Соотношения высших порядков для супермногообразий Римана и Федосова тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат физико-математических наук Радченко, Ольга Васильевна

• Радченко, Ольга Васильевна
• кандидат физико-математических наук
• 2008

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Радченко, Ольга Васильевна

Введение

1 Тензорный анализ на супермногообразиях

1.1 Алгебра и анализ с антикоммутирующими переменными

1.2 Супермногообразия

1.3 Тензорные поля на супермногообразиях.

1.4 Ковариантная производная.

1.5 Тензор кривизны(.

2 Супермногообразия Римана

2.1 Определение и свойства римановых супермногообразий

2.2 Связность.

2.3 Соотношения высших порядков в нормальных координатах

2.3.1 Аффинные расширения тензоров.

2.3.2 Соотношения первого порядка.

2.3.3 Соотношения второго порядка.

2.3.4 Соотношения третьего порядка.

2.4 Производящие функции соотношений высших порядков в произвольных координатах.

3 Супермногообразия Федосова

3.1 Определение супермногообразий Федосова.

3.2 Симплектическая связность.

3.3 Соотношения высших порядков в нормальных координатах

3.3.1 Соотношения первого порядка.

3.3.2 Соотношения второго порядка.

3.3.3 Соотношения третьего порядка.

3.4 Производящие функции соотношений высших порядков в произвольных координатах.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Соотношения высших порядков для супермногообразий Римана и Федосова»

Методы дифференциальной геометрии широко используются при формулировке физических теорий, как классических, так и квантовых, призванных описать все известные в настоящее время фундаментальные взаимодействия - электромагнитные, слабые, сильные и гравитационные [1-13]. В первую очередь, отметим решающую роль этих методов в формулировке общей теории относительности Эйнштейна - классической теории гравитационных взаимодействий, где основными объектами выступают многообразия, оснащенные метрическим тензором, с помощью которого описывается гравитационное поле, и симметричной связностью, которая согласована с данным метрическим тензором. Такие многообразия носят название многообразий Римана и их свойства хорошо изучены и изложены в большинстве современных монографий по дифференциальной геометрии [5,14-21]. Электромагнитные взаимодействия описываются абелевыми векторными полями в рамках классической или квантовой электродинамики на четырехмерном пространстве-времени с индефинитной метрикой - пространстве Минковского [22-28]. Для описания слабых и сильных взаимодействий привлекаются неабелевы калибровочные поля на пространствах Минковского в рамках теорий Янга-Миллса [29-41]. Общепринятый в настоящее время подход к описанию фундаментальных взаимодействий основан на использовании концепции калибровочных полей в рамках классической механики и квантовой теории поля.

Формулировка классической механики основана на использовании симплектических многообразий, то есть многообразий, оснащенных невырожденной замкнутой дифференциальной 2-формой или, что то же самое, невырожденной скобкой Пуассона [42, 43]. Исходным в классической механике является фазовое пространство М, каждая точка которого может быть охарактеризована координатами хг = Лра)? гДе -А = 15 2,., тг, п -число степеней свободы рассматриваемой динамической системы, а дА,рл - канонически сопряженные (относительно скобки Пуассона {Р, О}) координаты и импульсы: да ас; дг дР г,ас . л . гЛ ^= V ей - е ё^Ш' 'рв} =

- постоянная матрица, обладающая свойством антисимметрии -иР\

Скобка Пуассона обладает следующими свойствами:

1) свойство антисимметрии: {Р1, (?} = —{С?, Р1};

2) правило Лейбница: {Р, вН} = {Р1, в}Н + {Р1, #}<?;

3) тождество Якоби: {Р, {С?, Я}} + {Я, {Р1, в}} + {<3, {Я, Р1}} = 0 . Уравнения движения (уравнения Гамильтона) в классической механике формулируются в терминах скобки Пуассона: где Я - гамильтониан заданной динамической системы. Вместо координат {ял1 Ра) 5 в которых скобка Пуассона имеет, так называемую, каноническую форму, приведенную выше, можно использовать произвольные координаты хг , в которых скобка Пуассона имеет вид: С} = где = со13 (х) уже не постоянна и может зависеть от (ж). Если при этом шгз удовлетворяет тождествам: то построенная скобка удовлетворяет тождеству Якоби. о/-7 известна как пуассоновская структура на М. Если пуассоновская структура невырождена, то можно ввести обратную матрицу ш¿¿: удовлетворяющую тождествам: п дш^ ^Ы,] + = 0; =

