Методы суперсимметрии в описании бозонных систем тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат физико-математических наук Цулая, Мириан Мурманович

• Цулая, Мириан Мурманович
• кандидат физико-математических наук
• 1999

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Цулая, Мириан Мурманович

СОДЕРЖАНИЕ

Введение

Глава 1 ЛАГРАНЖЕВО ОПИСАНИЕ ЧАСТИЦ С ВЫСШИМИ СПИНАМИ В ПРОСТРАНСТВЕ -

ВРЕМЕНИ ПРОИЗВОЛЬНОЙ РАЗМЕРНОСТИ

1.1 Массивные приводимые представление группы Пуанкаре

1.1.1 Связи во вспомогательном пространстве

1.1.2 Безмассовый случай и размерная редукция

1.1.3 Примеры

1.2 Безмассовые неприводимые представления группы Пуанкаре

1.2.1 Игрушечная Модель

1.2.2 Неприводимые безмассовые высшие спины

1.3 О различных БРСТ конструкциях для данной алгебры

Ли

1.3.1 Описание связей

1.3.2 Общий метод

1.3.3 Построение вспомогательных представлений данной алгебры

1.3.4 Пример

1.3.5 Заключение

Глава 2 СКРЫТАЯ "СУПЕРСИММЕТРИЯ" КРУГОВОГО

ОСЦИЛЛЯТОРА

2.1 Преобразование Болина

2.2 Обобщение

2.3 Заключение

Глава 3 N = 2 СУПЕРСИММЕТРИЧНАЯ КВАНТОВАЯ КОСМОЛОГИЯ; СИСТЕМЫ ЭЙНШТЕЙНА - ЯНГА -

МИЛЛСА

3.1 N = 2 суперсимметричная квантовая механика

3.2 N = 2 суперсимметризация 5?7 (2) космологических моделей Эйнштейна - Янга - Миллса

3.3 Квантование и нарушение суперсимметрии янг - милл-совыми инстантонами

3.4 Примеры

3.5 Заключение

Заключение

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Методы суперсимметрии в описании бозонных систем»

Введение

Суперсимметрия - симметрия между бозонными и фермион-ными степенями свободы физической системы - имеет множество разнообразных проявлений в современной теоретической физике.

Сама по себе идея суперсимметрии привлекательна тем, что она объединаяет частицы с различной статистикой в супермультиплеты, что позволяет рассматривать бозоны и фермионы как частицы, имеющие одинаковую природу. Однако симметрия между четными и нечетными переменными, описывающими соответственно бозоны и фермионы, рассматривается не только в физике элементарных частиц. В квантовой теории поля суперсимметрия оказалась удобным инструментом при доказательстве перенормируемости теории Янга -Миллса. В статистической физике, также как и в квантовой теории поля, фиктивные нечетные степени свободы применяются при вычислении якобианов при замене переменных интегрирования в континуальных интегралах. Имеется много примеров суперсимметрии и в нерелятивистской квантовой механике. В различных квантовомехани-ческих моделях суперсимметрия является либо реально наблюдаемой симметрией, либо мощным вспомогательным инструментом для решения физических проблем.

Одним из наиболее распространенных и интенсивно изучаемых примеров суперсимметрии является расширение группы Пуанкаре спинорными (нечетными) генераторами, которые подчиняются антикоммутационному соотношению

{ЯаьЯ'р} = (В.1)

где Рц генератор трансляций в четырехмерном пространстве - времени [1] - [6]. Супералгебра Пуанкаре - пример градуированных алгебр, то есть алгебр, которые наряду с коммутаторами содержит также и антикоммутаторы. Генераторы супергруппы Пуанкаре реализуются на суперпространстве, которое кроме координат в обычном пространстве - времени хсодержит грассмановые кооординаты 9аг и Щ. Подобное расширение группы Пуанкаре является единственным

исключнием из теоремы запрета [7], согласно которой группа Пуанкаре может быть нетривиальным образом расширена только в виде прямого произведения на группу внутренних симметрий.

Основываясь на требовании инвариантности теории относительно супергруппы Пуанкаре построено множество теоретико - полевых суперсимметричных версий Стандартной Модели [8] - [10] и Моделей Великого Объединения [11] - [13]. Привлекательнось суперсимметричных реалистических физичесих моделей обусловлена в основном тем, что суперсимметрия естественным образом устраняет проблему квадратичных расходимостей, которая возникает в несуперсимметрич-ных теориях [14]. Это обстоятельство существенно упрощает рассмотрение проблемы "иерархии масс", так как, введя различные массовые парметры для различных полей в исходный лагранжиан, не нужно проводить "тонкую настройку" массовых параметров в каждом порядке теории возмущений из - за сокращения квадратичных расходимостей. Кроме того, суперсимметричные теории дают множество интересных экспериментальных предсказаний, в частности на величину массы частицы Хиггса, поиски которой в настоящее время интенсивно ведутся.

Тем не менее, суперсимметричнные стандартные модели и модели Великого Объединения не лишены недостатков. Из рассмотрения представлений алгебры суперсимметрии следует, что каждая элементарная частица обладает суперпартнером - частицей с теми же самыми квантовыми числами (электричесий заряд, гиперзаряд, масса и т.д.) но с противоположной статистикой [14]. Однако на эксперименте существование подобных частиц пока не обнаруженно. Это означает, что суперсимметрия Пуанкаре должна быть спонтанно нарушена, причем таким образом, чтобы не портилось ультрафиолетовое поведение теории. Механизм спонтанного нарушения суперсимметрии на сегодняшний день до конца не выяснен и остается открытым.

