Нечётная симплектическая геометрия и нечётные операторы Лапласа в формализме Баталина-Вилковыского тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.04, доктор наук Худавердян Оганес Мкртычевич

• Худавердян Оганес Мкртычевич
• доктор наук
• 2022

Оглавление диссертации доктор наук Худавердян Оганес Мкртычевич

определения

1.1.1 Нормальные координаты Дарбу

1.2 Чётные инварианты Пуанкаре Картана

1.3 Нечётные инварианты Пуанкаре Картана

1.4 Доказательство теоремы

1.4.1 Вопрос о единственности

1.4.2 Доказательство леммы 1.2 об уплощении

2 Геометрия суперпространств, оснащённых скобками разной чётности и Д-оператор

2.1 Гамильтонова динамика в суперпространствах с двумя симплек-

тическими структурами разной чётности

2.1.1 Примеры

2.2 Канонические симплектические структуры различной чётности

и странные супералгебры

2.3 Д-оператор Баталина-Вилковыского на функциях

2.4 Обсуждения

3 Полуплотности в нечётном симплектическом пространстве

3.1 Введение

3.2 Д-оператор на полуплотностях

3.2.1 тождестве Баталина-Вилковыского

3.3 Дифференциальные формы на кокасательном расслоении и полуплотности

3.4 Полуплотности и дифференциальные формы ма чётных лагран-жевых плотностях

3.4.1 Идентифицирующие симплектоморфизмы на чётных лагра-жевых поверхностях

3.4.2 Соответствие между полуплотностями и дифференциальными формами на лагранжевых поверхностях

3.4.3 Приложения к БУ-геометрии

3.5 Инвариантные плотности на поверхностях

3.6 Обсуждения 111-ей главы

4 Д-оператор в Пуассоновой геометрии

4.1 Самосопряжёный оператор второго порядка на полуплотностях

4.2 Оператор второго порядка на нечётном Пуассоновом многообразии

4.3 Геометрический смысл модулярного векторного поля

4.4 Примеры вычислений модулярного класса

4.4.1 Нечётное симплектическое многообразие. Формула Беринга

4.4.2 Скобка Козюля

4.4.3 Пример нетривиального модулярного класса

4.4.4 Модулярный класс и скобка Нейенхауса (КуепЬшэ)

4.5 Уравнение Д2 = 0. Обсуждение

5 Приложение

5.1 Плотности и дифференциальные формы как объекты интегрирования

5.2 Супермногообразия; Л-точки на супермногообразии

5.3 Интеграл от функции в Ет|п вдоль координатной формы объёма161

5.4 Полезные формулы

5.5 Супермногообразие ПТМ и ПТ*М

5.6 Доказательство леммы 1.1 из главы

5.7 Гамильтониан приспособленного канонического преобразования

6 Библиография

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Нечётная симплектическая геометрия и нечётные операторы Лапласа в формализме Баталина-Вилковыского»

Введение

0.1 История предмета исследований и его актуальность

Пусть Е = Егк (х)дг 0 дк контравариантное тензорное поле на многообразии М, снабженном формой объема р = р(х)(пх. Легко понять, что такая структура определяет для любой гладкой функции / векторное поле В^ = Е(/ = Егк(х)^г, а значит и дифференциальный оператор, АЕ, на функциях /,

Ае/ = ^рВ, = = кРдХ (Егк(х)) . (1)

где к -произвольная константа. Рассмотрим примеры.

• М- риманово многообразие с римановой метрикой О = дгк(х)(хг 0(хк и Егк(х) = дгк(х), тензорное поле, обратное римановой метрике; рассмотрим форму объема согласованное с римановой метрикой: р = \Zdet д(пх, тогда легко видеть, что оператор (1) превращается (с точностью до множителя) в оператор Бельтрами-Лапласа:

Ав /=div р В = рдх (дгк (х) ^) (2)

• М -Пуассоново многообразие, то

Ае/ = - В = ^ = Р £ (^ (х) /к) . (3)

Мы полагаем, что тензор Е = Ргкдг 0 дк определяет Пуассонову структуру:

{/,д} = /) Егк (х) ^ . (4)

дхг дхг

Формула (3) определяет оператор первого порядка в силу антисимметричности Пуассонова тензора

{хг, хк} = Егк = -{хк, хг} = —Екг(х).

А// = div В = Р£ (Р(х)Р-к(х)9/*>) = РдрМ. (5)

е р 1 рдхг\ у J дхк ) р дхг дхк у '

5

А теперь пусть наше пространство является суперпространством, в котором Е определяет нечётную Пуассонову структуру. Рассмотрим для конкретности (ш|ш)-мерное суперпространство с координатами

х1,...,^ ; ¿^А, I (6)

^чётные координаты нечётные координаты/

в котором тензор Е это постоянный нечётный тензор. скажем

0 I -I 0

(7)

то есть на образующих координатах суперпространства, координатах (6) выполняются соотношения

{хт, хп} = 0 , {хт, вп} = С , {вт, вп] = 0 , {0п, хт} = -С , (8)

Соотношения (8) означают, что скобка {_, _} невырождена на суперпространстве, то есть мы задали на суперпространстве нечётную сим-плектическую структуру. Рассмотрим наипростейший случай, когда форма объёма, это просто координатная форма объёма и напишем оператор, соответствующий в этом случае тензору Е в (7):

де/ = Ы^ = ^ = ^ (^М^1) = »*/,

4 '

гамильтоново векторное поле

где

До/ = ~дхдвГ (9)

У нас возник в нечётной симплектической геометрии оператор второго порядка...