В свою очередь, определяет замкнутую невырожденную дифференциальную 2-форму ш: то есть симплектическую структуру на М. Таким образом, формулировка классической механики основана на использовании симплектических многообразий, (М, со) - многообразий М, оснащенных замкнутой невырожденной дифференциальной 2-формой со.

Другим важным объектом дифференциальной геометрии, используемым в современной теоретической физике, является метрическое многообразие, то есть многообразие М, оснащенное метрикой <7, которая локально ы{кшк, = 8),

СОц — 0., ш = ш^дьх3 А с1х\ (ко = 0, описывается невырожденным симметричным тензором д^: g = Qijdx3 dx\ gij = gjim

Формулировка общей теории относительности использует именно метрическое многообразие [44,45]. При этом уравнения Эйнштейна, являющиеся основными уравнениями данной теории, имеют вид:

Rij — ~j9ïjR — —SÏIGTij, Щ — Rfkj, R = gljRij, glkQkj = 8j, где R^k- - тензор кривизны Римана, Rij - тензор Риччи, R - тензор скалярной кривизны, G - гравитационная постоянная Ньютона, Tij - тензор энергии-импульса, и учитывается тот факт, что существует единственная симметричная связность (Г = (Г%)) (ковариантная производная V — (Vj)), согласованная с данным метрическим тензором: 2gll(gjl>k + gklJ ~ ^kgij = д^,к - Гlkigij - Гlkjgu = о.

Тензор Римана определяется из действия коммутатора ковариантных производных на тензорное поле Т1

Vj, V*]T* = —Rlmjk, Rlmjk — -Щпку и обладает рядом свойств симметрии, которые удобно формулировать в терминах тензора Rjj^i = 9тЩы

Rij kl ~ Rjikli Rij kl ~~~ Rklij •

Итак, общая теория относительности основывается на использовании метрического многообразия (M, д), оснащенного симметричной связностью, согласованной с метрическим тензором, то есть на многообразии Римана (М,д, Г).

При рассмотрении некоторых специальных вопросов в квантовой теории поля были введены более сложные многообразия, чем симплектиче-ские, а именно, так называемые, многообразия Федосова. Эти многообразия определяются как симплектические многообразия (М,о;), оснащенные симметричной связностью Г, согласованной с заданной симплектической структурой, то есть (М, ш, Г) кШц = ~ — Г\jUJu = 0.

Такие многообразия использовались для формулировки квантования калибровочных теорий в рамках метода, не зависящего от того или иного выбора локальных координат [46], формулировок метода триплектическо-го квантования в произвольных координатах [47]. Однако эффективность использования этих многообразий была продемонстрирована Б.В. Федосовым в работах по деформационному квантованию [48,49]. Детальному изучению свойств таких многообразий посвящена работа [50], где, в частности, предложен и сам термин "многообразия Федосова". Для многообразий Федосова имеется целый ряд свойств, не характерных для многообразий Ри-мана. В частности, отметим, что для любого многообразия Федосова скалярная кривизна обращается в ноль, К = 0, а в нормальных координатах имеет место соотношение = \Rkiiji связывающее симплектическую структуру Шц и тензор кривизны Якщ ■

Открытие суперсимметричных теорий поля [52-59] (в том числе, теории супергравитации [60-62]) ввело в современную квантовую теорию поля ряд применений дифференциальной геометрии, которые основаны на понятии супермногообразия введенного и изученного выдающимся советским математиком Феликсом Александровичем Березиным [63-66]. В этих случаях супермногообразие необходимо оснастить подходящей симплекти-ческой структурой или (и) симметричной связностью. В настоящее время четные и нечетные симплектические супермногообразия широко используются при рассмотрении многих проблем современной теоретической и математической физики [67-81]. Систематическое изучение супермногообразий и римановых супермногообразий было выполнено ДеВиттом [82]. Также большой вклад в изучение этих объектов был сделан Лейтесом [83, 84] и Роджерсом [85].

