Кольца квазиэндоморфизмов абелевых групп без кручения ранга 3 тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат физико-математических наук Чередникова, Алла Викторовна

• Чередникова, Алла Викторовна
• кандидат физико-математических наук
• 1998

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Чередникова, Алла Викторовна

Введение

Обозначения и некоторне определения

Глава Т. Кольца квазиэндоморфизмов абелевых почти

вполне разложимых груш без кручения ранга 3

§ 1. Предварительные сведения

§ 2. Матричное представление колец квазиэндоморфизмов

вполне разложимых групп без кручения ранга 3

§ 3. Кольца квазиэндоморфизмов аб елевых почти вполне

разложимых групп без кручения ранга 3

Глава ]1. Кольца квазиэндоморфизмов квазиразложшшх

абелевых групп без кручения ранга 3

§ 1. Матричное представление колец квазиэндоморфизмов

квазиразложимых групп без кручения ранга 3

§2. Кольца квазиэндоморфизмов квазиразложимых групп

без кручения ранга 3

Глава JL Кольца квазиэндоморфизмов сильно неразложимых

абелевых групп без кручения ранга 3

§ 1. Кольца квазиэндоморфизмов сильно неразложимых абелевых групп без кручения ранга 3, совпадающих со

своими псевдоцоколями

§ 2. Матричное представление колец квазиэндоморфизмов

сильно неразложимых групп без кручения ранга 3

§ 3. Кольца квазиэндоморфизмов сильно неразложимых абелевых групп без кручения ранга 3, отличных от своих

псевдоцоколей

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Кольца квазиэндоморфизмов абелевых групп без кручения ранга 3»

Введение

До 30-х годов фактически ничего не бшю известно об абеле-вых группах без кручения» исключая конечно поровденные группы. Работы Л.О.Понтрягина 1121 , Р.Бэра [223 и описания абелевых груш без кручения конечного ранга, полученные в 30-х годах А.Г.Курошем [7, 8 3, ^.Мальцевым [101 и Д.Дэрри [273 , а также работы 1.Я.Куликова [9, 63 стаям основой групп без кручения. В последние десятилетия е в теорию абелевых групп модульных, гомологических» топологических, теоретико-категорных и теоретико-множественных идей и методов стали интенсивно изучаться различные классы абелевых груш без кручения. Причем наибольшее число приходится на группы без кручения конечного ранга.

В 1976 г. А.В^ковжев 1203 показал, что задача щи абелевых групп без кручения конечного ранга является "дикой" в том смысле, что она содержит в качестве подзадачи тестовую задачу о паре матриц. Это означает» что классификация групп без кручения конечного ранга очень сложна и

1а пути решения проблемы классификации груш без кручения конечного ранга Б.Йонсон [283 в 1959 г. ввел понятия квазиизоморфизма и квазигомоморфизма. Так возникла категория квазигомоморфизмов абелевых груш без кручения конечного ранга, объектами которой является эти самые группы, а морфизмами -квазигомоморфизда. Б.Йонсон £283 доказал, что в этой категории любой объект однозначно раскладывается в прямую сумму неразложимых объектов, которые называются сильно неразложимыми

группами, то есть в

категорий имеет место теорема

Чуть позже Р.Бьюмонт ж Р.Пирс в отказавши©!» от принципа физма в пользу принципа

стать® £23] , с точностью до изомор-с точностью до квази-

дали удовлетворительное описание абелевых групп без крученая ранга 2 с точностью до квазиизоморфизма. Эта работа послужила началом серьезных исследований абелевых групп без кручения ранга 2.

Описание с точностью до квазиизоморфизма абелевых груш без кручения ранга 3 было получено А.А,Фоминым в 1989 г. [133. Вскоре С143 удаюсь распространить этот результат на абелевы группы без кручения произвольного конечного ранга.

