Лагранжевы структуры, симметрии и законы сохранения в теории поля тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат физико-математических наук Капарулин, Дмитрий Сергеевич

• Капарулин, Дмитрий Сергеевич
• кандидат физико-математических наук
• 2012

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Капарулин, Дмитрий Сергеевич

Введение.г.

Глава 1. Лагранжев якорь в теории поля.

Глава 2. Теорема Нетер для невариационных калибровочных теорий

2.1 Классические поля, локальные функции и локальные функционалы

2.2 Симметрии, тождества и законы сохранения.

2.3 Лагранжев якорь.

2.4 Собственные симметрии и теорема. Нетер.

Глава 3. Локальные БРСТ-когомологии невариационных калибровочных систем.

3.1 Невариационный БРСТ-комплекс.

3.2 Некоторые факты и конструкции гомологической алгебры

3.2.1 Точная последовательность для относительных групп когомологий.

3.2.2 Спектральная последовательность фильтрованных комплексов.

3.2.3 ¿оо-алгебра.

3.3 Общие теоремы о локальных БРСТ-когомологиях.

3.4 Интерпретация групп когомологий Щ+1(8\(1)о'.

3.4.1 Пространство характеристик Н^1(6\(1)ол.

3.4.2 Пространство глобальных симметрий

3.4.3 Пространство лагранжевых структур Щ(8.

3.5 Мультипликативные структуры в когомологиях.

3.6 Существование и единственность локального БРСТ-заряда для локальной калибровочной теории общего вида.

Глава 4. Лагранжев якорь, симметрии и законы сохранения в конкретных моделях теории поля.

4.1 Поля р-форм.

4.2 Самодуальные поля р-форм в размерности Ак + 2.

4.3 Свободные безмассовые поля спина в > 0.

4.4 Развернутое представление безмассового скалярного поля

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Лагранжевы структуры, симметрии и законы сохранения в теории поля»

Квантовая теория поля является одним из фундаментальных разделов современной теоретической физики. Помимо описания собственно теории физических полей, теория поля составляет теоретическую основу физики элементарных частиц, физики атомного ядра, астрофизики и космологии, и имеет важное значение для многих других областей современной физики от физики конденсированного состояния до физики плазмы. В основе формализма современной квантовой теории поля лежит ряд принципов, среди которых отмстим вариационный принцип, принцип калибровочной симметрии и принцип локальности.

Вариационный принцип предполагает, что полевые уравнения являются экстремалями некоторого функционала действия. Одним из первых в историческом порядке, и возможно, важнейшим следствием этого условия является взаимосвязь между симметриями действия и законами сохранения |1|. Комплекс аспектов, связанных с соответствием между симметриями и законами сохранения в настоящее время является разделом теории поля, объединенным под общим названием теоремы Нетер [2]. В 40-е и 50-е гг. XX века, вариационный принцип послужил основой для метода квантования, использующего концепцию континуального интеграла ¡3-6]. Дальнейшее развитие этого метода связано с работами Фадеева и Попова |7|, где было получено выражение для квантовой амплитуды переходов в теории Янга-Миллса, в виде континуального интеграла, вовлекающего наряду с исходными полями дополнительные нефизические поля с фермионпой статистикой - духи Фаддсева-Попова. Этот результат создал основу для построения квантовой теории калибровочных полей. При этом, как общеизвестно, именно калибровочные теории поля позволили создать единую теорию элсктрослабых взаимодействий, являются основой теории сильных взаимодействий и гравитации. Поиски единой теории фундаментальных взаимодействий также ведутся на основе различных моделей с калибровочными симметриями. Дальнейшее развитие методов квантования калибровочных теорий было связано с открытием Бекки, Руэ, Стора и Тютиным (БРСТ) |8-10| глобальной фермионной симметрии, смешивающей калибровочные поля и духи Фадеева-Попова. Открытие БРСТ-симметрии создало предпосылки к разработке методов канонического квантования Баталина-Фрадкина-Вилковыского (11-14| и ковариантного квантования Баталипа-Вилковыского |15-17|, которые составляют основу современных методов квантования полей с калибровочной симметрией |18, 19).