Приставка "супер" используется со многими математическими объектами и обозначает расширение исходного понятия на случай, когда, помимо коммутирующих переменных, имеются и антикоммутирующие. Таким образом, под супермногообразием понимается расширение классического многообразия на случай, когда среди переменных встречаются антикоммутирующие величины. Исторически антикоммутирующие переменные и некоторые конструкции, которые сейчас обозначаются приставкой "супер", появились в математике за многие годы до того, как развитие суперсимметрии в физике вызвало взрыв интереса к такого рода объектам.

Изучение супермногообразий включает в себя математические идеи из геометрии, анализа, алгебры и топологии. В то время, как основная мотивация изучения этих объектов идет из физики элементарных частиц, понятия и язык супермногообразий оказались мощными инструментом при решении проблем во многих разделах теоретической физики и математики, и диапазон их применения продолжает расширяться. Одним из самых первых шагов в суперматематике было осознание Картаном того, что алгебра Клиффорда может быть реализована на некоторой алгебре Грас-смана, если определение дифференцирования по генератору понимать как умножение [86] - идея, которой суждено было сыграть важнейшую роль десятилетия спустя в связи с фермионными антикоммутационными соотношениями. В своей плодотворной работе по квантовым полям Швингер [87] ввел антикоммутирующие переменные для того, чтобы расширить до фер-мионов свое рассмотрение квантовых полей, используя функции Грина и источники. Дифференциальное исчисление функций от антикоммутирую-щих переменных было введено Мартином [88], который расширил метод квантования Фейнмана с помощью функциональных интегралов для систем содержащих фермионы и, таким образом, требующим проквантовать "классический" фермион.

Современная квантовая теория калибровочных полей может быть построена в, так называемом, формализме Баталина-Вилковыского [89,90]. Данный метод, развитый Баталиным И.А. и Вилковыским Г.А., обеспечивает универсальный замкнутый подход к ковариантному квантованию, основанному на специальном виде глобальной суперсимметрии, - БРСТ-симметрии, открытой Бекки, Руэ и Стора [91,92], и, независимо, также Тютиным [93]. Основным уравнением в БВ-формализме является мастер-уравнение для действия 5 5) = о, сформулированного в терминах антискобки (Г, й): (-1 е(^) = е> + еу + 1, где хг - локальные координаты на супермногообразии М, имеющие, так называемую, грассманову четность е{х1) = б;, которая принимает значение О для коммутирующих переменных и 1 - для антикоммутирующих. Индексами г, I обозначаются правые и левые производные по координатам. Антискобка обладает свойством обобщенной антисимметрии

Г С?) = (1)(^+1)(е(С0+1)((?>^)1 удовлетворяет тождеству Якоби:

С, Н))(-1)№+ШО)+1) + сус1е{Р, С, Я) ее О, и является, таким образом, суперпартнером для скобки Пуассона. Следовательно, первоначальная формулировка метода квантования Баталина-Вилковыского базируется на использовании, так называемых, антисим-плектических супермногообразий [67,68,94-96], то есть супермногообразий, оснащенных антискобкой. С точки зрения дифференциальной геометрии на многообразиях, антисимплектические супермногообразия, или, что тоже самое, нечетные симплектические супермногообразия являются новыми объектами не имеющие там аналогов.

В работе используются конденсированные обозначения, предложенные Девиттом [8], а также определения и утверждения принятые в [9]. Производные по переменным хг понимаются как действующие слева и для них используются стандартные обозначения дА/дхг. Для правых производных по хг используется обозначение А^ = дгА/дх1. Ковариантные производные понимаются как действующие справа, для них используются обозначения Уг- Грассманова четность любой величины А обозначается как е(Л).

Данное диссертационное исследование посвящено систематическому изучению основных свойств супермногообразий, оснащенных всеми возможными градуированными (четными и нечетными) структурами, которые могут быть описаны с помощью симметричных и антисимметричных тензорных полей второго ранга (скобка Пуассона, антискобка, дифференциальная 2-форма, метрика), а также симметрическими связностями, согласованными с заданными структурами на супермногообразиях. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы.

