Характеристические классы калибровочных теорий тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат физико-математических наук Мосман, Елена Аркадьевна

• Мосман, Елена Аркадьевна
• кандидат физико-математических наук
• 2011

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Мосман, Елена Аркадьевна

Введение

0.1 Цель и содержание поставленных задач

0.2 Структура диссертации.

0.3 Апробация работы и публикации

1 Характеристические классы калибровочных систем

1.1 Классический БРСТ-дифференциал в (не-)вариационной теории поля

1.1.1 Формализм Баталина-Вилковыского.

1.1.2 Гамильтонов формализм Баталина-Вилковыского-Фрадкина

1.1.3 БРСТ-формализм для невариационных теорий.

1.2 <5-многообразия.

1.3 Характеристические классы (^-многообразий

1.4 Базис конкомитантов Лосика-Янышка-Маркла.

1.5 Графический комплекс.

2 Классификация характеристических классов

2.1 Когомологии графического комплекса.

2.1.1 Когомологии комплекса

2.1.2 Когомологии комплекса

2.1.3 Когомологии комплекса

2.1.4 Когомологии комплекса

2.2 Скалярные характеристические классы.

2.3 Графическая интерпретация скалярных классов

2.4 Выводы.

3 Универсальное классифицирующее пространство

3.1 Классифицирующее ¿¡^-пространство

3.2 Характеристическое отображение.

3.3 Экспоненциальное отображение.

3.4 Выводы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Характеристические классы калибровочных теорий»

Одной из основных проблем квантовой теории поля как теоретической основы физики фундаментальных взаимодействий является проблема квантования калибровочных теорий. Калибровочные теории возникают в современной физике повсеместно. Все известные на сегодняшний день модели фундаментальных взаимодействий, в том числе такие, как стандартная модель, эйнштейновская гравитация, теория струн и бран, являются калибровочными.

Впервые термин "калибровочные поля" был введен в работе Янга и Миллса [1] для полей, переносящих изотопический спин. В дальнейшем калибровочные теории были обобщены на случай произвольных неабелевых калибровочных групп [2] и изучение их квантования было продолжено в работах Фейнмана [3] и де Витта [4,5]. В то же время Фаддеевым и Поповым [6] был предложен подход к квантованию калибровочных теорий, основанный на методе функционального интегрирования по пространству, расширенному дополнительными антикоммутирующими переменными, получившими название духов. Несколько лет спустя этот метод был обобщен благодаря открытию Бекки, Руэ, Стора [7, 8] и независимо от них Тютиным [9] глобальной симметрии, смешивающей калибровочные поля с духами Фаддеева-Попова, получившей название в честь ее авторов БРСТ-симметрии.

Обобщение и использование методов БРСТ-симметрии привело к созданию эффективных методов квантования, известных под общим условным названием БРСТ-теории [10,11], включающей в себя методы обобщенного канонического квантования Баталина-Вилковыского-Фрадкнна [12-14] и лагранжево квантование Баталина-Вилковыского [15-18].

На сегодняшний день БРСТ-теория является одной из центральных концепций современной теоретической и математической физики. Весь прогресс в квантовании калибровочных теорий, включая стандартную модель фундаментальных взаимодействий и теорию суперструн, связан с развитием БРСТ-метода. БРСТ-теория обеспечивает наиболее систематический метод квантования калибровочных систем, подчас не имеющий альтернатив. Круг приложений метода, однако, не ограничивается исключительно квантованием. БРСТ-теория оказывается полезной в теории перенормировок, при анализе аномалий, как инструмент построения совместных взаимодействий в калибровочных моделях, а также для изучения симметрий и законов сохранения.

Важным достоинством БРСТ-метода является и то, что он позволяет разработать процедуру квантования калибровочных теорий, классические уравнения движения которых не допускают вариационной формулировки, то есть не следуют из принципа наименьшего действия [19-22]. Надо сказать, что круг таких моделей в теории поля довольно широк. Среди наиболее фундаментальных моделей такого рода стоит отмстить самодуальные поля Янга-Миллса, киральные бозоны, уравнения Дональдсона-Уленбека-Яу [23,24], различные многомерные конформные теории поля с расширенной суперсимметрией, уравнения Зайберга-Виттена, теории безмассовых полей высших спинов [25-28], а также уравнения, описывающие самосогласованную динамику частиц струн и бран во внешних динамических полях.