Требование локальности теории поля предполагает, что классическая динамика определяется полевыми уравнениями, являющимися дифференциальными уравнениями в частных производных конечного порядка, а калибровочные преобразования содержат параметры преобразования не более чем с конечным числом производных. Эффективным средством контроля локальности в БРСТ-формализме является теория локальных БРСТ-когомологий |20|. Одним из первых ее результатов следует считать классическую теорему |21], которая доказывает локальность гомологической теории возмущений (22|, обеспечивающей существование и единственность локального мастер-действия [23|. В дальнейшем, было осознано |20, 24], что локальные БРСТ-когомологии содержат всю информацию о классической динамике, в том числе, о физических наблюдаемых, симметриях и законах сохранения, зависимостях калибровочных симмстрий, а также допустимых нелинейных взаимодействиях [25, 26]. В частности, взаимосвязи между упомянутыми физическими характеристиками являются следствиями изоморфизмов между различными группами когомологий. В качестве одного из таких изоморфизмов, который связывает глобальные симметрии и законы сохранения, может рассматриваться когомологическое обобщение теоремы

Нетер |24]. Атгги-пуассонова структура на расширенном конфигурационном пространстве калибровочной теории, введенная Баталиным и Вилковыским [15], задает большое количество разнообразных алгебраических структур па группе локальных БРСТ-когомологий |20). Их частными случаями (27| являются алгебра Ли глобальных симметрии и скобка Дикого |28| сохраняющихся токов. Перечисленные обстоятельства показывают, что в настоящее время БРСТ-теория является эффективным и универсальным методом для исследования принципиальных проблем калибровочных теорий поля, касающихся как классических аспектов теории, таких как симметрии и законы сохранения, так и вопросов квантовой теории.

На современном этапе развития теории поля исследуется ряд моделей, уравнения движения которых не следуют из вариационного принципа. Широко известными примерами таких моделей являются самодуальные уравнения Япга-Миллса, киральные бозоны, уравнения Дональдсона-Уленбека-Яу, различные многомерные конформные теории поля с расширенной суперсимметрией, уравнения Зайберга-Виттена. Отсутствие функционала действия не позволяет применять широкий спектр методов, разработанных для вариационных полевых теорий. В частности, как было отмечено авторами (29, 30] применительно к уравнениям Баргманна-Вигнера, «в этой ситуации нет немедленного нстеровского соответствия между симмстриями и законами сохранения, так как уравнения безмассовых полей спина 5 в терминах спииорного поля не допускают локальной функции Лагранжа». В связи с этим появляется проблема распространения известных методов и результатов лагранжевой теории поля, в частности касающихся связи симметрий и законов сохранения, БРСТ симметрии и квантования, за рамки класса вариационных моделей. Можно также заметить, что выяснение максимально общего класса теорий, для которых существует возможность построения БРСТ-формализма и создания соответствующей квантовой теории, а также существуют взаимосвязи между симметриями и сохраняющимися токами, представляется принципиальным вопросом, значение которого выходит за рамки конкретного, пусть даже значительного, набора нелагранжевых моделей, изучаемых в теории поля в настоящее время.

В работе |31| был предложен общий метод построения БРСТ-дифференциала для необязательно лагранжевой полевой теории. Предложенный БРСТ-диффсрснциал является производящим оператором для соответствующей теории поля. Он несет в себе информацию об уравнениях движения, калибровочных симметриях и их приводимостях, а также всех условиях совместности между ними. При этом, с использованием данного БРСТ-опсратора соответствующая квантовая теория может быть построена тремя эквивалентными методами: вложением динамики в топологическую теорию поля в пространстве на единицу большей размерности |31|, при помощи обобщения уравнения Швингера-Дайсона [32], или вложением в вариационную огментированную теорию в пространстве той же размерности [33|. Общим ключевым элементом всех этих методов является инвариант БРСТ-дифференциала, названный лагранжевой структурой. Лаграпжева структура может рассматриваться как нечетный аналог слабой пуассоновой структуры |34, 35|, которая была введена рапсе для динамических уравнений в контексте проблемы деформационного квантования калибровочных теорий. Следует отметить, что формализм конденсированных обозначений Девитта |36|, использованный в [31—331 не позволял систематически контролировать локальность БРСТ-теории, хотя во всех известных примерах (31—33, 37| гипотеза локальности оказывалась справедливой. Последнее обстоятельство делает актуальным развитие нсвариацонной БРСТ-теории в форме, подразумевающей систематический учет аспектов локальности.