То что оператор второго порядка возникал в римановой геометрии в формуле (2) это неудивительно: в римановой геометрии рассматриваются инварианты проеобразований, которые сохраняют невырожденное симметрическое

тензорное поле G = gik(x)dxi 0 dxk. Стандартная теорема римановой геометрии утверждает, что в общем случае группа изометрий риманова пространства конечномерна: размерность пространства изометрий произвольного п, n(n— 1) ГЧ

мерного риманова пространства не превышает числа n + ^—. Это приводит к богатству инвариантов римановой геометрии.Например, легко проверить, что инварианты всех (линейных и нелинейных) преобразований сохраняющих Евклидову метрику n-мерного риманова пространства с плоской метрикой

G = (dx1)2 + ••• + (dxn )2 (10)

это лишь глобальные трансляции и глобальные вращения, то есть группа преобразований имеет размерность n(n2+1).

На другом полюсе находится симплектическая геометрия. Симплекти-ческая геометрия изучает инварианты преобразований, которые сохраняют невырожденную замкнутую 2-форму и = uik (x)dxi Л dxk :

иik(x) = —uki(x) , du = 0 , det uik = 0(условие невырожденности)

И если группа преобразований, сохраняющая риманову метрику не более чем конечномерна, то группа симплектоморфизмов бесконечномерна: любой гамильтониан H порождает гамильтоново векторное поле

д

Dh = uik (x) —k , Ldhи = 0 (11)

Например каждая функция (гамильтониан) H на 2п-мерном пространстве R2n индуцирует векторное поле

n 7 dH д дН д \

H V dxi dxi+n dxi+n dxi

i=i 4

которое сохраняет 2-форму

ш = (х1 Л (х1+п + • • • + (хп Л (х2п (12)

Эти свойства симплектической структуры приводят к теореме Дарбу которая в наипростейшем случае утверждает, что существуют локальные координаты

в которых замкнутая невырожденная 2-форма, ш, задающая симплектиче-скую структуру имеет вид (12) 1 (см. подробнее в параграфе 1.1 главы 1).

Это обстоятельство приводит к отсутствию инвариантов в высших производных и соответственно к скудости симплектической геометрии и, наоборот, к богатству инвариантов римановых структур.

Что происходит в суперматематике? Конечно в суперматематике, в отличие от обычной математики для симплектических структур есть ровно две возможности: Симплектическая структура, задаваемая невырожденной замкнутой 2-формой может задаваться чётной 2-формой или нечётной 2-формой.

Отметим следующее отличие между чётной и нечётной симплектическиой геометрией.

Чётная симплектическая геометрия очень похожа на обычную симплек-тическую геометрию. Несмотря на то что 2-форма не является объектом интегрирования, можно естественно определить инвариантные объекты интегрирования по произвольным невырожденным (2r ^-мерным суперповерхностям в чётном симплектическом (2р|д)-мерном суперпространстве (см. работу [34]). При переходе к нечётной симплектической геометрии с одной стороны исчезает теорема Лиувилля: нечётные симплектические преобразования не сохраняют никакой формы объёма; поэтому задача о поиске инвариантных объектов интегрирования становится осмысленной лишь только мы введём в нечётное симплектическое суперпространство дополнительную структуру-форму объёма. Однако наипростейший возникающий инвариантный объект этой структуры оказывается полуплотностью, зависящей от вторых производных, определённой на поверхностях коразмерности 1|1, и соответствующая ей плотность зануляется. (см. [33],[29] и [32].)

С другой стороны нечётная симплектическая геометрия более канонична

хНичего подобного не случается в римановой геометрии. Например,кривизна является препятствием к 'уплощению' к виду (10) римановой метрики.

чем чётная симплектическая геометрия. В пользу этого говорят два факта:

• Для произвольного многообразия М супермногообразие ПТ*М обладает канонической нечётной симплектической структурой также как и в классической математике для произвольного многообразия М супермногообразие Т*М обладает канонической симплектической структурой; (см. Приложение 5.5). Более того можно доказать, что любое нечётное симплектическое супермногообразие Е симплектоморфно супермногообразию ПТ*М, где М-подстилающее многообразие Е.

• Если на супермногообразии заданы чётная симплектическая структура и нечётная симплектическая структура, то алгебра векторных полей, которые гамильтоновы по отношению к этим обоим структурам конечномерна. Причина конечномерности, жёсткости этой структуры удивительно напоминают конечномерность алгебры изометрий римановой метрики.

С другой стороны суперматематика не снимает разделительной черты между римановой геометрией и симплектической геометрией. Теорема Дарбу также выполняется в суперматематике, равно как и конечномерность изомет-рий римановой структуры.

Теорема Дарбу для чётной 2-формы утверждает, что существуют локальные координаты (р,;, д1,9с), 1,3 = 1,.. . р, а = 1,... д в которых эта невырожденная замкнутая 2-форма равна

п

Ч

и =

а 1 \°а ±1).