Одним из наиболее интересных направлений современных исследований в класс© абелевых групп без кручения конечного ранга являются кольца квазиэндоморфизмов. Кольца квазиэндо-¡р введены в рассмотрение в 1961 г. Бьюмонтом и в совместной работе [ 22 3 . В этой же работе Бьюмонтом ж Пирсом указаны все алгебры над полем рациональных чисел, являющиеся алгебрами квазиэндоморфизмов груш без кручения ранга 2, а также поставлен вопрос, всегда ли существует группа без кручения с предписанным кольцом квазиэндоморфизмов. Корнер в [ 263 получил утвердительный ответ для рациональных алгебр конечной размерности, как простое следствие своих результатов. Бренер и Батлер [253 усилили это утверждение, доказав что в рассматриваемом случае эти группы вкладываются в качестве еервантных подгрупп во вполне разложимые группы

конечного ранга.

В 1963 году Рейдом Г 303 была выявлена взаимосвязь между структурой подгрупп с определенными свойствами группы без кручения конечного ранга и структурой кольца ее квазиэндоморфизмов. В качестве приложения он получил описание колец квазиэндоморфизмов редуцированных групп без кручения ранга 2. Большую роль в этих рассмотрениях играет псевдоцоколь Soc(£) группы без кручения 6 . Псевдоцоколь Soc(fr) определяется как оервантная подгруппа, порожденная всеми минимальными с@р-вантннми вполне характеристическими подгруппами. Подобный подход оказался очень плодотворным дая изучения групп без кручения конечного ранга и их колец эндоморфизмов, потому что кольца квазиэндоморфизмов этих групп являются артиновыми справа. Так, например, развивая идеи теории квазиразложений, П.А.Крылов установил глубокие связи между свойствами группы С- без кручения конечного ранга и свойствами ее колец Е(Е), cî ( G-) L 3, 43. В последние годы теория квазиразложений получила дальнейшее развитие и оказалась полезной при изучении групп автоморфизмов колец без ^учения конечного ранга С 18 3 .

В диссертаций получена классификация колец квазиэндоморфизмов абелевых груш без кручения ранга 3.

Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы.

Первая глава посвящается описанию колец квазиэндоморфизмов почти вполне разложимых групп без кручения ранга 3. Глава состоит из трех параграфов. Первый параграф носит подготови-

тельный характер. 1 нем приводятся необходимые сведения теории квазираз л ожений абелевых групп без кручения. Во втором параграфе рассматривается матричное представление колец квазиэндоморфизмов вполне разложимых групп без кручения ранга 3. 1 третьем параграфе доказывается теорема Г. 3.3 » которая указывает, что с точностью до изоморфизма или антиизоморфизма существует семь алгебр над полем рациональных чисел, являющихся алгебрами квазиэндоморфизмов почти вполне груш без кручения ранга 3.

Во второй главе дается описание колец групп без кручения ранга 3, разложимых в группы ранга 1 и сильно неразложимой группы ранга 2. Глава состоит из двух параграфов» В нервом параграфе доказывается, что кольцо квазиэндоморфйзмов группы без кручения ранга 3, разложимой в прямую сумму группы ранга 1 и сильно неразложимой группы ранга 2, изоморфно подалгебре полной матричной алгебры М3 (АО . Второй параграф содержит теорему ][.<2.3, которая указывает, что с точность© до изоморфизма или антиизоморфизма существует восемь алгебр и две серии алгебр над полем рациональных чжеея, которые является алгебрами квазигрупп без кручения ранга 3, разложимых в ква-группы ранга 1 ж сильно

ранга 2.

Третья глава шевящена физмов сильно 3. Глава состоит из трех сматриваются кольца

групп без кручения . В первом параграфе сильно неразложимых

абелевых групп без кручения ранга 3, совпадавших о© своими псевдоцоколями. Теорема Ш. 15 показывает, что группа является сильно неразложимой группой без кручения ранга 3, совпадающей со своим псевдоцоколем тогда и только тогда, когда ее кольцо квазиэндоморфизмов является алгеброй над (1 размерности 1 или 3. Более того, эта теорема справедлива для сильно неразложимых абелевых групп без кручения произвольного ранга р , где р - простое число. Здесь же доказывается (замечание Ш . -1.5), что каждое иоле алгебраических чисел степени 3 над нолем рациональных чисел ® реализуется в качестве алгебры квазиэндоморфизмов сильно неразложимой абелевой группы без кручения ранга 3. Во втором параграфе рассматривается матричное представление колец квазиэндоморфизмов сильно неразложимых групп без кручения ранга 3. В третьем параграфе дается классификация колец квазиэндоморфизмов сильно неразложимых абелевых групп без кручения ранга 3 (теорема Ж.З.-/). В теореме рассматривается реализация всех колец квазиэндоморфизмов сильно неразложимых групп без кручения ранга 3, указанных в теореме