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Радченко, Ольга Васильевна

Заключение

Подводя итог нашей работе и резюмируя результаты, полученные в ходе диссертационного исследования, мы можем отметить следующее:

1. Доказано, что форма уравнений, определяющих обратное тензорное поле к заданному невырожденному тензорному полю на супермногообразиях зависит от определения тензорных полей. Если для обычных матриц существует единственное представление в виде суммы симметричной и антисимметричной матриц, то для суперматриц, среди которых возможны восемь типов симметрии, такой единственности представления не существует. Однако, для тензорных полей на супермногообразиях восстанавливается указанная единственность представления в виде суммы тензорных полей противоположных сим-метрий. Суперматрица, обратная к невырожденной четной симметричной (антисимметричной) суперматрице, является симметричной (антисимметричной), в то время как к невырожденной нечетной симметричной (антисимметричной) матрице является антисимметричной (симметричной).

2. Доказано, что для произвольных градуированных метрических (то есть, четных или нечетных) супермногообразий, оснащенных симметричной связностью, согласованной с заданной метрической структурой, существует единственная связность, аналогично ситуации с геометрией Римана на многообразиях. Доказано, что алгебраические свойства тензора кривизны для четных и нечетных супермногообразий Римана формально совпадают друг с другом. Тензор Риччи симметричен для четных супермногообразий Римана и антисимметричен для нечетных супермногообразий Римана. Это, в свою очередь, приводит к тому, что тензор скалярной кривизны для четных и нечетных супермногообразий Римана, в общем случае, отличен от нуля.

3. Доказано, что для произвольных супермногообразий Римана существуют соотношения высших порядков между тензором кривизны, метрическим тензором и симметричной связностью, согласованной с заданным метрическим тензором как в нормальных координатах, так и в произвольных. И построена производящая функция этих соотношений.

4. Доказано, что алгебраические свойства тензора кривизны для четных и нечетных супермногообразий Федосова формально совпадают друг с другом. Показано, что тензор Риччи для четных супермногообразий Федосова симметричен, а в случае нечетных супермногообразий Федосова является тензором общего положения. В свою очередь, тензор скалярной кривизны для четных супермногообразий Федосова тождественно обращается в ноль, а для нечетных супермногообразий Федосова, в общем случае, отличен от нуля.

5. Показано, что супермногообразия, используемые для формулировки метода ковариантного квантования произвольных калибровочных теорий в общих координатах, можно отождествить с нечетными супермногообразиями Федосова.

6. Изучены соотношения высших порядков для произвольных супермногообразий Федосова, существующие между тензором кривизны, тензором симплектической структуры и симметричной симплектиче-ской связностью, как в нормальных координатах, так и в произвольных. В произвольных координатах построена производящая функция для соотношений высших порядков.

Результаты диссертации опубликованы в работах [104-111] и докладывались на конференциях студентов, аспирантов и молодых ученых "Наука и образование" ТГПУ (Томск 2004, 2005, 2006, 2007), на международной конференции QFEXT'05 (Барселона, Испания 2005), на семинарах Токийского университета (Токио, Япония 2006), на семинарах Департамента теоретической физики Сарагосского университета (Сарагоса, Испания 2007), на международных конференциях QFTG'05 (Томск 2005) и QFTG'07 (Томск 2007), а также на объединенных семинарах Лаборатории фундаментальных исследований, кафедры теоретической физики и кафедры математического анализа ТГПУ.

В завершение мне хотелось бы выразить особую признательность моему научному руководителю д. ф.-м. н., проф. П.М. Лаврову за плодотворные дискуссии, полезные советы и, конечно, неоценимую поддержку в течение нашей совместной работы. Я благодарна д. ф.-м.н., проф. A.B. Галажинскому и д. ф.-м. н., проф. A.B. Шаповалову за внимательное прочтение работы и конструктивную критику. Также хочу поблагодарить д. ф.-м. н., проф. И.Л. Бухбиндера, д. ф.-м. н., проф. В.Г. Багрова, ректора

ТГПУ д. ф.-м. н., проф. В.В. Обухова , д. ф.-м. н., проф. К.Е. Осетрина за ценные обсуждения, советы и помощь.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Радченко, Ольга Васильевна, 2008 год

1. Арсенин В.Я. Методы математической физики и специальные функции. - М.: Наука, 1984. - 383 с.