а=1

ей соответствует чётная невырожденная скобка Пуассона

п

{/(х,9),д(х,9)} о = £(

!=1 \

+

а=1

Теорема Дарбу для нечётной 2-формы утверждает, что существуют локальные координаты (pi, qj, ва) в которых эта невырожденная замкнутая 2-форма равна

m

и = ^^ dOidxi,

¿=1

ей соответствует нечётная невырожденная скобка Пуассона

{/(х,е),9(х,е)} = ± ( « + (-1)"' « ) , (14)

i=1 i i

Тот факт, что и в четной и в нечётной геометрии теорема Дарбу выполняется означает, что скудность геометрии не исчезает. Поэтому наличие оператора второго порядка (9) в нечётной симплектической геометрии является странным фактом. И это усугубляется тем обстоятельством, что оператор (9) появился не в 'чистой' математике, а в теоретической физике: в 1981 году в журнале Phys.Letters появилась коротенькая статья [16] за подписью И. Баталина и П. Вилковыского: Batalin,I.A., Vilkovisky,G.A.: Gauge algebra and quantization. Phys.Lett. 102B pp.27-31 (1981). В этой статье рассматривался лагранжевый формализм квантования калибровочных полей в наиболее общей ситуации; Что это такое?

Взаимодействия в природе управляются калибровочными теориями. Калибровочные теории инвариантны относительно локальных преобразований. Конечно, можно легко исключить степени свободы, связанные с локальными симметриями, однако это нарушает ковариантность теории.

Баталин и Вилковыский в работе [16] предложили самый общий способ квантования лагранжиана любой системы. Их формализм был построен в терминах нечётной симплектической геометрии . Вкратце изложим его некоторые аспекты по [28]. Пусть E это пространство всех полей и действие описывается функционалом

S = S(И), </ е E.

Рассмотрим

" = К? = »• (15)

классические уравнения, которые определяют пространство М^ стационарных точек ('ложбинку') (конфигураций полей) функции Б(рл) (функционала 5 (ра(х))).

М8Ь = {</ : ^а(^)=0} . (16)

Мы говорим, что действие невырождено, если

д^^ ( ) д 2 5

согапк ^В \Мл = 0 или \tost = 0. (17)

В общем случае если условие (17) не выполняется (например для калибровочных полей), то теория вырождена.

(Мы используем язык де Витта конденсированных обозначений. Индексы А и а пробегают дискретные и непрерывные индексы [6]. 2)

Пусть {Иа = Я^^дл} это набор векторных полей-симметрий теории:

<Тл = 0 (18)

то есть Б(ц)л + 5ц)л) — Б(^л) = 0 для инфинитезимальных вариаций 5^л =

5^аЯл которые не зануляются на массовой оболочке

= 0 .

Соотношения (18) являются тождествами Нётер второго рода (связанными с локальными симметриями). [Б(^)-это локальный функционал:

Б(</) = / С(<ра(х), ддХ, • • • )(4х (А = (а, х*))

2На этом языке поле это точка в Е, и функционал действия это просто функция на Е. Вариацион-

ная производная функционала ^^(у)^ это просто ^щрт. Выражения, имеющие вид § в8(^ )П<р (континуальный интеграл) формальны. Все рассмотрения, проводимые на этом языке имеют смысл лишь в конечномерии. А то что происходит в реальности (в бесконечномерии) нуждается в специальной интерпретации основанном на физике. Следует отметить. что серьёзным недостатком языка конденсированных обозначений является то. что на этом языке стирается различие между локальными и нелокальными

функционалами.

Глобальные симметрии (если 6^ ме зависит от on не приводят к тождествам на уравнениях движений (см. подробнее в [6]. )

Для простоты глобальные симметрии не рассматриваются.: предполагается, что если теория не является вырожденной, то

dim Mst = 0 (19)

для стационарных точек.

Конечно, соотношение (19) надо понимать в следующем смысле: Оно следует из соотношения (17) только в случае мы рассмотрим решения классических уравнений движения удовлетворяющих начальным условиям, которые исключают глобальные симметрии.

Рассмотрим континуальный интеграл

Z(J) = J e*S(20)

который является производящим функционалом функций Грина теории. В случае если соотношения (17) и (19) выполняются (например для некалибровочной теории) интеграл (20) может быть подсчитан по теории возмущений в степенях по h выделением вклада в Гауссов интеграл 3 Это соответствует разложению Sв окрестности стационарных точек. В случае калибровочной теории стационарная точка превращается в 'ложбинку' стационарных точек, так как классическое действие Sкалибровочной теории, инвариантно относительно локальных симметрий. Стационарная точка переходит в ложбинку стационарных точек, получаемых из исходной калибровочными преобразованиями. Для выделения локального функционала для которого можно строить фейнмановскую диаграмматику испольуется специальная техника, связанная с духами. (см. ниже (30))

3 используя формулу

Г N

dNx П 2

Vdet A где A оператор в RN.

