Дискретная BF-теория тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.03, кандидат физико-математических наук Мнёв, Павел Николаевич

• Мнёв, Павел Николаевич
• кандидат физико-математических наук
• 2008

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Мнёв, Павел Николаевич

Основные обозначения

1. Введение

1.1. Основные результаты

1.2. План работы

1.3. Благодарности

2. Основные понятия формализма Баталина-Вилковыского

2.1. Алгебры Герштенхабера и алгебры Баталина-Вилковыского

2.2. Z-градуированные многообразия

2.3. /-"-многообразия

2.4. SP-многообразия

2.5. Интегралы по лагранжевым подмногообразиям

2.6. Мастер-уравнение 25 2.6.1. Калибровочные преобразования в БВ-формализме

3. Фиксация калибровки

3.1. Фиксация калибровки: метод Фаддеева-Попова

3.2. Фиксация калибровки: метод БРСТ

3.3. Фиксация калибровки: метод Баталина-Вилковыского

3.4. Топологическая .ВР-теория

4. Абстрактная jB-F-теория и индуцирование эффективного действия для неё

4.1. Абстрактная ^F-теория

4.2. Эффективное БВ-действие: общая идея

4.3. Эффективное действие для абстрактной ВР-теории

4.4. Эффективное действие абстрактной BF-теории, как производящая функция для алгебраической структуры на подкомплексе

4.5. AFoo-теория

4.5.1. Эквивалентность qrLoo-алгебр

4.5.2. Интерпретация эффективного действия через Loo-морфизм и кручение

5. Эффективная .В^-теория на симплициальном комплексе

5.1. Формы Уитни

5.2. Оператор цепной гомотопии Дюпона

5.3. Симплициальное BF-действие

5.4. Конструкция склейки для gLoo-алгебр

5.4.1. Конструкция наложения граничного условия

5.4.2. Согласованность операций склеивания и индуцирования

5.5. Симплициальное ВF-действие на отрезке

5.5.1. Явная проверка мастер-уравнения для

5.5.2. Индуцированная gioo-структура на (^"(А1, б)

5.5.3. Примеры конструкций из раздела 5.4: склеивание двух отрезков по граничной точке, склеивание отрезка в окружность, отрывание граничной точки

5.6. Пертурбативные результаты для симплексов размерности D > 2 132 5.6.1. Явное вычисление супер-следа Сд2 (*(„,.)) па 2-симплексе в координатном представлении

6. Эффективная BF-теория на кубическом комплексе

6.1. Тензорное произведение данных индуцирования

6.2. Данные индуцирования для кубического комплекса, клеточное BF-действие на кубическом комплексе, клеточная локальность

6.3. Факторизация фейнмановских диаграмм, пертурбативный результат для

-куба

6.4. Примеры точно вычислимого клеточного jBF-действия: тор, цилиндр, бутылка Клейна

6.4.1. Тор Т2 в симметричной калибровке

6.4.2. Top Tld в асимметричной калибровке

6.4.3. Каноническое преобразование, связывающее результаты для Sj2 в симметричной и асимметричной калибровках

6.4.4. Цилиндр / х S1, толстый тор I х TD

6.4.5. Бутылка Клейна

7. Эффективная SF-теория на когомологиях де Рама многообразия

7.1. Категория ретрактов

7.2. Специальные свойства эффективного BF-действия на когомологиях

7.2.1. Циклическая симметрия фейнмановских деревьев для ^^■•(Мв) для индуцирования Ходжа

7.2.2. Оценки на допустимые степени когомологий в фейнмановских диаграммах для 5я»(м,в)

7.2.3. Эффективное действие на когомологиях произведения многообразий

7.3. Примеры

7.3.1. Окружность, тор, сфера

7.3.2. Бутылка Клейна 211 Список литературы

Основные обозначения.

• Л4, Л/", и т.д. — Z-градуированные многообразия.

• Fun(.M) — алгебра функций на Л4.

• — сдвиг градуировки Z-градуированного векторного пространства. При этом градуировка функций на V сдвигается на +к (соответственно, градуировка самих векторов V — на — к).