2. Блашке В. Введение в дифференциальную геометрию.-М.: Изд-во РХД, 2000. 232 с.

3. Годбийон К. Дифференциальная геометрия и аналитическая механика.- М.: Мир, 1973. 188 с.

4. Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия. Методы и приложения: В 3 т. Т.1: Геометрия и топология многообразий.- М.: УРСС, 2001. 296 с.

5. Мищенко A.C., Фоменко А.Т. Курс дифференциальной геометрии и топологии. М: Изд-во МГУ, 1980. - 439 с.

6. Палис Ж., Ди Мелу В. Геометрическая теория динамических систем. Введение. М.: Мир, 1986. - 304 с.

7. Сарданашвили Г.А. Современные методы теории поля: В 4т. Т.1.: Геометрия и классические поля. М: УРСС, 1996. - 224 с.

8. Сарданашвили Г.А. Современные методы теории поля: В 4т. Т.2.: Геометрия и классическая механика. М: УРСС, 1998. - 168 с.

9. Сарданашвили Г.А. Современные методы теории поля: В 4т. Т.4: Геометрия и квантовые поля. М: УРСС, 2000. - 160 с.

10. Фоменко А.Т. Дифференциальная геометрия и топология. Дополнительные главы. М.: Изд-во МГУ, 1983. - 216 с.

11. Шутц Б. Геометрические методы математической физики. М.: Мир, 1984. - 304 с.

12. Flanders F. Differential forms with Applications to the Physical Sciences. N.-Y.: Acad. Press., 1963. - 203 p.

13. Frankel Th. The Geometry of Rhysics. An Introduction. Cambridge : Cambridge University Press, 1997. - 656 p.

14. Абрамов A.A. Введение в тензорный анализ и риманову геометрию. -М.: ФМЛ, 2001. 112 с.

15. Бураго Ю.Д., Залгаллер В.А. Введение в риманову геометрию. М.: Наука, 1994. - 318 с.

16. Бишоп Р., Криттенден Р. Геометрия многообразий. Новокузнецк: Изд-во ИО НФМИ, 1998. - 332 с.

17. Громол Д., Клингенберг В., Мейер В. Риманова геометрия в целом. -М.: Мир, 1971. 343 с.

18. Новиков С.П., Тайманов И.А. Современные геометрические структуры и поля. М.: ФМЛ, 2005. - 584 с.

19. Рашевский П.К. Курс дифференциальной геометрии. М: ГИТТЛ, 1956. - 420 с.

20. Рашевский П.К. Риманова геометрия и тензорный анализ. М.: Наука, 1967. - 664 с.

21. Lee J.M. Riemannian Manifolds: an Introduction to Curvature. Springer, 1997. - 224 p.

22. Фейнман P. Квантовая электродинамика. M.: Мир, 1964. - 220 с.

23. Бредов М.М., Румянцев В.В., Топтыгин И.Н. Классическая электродинамика. С.-Пб.: Изд-во "Лань", 2003. - 400 с.

24. Де Гроот С., Сатторп Л.Г. Электродинамика. М.: Наука, 1982. - 560 с.

25. Ахиезер В.В., Берестецкий В.Т. Квантовая электродинамика. М.: Наука, 1981. - 431 с.

26. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика: В 10 т. Т.2.: Теория поля. М.: Физматгиз, 2002. - 424 с.

27. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика: В 10 т. Т.4.: Квантовая электродинамика. М.: ФМЛ, 2002. - 720 с.

28. Пановский В., Филипс М. Классическая электродинамика. М.: Физматгиз, 1963. - 432 с.

29. Аберс Е.С., Ли Б.В. Калибровочные теории. Новокузнецк: Изд-во ИО НФМИ, 1998. - 200 с.