Легко заметить, что векторные поля

ЯА = Еав Тв

где Еав это произвольный антисимметрический тензор

Еав = -Ева . (21)

очевидно удовлетворяет условию (18), но зануляется на множестве М^— это так называемые симметрии исчезающие на массовой оболочке. 4

Видно, что если два векторных поля-симметрии, Т и Т удовлетворяют соотношению (18) и совпадают на массовой оболочке (на М^), то существует Еав, удовлетворяющий (21) такой, что

ТА - ТА = ЕавТВ . (22)

Для простоты положим, что набор симметрий полон:

^ ХаКа « 0 ^ Уа Ла « 0

а

и

УТА : ^ ТаТА = 0 ^ ТА « ^ Ла^А.

Аа

Такой набор {Я^А} векторных полей назовём базисом симметрий теории; при этом "количество"симметрий равно размерности пространства М^ стационарных точек.

Полезно представить эти рассмотрения в виде следующей точной последовательности

0 ^ Г ^ Е ^ В ^ 0 (23)

где Г это пространство симметрий исчезающих на массовой оболочке (на М^) , Е это пространство всех векторных полей, удовлетворяющих условию

4Мы обычно опускаем знаковые факторы и пишем формулы для случая бозонов. Например в этой формуле нужно добавить знаковый фактор (-1)р(а)р(б)

(18) (пространство всех симметрий) и

B = E/F

B это пространство симметрий классической теории. E и F модули над алгеброй функций на E. Отметим. что последовательность

0 ^ F ^ E ^ B ^ 0

часто возникает в теории связей, в теории калибровочных полей.

Тот факт что пространство, которое имеет физический смысл, и пространство в котором удобно работать являются разными пространствами E и B, является причиной по которой в теории возникают духи (ghosts) (см. [49],[23],[24], [25]).

Набор классов эквивалентности {[Ra]} (по отношению к точной после-дователюности (23)) образует базис в B, и {Ra} это представители этого базиса в E. Легко видеть,что из соотношения (18) следует, что коммутатор симметрий есть симметрия тоже. Значит

[Ra, Re ]= R + EAB fb (24)

В случае если в (24)

eAB = 0

то такая алгебра симметрий называется замкнутой алгеброй (алгебра симмет-рий вне массовой оболочки). В противоположном случае алгебра симметрий называется 'открытой алгеброй'.

Конечно, эти определения зависят от выбора базиса. Заменой

Иа ^ + еАВ ТВ

где Е^ антисимметрично (см. (21) мы меняем базис симметрий, и в принципе мы можем придти таким образом к абелеву базису симметрий. Конечно в

случае абелева базиса всё просто: в этом случае калибровочные степени свободы легко извлекаются из континуального интеграла (20)5. Лёгкость с которой мы перешли к абелеву базису обманчива: дело в том что мы позволили себе делать нелокальные преобразования (см. сноску на стр. 10). Авторы работы [16] поняли, и это очень важно, что нечётная симплектическая геометрия и формализм полей и антиполей являются тем орудием при помощи которого можно проводить преобразования от локальных функционалах к нелокальным. [см. работу [17] в которой было подробно разъяснены результаты работы [16]]. В связи с этим ими был предложен следуюший план действий:

Пусть S = S(^-действие вырожденной теории, {RoJ-базис симметрий. Пусть уравнения

Фа = 0

определяют поверхность Ф в пространстве E полей, так что эта поверхность задаёт калибровочные условия: то есть симметрии {Ra} трансверсальны поверхности стационарных точек. Для того чтобы редуцировать интеграл

Z =f e^DV (DV = П (25)

A

к интегралу на поверхности Ф рассмотрим согласно [16] следующую конструкцию:

Пусть Ee пространство с координатами

ФА = (</,ca,ve ,Аа)

где ca, ve это духи , соответствующие симметриям Ra и Аа-множители Лагран-жа, соответствующие калибровочным условиям Фа. Чётность дополнительных полей:

p(ca) = p(Va) = p(Aa) + 1 = p(Ra) + 1.

5В случае если базис симметрий составляет алгебру Ли: (t^ = const, E = 0 в соотношении (24)) мы работаем с интегралом (20), используя известный трюк Фаддеева-Попова.

Теперь введём пространство ПТ*Ее с координатами (ФА, ФА) где Ф* имеют чётность противоположную чётности Ф:

р(ФА)= Р(Фа) + 1.

В пространстве полей и антиполей определим невырожденную нечётную скобку Пуассона

и Д-оператор

^ = ^ Ц + (-!)-' ^ ^ (26)

Д^ = — (27)

оФдФА 1 ;

Затем мы определяем мастер-действие, функцию 5 (Ф, Ф*) удовлетворяющую уравнению

5 1

Деж = 0 ^ + - {5,5} = 0 (28)

2

или классически

{5,5} = 0

и начальным условиям:

2

5|ф.=О = 5((), 1ФА=О = ЯА, 5(Ф,Ф*) = V*вЛв + 5(Фтгп,Ф^) (29)

то есть

5 = 5((Л с, (*,с*) + V*аЛа = 5((А) + + • • • + V*аЛа .

(Зависимость 5(Ф, Ф*) от полей (Л, V, Л*, V*) тривиальна,) Уравнение (28) называется 'мастер-уравнением'. Можно показать, что мастер-уравнение с начальными условиями (29) имеет единственное решение (см. [18]). Фиксации калибровки отвечает 'калибровочный фермион'

Ф = V 16

И наконец статистическая сумма (25) приводится к виду

2' = [ дФ\

фл — (30)

/ Л

л

Замене калибровки соответствует замена калибровочного фермиона Ф. Стат-сумма (30) не зависит от выбора Ф. [Это утверждение о независимости стат-суммы от калибровки.] В частном случае когда симметрии Иа образуют алгебру Ли, то

5 = Б (ф) + саЯл^л + 1 ^ с*асв су + V *а\а

и мы приходим к трюку Фаддеева-Попова.