• П'(Лк) — алгебра дифференциальных форм на Л4.

• 5*, Л" — симметрическая и внешняя алгебра.

• б или gh — грассманова степень (духовое число).

• Т[1]Л4, Т*[—1]М — касательное и кокасательное расслоение со сдвинутой градуировкой слоя.

• <•,•> — каноническое спаривание между Ъ-градуированным векторным пространством V и двойственным V*. Обычно предполагается, что первый аргумент — из V*, второй — из V.

• и> — нечётная симплектическая форма (только в разделе 2; в дальнейшем обозначение lи закрепляется за супер-связностью).

• ц, р — мера на Z-градуированном многообразии и её плотность.

• (za) — общая система координат.

• — система координат Дарбу.

• (Ф°, Ф+) — (начиная с 3.3) система координат Дарбу, связанная с "физическим" лагранжевым подмногообразием (БРСТ-полей).

• {•, •} — анти-скобка.

• А — БВ-лапласиан.

• L — лагранжево подмногообразие.

• Ф — фиксирующий калибровку фермион.

• h — инфинитезимальный параметр (постоянная Планка).

• Sci, S — классическое действие и БВ-действие, Sk коэффициент при hk в S ("к-петлевая часть S").

• ы,р — супер-поля ВF-теории (начиная с 3.4).

• [•, •] — коммутатор, всегда понимаемый в супер-смысле.

• 9(х) — функция Хэвисайда: 6(х) = 1 при х > 0 и в{х) = 0 при х < 0.

• С™ = W! (n—m)'. ~ биномиальный коэффициент.

• 0 — алгебра Ли калибровочной группы G.

• Е — клеточный комплекс (обычно, триангуляция многообразия или кубическое клеточное разбиение многообразия), С"(Е) — комплекс клеточных коцепей на

• H'(V) — когомологии Ъ-градуированного векторного пространства V, Н'(М) — когомологии де Рама многообразия М.

• Дп — стандартный n-симплекс с барицентрическими координатами (to,., tn), to+ ----\-tn = 1, to > 0,., tn > 0, In — стандартный n-куб с декартовыми координатами (t\,., tn), 0 < t\ < 1,., 0 < tn < 1.

• о- — симплекс триангуляции, С — клетка кубического клеточного комплекса.

• I или [0,1] — единичный отрезок, Sn — n-сфера, Тп — n-тор, KB — бутылка Клейна.

• 13п — числа Бернулли, Bn(t) — полиномы Бернулли.

• i — вложение, г — ретракция, К — цепная гомотопия.

• R — генератор инфинитезимального канонического преобразования.

• Q — когомологическое векторное поле (БРСТ-оператор).

• ^(п)> %п) ~~ классические и квантовые n-арные операции.

• х<т — форма Уитни, ассоциированная с симплексом ег.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Дискретная BF-теория»

Данная работа содержит результаты, полученные автором в рамках работы над сим-плициальной программой А. Лосева для топологических квантовых теорий поля. Цель программы — эквивалентная замена топологической теории поля в лагранжевом формализме на симплициальный (или, в более общей ситуации, клеточный) вариант. При этом бесконечномерное пространство полей топологической теории заменяется на некоторое конечномерное пространство, связанное с триангуляцией (или с более общим клеточным разбиением). Действие топологической теории заменяется на некоторую функцию (симплициальное действие) на этом конечномерном пространстве. Наблюдаемые топологической теории также должны быть заменены на симплициальные аналоги. При этом замена топологической теории поля на её симплициальную версию должна быть эквивалентной, т.е. корреляторы наблюдаемых должны переходить в корреляторы соответствующих симплициальных наблюдаемых (при этом не предполагается переходить к пределу измельчения триангуляции: любая триангуляция должна давать точный ответ). Обладая симплициальным эквивалентом топологической теории поля, мы можем вычислять корреляторы последней с помощью конечномерных интегралов, а не континуальных.