Среди нелагранжевых моделей современной теории поля одними из важнейших последние годы считались уравнения взаимодействующих безмассовых полей высших спинов в форме развернутого представления Васильева ¡38-42]. Задача квантования этой теории до сих пор не решена. Уравнения Васильева, по построению, являются невариационными, и их вариационная формулировка, несмотря на определенные претензии |43], до сих пор неизвестна. С учетом выше сказанного, нахождение лагранжевой структуры могло бы рассматриваться в качестве первого шага для построения самосогласованной квантовой теории полей высших спинов. В этом контексте, следует упомянуть работу |44(, где было показано, что без ограничения общности, любая локальная лагранжева структура может быть выбрана без пространственно-временных производных. Этот результат, однако, оказывается не применим к развернутому представлению, где уравнения движения содержат бесконечное количество вспомогательных полей. Более того, как отмечено автором диссертации в |45|, в стандартной формулировке развернутого представления, содержащей только поля, являющиеся ноль-формами и один-формами, в пространственно-временной размерности 4 и выше, все лагранжевы структуры без производных тривиальны. В результате, вопрос о допустимой нетривиальной лагранжевой структуре для уравнений в форме развернутого представления оставался открытым.

Исходя из вышеописанного контекста и имеющегося круга нерешенных проблем в данной области квантовой теории поля, в диссертации были выбраны следующие цели: обобщить теорему Нетср на случай необязательно вариационных полевых уравнений; разработать теорию локальных БРСТ-когомологий для необязательно вариационных полевых уравнений; выяснить взаимосвязь между группами когомологий, соответствующими симметриям и законам сохранения в необязательно лагранжевых теориях поля; установить необходимые и достаточные условия существования локального БРСТ-заряда; определить допустимый вид лагранжевой структуры в различных формулировках уравнений безмассовых полей высших спинов, а также для уравнений теории поля в форме развернутого представления.

Основной текст диссертации состоит из четырех глав. В главе 1 дается вводное описание основного объекта диссертации - лагранжевой структуры, его свойств и роли в квантовании невариационных теорий. Глава 2 посвящена обобщению теоремы Нетср на случай необязательно вариационных теорий. Центральный результат главы сформулирован в разделе 2.3, где доказано, что лагранжева структура задает корректно определенное отображение из пространства характеристик (законов сохранения) в пространство глобальных симметрий. При этом, как показано в диссертации, в нелагранжевом случае только некоторые симметрии, называемые собственными, могут быть связаны с законами сохранения, в отличие от лагранжевого случая. Теория локальных БРСТ-когомологий развивается в главе 3. В ней классифицируются все неэквивалентные группы локальных БРСТ-когомологий для БРСТ-комплекса вообще говоря нелагранжевой теории поля. Особое внимание уделяется градуированной по/^группе Н^г\б\(Г), однородные элементы которой отождествляются с характеристиками, глобальными симметриями и лагранжевыми структурами. При этом оказывается, что соответствие между симметриями и законами сохранения, установленное в главе 2, может быть естественным образом вложено в алгебру локальных БРСТ-когомологий. Завершающий раздел посвящен проблеме существования и единственности локального БРСТ-заряда. Глава 4 демонстрирует применение общего формализма к конкретным моделям теории поля.

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Капарулин, Дмитрий Сергеевич

Основные результаты, представленные в диссертации, опубликованы в работах [45, 46, 50, 64].

В заключение я хочу выразить глубокую благодарность научным руководителям диссертации Семену Леонидовичу Ляховичу и Алексею Анатольевичу Шарапову за возможность выбора фундаментальной задачи, которая была успешно решена, формирование моих научных взглядов и интересов, непрекращающуюся поддержку на всех этапах работы. Мне также хотелось бы высказать благодарность за всестороннюю поддержку коллективу кафедр квантовой теории поля и теоретической физики Томского государственного университета, и лично заведующему кафедрой квантовой теории поля Владиславу Гавриловичу Багрову. Я благодарен П.О. Казинскому за организацию научного семинара, где докладывались многие результаты диссертации, и критические замечания по работе, а также Е.А. Мосман, без чьих советов и помощи мне было просто не обойтись.

