. Это переход в состояние, в котором возможен бездиссипативный ток массы вдоль поверхности, т.е. переход сверхтекучести. Его существование особенно очевидно в одном из предельных случаев, когда рассматриваемая модель становится эквивалентна классической ХУ-модели. Температура перехода сверхтекучести падает с уменьшением амплитуды квантового туннелирования и при некотором соотношении параметров обращается в нуль.

Исследование показывает, что фазовая диаграмма данной модели разбивается на четыре области, соответствующие различным фазам. По крайней мере в одной из них (сверхтекучей атомно-ше-роховатой) возможны макроскопические колебания поверхности -волны огранки.

Основные результаты, полученные в диссертации, докладывались на 6-ом Советско-финском симпозиуме по физике низких температур и твердого тела (Звенигород, октябрь 1984 г.) и 23-ем Всесоюзном совещании по физике низких температур (Таллин, октябрь 1984 г.), а также на семинарах Института теоретической физики им.Л.Д.Ландау АН СССР и Института физических проблем им.С.И.Вавилова АН СССР и были опубликованы в работах [47-52].

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Коршунов, Сергей Евгеньевич

Основные результаты, полученные в этой главе, полностью опубликованы в работе £52].

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертации проведено исследование свойств поверхности квантового кристалла на феноменологическом и микроскопическом уровнях. Осуществлен феноменологический вывод граничных условий для поверхности раздела кристалла и сверхтекучей жидкости в общем виде. Отдельно проанализированы случаи отсутствия и наличия процессов переброса на границе раздела, диссипативного и бездиссипативного роста кристалла. В равновесном пределе,когда диссипация отсутствует, из полученных соотношений следует формула Херринга для равновесия расплава и кристалла и обычные условия равенства температур и касательных скоростей. В случае наличия вязких напряжений в жидкости и в газе фононов твердого тела полученные формулы учитывают как диссипативные добавки в формулу Херринга, так и дополнительные члены в других соотношениях, включая соотношение, связывающее скачок температуры с тепловым потоком через границу раздела (скачок Капицы).

В диссертации построены и исследованы различные модели поверхности квантового кристалла, учитывающие возможность туннельных переходов атомов из одной фазы в другую или из одного места на поверхности кристалла в другое. Используемый метод перехода к инстантонному газу подробно рассмотрен на примере простейшей квантовой модели, являющейся естественным обобщением дискретной гауссовой модели. В число изученных моделей входит квантовая модификация одного из вариантов -модели, а также модели, специально построенные для описания границы раздела кристалла и сверхтекучей жидкости и свободной поверхности квантового кристалла. Ниже кратко перечислены основные выводы, к которым привело исследование этих моделей.

Во всех рассмотренных моделях поверхность кристалла не может находиться в атомно-шероховатом состоянии при нулевой температуре.

2°. Температура фазового перехода между атомно-гладким и атомно-шероховатым состояниями поверхности хотя и понижается с ростом амплитуды квантовых флуктуаций, однако лишь незначительно. Она ограничена снизу величиной, даваемой самосогласованным приближением и не зависящей от амплитуды квантового туннели-рования.

3°. Равновесный размер плоских участков огранки кристалла существенно зависит от амплитуды квантового туннелирования и быстро (экспоненциально) падает с ростом индексов Миллера, что может сильно затруднить экспериментальн'ое наблюдение новых переходов огранения в Не. Квантовые эффекты приводят также к сужению температурной области, в которой термодинамические величины проявляют критическое поведение.

4°. Для граней, находящихся в атомно-шероховатом состоянии (т.е. при температуре выше Т^ ), в случае справедливости приближения инстантонного газа, применимы классические уравнения движения, совпадающие (с точностью до перенормировки констант) с классическими уравнениями движения, полученными в пренебрежении дискретностью атомной структуры кристалла. Такие уравнения движения допускают распространение макроскопических поверхностных волн.