/

ОБОЗНАЧЕНИЕ I НЕКОТОРЫЕ ОЖРЩММШ

7L - кольцо целых чисел. 2} - поле рациональных чисел. Ж (т) - кольцо вычетов целых чисел ш модулю m . Z (т. ) - аддитивная группа кольца вычетов по модул® m . Ж(роел) - кольцо целых р -адических чисел. Z ip ) - группа тина р ^ . M g ( - полная алгебра 3x3 - матриц над Щ .

- аддитивная группа кольца Р, . К - ниль-радикал кольца R .

Z [К) - центр кольца & . J (R. ) - радикал Джекобсона кольца R » определение см. в § 1 главы I ( определение 1.8 ) ♦ Е (к) - кольцо эндоморфизмов абелевой группы А . с! (Ь) - алгебра (кольцо) квазиэндоморфизмов абелевой группы без кручения конечного ранга h , определение ем. в § 1 главы I ( определение 1.1 ) . Soc G- - псевдоцоколь абелевой группы С- без кручения конечного ранга,

определение см. в § 1 главы I ( определение 1.6 ) . ÀnnlSoc fr) Е (И1 ч»- о , ¿С £ Soc (Ц - аннулятор псевдоцоколя абелевой группы £ без кручения конечного ранга.

L К '- F 3 размерность ноля К над иодполем F . Ф , © тензорное произведение над ~Ж. и прямая сумма. © - прямая сумма но всем простым числам р .

П. - прямое произведение по всем простым числам

/ р \ ( абелевых колец ).

А Ь - тензорное произведение правого К - модуля А на левый Я - модуль Ь . (ИНот (М , К ) » (!) ® Нот (М. , К - группа квазигомоморфизмов для произвольных абелевых групп М и N без кручения конечного ранга.

Для векторов и ^ , ... , векторного пространства

И над Ц <¿¿4,..., ¿¿л > « ^¿¿^, ..., ¿¿л - подпространство, натянутое на эти векторы.

¿¿¿т ср ■& - размерность векторного пространства над телом Ф .

Если А - абелева группа и , ... , ¿2 л £ А , то

, ¿2- я > - подгруппа группы А , порожденная этими элементами,

^¿2 > обозначается через ,

<¿2.^ , ... , ■># - еервантная оболочка элементов - -в абелевой группе без кручения А .

А - Ь - квазиравенство абелевых групп А и Ь без кручения конечного ранга,

определение ем. в § 1 главы I ( определение 1.2) .

, , Зт у - ядро, коядро и образ

гомоморфизма у абелевых групп.

Пусть Ь подгруппа абелевой группы без кручения конечного ранга С- и V ^ с? ( ) » тогда

'fib - ограничение квазиэндоморфизма <f на Ь . А —Ь - отображение, ¿z £ - соответствие элементов нри данном отображении.

{rrtp) - характеристика, т© есть посл едоватеяьность целых неотрицательных чиеел или символов , занумерованная простыми числами. Другими словами (тр) £ { лг&, т3 , mSt...\ , тр £ { 0 , i. \ .

Две характеристики называются эквивалентными, если они различается не более чем в конечном чиеле конечных мест. То ееть характеристика (пгр) эквивалентна характеристике (£р) тогда и только тогда, когда множества простых чиеел

f Р I /1гр ~ ] й j Р ) = } совпадают, а множество | р | лгр ф конечно.

Класс эквивалентности характеристики называется типом (Бэра) и обозначается I {/Пр)3,

Множество характеристик частично упорядочено : (йр) ^ (pip) с=г> ftp ^ тр для любого простого числа р . Над характеристиками определены следующие операции : пусть = (kp) и Н ~ [гп-р) , тогда

i + Н « ( kp + nip),

¿к/ - (лил [ 1р , Шр\) ,

¿¿¿¡р = (гж^ { ip, Жр}).