Заключение

Сформулируем основные результаты, полученные в диссертации.

1. Разработана теория локальных БРСТ-когомологий для необязательно вариационных теорий поля. В том числе сформулированы необходимые и достаточные условия существования полного локального БРСТ-заряда. Выявлены все возможные когомологические препятствия к существованию БРСТ-заряда.

2. Выявлены группы локальных БРСТ-когомологий, отвечающие симметриям, законам сохранения (характеристикам) и лагранжевым структурам и установлены взаимосвязи между ними.

3. С использованием концепции лагранжевой структуры дано обобщение теоремы Нетер о связи симметрий с законами сохранения для невариационпьтх уравнений движения. Построено невариационное обобщение скобок Дикого на пространстве сохраняющихся токов.

4. Предложена процедура построения лагранжевой структуры для уравнений в форме развернутого представления, если теория допускала вариационную формулировку до развертывания. Показано, что возникающая лагранжева структура является дифференциальным оператором неограниченно высокого порядка и по имеет эквивалентного представителя с конечным числом производных.

5. Найдены явно ковариаптиые лагранжевы структуры и установлена взаимосвязь между симметриями и законами сохранения для ряда невариационных моделей теории поля: теории антисимметричных тензорных полей в формализме напряженностей; киральных бозонов в различных размерностях пространства; а также для уравнений Баргманна-Вигнера, описывающих динамику безмассовых полей высших спинов.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Капарулин, Дмитрий Сергеевич, 2012 год

1. Noethcr Е. 1.variante Variationsproblcmc // Gott.Nachr. - 1918. - P. 235257.

2. Kosinann-Schwarzbach Y. The Noether theorems: Invariance and conservation laws in the twentieth century, Sources and Studies in the History of Mathematics and Physical Sciences / Y. Kosmann-Schwarzbach Berlin: Springer-Verlag, 2010. - 205 p.

3. Feynmari R.P. Space-time approach to nonrelativistic quantum mechanics // Rev. Mod. Phys. 1948. - V.20, N.2 - P. 367-387.

4. Feynmari R.P. Mathematical formulation of the quantum theory of eectro-magnetic interaction // Phys. Rev. 1950. - V.80, N.3 - P. 440-457.

5. Feynmari R.P. An operator calculus having applications in quantum electrodynamics // Phys. Rev. 1951. - V.84, N.2 - P. 108-128.

6. Попов B.H. Континуальные интегралы в квантовой теории поля и статистической физике / В.Н. Попов М.:Атомиздат, 1976. - 256 с.

7. Fadeev L. Feynman diagrams for the Yang-Mills field / L. Fadeev, V. Popov // Phys. Lett. B. 1967. - V.25. - P. 30-31.

8. Bccchi S. Renormalization of the abelian Higgs-Kibble model / S. Becchi, A. Rouet, R. Stora // Commun. Math. Phys. 1975. - V.42. - P.127-133.

9. Becchi S. Renormalization of gauge theories / S. Becchi, A. Rouet, R. Stora // Ann. Phys. 1976. - V.98. - P.287-321.

10. Batalin I.A. R.elativistic S-inatrix of dynamical systems with boson and fcrniion constraints / I.A. Batalin, G.A. Vilkovisky // Phys. Lett. B. -1977. V.69. - P. 309-312.

11. Batalin I.A. Operator quantization of relativistic dynamical systems subject to first class constraints / I.A. Batalin, E.S. Fradkin // Pliys. Lett. B. 1983. - V.128. - P. 303-308.

12. Batalin I.A. A generalized canonical formalism and quantization of reducible gauge theories / I.A. Batalin and E.S. Fradkin // Phys. Lett. B. -1983. V.122. - P. 157-164.

13. Batalin I.A. Gauge algebra and quantization / I.A. Batalin and G.A. Vilkovisky // Phys. Lett. B. 1981. - V.102. - P.27-31.