Одной из целей симплициальной программы является построение симплициальной версии теории Черна-Саймонса (дающей инварианты узлов и 3-многообразий [30]) и пуассоновой сигма-модели (обслуживающей деформационное квантование Концевича [19], [10]). В данной работе рассматривается более простая (однако, тесно связанная с обеими перечисленными выше) модель топологической теории поля: .BF-теория. Кроме того, существенное упрощение состоит в том, что мы не рассматриваем наблюдаемые. Роль корреляторов для нас играет "эффективное действие на когомологиях де Рама многообразия" — интересный топологический инвариант многообразия, который может быть вычислен из симплициальной версии BF-теории (раздел 7.1).

Классическое действие BF-теории на компактном ориентируемом многообразии М имеет вид где Fa = d,A-\-Af\A есть кривизна связности А. Классические поля теории есть связность А в тривиальном главном G-расслоении на М и поле В — g-значная (dim М — 2)-форма на М. Здесь G — компактная группа Ли (калибровочная группа) и д — её алгебра Ли. BF-теория определена для многообразия М произвольной размерности, причём М разрешено иметь границу (переходя к канонической BF-теории, см. раздел 3.4, мы также разрешаем неориентируемые М; во избежание путаницы заметим, что слово "канонический" здесь не имеет отношения к каноническому квантованию). Классическое действие

BF-теории имеет довольно сложную (приводимую и открытую на втором этаже башни приводимости) калибровочную симметрию в размерностях > 4, и для решения задачи фиксации калибровки необходим формализм Баталина-Вилковыского. В формализме Баталина-Вилковыского (в дальнейшем — "БВ-формализм") классические поля А и В заменяются на БВ-супер-поля Ли В — две неоднородные g-значные дифференциальные формы на М (являющиеся удобным способом собрать вместе исходные классические поля, духи для всех этажей башни приводимости калибровочной симметрии, антиполя к классическим полям и антиполя к духам). В терминах су пер-полей А, В мастер-действие (оно же БВ-действие), имеет вид

Симплициальный эквивалент J3.F-теории естественно строить на уровне мастер-действия и пространства БВ-полей (а не классического действия и классического пространства полей). В качестве пространства (симплициальных) БВ-полей для триангуляции Е многообразия М берётся некоторое конечномерное пространство J--=. строящееся по пространству С* (Е, д) д-значных клеточных коцепей на Е (которые играют роль симпли-циального аналога д-значных дифференциальных форм на М). Именно, Ts. строится как нечётное кокасательное расслоение, к сдвинутому по градуировке пространству клеточных коцепей: Т-= = Г*[—1](С"(Е, д)[1]). В качестве координат в базе Т-= используется симплициальное супер-поле — неоднородная g-значная клеточная коцепь, компонентам разных степеней которой приписаны духовые числа, так что выполнено deg +gh = 1; в качестве координат в слое используется второе симплициальное супер-поле рз — неоднородная д*-значная клеточная цепь, компонентам которой также приписаны духовые числа, так что выполнено deg -fgh = —2. Здесь u)-= — симплициальный аналог БВ-супер-поля А топологической Втеории, а — симплициальный аналог Д,, т.е. БВ-супер-поля В топологической BF-теории, с опущенным индексом по отношению к спариванию trfM • А • (формулировка топологической BF-теории в терминах полей А, Вэ с мастер-действием S =< B\ndA+ \ {А, А] > иногда называется "канонической" -BF-теорией).