1слж Л - £- ~ (rrLp - йр) , Мри

этом считается , что — ^^ 0.

Типы в тексте обозначаются гречеекими буквами , 2г ....

Отношение порядка на множестве типов определено следующим образом : & ^ 2г , если существует характеристики 0-и Н £■ 2? такие , что 6- ^ Н

Над типами также определены операции : пусть ^ С-З и = I Нз » тогда

2г I Н + И

- Н ~ £3 , если В %

= Г { 0-,Н\3 ,

$>ир{2г, £>\ - I зи-р | .

Для данного тина 2г « гпр)1 алгебру над нолем рациональных чисел

= Т(ртг)

будем называть кольцом 2г - адических чисел.

1юбое 0- - адическое число и £ Й(г-) представляется в виде = ^ ® С обр) , где 0 ^ ^ ф ,

о^ Ж (р тр ) 9 р пробегает множество всех простых чисел.

р - высотой элемента ^¿р £ Ж.(ртр) называется наибольший показатель кр степени простого числа р , для

я _

которого о/р делится на р р в кольце Ж (ртр) » если

обр = 0 , то Цр = /т?р . Набор ^ - высот элементов по всем простым числам р образует характеристику, которая определяет £ ( Цр ) 3 , называемый типом 2г -адического числа оС . Тип 2~ - адического числа аС обозначается через .

Все группы, рассматриваемые в этой работе, являются абе-левыш, поэтому в словосочетании "абелева группа1* обычно опукается слово "абелева".

Если ¿1 - элемент группы без кручения А ♦ то &р(г2) -р - высота элемента ¿2 в группе А , то есть максимальная степень простого числа р , для которой ¿г делится на

р кр (¿2.) в группе А . Если ¿г делится на любу© степень р , то Ар(гг}~ = (¿2)) называется

характеристикой элемента группы А .

Тип Г Н^ (¿2)3 называется типом элемента гг. в группе А и обозначается через £ (¿г).

1Т Ш - внутренний тип группы А , ОТ М- вншнй МП грушш к , определения ем. в § 2 главы _Н ( определения 2.1 и 2.2 ) . ■к (к) - тип группы А ранга 1.

Будем писать ¿г. /р ^ вместо бесконечного множества ^/р, , ¿г /рп

<==> - тогда и только тогда, когда ...

Знак □ обозначает конец доказательства или конец

Ссылка на лемму Г.<2.5 означает ссылку на лемму 2.2 второго параграфа первой главы, ссылка на замечание 3.1, сделанная в первой главе, означает ссылку на замечание 3.1 третьего параграфа этой же (первой) главы.

Еели в тексте отсутствуют какие-чжибо определения или не объясняются обозначения, то, значит, они общеприняты, и их также можно найти вЕ1, 2, 9, 11, 19, 213 .

- 12 -

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Чередникова, Алла Викторовна, 1998 год

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Ван дер Варден Б.1. Алгебра. М.: Наука, 1979.

2. Каш §. Модули и'кольца. М.: Мир, 1981.

3. Кршюв П.А. Радикалы колец эндоморфизмов абелевых грунп без кручения // Матем. сб. 1974. Т.95. № 10. С. 214 - 228.

4. Крылов П.А. Абелевы группы без кручения и их кольца эндоморфизмов // Мзв. вузов. Матем. 1979. № 11. С. 26-33.

5. Куликов 1.Я. Обобщенные примарные гружны // Тр. Моск. матем. общ-ва. 1952. Т.1., С. 247 - 326.

6. Куликов 1.Я. Обобщенные нримарные группы // Тр. Моск. матем. общ-ва. 1953. Т.2. С. 85 - 167.

7. Курош А.Г. Теория групп. S.; Наука, 1967.

8. Курош А.Г. ^¿¿rnUiiHZ ±£>£¿¿0/2. ßz&ie ie

2Г0ГТ1 Н /2пп. iTltZ-kfi..

/S3* .V.si.i. 1?5-го а .

9. Макжейн С. Гомология. М.: Мир, 1966.