5°. При нулевой температуре спектр поверхностных возбуждений для границы раздела кристалла и сверхтекучей жидкости (находящейся в гладком состоянии) может быть как щелевым, так и бесщелевым, в зависимости от соотношения параметров.

6°. В случае свободной поверхности квантового кристалла помимо перехода шероховатости может иметь место еще один фазовый переход. Этот переход в состояние, где возможен бездиссидативный поверхностный ток. массы, т.е. переход в сверхтекучее состояние. Сверхтекучие свойства может проявлять как атомно-ше-роховатая, так и атомно-гладкая поверхность.

Автор глубоко благодарен своему учителю С.В.Иорданскому, в сотрудничестве с которым была получена большая часть результатов, представленных в диссертации.

Автор благодарен И.А.Ларкину, принимавшему участие в феноменологическом исследовании границы раздела в Не.

Автор благодарен А.Ф.Андрееву, В.И.Марченко, А.Я.Паршину и В.Л.Покровскому за полезное обсуждение ряда вопросов, относящихся к данной работе.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Коршунов, Сергей Евгеньевич, 1985 год

1. Burton 1..К., Cabrera N. Crystal Growth and Surface Structure. - Disc. Faraday Soc., 194-9, N0.5, pp.•

2. Burton W.K., Cabrera N., Frank F.C. The Growth of Crystals and the Equilibrium Structure of Their Surfaces. -Phil. Trans. Roy. Soc. London, 1951, Vol. 243A, N0.866, PP. 299-358.

3. Ландау Л.Д. О равновесной форме кристаллов. В кн.: Сборник," посвященный семидесятилетию академика А.Ф.Иоффе. М.: Издательство АН СССР, 1950, стр. 44-49.

4. Herring С. Some Theorems on the Free Energies of Crystal Surface. -Phys.Rev., 1951, Vol. 82, No. 1, pp.87-93.

5. Weeks J.D., Gilmer G.H. Dynamics of Crystal Growth. In: Advances in Chemical Physics /Ed. by I.Prigogin and S.A.Rice, John Wiley 8 Sons, New York, 1979, Vol. 40, pp. 157-228.

6. Weeks J.D. The Roughening Transition. In: Order in Strongly Fluctuating Condensed Matter Systems /Ed. by T.Riste, Plenum, New York-London, 1980, pp.293-317.

7. Андреев А.Ф. Фазовые перехода огранения кристаллов. ЖЭТФ, 1981, том 80, вып. 5, стр. 2042-2052.

8. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Статистическая физика, ч.1, М.: Наука, 1976, -584 с.

9. Pavlovska A., Nenow D. Experimental Study of the Equilibrium Form of Negative Crystals in Diphenyl. J. Cryst. Growth, 1971, Vol.8, No. 2, pp.209-212.

10. Pavlovska A., Nenow D. Experimental Investigation of the Surface Melting of Equilibrium Form Faces of Diphenyl. -Surf.Sci., 1971, Vol. 27, No. 1, pp.211-217.

11. Pavlovska A., Nenow D. Les surfaces non-singulières surla forme d'équilibré du napthalène. J. Cryst. Growth, 1972, Vol. 12, No. 1, pp.9-12.

12. Pavlovska A., Nenow D. Experimental Study of the Surface Melting of Tetrabrommethane. J.Cryst. Growth, 1977» Vol. 39, No. 2, pp.346-352.

13. Ohachi T., Taniguchi I. Roughening Transition for the Ionic-Electronic Mixed Superionic Conductor ot-Ag2S. J. Cryst.Growth., 1985, Vol. 65, Nos.1/3, pp.84-88.

14. Rottman C., Wortis M., Heyraud J.C., Metois J.J. Equilibrium Shapes of Small Lead Crystals: Observation of Pokrovsky-Talapov Critical Behavior. Phys.Rev.Lett., 1984, Vol. 52, No. 12, pp.1009-1012.