Для того, чтобы лучше изучить суперсимметричную теорию поля, основанную на расширении обычного пространства - времени нечетными координатами, удобно рассмотреть её упрощенную модель - суперсимметричную квантовую механику [15] - [20]. Помимо того, что она дает ясное понимание многих эффектов релятивистской теории,

суперсимметричная квантовая механика адекватно описывает различные физические задачи, возникающие в обычной квантовой механике.

Математическая основа суперсимметрии - суперматематика была разработана в работах [21] - [22]. В дальнейшшем был построен формализм классической механики для бозонных и фермионных степеней свободы [23]. Квантовомеханичесое описание подобных систем строится аналогично квантовому описанию систем, которые содержат только бозонные переменные путем замены классических величин на квантовые операторы и обобщенных канонических скобок Пуассона на градуированные коммутаторы, согласно принципу соответствия.

Суперсимметричная квантовомеханическая система без центральных зарядов состоит из N операторов которые коммутируют с гамильтонианом Н и удовлетворяют соотношениям

= (¿ = 1,2...Л0 (В.2)

Примеры суперсимметрии в квантовой механике известны давно: рассмотрение движения электрона в магнитном поле приводит к наличию "нечетного " интеграла движения

(¿^«(р-еА), (В.З)

что соответсвует сохранению угла между спином и скоростью электрона во время прецессии. Если магнитное поле направлено вдоль одной из координатных осей и произвольным образом зависит от двух других координат, например Вх = Ву = 0 и Вг = В2(х,у), или магнитное поле обладает определенной четностью (В(х) = В(—х)) то существует еще один интеграл движения

д2 = »*(£-еА)<73, (В.4)

который вместе с величиной 0,\ является суперзарядом N = 2 суперсимметричной квантовой механики.

Из алгебры (В.2) можно сделать важный вывод, что энергия в суперсимметричной квантовой механике неотрицательна, так как гамильтониан является квадратом эрмитовых операторов. Последнее обстоятельство дает также возможность линеаризовать уравнение

Шредингера с нулевой энергией и заменить его на систему уравнений первого порядка на вектор состояния \ф)

Яг\ф) = 0. (В.5)

Таким образом задача о нахождении основного состояния для систем, которые обладают суперсимметрией, сильно упрощается.

В следствие того, что Гамильтониан коммутирует с генераторами суперсимметрии, каждое неприводимое представление алгебры (В.2) характеризуется его собственным значением. Размерность пространства физических состояний, которое инвариантно относительно преобразований суперсимметрии и обладает нулевой энергией, одномерно. Это означает, что сотояние с нулевой энергией является невырожденным. Кратность вырождения ненулевых энергетических уровней можно найти, перенормировав генераторы суперсимметрии дг- = Вновь введенные операторы q^ образуют алгебру Клиффорда, неприводимые представление которой хорошо изучены. В частности, размерность неприводимого представления алгебры Клиффорда для

N

четных N равна 2 "2". Для нечетных Ж имеются два неприводимых представления, каждое из которых имеет размерность 2^ [24].

Методы суперсимметричной квантовой механики существенно облегчают изучение механизма спонтанного нарушения суперсиметрии [15] - [16]. Для сохранения суперсимметрии в классическом приближении необходимо, чтобы минимальное значение классичесского потенциала равнялось нулю. Существование квадратично интегрируемого решения системы уравнений (В.5) означает, в свою очередь, отсутствие спонтанного нарушения суперсимметрии на квантовом уровне. Следовательно, в системе со спонтанно нарушенной суперсимметрией нет состояния с нулевой энергией. Спонтанное нарушение суперсимметрии на "древесном уровне" означает, что суперсимметрия останется нарушенной во всех порядках теории возмущения, так как кван-товомеханические поправки к энергии могут быть только положительными. С другой стороны, если суперсимметрия сохраняется на классическом уровне, то квантовомеханически она может быть динамически нарушена непертурбативными эффектами [15], [25] - [28]. Рассмотрение данного механизма в рамках квантовой теории поля положило

начало интенсивным исследованиям вопроса нарушения суперсимметрии инстантонами Янга - Миллса [35], [29] - [31].

Одной из наиболее интересных особенностей суперсимметричной квантовой механики является её связь с точно решаемыми квантово-механическими моделями. В работах [24], [33] - [34] было показано, что использование суперсимметрии как вспомогательного механизма дает возможность определить полный энергетический спектр для всех известных на сегодняшний день точно решаемых квантовомеханиче-ских моделей [32], а также был установлен широкий класс моделей, для которых можно найти энергетичесикй спектр с помощью суперсимметрии.

Еще одним важным примером использования фиктивных ферми-онных степеней свободы является метод Фаддеева - Попова [35] - [36] для квантования полей Янга - Миллса [37]. Он заключается в расширении конфигурационного пространства дополнительными переменными - "духами", с целью устранения интегрирования по полевым конфигурациям, которые связаны между собой калибровочными преобразованиями в функциональном интеграле, что ведет к его расходимости. Полный лагранжиан теории содержит наряду с обычным лагранжианом для полей Янга - Миллса Ьям, = ^^^ , член фиксирующий калибровку и член описивающий взаимодействие янг - милл-совых полей с "духами" Фаддеева - Попова.