Мы вкратце изложили формализм Баталина-Вилковыского в котором возникает нечётная симплектическая геометрия (в формуле (26)) и оператор второго порядка (9) (в формуле (27)). Они будут являться основным предметом исследований в этой диссертации.

0.2 Содержание диссертации и основные результаты

Представленная работа является исследованием в области геометрии и математической физики. Целью работы является построение и исследование нечетных операторов Лапласа в формализме Баталина- Вилковыского.

Диссертация состоит из введения, четырех основных глав и приложений. Во введении изложена история вопроса, обоснована актуальность темы диссертации и сформулированы ее основные результаты.

В первой главе построен инвариант нечетных канонических преобразований суперпространства Еп\п полуплотность, квадрат которой равен нулю.

Во второй главе диссертации вводится инвариантная конструкция для нечётного оператора Лапласа на функциях. Кроме этого, рассматривается задача о векторных полях, которые являются одновременно гамильтоновы-ми для нечетной и четной симплектических структур. Доказывается, что размерность этого пространства конечна. Затем исследуется алгебра векторных

полей, которые являются гамильтоновыми по отношению к каноническим четным и нечетным симплектическим структурам.

В третьей главе строится канонический оператор Лапласа на полуплотностях в нечётном симплектическом супермногообразии. Исследуется структура нечётных канонических преобразований Вводится понятие замкнутой формы и мастер-уравнение Баталина-Вилковыского формулируется как условие замкнутости соответствующей полуплотности. Исследуется связь с дифференциальных форм на лагранжевых поверхностях с замкнутыми полуплотностями.

В четвертой главе исследуется задача о самосопряжённом операторе Лапласа, действующем на полуплотностях. Каждому пуассонову многообразию сопоставляется модулярное векторное поле. Приводятся различные примеры вычислений классов модулярных векторных полей. В конце данной главы приводится пример нечётного пуассонова супермногообразия с нетривиальным модулярным классом.

К основным результатам диссертации, которые выносятся на защиту являются следующие:

1. Построена полуплотность, инвариант преобразований, сохраняющих нечетную симплектическую структуру и форму объема.

2. На нечётном симплектическом супермногообразии построен инвариантный оператор Лапласа Др (на функциях), зависящий от формы объёма.

3. Сформулирован и доказан результат о конечномерности пространства векторных полей, сохраняющих две симплектические структуры разной четности.

4. На нечётном симплектическом супермногообразии введено понятие канонического оператора Лапласа Д на полуплотностях. Этот оператор не за-висясит от формы объёма.

5. Изучается структура нечётных канонических преобразований и дока-

зывается, что произвольное нечётное симплектическое супермногообразие Е симплектоморфно ПТ*М. где М подстилающее многообразие супермногообразия Е.

6. На основании анализа канонического оператора на полуплотностях введен альтернативный метод построения инвариантных полуплотностей (см. пункт 1).

7. Объясняется геометрический смысл модулярного векторного поля и приводится пример нечетного пуассонова многообразия с нетривиальным модулярным классом.

Диссертация представляет собой законченное научное исследование по актуальным вопросам современной математики. Методы исследования могут быть отнесены к дифференциальной геометрии, исследованиям по суперматематике и математической физике.

Основные результаты диссертации опубликованы в тринадцати работах, [27], [28], [29], [31], [32], [33], [36], [37], [38], [39], [40], [41] и двух неопубликованных препринтах, в препринте [35] и в препринте [30] 6 из которых восемь работ с соавторами (шесть работ в соавторстве с моим аспирантом и учеником А. Нерсесяном и одна работа с моим аспирантом-учеником в Манчестере Матью Педди).

0.3 Благодарности

Автор диссертации бесконечно благодарен своему Учителю Альберту Соломоновичу Шварцу. Его роль в том, что я стал математиком огромна.

Самую лучшую свою работу о полуплотностях я написал в Манчесте-ре,активно обсуждая всё это с Фёдором Вороновым моим другом и коллегой, После этого мы сделали с Федей три-четыре достаточно хороших работ, хотя и мои главные результаты о БУ геометрии (конструкция нечётного операто-

6 Статья по препринту

ра Лапласа на функциях и затем на полуплотностях) были сделаны до этих работ с Федей. Я физик по образованию и, конечно, я много занимался самообразованием, но до общения с Федей это происходило на качественно более низком уровне. Если кто-то, когда-то, где-то воспринимает меня как математика, то в этом роль Феди неоценима. Я бесконечно благодарен Виктору Матвеевичу Бухштаберу, математику и человеку от которого я многому научился. И, конечно, моим друзьям Рубену Мкртчяну и Вагану Авакяну за веру и поддержку.

В заключении я хочу выразить благодарность академику Сергею Петровичу Новикову. Идея главного результата диссертации о каноническом операторе на полуплотностях была осознана во время его семинара под его жёстким прессингом.

Эту диссертацию я посвящаю своим родителям.