14. Batalin I.A. Quantization of gauge theories with linearly dependent generators / I.A. Batalin, G.A. Vilkovisky // Phys. Rev. D. 983. - V.28. - P. 2567-2582.

15. Batalin I.A. Existence theorem for gauge algebra / I.A. Batalin and G.A. Vilkovisky // J. Math. Phys. 1985. - V.26. - P. 172-184.

16. Henneaux M. Quantization of gauge systems / M. Henneaux, C. Teitel-boim. Princeton: Princeton University Press, 1992. - 520 p.

17. Гитман Д.М. Каноническое квантование полей со связями / Д. М. Гитман, И. В. Тютин. М. : Наука , 1986. - 215 с.

18. Barnich G. Local BRST cohomology in gauge theories / G. Barnich, F. Brandt, M. Henneaux // Phys. Rep. 2000. - V.338. - P. 439-569.

19. Henneaux M. Spacetime locality of the BRST formalism / M. Henneaux // Commun. Math. Phys. 1991. - V.140. - P. 1-13.

20. Fisch J.M.L. Homological perturbation theory and the algebraic structure of the antificld-antibracket formalism for gauge theories / J.M.L. Fisch, M. Henneaux // Commun. Math. Phys. 1990. - V.128. - P. 627-640.

21. Fisch J. Existence, Uniqueness And Cohomology Of The Classical BRST Charge With Ghosts Of Ghosts / J. Fisch, M. Henneaux, J. Stashcff, C. Teitelboim // Commuri. Math. Pliys. 1989. - V.120. - P.379-407.

22. Barnich G. Local BRST cohomology in the antificld formalism. I. General theorems / G. Barnich, F. Brandt, M. Henneaux // Comm. Math. Phys.- 1995. V.174. - P. 57-91.

23. Barnich G. Consistent Interactions between Gauge Fields and Local BRST Cohomology : The Example of Yang-Mills Models / G. Barnich, M. Henneaux, R. Tatar // Int.J.Mod.Phys.D. 1994. - V.3. - P.139-144.

24. M. Henneaux, Consistent interactions between gauge fields: The cohomo-logical approach / M. Henneaux // Conternp. Math. 1998. - V.219. - P. 93 - 109.

25. Isomorphisms between the Batalin-Vilkovisky antibracket and the Poisson bracket / G. Barnich, M. Henneaux // J. Math. Phys. 1996. - V.37. - P. 5273-5296.

26. Dickey L.A. Soliton equations and Hamiltonian systems / L.A. Dickey -Singapore: World Scientific, 1991. 420 p. - (Advanced Series in Mathematical Physics, V. 12.)

27. Anco S. Conserved currents of massless fields of spin s > 0 / S. Anco, J. Pohjanpclto // R. Soc. Lond. Proc. Scr. A Math. Phys. Eng. Sci. 2003.- V.459. P. 1215 - 1239.

28. Anco S. Generalized symmetries of massless free fields on Minkowski space / S. Anco, J. Pohjanpclto // SIGMA. 2008. - V.4. - P.004-1-17.

29. Kazinski P.O. Lagrange structure and quantization / P.O. Kazinski, S.L.Lyakhovich, A.A.Sharapov // JHEP.-2005.-V.05,N.07.-P.076-l 41.

30. Lyakhovich S.L. Schwinger-Dyson equation for non-Lagrangian field theory / S.L. Lyakhovich, A.A. Sharapov // JHEP.-2006.-V.06,N.02.-P.007-l-28.

31. Lyakhovich S.L. Quantizing non-Lagrangian gauge theories: An augmentation method /S.L. Lyakhovich, A.A. Sharapov // JHEP. 2007. V.07, N.01. - P.047-1 - 46.

32. Lyakhovich S.L. BRST theory without Harniltonian and Lagrangian / S.L. Lyakhovich, A.A. Sharapov // JHEP. 2005. - V.05, N.03. - P.011-1 - 21.

33. Cattaneo A.S. Relative formality theorem and quantisation of coisotropic submanifolds / A.S. Cattaneo, G. Felder // Adv. in Math. 2007. - V.208.- P. 521-548.