30. Atiyah M.F. Geometry of Yang-Mills fields.-Pisa: Accad. Naz. Lincei, 1979. 98 p.

31. Богуш A.A. Введение в калибровочную полевую теорию электрослабых взаимодействий. М.: УРСС, 2003. - 360 с.

32. Вайнберг С. Квантовая теория поля. В Зт. Т.2.: Современные приложения. М.: ФМЛ, 2003. - 528 с.

33. Ициксон К., Зюбер Ж.-Б. Квантовая теория поля. В 2т. Т.2. М.: Наука, 1984. - 400 с.

34. Кушниренко А.Н. Введение в квантовую теорию поля. М.: ВШ, 1983. - 320 с.

35. Пескин М., Шредер Д. Введение в квантовую теорию поля. Ижевск: Изд-во РХД, 2001. - 784 с.

36. Райдер JI. Квантовая теория поля. М.: Мир, 1987. - 511 с.

37. Рубаков В.А. Классические калибровочные поля: В 2т. Т.1.: Бозонные теории. М. : УРСС , 1999. - 335 с.

38. Рубаков В.А. Классические калибровочные поля: В 2т. Т.2.: Теории с фермионами. Некоммутативные теории. М. : УРСС , 2005. - 236 с.

39. Славнов A.A., Фаддеев Л.Д. Введение в квантовую теорию калибровочных полей. М.: Наука, 1978. - 238 с.

40. Соколов A.A., Тернов И.М., Жуковский В.Ч., Борисов A.B. Калибровочные поля. М.: Изд-во МГУ, 1986. - 260 с.

41. Умэдзава X. Квантовая теория поля. М.: Изд-во иностранной литературы, 1958. - 384 с.

42. Арнольд В.И. Математические методы классической механики. М.: Наука, 1979. - 432 с.

43. Фоменко А.Т. Симплектическая геометрия. Методы и приложения. -М.: Изд-во МГУ, 1988. 413 с.

44. Владимиров Ю.С. Геометрофизика. М.: Бином, 2005. - 600 с.

45. Петров А.З. Пространства Эйнштейна. М.: ГИФМЛ, 1961. - 463 с.

46. Batalin I.A., Tyutin I.V. Quantum geometry of symbols and operators//Nucl. Phys. B. 1990. - V.345. - P.645-658.

47. Geyer В., Lavrov P. Modified triplectic quantization in general coordinates//Int. J. Mod. Phys. A. 2004. - V.19. - P.1639-1654. -arXiv:hep-th /0304011.

48. Fedosov B.V. A simple geometrical construction of deformation quantization //J. Diff. Geom. 1994. - V.40. - P. 213-238.

49. Fedosov B.V. Deformation Quantization and Index Theory. Berlin: Akademie Verlag, 1996. - 324 p.

50. Gelfand I., Retakh V., Shubin M. Fedosov Manifolds//Advan. Math. 1998. - V.136. - P. 104-129. - arXiv:dg-ga/97070242.

51. Batalin I.A., Bering K. Odd scalar curvature in field-antiiield formalism. -arXiv:hep-th/0708.04006.

52. Golfand Yu.A., Likhtman E.P. Extension of the algebra of Poincare group generators and violation of p invariance//JETP Lett. 1971. - V.13. -P.323-326.

53. Wess J., Zumino B. A Lagrangian model invariant under supergauge transformations//Phys. Lett.B. 1974. - V.49. - P.52-75.

54. Вайнберг С. Квантовая теория поля. В Зт. Т.З.: Суперсимметрия. М.: Изд-во "Фазис", 2002. - 458 с.

55. Buchbinder I.L., Kuzenko S.M. Ideas and Methods of Supersymmetry and Supergravity or A Walk Through Superspace. Bristol and Philadelphia: Institute of Physics Publishing, 1995. - 640p.

56. Galperin A., Ivanov E., Kalitsyn S., Ogievetsky V., Sokatchev E. Unconstrained N=2 matter, Yang-Mills and supergravity theories in harmonic superspace// Class.Quant.Grav.-1984.-V.l.-P.469-498.