В терминах геометрии градуированных супермногообразий БРСТ-теория получила прекрасную геометрическую интерпретацию в работах [29-31].

В основе формализма Баталина-Вилковыского, или просто БВ-формализма, лежит 2-градуированное пространство, полученное из исходного конфигурационного пространства полей добавлением духов по количеству параметров калибровочных преобразований, а затем расширенное антиполями, несущими отрицательную 2-градуировку. Пространство оснащается нечетной скобкой Пуассона, или антискобкой (•,•), а исходное действие системы продолжается до некоторого четного мастер-действия 51, являющегося решением классического мастер уравнения на расширенном пространстве:

5,5)= 0 (0.1)

Классический БРСТ-дифференциал строится как нечетное гамильтоново векторное поле градуировки один по отношению к антискобке, то есть О — (51, •). Будучи нильпо-тентным дифференцированием антипуассоновой алгебры функций, он несет в себе всю информацию о динамических уравнениях движения и калибровочных симметриях и их алгебре.

Аналогичная картина имеет место и в БВФ-формализме, строящемся для гамиль-тоновьтх систем со связями первого рода. Фазовое пространство такой системы расширяется духами и импульсами к ним. Ключевым элементом БВФ-формализма является нечетный БРСТ-заряд духового числа один П, несущий в себе информацию о связях и их пуассоновой алгебре, который удовлетворяет мастер-уравнению:

0,0} = 0. (0.2)

Здесь {•,•} — четная симплектическая структура на расширенном фазовом пространстве. Генератор БРСТ-симметрии вновь представляет собой нечетное гамильтоново векторное поле (3 = {Г2, •}, квадрат которого равен пулю.

Надо отметить, что для нелагранжевой теории БРСТ-дифференциал С) уже не является ни гамильтоновым, ни анти-гамильтоновым, но тем не менее несет в себе всю информацию об исходной классической калибровочной системе.

Как видно, БРСТ описание калибровочных теорий предполагает наличие дополнительной 1л-градуировки, называющейся духовой. Это означает, что всем локальным координатам хг приписывается определенный вес, называющийся духовым числом и обозначаемый дк{хг). При этом все геометрические объекты на градуированном пространстве, такие как тензорные поля, функции, связности также будут иметь некоторый вес, который вычисляется действием производной Ли вдоль векторного поля

С = £ дН(х<) € Ъ. (0.3) г

Духовое число определяется как собственное значение такого действия. Алгебра векторных полей <5, С, с коммутаторами с,д] = д, = о, (о.4) называется ВРСТ-алгеброй.

Нильпотентность БРСТ-дифференциала позволяет строить и изучать его группы когомологий Нк(С?). Эти группы несут важную информацию о системе. Например, физические величины в калибровочных теориях описываются БРСТ-когомологиями в нулевом духовом числе цО/0\ Г калибровочно инвариантные функции 1 ^ функции, исчезающие на массовой оболочке /

Помимо физических величин, интерес представляют и другие группы когомологий.

В различных духовых числах они несут информацию о БВФ-БРСТ-заряде или мастердействии, а также о симметриях теории, ее законах сохранения и квантовых аномалиях.

Таким образом, когомологии БРСТ-дифференциала несут важную информацию как о классической, так и квантовой структуре теории.

К сожалению, явное вычисление групп БРСТ-когомологий является, как правило, очень трудной задачей. В этой ситуации представляется естественным несколько изменить постановку задачи и вместо вычисления полных групп БРСТ-когомологий попытаться вычислить лишь некоторые подгруппы, удовлетворяющие тем или иным дополнительным условиям. Эти дополнительные условия могут быть самыми разными в зависимости от специфики решаемой задачи, однако, должны удовлетворять следующим общим критериям: выделяемые этими условиями группы когомологий должны быть нетривиальными (т.е. нести полезную физическую информацию) и в то же время быть эффективно вычислимыми. В данной диссертационной работе в качестве таких специальных подгрупп рассматриваются классы эквивалентности БРСТ-инвариантов, чьи представители могут быть универсальным образом выражены в терминах классического БРСТ-дифференциала и его ковариантных производных по отношению к некоторой симметричной связности. В работе [32] такие БРСТ-инварианты были названы характеристическими классами калибровочных систем. По определению, характеристические классы принимают значение в тензорных полях на расширенном фазовом/конфигурационном пространстве калибровочной теории и, как показывается, не зависят от выбора симметричной связности, т.е. являются глобальными инвариантами самой калибровочной динамики. В той же работе была построена первая бесконечная серия характеристических классов и показано, что низшие из них связаны с однопетлевыми квантовыми аномалиями в БВ- и БРСТ-БВФ-формализме.