£ = -^я.м. + Ьф.к. + Ьф.п. (В-6)

Несмотря на то, что последние два члена не являются по отдельности калибровочно - инвариантными, полный лагранжиан калибровочно инвариантен, что связанно с инварантностью Ь относительно преобразований суперсимметрии специального вида, которые называются проебразованиями Бекки, Рюэ, Сторы и Тютина (БРСТ). Преобразования Бекки, Рюэ, Сторы и Тютина [38] существенно упрощают доказательство тождеств Славнова - Тейлора и являются основой метода БРСТ квантования Баталина - Фрадкина - Вилковиского [41] -[43], суть которого состоит в следующем. Рассмотрим динамическую систему, которая описывается гамильтонианом Но(дл,рд) и связями первого рода Са(дАчРа)-,^ — 19 ...2т, где дА , рд- канонические коорди-

наты и импульсы, которые могут быть как четными, так и нечетными. Функции Са также могут быть как четными, так и нечетными и находятся в инволюции с гамильтонианом

{Оа,йь}р = ОсЩь, {Н0,Оа}р = ОъУ*. (В.7)

Затем фазовое пространство расширяется дополнительными степенями свободы (т]а, Т^а) с четностью, противоположной четности функций Сга. Динамика в расширенном фазовом пространстве определяется гамильтонианом

#ф = щ + еду - {ф, (в.8)

который зависит от произвольной нечетной функции Ф(да,ра, ЦаТ>а)-Выбор конкретного вида этой функции соответствует условию фиксации калибровки для теории Янга - Миллса. Гамильтониан Ну вместе с нильпотентным БРСТ зарядом

Я = Сауа+1-(-1)п°ГсисаЬг1ьг]а, (в.9)

где

[ 0 для четных

Па = 1 1 ^

[ 1 для нечетных Оа,

образуют одномерную абелеву супералгебру:

{П,П}р = 0 {Ну,П}р = 0. (В.10)

Согласно теореме Баталина - Фрадкина - Вилковиского, производящий функционал в расширенном фазовом пространстве

= I dqdpdr]dVexp[i | dt(paqa + Vаг)а - Яф)] (В.11)

не зависит от функции Ф. Иными словами метод Баталина - Фрадкина - Вилковиского дает правильное выражение для Б - матрицы, сохраняя при этом произвол в выборе функции ф, что делает его применимым для квантования весьма широкого класса физических систем, в том числе и для квантования полей Янга - Миллса.

Различные квантовые операторы Гамильтона, которые соответствуют различным выборам функции Ф в производящем функционале, связаны между собой соотношением:

#' = # + { Ф,д}. (в.12)

Вследствии того, что матрица перехода не зависит от выбора оператора Ф, физичесикй сектор теории выделяется условием:

д|Физ) = о, (в.13)

Из - за нильпотентности БРСТ заряда любое состояние вида должно быть физическим. Однако, как следует из эрмитовости оператора О, подобные состояния обладают нулевой нормой, и должны быть исключены из физического сектора. Следовательно, физический сектор теории определяется с точностью до преобразования

|Физ) ~ |Физ) +Ф10, (В.14)

которое вместе с соотношением (В. 12) называется квантовыми калибровочными преобразованиями. Условие БРСТ (В. 13) квантования вместе с соотношением эквивалетности (В. 14) устраняют нефизические степени свободы из расширенного фазового пространства.

Заметим, что в тех случаях, когда в системе связей присутствуют связи второго рода, построение соответствующего БРСТ заряда не является непосредственным. В работах [44] - [47] были предложены различные способы решения этой проблемы. Однако систематического метода построения нильпотеного БРСТ заряда для систем связей второго рода на сегодняшшний день не существует.

Несмотря на то, что пока нет экспериментального подтверждения наличия суперпартнеров элементарных частиц, которые необходимы для построения суперсимметричных Стандартных Моделей и моделей Великого Объединения, суперсимметрия проявляет себя в других, не менее интересных физических моделях. Более того, описание различных физических систем с помощью нечетных, иногда даже фиктивных степеней свободы, оказывается очень эффективным.

Диссертация посвящена исследованию различных видов суперсимметрии в релятивистских и нерелятивистских системах.

Результаты диссертации докладывались и обсуждались на семинарах Лаборатории теоретической физики им. Н.Н.Боголюбова ОИЯИ, на международных рабочих совещаниях "Суперсимметрия и квантовые симметрии" (Дубна, 1995, 1998), "Суперсимметрия и квантовая терия поля" (Харьков, 1997) международном симпозиуме "Современные тенденции в физике элементарных частиц" (Тбилиси, 1998) и второй международной "Самосской конференции по геометрии, космологии и гравитации." (о.Самос, Греция 1998).

В первой главе рассмотрен БРСТ подход к описанию частиц с высшими целыми спинами в пространстве - времени произвольной размерности Б. Построенные теоретико - полевые лагранжианы, которые описывают представления группы Пуанкаре без взаимодействия, обладают калибровочной инвариантностью, необходимой для того, чтобы исключить духи - степени свободы, дающие отрицательный вклад в энергию. Получен лагранжиан для массивных приводимых представлений группы Пуанкаре с линейной зависимостью массы от спина. Для построения нильпотентного БРСТ заряда применен метод размерной редукции, показано, что с помощью БРСТ калибровочной инвариантности могут быть устранены все вспомогательные поля и условия массовой поверхности и попереч-ности являются следствием уравнений движения. Приведены явные примеры лагранжианов для частиц со спином 0,1,2. Аналогичным образом построен теоретико - полевой лагранжиан, который описывает неприводимые безмассовые представления группы Пуанкаре в пространстве - времени произвольной размерности. Нильпотентный БРСТ заряд построен по аналогии с методом размерной редукции после введения вспомогательной степени свободы. Как обобщение вышеприведенных примеров, был предложен общий метод построения нильпотентных БРСТ зарядов для операторов, которые образуют алгебру Ли, но некоторые из генераторов подалгебры Картана не накладывают условий на физические состояния, т.е. не являются связями.