1 Инварианты нечётной симплектической структуры

Инварианты чётной как и нечётной симплектической геометрии определяются как инварианты преобразований, сохраняющие чётную, соответственно нечётную замкнутую и невырожденную 2-форму определяющую эту структуру: в обеих случаях в окрестности любой точки можно выбрать специальные координаты (координаты Дарбу) в которых скобка Пуассона, соответствующая симплектической структуре имеет канонический вид. Однако тут разительное сходство пропадает. В чётном случае удатся провести почти прямолинейное обобщение результатов обычной математики, так как, несмотря на то, что 2-форма определяющая структуру, больше не является объектом интегрирования, но выполняется теорема Лиувилля: чётные симплектические преобразования сохраняют форму объёма, но это не так для нечётной структуры.

В обычной симплектической геометрии хорошо известен инвариант Пуанкаре-Картана — интегральный инвариант канонических преобразований [1], [4]. В 1947 году Ли-Хуа-Чжень доказал теорему о единственности этого инварианта [50]. Как известно в суперматематике симплектическая структура может быть чётной или нечётной. В работе [34] был построен супераналог для чётной симплектической структуры и исследован вопрос о его единственности. В этой главе мы исследуем этот вопрос для нечётной симплектической структуры. Мы вначале определим инварианты чётной и нечётной симплек-тических структур, затем напомним вкратце результаты и об инвариантах в обычной симплектической геометрии и об инвариантах чётной симплек-тической структуры, Затем мы построим и изучим интегральные объекты, инвариантные относительно нечётной симплектической структуры. В качестве таких объектов мы рассмотрим инвариантные плотности произвольного веса. Мы проведём анализ этих объектов, и в частности в параграфе 1.4.1 исследуем вопрос о единственности. Затем в главе 3 мы ещё раз вернёмся к

этому вопросу, написав формулу для инвариантной плотности в супермногообразии с нечётной симплектической структурой.

1.1 Чётная и нечётная симплектические структуры. Необходимые определения

В этом параграфе мы дадим необходимые определения чётных и нечётных симплектических суперпространств и супермногообразий, канонических преобразований, координат Дарбу, и.т.д.

Пусть E2M|n вещественное линейное суперпространство с координатами ), где i = 1,..., M, j = 1,... N. жг чётные координаты, и öj нечетные координаты

Чётные канонические преобразования суперпространства E2M|N являются преобразования, которые сохраняют чётную невырожденную 2-форму

M N

= ^ dx* Л dxi+M + ^ (d6j)2 = ±1. (31)

i=i j-i

где {е^} определяет сигнатуру формы в фермионном секторе.

Нечётные канонические преобразования суперпространства EM|м являются преобразования, которые сохраняют нечётную невырожденную 2-форму

м

= ^ dxW^ (32)

¿=1

Чётной симплектической структуре (31) соответствует чётная невырожденная скобка Пуассона

{f(x,ö),g(x,ö)}0 = £ ^"зх+м - "öXi+M—dx^J +

¿=1 4 x

(-i)P(/) (33)

¿=1

и нечётной симплектической структуре (32) соответствует нечётная невырожденная скобка Пуассона7

{/(Х,0),д(Х,0)} = £ (+ >) , (34)

г=1 ^ '

где как всегда р(/)-чётность функции / (например р(хг) =0 и р(в^) = 1.)

Чётное (нечётное) симплектическое супермногообразие, это супермногообразие, оснащённое невырожденной замкнутой дифференциальной чётной (нечётной) 2-формой.

Замечание 1.1. В нашем тексте мы в основном будем рассматривать только нечётную симплектическую структуру8, соответственно мы будем в основном рассматривать только нечётную скобку Пуассона. Соответственно, все объекты, по умолчанию, будут полагаться нечётными если не оговорено противное.

Отметим, что в (М)-мерном суперпространстве Емчётная 2-форма невырождена лишь в случае если М чётно, и нечётная 2-форма невырождена лишь в случае если М = N .Из этих локальных утверждений следует, что чётное симплектическое супермногообразие имеет размерность (2р|д) и нечётное симплектическое супермногообразие имеет размерность (ш|ш).

Список литературы диссертационного исследования доктор наук Худавердян Оганес Мкртычевич, 2022 год

6 Библиография

[1] Арнольд В.И. Математические методы классической механики.- M.: "Наука". 1979.-432 стр.

[2] Ф.А.Березин: Введение в суперанализ (Расширенны:й вариант книги 'Введение в анализ с антикоммутирующими переменныму' под редакцией А.А. Кириллова, МГУ (1983).) Редакция Д. Лейтеса ,(1987).

[3] Гайдук,А.В., Худавердян,О.М., Шварц А.С: Интегрирование по поверхностям в суперпространстве ТМФ, 52, 375-383, (1982).

[4] Гантмахер Ф.Р. Лекции по аналитической механике.--М.: "Физмат-гиз 1960.

[5] Гийемин В., Стернберг S., Геометрические асимптоты, часть IV (перевод с английского)

[6] Брайс Девитт Динамическая теория групп и полей. Перевод с английского. Москва, 'Наука', 1987

[7] Ш. Кобаяси Труппы преобразований в дифференциальной геометрии. Перевод с английского Сабинина. Москва, 'Наука', 1986

[8] Лейтес Д,А.: Новые супералгебры Ли и механика.. Докл. АН СССР, 236, 804-807, (1977).