15. Avron J.E., Balfour L.S., Kuper C.G., Landau J., Lip4son S.G., Schulman L.S. Roughening Transition in the He Solid-Superfluid Interface. Phys.Rev.Lett., 1980, Vol. 45, No. 10, pp.814-817

16. Balibar S., Castaing B. Possible Observation of the Roughening Transition in Helium. J.Physique Lett., 1980, Vol. 41, No. 14, pp.329-332.

17. Кешишев K.O., Паршин А.А., Бабкин A.B. Кристаллизационные волны в ^He. — ЖЭТФ, 1981, том 80, вып.2,стр.716-728.

18. Lipson S.G. The Surface of Solid Helium. Physica, 1982, Vol. 109 & НО B+C, Nos. 1-3, pp.1805-1810.

19. Puech L., Herbal В., Thoulouze D., Castaing B. Observation of Critical Slowing Down Close to a Roughening Transition. J. Physique Lett., 1983, Vol. 44, No. 4, pp.159163.

20. Wolf P.E., Balibar S., Gallet F. Experimental Observati1.on of a Third Roughening Transition on fa.Cp He Crystals.- Phys.Rev.Lett., 1983, Vol. 51, No. 15, pp.1366-1369.

21. Бабкин A.B., Кешишев K.O., Копелиович Д.Б., Паршин А.Я. Исследование равновесной формы кристаллов Не в окрестности фазовых переходов огранения. Письма в ЖЭТФ, 1984, том 39, вып. II, стр. 519-522.

22. Андреев А.Ф., Паршин А.Я. О равновесной форме и колебаниях поверхности квантовых кристаллов. ЖЭТФ, 1978, том 75, вып. 4(10), стр. I5II-I5I6.

23. Fisher D.S., Weeks J.D. Shape of Crystals at Low Temperatures: Absence of Quantum Roughening. Phys.Rev.Lett., 1983, Vol. 50, No. 14, pp. 1077-Ю80.

24. Bowley R.M., Edwards D.O. Theory of the Kinetic Coeffih.cients of the Atomically Rough Surface of He Crystals. -J.Physique, 1983, Vol. 44, No. 6, pp.723-736.

25. Castaing В., Noziers P. Transmission of Sound at the Liquid-Solid Interface of Helium: A New Probe of Melting Kinetics. J. Physique, 1980, Vol. 41, No.7, p.701-706.

26. Марченко В.И., Паршин А.Я. Капиллярное прохождение звук,а и аномальный скачок Капицы на границе твердый жидкий гелий. - Письма в ЖЭТФ,1980,том 31, вып.12, стр.767-769.

27. Халатников И.М. Теплообмен между твердым телом и гелием П.- ЖЭТФ, 1952, том 22, вып. 6, стр. 687-704.

28. Huber Т.Е., Maris H.J. Kapitza Resistance between Liquid and Solid Helium. I. Theory. J. Low Temp.Phys., 1982, Vol. 48, Nos. 1/2, pp.99-109.

29. Huber Т.Е., Maris H.J. Cappillary Effects on the Phonon Transmission between Liquid and Solid Helium. Phys.Rev. Lett., 1981» Vol. 47, No. 26, pp.1907-1910.

30. Hiiber Т.Е., Maris H.J. Kapitza Resistance between Liquid and Solid Helium. II. Experiments. J. Low Temp.Phys., 1982, Vol. 48, Nos. 5/6, pp.463-475*

31. Puech L., Herbal В., Thoulouze D., Castaing B. Liquid4.

32. Solid He Interface: Kapitza Resistance. J. Physique Lett.,1982, Vol. 43, No. 22, pp.809-814.

33. Wolf P.E., Edwards D.O., Balibar S. Measurements of the Kapitza Resistance and Ons^ger Gross-Coefficient for the4

34. He Crystal-Superfluid Interface. J. Low Temp. Phys.,1983, Vol. 51, Nos. 5/6, pp.489-504.35« Oastaing В., Balibar S., Laroche С. Mobilité a 1 MHz du front du fusion de 4He. J. Physique, 1980, Vol. 41, No.8, pp. 897-903.