В качестве симплициального БВ-действия предлагается взять эффективное действие, индуцированное на Имеется ввиду, что мы разделяем бесконечномерное пространство БВ-полей топологической Б^-теории на М (точнее, её канонического варианта) на инфракрасную и ультрафиолетовую части причём инфракрасная часть есть F = Т-= (ультрафиолетовая часть пространства J^m, тем самым, бесконечномерна). Эффективное действие 5= на инфракрасных полях следует определить с помощью континуального интеграла по ультрафиолетовым полям. Это стандартная конструкция квантовой теории поля, и ясно, в каком смысле она приводит к эквивалентному действию: квантовые флуктуации в ультрафиолетовых направлениях уже учтены в Однако, поскольку мы имеем дело с калибровочной теорией в БВ-формализме, конструкция эффективного действия должна быть модифицирована (стандартная конструкция давала бы пертурбативно-неопределённый интеграл по Т"). Именно, следует выбрать лагранжево подмногообразие в пространстве ультрафиолетовых полей L С Т" и определять эффективное БВ-действие на Т' как континуальный интеграл по С, а не по всему Т". Интегралы такого типа называются БВ-интегралами и выбор С есть выбор калибровки для БВ-интеграла. Конструкция эффективного БВ-действия обсуждается в разделе 4.2. Главные особенности этой конструкции: во-первых, она переводит решения мастер-уравнения в решения мастер уравнения на инфракрасных полях. Во-вторых, зависимость от выбора С контролируется, а именно, изменение £ приводит к каноническому преобразованию для эффективного действия. Для интересующего нас случая индуцирования эффективного действия для топологической -B-F-теории на пространстве инфракрасных БВ-полей предлагается строить лагранжево подмногообразие С С Т" с помощью оператора цепной гомотопии стягивающей комплекс де Рама многообразия М на подкомплекс форм Уитни триангуляции Н, изоморфный комплексу клеточных коцепей на Е (разделы 4.3, 5.1, 5.2). Оператор К-= "склеивается" из некоторых явно заданных операторов (операторов Дюпона) для отдельных симплексов Е. Важным свойством эффективного действия для BF-теории является то, что соответствующий БВ-интеграл раскладывается в ряд по диаграммам Фейнмана, содержащий только древесные и однопетлевые диаграммы (раздел 4.3, Теорема 5).

Конструкция К-= или, иначе, выбор калибровки для БВ-интеграла, определяющего индуцирование, приводят к другому важному свойству симплициального действия 5= — симплициальной локальности (раздел 5.3, Теорема 7): S-= представляется в виде суммы вкладов отдельных симплексов триангуляции <5= = X^sE ^ • При этом вклады Sa зависят только от сужения полей р= симплициальной BF-теории на данный симплекс а. Вклады Sa можно восстановить, зная симплициальное действие для одного симплекса со стандартной триангуляцией для каждой размерности D > 0. Таким образом, благодаря симплициальной локальности, задача вычисления симплициального действия S-= для произвольной триангуляции £ произвольного многообразия М сводится к серии универсальных вычислений: требуется вычислить симплициальное действие 6"до для стандартного симплекса AD в каждой размерности D > 0.

В размерности D = 0 задача вычисления S^d оказывается тривиальной, в размерности D = 1 (индуцирование эффективного действие для отрезка) не вполне тривиальной, однако точно разрешимой (раздел 5.5, Теорема 8). Факт точной вычислимости здесь связан с тем, что действие топологической йР-теории на отрезке, суженное на лагранжево подмногообразие С, С Т", но которому вычисляется БВ-интеграл, оказывается квадратичным, а значит, сам БВ-интеграл — гауссовым. Для симплекса старшей размерности D > 2 такого упрощения не происходит, и мы не знаем, как получить точный результат. Однако, можно получить пертурбативный ответ (раздел 5.6, Теорема 9) для 5до, т.е. предъявить начальный отрезок степенного разложения по полям, вычисляя несколько первых фейнмановских диаграмм для соответствующего БВ-интеграла. В разделе 5.6 мы демонстрируем технику, позволяющую вычислять древесные фейнманов-ские диаграммы для симплекса общей размерности и частично восстанавливать значения петлевых диаграмм (также в общей размерности) по древесным. Явное вычисление петлевых диаграмм технически намного сложнее. На примере простейшей нетривиальной петлевой диаграммы для D — 2 такое вычисление продемонстрировано в разделе 5.6.1. Имея пертурбативный ответ для с некоторой точностью, мы знаем симплициальное 13-F-действие для произвольной триангуляции £ произвольного многообразия М с той же точностью, и с той же точностью можем отсюда получить эффективное действие на когомологиях де Рама многообразия М, вычисляя (теперь уже конечномерный) БВ-интеграл. Пример, когда М есть окружность и 2 — её клеточное разбиение на два отрезка и две точки, разобран в разделе 7.3.1 (здесь мы вычисляем точный ответ, а не пертурбативный, поскольку симплициальное действие в размерностях D = 0,1 нам известно точно).