34. DeWitt B. Dynamical theory of groups and fields / B. DeWitt New York:Gordon and Breach, 1965. - 248 p.

35. Lyakhovich S.L Quantization of Donaldson-Uhlenbeck-Yau theory / S.L. Lyakhovich and A.A. Sharapov // Phys. Lett. B. 2007. - V.656. - P. 265-271.

36. Vasiliev M.A. Cubic interactions in extended theories of massless higherspin fields / E.S. Fradkin, M.A. Vasiliev // Nucl.Phys.B. 1987. - V.291.- P. 141-171.

37. Vasiliev M.A. Superalgcbra higher spin arid auxiliary fields /E.S. Fradkin, M.A. Vasiliev // Int.J.Mod.Phys.A. 1988. - V.3. - P. 2983-3010.

38. Vasiliev M.A. Consistent equation for interacting gauge fields of all spins in (3 + l)-dimensions / M.A. Vasiliev // Phys.Lctt.B. 1990. - V.243. -P. 378-382.

39. Vasiliev M.A. Higher spin theories in various dimensions / M.A. Vasiliev // Fortsch. Phys. 2004. - V.54. - P. 702-717.

40. Vasiliev M.A. Actions, charges and off-shell fields in the unfolded dynamics approach / M.A. Vasiliev // Int.J.Math.Mcth.Mod.Phys. 2006. - V.3. -P. 37-80.

41. Boulanger N. An action principle for Vasiliev's four-dimensional higherspin gravity / N. Boulanger, P. Sundell // J.Phys.A. 2011. - V.44. - P. 495402-1-41.

42. Barnich G. A Poincarc lemma for sigrna models of AKSZ type / G. Barnich and M. Grigoriev // ,J. Gcom. Pliys. 2011. - V.61. - P. 663-674.

43. Kaparulin D.S. On Lagrange structure of unfolded field theory / D.S. Ka-parulin, S.L. Lyakhovich and A.A. Sharapov // Int. Л. Mod. Phys. A. -2011. V.26. - P. 1347-1362.

44. Kaparulin D.S. Rigid symmetries and conservation laws in non-Lagrangian field theory / D.S. Kaparulin, S.L. Lyakhovich, A.A. Sharapov // J. Math. Phys. 2010. - V.51. - P. 082902-1 - 22.

45. Olvcr P.J. Application of Lie groups to differential equations / P.J. Olver- New York: Springer-Verlag, 1986. 513 p.

46. Anco S. Direct construction method for conservation laws of partial differential equations. Part II: General treatment / S. Anco, G. Blurnan // EJAM. 2002. - V.13. - P. 567 - 585.

47. Anderson I.M. Introduction to variational bicomplcx, in Mathematical Aspects of Classical Field Theory / I.M. Anderson // Contemp. Math. -1992.- V.132. P. 51 - 73.

48. Kaparulin D.S. Lagrange Anchor and Characteristic Symmetries of Free Massless Fields / D.S. Kaparulin, S.L. Lyakhovich, A.A. Sharapov // SIGMA. 2012. - V.8., No.021. - P. 1-18.

49. Anco S. Direct construction of conservation laws from field equations / S. Anco, G. Bluman // Phys. Rev. Lett. 1997. - V.78. - P. 2869 - 2873.

50. Bluman G. Applications of symmetry methods to partial differential equations /G. Bluman,A.Cheviakov,S. Anco.-New York: Springer, 2010.-398p.

51. Anco S. Direct construction method for conservation laws of partial differential equations. Part I: Examples of conservation law classifications / S. Anco, G. Bluman // EJAM. 2002. - V.13. - P. 545 - 566.

52. Anco S. Classification of local conservation laws of Maxwell's equations / S. Anco, J. Pohjanpelto // Acta Appl. Math.-2001.- V.69.-P. 285-327.

53. Kolar I. Natural operations in differential geometry / I. Kolar, P. Michor,

54. J. Slovak Berlin: Springer-Verlag, 1993. - 434 p. 5G. Saunders D.J. The geometry of jet bundles / D.J. Saunders. - Cambridge: Cambridge University Press,1989. - 304 p.