Во второй главе рассмотрена связь квантового осциллятора с топологически нетривиальными квантовыми системами со скрытой Ку-лоновской симметрией. Полученная в результате редукции кругового квантового осциллятора по действию группы составная система

"заряд - магнитный вихрь" является анионом - частицей с дробной статистикой и спином, равным её собственному угловому моменту; исследовано обобщение на случай группы Zдг.

Третья глава посвящена изучению связанных SU(2) систем Эйнштейна - Янга - Миллса в пространственно однородных аксиально симметричных Бианки - 1,11,VIII,IX космологических моделях, модели Кантовского - Сакса и Фридмана - Робертсона - Уокера в рамках суперсимметричной квантовой механики. Показано, что все эти системы могут быть рассмотрены, как бозонные части одномерной N = 2 суперсимметричной сигма - модели. Найдены соотвеству-ющие выражения для суперпотенциалов, которые являются прямой суммой гравитационных и янг - миллсовых частей. Исследован вопрос спонтанного нарушения суперсимметрии на классическом и квантовом уровне.

В заключении перечислены основные результаты, выносимые на защиту.

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Цулая, Мириан Мурманович

Основные результаты, полученные в диссертации можно разделить на три группы. В первую группу входят те результаты, которые связаны с построением лагранжевого описания частиц с высшими целыми спинами в пространстве - времени произвольной размерности с использованием БРСТ подхода, а также построением нильпотентного БРСТ заряда для системы связей второго рода с помощью дополнительных бозонных степеней совбоды:

• В рамках БРСТ подхода построена локальная свободная теория массивных частиц с линейной зависимостью массы от спина, которые находятся в привидомом представлении группы Пуанкаре. Соответствующий нильпотентный БРСТ заряд построен методом размерной редукции. С помощью БРСТ - калибровочной инвариантности устранены вспомогательные поля, которые естественным образом возникают в БРСТ конструкциях, а также зависимость основного поля от впомогательного оператора рождения возникающей при размерной редукции.

• В рамках БРСТ подхода построена локальная свободная теория для безмассовых частиц, с произвольным целым спином, которые находятся в неприводимом представлении группы Пуанкаре. Соответствующий нильпотентный БРСТ заряд построен по аналогии со случаем приводимых массивных представлений группы Пуанкаре после введения дополительного времениподобного осциллятора. В результате устранения вспомогательных полей и зависимости основного поля от вспомогательного осциллятора воспроизведен лагранжиан Фронсдала для безмассовых частиц с произвольным целым спином.

• Предложен новый метод построения нильпотентного БРСТ заряда для произвольных алгебр Ли, когда некоторые из генераторов Картана не накладывают условий на физичесие состояния и, следовательно, система связей содержит связи первого и второго рода. Разработанный метод предполагает построение вспомогательных представлений данной алгебры Ли, которые в случае алгебр Ли унитарных II(к) и ортогональных О (к) групп могут быть построены с помощью метода Гельфанда - Цетлина, после введения дополнительных операторов рождения и уничтожения.

Во вторую группу объеденены результаты исследования связи различных точно решаемых моделей с топологически нетривиальными квантовыми системами.

• Показано, что редукция кругового осциллятора по действию группы Z2 и последующее квантовое преобразование Болина ведет к двум системам: двумерному атому водорода (четные состояния) и системе "заряд - двумерный дион" (нечетные состояния). Таким образом исходная система объединяет в себе две различные системы с различной четностью.

• Проведено обобщение на случай редукции систем с центральным потенциалом г2^-1) по действию группы Z¡у, показано что в этом случае исходная система разбивается на N связанных систем с собственным угловым моментом (спином) равным а = 0,1/^, 2/Лг,., (./V — 1)/]У. Полученная редуцированная система является анионом - частицей с дробной статистикой и спином, равным собственному угловому моменту.

В третью группу результатов диссертации вошли результаты, касающиеся суперсимметричного обобщения пространтвенно однородных аксиально симметричных систем Эйнштейна Янга - Миллса с калибровочной группой 311(2).

• Проведена суперсимметризация пространственно однородных аксиально - симметричных систем Эйнштенйна - Янга - Миллса в рамках одномерной N = 2 суперсимметричной сигма - модели. С помощью интерпретации суперпотенциалов N = 2 суперсимметричной квантовой механики как решений эвклидовых уравнений Гамильтона

- Якоби объяснена аддитивность гравитационных и янг - миллсовых частей в полном суперпотенциале.

• Обнаруженно, что для всех вышеперечисленных систем янг -миллсова часть суперпотенциала в точности равна соответвующему функционалу Черна - Саймонса, вычисленному на трехмерной гиперповерхности t = const, что является нетривиальным обобщением аналогичного наблюдения, сделанного Э.Виттеном для случая плоского пространства - времени.

• Установлено, что для данных систем без янг - миллсовых степеней свободы любая нетривиальная классическая бозонная конфигурация спонтанно нарушает суперсимметрию. В тоже время для некоторых моделей суперсимметрия восстанавливается квантовомеханиче-ски, в отличие от обычной суперсимметричной квантовой механики.

• Показано, что при добавлении полей Янга - Миллса к чисто гравитационной системе, суперсимметрия спонтанно нарушается для всех рассматриваемых моделей. Нарушение суперсимметрии является динамическим и вызвано янг - милсовыми инстантонами.

В заключении мне бы хотелось выразить свою глубокую признательность своим научным руководителям А. И. Пашневу и Е. Е. Донцу за постановку задачи и большую помощь, оказанную при выполнении данной работы. Я благодарен также Е. А. Иванову, Г. В. Джакели, С. О. Кривоносу и М. Н. Тентюкову за полезные обсуждения, а также А. П. Нерсесяну, в соавторстве с которым были выполнены ислледования, вошедшие во вторую главу диссертации, за помощь, оказанную на ранней стадии выполнения диссертационной работы и полезные обсуждения.