Все возрастающая роль геометрического подхода является отражением общей тенденции современной квантовой теории поля в сторону» развития непертурбативных ме-юдов исследования классической и квантовой динамики полей в существенно нелинейных калибровочных моделях. Дальнейшее продвижение в этом направлении требует более глубокого изучения глобальной геометрической структуры (^-многообразий и связанных с ними конструкций дифференциальной геометрии. Однако нельзя сказать, что эти вопросы математической физики являются хорошо изученными. Несмотря на то, что некоторые частные конструкции характеристических классов уже рассматривались как в физике, так и в математике, введение общего понятия дало универсальную точку зрения на все эти конструкции,а также открыло путь для их дальнейшего обобщения.

Надо отметить, что круг приложений теории характеристических классов не исчерпывается вопросами физики. В математике векторное поле, реализующее БРСТ-дифференциал получило название гомологического векторного поля. А гладкое супермногообразие, наделенное гомологическим векторным полем называется (^-многообразием.

Гомологические векторные поля были впервые представлены Шандером [33] при изучении дифференциальных уравнений на супермногообразиях. Локальные нормальные формы гомологических векторных полей были рассмотрены в работах Шварца [29,30] и Вайнтроба [34].

Известно, что различные математические концепции могут быть переформулированы в терминах (^-многообразий. Полный перечень примеров включает в себя комплексы де Рама и Кошуля, /^-алгебры [35, 36], рациональные гомотопические типы [37], алгеброиды Ли и Куранта [38,39], 77-алгеброиды [40,41]. Такая многочисленная область приложений гомологических векторных полей демонстрирует основное преимущество этого подхода - его геометрическую ясность и универсальность.

0.1 Цель и содержание поставленных задач

Целью данной диссертационной работы является разработка теории характеристических классов калибровочных систем, которая включает в себя создание новых методов построения топологических инвариантов (характеристических классов) калибровочных систем, их классификацию, изучение их свойств и физических приложений, в числе которых установление связи с низкопетлевыми квантовыми аномалиями.

До недавнего времени [32] не было известно универсальных методов построения характеристических классов калибровочных теорий. В данной работе, предложен такой метод, применимый к общим (конечномерным) калибровочным системам, и разобраны примеры такого применения. Далее, продемонстрировано, что так определенные характеристические классы не зависят от выбора симметричной связности и, следовательно, являются инвариантами самого (^-многообразия.

Следующим шагом была проведена исчерпывающая классификация характеристических классов (^-многообразий общего вида, что стало возможным благодаря тесной интеграции методов БРСТ-теории с развитыми методами супергеомегрии, гомологической алгеброй [42] и теорией графических комплексов [43,44].

Был рассмотрен ряд приложений теории в различных моделях физики и математики. Прежде всего было показано, что построенные классы воспроизводят и обобщают известные ранее характеристические классы в тех или иных моделях. Помимо этого, была поставлена задача вычисления и интерпретации других ранее неизвестных когомологических инвариантов калибровочной системы, в различных математических моделях.

Наконец, была продемонстрирована связь низших характеристических классов с низ копетлевыми квантовыми аномалиями в БРСТ-формализме. Таким образом, показано, что теория характеристических классов позволяет выработать инвариантную и универсальную точку зрения на природу низкопетлевых квантовых аномалий, а также обеспечить новые средства для их изучения.

Полученные результаты согласуются с общими тенденциями развития современной квантовой теории поля в сторону большей геометризации и получения точных (непер-турбативных) результатов на основе новейших математических методов.

0.2 Структура диссертации

Диссертация состоит из введения, четырех глав основной части, заключения, двух приложений и списка литературы.

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Мосман, Елена Аркадьевна

4.4 Выводы

Основными результатами главы являются следующие.