57. Galperin A., Ivanov E., Ogievetsky V., Harmonic space and quaternionic manifolds// Ann.Phys.-1994.-V.230.-P.201-249.

58. Ivanov E. On the harmonic superspace geometry of (4,4) supersymmetric sigma models with torsion// Phys.Rev.D.-V.53.-P.2201-2219.

59. Bandos I., Ivanov E., Lukierski J., Sorokin D. On the superconformal flatness of ADS superspace// JHEP.- 0206:040,2002.

60. Deser S., Zumino B. Consitent supergravity// Phys. Lett.B. 1976. - V.62. - P.335.

61. Freedman D.Z., van Nieuwenhuizen P., Ferrara S. Progress toward a theory of supergravity// Phys. Rev.D. 1976. - V.13. - P.3214.

62. Freedman D.Z.,van Nieuwenhuizen P. Properties of supergravity theory// Phys. Rev. D. 1976. - V.14. - P.912.

63. Berezin F.A.Mathematical Base Of Supersymmetrical Field Theories//Yad. Fiz. 1979. - V.29. - P.1670-1687.

64. Berezin F.A., Leites D.A. Supermanifolds// Sov. Math. Dokl. 1979. -V.16. - P.1218.

65. Berezin F.A. Differential Forms On Supermanifolds//Yad. Fiz. 1979. -V.30. - P.1168-1174.

66. Березин Ф.А. Введение в алгебру и анализ с антикоммутирующими переменными. М.: Изд-во МГУ, 1983. - 208 с.

67. Witten Е. Note on the antibracket formalism//Mod. Phys. Lett.A. 1990. - V.5. - P.487-494.

68. Khudaverdian O.M. Geometry of superspace with even and odd brackets//J. Math. Phys. 1991. - V.32. - P.1934-1937.

69. Schwarz A. Geometry of Batalin-Vilkovisky quantization// Commun.Math.Phys. 1993. - V.155. - P.249-260. - hep-th/9205088.,

70. Batalin I.A., Tyutin I.V. On possible generalizations of field-antifield formalism // Int.J.Mod.Phys.A. 1993. - V.8. - P.2333-2350. - arXiv:hep-th/9211096.

71. Khudaverdian O.M., Nersessian A.P. On Geometry of Batalin-Vilkovisky Formalism// Mod. Phys. Lett.A. 1993. - V.8. - P.2377-2385.

72. Khudaverdian O. and Nersessian A.P. Batalin-Vilkovisky formalism and integration theory on manifolds//J. Math. Phys. 1996. - V.37. - P.3713-3724.

73. Schwarz A. Semiclassical approximation in Batalin-Vilkovisky formalism// Comm. Math. Phys. 1993. - V.158. - P.373-396. - hep-th/9210115v2.

74. Batalin LA., Tyutin I.V. On the multilevel generalization of the field-antifield formalism// Mod. Phys. Lett.A. 1993. - V.8. - P.3673-3682. -hep-th /930901 lvl.

75. Batalin I.A., Tyutin I.V. On the multilevel field-antifield formalism with the most general Lagrangian hypergauges// Mod. Phys. Lett.A. 1994. -V.9. - P. 1707-1716. - hep-th/94031801.,

76. Hata H., Zwiebach B. Developing the covariant Batalin-Vilkovisky approach to string theory//Ann. Phys. 1994. - V.229. - P.177-216. - hep-th/93010972.

77. Alfaro J., Damgaard P.H. Generalized Lagrangian master equations//Phys.Lett.B. 1994. - V.334. - P. 369-377. - hep-th/94051121.

78. Alexandrov M., Kontsevich M., Schwarz A., Zaboronsky O., The geometry of the master equation and topological quantum field theory// Int. J. Mod. Phys.A. 1997. - V.12. - P.1405-1430. - arXiv:hep-th/9502010.

79. Cattaneo A., Felder G. On the AKSZ formulation of the Poisson sigma model// Lett. Math. Phys. 2001. - V.56. - P. 163-179. -arXiv:math/0102108.

80. Cattaneo A., Felder G. Poisson sigma models and deformation quantization //Mod. Phys. Lett. A. 2001. - V.16. - P.179-190.

81. Khudaverdian H.M. Laplacians in Odd Symplectic Geometry// Contemp.Math. 2002. - V.315. - P.199-212. - arXiv:math/0212354.