Я благодарен руководству ЛТФ ОИЯИ за предоставленную возможность провести данные исследования. А также Росийскому Фонду Фундаментальных Исследований за финансовую поддержку.

Заключение

В диссертациооной работе были исследованы проявления суперсимметрии при классическом и квантовом описании различных чисто бозонных моделей. Обнаружено, что в некоторых из них суперсимметрия является эффективным вспомогательным способом построения классической и квантовой теории, в других она оказывается, некой "скрытой симметрией".

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Цулая, Мириан Мурманович, 1999 год

Литература

[1] Гольфанд Ю.А., Лихтман Е.П. Расширение алгебры генераторов Пуанкаре и нарушение Р-инвариантности, Письма в ЖЭТФ., 1971, 13, с.с. 452 - 455.

[2] Волков Д.В., Акулов В.П. О возможном универсальной взаимодействии нейтрино, Письма в ЖЭТФ., 1972, 16, с.с. 621 - 624.

[3] Volkov D.V., Akulov V.P. Is the neitrino a Goldstone partiicle?, Phys.Lett. В., 1973, 46, p.p. 109 - 110.

[4] Волков Д.В., Акулов В.П. Голдстоуновские поля со спином половина, ТМФ., 1972, 18, с.с. 39 - 50.

[5] Wess J., Zumino В. Supergauge transformations in four dimensions, Nucl. Phys. В., 1974, 70, p.p. 39 - 49.

[6] Wess J., Zumino B. A Lagrangian Model Invariant under Gauge Transformations, Phys. Lett. В., 1974, 49, p.p. 52 - 54.

[7] Coleman S., Mandula J. All Possible Symmetries of S Matrix, Phys. Rev., 1967, 159, p.p. 1251 - 1256, .

[8] Nilles H.P. Supersymmetry, supergravity and particle physics, Phys. Rep., 1984, 110, p.p. 1 - 162.

[9] Haber H.E., Kane G.L. The search for supersymmetry: probing physics beyond the Standard Model, Phys. Rep., 1985, 117, p.p. 75 - 451.

[10] Barbieri R. Looking beyond the Standard model: the supersymmet-ric option, Riv. Nuovo Cim., 1988, 11, p.p. 1 - 45.

и

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21 22

Amaldi U., de Boer W., Fürstenau H. Comparison of grand unified theories with electroweak and strong coupling constants measured at LEP, Phys. Lett. В., 1991, 260, p.p. 447 - 455. .

Ellis J., Kelley S., Nanopoulos D.V. Probing the desert using gauge coupling unification, Phys. Lett. В., 1991, 260, p.p. 131-137.

Giunti C., Kim C.W., Lee U.W. Running coupling constants and grand unification models, Mod. Phys. Lett. A., 1991, 6, p.p. 1745 -1755.

Огиевецкий В.И., Мезинческу Jl. Симметрии между бозонами и фермионами и суперполя, УФН., 1975, 117, с.с. 637 - 684.

Witten Е. Dynamical Breaking of Supresymmetry, Nucl. Phys. В.,

1981, 185, p.p. 513 - 554.

Witten E. Constraints on Supersymmetry Breaking, Nucl. Phys. В.,

1982, 202, p.p. 253 - 316.

Claudson M., Halpern M.B. Sup er symmetric Ground State Wave Functions, Nucl. Phys. В., 1985, 250, p.p. 689 - 715.

Акулов В.П., Пашнев А.И. Суперсиммтеричная Квантовая Механика и Спонтанное Нарушение Суперсиммтерии на Квантовом Уровне, ТМФ., 1985, 65, с.с. 84 - 92.

Cooper F., Freedman В. Aspects of Supersymmetric Quantum Mechanics, Ann. Phys., (N.Y), 1983, 146, p.p. 262 - 288.

Ivanov E., Krivonos S., Leviant V. Geometric Superfield Approach to Superconformal Mechanics, J. Phys. A. Math. Gen., 1989, 22, p.p. 4201 - 4222.

Березин Ф.А. Метод вторичного квантования, М: Наука, 1965.

Березин Ф.А. Введение в алгебру и анализ с антикоммутирую-щими переменными, М: МГУ, 1983.

[23] Casalbuoni R. The Classical Mechanics for the Bose - Fermi Systems, Nuovo Cimento A., 1976, 33, p.p. 389 - 431.

Генденштейн Л.Э., Криве И.В. Суперсимметрия в Квантовой Механике, УФН., 1985, 140, с.с. 553 - 590.

Salomonson P., van Holten J.W. Ferminic Coordinates and Super-symmetry in Quantum Mechanics, Nucl. Phys. В., 1982, 196, p.p. 509 - 531.

Abbott R.B. Estimating Ground - State Energies in Supersymmetric Quantum Mechanics: (1) Broken Case, Z. Phys. C., 1983, 20, p.p. 213 - 225.

Abbott R., Zakrzewski W.J. Estimating Ground - State Energies in Supersymmetric Quantum Mechanics: (2) Unbroken Case, Z. Phys. C., 1983, 20, p.p. 227 - 236.

Khare A., Maharana J. Supersymmetry Breaking in Quantum Mechanics, Z. Phys. C., 1984, 23, p.p. 191 - 194.

Вайнштейн А.И., Захаров В.И., Шифман М.А. Инстантоны против суперсимметрии, УФН., 1985, 140, с.с. 683 - 707.

Affleck I., Dine М., Seiberg N. Dynamical Supersymmetry Breaking in Chiral Theories, Phys.Lett В., 1984, 137, p.p. 187 - 193.