[9] ЛеИеъ^.К.: Теория супермногообразий. Карельский филиал АН СССР (1983).

[10] Овсиенко , В. и Табачников С.: Проективная дифференциальная геометрия. Projective Differential Geometry Old and New. От производной Шварца к когомологиям диффеоморфизмов групп. 2005

[11] О.М. Худавердян Мультипликативные и аддитивные функционалы; их роль в квантовой теории поля.- Диссертация на соискание степени кандидата физ-мат наук, Москва, 1982 г., МИФИ, УДК 530.145, стр. 90-98.

[12] Baranov,M.A., Schwarz, A.S.: Characteristic Classes of Supergauge Fields. Funkts. Analiz i ego pril., 18, n.2, 53-54, (1984); Cohomologies of Supermanifolds. Funkts. analiz i ego pril. 18, n.3, 69-70, (1984).

[13] Batalin, I.A. and Bering, K.: Odd scalar curvature in field-antifield formalism. J. Math. Phys, 49, 1-22, 033515, (2008).

[14] Batalin, I.A. and Bering, K.: Odd scalar curvature in anti-Poisson geometry. Phys. Lett. B, 663(1-2), 132-135, (2008).

[15] I.A. Batalin, I.V. Tyutin, "On Possible Generalization of Field-Antifield FormalismInt.J.Mod.Phys., A8, 2333, (1993);

[16] Batalin,I.A., Vilkovisky,G.A.: Gauge algebra and Quantization. Phys.Lett., 102B, 27-31, (1981).

[17] Batalin,I.A., Vilkovisky,G.A.: Closure of the Gauge Algebra, Generalized Lie Equations and Feynman Rules. Nucl.Phys. B234, 106-124, (1984).

[18] Batalin,I.A, Vilkovisky,G.A.: Existence Theorem for gauge algebra. J.Math.Phys. 26 pp.172-194 (1985)

[19] Bering, K.: A note on semidensities in antisymplectic geometry. J. Math. Phys., 47, 1-9, 123513, (2006).

[20] Bering, K.: Semidensities, second-class constraints, and conversion in antiPoisson geometry. J. Math. Phys., 49(4), 043516, 31, (2008).

[21] Bernstein,J.N., Leites, D.A.: Integral forms and the Stokes formula on supermanifolds. Funkts. Analiz i ego pril. 11, n.1, 55-56, (1977); How to integrate differential forms on supermanifolds. Funkts.. Analiz i ego pril. 11 No.3, 70-71, (1977).

[22] C.Buttin -C.R.Acad.Sci.Paris, Ser. A-B,269 A-87, (1969)

[23] Dubois-Violette,M.: Systems dynamiques contraints: L'approche homologique Ann. Inst. Fourier, 37,4, pp.45-57, (1987)

[24] Fish,J.M.L., Henneaux M.: Homological perturbation theory and the algebraic structure of the antifield-antibracket formalism for gauge theories. Comm.Math.Phys. 128 pp. 627-639 (1990).

[25] Henneaux.,M.: Space-time locality of the BRST formalism. Comm. Math. Phys. 140, pp.1-13 (1991).

[26] Hitchin, N.J., Segal, G.B. and Ward, R.S.: Integrable systems. The Clarendon Press. Oxford Univ, Univ.Press, New-York, (1999).

[27] O.M. Khudaverdian. Geometry of Superspace with Even and Odd Brackets. J. Math. Phys. v. 32 (1991) p. 1934-1937 (Preprint of the Geneva University, UGVA-DPT 1989/05-613).

[28] O.M. Khudaverdian. Batalin-Vilkovisky Formalism and Odd Symplectic Geometry. In: Proceedings of International Workshop "Geometry and Integrable Systems P.N.Pyatov and S.N.Solodukhin, eds. Word Scientific Publishing Co., 1996, p. 144-181.

[29] O.M. Khudaverdian. Odd Invariant Semidensity and Divergence-like

Operators on Odd Symplectic Superspace. Comm. Math. Phys., v. 198 (1998), p. 591-606.

[30] O.M. Khudaverdian. Delta-Operator on Semidensities and Integral Invariants in the Batalin-Vilkovisky Geometry. Preprint of Max-PlanckInstitut für Mathematik, MPI-135 (1999), Bonn.

[31] H.M. Khudaverdian Laplacians in odd symplectic geometry.— In Quantization, Poisson Brackets and Beyond, Theodore Voronov, ed., Contemp. Math., Vol. 315, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2002, pp. 199-212.

[32] H.M. Khudaverdian. Semidensities on odd symplectic supermanifold., Comm. Math. Phys., v. 247 (2004), pp. 353-390 (preprint published in 2001 ( arXiv:math.DG/0012256)

[33] O.M. Khudaverdian, R.L. Mkrtchian. Integral Invariants of Buttin Bracket. Lett. Math. Phys. v. 18 (1989), p. 229-234 (Preprint EFI-918-69-86-Yerevan (1986)).

[34] O.M. Khudaverdian, A.S. Schwarz, Yu.S. Tyupkin. Integral invariants for Supercanonical Transformations. Lett. Math. Phys., v. 5 (1981), p. 517-522.