Для произвольного (^-многообразия рассмотрена подалгебра конкомитантов со значениями в формах А = А Р| <Г2(М), содержащая в том числе универсальные коциклы серий А и С. Алгебра А оказывается наделенной структурой бикомплекса относительно дифференциала 6 и дифференциала де Рама в,. Изучение тотальных когомологий бикомплекса показывает, что в случае тривиальности п-го класса Понтрягина, тотальные когомологии пространства А, расширенного идеалом форм, порожденных потенциалом для соответствующего характера Понтрягина, оказываются тривиальными П^5(у) = 0. Доказательство основано на сопоставлении двух спектральных последовательностей, ассоциированных с расширенным бикомплексом V. Условие тривиальности группы //¿"¿(V) влечет, в свою очередь, существование для элементов из С (¿-точных представителей, явные выражения для которых также выписаны. Надо отметить, что соответствующие потенциалы, хоть и не определяют характеристических классов, также могут представлять интерес для физики, в частности, для построения калибровочных моделей. К примеру, в случае (^-слоения, соответствующего алгеброиду Атьи [46], такие формы воспроизводят формы Черна-Саймонса.

В качестве примеров вычисления характеристических классов, рассмотрены классы регулярных слоений, где показано, что первый класс основной серии воспроизводит известный класс Риба. В случае (^-многообразий, соответствующих алгебрам Ли, характеристические классы воспроизводят примитивные элементы когомологий алгебр Ли, в том числе и метрику Киллинга. Построены характеристические классы в случае алгеброидов Ли. В том числе среди универсальных коциклов для алгеброидов Ли построено обобщение метрики Киллинга для алгеброидов Ли, которое может оказаться полезным в алгеброидной теории Янга-Миллса [47].

Последним результатом главы является демонстрация того, что в БФВ-формализме, геометрически реализуемом Р<3-многообразием, второй универсальный коцикл серии С, ассоциированной с классическим БРСТ-дифференциалом может быть препятствием к разрешимости квантового мастер-уравнения, точнее, его тривиальность гарантирует разрешимость квантового мастер-уравнения вплоть до третьего порядка по Ь.

Заключение

Перечислим основные результаты, полученные в диссертации:

1. Дано определение и проведена полная классификация характеристических классов калибровочных систем. В том числе, показано, что в общем случае все характеристические классы могут быть представлены универсальными тензорными коциклами, вовлекающими не выше второй ковариантной производной гомологического векторного поля. Доказана независимость характеристических классов от выбора симметричной связности.

2. В случае плоских Q-многообразий, построено универсальное Q-пространство и классифицирующее отображение, позволяющее интерпретировать соответствующие классы как обратные образы классов универсального (^-пространства.

3. Для характеристических классов со значениями в дифференциальных формах, доказано существование d-точно го представителя при условии обращения в нуль соответствующего характера Понтрягина.

4. Для ряда конкретных калибровочных систем получены явные выражения для характеристических классов. Показано, что эти классы воспроизводят уже известные классы слоений, алгебр и алгеброидов Ли, а также дают их нетривиальные обобщения.

5. Установлена взаимосвязь между двухпетлевыми квантовыми аномалиями в методе БВФ-БРСТ-квантования и простейшими характеристическими классами серии С.

В заключение, я выражаю искреннюю благодарность моим научным руководителям доктору физ.-мат. наук, профессору С.Л. Ляховичу доктору физ.-мат. наук A.A. Шарапову за постановку интересных задач и неоценимую помощь в создании этой работы. Также хочу поблагодарить доктора физ.-мат. наук, профессора В.Г. Багрова за всестороннюю поддержку и внимание к работе. Выражаю признательность кандидату физ.-мат. наук П.О. Казинскому за ценные замечания и полезные советы по подготовке диссертации. Наконец хочу поблагодарить всех сотрудников кафедр квантовой теории поля и теоретической физики за ценные обсуждения, и создание благоприятных условий для выполнения этой работы.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Мосман, Елена Аркадьевна, 2011 год

1. Yang С. N. and Mills R. L. Conservation of isotopic spin and isotopic gauge invariance. Phys. Rev., 96(1):191—195, Oct 1954.

2. Utiyama R. Invariant theoretical interpretation of interaction. Phys. Rev., 101(5):1597-1607, Mar 1956.

3. Feynman R. The quantum theory of gravitation. Acta Physica Polonica, 24:697-722, 1963.

4. DeWitt B. S. Quantum theory of gravity, ii. the manifestly covariant theory. Phys. Rev., 162(5):1195-1239, Oct 1967.

5. DeWitt B. S. Quantum theory of gravity, iii. applications of the covariant theory. Phys. Rev., 162(5): 1239-1256, Oct 1967.