В разделе 6 мы рассматриваем конструкцию дискретной В^-теории для кубического клеточного разбиения Н многообразия М (т.е. все клетки Е! — кубы разных размерностей и клеткам разрешено примыкать только по грани). Эта конструкция мало отличается от симплициальной BF-теории, в частности здесь выполнено свойство клеточной локальности для клеточного действия (раздел 6.2, Теорема 10), полностью аналогичное симплициальному случаю. Тем самым, вычисление 5= для произвольного кубического клеточного разбиения Е произвольного многообразия М сводится к серии универсальных вычислений клеточных действий Sjd для кубов ID в каждой размерности D > 0. Отличительной особенностью кубического случая от симплициального является свойство факторизации фейнмановских диаграмм для Sjd (раздел 6.3, Теорема 11), существенно упрощающая пертурбативные вычисления для Sjd . Несмотря на это упрощение, мы, как и в случае D-симплекса, не можем написать точный ответ для Sjd при D > 2. Однако, оказывается, что ограничения действия Sjd на некоторые специальные подпространства в пространстве клеточных полей (например, подпространство полей, удовлетворяющих условию периодичности) могут быть точно вычислены. Таким образом возникает набор примеров многообразий М со специальными клеточными разбиениями Е, для которых клеточное действие вычисляется в точности (например, тор, цилиндр, бутылка Клейна — см. раздел 6.4). Из этих примеров могут быть получены примеры многообразий, для которых точно вычисляется эффективное BF-действие на когомологиях (раздел 7.3). Также в разделе 7.2 мы доказываем некоторые свойства эффективного действия на когомологиях, позволяющие расширить класс примеров многообразий, для которых оно может быть точно вычислено.

Процедура индуцирования эффективного действия для BF-теории, частными случаями которой являются переход от топологической .В^-теории на многообразии М к дискретной теории на триангуляции (или кубическом клеточном разбиении) Е, и переход от дискретной теории на триангуляции к эффективной теории на когомологиях де Рама М, имеет также алгебраическую интерпретацию. Именно, действие топологической BF-теории может быть понято, как производящая функция для структуры DGLA (дифференциальной градуированной алгебры Ли) на пространстве Г2*(М, д) д-значных дифференциальных форм на М (раздел 4.1). Далее, симплициальное действие на триангуляции (или кубическом комплексе) Е можно интерпретировать, как производящую функцию для "gLoo'-структуры на пространстве С*(Е, д) д-значных клеточных коцепей на Е (раздел 4.4). Эта структура является некоторым естественным "однопетлевым" вариантом Loo-алгебры. При этом БВ-интеграл, определяющий переход от действия топологической ЛР-теории к действию £>=, можно понять как задающий "гомотопический перенос" алгебраической структуры с пространства дифференциальных форм П" (М, д) на пространство коцепей С"(Е, д). Мы попытались прояснить эту идею в разделе 4.5. В этих терминах интерпретируется также переход от дискретной BF-теории к эффективной теории на когомологиях, или от исходной топологической B-F-теории к эффективной теории на когомологиях. Инвариант многообразия М, даваемый SF-теорией,— эффективное действие на когомологиях, рассматриваемое с точностью до канонических преобразований, может быть в алгебраической интерпретации понят как "гомотопический тип алгебры g-значных дифференциальных форм на М, как qLoo-алгебры" (см. разделы 4.5.1, 7.1).