10. Мальцев А.И. Абелевы группы конечного ранга без кручения // Матем. сб. 1938. Т.4. С. 45 - 68.

11. Пире Р. Ассоциативные алгебры. М.: Мир, 1986.

12. ПонтрЯГШ l.C. Тfie tAeozy ¿^

Л ¿2лл. я/ ¡TUbtfL. YS34.

Y.3S. Р. ЗВ\ - ¿8 8 .

13. Фомин A.A. Абелевы группы без кручения ранга 3 // Матем. еб. 1989. Т.180. № 9. С. 1155 - 1170.

14» Фомин A.A. Абелевы группы без кручения конечного ранга с точностью до квазиизоморфизма // Международн. конф. по алгебре. 1989. Новосибирск. С. 128.

15. фомин A.A. ТАе ßüi^^i ¿^ -

¿jf- ¿zée&tzn. Í£?Z¿¿JZ>/Z £?J! J!¿/Z¿¿£ ¿¡¿2SLL И PÁ£ÜC .

{Rtzéfi. -139a. ¿Z.m.S.

16. Фомин A.A. Абелевы группы с одним 2~ - адическим соотношением // Алгебра и логика. 1989. Т.28. Ш 1. С. 83 - 104.

17. Фомин A.A. Абелевы группы без кручения конечного ранга с точностью до квазиизоморфизма. Дисс. ... д.ф.-м.н. МИГУ: М., 1992.

18. Фригер М.Д. О жестких кольцах без кручения // Сиб. матем. ж. 1986. Т.27. № 3. С. 217 - 219.

19. Фукс I. Бесконечные абелевы группы. Т.1. М.: Мир, 1974; Т.2. М.: Мир, 1977.

20. Яковлев A.B. К проблеме кжассификации абелевых групп без кручения конечного ранга // Зап. науч. семинара Ленингр. отд. Матем. ин-та АН ОССР. 1976. Т.57. С. 171 - 175.

21. Gjz/zo&L D.m. г^млсй

fI2¿z¿A.V. ¿3-i.

22. Ьг^её К . ¿¿X¿ifÍ£?¿ci

l/bu-íe ¡Raéft.J. -/93?. 1T.3J. £2-S¿¿>.

23. Ъ>&2,и-топ± t.Ci., P¿¿skzie U.S. TaèdA^

if ¿&//¡\\ém.¿2mc¿.UUéñ..SM. ША Л. 38.

Р. -Г —4 -С -

24. Ъ>&2мл1с>п£ ÍL/2.,PLGèice R_.«S.ß&se é¡¿jz¿^3 II СIttinoL* J. Пbzift. -fSß-iß-l-38 .

25. b>è-es/z/zeè S., \>¿¿éé£aé H. C.K..

f.jSaviai ÏÏLaifi.. Soc. 45B5\V.40.P. Ш- -Í2?.

26. d.i.. S. cuaíc/zJuaS^e ¿ä

ßzeus èùz^, ¿6 £jTjd£>rTLO^phi^rrt II . ¿Ь/ггэкэп. ïïhzéfi.

Soc. -faéâ.V.-ÎÔ.P. ß^-f-io.

27. DÄ^ D . ¿^ôè

/S¿rL£ 2г&/Ъ HS/sfóC-As/l IrtU/pp^/lll

bac.<&ncù>n ÏÏUéfi. Soc. 19 S4.V. -Í3-.P. -4S0-506.

195*. Ч.&.

P. <2Ä0-<205 ; 1353. V. F. P. 364-¿M.

29. i.S. á¿nгр/h H

ïïlùifU^zJb WUtk.^.

Û^ ÍP£¿¿OrL ¿^Oítpó Л T

Bta¿¿p¿ . P. s-4- as.

fcé. ¿оьлгиж ßbcs Ц ÏÏLzéfi. Z . 19ßS Л. .

Р. Ш -£00 .

32. . D . 0/L — ¿^ ¿£>££¿¿2/1.

¿¿¿>£¿¿£ZK ¿fé¿?¿¿p¿> IlPacc. ¿¿TZÉêi.ÏÏhzéfL. Soc. V.iSj. S50-S54.