6. Faddeev L. D. and Popov V. N. Feynman diagrams for the Yang-Mills field. Physics Letters В, 25(1):29 30, 1967.

7. Becchi C., Rouet A., and Stora R. Renormalization of the abelian Higgs-Kibble model. Communications in Mathematical Physics, 42:127-162, 1975.

8. Becchi C., Rouet A., and Stora R. Renormalization of gauge theories. Annals of Physics, 98(2):287 321, 1976.

9. Тютин И.В. Калибровочная инвариантность в теории поля и статистической механике. Препринт ФИ АН, (39), 1975.

10. Henneaux M. and Teitelboim С. Quantization of Gauge Systems. Princeton University Press, 1992.

11. Gitman D.M. and Tyutin I.V. Quantization of Fields with Constraints. Springer-Verlag, 1990.

12. Fradkin E. S. and Vilkovisky G. A. Quantization of relativistic systems with constraints. Physics Letters B, 55(2):224 226, 1975.

13. Batalin I. A. and Vilkovisky G. A. Relativistic s-matrix of dynamical systems with boson and fermion constraints. Physics Letters B, 69(3):309 312, 1977.

14. Batalin I. A. and Fradkin E. S. Operator quantization of relativistic dynamical systems subject to first class constraints. Physics Letters B, 128(5):303 308, 1983.

15. Batalin I. A. and Vilkovisky G. A. Gauge algebra and quantization. Physics Letters B, 102(1):27 31, 1981.

16. Batalin I. A. and Vilkovisky G. A. Quantization of gauge theories with linearly dependent generators. Phys. Rev. D, 28(10) :2567-2582, Nov 1983.

17. Batalin I. A. and Fradkin E. S. A generalized canonical formalism and quantization of reducible gauge theories. Physics Letters B, 122(2): 157 164, 1983.

18. Kazinski R 0., Lyakhovich S. L., and Sharapov A. A. Lagrange structure and quantization. Journal of High Energy Physics, 2005(07):076, 2005.

19. Lyakhovich S. L. and Sharapov A. A. Schwinger-dyson equation for non-lagrangian field theory. Journal of High Energy Physics, 2006(02):007, 2006.

20. Lyakhovich S. L. and Sharapov A. A. ■ Quantizing non-lagrangian gauge theories: an augmentation method. Journal of High Energy Physics, 2007(01):047, 2007.

21. Donaldson S. K. Anti self-dual yang-mills connections over complex algebraic surfaces and stable vector bundles. Proceedings of the London Mathematical Society, s3-50(l):l-26, 1985.

22. Uhlenbeck К. and Yau S. T. On the existence of hermitian-yang-mills connections in stable vector bundles. Communications on Pure and Applied Mathematics, 39(S1):S257-S293, 1986.

23. Vasiliev M. A. Consistent equations for interacting gauge fields of all spins in 3-1-1 dimensions. Physics Letters B, 243(4):378 382, 1990.

24. Vasiliev M.A. More on equations of motion for interacting massless fields of all spins in 3+1 dimensions. Physics Letters B, 285(3):225 234, 1992.

25. Vasiliev M.A. Nonlinear equations for symmetric massless higher spin fields in (a)dsd. Physics Letters B, 567(1-2):139 151, 2003.

26. Vasiliev M.A. Higher spin gauge theories in various dimensions. Fortschritte der Physik, 52:702 717, 2004.

27. Schwarz A. Semiclassical approximation in batalin-vilkovisky formalism. Communications in Mathematical Physics, 158:373-396, 1993.

28. Schwarz A. Geometry of batalin-vilkovisky quantization. Communications in Mathematical Physics, 155:249-260, 1993.

29. Alexandrov M., Kontsevich M., Schwartz A., and Zaboronsky O. The Geometry of the master equation and topological quantum field theory. Int. J. Mod. Phys., A12:1405-1430, 1997.

30. Lyakhovich S. L. and Sharapov A. A. Characteristic classes of gauge systems. •Nuclear Physics B, 703(3):419 453, 2004.

31. Шандер В. H. Векторные поля и дифференциальные уравнения на супермпогообразиях. Функц. анализ и его прил., 14:91-92, 1980.