35. Schmidt R. The Boundary Value Problem for Helium II. Ann.

36. Phys. (Leipzig), 1977, Vol. 34, No. 1, pp.52-66. 39« Puech L., Gastaing B. Liquid-Solid Interface Inertia.

37. J. Physique Lett., 1982, Vol. 43, No. 16, pp.601-608. 40. Косевич A.M., Косевич Ю.А. 0 законе дисперсии волн кристаллизации плавления на поверхности квантового кристалла. - ФНТ, 1981, том 7, вып. 6, стр. 809-812.

38. Халатников И.М. Теория сверхтекучести. М.-.Наука, 1971,-320с.

39. Андреев А.Ф., Компанеец Д.А. Поверхностные явления в сверхтекучей жидкости. ЖЭТФ, 1971, том 61, вып. 6(12),стр. 2459-2474.

40. Lieb E.H., Wu F.Y. Two-Dimensional Ferroelectric Models. In: Phase Transitions and Critical Phenomena /Ed. by C.Domb and M.C.Green, Academic Press, London, 1972, Vol. 1, pp. 331-490.

41. Fradkin E. Roughening Transition in Quantum Interfaces. Phys.Rev., 1983, Vol. B28, No. 9, PP.3338-3341.

42. Иорданский С.В., Коршунов С.Е., Ларкин И.А. Феноменологический вывод условий на границе раздела сверхтекучей жидкости и твердого тела. ЖЭТФ, 1982, том 83, вып. 6 (12), стр. 2II0-2I20.

43. Иорданский С.В., Коршунов С.Е. Квантовые эффекты в переходе огранения. Письма в ЖЭТФ, том 38, вып. II, стр. 542-544.

44. Иорданский С.В., Коршунов С.Е. Квантовые модели поверхности кристалла. ЖЭТФ, 1984, том 87, вып. 3(9), стр.927-942.

45. Иорданский С.В., Коршунов С.Е. Фазовые переходы на поверхности квантового кристалла. Письма в ЖЭТФ, 1984, том 39, вып. 10, стр. 466-469.

46. Иорданский С.В., Коршунов-С.Е. Фазовые переходы на поверхности квантовых кристаллов. В кн.: 23-е Всесоюзное совещание по физике низких температур. Тезисы докладов. Таллин, 23-25 октября 1984 г., ч.1, с.36-37.

47. Iordansky S.V., Korshunov S.E. Physe Transitions on Quantum Crystal Interfaces. J. Low Temp. Phys., 1985, Vol. 58, Nos. 5/6, pp. 425-438.

48. Ландау Л.Д., Лифшиц E.M. Теория поля. M.: Наука, 1973, -504 с.

49. Руревич В.Л. Кинетика фононных систем. М. :Наука, 1980,-400с. Андреев А.Ф., Косевич Ю.А. Капиллярные явления в теории упругости. ЖЭТФ,1981,том 81, вып.4(10), стр. 1436-1443. 56' Седов Л.И. Механика сплошной среды, т.1, М.: Наука, 1983, -528 с.

50. Herring С. The Use of Classical Macroscopic Concepts in Surface Energy Problems. In: Stx^ucture and Properties of Solid Surfaces /Ed.by R.Gomer and C.S.Smith. The University of Chicago Press, Chicago, 1953,PP.5-72.

51. Березинский В.Л. Разрушение дальнего порядка в одномеро оных и двумерных системах с непрерывной группой симметрии. I. Классические модели. ЖЭТФ, 1970, том 59, вып. 3(9), стр. 907-920.

52. Березинский В.Л. Разрушение дальнего порядка в одномерных и двумерных системах с непрерывной группой симметрии. П. Квантовые системы. ЖЭТФ, 1971, том 61, вып. 3(9), стр. II44-II56.

53. Kosterlitz J.M., Thouless D.J. Long Range Order and Me-tastability in Two Dimensional Solids and Superfluids. -J. Phys. Cs Solid State Phys., 1972, Vol. 5, No. 11,pp.L124-L126.