Affleck I., Dine M., Seiberg N. Calculable Nonperturbative Super-symmetry Breaking, Phys.Rev. Lett., 1984, 52, p.p. 1677 - 1680.

Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая Физика. Квантовая механика, нерелятивистская теория, 3, М: Наука, 1989.

Генденштейн Л.Э. Нахождение точных спектров уравнеия Шре-дингера с помощью суперсимметрии, Письма в ЖЭТФ., 1983, 38, с.с. 299 - 302.

Cooper F., Ginocchio J.N., Khare A., Relation Between Supersymmetry and Solvable Potentials, Phys. Rev D., 1987, 36, p.p. 2458 -2473.

Faddeev L.D., Popov V.N. Feynman Diagrams for the Yang - Mills Field, Phys.Lett. В., 1967, 25, p.p. 29 - 30 .

[45

[46

Славнов А.А., Фаддеев Л.Д. Введение в квантовую теорию калибровочных полей, М: Наука, (1978).

Yang C.N., Mills R.L. Conservation of Isotopic Spin and Isotopic Gauge Invariance, Phys. Rev., 1954, 96, p.p. 191 - 195.

Becchi C., Rouet A., Stora R. The Abelian Hiiggs Kibble Model. Unitarity of the S - Operator, Phys.Lett. В., 1974, 52, p.p. 344 - 346.

Славнов А.А. Тождества Уорда в калибровочных теориях, ТМФ., 1972, 10, с.с. 153 - 161.

Taylor J.С. Ward Identities and Charge Renormalization of Yang -Mills Field, Nucl. Phys. В., 1971, 33, p.p. 436 - 444.

Fradkin E.S., Vilkovisky G.A. Quantization of Relativistic Systems with Constraints, Phys.Lett. В., 1975, 55, p.p. 224 - 226.

Batalin I.A., Vilkovisky G.A. Relativistic S-Matrix of Dynamical Systems With Boson and Fermion Constraints, Phys.Lett. В., 1977, 69, p.p. 309 - 312.

Hennaux M. Hamiltonian Form of the Path Integral for Theories With Gauge Freedom, Phys.Rep., 1985, 126, p.p. 1 - 66.

Batalin I.A., Fradkin E.S. Operatorial Quantization of Dynamical Systems Subject to Second Class Constraints, Nucl.Phys. В., 1987, 279, p.p. 514 - 528.

Fradkin E.S., Fradkina Т.Е. Quntization of Relativistic Systems with Boson and Fermion First - And - Second Class Constraints, Phys.Lett. В., 1977, 72, p.p. 343 - 348.

Faddeev L.D., Shatashvili S.L. Realization of the Schwinger Term in the Gauss Law and the Possibility of Correct Quantization of a Theory with Constraints, Phys.Lett. В., 1986, 167, p.p. 225 - 228.

Егорян Э.Ш., Манвелян P.П. Квантование динамических систем со связями первого и второго рода, ТМФ., 1993, 94, с.с. 241 - 252.

[48] Fierz M., Pauli W. On Relativistic Wave Equations for Partcles of Arbitrary Spin in an Electromagnetic Field, Proc.Roy.Soc. Ser. A., 1939, 173, p.p. 211 - 232.

[49] Фрадкин E.C. К теории частиц с высшими спинами, ЖЭТФ., 1950, 20, с.с. 27 - 38.

[50] Singh L.P.H., Hagen C.R. Lagrangian Formulation for Arbitrary Spin. I.The Boson Case, Phys.Rev. D., 1974, 9, p.p. 898 - 909.

[51] Singh L.P.H., Hagen C.R. Lagrangian Formulation for Arbitrary Spin. I.The Fermion Case, Phys.Rev. D., 1974, 9, p.p. 910 - 920.

[52] Chang S.J. Lagrange Formulation for Systems with Hogher Spins, Phys.Rev., 1967, 161, p.p. 1308 - 1315.

[53] Fronsdal C. Massless Fields with Integer Spin, Phys.Rev. D., 1978, 18, p.p. 3624 - 3629.

[54] Fang J., Fronsdal F. Massless Fields with Half - Integer Spin, Phys.Rev. D., 1978, 18, p.p. 3630 - 3633.

[55] de Wit В., Freedman D.Z. Systematic of Higher - Spin Gauge Fields, Phys.Rev. D., 1980, 21, p.p. 358 - 367.

[56] Curtright T. Massles Field Supermultiplets With Arbitrary Spin, Phys.Lett. В., 1979, 85, p.p. 219 - 224.

[57] Васильев M.A. Калибровочная форма описания безмассовых полей произвольного спина, ЯФ., 1980, 32, с.с. 855 - 861.

[58] Aragone С., Deser S. Higher Spin Vierbein Gauge Fermions and Hy-pergravities, Nucl.Phys.B., 1980, 170, p.p. 329 - 352.

[59] Пашнев А.И. Составная система и теория свободной траектории Редже, ТМФ., 1989, 78, с.с. 384 - 391.

[60] Labastida J.M.F. Massless Bosonic Free Fields, Phys.Rev.Lett., 1987, 58, p.p. 531 - 534.

[61] Labastida J.M.F. Massless Fermionic Free Fields, Phys.Lett. В., 1987, 186, p.p. 365 - 369.

Labastida J.M.F. Massless Particles in the Arbitrary Representation of the Lorentz Group, Nucl.Phys. В., 1989, 322, p.p. 185 - 209.

Тютин И., Васильев M. Лагранжево описание непрводимых массивных полей произвольного спина в размерности 2 + 1, ТМФ., 1997, 113, с.с. 45 - 57.