32. Vaintrob A. Normal forms of homological vector fields. Journal of Mathematical Sciences, 82:3865-3868, 1996.

33. Kontsevich M. Deformation quantization of poisson manifolds. Letters in Mathematical Physics, 66:157-216, 2003.

34. Lada T. and Stasheff J. Introduction to sh lie algebras for physicists. International Journal of Theoretical Physics, 32:1087-1103, 1993.

35. Sullivan D. Infinitesimal computations in topology. Publications Mathématiques de L'IH'ES, 47:269-331, 1977.

36. Вайнтроб А. Ю. Алгеброиды Ли и гомологические векторные поля. УМН, 52(2(314)):161-162, 1997.

37. Voronov Th. Graded manifolds and drinfeld doubles for lie bialgebroids. 315:131Ц168, 2002.

38. Roytenberg D. On the structure of graded symplectic supermanifolds and courant algebroids. ArXiv Mathematics e-prints, March 2002.

39. Severa P. Some title containing the words "homotopy"and "symplectic e.g. this one. Travaux Mathématiques, 16:121 137, 2005.

40. Маклейн С. Гомология. Мир, 1966.

41. Kontsevich M. Formal (non)-commutative symplectic geometry. In The Gelfand Mathematical Seminars. Birkhaser Boston, Boston.

42. Kontsevich M. Feynman diagrams and low-dimensional topology. In Progress m Mathematics, volume 120, pages 97-121. Birkhauser, 1994.

43. Bojowald M. , Kotov A., and Strobl T. Lie algebroid morphisms, poisson sigma models, and off-shell closed gauge symmetries. Journal of Geometry and Physics, 54(4):400 -426, 2005.

44. Kotov A., and Strobl T. Characteristic classes associated to Q-bundles. ArXiv e-prints, 2007.

45. Mayer C. and Strobl T. Lie algebroid yang-mills with matter fields. Journal of Geometry and Physics, 59(12):1613 1623, 2009.

46. Ляхович С. Л., Мосман Е. А., Шарапов А. А. О характеристических классах Q-миогообразий. Функц. анализ и его прил., 42:88-91, 2008.

47. Lyakhovich S.L., Mosman E.A., and Sharapov A.A. Characteristic classes of Q-manifolds: classification and applications. J. Geom. Phys., 60(5):729-759, 2010.

48. Mosman E. and Sharapov A. All stable characteristic classes of homological vector fields. Letters in Mathematical Physics, 94:243-261, 2010.

49. Ляхович С. Л., Мосман Е. А., Шарапов А. А. Характеристические классы Q-многообразий. In Сборник трудов XI Всероссийской конференции студентов, аспирантов и молодых ученых, volume 1, pages 318-322. Изд-во ТГПУ, 2007.

50. Ляхович С. Л., Мосман Е. А., Шарапов А. А. Стабильные характеристические классы Q-многообразий. In Труды VI Международной конференции студентов и молодых ученых, volume 2, pages 610-613. Изд-во ТПУ, 2009.

51. Мосман Е. А., Шарапов А. А. Квазиримановы структуры на супермногообразиях и характеристические классы. Известия высших учебных заведений. Физика, 54:47— 50, 2011.

52. Лейтес Д. А. Теория супермногообразий. 1983.

53. Лейтес Д. А. Введение в теорию супермногообразий. УМН, 35:3-57, 1980.

54. DeWitt В. Supermanifolds. Cambrige University Press, 1992.

55. Grigoriev M. A. and Damgaard P. H. Superfield brst charge and the master action. Physics Letters B, 474(3-4):323 330, 2000.

56. Barnich G., Grigoriev M., Semikhatov A., and Tipunin I. Parent field theory and unfolding in brst first-quantized terms. Communications in Mathematical Physics, 260:147181, 2005.

57. Barnich G., Grigoriev M. Brst extension of the non-linear unfolded formalism. Bulgarian Journal of Physics, 33(sl):547 556, 2006.

58. Mackenzie К. С. H. In General theory of Lie groupoids and Lie algebroids, volume 213 of London Mathematical Society Lecture Note Series. Cambridge University Press, 2005.

59. Cattaneo A. S. and Felder G. Relative formality theorem and quantisation of coisotropic submanifolds. Advances in Mathematics, 208(2):521 548, 2007.