82. DeWitt В. Supermanifolds. Cambridge: Cambridge University Press, 1992. - 423 p.

83. Лейтес Д.А. Введение в теорию супермногообразий//УМН. 1980. -Т.35. - С.3-57.

84. Лейтес Д.А. Теория супермногообразий. Петрозаводск: Изд-во Карел, фил. АН СССР, 1983. - 198 с.

85. Rogers В. Supermanifolds: theory and applications.- London: Word Scientific Publishing, 2006. 251 p.

86. Cartan E. La theorie des groupes finis et continus et la geometrie différentielle traitee par la methode du repere mobile. Paris: Gauthier-Villars, 1937. - V.18. - 367 p.

87. Schwinger J. Particles and sources. New York: Gordon and Breach, 1969.

88. Martin J., Weinstein A. Reduction of symplectic manifolds with symmetry//Rep.Math.Phys. 1974. - V.5. - P.121-130.

89. Batalin I.A., Vilkovisky G.A. Gauge algebra and quantization //Phys. Lett.В. 1981. - V.102. - P.27-31.

90. Batalin I.A., Vilkovisky G.A. Quantization of gauge theories with linearly dependent generators// Phys. Rev. D. 1983. - V.28. - P.2567-2582.

91. Becchi C., Rouet A., Stora R. The abelian Higgs Kibble model, unitarity of the S-operator// Phys. Lett. B. 1974. - V.52. - P.344-346.

92. Becchi C.,Rouet A., Stora R. Renormalization of the Abelian Higgs-Kibble model// Commun.Math.Phys. 1975. - V.42. - N2 - P.127-162.

93. Tyutin I.V. Gauge invariance in field theory and stastical physics in operator formalism: Preprint. Moscow: Lebedev Inst, preprint, 1975.-N 39.

94. Hull C.M., Spence В., Vazquez-Bello J.L. The geometry of quantum gauge theories: A superspace formulation of BRST symmetry// Nucl. Phys.B. -1991. V.348. - P.108.

95. Khudaverdian 0., Nersessian A.P. On the geometry of Batalin-Vilkovisky formalism// Mod. Phys. Lett. A. 1993. - V.8. - P. 2375.

96. Henneaux M. Geometrical interpretation of the quantum master equation in the BRST-anti-BRST formalism// Phys. Lett.B. 1992. - V. 282. - P.372.

97. Мак-Коннел А. Дж. Введение в тензорный анализ с приложениями к геометрии, механике и физике. М.: Физматгиз, 1963. - 411 с.

98. Димитриенко Ю.И. Тензорное исчисление. М.: ВШ, 2001. - 575 с.

99. Схоутен Я.А. Тензорный анализ для физиков. М.: Наука, 1965. - 456 с.

100. Aris R. Vectors, Tensors and the Basic Equations of Fluid Mechanics . -N.Y.: Dower Publications, 1989. 314 p.

101. Сокольников И.С. Тензорный анализ: Теория и применения в геометрии и механике сплошных сред. М.: Наука, 1971. - 374с.

102. Гитман Д.М., Тютин И.В. Каноническое квантование полей со связями. М.: Наука, 1986. - 216с.

103. Geyer В., Lavrov P. Fedosov Supermanifolds. II. Normal Coordinates//Int. J. Mod. Phys. A. 2005. - V.20. - P.2179-2194. -hep-th/0406206.

104. Lavrov P.M., Radchenko O.V. On higher order relations in Fedosov supermanifolds// Journal of Physics A: Mathematical and General. -2006. V. 39. - P. 6501-6508.

105. Лавров П.М., Радченко О.В. Супермногообразия Федосова //ТМФ.-2006.-T.149.-N2.- С.202-227.

106. Лавров П.М., Радченко О.В. Нечетные симплектические геометрии на супермногообразиях // Известия ВУЗов. Физика. 2008. - Т.51. - N.2 -С.52-57.

107. Lavrov P.M., Radchenko O.V. Symplectic geometries on supermanifolds // International Journal of Modern Physics A. 2008. - V.23. - N 9. -P.1337-1350.