55. Krasil'shchik I.S. Geometry of jet spaces and nonlinear differential equations / I.S. Krasil'shchik, V.V. Lychagin, A.M. Vinogradov New York: Gordon and Breach, 1986. - 441 p.

56. Bryant R.L. Characteristic cohomology of differential systems I. General theory / R.L. Bryant, P.A. Griffits // J. Am. Math. Soc. -1995. V.8. -P. 507 - 596.

57. Vinogradov A.M. The C-spectral sequence, Lagrange formalism, and conservation laws. I. The linear theory / A.M. Vinogradov // J. Math. Anal. Appl. 1984. -V.100. - P. 1 - 40.

58. Vinogradov A.M. The C-spectral sequence, Lagrange formalism, and conservation laws. I. The nori linear theory / A.M. Vinogradov // J. Math. Anal. Appl. 1984. -V.100. - P. 41 - 129.

59. Maclane S. Homology / S. Maclane Berin-Gottingen-Heidelberg: Springer-Verlag, 1963. - 424 p.

60. Mackenzie K. General theory of Lie groupoids and Lie algebroids / K. Mackenzie Cambridge: Cambridge University Press, 2005. - 540 p.

61. Carinas da Silva A. Geometric models for noncommutative algebras / A. Cannas da Silva, A. Weinstein -Providence: AMS, 1999. 184 p.

62. Kaparulin D.S Local BRST cohomology in (non-)Lagrangian field theory / D.S. Kaparulin, S.L. Lyakhovich A.A. Sharapov // JHEP. 2011. - V.ll., No.09. - P. 006-1 - 34.

63. Dubois-Violette M. Some results on local cohomologics in field theory / M. Dubois-Violette, M. Henncaux, M. Talon, C. Viallet // Phys. Lett. B. -1991.-V.267.-P. 81-87.

64. Voronov Th. Higher derived brackets and liomotopy algebras / Th. Voronov // J. Pure and Appl. Algebra. 2005. - V.202. - P. 133 - 153.

65. Lada T. Introduction to sh Lie algebras for physicists / T. Lada, J. Stasheff // Int. J. Theor. Phys. 1993. - V.32. - P. 1087 - 1103.

66. Retakh V. Lie-Massey brackets and n-homotopically multiplicative maps of differential graded Lie algebras / V. Retakh //J. Pure and Appl. Algebra. -1993. V.89. - P. 217 - 229.

67. Fuchs D. Massey brackets and deformations/ D. Fuchs, L. Lang Weldon // J. Pure and Appl. Algebra. 2001. - V.156. - P. 215 - 229.

68. Barnich G. Local BR,ST cohomology in the antifield formalism. II. Application to Yang-Mills theory / G. Barnich, F. Brandt, M. Henneaux // Comm. Math. Phys. 1995. - V.174. - P. 93-116.

69. Barnich G. First order parent formulation for generic gauge field theories / G. Barnich, M. Grigoriev//JHEP.-2011.-V.ll.,N.01.-P.122-l-36.

70. D'Auria Geometric supergravity in D — 11 and its hidden supergroup / R. D'Auria, P. Fre // Nucl.Phys.B. 1982. - V.201. - P. 101-140.

71. Fre P. Free Differential Algebras, Rhcoriomy, and Pure Spinors / P. Fre, P. A. Grassi // E-print arxiv. Электрон, дан. - Версия от 20.01.2008 -URL: http://arxiv.org/abs/0801.3076.

72. Bryant R.L. Exterior differential systems / R,.L. Bryant, S.S. Chern, R.B. Gardner, H.H. Goldschmidt, P.A. Griffiths, New York:Springer-Verlag, 1991. - 475 p.

73. Alexandrov M. The Geometry of the Master Equation and Topological Quantum Field Theory / M. Alexandrov, M. Kontsevich, A. Schwarz, O. Zaboronsky // Int. J. Mod. Phys. A. 1997. - V.12. - P. 1405-1430.

74. Kaparulin D.S. BRST analysis of general mechanical systems / D.S. Kaparulin, S.L. Lyakhovich, A.A. Sharapov // Архив элетронных препринтов. Электрон, дан. - Корнуэлл, |2012. - URL: http://arxiv.Org/abs/arXiv:1207.0594 (дата обращения 23.08.2012)

75. Lyakhovich S.L. Normal forms and gauge symmetries of local dynamics / S.L. Lyakhovich, A.A. Sharapov // ,1. Math. Pliys. 2009. - V.50. -P.083510-1-34.