Kim Y.S., Noz М.Е. Covariant Harmonic Oscillators and Excited Meson Decays, Phys.Rev. D., 1975, 12, p.p. 129 - 138.

Kim Y.S., Noz M.E. Covariant Harmonic Oscillators and the Parton Picture, Phys.Rev. D., 1977, 15, p.p. 335 - 338.

Barducci A., Dominici D. A Model for the Supersymmetric Rela-tivistic Oscillator, Nuovo Cimento A., 1977, 37, p.p. 385 - 398.

Гершун В.Д., Пашнев А.И. Релятивистская система взаимодействующих точек как дискретная струна, ТМФ., 1987, 73, с.с. 294

- 301.

Filippov А.Т., Isaev А.P. Gauge Models of uDisecrete Strings Mod.Phys.Lett. A., 1989, 4, p.p. 2167 - 2176.

Meurice Y. From Points to Gauge Fields, Phys.Lett. В., 1987, 186, p.p. 189 - 194.

Ouvry S., Stern J. Gauge Fields of any Spin and Symmetry, Phys.Lett. В., 1986, 177, p.p. 335 - 340.

Pashnev A., Tsulaia M. On the BRST Approach to the Description of a Regge Trajectory, Препринт ОИЯИ E2-96-408, Дубна 1996, hep-th/9611022.

Pashnev A., Tsulaia M. Dimensional reduction and the BRST Approach to the Descripton of a Regge Trajectory, Mod.Phys.Lett. A., 1997, 12, p.p. 861 - 870.

Pashnev A., Tsulaia M. Description of the Higher Massles Irreducible Spins in the BRST Approach, Mod.Phys.Lett. A., 1998, 13, p.p. 1853

- 1863.

[74] Pashnev A., Tsulaia M. On a Different BRST Constructions for a Given Lie Algebra, Submitted to Proceedings of the Conference " Supersymmetry and Quantum Symmetries", Springer dedicated to the memory of V.I.Ogievetsky Препринт ОИЯИ E - 2 - 98 - 303, hep - th/9810252.

[75] Pashnev A., Tsulaia M. Higher Massless Irreducible Spins in the BRST Approach, Proceedings of the Conference, "Supersymmetry and Quantum Field Theory" p.p. 237 - 245, Springer 1998, Editted by V.Akulov and J.Wess.

[76] Marnelius R. Auxiliary Conditions inth BRST Quantization, Nucl.Phys. В., 1992, 1-2, p.p. 218 - 242.

[77] Гельфанд И.М., Цетлин M.JI. Конечномерные представления группы унимодулярных матриц, Доклады Академии Наук СССР, 1950, 71, с.с. 825 - 828.

[78] Гельфанд И.М., Цетлин M.JI. Конечномерные представления группы ортогональных матриц, Доклады Академии Наук СССР. 1950, 71, с.с. 1017 - 1020.

[79] Wilczek F. Magnetic Flux, Angular Momentum and Statistics, Phys. Rev. Lett., 1982, 48, p.p. 1144 - 1146.

[80] Арнольд В.И. Гюйгенс и Барроу, Ньютон и Гук, М: Наука, 1989.

[81] Aharonov Y., Bohm D. Significance of Electromegnetic Potentials in the Quantum Theory, Phys. Rev., 1959, 115, p.p. 485 - 491.

[82] Ter-Antonyan V., Nersessian A. Quantum Oscillator and a Bound System of Two Dyons, Mod. Phys. Lett. A., 1995, 10, p.p. 2633 -2638.

[83] Zwanziger D. Exactly Soluble Nonrelativistic Model of Paricles with Both Electric and Magnetic Charges, Phys. Rev., 1968, 176, p.p. 1480 - 1488.

[84] Nersessian A. On the Geometry of Relativistic Anyon, Mod. Phys. Lett. A., 1997, 12, p.p. 1783 - 1789.

[85] Nersessian A., Ter-Antonyan V. Anyons Monopole and Coulomb Problem, ЯФ., 1995, 61, c.c. 1868 - 1872.

[86] Moniz P. Quantization of the Bianchi Type IX Model in N = 1 Supergravity in the Presence of Supermatter, Int. J. Mod. Phys. A., 1996, 11, p.p. 1763 - 1796.

[87] Graham R., Bene J. Supersymmetric Bianchi Type IX Cosmology with a Scalar Field, Phys. Lett. В., 1993, 302, p.p. 183 - 188.

[88] Bene J., Graham R. Supersymmetric Homogeneous Quantum Cosmologies Coupled with the Scalar Field, Phys. Rev. D., 1994, 49, p.p. 799 - 815.

[89] Donets E. E., Tentyukov M. N., Tsulaia M.M. Towards N = 2 SUSY Homogeneous Quantum Cosmology; Einstein - Yang - Mills Systems, Phys. Rev. D., 1999, 59, p.p. 023515 (1 - 9).

[90] Bartnik R., McKinnon J. Particlelike Solutions of the Einstein -Yang - Mills Equations, Phys. Rev. Lett., 1988, 61, p.p. 141 - 144.

[91] Волков M.C., Гальцов Д.В. Неабелевы черные дыры Эйнштейна

- Янга - Миллса, Письма в ЖЭТФ., 1989, 50, с.с. 312 - 315.

[92] Волков М.С., Гальцов Д.В. Черные дыры в теории Эйнштейна -Янга - Миллса, ЯФ., 1990, 51, с.с. 1171 - 1181.

[93] Kunzle Н.Р., Masood - ul - Alam A.K.M. Spherically Symmetric Static SU(2) Einstein - Yang - Mills Fields, J. Math. Phys., 1990, 31, p.p. 928 - 935.