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Мнёв, Павел Николаевич, 2008 год

1. D. Н. Adams, R-torsion and linking numbers from simplicial abelian gauge theories, arXiv:hep-th/9612009

2. T. Agoh, K. Dilcher, Convolution identities and lacunary recurrences for Bernoulli numbers, Journal of Number Theory 124, 1 (2006), 105-122

3. M. Aleksandrov, M. Kontsevich, A. Schwarz and O. Zaboronsky, The geometry of the master equation and topological quantum field theory, Int. J. Mod. Phys. A 12 (1997), 1405-1430

4. V. Alexandrov, D. Krotov, A. Losev, V. Lysov, On pure spinor superfield formalism, arXiv:0705.2191

5. Ф. А. Березин, Введение в алгебру и анализ с антикоммутирующшш переменными, МГУ (1983)

6. I. Batalin, G. Vilkovisky, Gauge algebra and quantization, Physics Letters 102B, 27 (1981)

7. I. Batalin, G. Vilkovisky, Quantization of gauge theories with linearly dependent generators, Phys. Rev. D29, 2567 (1983)

8. A. Bousfield, V. Guggenheim, On PL de Rham theory and rational homotopy type, Mem. Amer. Math. Soc. 179 (1976)

9. A. S. Cattaneo, P. Cotta-Ramusino, J. Froehlich, M. Martellini, Topological BF theories in 3 and 4 dimensions, J. Math. Pliys. 36 (1995) 6137-6160

10. A. S. Cattaneo and G. Felder, A path integral approach to the Kontsevich quantization formula, arXiv:math. QA/9902090

11. A. S. Cattaneo and C. A. Rossi, Higher- dimensional В F theories in the Batalin-Vilkovisky formalism: the BV action and generalized Wilson loops, arXiv:math.QA/0010172

12. X. Cheng, E. Getzler, Transferring homotopy commutative algebraic structures, arXiv:math. AT/0610912

13. K. Costello, Renormalisation and the Batalin-Vilkovisky formalism, arXiv:math.QA/0706.1533

14. J. Dupont, Simplicial de Rham cohomology and characteristic classes of flat bundles, Topology 15 (1976), 233-245

15. E. Getzler, Lie theory for nilpotent Loo- algebras, math.AT/0404003

16. H. Ikemori, Extended form method for antifield-BRST formalism for BF theories, arXiv:hep-th/9205111

17. H. Khudaverdian, Semidensities on odd symplectic supermanifolds, arXiv:math.DG/0012256

18. A. A. Kirillov, Elements of the Theory of Representations, vol. 220 of Grundlehren Math. Wiss., Springer, Berlin, 1976

19. M. Kontsevich, Deformation quantization of Poisson manifolds, q-alg/9709040

20. M. Kontsevich, Y. Soibelman, Homological mirror symmetry and torus fibrations, arXiv:math/0011041

21. R. Lawrence, D. Sullivan, A free differential Lie algebra for the interval, arXiv:math. AT/0610949

22. D. Krotov, A. Losev, Quantum field theory as effective В V theory from Chern-Simons, arXiv: hep-th/0603201

23. S. Merkulov, PROP profile of deformation quantization and graph complexes with loops and wheels, arXiv:math/0412257

24. P. Mnev, Notes on simplicial BF theory, arXiv:hep-th/0610326

25. A. Schwarz, Geometry of Batalin-Vilkovisky quantization, Commun. Math. Phys. 155 (1993) 249-260

26. P. Severa, On the origin of the BV operator on odd symplectic supermanifolds, arXiv:math/0506331

27. D. Sullivan, Infinitesimal computations in topology, Publications Mathematiques de 1'IHES, 47 (1977), 269-331

28. J. С. Wallet, Algebraic set-up for the gauge fixing of BF and super BF systems, Phys. Lett. В 235 (1990) 71-78

29. H. Whitney, Geometric integration theory, Princeton University Press, Princeton, N. J., 1957

30. E. Witten, Quantum field theory and the Jones polynomial, Commun. Math. Phys. 121, 3 (1989) 351-399Публикации автора по теме диссертации.

31. П. Н. Мнёв, О симплициалъной cynep-BF модели, Записки научных семинаров ПО-МИ 331 (2006), 84-90

32. П. Н. Мнёв, О симплициалъной ВF-теории, Доклады АН 418, 3 (2008), 1-5