[35] O.M. Khudaverdian, A.P. Nersessian. Formulation of Hamiltonian Mechanics with Even and Odd Poisson Bracket. Preprint EFT 1031-81(87), Yerevan (1987).

[36] O.M. Khudaverdian, A.P. Nersessian. Superspaces with Odd and Even Canonical Two-Forms and the Strange Superalgebra. Izv. Acad. Nauk Arm. SSR, v. 24, No. 6, (1989) p. 288-294 (transl. into English: Soviet Journal of Contemp. Phys., v. 24 No.6, p. 22-27).

[37] O.M. Khudaverdian, A.P. Nersessian. The Supergeneralization of CP(N) as

Reduced Phase Space of Super-Hamiltonian Systems. Izv. Acad. Nauk Arm. SSR, v. 25, No. 6, (1990) p. 330-337 (transl. into English: Soviet Journal of Contemp. Phys., v. 25 No.6.)

[38] O.M. Khudaverdian, A.P. Nersessian. Canonical Poisson Brackets of Different Grading and Strange Superalgebras. J. Math. Phys. v. 32 (1991) p. 1938-1941 (Preprint of the Geneva University, UGVA-DPT 1989/05-614).

[39] O.M. Khudaverdian, A.P. Nersessian. Even and Odd Symplectic and Kahlerian Structures on Projective Superspaces. J. Math. Phys. v. 34 (1993), p. 5533-5548, (Preprint JINR, E2-92-411)

[40] O.M. Khudaverdian, A.P. Nersessian. On Geometry of Batalin-Vilkovisky Formalism. Mod. Phys. Lett. A, v. 8 (1993), No. 25, p. 2377-2385.

[41] O.M. Khudaverdian, A.P. Nersessian. Batalin-Vilkovisky Formalism and Integration Theory on Manifolds. J. Math. Phys., v. 37 (1996), p. 37133724.

[42] H.M.Khudaverdian, M.Peddie "Odd laplacians; geometrical meaning of potential, and modular class", Lett. in Math. Phys., 107,7, pp. 1195-1214 (2017), math-arXive 1509-05586

[43] Khudaverdian, H.M. and Voronov, Th.: Geometric constructions on algebra of densities. In Topology, Geometry, Integrable Systems, and Mathematical Physics: Novikov's Seminar 2012-2014 eds. Buchstaber, V. M., Dubrovin, B. A., and Krichever, I. M., AMS Translations, Ser. 2, 234, 221-243, Providence, RI, 2014, math-arXiv:1310.0784.

[44] H.M. Khudaverdian, T.Voronov On Odd Laplace operators.. Lett. Math. Phys. 62(2002), 127-142

[45] H.M. Khudaverdian, T.Voronov On odd Laplace operators. II. In book:

Geometry, Topology and Mathematical Physics. S. P. Novikov's seminar: 2002 - 2003, V. M. Buchstaber, I. M. Krichever, eds., Amer. Math. Soc. Transi. (2), Vol. 212, 2004, pp.179-205

[46] H.M. Khudaverdian, T.Voronov. Differential forms and odd symplectic geometry. Amer. Math. Soc. Transl (2) Vol 224, 2008 pp.159-171

[47] Khudaverdian, H.M. and Voronov, Th.: Geometry of differential operators of second order, the algebra of densities, and groupoids. J. Geom. Phys. 64, 31, (2013). (See also preprint of Max-Planck-Institut for Math., 73, (2011).)

[48] Kosmann-Schwarzbach, Y. and Monterde, J.: Divergence operators and odd Poisson brackets. Ann. Inst. Fourier (Grenoble) 52,(2),419-456, 2002.

[49] Kostant,B., Sternberg,S.: Symplectic reduction, B.R.S. cohomology and infinite-dimensional Clifford algebras. Annals of Physics 176, pp.49-113, (1987)

[50] Lee Hwa-Chung. Invariants of Hamiltonian systems and application to the theory of canonical transformations.--Proc.Royal Soc., 1947, v.62, pp/237-260.

[51] Schwarz,A.S.: Supergravity, Complex Geometry and G-structures. Commun. Math. Phys., 87, 37-63, (1982).

[52] Schwarz,A.S.: Geometry of Batalin-Vilkovisky Formalism. Commun. Math. Phys., 155, 249-260, (1993).

[53] P.Severa , On the origin of the BV operator on an odd symplectic supermanifold. Lett. Math. Phys., 78(1), 55-59. 2006, arXiv: math DG/0506331

[54] Shander V.N. DAN Bulgaria, 36, 309, (1983)

[55] Voronov, Th, Th, "Geometric Integration Thoery on supermanifolds"-book, second edition, 2014

[56] Voronov,Th.Th., Zorich,A.V.: Complexes of forms on supermanifold. Funkts. Analiz i ego pril., 20, n2, 58-59, (1986); Integral transformations of pseudodifferential forms. Usp. Mat.Nauk, 41, n.6, 167-168, (1986).

[57] Weinstein, A: The local structure of Poisson manifolds. J. Diff. Geom., 18(3), 523-557, (1983)

[58] Weinstein, A.: The modular automorphism group of a Poisson manifold. J. Geom. Phys, 23(3-4), 379-394, 1997.

Список публикаций в диссертации