60. Schouten J.A. Ricci-Calculus. Springer, 1954.

61. Лосик M. В. О когомологиях алгебры Ли векторных нолей с нетривиальными коэффициентами. Функц. анализ и его прил., 6:44-46, 1972.

62. Janyska J. and Markl M. Combinatorial differential geometry and ideal Bianchi-Ricci identities. ArXiv e-prints, 2008.

63. Dolotin V. and Morozov A. Introduction to Non-linear Algebra. World Scientific Publishing Company, 2007.

64. Markl M. Natural differential operators and graph complexes. Differential Geometry and its Applications, 27(2):257 278, 2009.

65. Kolár I., Michor P.W., and Slovák J. Natural operators in differential geometry. Springer-Verlag, 1993.

66. Вейль Г. Классические группы их инварианты и представления. Государственное издательство иностранной литературы, 1947.

67. Фейгин Б. Л. и Фукс Д. Б. Стабильные когомологии алгебры wn и соотношения в алгебре 1\. Функц. анализ и его прил., 18:94-95, 1984.

68. Markl М. Gln-invariant tensors and graphs. Archivum Mathematicum, 44:449 463, 2008.

69. Фукс Д. Б. Стабильные когомологии алгебры Ли формальных векторных полей с тензорными коэффициентами. Функц. анализ и его прил., 17:62-69, 1983.

70. Merkulov S. A. PROP profile of deformation quantization and graph complexes with loops and wheels. ArXiv Mathematics e-prints, December 2004.

71. Quillen D. Superconnections and the chern character. Topology, 24(1):89 95, 1985.

72. Batchelor M. The structure of supermanifolds. Transactions of the American Mathematical Society, 253:pp. 329-338, 1979.

73. Fernandes R. L. Lie algebroids, holonomy and characteristic classes. Advances in Mathematics, 170(1):119 179, 2002.

74. Fernandes R. L. Invariants of lie algebroids. Differential Geometry and its Applications, 19(2):223 243, 2003.

75. Weinstein A. The modular automorphism group of a poisson manifold. Journal of Geometry and Physics, 23(3-4):379 394, 1997.

76. Brylinski J. L. and Zuckerman G. The outer derivation of a complex poisson manifold. Journal fuer die reine und angewandte Mathematik (Crelles Journal), 1999:181-189, 1999.

77. Evens S., Lu J-H., and Weinstein A. Transverse measures, the modular class and a coho-mology pairing for lie algebroids. The Quarterly Journal of Mathematics, 50(200) :417-436, 1999.

78. Huebschmann J. Duality for lie-rinehart algebras and the modular class. Journal fuer die reine und angewandte Mathematik (Crelles Journal), 1999:103-159, 1999.

79. Фукс Д. Б. Когомологии бесконечномерных алгебр Ли. Наука, 1984.

80. Konechny А. and Schwarz A. Theory of (k © /^-dimensional supermanifolds. Selecta Mathematica, New Series, 6:471-486, 2000.

81. Godbillon C. and Vey J. Un invariant des feuilletages de codimension un. C. R. Acad. Sei. Paris, 273:92-95, 1971.

82. Abouqateb A. and Boucetta M. The modular class of a regular poisson manifold and the reeb class of its symplectic foliation. Comptes Rendus Mathematique, 337(1):61 -66, 2003.

83. Koväcs Z. and Tamässy L. Yano-Ledger connection and induced connection on vector bundles. Acta Mathematica Hungarica, 58:405-421, 1991.

84. Zinn-Justin J. Chiral anomalies and topology. In Eike Bick and Frank Steffen, editors, Topology and Geometry in Physics, volume 659 of Lecture Notes in Physics, pages 167236. Springer Berlin/Heidelberg, 2005.

85. Barnich G., Brandt F., and Henneaux M. Local brst cohomology in gauge theories. Physics Reports, 338(5):439 569, 2000.

86. Fedosov B.V. Deformation quantization and index theory. Akademie Verlag, 1996.

87. Bertelson M., Cahen M., and Gutt S. Equivalence of star products. Classical and Quantum Gravity, 14(1A):A93, 1997.

88. Bering K. Three natural generalizations of Fedosov quantization. SIGMA, 5:036, 2009.

89. Segal G. Equivariant k-theory. Publications Math'ematiques de L'lH'ES, 34:129-151, 1968.