76. Marcus N. Field theories that have no manifestly Lorentz invariant formulation / N. Marcus, J.H. Schwarz // Phys. Lett. B. -1982. V.115. - P. Ill - 114.

77. Floreanini R. Selfdual fields as charge density solitons / R. Floreanini, R. Jackiw // Phys. Rev. Lett. 1987. - V.59. - P. 1873 - 1876.

78. Henneaux M. Dynamics of chiral (selfdual) p-forms / M. Hcnneaux, C. Teitelboim // Phys. Lett. B. 1988. - V.206. - P. 650 - 653.

79. McClain B. Covariant quantization of chiral bosons and OSp(l,l-2) symmetry / B. McClain, Y.S. Wu, F.Yu // Nucl. Phys. B. 1990. - V.343. -P. 689 - 704.

80. Srivastava P.P. On a gauge theory of selfdual field and its quantization / P.P. Srivastava // Phys. Lett. B. 1990. - V.234. - P. 93 - 96.

81. Pasti P. On Lorentz invariant actions for chiral p-forms / P. Pasti, D. Sorokin, M. Tonin // Phys. Rev. D. 1997. - V.55. - P. 6292 - 6298.

82. Penrose R. Spinors and space-time / R. Penrose, W. Rindler. Cambridge: Cambridge University Press, 1987. - Vol. I. - 472 p.

83. Penrose R. Spinors and space-time / R. Penrose, W. Rindler. Cambridge: Cambridge University Press, 1988. - Vol. II. - 513 p.

84. Streater R,.F. PCT, spin and statistics, and all that / R.F. Streater, A.S. Wightman New York-Amsterdam: W. A. Benjamin Inc., 1964. - 189 p.

85. Lipkin D. Existence of a new conservation law in electromagnetic theory / D. Lipkin // J.Math Phys. 1964. - V.5. - P. 696 - 700.

86. Morgan T. Two classes of new conservation laws for the electromagnetic field and for other massless fields / T. Morgan //J. Math. Phys. 1964. -V.5. - P. 1659 - 1660.

87. Kibble T.W.B. Conservation laws for free fields / T.W.B. Kibble // J. Math. Phys. 1965. - V.6. - P. 1022 - 1026.

88. Fairlie D.B. Conservation laws and invariance principles // D.B. Fairlie // Nuovo Cimento. 1965. - V.37. - P. 897 - 904.

89. Фущич В.И. Симметрия уравнений квантовой механики / В.И. Фущич, А.Г. Никитин. М.:Наука, 1990. - 400 с.

90. Vasiliev M.A., Gelfond О.А., Skvortsov E.D., Conformai currents of fields of higher spins in Minkowski space / M.A. Vasiliev, O.A. Gelfond, E.D. Skvortsov // Theor. Math. Phys. 2008. - V.154. - P. 294-302.

91. Vasiliev M.A. Nonlinear Equations for Symmetric Massless Higher Spin Fields in (A)dSd/M.A. Vasiliev//Phys.Lett. В.- 2003.-V.567.- P.139-151.

92. Vasiliev M.A. Higher Spin Superalgebras in any Dimension and their Representations/ M.A. Vasiliev// JHEP.-2004-V.8.,No.l2.-(51 p.)

93. Easwood M. Higher symmetries of the Laplacian / M. Eastwood // Annals Math. 2005. - V.161. - P. 1645-1665.

94. Vasiliev M.A. Conformai Higher Spin Symmetries of 4d Massless Supermultiplets and osp(L,2M) Invariant Equations in Generalized (Super)Space / M.A. Vasiliev // Phys. Rev. D. 2001. - V.66. - P. 066006-1 - 61.

95. Shaynkman O.V. Scalar Field in Any Dimension from the Higher Spin Gauge Theory Perspective / O.V. Shaynkman, M.A. Vasiliev // Theor. Math. Phys. 2000. - V.123. - P. 683 - 703.