[94] Bizon P. Colored Black Holes, Phys. Rev. Lett., 1990, 64, p.p. 2844

- 2847.

[95] Breitenlohner P., Forgacs P., Maison D., Static Spherically Symmetric Solutions of the Einstein - Yang - Mills Equations, Commun. Math. Phys., 1994, 163, p.p. 141 - 172.

[96] Kleihaus В., Kunz J., Sood A. Sequences of Einstein - Yang - Mills

- Dilaton Black Holes, Phys. Rev. D., 1996, 54, p.p. 5070 - 5092.

[97] Donets E.E., Gal'tsov D. V., Zotov M. Yu. Internal structure of Einstein - Yang - Mills Black Holes, Phys. Rev. D., 1997, 56, p.p. 3459 -3465.

[98] Донец E.E., Гальцов Д.В., Зотов М.Ю. О сингулярностях в не-абелевых черных дырах, Письма в ЖЭТФ., 1997, 65, с.с. 855 -860.

[99] Breitenlohner P., Lavrelashvili G., Maison D. Mass inflation and chaotic behavior inside hairy black holes, MPI-PhT/97-20, BUTP-97/08, gr-qc/9703047.

[100] Darian В. K., Kunzle H.P. Axially Symmetric Bianchi I Yang -Mills Cosmology as a Dynamical System, Class. Quant. Grav., 1996, 13, p.p. 2651 - 2662.

[101] Darian B.K., Kunzle H.P. Cosmological Einstein - Yang - Mills Equations, J. Math. Phys., 1997, 38, p.p. 4696 - 4713.

[102] Barrow J.D., Levin J. Chaos in the Einstein - Yang - Mills Equations, Phys. Rev. Lett., 1998, 80, p.p. 56 - 659.

[103] McNamara J.M. Instability of Black Hole Inner Horizon, Proc. R. Soc. London, Ser. A., 1978, 362, p.p. 499 - 517.

[104] Giirsel Y., Sandberg V.D., Novikov I.D., Starobinsky A.A. Final State of Evolution of the Interior of a Chrged Black Hole, Phys.Rev. D., 1979, 20, p.p. 1260 - 1270.

[105] Poisson E., Israel W. Inner Horizon Instability and Mass Inflation In Black Holes, Phys.Rev.Lett., 1989, 63, p.p. 1663 - 1666.

[106] Poisson E., Israel W. Internal Structure of Black Holes, Phys.Rev. D., 1990, 41, p.p. 1796 - 1809.

[107] ChoptuikM., Chmaj Т., BizonP. Critical Behavior in Gravitational Collapses of a Yang - Mills Field, Phys.Rev.Lett., 1996, 77, p.p. 424 - 428.

[108] Donets E. E., Tentyukov M. N., Tsulaia M.M. Evolution of Nonlinear Perturbations Inside Einstein - Yang - Mills Black Holes, Phys. Rev. D., 1999, 59, p.p. 064008 (1 - 13).

[109] Дирак П.A.M. Лекции по квантовой механике, М: Мир, 1986.

[110] Witten Е. Some Exact Multipseudoparticle Solutions of Classical Yang - Mills Theory, Phys. Rev. Lett., 1977, 38, p.p. 121 -124.

[111] Hosoya A., Ogura W. Wormhole Instanton Solutions in the Einstein - Yang - Mills System, Phys. Lett. В., 1989, 225, p.p. 117 - 120.

[112] Ashtekar A. New Perspectives in Canonical Gravity, Bibliopoluos, Naples, Italy, 1988.

[113] Kodama H. Holomorphic Wave Functions of the Universe, Phys. Rev. D., 1990, 42, p.p. 2548 - 2565.

[114] Misner C.W., Thorne K.S., Wheeler J.A., Gravitation, Freeman, San Francisco, 1973.

[115] Gibbons G.W., Pope C.N. The Positive Action Conjecture and Asympthotically Euclidean Metrics in Quantum Gravity, Commun. Math. Phys., 1979, 66, p.p. 267 - 290.

[116] Eguchi Т., Hanson A.J. Self - Dual Solutions to Euclidean Gravity, Ann. Phys., (N.Y), 1979, 120, p.p. 82 - 106.

[117] Eguchi Т., Gilkey P.B., Hanson A.J. Gravitation, Gauge Theories and Differential Geometry Phys.Rep., 1980, 66, p.p. 214 - 394.

[118] Gibbons G.W., Hawking S.W. Action Integrals and Partition Functions in Quantum Gravity, Phys. Rev. D., 1977, 15, p.p. 2752 - 2756.

[119] Boutaleb - Joutei H., Chakrabarti A., Comtet A. Gauge Field Con-Ggurations in Curved Space - Times. III. Self - Dual SU(2) Fields in Eguchi - Hanson Space, Phys. Rev. D., 1980, 21, p.p. 979 - 983.

[120] Hawking S.W. Gravitational Instantons, Phys. Lett. A., 1977, 60, p.p. 81 - 83.

[121] Boutaleb - Joutei H., Chakrabarti A., Comtet A. IV. Self - Dual SU(2) Fields in Multicenter Spaces, Phys. Rev. D., 1981, 21, p.p. 2280 - 2284.

[122] Boutaleb - Joutei H., Chakrabarti A., Comtet A. Regularity Constraints and Quantized Actions, Phys. Rev. D., 1981, 21, p.p. 2285 -2290.

[123] Atiah M.F., Hitchin N., and Singer L.M. Self - Duality in Four -Dimensional Riemannian Geometry, Proc. R. Soc. London, Ser. A., 1978, 362, p.p. 425 - 461.