54. Kosterlitz J.M., Thouless D.J. Ordering, Metastability and Phase Transitions in Two-Dimensional Systems. J. Phys.С: Solid State Phys., 1973, Vol. 6, No. 7, pp.11811203.

55. Amit D.J., Goldschmidt Y.X., Grinstein G. Renormalization Group Analysis of the Phase Transition in 2D Coulomb Gas, Sine-Gordon Theory and XY-model. J.Phys.A: Math.Gen., 1980, Vol. 13, No.2, pp.585-620.

56. Мигдал А.А. Фазовые переходы в калибровочных и спиновых решеточных системах. ЖЭТФ, 1975, том 69, вып. 4(10), стр. 1457-1465.

57. Kadanoff L.P. Notes on Migdal's Recursion Formulas. Ann.Phys., 1976, Vol. 100, Nos.1-2, pp.359-394.

58. Kadanoff L.P. Application of Renormalization to Quarks and Strings. Rev.Mod.Phys., 1977, Vol.49, No.2, p.267-296.

59. Lieb E.H. Exact Solution of the F Model of an Antiferro-electric. Phys.Rev.Lett., 1967, Vol. 18, No. 24,pp.1046-1048.

60. Mandelstam S. Soliton Operators for the Quantized Sine-Gordon Equations. Phys.Rev., 1975, Vol. Dil, No. 10, pp.3026-3030.

61. Haidane F.D.M. Quantum Fluid Ground State of the Sine

62. Gordon Model with Finite Soliton Density: Exact Results. J. Phys.A:Math.Gen., 1982, Vol. 15, No. 2, pp.507-525

63. Покровский B.JI., Талапов A;I. Теория двумерных несоизмеримых кристаллов. ЖЭТФ, 1980,том 78,вып.I,стр. 269-295.

64. Марченко В.И., Паршин А.Я. Об упругих свойствах поверхности кристаллов. ЖЭТФ,1980,том 79, вып.1(7),стр.257-260.

65. Большов JI.A., Покровский B.I., Уймин Г.В. О поверхности раздела в проблеме равновесной кристаллизации. Письма в ЖЭТФ, 1984, том 39, вып. 3, стр. 145-149.

66. Kogut J.В. An Introduction to Lattice Ga.uge Theory and Spin Systems. Rev. Mod. Phys., 1979, Vol. 51, No. 4, pp. 659-712.

67. Polyakov A.M. Compact Gauge Fields and the Infrared Catastrophe. Phys.Lett., 1975, Vol. 59В, No. 1, pp.82-84.

68. Zittartz J. Harmonic Rotator, Coulomb Plasma, and Related Models. II. The Case of Dimensions D 2 and D 2. Z.Phys. 1978, Vol. B31, No.1, pp.79-88.

69. Фейнман P., Хиббс А. Квантовая механика и интегралы по траекториям. М.: Мир, 1968, -382 с.

70. Вайнштейн А.И., Захаров В.И., Новиков В.А., Шифман М.А. Инстантонная азбука. УФН, 1982, том 136,вып. 4, с.553-591.

71. Saito Y. Self-Consistent Calculation of Statics and Dynamics of the Roughening Transition. Z. Phys., 1978, Vol. B32, No. 1, pp.75-82.

72. Марченко В.И. К теории равновесной формы кристаллов. -ЖЭТФ, 1981, том 81, вып. 3(9), стр. II4I-II44.

73. Lieb Е.Н. Exact Solution of the Two-Dimensional Slater KDP Model of a Ferroelectric. Phys.Rev.Lett., 1967, Vol.19, No. pp.108-110.91, Ландау JE.Д., Лифпшц E.M. Теория упругости. М.: Наука,1965, -203 с.

74. Алексеева Л.А., Крупскии И.Н. Сверхпластичность твердого параводорода. ФНТ, 1984, том 10, вып. 3, стр. 327331.